VICE-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO E CORPO DISCENTE
COORDENAÇÃO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
METODOLOGIA DO ENSINO
DA MATEMÁTICA
Conteudista
Monica Baeta Marques
Rio de Janeiro / 2008
Todos
os direitos reservados à
Universidade Castelo Branco
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Un3m Universidade Castelo Branco
Metodologia do Ensino da Matemática / Universidade Castelo Branco. – Rio
de Janeiro: UCB, 2008. - 56 p.: il.
ISBN 978-85-7880-040-6
1. Ensino a Distância. 2. Título.
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Apresentação
Prezado(a) Aluno(a):
É com grande satisfação que o(a) recebemos como integrante do corpo discente de nossos cursos de graduação, na certeza de estarmos contribuindo para sua formação acadêmica e, consequentemente, propiciando
oportunidade para melhoria de seu desempenho profissional. Nossos funcionários e nosso corpo docente esperam retribuir a sua escolha, reafirmando o compromisso desta Instituição com a qualidade, por meio de uma
estrutura aberta e criativa, centrada nos princípios de melhoria contínua.
Esperamos que este instrucional seja-lhe de grande ajuda e contribua para ampliar o horizonte do seu conhecimento teórico e para o aperfeiçoamento da sua prática pedagógica.
Seja bem-vindo(a)!
Paulo Alcantara Gomes
Reitor
Orientações para o Autoestudo
O presente instrucional está dividido em quatro unidades programáticas, cada uma com objetivos definidos e
conteúdos selecionados criteriosamente pelos Professores Conteudistas para que os referidos objetivos sejam
atingidos com êxito.
Os conteúdos programáticos das unidades são apresentados sob a forma de leituras, tarefas e atividades complementares.
As Unidades 1 e 2 correspondem aos conteúdos que serão avaliados em A1.
Na A2 poderão ser objeto de avaliação os conteúdos das quatro unidades.
Havendo a necessidade de uma avaliação extra (A3 ou A4), esta obrigatoriamente será composta por todo o
conteúdo de todas as Unidades Programáticas.
A carga horária do material instrucional para o autoestudo que você está recebendo agora, juntamente com
os horários destinados aos encontros com o Professor Orientador da disciplina, equivale a 30 horas-aula, que
você administrará de acordo com a sua disponibilidade, respeitando-se, naturalmente, as datas dos encontros
presenciais programados pelo Professor Orientador e as datas das avaliações do seu curso.
Bons Estudos!
Dicas para o Autoestudo
1 - Você terá total autonomia para escolher a melhor hora para estudar. Porém, seja disciplinado. Procure reservar sempre os mesmos horários para o estudo.
2 - Organize seu ambiente de estudo. Reserve todo o material necessário. Evite interrupções.
3 - Não deixe para estudar na última hora.
4 - Não acumule dúvidas. Anote-as e entre em contato com seu monitor.
5 - Não pule etapas.
6 - Faça todas as tarefas propostas.
7 - Não falte aos encontros presenciais. Eles são importantes para o melhor aproveitamento
da disciplina.
8 - Não relegue a um segundo plano as atividades complementares e a autoavaliação.
9 - Não hesite em começar de novo.
SUMÁRIO
Quadro-síntese do conteúdo programático ..................................................................................................
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Contextualização da disciplina.....................................................................................................................
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UNIDADE I
ESTRUTURAS COGNITIVAS QUE OPERAM NA CONSTRUÇÃO DOS CONCEITOS MATEMÁTICOS
1.1 - Introdução.............................................................................................................................................
1.2 - A criança de 0 a 6 anos: que conhecimentos podem e devem construir...............................................................
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UNIDADE II
CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA MATEMÁTICA
2.1 - Construção da Aritmética ....................................................................................................................
2.2 - A noção de quantidade..........................................................................................................................
2.3 - A noção de números perceptuais..........................................................................................................
2.4 - As operações de classificação e seriação..............................................................................................
2.5 - Grandezas e medidas............................................................................................................................
2.6 - Espaço e forma.....................................................................................................................................
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UNIDADE III
ESTRATÉGIAS PEDAGÓGICAS QUE POSSIBILITAM A CONSTRUÇÃO DOS CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA MATEMÁTICA
3.1 - O problema como ponto de partida da atividade matemática..............................................................
3.2 - O problema como estruturador de uma situação que deve ser resolvida ...........................................
3.3 - O saber matemático como um sistema conceitual que permite resolver as situações-problema........
3.4 - Algumas considerações complementares para a construção de conceitos matemáticos.....................
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UNIDADE IV
APLICAÇÕES DA MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO INFANTIL E NO ENSINO FUNDAMENTAL
4.1 - Na Informática . ...................................................................................................................................
4.2 - No Tratamento da Informação – Estatística e Probabilidade...............................................................
4.3 - Coleta, organização, comunicação e interpretação de dados................................................................
4.4 - Leitura de tabelas, gráficos e outras formas de representação de dados...............................................
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44
46
46
Glossário....................................................................................................................................................... 51
Gabarito......................................................................................................................................................... 54
Referências bibliográficas............................................................................................................................. 55
Quadro-síntese do conteúdo
programático
UNIDADES DO PROGRAMA
OBJETIVOS
I. ESTRUTURAS COGNITIVAS QUE OPERAM
NA CONSTRUÇÃO DOS CONCEITOS MATEMÁTICOS
1.1. Introdução
1.2. A criança de 0 a 6 anos: que conhecimentos podem e devem construir
• Analisar o desenvolvimento cognitivo do ser humano sob a ótica do construtivismo amparado por três
teóricos: Piaget, Vygotsky e Wallon;
• Reconhecer os conceitos matemáticos que crianças
de 0 a 6 anos podem adquirir;
• Analisar como a construção do conhecimento matemático é promovido.
II. CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA MATEMÁTICA
2.1. Construção da Aritmética
2.2. A noção de quantidade
2.3. A noção de números perceptuais
2.4. As operações de classificação e seriação
2.5. Grandezas e medidas
2.6. Espaço e forma
• Identificar conceitos fundamentais da Matemática e
como devem ser desenvolvidos na Educação Infantil
e no Ensino Fundamental;
• Refletir sobre novas possibilidades do conhecimento matemático;
• Refletir sobre novas teorias na Educação Matemática.
III. ESTRATÉGIAS PEDAGÓGICAS QUE POSSIBILITAM A CONSTRUÇÃO DOS CONCEITOS
FUNDAMENTAIS DA MATEMÁTICA
3.1. O problema como ponto de partida da
atividade matemática
3.2. O problema como estruturador de uma situação
que deve ser resolvida
3.3. O saber matemático como um sistema
conceitual que permite resolver as situações- problema
3.4. Algumas considerações complementares para a
construção de conceitos matemáticos
• Refletir e analisar os princípios metodológicos que
devem nortear a prática pedagógica em Matemática;
• Refletir e analisar as novas possibilidades de construir conceitos matemáticos;
• Refletir e discutir princípios que favoreçam a aprendizagem significativa de conceitos matemáticos;
• Refletir sobre o papel do professor de Matemática
no mundo contemporâneo.
IV. APLICAÇÕES DA MATEMÁTICA NA EDU- • Refletir, analisar e discutir as diversas possibilidaCAÇÃO INFANTIL E NO ENSINO FUNDAMEN- des de aplicações de conceitos matemáticos na EduTAL
cação Infantil e no Ensino Fundamental.
4.1. Na Informática
4.2. No Tratamento da Informação – Estatística e
Probabilidade
4.3. Coleta, organização, comunicação e
interpretação de dados
4.4. Leitura de tabelas, gráficos e outras
formas de representação de dados
Contextualização da Disciplina
Com origem nas civilizações gregas, a Matemática vem desempenhando um papel importante no sistema
educacional. É uma ciência viva, dinâmica, em constante desenvolvimento e, apesar de apresentar uma característica universal, desde os tempos mais remotos vem atuando como filtro social, trazendo como consequência
o preconceito.
Entretanto, a Educação Matemática é útil como instrumentador para a vida e para o trabalho, é parte integrante de nossas raízes culturais, ajuda a pensar com clareza e a raciocinar melhor, apresenta caráter universal e uma
beleza intrínseca como construção lógica e formal.
Por conseguinte, a Educação Matemática vem passando por sérias avaliações, reflexões e críticas ao longo
dos anos. Vários autores, diante da rapidez crescente dos avanços tecnológicos e científicos, estão preocupados
com o rumo que o ensino da Matemática tem tomado, concordando que, para esse ensino, urge a necessidade
de mudanças, descobertas de novos caminhos, novos paradigmas, novas concepções e novas práticas.
Educadores e pesquisadores compromissados com uma educação que forme alunos críticos e criativos devem
estar sempre procurando refletir sobre a maneira habitual de proceder, discutir novas fontes teóricas, novas
alternativas às práticas escolares, novos princípios metodológicos para não perpetuarem um ensino de mera
transmissão de conteúdos, totalmente desprovido de significados. Consequentemente é preciso que utilizemos
recursos metodológicos que, além de trabalharem com atividades concretas, envolvam o mesmo num processo
reflexivo sobre a atividade.
Importa, portanto, analisar o ensino da Matemática na Educação Infantil e no Ensino Fundamental na construção e aplicação de conceitos fundamentais da Matemática no cotidiano escolar, bem como estratégias metodológicas educacionais pertencentes ao currículo, levando em conta as reais necessidades dos alunos. Acreditamos que ensinar Matemática através da resolução de problemas favorece um fazer pedagógico que melhor
atenda às expectativas dos professores, contribuindo, de um lado, para análise de diferentes práticas pedagógicas e, de outro, para a elaboração crítica de outras representações da Educação Matemática.
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UNIDADE I
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Estruturas Cognitivas que Operam na Construção dos Conceitos Matemáticos
1.1 - Introdução
Antes de considerarmos quais conhecimentos as
crianças necessitam adquirir, é de suma importância
que analisemos como o desenvolvimento cognitivo do
ser humano se promove e, consequentemente, como
as crianças constroem seus conhecimentos a partir
de uma perspectiva construtivista, já que, de acordo
com Miranda (2000:23-24), o construtivismo é definido como “uma dimensão constitutiva e, portanto,
um aspecto não-casual, não-acessório e não-secundário, das reformas educacionais que se processam, na
atualidade, em vários países do mundo”. Baseados na
perspectiva descrita, que discute o conceito de construtivismo fundamentando-se em teorias psicológicas da aprendizagem ou do desenvolvimento, é que
discutimos a construção do conhecimento, uma vez
que as respectivas teorias se orientam “pelo princípio
de que o aluno, mediante sua ação e auxiliado pelo
professor, deva ser o agente de seu próprio conhecimento”.
Segundo Goulart (2002: 13), a origem e a evolução
do conhecimento podem ser explicadas, atualmente,
por três vertentes diferentes. Alguns teóricos, como
Konrad Lorenz e Noam Chomsky, defendem o inatismo e concordam que “o conhecimento é pré-formado,
ou seja, já nascemos com as estruturas do conhecimento”.
No empirismo, de forma inversa, acreditam que “o
conhecimento tem origem e evolui a partir da experiência que o sujeito vai acumulando” (Ibidem). Podemos citar J. B. Watson e B. F. Skinner como seus
adeptos mais famosos.
Um último modelo teórico e objetivo desta unidade é o construtivismo, em que adeptos como Piaget,
Wallon, Vygotsky, Leontiev e Luria admitem que “o
conhecimento resulta da interação do sujeito com o
ambiente” (Ibidem: 14).
Portanto vamos examinar alguns estudiosos cujas
teorias psicológicas tratam do desenvolvimento do
conhecimento humano: Piaget, que declarava que o
conhecimento vem da interação do indivíduo com
o meio; Vygotsky, que conferiu um imenso valor à
interação social no processo de construção das funções psicológicas humanas; e, enfatizando a importância da emoção, nos deparamos com Wallon, cujas
ideias contribuíram para o pensamento interacionista
que considerava vários aspectos do sujeito – afetivo,
cognitivo e motor. Consequentemente conduzindo à
autonomia moral e intelectual, possibilitando ao indivíduo a real construção do conhecimento.
Sabemos que não existe uma única teoria que melhor responda a todos os aspectos dos processos de
desenvolvimento e aprendizagem. Os teóricos aqui
citados fornecem subsídios necessários para que
compreendamos a complexidade do sujeito e a forma como ele aprende e se desenvolve, possibilitando
para nós, educadores, uma atuação pedagógica comprometida, integrada e contextualizada à sociedade
em que vivemos.
Jean Piaget
De acordo com Goulart (2002), Piaget evidencia
três aspectos distintos do desenvolvimento psíquico,
analisados sob a ótica da relação que um sujeito estabelece com o outro, perpassando em um primeiro
momento pela anomia (ausência de regras), depois
pela heteronomia (regras imposta pelo outro) e, por
último, chegando à autonomia. São eles:
• Funções do conhecimento – envolvendo o pensamento, as percepções e a construção de conceitos.
• Funções de representação da realidade – envolvendo linguagem, jogo, imitação, desenho.
• Funções afetivas – mola propulsora do desenvolvimento cognitivo.
A maior parte de seus estudos foi dedicada às funções do conhecimento (desenvolvimento cognitivo),
nos quais a visão piagetiana, até hoje, vem sendo usada e desenvolvida nos meios educacionais.
O desenvolvimento cognitivo, para Piaget, abrange
quatro estágios: sensório-motor, pré-operatório, operatório concreto e das operações formais. Em cada
estágio, o conhecimento é inserido em uma estrutura.
Identificam-se as funções constantes, “comum a todas
as idades. Em todos os níveis, a ação supõe sempre
um interesse que a desencadeia, podendo-se tratar de
uma necessidade fisiológica, afetiva ou intelectual”
(Piaget, 1999: 14). Paralelas às funções constantes,
percebe-se as estruturas variáveis – maneiras da ati-
14
vidade mental se organizar – modos sucessivos para
atingir o equilíbrio. Piaget descreve que cada estágio,
composto pelas estruturas que o determinam, “possui uma forma particular de equilíbrio, efetuando-se
a evolução mental no sentido de uma equilibração1
sempre mais completa” (Ibidem: 15).
Ainda que a sequência dos estágios instituída por
Piaget evolua de forma ampla e contínua, podem
ocorrer pequenas alterações quanto à idade estipulada
em cada um. Como ele mesmo afirma, “o desenvolvimento mental é uma construção contínua, comparável à edificação de um grande prédio que, à medida
que se acrescenta algo, ficará mais sólido”. (Palangana, 2001: 14) Portanto privar a criança/adolescente de desafios possibilita um atraso ou progresso
das etapas de desenvolvimento. E por conseguinte,
Piaget descreve como a criança e o adolescente evoluem pelos quatro estados, que ele próprio chama de
fases de transição (Piaget, 1975).
No primeiro estágio, denominado sensório-motor (0
a 2 anos), a criança faz uso das percepções sensoriais
(sucção) para explorar o mundo que a rodeia, ou seja,
a criança explora o meio físico através de seus esquemas motores, por exemplo: pegar, jogar, morder.
Nessa fase, a criança vai desenvolvendo a noção do
seu eu, conhecendo seu corpo e percebendo que faz
parte do contexto. Também é marcado pela construção prática das noções de objeto, espaço, causalidade
e tempo (Macedo, 1991).
O segundo estágio do desenvolvimento cognitivo
é definido por Piaget como pré-operatório ou objetivo simbólico (2 a 6/7 anos). A criança já é capaz de
manusear esquemas simbólicos – desenho, jogo, linguagem – só conseguindo ver o mundo a partir dela
mesma, assim é também conhecido como o estágio da
Inteligência Simbólica. Macedo (1991), ainda ressalta que a atividade sensório-motora não está esquecida
ou abandonada, mas refinada e mais sofisticada. Se
oferecermos duas massinhas iguais em formatos diferentes, por exemplo, uma em forma de bola e a outra
em forma de salsicha, a criança negará que a quantidade de massas continue igual, já que os formatos são
diferentes. Portanto a criança não estabelece relações
entre as situações apresentadas.
Alguns aspectos da criança no referente estágio:
• É egocêntrica, centrada em si mesma, e não consegue se colocar, abstratamente, no lugar do outro.
• Não aceita a ideia do acaso e tudo deve ter uma
explicação (é a fase dos “porquês”).
• Já pode agir por simulação, “como se”.
• Possui percepção global sem discriminar deta-
lhes.
• Deixa se levar pela aparência sem relacionar fatos.
O estágio operatório concreto (6/7 até 11/12 anos)
é o que vem logo a seguir. A criança já é capaz de
executar operações concretas, conseguindo fazer relações e abstrair dados da realidade. Desenvolve também a capacidade de representar uma ação no sentido
inverso de uma anterior, anulando a transformação
observada (reversibilidade). Durante o desenvolvimento mental da criança, aparecem operações lógicas
e operações infralógicas. “Umas são indispensáveis
ao desenvolvimento das outras” (Goulart, 2002:
41). Nas operações lógicas surgem as operações de
classificação, seriação e compensação simples. As
operações infralógicas são resultantes da “construção
de invariantes físicas (substância, peso, volume) e de
invariantes espaciais (conservação da superfície do
comprimento, do volume, estabelecimento de horizontais e verticais etc.)” (Goulart, 2002: 41).
O terceiro estágio é de suma importância para o desenvolvimento mental da criança, pois marca o início
da escolaridade. Novos modos de organização e construção do pensamento vão aparecendo e complementando os do período anterior. Segundo Piaget (1999:
42):
(...) a criança de sete anos começa a se liberar de seu
egocentrismo social e intelectual, tornando-se, então,
capaz de novas coordenações, que serão da maior
importância, tanto para a inteligência quanto para a
afetividade. Para a inteligência, trata-se do início da
construção lógica, que constitui, precisamente, o sistema de relações que permite a coordenação dos pontos de vista entre si. Estes pontos de vista são tantos
aqueles que correspondem a indivíduos diferentes,
como aqueles correspondentes a percepções ou intuições sucessivas do mesmo indivíduo. Para a afetividade, o mesmo sistema de coordenações sociais
e individuais produz uma moral de cooperação e de
autonomia pessoal, em oposição à moral intuitiva de
heteronomia característica das crianças.
O quarto e último estágio do desenvolvimento cognitivo é definido por Piaget como estágio das operações formais (11/12 anos até a vida adulta). O adolescente desenvolve, agora, a capacidade de raciocinar
sobre hipóteses e ideias abstratas, utilizando, portanto, o pensamento hipotético-dedutivo “e, com ele, a
1
Em Piaget, no mecanismo de equilibração, ocorre a passagem de uma situação de menor equilíbrio para uma de maior equilíbrio. Uma
fonte de desequilíbrio acontece quando se espera que uma situação aconteça de determinada maneira, e não acontece. O desequilíbrio deve
ser resolvido por meio de um processo de assimilação e acomodação de uma nova situação. Portanto o equilíbrio será restabelecido, para
em seguida sofrer outro desequilíbrio, resultando em fases mais ou menos duradouras de desequilíbrio e de busca de um novo equilíbrio. O
balanço entre assimilação e acomodação é chamado de adaptação. “Esta é a forma geral de equilíbrio psíquico. O desenvolvimento mental
aparecerá, então, em sua organização progressiva como uma adaptação sempre mais precisa à realidade” (Piaget, 1999: 17).
constituição de uma lógica “formal”, quer dizer, aplicável a qualquer conteúdo” (Ibidem: 107). Tem como
fundamental particularidade a distinção entre o real e
o possível.
Lev Semynovitch Vygotsky
A obra vygotskiana apresentou significativo amparo
teórico dos filósofos Karl Marx e Friedrich Engels.
“Como Marx e Engels, Vygotsky acredita que o homem não é apenas um produto de seu meio, ele é
também um sujeito ativo no movimento que cria este
meio, esta realidade” (Palangana, 2001: 121).
Para ele, o desenvolvimento da criança é produto de
instituições sociais e sistemas educacionais, como a
família, escola, igreja, que ajudam a construir o próprio pensamento e descobrir o significado da ação do
outro e da própria ação.
Três aspectos básicos norteiam a teoria vygotskiana.
O primeiro se refere à origem dos processos psicológicos superiores do ser humano, fundamentada nas
relações socioculturais do homem com o mundo exterior. Tem como base biológica de seu funcionamento
psicológico o cérebro, entendido como “um sistema
aberto, de grande plasticidade, cuja estrutura e modos
de funcionamento são moldados ao longo da história
da espécie e do desenvolvimento individual” (Oliveira, 1997: 24).
O segundo aspecto diz respeito à relação do homem
com o mundo como uma relação mediada por sistemas simbólicos – instrumentos e signos. As bases
dessa mediação, que se fundamentam dentro de um
contexto sócio-histórico, segundo Rego (2002: 43),
são imprescindíveis, pois “é através dos instrumentos e signos que os processos de funcionamento psicológico são fornecidos pela cultura. É por isso que
Vygotsky confere à linguagem um papel de destaque
no processo de pensamentos”.
biológicos preponderam sobre os sociais apenas no
início da vida. Aos poucos, o desenvolvimento do
pensamento e o próprio comportamento da criança
passam a ser orientados pelas interações que esta
estabelece com pessoas mais experientes. (...) De
acordo com Vygotsky, as abordagens maturacionais
tendem a supervalorizar os processos intraindividuais, minimizando o impacto do ambiente social no
desenvolvimento cognitivo.
Convém ressaltar que para ocorrer o desenvolvimento das funções psicológicas superiores, restritamente
humanas, é preciso que o processo de mediação simbólica aconteça, pois é justamente no mesmo processo que Vygotsky identifica a linguagem como principal mediador da relação entre ser humano e mundo e
com os outros indivíduos. “A linguagem é um sistema
de signos que possibilita o intercâmbio social entre
indivíduos que compartilhem desse sistema de representação da realidade” (Rego, 2002: 54).
A relação entre pensamento e linguagem é outro
ponto de destaque na obra de Vygotsky. Quando ele
analisa as origens do pensamento e da linguagem, ou
seja, suas “raízes genéticas”, propõe a existência de
quatro estágios no curso do desenvolvimento das funções psicológicas que abarcam o emprego de signos.
“Sendo assim, a linguagem tanto expressa o pensamento da criança como age como organizadora desse
pensamento” (Ibidem: 64).
Do mesmo modo e em conformidade com Palangana (2001: 104-105), descrevemos brevemente os quatro estágios traçados por Vygotsky:
O terceiro aspecto “postula que a análise psicológica deve ser capaz de conservar as características básicas dos processos psicológicos, exclusivamente humanos” (Ibidem). A esse respeito, Palangana (2001:
96-97) escreve:
• Estágio natural ou primitivo – corresponde à
fala pré-intelectual e ao pensamento pré-verbal.
• Estágio das experiências psicológicas ingênuas
– a criança domina a sintaxe da fala antes de dominar
a sintaxe do pensamento.
• Estágio dos signos exteriores – corresponde à
fala egocêntrica e o pensamento atua basicamente
com operações externas, das quais a criança se apropria para resolver problemas internos.
• Estágio de crescimento interior – interiorização
do pensamento e da linguagem.
Uma vez definido o método, Vygotsky empreende
uma série de pesquisas com o propósito de estudar
os aspectos tipicamente humanos do comportamento
e elaborar hipóteses sobre como essas características se formam ao longo da história dos homens e de
como se desenvolvem durante a vida de um indivíduo. A questão central para ele consiste em explicar
como a maturação física e a aprendizagem sensóriomotora interagem com o ambiente, que é histórico – e
em essência social –, de forma a produzir as funções
complexas do pensamento humano. (...) Os fatores
É importante destacar que, para Vygotsky, esses estágios de desenvolvimento cognitivo não possuem
caráter universal. Reconhecendo a imensa diversidade nas condições histórico-sociais em que as crianças
vivem, ele acredita que as oportunidades abertas para
cada uma delas são muitas e variadas, enfatizando,
mais uma vez, a relevância do social na formação do
pensamento. Do ponto de vista vygotskyano, não se
pode falar em uma sucessão rígida de estágios, mas
sim em coexistência de fases a depender das condições acima referidas (Ibidem: 105).
15
16
Na concepção de Vygotsky, a aprendizagem impulsiona, possibilita e movimenta o processo de desenvolvimento, sendo a escola considerada essencial na
construção do ser psicológico e racional. Por conseguinte, a escola, funcionando como uma instituição
incentivadora de novas conquistas psicológicas, deve
dirigir o ensino não para etapas intelectuais já alcançadas, mas sim para estágios de desenvolvimento,
ainda não incorporados pelos alunos.
“perspectiva filosófica especialmente capaz de captar
a realidade em suas permanentes mudanças e transformações” (Galvão, 2002: 31).
A escola, num primeiro momento, deveria partir do
nível de desenvolvimento real da criança (em relação
ao conteúdo) e chegar aos objetivos da aula, ou seja,
chegar ao potencial da criança. É atribuído ao professor o papel explícito de interferir na zona de desenvolvimento proximal (ZDP) dos alunos, provocando
consequentemente, avanços que não ocorreriam espontaneamente.
O estudo realizado sobre o desenvolvimento humano é centrado na criança contextualizada e também,
como em Piaget e Vygotsky, apresenta alguns estágios. Uma das características das etapas elaboradas
por Wallon é não seguir uma linearidade, são descontínuas, marcadas “por rupturas, retrocessos e reviravoltas”, provocando em cada fase profundas mudanças nas anteriores. “Para Wallon, a passagem de um a
outro estágio não é uma simples ampliação, mas uma
reformulação” (Ibidem: 41).
Observemos que o nível de desenvolvimento real
abordado na teoria vygotskyana refere-se ao nível
atual, real e efetivo da criança, ou seja, à tarefa alcançada pela criança sem a ajuda do outro. No entanto,
o nível de desenvolvimento potencial é definido pelo
nível em que a criança alcança uma tarefa com a ajuda de outros mais experientes (pai, professor, colega).
“A distância entre aquilo que ela é capaz de fazer de
forma autônoma (nível de desenvolvimento real) e
aquilo que ela realiza em colaboração com outros elementos de seu grupo social (nível de desenvolvimento
potencial) caracteriza o que Vygotsky denomina de
zona de desenvolvimento proximal” (Rego, 2002:
73).
O que ocorre para Vygotsky é que o aprendizado
progride mais rapidamente do que o desenvolvimento. Por isso, a proposta do termo zona de desenvolvimento proximal (ZDP) em sua teoria é aquela em
que a escola deve atuar. É no mesmo espaço que o
professor, agente mediador (por meio da linguagem,
material cultural), intervém e auxilia na construção e
elaboração de estratégias pedagógicas para o desenvolvimento do aluno.
No entanto, devemos considerar que a “ZDP é uma
propriedade estável e estática”, não existindo uma
única ZDP por aluno, mas inúmeras. Do mesmo
modo, temos que levar em conta que “o papel do professor ao oferecer ajuda ao aluno supõe criar diferentes e frequentes ZDP, permitindo que o pensamento
do aluno vá progressivamente se modificando, em
direção a tarefas progressivamente mais complexas”
(Antunes, 2002: 30).
Henry Wallon
Wallon buscou nos princípios do materialismo dialético o referencial epistemológico para sua teoria,
No que diz respeito aos procedimentos metodológicos, escolheu a observação pura “como instrumento
privilegiado da psicologia genética. (...) Só podemos
entender as atitudes das crianças se entendemos a trama do ambiente no qual está inserida” (Ibidem: 36).
Em cada fase do desenvolvimento prevalece um
tipo de atividade relacionada com o ambiente em que
a criança está inserida, dependente dos recursos de
que ela dispõe naquele momento. As fases propostas
por Wallon se expressam nos cinco estágios descritos
de forma sucinta abaixo.
• Estágio impulsivo-emocional: refere-se ao primeiro ano de vida da criança. A emoção é o instrumento dominante na interação da criança com o
mundo. A “afetividade é impulsiva, emocional, que
se nutre pelo olhar, pelo contato físico e se expressa
em gestos, mímica e posturas” (Ibidem: 45).
• Estágio sensório-motor e projetivo: vai até os
três anos. A criança adquire um certo domínio do movimento, diversificando a afetividade sensório-motora para exploração do mundo físico. O ato precede ao
pensamento e o desenvolvimento das funções simbólica e da linguagem é também marcante.
• Estágio do personalismo: dos três ao seis anos.
Caracteriza-se pela formação da personalidade. A
conscientização da sua própria pessoa ocorre com
a interação social. A criança passa pelo período do
negativismo (“do NÃO, do EU e do MEU” (Ibidem:
119), da autoafirmação, da gratidão e da imitação.
Pode participar da vida de diferentes grupos sociais
como escola e clubes e nem sempre ocupa o mesmo
papel, sendo importante o intercâmbio social.
• Estágio categorial: inicia-se aos seis anos e o
interesse da criança volta-se para as coisas, para o
conhecimento e para a conquista do mundo exterior.
A interação com o meio tem supremacia cognitiva.
A afetividade torna-se mais racionalizada e os sentimentos, elaborados mentalmente, possibilitam aos
jovens uma teorização sobre suas relações afetivas.
• Estágio da adolescência: com a puberdade “podemos dizer que, no plano afetivo, o EU volta a adquirir
uma importância considerável; e no plano intelectual,
a criança supera o mundo das coisas, para atingir o
mundo das leis” (Ibidem: 122).
Durante o desenvolvimento humano, ocorrem períodos em que ora sobressaem as funções cognitivas
(voltadas para a construção do real – classificação
de objetos, operação matemática, definição de conceitos), ora as afetivas (voltadas para nós mesmos,
elaboração do EU – nascimento de um filho, irmão,
perda de um ente querido). A predominância ora afetiva ora cognitiva Wallon denominou predominância
funcional.
Em todos os estágios do desenvolvimento da pessoa
surgem ritmos descontínuos, marcados por contradições e conflitos. “Nenhuma dessas etapas jamais é
completamente superada e em certas afeições, assiste-se à ressurgência de estágios mais antigos” (Ibidem: 122). Para Wallon, os estágios se interpõem e
a criança tem orientada a sua interação mais para a
afetividade ou para a cognição. Dessa forma, afetividade e cognição se alternam, não se mantendo como
funções exteriores uma à outra, cada uma incorporando as conquistas realizadas pela outra, no estágio
anterior, com as regulações necessárias.
Wallon, ao estudar o desenvolvimento humano,
propõe a psicogênese da pessoa completa, distribuindo a atividade infantil em vários campos funcionais – afetivo, motor e cognitivo. No decorrer do desenvolvimento, vão aparecendo sucessivas diferenciações entre os campos funcionais e no interior de cada
indivíduo. Considera o sujeito como geneticamente
social, buscando em outras áreas do saber – neurologia, psicopatologia, antropologia, psicologia animal – fundamentos mais sólidos para explicar os fatores de desenvolvimento.
sição da linguagem representa, assim, uma mudança radical na forma de a criança se relacionar com o
mundo” (Galvão, 2002: 78).
O teórico em estudo traz importantes contribuições
para a educação e, nos devidos termos, Galvão (Ibidem: 91) pontua vários artigos acerca desse tema, escritos por Wallon, em que considera a escola como
ambiente ideal para observar atentamente a personalidade da criança, uma vez que “é na interação e no
confronto com o outro que se forma o indivíduo”.
Ao propor a psicogênese da pessoa completa,
Wallon sugere uma prática de ensino que contemple
os campos afetivo, cognitivo e motor, possibilitando
assim o desenvolvimento da criança nos níveis citados. A teoria atenta para os conteúdos de ensino tendo
em vista “uma prática em que a dimensão estética da
realidade é valorizada e a expressividade do sujeito
ocupa lugar de destaque” (Ibidem: 99).
Também atribui grande mérito ao meio, “campo
sobre o qual a criança aplica as condutas de que dispõe, ao mesmo tempo, é dele que retira os recursos
para sua ação” (Ibidem: 100), no desenvolvimento da
criança, sobretudo na necessidade de se organizar um
ambiente escolar composto por atividades individuais
e coletivas.
Na concepção walloniana, a emoção atua como importante recurso na reflexão pedagógica. Dentro do
contexto escolar, situações de conflitos entre professor e aluno são muito comuns. Se o professor souber
distinguir com clareza os fatores que geram conflitos,
provavelmente poderá controlar as manifestações de
suas reações emocionais e, consequentemente, descobrirá meios de resolvê-los.
Ocupando lugar de destaque no estudo walloniano,
a análise das emoções põe em evidência o caráter dialético de sua teoria psicogenética. Como a emoção
tem um comportamento predominante nos primeiros
anos de vida da criança, com certeza apresenta uma
função específica, por isso que Wallon, “contrariando
a visão das teorias clássicas, defende que as emoções
são reações organizadas e que se exercem sob o comando do sistema nervoso central” (Ibidem: 59).
A perspectiva dialética que emprega no estudo dos
fenômenos psíquicos instiga, no professor, uma atitude crítica e de permanente investigação sobre a
prática cotidiana. Inspira um professor que, diante
dos conflitos, não se contenta com respostas-padrão
ou fórmulas estereotipadas e mecânicas, mas busca
compreender-lhes o significado desvelando a complexa trama dos fatores que os condicionam (Ibidem:
114).
Conforme Dantas (1992: 85), a emoção é caracterizada por sua forma complexa e paradoxal. “Ela é
simultaneamente social e biológica em sua natureza;
realiza a transição entre o estado orgânico do ser e a
sua etapa cognitiva, racional, que só pode ser atingida
através da mediação cultural, isto é, social”.
Wallon possibilita com sua teoria psicogenética que,
nós, educadores/educadoras, façamos uma reflexão,
uma avaliação acerca de suas ideias pedagógicas
“para a construção de uma prática mais adequada às
necessidades e possibilidades de cada etapa do desenvolvimento infantil” (Ibidem: 113).
Além da emoção, Wallon enfatiza a grande
influência da linguagem como instrumento indispensável ao desenvolvimento do pensamento. “A aqui-
Wallon atribui grande importância à construção da
criatividade na criança, sem levar em conta o que nós
adultos valorizamos, e como aponta Goulart (2002:
17
18
23), “a valorização das relações sociais como base
do desenvolvimento afetivo e intelectual é, provavelmente, a maior contribuição de Wallon para uma
proposta construtivista de educação. Graças a elas,
evitamos formar indivíduos limitados e rotineiros”.
temas pontuados acima, em algum momento, manifestam-se ao longo das obras dos três teóricos estudados, os quais reconhecem o ser humano como uma
pessoa completa, não separando os aspectos: motor,
cognitivo e emotivo.
Almejamos uma educação que possibilite a interação social entre as pessoas, que contribua de forma
significativa para o desenvolvimento da criatividade, da autonomia, da cooperação, da análise crítica,
do conhecimento, da moral, como também permita
trabalhar a emoção, a autoestima, a ansiedade e os
limites do educando, concorrendo para uma formação
plena capaz de fazê-lo enfrentar situações-problema
em qualquer área. É importante observarmos que os
Reflexões acerca das obras de Piaget, Wallon e
Vygotsky possibilitam, para nós educadores, uma visão mais ampla e completa de como nossos educandos, ao longo do desenvolvimento cognitivo, produzem a aprendizagem. Portanto, faz-se necessário um
novo olhar sobre uma prática pedagógica estanque,
pronta, infalível que urge por mudanças e transformações.
1.2 - A Criança de 0 a 6 Anos: que Conhecimentos
Podem e Devem Construir
Para podermos iniciar o processo de desenvolvimento do senso matemático infantil, embasamo-nos
em Lorenzato (2006), que defende aspectos conceituais, tendo por objetivo enfatizar “o quê”, “por quê” e
“para quê” ensinar noções pré-matemáticas.
No entanto, é preciso, inicialmente, observar que
esse importante trabalho de exploração matemática
a ser proposto às crianças sofre duas diferentes contribuições negativas, ambas externas a elas, mas que
podem lhes afetar fortemente em seu desenvolvimento: a primeira vem dos próprios professores, que
não incluem no processo de exploração matemática
inúmeras atividades, por julgá-las muito simples e,
portanto, desnecessárias ou inúteis à aprendizagem;
a segunda vem dos pais, que cobram da pré-escola o
ensino dos numerais e até mesmo de algumas “continhas”. Atender a esse pedido é provavelmente dar à
criança um péssimo começo para o longo caminho da
aprendizagem do importante significado que a mate-
mática terá em sua vida; seria fazer como o pedreiro
que se põe apressadamente a construir as paredes de
uma casa sem ter preparado o alicerce (Ibidem: 23).
Dessa forma, o referido teórico apresenta uma proposta cuja questão essencial é começar por onde as
crianças se encontram e não por onde os educadores
gostariam que as mesmas estivessem. Logo, estabelece dois assuntos fundamentais: aproveitar os conhecimentos e habilidades que as crianças são portadoras e
explorar três campos matemáticos – espacial, numérico e das medidas (abordados com mais ênfase nas
unidades subsequentes).
Para tanto, faz-se necessário começar o trabalho
pelas noções apontadas no quadro 1.12 a seguir, que
“devem ser introduzidas ou revisadas verbalmente e
por meio de diferentes situações, materiais manipuláveis, desenhos, histórias ou pessoas” (Ibidem: 24).
Quadro 1.1
Quadro adaptado de Lorenzato, Sérgio. Educação Infantil e percepção matemática. Campinas, SP: Autores Associados, 2006: 24.
(Coleção Formação de Professores).
2
19
O professor deve se certificar que os conceitos apontados acima se relacionam diretamente com algum ou
alguns dos conceitos físico-matemáticos traçados no quadro 1.23.
Quadro 1.2
São sete os processos mentais básicos que devem
permear a prática do professor que deseja que a exploração matemática seja realizada pela criança. Para
Lorenzato (2006: 25) “se o professor não trabalhar
com as crianças esses processos, elas terão grandes
dificuldades para aprender número e contagem, entre
outras noções”. E ainda enfatiza que sem o domínio
dos processos apresentados, provavelmente a aprendizagem ocorrerá sem significado algum ou compreensão para as crianças. Tais processos se referem tanto a objetos, quanto a situações ou ideias. São eles:
1. Correspondência: é o ato de estabelecer a relação “um a um”. Exemplos: um prato para cada pessoa; cada pé com seu sapato; a cada aluno, uma carteira. Mais tarde, a correspondência será exigida em
situações do tipo: a cada quantidade; um número (cardinal), a cada número, um numeral, a cada posição
(numa sequência ordenada), um número cardinal.
2. Comparação: é o ato de estabelecer diferenças
ou semelhanças. Exemplos: esta bola é maior que
aquela; moro mais longe que ela; somos do mesmo
tamanho? Mais tarde, virão: Quais destas figuras são
retangulares?; Indique as frações equivalentes.
3. Classificação: é o ato de separar em categorias de
acordo com semelhanças ou diferenças. Exemplos: na
escola, a distribuição dos alunos por série; arrumação
de mochila ou gaveta; dadas várias peças triangulares
e quadriculares, separá-las conforme o total de lados
que possuem.
4. Sequenciação: é o ato de fazer suceder a cada
elemento um outro sem considerar a ordem entre eles.
Exemplos: chegada dos alunos à escola; entrada de
jogadores de futebol em campo; compra em supermercado; escolha ou apresentação dos números nos
jogos, loto, sena e bingo.
5. Seriação: é o ato de ordenar uma sequência segundo um critério. Exemplos: fila de alunos, do mais
baixo ao mais alto; lista de chamada de alunos; numeração das casas nas ruas; calendário; loteria federal
(a ordem dos números sorteados para o primeiro ou
quinto influi nos valores a serem pagos). O modo de
escrever números (por exemplo, 123 significa uma
centena de unidades, mais duas dezenas de unidades,
mais três unidades e, portanto, é bem diferente de
321.
6. Inclusão: é o ato de fazer abranger um conjunto
por outro. Exemplos: incluir as ideias de laranjas e
bananas em frutas; meninos e meninas, em crianças;
varredor, professor e porteiro, em trabalhadores na
escola; losangos, retângulos e trapézios, em equiláteros.
Quadro adaptado de Lorenzato, Sérgio. Educação Infantil e percepção matemática. Campinas, SP: Autores Associados, 2006: 25.
(Coleção Formação de Professores).
3
20
7. Conservação: é o ato de perceber que a quantidade não depende da arrumação, forma ou posição.
Exemplos: uma roda grande e outra pequena, ambas formadas com a mesma quantidade de crianças;
um copo largo e outro estreito, ambos com a mesma
quantidade de água; uma caixa com todas as faces
retangulares, ora apoiada sobre a face menor, ora sobre outra face, conserva a quantidade de lados ou de
cantos, as medidas e, portanto, seu perímetro, área e
volume (Ibidem: 25-26).
Propor atividades que envolvam diversos materiais
concretos, jogos (que sejam pedagogicamente planejados) e resolução de problemas que favoreçam
a elaboração de noções matemáticas de número, de
medida e de geometria, com significado pela própria
criança, é fundamental para desenvolver o pensamento matemático, uma vez que é a própria criança que
realiza a aprendizagem, “pela reflexão que faz com o
acompanhamento e a orientação do professor” (Ibidem: 54).
Todos os processos mencionados4 podem e devem
interagir com qualquer outra situação do dia-a-dia. Em
sala de aula, devem ser trabalhados de forma simples
e a mais natural possível, não se esquecendo de mesclá-los e integrá-los, uma vez que “é nessa integração
que reside o verdadeiro favorecimento didático para o
progresso educacional da criança” (Ibidem: 27).
Algumas considerações sobre a construção
dos conhecimentos matemáticos
O professor da Educação Infantil tem como responsabilidade criar e conservar o espaço da sala de aula,
tanto nos aspectos físico, afetivo e social, que permita ou favoreça chegar aos objetivos pedagógicos
traçados. Para tanto, é preciso levar em consideração
alguns aspectos defendidos por Lorenzato (Ibidem:
20), tendo em vista que:
• Crianças gostam e necessitam de carinho, cuidado
e atenção;
• É preciso gostar do que faz para ser bem sucedido;
• É preciso ter uma formação profissional adequada;
• É importante manter-se atualizado;
• É importante refletir sobre sua própria prática, trocando, sempre que possível, pontos de vista com seus
pares;
• É fundamental conhecer os objetivos de formação recomendados pela escola em que trabalha, bem
como os objetivos de cada atividade a ser proposta;
e mais, é preciso conhecer as especificidades dos assuntos que as crianças devem aprender;
• É necessário, cada vez mais, diminuir a distância
entre a Educação Infantil e o Ensino Fundamental,
tanto em relação aos processos quanto em relação aos
conhecimentos e técnicas;
• A experiência de vida pré-escolar caracteriza-se
por uma forte e cotidiana interação da criança com
a língua materna, a qual transcorre de forma natural,
lenta e gradual. Assim deve-se dar também o desenvolvimento da percepção matemática, tal que a criança só fale ou escreva aquilo que tiver significado para
ela. Justamente por isso, é importante observar que a
interação da criança com a Matemática, nessa etapa
da vida, não costuma ser tão intensa quanto aquela
tida com a língua materna.
O aluno vai construir conceitos matemáticos quando
conseguir, através de alguma atividade, estabelecer
relações entre uma nova informação e os conceitos
já existentes na sua estrutura cognitiva, ocorrendo,
portanto, uma interação entre a “nova informação adquirida e aquela já armazenada” (Novak apud Rabelo e Lorenzato, 1994: 38).
Ou seja, é preciso que o aluno estabeleça correspondências de significados entre o novo conhecimento e
o que já existe, ressignificando-os. Da mesma forma,
Rabelo e Lorenzato (1994: 39) defendem que é preciso proporcionar aos alunos atividades que permitam
levar em consideração as “categorias conceituais que
as crianças já têm sobre os objetos do conhecimento”,
permitindo a interação e a “oportunidade de explicarem fenômenos que entendem, assim como de exporem e reelaborarem conceitos que já possuem”.
De igual maneira, D´Ambrósio (2001: 49-50) defende que
(...) todo conhecimento é resultado de um longo processo cumulativo, onde se identificam estágios, naturalmente não dicotômicos, entre si, quando se dão
a geração, a organização intelectual, a organização
social e a difusão do conhecimento. Esses estágios
são, respectivamente, o objeto da teoria da cognição, da epistemologia, da história e sociologia, e da
educação e política. Como um todo, esse processo é
extremamente dinâmico e jamais finalizado, e está,
obviamente, sujeito a condições muito específicas de
estímulo e de subordinação ao contexto natural, cultural e social. Assim é o ciclo da aquisição individual
e social de conhecimento.
D´Ambrósio (Ibidem: 54) destaca quatro dimensões
do conhecimento. São elas: sensorial, intuitiva, emocional e racional. As dimensões intuitiva e emocional
estão relacionadas ao conhecimento religioso. Já a
dimensão racional favorece o conhecimento científico, enquanto a emocional predomina nas artes. Para
ele, todas essas dimensões são complementares, não
Para facilitar, Lorenzato (2006: 27) propõe os assuntos apontados em forma de itens: A) quem é a criança pré-escolar (características,
conhecimentos e habilidades); B) que campos matemáticos devem ser explorados na educação infantil (geometria, medição e aritmética);
C) que noções devem ser trabalhadas (alto/baixo, mais/menos...); D) que conceitos devem ser desenvolvidos (tempo, massa, distância...);
quais são os processos mentais básicos para aprendizagem da matemática (correspondência, classificação...).
4
sendo dicotomizadas nem hierarquizadas. “Do mesmo modo que não há dicotomia entre o saber e o
fazer, não há priorização entre um e outro, nem há
prevalência nas várias dimensões do processo”. Para
D´Ambrósio (Ibidem: 54-56), “tudo se complementa
num todo que é o comportamento e que tem como
resultado o conhecimento. (...) Assim, o comportamento é o elo entre a realidade, que informa, e a ação,
que a modifica”.
Desse modo, é preciso favorecer ambientes em que
seja possível o desenvolvimento de atividades em
duplas ou em grupos, o que induz à comunicação.
Consequentemente, é a comunicação “que permite
que ambos tenham informações enriquecidas pela
informação que lhe é comunicada pelo outro”, possibilitando, a cada indivíduo, “captar e processar as
informações em um mesmo instante e numa mesma
realidade” (Ibidem).
Devemos ressaltar, de acordo com D´Ambrósio (Ibidem: 57-58), que “cada indivíduo gera conhecimento como ação a partir de informações da realidade”.
Cada indivíduo processa as informações de forma
distinta, resultando em ações também distintas. “O
comportamento e o conhecimento são, consequentemente, diferentes, muitas vezes conflitantes”. É a comunicação que leva ao entendimento comum entre os
diferentes indivíduos.
Portanto construir conhecimento é organizar de
forma estruturada a informação recebida, tomando
consciência de si mesmo como ser integrante e participante do e no mundo. É permitir que o aluno receba uma informação nova por meio de uma atividade
(podendo ser lúdica e levando em conta o trabalho
em grupo) e interaja com a que já possui na sua estrutura cognitiva, resultando em uma outra informação
elaborada por ele de forma autônoma, criativa e consciente. Pensamos ser uma releitura diária do saber.
Sugestões de Atividades
1) Descreva quais os objetivos das atividades5 descritas a seguir, de acordo com o estudado nesta unidade.
Atividade 01
Atividade: entregar para cada dupla de crianças uma mesma quantidade de palitos. Pedir para que elas formem figuras quaisquer, usando sempre todos os palitos. Discutir com as crianças os resultados. Em seguida,
elas devem formar somente contornos de figuras usando todos os palitos; os resultados devem ser comparados
com o auxílio do professor.
Atividade 02
Atividade: o professor coloca três ou mais objetos (dependendo do nível de desenvolvimento das crianças)
em lugar visível a todos, certificando-se de que as crianças sabem o nome de cada objeto. Em seguida avisa aos
alunos que irá cobrir os objetos com um papel e que devem procurar lembrar os nomes dos objetos. Escolhe
algumas crianças para dizer os nomes. Pode-se também retirar, acrescentar e mudar de posição os objetos avisando às crianças que mudanças ocorreram, pedindo, assim, para que identifiquem essas mudanças.
2) Elabore uma atividade cujo objetivo seja o de comparar (medir) sem usar unidade padronizada de medida
e que favoreça a descoberta de que o tamanho do objeto independe da sua posição no espaço.
Leituras Complementares
LORENZATO, Ségio (org.). O Laboratório de Ensino de Matemática na Formação de Professores. Campinas,
SP: Autores Associados, 2006. (Coleção Formação de Professores).
MACEDO, Lino de; PETTY, Ana Lúcia Sicoli; PASSOS, Norimar Christe. Aprender com jogos e situaçõesproblema. Porto Alegre: Artmed, 2000.
MARZANO, Robert; PICKERING, Debra J.; POLLOCK, Jane E. O ensino que funciona: estratégias baseadas
em evidências para melhorar o desempenho dos alunos. Porto Alegre: Artmed, 2008.
SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez; CÂNDIDO Patrícia. Jogos de matemática de 1º a 5º ano. Porto
Alegre: Artmed, 2007. (Série Cadernos do Mathema – Ensino Fundamental).
Edição especial da Revista Nova Escola – Educação Infantil – 90 sugestões de atividades para crianças de até
5 anos. Editora Abril. Número 9, 2006.
Essas atividades foram adaptadas de Lorenzato (2006: 61-70).
5
21
22
UNIDADE II
Conceitos Fundamentais da Matemática
Posto que as crianças devam vivenciar os conhecimentos assinalados a seguir de forma integrada, tentaremos traçar algumas especificidades de cada um
de maneira fragmentada, não deixando de levar em
consideração a interação e complementaridade existente, a valorização da semelhança entre os diferentes nomes e a compreensão dos conceitos abordados,
uma vez que estes se inter-relacionam e procuram de
alguma forma, “atender o currículo em espiral, que
recomenda voltar ao mesmo assunto várias vezes,
embora com diferentes enfoques. (...) Essa integração
pode ser um apoio para a aprendizagem, pois facilita
a percepção do significado de conceitos e símbolos”
(Lorenzato, 2006: 70).
2.1 - Construção da Aritmética
Se ensinar Matemática não é uma tarefa tão fácil, imagina aprendê-la! Amparados pelos Parâmetros
Curriculares Nacionais e por educadores que constataram que o ensino tradicional, da pura transmissão
dos conteúdos e da falta de significados não é mais
eficaz, é que defendemos uma metodologia centrada na construção do conhecimento e na produção da
aprendizagem pelo aluno, em que o professor é o mediador, orientador e colaborador nesse processo.
Dessa forma, buscamos em alguns autores a reinvenção da Aritmética por parte das crianças, já que o
ensino atual não está funcionando com eficiência, as
crianças que reinventam a Aritmética se tornam mais
competentes6 e os processos que acabam inventando
“estão enraizados de forma profunda em sua intuição
e na sua maneira natural de pensar” (Kamii, 2001:
32).
Se encorajarmos as crianças a desenvolverem seus
próprios meios de raciocínio em vez de obrigá-las a
memorizar regras que não fazem sentido, elas terão
melhores fundamentos cognitivos e maior confiança.
Crianças confiantes, a longo prazo, aprenderão mais
que aquelas que foram ensinadas de tal maneira que
não confiam em seu próprio raciocínio. (...) Nas séries iniciais, no entanto, acredito firmemente que elas
devam construir um nível após outro por elas mesmas para que possam ter fundamentos sólidos para
posteriores aprendizados (Ibidem: 32-33).
O conceito de Aritmética nos ajuda a compreender
como se processa a construção numérica e nos auxilia
a diagnosticar as dificuldades existentes dos alunos
que apresentam tais dificuldades. O termo Aritmética7
vem do grego arithmós, referindo-se aos números, e o
prefixo ar significa reunir. Isso expressa que é a ciência que soma, subtrai, multiplica, divide números.
Para Neto (2002), desenvolver a competência aritmética é falar sobre a construção da noção de número.
Por conseguinte, trata da parte da Matemática que
estuda as operações numéricas.
Há tempos os educadores acreditavam que a criança aprendia Aritmética por meio de lições e descobertas apenas recebendo informações do professor, pois o
mesmo explicava, ditava, mostrava figuras enquanto
a criança ouvia, copiava, decorava, devendo, assim,
aprender. Quando não aprendia, a culpa, na maioria
das vezes, era dela por ser desatenta e irresponsável,
ou o professor não levava “jeito”. É possível que se
instrua dessa maneira, mas o aluno terá uma compreensão quase mínima ou nenhuma daquilo que foi ensinado.
Na verdade, Kamii e DeClark (2001) defendem
que o aprendizado vai acontecer através de um processo de construção a partir de dentro de si mesmas,
levando as crianças a reinventarem a Aritmética, favorecendo, desse modo, um aprendizado com compreensão.
Para explicar, entender ou compreender a concepção de número, Piaget (apud Kamii, 2001) estabeleceu três tipos de conhecimentos: físico, lógico-matemático e social, sendo o elemento mais importante da
Aritmética o conhecimento lógico-matemático.
O conhecimento físico é, portanto, um conhecimento
empírico cuja origem reside parcialmente nos objetos. O conhecimento lógico-matemático, por outro
lado, não é empírico, pois sua origem está na mente de cada indivíduo. Relações precisam ser criadas
por cada indivíduo porque ideias como “diferente”,
“similar” ou “dois” não existem no mundo externo,
observável. As crianças acabam elaborando seu conhecimento lógico-matemático coordenando as relações simples que elas criaram entre os objetos. (...) A
principal característica do conhecimento social é sua
natureza geralmente arbitrária. O fato de uma árvore
Fato este comprovado em Kamii, Constance. Aritmética: novas perspectivas - implicações na teoria de Piaget. Campinas, SP: Papirus,
2001. (verificar capítulo 10)
7
Fonte: http://www.hottopos.com/geral/isidorus.htm. Acesso em: 28/10/2008.
6
ser chamada de “árvore” é um exemplo de arbitrariedade do conhecimento social. Nas várias línguas,
um mesmo objeto pode ser conhecido por diferentes
nomes, desde que não haja uma relação física ou lógico-matemática entre o objeto e seu nome. Segue-se
daí que, para a criança adquirir conhecimento social,
sua convivência com pessoas é indispensável (Kamii, 2001: 23)8.
Enquanto as crianças não tiverem construído a
noção lógico-matemática de números em suas mentes, tudo que elas conseguirão obter é conhecimento
físico e empírico. Saber como as crianças constroem
seus conhecimentos é fundamental para podermos
proporcionar ambientes que facilitem a aprendizagem, já que ensinar Aritmética depende da concepção
a respeito de como elas aprendem (Ibidem).
O conhecimento lógico-matemático tem suas fontes
dentro de cada criança e é elaborado a partir da sua
própria ação mental. (...) Não pode ser adquirido por
interiorização daquilo que é do outro, mas pelo pensamento autônomo de cada criança. Quando crianças
se convencem de que a ideia do outro é mais sensata
que a sua própria, elas mudam a sua forma de pensar,
corrigindo-se de dentro para fora (Ibidem: 58).
Assim sendo, traçamos a seguir, de forma sucinta,
alguns pontos da pesquisa, fundamentada na teoria
de Piaget, sugerida por Constance Kamii e Georgia
DeClark (2001), de como trabalhar a construção da
Aritmética com as crianças, uma vez que defendem
uma aprendizagem que requer participação mental
ativa e autônoma.
Três aspectos são fundamentais no trabalho9 das
autoras, em que atividades e situações oferecidas podem favorecer que a criança construa o conhecimento
lógico-matemático por si própria. São eles:
1. Número não é empírico por natureza. A criança o
constrói através da abstração reflexiva pela sua própria ação mental de colocar coisas em relação.
2. Os conceitos de número não podem ser ensinados. Isso pode ser uma péssima notícia para os educadores, mas é boa no sentido de que o número não tem
que ser ensinado, uma vez que a criança o constrói
de dentro de si mesma, pela sua capacidade natural
de pensar.
3. Adição também não precisa ser ensinada. A própria construção do número envolve a repetida adição
de “1” (KAMII e DECLARK, 2001: 50).
Tal pesquisa permite que o professor compreenda o motivo por que alguns alunos não conseguem
apreender noções de Aritmética, mesmo que já tenha
abordado o assunto diversas vezes e de diversas maneiras.
A Aritmética precisa ser construída pela abstração
reflexiva, pois “se a criança não consegue construir
uma relação, nenhuma explicação do mundo fará com
que ela entenda as afirmações da professora” (Ibidem:
50).
Para a abstração de propriedades de objetos, Piaget
usou o termo abstração empírica (ou simples). Para
a abstração de número, ele usou o termo abstração
reflexiva (abstraction réfléchissante). Na abstração
empírica, tudo o que a criança faz é se concentrar
numa certa propriedade do objeto e ignorar as outras. Por exemplo, quando ela abstrai a cor de um
objeto, simplesmente ignora as outras propriedades,
tais como peso e material com que o objeto foi feito
(plástico, madeira, metal). (...) Abstração reflexiva,
ao contrário, envolve a construção de uma reflexão
entre objetos. Relações, como já foi dito, não têm
uma existência na realidade externa. A semelhança
ou diferença entre uma ficha e outra não existe na
ficha em si. Essa relação existe somente nas mentes
das pessoas. (...) Na realidade psicológica da criança
uma não existe sem a outra. A criança não consegue
construir a relação “diferente” se ela não puder observar propriedades diferentes nos objetos (Ibidem:
31).
Nos períodos sensório-motor e pré-operacional, as
duas abstrações são dependentes. Estas só irão se
manifestar independentemente uma da outra em uma
idade mais avançada. Se a criança constrói o número
pela abstração reflexiva, ela conseguirá operar com
números e fará 5+5 e 5x2 através dessa, como também terá a capacidade de operar com números grandes.
Melhor esclarecendo: Conhecimento físico é o conhecimento dos objetos da realidade externa. A cor e o peso de uma ficha são exemplos
de propriedades físicas que fazem parte dos objetos e podem ser notados pela observação. Saber que uma ficha cairá quando a jogamos
no ar é também um exemplo de conhecimento físico. Conhecimento lógico-matemático consiste em relações feitas pelo indivíduo. Por
exemplo, quando nos mostram uma ficha vermelha e uma azul e notamos que elas são diferentes, essa diferença é um exemplo do fundamento do conhecimento lógico-matemático. Podemos observar as fichas, mas a diferença entre elas não. A diferença é uma relação criada
mentalmente pelo indivíduo que faz o relacionamento entre os dois objetos. A diferença não está na ficha vermelha ou azul, e, se uma
pessoa não puser os dois objetos dentro dessa relação, a diferença não existirá para ela. São exemplos de relação: semelhança, igualdade
em peso e dois (podem-se observar as 2 fichas, mas não o “2”). Número é uma relação criada mentalmente pelo indivíduo (Kamii e
DeClark, 2001: 29)
9
A pesquisa mais importante para o ensino da aritmética no Ensino Fundamental Anos Iniciais pode ser encontrada nos volumes XI, XIII
e XVII dos Ètudes dEpistemologie Génétique. Para aqueles que ainda não conseguiram se convencer que o conhecimento lógico-matemático é construído pela própria criança, recomendamos o livro de Sinclair, Stambak, Lézine, Rayna e Verba (1982), em que o capítulo
cujo título é “Bebês e lógica” demonstra, com detalhes, como antes dos 2 anos a criança põe objetos espontaneamente numa relação lógica
(Ibidem: 49).
8
23
24
A distinção entre os dois tipos de abstração pode
parecer sem importância, enquanto a criança está
aprendendo números pequenos, vamos dizer, até 10.
Quando ela chega a 999 e 1000, contudo, fica claro
que é impossível aprender todos os números inteiros a partir de conjuntos de objetos ou fotografias.
Números são aprendidos não por abstração empírica
de conjuntos já feitos, mas por abstração reflexiva à
medida que a criança constrói relações. É possível
entender números tais como 1.000.002 mesmo sem
tê-lo visto antes ou contado 1.000.002 objetos, dentro
ou fora de um conjunto, porque essas relações são
criadas pela mente (Ibidem: 32).
Tanto Piaget (apud Kamii, 2001) quanto Miranda
e Gil-llario (apud Silva, 2008), garantem que para
o conceito de número ser elaborado pelas crianças é
preciso que elas sejam capazes de conservar o número (terem certeza de que o todo está composto por
um conjunto de partes que podem ser distribuídos
de diversas maneiras sem que haja variedades), bem
como terem noção de seriação (capacidade para ordenar elementos de uma série de funções de algum
critério).
Deve-se compreender que cada número pode ser
ordinal e cardinal; por exemplo, o número 5 é um
símbolo de um conjunto que representa uma classe
(princípio de cardinal idade), mas também pode representar o quinto (5º) lugar em uma série. Quando
se é capaz de utilizar ambos os sistemas, se possui
uma compreensão adequada do número, a qual abre
caminho para as operações matemáticas (SILVA,
2008: 02).
Além disso, os teóricos assinalados ressaltam que
para a criança se apropriar do conceito de número, é
necessário que consiga estabelecer relações de ordem
e inclusão hierárquica, essenciais para construir a sequência numérica e sistematizar as principais operações matemáticas, como a adição.
Para quantificar o conjunto de objetos, a criança tem
que colocá-los numa relação de inclusão hierárquica.
Essa relação significa que a criança inclui mentalmente “um” em “dois”, “dois” em “três”, “três” em
“quatro” etc. (KAMII e DECLARK, 2001: 33).
Isso significa seriar e, além disso, incluir em cada número todos os anteriores. O dois inclui o um, o três
inclui o um e o dois, portanto, inclui o um três vezes
e assim por diante. Desse modo a contagem envolve
esquemas de inclusão de classes, significando, nesse
caso, que cada número é constituído da adição repetida de uns e nessa construção a adição já está incluída
(NETO apud SILVA, 2008: 03).
Conferimos que não é fácil construir a estrutura hierárquica, portanto o exemplo dado a seguir verifica
tal constatação.
São dados vários objetos às crianças, por exemplo, 6
cachorros miniaturas e 2 gatos do mesmo tamanho e
pergunta-se: “O que você vê?” O pesquisador usa palavras do vocabulário da criança. Depois pede-se que
a criança mostre todos os animais, todos os cachorros
e todos os gatos, ainda usando um mesmo tipo de
vocabulário. Depois de se certificar de que a criança
entendeu bem todas as palavras, o pesquisador pergunta: “Há mais cachorros ou mais animais?”
As crianças de 4 anos respondem logo: “Mais cachorros”, ao que o adulto pergunta: “Do que o quê?”
“Do que gatos” é a resposta. Em outras palavras, a
criança não escuta a pergunta como ela foi formulada
e sim: “Há mais cachorros, ou mais gatos?” A criança
escuta uma pergunta diferente da que foi feita porque
uma vez que ela mentalmente cortou o todo (animais)
em duas partes (cachorros e gatos), a única coisa que
ela consegue pensar é na divisão do todo. Para ela,
naquele momento, o todo não existe. Para comparar o
todo com a parte, a criança tem que fazer duas ações
mentais opostas ao mesmo tempo – cortar o todo em
duas partes e colocar outra vez as partes no todo. De
acordo com Piaget, é exatamente o que a criança de
4 anos não consegue fazer. (...) Aos 7-8 anos, entretanto, o raciocínio das crianças se torna móvel o suficiente para ser reversível. Reversibilidade refere-se
à capacidade de fazer mental e simultaneamente duas
ações opostas. (...) Por isso é tão importante, para as
crianças, colocar todos os tipos de coisas (objetos,
eventos, ações) em toda espécie de relações. Quando
isso acontece, o raciocínio da criança torna-se mais
móvel e um dos resultados dessa mobilidade é a estrutura lógico-matemática do número (KAMII e DECLARK, 2001: 34-35).
Piaget ainda defende a importância da interação
social para a construção do pensamento lógico-matemático e a autonomia como finalidade da educação,
uma vez que desenvolve o pensamento crítico, o intelectual e a ética.
Paremos para refletir o que a escola vem fazendo
atualmente, uma vez que deveria criar ambientes ricos
de significados em que as crianças pudessem contar,
juntar, contar o total, repartir e contar quanto ganha
cada um, quanto sobra, quanto falta, sem efetivamente trabalhar, no início, com simbolizações matemáticas, lembrando que a criança responde de acordo com
suas estruturas mentais.
As crianças começam na escola com muita vontade de aprender, e de se divertir. Lá pela 2ª série,
depois de verem tantas coisas que não lhe fazem o
menor sentido, as crianças passam a escrever coisas
absurdas, sem mesmo pensar. W.W. Sawyer chamou
isto de “a destruição da integridade intelectual da
criança”. Ao invés de aprender aritmética, as crianças aprendem a brincar com um complexo “jogo de
marcas no papel”, o qual não tem nenhuma relação
com qualquer experiência no mundo real. (...) É importante avaliar a aritmética da 1ª série, observando o
que acontece com a criança a longo prazo. Contando,
simplesmente, o número de respostas corretas em um
teste, os educadores estão fechando os olhos para um
grande dano intelectual em grande escala, proveniente do uso do lápis. A aritmética deve estar enraizada
no pensamento genuíno da criança (Ibidem: 120).
Em busca de melhor qualidade de vida na escola e questionando as práticas tradicionais adotadas
na maioria das escolas, bem como as barreiras que
os profissionais da educação enfrentam em relação
aos métodos conservadores, é que o trabalho abordado se faz relevante, imprescindível e importante
para “aqueles que querem estudar o que vai dentro
das cabeças das crianças, a fim de encontrarem novas
e melhores maneiras de proporcionar oportunidades
para as crianças construírem a matemática em todos
os níveis de idade, e principalmente sobre como a
criança pequena pode ser introduzida à Aritmética”
(Ibidem: 13).
2.2 - A Noção de Quantidade
Ao enfrentar situações em que desejamos saber
quantidade, a primeira atitude que nos vem é contar.
Verificamos que as crianças realizam a contagem de
diferentes formas, já que os significados vão se modificando dependendo do contexto e da compreensão
que têm de números. Desta forma, Devlin (2006: 63)
defende que:
Contar não é o mesmo que dizer quantos elementos
há num conjunto. O número de elementos de um conjunto é apenas um fato sobre este conjunto. Contar
aqueles elementos, por outro lado, é um processo que
envolve ordenar o conjunto de algum modo, e, depois, aproveitando essa ordenação, contar todos os
elementos, um por um. (vou ignorar variações, pelas
quais o conjunto é contado de dois em dois ou de três
em três. São apenas isso: variações.) Uma vez que
contar nos informa, na realidade, o número de elementos de um conjunto, nós frequentemente confundimos as duas coisas. Mas isso é uma consequência
de familiaridade. Crianças muito novinhas encaram a
contagem e o número como coisas bem dissociadas.
Peça a uma criança de três anos para contar seus brinquedos, e ela reagirá sem erro: “Um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete.” É bem possível que ela aponte
para cada brinquedo enquanto vai contando. Mas
depois pergunte a ela quantos brinquedos tem, a probabilidade é que ela diga o primeiro número que lhe
vier à cabeça – que talvez não seja sete. Nessa idade,
as crianças simplesmente não associam o processo de
contar com o de responder à pergunta: “Quantos?”
Para Devlin (Ibidem: 64), é a partir dos quatro anos
que a criança vai perceber que o ato de contar lhes dá
condições de encontrar quantos, uma vez que, nesse
processo, a ordem que é utilizada na contagem não é
importante. “Independentemente de qual objeto seja
o primeiro, segundo etc., o número ao qual você chega é sempre o mesmo”.
Deste modo, traçamos, de acordo com os Parâmetros
Curriculares Nacionais (PCN) – Educação Infantil e
Ensino Fundamental Anos Iniciais (1997) –, alguns
pontos relevantes para a aprendizagem de Matemática no que concerne à noção de quantidade.
Crianças com idade entre zero e três anos começam
a estabelecer as primeiras relações com o mundo e são
as situações do dia-a-dia que permitem que ideias matemáticas vão florescendo e surgindo. Essas ocorrem
através da exploração de objetos e obstáculos (cadeiras, mesas, panos – em que engatinhando ou andando
possam subir, descer, passar por dentro, por fora, por
cima, por baixo); através de jogos e brincadeiras (blocos de madeira ou plástico na construção de torres
e pistas para carrinhos); através da manipulação de
brinquedos que contenham números (telefone, máquinas de calcular, relógios); através de atividades
envolvendo datas de aniversário, idade, calendário. O
importante é que esse trabalho esteja inserido e integrado no cotidiano das crianças.
Da mesma forma, as crianças entre quatro e seis
anos utilizam a contagem em situações do dia-a-dia
que servem para identificar, memorizar, antecipar,
contar, numerar, medir, operar. Nesta faixa etária,
pode-se estabelecer tanto o valor cardinal de conjuntos de objetos (cinco, seis, nove) quanto o valor ordinal de um número (quinto, sexto, nono). Através de
recitação10 de sequências numéricas ou por meio de
uma sucessão de palavras (prática em que a criança se
engana, pára, recomeça e progride), os alunos aprendem e avançam nas aprendizagens.
Exemplos de recitação: jogos de esconder ou de pega, nos quais um dos participantes deve contar, enquanto espera os outros se posicionarem. Brincadeiras e cantigas que incluem diferentes formas de contagem: “a galinha do vizinho bota ovo amarelinho; bota um, bota dois,
bota três, bota quatro, bota cinco, bota seis, bota sete, bota oito, bota nove e bota dez”; um, dois, feijão com arroz; três, quatro, feijão no
prato; cinco, seis, feijão inglês; sete, oito, comer biscoito; nove, dez, comer pastéis” (PCN, 1997 – Educação Infantil).
10
25
26
O pensamento da criança evolui e passa por estágios
e em cada estágio ela tem uma maneira particular de
compreender e explicar as coisas do mundo. Podemos
exemplificar, na figura 1.111, tal afirmativa quando
mostramos a uma criança duas bolachas iguais. Uma
inteira e outra partida em quatro pedaços. A maioria
das crianças por volta dos cinco anos de idade certamente irá dizer que as quantidades de bolachas não
são iguais. Muitas delas acharão que há maior quantidade na bolacha em pedaços. Só quando estão mais
velhas é que reconhecerão quantidades iguais. Tal
situação nos revela que em certos estágios do pensamento as crianças acham que a disposição das partes
altera a quantidade, uma vez que, para elas, nessa faixa etária, pode parecer que a quantidade de bolacha
aumenta se for partida em pequenas porções.
Alguns estudiosos cognitivistas declaram que o
pensamento e o aprendizado da criança desenvolvem-se ligados à observação e investigação do que
está em seu entorno. Quanto mais a criança explora
os aspectos do mundo ao seu redor, mais ela é capaz
de relacionar fatos e ideias, tirar conclusões, pensar e
compreender.
Assim sendo, os números são utilizados em diversas
situações e também apresentam diferentes finalidades
como contar, medir, ordenar e codificar. Em algum
momento da História, o ser humano aprendeu a contar, e foi a contagem que produziu extraordinários
efeitos na evolução dos conhecimentos científicos e
não-científicos acumulados em sua história. Os números constituem ferramentas fundamentais nessa
evolução.
Figura 1.1
2.3 - A Noção de Números Perceptuais
Podemos constatar que o número está presente em
diversas situações do cotidiano e exerce inúmeras
funções: número localizador; número identificador;
número ordenador; número quantificador; número
com significado de quantidade total; número como
final de contagem; cálculo; medida (Lorenzato,
2006)12, e estão sempre acompanhados de noções elementares como: “um depois do outro”, “este se relaciona com aquele”, “isto contém aquilo” entre outras
(Ibidem: 29).
Pesquisas realizadas nas últimas décadas revelaram
que o campo conceitual de número é constituído de
inúmeras variáveis, tais como:
• Correspondência um a um;
• Cardinalidade de um conjunto;
• Ordinalidade na contagem;
• Contagem seriada um a um;
• Contagem por agrupamentos;
• Composição e decomposição de quantidade;
• Reconhecimento de símbolos numéricos;
• Reconhecimento de símbolos operacionais;
• Representação numérica;
• Operacionalização numérica;
• Percepção de semelhanças;
• Percepção de diferenças;
• Percepção de inclusão;
• Percepção de invariância (Ibidem: 29-30).
Entender o conceito de número, portanto, é uma
tarefa difícil, longa e complexa que não satisfaz mais
o ensino de números em que reconhecer numerais era
prerrogativa, uma vez que o contexto em que a criança está inserida já concebe números das mais diferentes formas.
No início da escolaridade, a noção de quantidade é
essencial para o desenvolvimento da construção do
que é número. Entretanto a criança ainda não consegue associar quantidade à ideia de número. Ao compararem números, o fazem em um nível perceptual,
não ultrapassando cinco elementos. Aí entra a noção
de números perceptuais que Piaget denominou de
pequenos números. Tais números são reconhecidos
através da percepção, sem necessitar da estrutura lógico-matemática. São os chamados números até 4 ou
5. Para ele, números perceptuais e números apresentam diferenças.
Até alguns pássaros podem ser treinados para distinguir entre “oo” e “ooo”. Contudo, a distinção entre
“ooooooo” e “oooooooo” é impossível por percepção. Números pequenos, maiores que 4 ou 5, são chamados números elementares (Kamii e DeClark,
2001: 29).
Para Devlin (2006: 60), o cérebro lida de forma distinta com conjuntos que possuem elementos menores
Fonte: http://educar.sc.usp.br/matematica/m4l2.htm. Acesso em 11/11/2008.
A) número localizador pode ser encontrado designando endereço, latitude, distância. B) número identificador está nas datas, nos telefones, nas camisas dos jogadores. C) número ordenador indica o andar do apartamento, a posição obtida num campeonato. D) número
quantificador indica velocidade, consumo, remuneração, altura. E) número com significado de quantidade total (numerosidade) em que é
forte a cardinalidade (na sala estudam 43 crianças). F) número como final de contagem em que é forte a ordinalidade (ele é o 4º filho). G)
número (cálculo) como resultado de operações. H) número (medida) como resultado de mensuração (Lorenzato, 2006: 29).
11
12
que três do que com conjuntos com mais elementos.
Na verdade, nascemos com o senso numérico, pois
reconhecemos a diferença de um grupo com dois ou
três elementos, bem como quando dois elementos são
mais que três.
Os números perceptuais podem se relacionar com
a numerosidade, pois permite determinar certa quantidade com aproximadamente quatro elementos sem
utilizar a contagem.
Quando as crianças indicarem, com segurança, que a
quantidade de elementos de um conjunto não depende da disposição espacial, tipo, cor, forma e tamanho, então será conveniente aumentar a quantidade
até nove elementos e refazer as comparações já feitas
com os conjuntos menores. (...) Considerando que
muitas crianças, antes de iniciarem sua vida escolar,
já conhecem o nome dos números, é importante que o
professor não deixe esse conhecimento camuflar o ob-
jetivo das comparações entre quantidades, pois para
compará-las não é necessário conhecer os numerais,
nem seus nomes; e mais, o fato de a criança ordenar
corretamente os numerais de um a nove não significa
que ela esteja compreendendo o que é número. (...)
lembrando que símbolo (numeral) é representação de
ideia (número) (LORENZATO, 2006: 31).
Vale ressaltar que a ideia de quantidade perpassa por
todas as atividades e situações em que a criança se
depara, seja no ambiente escolar, seja no cotidiano.
E essa ideia encontra-se no plano do observável e
manipulável, enquanto número encontra-se no plano
do abstrato e, “como tal, só o próprio aprendiz poderá consegui-lo, realizá-lo, adquiri-lo, percebê-lo
ou construí-lo, pois o número não está nos objetos
(como cor, forma, dimensão, posição), mas na mente
de quem percebe ou cria uma relação entre objetos,
eventos, situações ou ações” (Ibidem: 33).
2.4 - As Operações de Classificação e Seriação
O conceito de número baseia-se na formação e sistematização da mente em duas operações: classificação
e seriação, constituindo-se estruturas cujas leis são
definidas para o lógico e o matemático. Só o fato de
observá-las não garante que as crianças as compreendam, assim, cabe ao professor oferecer, a partir da
Educação Infantil, diversas situações e trabalhar com
elas a fim de que possibilitem a elaboração das operações citadas.
Enquanto a classificação enfatiza as semelhanças
entre os objetos, a seriação enfatiza as diferenças entre eles. São considerados processos mentais básicos
na aprendizagem da Matemática e, enquanto a criança não dominá-los, certamente encontrará enormes
dificuldades em aprender números e contagens.
Vejamos o que significa cada uma dessas operações,
que podem se referir a objetos, situações ou ideias.
Classificação é um processo de identificação de critérios e categorias, uma vez que “envolve organizar
elementos em grupos baseados em suas semelhanças.
Um dos elementos fundamentais da classificação é
identificar as regras que governam o tipo ou a categoria dos membros” (Marzano, Pickering &
Pollock, 2001: 22).
As operações de classificação são usadas em separações de cores, tamanhos, formas, espessuras. Como
também podem ser utilizadas na escola em “distribuição dos alunos por séries; arrumação de mochila
ou gaveta; dadas várias peças triangulares e quadriláteras, separá-las conforme o total de lados que possuem” (Lorenzato, 2006: 26). Alguns materiais,
como sucata, brinquedos, objetos escolares, blocos
lógicos entre tantos outros permitem a observação de
atributos e o levantamento de semelhanças e diferenças.
Para classificar, utilizamos relações de pertinência,
quando relacionamos cada elemento com a classe
a qual pertence (um CD fica no monte de samba, o
outro no de jazz) e inclusão de classes, quando relacionamos uma subclasse com a classe maior (CD de
samba fica na pilha de música popular, o outro na de
música erudita), estabelecendo, portanto, uma relação
entre a parte e o todo.
O trabalho com classificação deve ser desenvolvido
com o currículo em espiral, iniciando na Educação
Infantil e continuando progressivamente de forma
mais complexa no Ensino Fundamental, pois “além
da integração, é preciso trabalhar o mesmo assunto
apresentando-o e reapresentando-o diversas vezes,
mas com variação do contexto” (Marzano, Pickering & Pollock, 2008: 28).
Seriação é o processo pelo qual se comparam os objetos e se estabelecem as diferenças entre eles. Origina a gênese do número, a noção de quantificação e faz
parte da gênese das estruturas lógicas elementares. “É
o ato de ordenar uma sequência segundo um critério.
Podem ser trabalhados no meio educacional em: fila
de alunos, do mais baixo ao mais alto; lista de chamada de alunos; numeração das casas nas ruas; calendário; loteria federal” (Lorenzato, 2006: 26).
Desde o período sensório-motor, a seriação se encontra presente, já que é “a partir do momento em que
27
28
as diferenças passam a ser consideradas pelo bebê ao
construir uma torre colocando cubos em ordem de tamanho decrescente, ou mesmo mais tarde quando este
faz seus primeiros encaixes” (Maçada, 1996).
A criança antes de intercalar elementos, por uma série constituída passa por fases intermediárias, onde
primeiramente ela fracassa na seriação de dez elementos, depois avança contrapondo pares ou série de
três elementos coordenando-os. Assim a criança vai
realizando a seriação, mas por tentativas empíricas
conseguindo intercalar elementos intervalares após
novas tentativas (podemos aproximar a ideia de ensaio e erro, até a solução do problema). Já na terceira
fase a criança consegue intercalar elementos através
do método sistemático; só este método que nos leva a
considerá-la operatória na ação de seriar. No método
sistemático, vemos a criança apresentar a reversibilidade operacional e a capacidade de intercalar diretamente, sem vacilações, os elementos suplementares.
Uma vez atingido o método sistemático, este é suscetível de ser generalizado (Ibidem).
A criança alinha objetos num processo evolutivo,
que Maçada estabeleceu com as seguintes fases: IA
– por volta dos quatro anos de idade, não há ensaio
de ordenação dos elementos; IB – por volta dos cinco
anos de idade, começa a realizar pequenas séries sem
coordenação; II – por volta dos seis anos de idade,
consegue êxito, através de tentativas, em intercalar
elementos; III – por volta dos sete, oito anos de idade, consegue êxito através da utilização do método
sistemático13.
Deparamo-nos com dois tipos de seriação feitos pelas crianças: Seriação Visual e a Seriação Tátil. Na
primeira, a criança, através da visualização do objeto, estabelece diferenças entre os elementos. E na
segunda, é através da percepção tátil dos elementos
que a criança os intercala, explorando os objetos com
os dedos, estabelecendo, assim, suas diferenças. O
fracasso com a seriação ocorre em alguns momentos,
por não possibilitarem às crianças ambientes com ati-
vidades que permitam a exploração sobre esses objetos, já que “as estruturas seriais são construídas por
ações efetivas de uma organização progressiva das
ações da criança, que também incluem as percepções
e comparações sucessivas entre os elementos dados”
(Ibidem).
Assinalamos a seguir algumas atividades que favorecem o desenvolvimento das operações de classificação e seriação, de acordo com Maçada (Ibidem).
• Organizar cinco, dois ou três grupos com as cadeiras da sala.
• Comparar o grupo de meninos e meninas.
• Distribuir merendas, observando como esta tarefa
é realizada, podendo desafiar as crianças a distribuir
de forma igual certa quantidade de biscoitos, bolo,
balas, pirulitos.
• Propor a ida a um supermercado em que cada
criança terá a tarefa de comprar pirulitos ou balas
para certa quantidade de pessoas. Deve-se observar
como a criança a realiza e se usa a relação termo-atermo para efetuar a compra.
• Construção de gráficos sobre as letras do nome;
quantidade de pessoas da família; meio de transporte
utilizado para ir à escola; mês de nascimento; idade;
altura; cor dos olhos; cabelos em que os dados obtidos são explorados e analisados com os alunos.
• Construir um álbum de nomes mostrando quais as
diversas maneiras de mostrar quantas letras tem os
nomes.
• Com crianças de dois a três anos é possível construir uma chamadinha com um desenho duplicado de
bicho de EVA, por exemplo, para cada criança (dois
cachorros, dois macacos, dois tigres). A cada dia
pode-se fazer a chamadinha de uma maneira: desenhos com a figura para baixo em que a criança precisa
encontrar o seu (tipo memória), ou virados para cima
bem misturados e solicitando que achem os bichos
referentes ao seu nome. Ou ainda, enfileirar os desenhos, recolhendo um deles e solicitar que descubram
qual está faltando.
2.5 - Grandezas e Medidas
Medir é uma importante aplicação de número e
uma habilidade que permeia as atividades comuns da
criança, além de estar na origem do pensamento matemático. Assim, medir grandezas tem por objetivo
quantificar o mundo que nos rodeia.
Deparamo-nos o tempo todo com objetos, pessoas
e situações que possuem tamanhos, pesos, volumes,
temperaturas, capacidades diferentes assinaladas
como: comprido, curto, longe, perto, mais baixo,
mais alto, mais velho, mais novo, grande, pequeno,
quente, frio, muito, pouco, pesa meio quilo, mede três
metros, a velocidade é de 90 quilômetros por hora entre outros, possibilitando, deste modo, que as crianças
de maneira informal, façam contato com essas grandezas, estabelecendo relações, fazendo comparações
e construindo representações.
Ao comparar grandezas de mesma natureza, nasce a
ideia de medida e o desenvolvimento de métodos para
o uso adequado de instrumentos, como balança, fita
métrica, relógio, recipientes de um litro, entre outros,
Método Sistemático consiste em identificar, primeiro, o elemento menor (ou maior) de todos, depois o menor dos que restaram e assim
sucessivamente, pois testemunha que um elemento qualquer X é, ao mesmo tempo, maior do que os precedentes e menor do que os seguintes (numa ordem decrescente). É também um método antecipatório, pois o sujeito sabe que ao procurar o menor elemento dos elementos
restantes constituíra uma série. Este é o caráter antecipatório do esquema de seriação (Maçada, 1996).
13
o que atribui acentuado caráter prático às grandezas
e medidas.
É na convivência com situações informais e experiências intuitivas que a criança constrói representações
mentais que permitem, por exemplo, terem noção que
comprimentos como 10, 20, 30 centímetros são possíveis em uma régua; que um quilo é equivalente ao
pacote pequeno de açúcar ou que dois litros correspondem a uma garrafa de refrigerante. Tais representações mentais favorecem as estimativas e o cálculo,
evitando erros e permitindo que as crianças estabeleçam relações entre as unidades usuais, mesmo não
tendo total compreensão dos sistemas de medidas.
Grandezas mensuráveis (tempo) como o dia, a noite,
os dias da semana, os meses, o hoje, o amanhã, a hora
do jantar, a hora do colégio, o antes, o agora, o depois, com as quais as crianças estão envolvidas desde
muito cedo, exigem relações de outra natureza, assim
como as medidas de massa, capacidade, temperatura
entre outros, o que não garante a compreensão plena
dos procedimentos de medida nessa faixa etária.
Para tanto, é importante que ao longo do trabalho o
professor inicie práticas e situações diferentes que lidem com grandezas físicas para as crianças poderem
ampliar, aprofundar e construir novos sentidos para
seus conhecimentos, por exemplo:
• Atividades de culinária (envolvendo um trabalho com diferentes medidas – tempo de cozimento,
quantidade dos ingredientes – litro, colher, xícara,
pitada).
• Uso de calendários, observando regularidades,
características (sete dias por semana, quantidade de
dias em cada mês), marcando tempo para um evento,
festas, aniversário.
• Manipulação do sistema monetário – dinheiro
(que atende várias finalidades didáticas – fazer trocas, comparar valores, fazer operações, resolver
problemas, características dos números naturais e
decimais –, bem como incentiva a contagem, o cálculo mental e estimativa).
O professor também pode criar situações para as
crianças pesquisarem outras formas de medir, pro-
porcionando oportunidades de buscarem, em casa,
instrumentos diversificados. Porém é imprescindível
utilizar uma unidade padronizada devido à necessidade de comunicação entre as crianças, uma vez que o
uso de diversas unidades de medida obterá diferentes
medidas de um único objeto. Para efetuar uma medição, devemos escolher uma unidade de medida de
mesma natureza da grandeza que queremos medir,
pois somente grandezas de mesma natureza podem
ser comparadas.
Com crianças do Ensino Fundamental, o conceito
de grandezas e medidas é ampliado, já que as habilidades para o uso de instrumentos apropriados para
medir diversas grandezas vão-se refinando gradativamente. É necessário que construam a unidade-padrão,
para perceberem que certos comprimentos, ou outros
tipos de medidas não são mensuráveis com apenas
uma única unidade, e que a partir de uma podemos
criar outras. Assim, vão começar a perceber a adequação das unidades de medida às grandezas que se
deseja medir e a descobrir as equivalências entre as
unidades criadas em um mesmo sistema de medida.
Para isso, é importante que se proponha situações que
permitam às crianças estabelecer relações entre unidades de medidas e utilizar múltiplos e submúltiplos
das unidades fundamentais, enfatizando apenas as
unidades mais comuns no cotidiano das mesmas.
Por fim, devemos estabelecer uma relação entre a
medida de uma dada grandeza e um número, uma vez
que é através deste que a criança ampliará o conjunto
numérico e compreenderá a necessidade de conhecer
números fracionários, negativos e outros.
Como percebemos, as grandezas e as medidas se
encontram presentes tanto na vida quanto na sociedade em que vivemos. Assim sendo, o papel que desempenham no currículo é de extrema relevância, já
que permitem que o aluno utilize este conhecimento
no dia-a-dia. Percebemos também que atividades que
utilizam e exploram as noções desses conceitos permitem melhor compreensão dos conceitos de espaço
e forma, bem como a ideia de proporcionalidade, escala, abordagens históricas e significados de números
e suas operações.
2.6 - Espaço e Forma
A criança da Educação Infantil percebe o espaço de
modo fundamentalmente prático, pois as primeiras
noções espaciais são construídas a partir dos sentidos
e dos movimentos. Esse espaço perceptivo, em que
o conhecimento dos objetos resulta de um contato
direto com eles, possibilita a construção do espaço
representativo que pode torná-los presentes em sua
ausência.
Quando a criança, gradativamente, se conscientiza
dos movimentos do próprio corpo e do seu deslocamento, ela desenvolve a capacidade de deslocar-se
mentalmente e de perceber o espaço sob diversos
pontos de vista, que são condições necessárias à coordenação espacial, produzindo, dessa forma, origem
às noções de direção, sentido, distância, ângulo e
várias outras essenciais à construção do pensamento
geométrico.
29
30
Portanto a Geometria é, inicialmente, o conhecimento imediato da nossa relação com o espaço, começando com a visão e caminhando em direção ao
pensamento, indo do que pode ser percebido para o
que pode ser concebido. Consequentemente, os problemas instituídos por esse conhecimento nos levam
à construção progressiva do saber geométrico.
O professor deve proporcionar, desse modo, atividades que desafiem as crianças, tais como construir, deslocar-se, desenhar, bem como as comunicações entre
essas ações, que exploram o espaço ao seu redor. Essa
exploração espacial deve acontecer com a contribuição do adulto e com a interação entre as crianças por
meio de jogos e brincadeiras, por exemplo.
Por conseguinte, citamos algumas relações espaciais
que são estabelecidas pelas crianças:
• Contato e manipulação dos objetos: a criança identifica quantidade, tamanho e forma – (formas geométricas) quando as crianças observam obras de arte,
artesanato, construções de arquitetura, pisos, mosaicos, vitrais de igreja, formas encontradas na natureza
em flores, folhas, casas de abelha, teias de aranha,
corpos geométricos como modelos de madeira, cartolina, plástico e ainda suas planificações entre tantas
outras.
• Noções de orientação como proximidade, interioridade e direcionalidade: a criança deve situar a posição de objetos ou pessoas, paradas ou em movimento,
favorecendo, assim, a percepção do espaço que está
fora ou distante dela.
• Observação de pontos de referência adotados pela
criança: por exemplo, através de jogos em que seja
possível a criança se movimentar ou movimentar objetos.
Para tanto, é necessário que sejam oferecidas atividades que possibilitem o desenvolvimento de habilidades, procedimentos e estratégias que permitam
observar, descrever e representar informações, tais
como:
• Desenhar objetos sob diversos ângulos: de cima,
de baixo, de lado, de frente;
• Observação do espaço tridimensional e da elaboração dos meios de se comunicar a respeito desse espaço: construções com blocos de madeira, maquetes,
painéis. (podem ser usados inúmeros materiais: areia,
massa de modelar, argila, pedras, folhas, troncos de
árvores, caixas de papelão, embalagens, blocos geométricos de diferentes formas, espessuras, volumes e
tamanhos, ou ainda com estruturas de encaixe entre
tantos outros).
• Uso de fotos, figuras, mapas: realizar passeios dentro da escola, próximo a ela ou a lugares específicos
(praia, feira, praça, campo).
Como abordado anteriormente em grandezas e medidas, no Ensino Fundamental, essas noções vão-se
ampliando, evoluindo e expandindo. As crianças já
são capazes de compreender termos como esquerda,
direita, giro, distância, deslocamento, acima, abaixo, ao lado, na frente, atrás, perto. Como também
constroem itinerários a partir de instruções dadas;
utilizam malhas, diagramas, tabelas e mapas; reconhecem algumas figuras geométricas através das formas e aparência física na sua totalidade; compõem
e decompõem figuras, percebem simetrias; reconhecem figuras tridimensionais (cubos, paralelepípedos,
esferas, cilindros, cones, pirâmides) e bidimensionais
(quadrados, retângulos, círculos, triângulos, pentágonos), identificando suas propriedades; desenvolvem
trabalhos com dobraduras, recortes, espelhos, empilhamentos, modelagem de formas em argila ou massa; constroem maquetes e descrevem o que nelas está
representado.
Desse modo, a integração e a aplicação da Geometria em outros campos do conhecimento permitem
instigar ideias e propor aplicações práticas para as
crianças poderem enfrentar problemas reais, que são,
em sua maioria, de natureza interdisciplinar. O trabalho feito a partir de exploração de objetos do mundo
físico, de obras de arte, pinturas, desenhos, escultura
e artesanato vai proporcionar aos alunos estabelecerem conexões entre a Matemática e outras áreas do
conhecimento.
Desafios Intrigantes14
1) Não pense muito e responda o mais rápido que puder:
1 – 1?
4–1?
8–7?
15 – 12?
Agora escolha o primeiro número que vier a sua mente que esteja entre 12 e 5 e escreva-o.
2) Da mesma forma, sem parar para pensar, diga qual é o maior para cada par de números escritos a seguir:
1 e 50
5e4
25 e 24
14
Adaptados de Devlin (2006: 34,35, 296) – Observações no gabarito.
3) Observe a seguinte situação hipotética:
Um garoto usou uma nota de 200 reais para efetuar uma compra no valor total de 35 reais. Fez seus cálculos
mentalmente e verbalizou seu pensamento da seguinte maneira:
Se fosse trinta, então o resultado seria setenta. Mas é trinta e cinco. Então, é sessenta e cinco. Cento e sessenta
e cinco.
Utilizando outros valores, escreva como você elabora o pensamento numérico para efetuar os cálculos em
situações semelhantes ou verbalize para um colega. Lembrando que é preciso realizar o cálculo mental sem
utilizar nenhum recurso como calculadora ou lápis e papel. Interessante se você comparar seus resultados com
os dos colegas e até com crianças ou adolescentes.
Leituras Complementares
CARDOSO, Virgínia Cardia. Materiais didáticos para as quatro operações. 3. ed. São Paulo: IME-USP,
1996.
DEVLIN, Keith. O Gene da Matemática. 3. ed. Rio de Janeiro: Record, 2006.
LORENZATO, Ségio. Educação Infantil e Percepção Matemátcia. Campinas, SP: Autores Associados, 2006.
(Coleção Formação de Professores).
NASSER, Lilian. Geometria segundo a teoria de Van Hiele. 3.ed. Rio de Janeiro: Projeto Fundão – IM/UFRJ,
1998.
OCHI, Fusako Hori; PAULO, Rosa Monteiro; YOKOYA, Joana Hissae; IKEGAMI, João Kazuwo. O uso de
quadriculados no ensino da Geometria. 3.ed. São Paulo: IME-USP, 1996.
SMOLE, Kátia C. Stocco; DINIZ, Maria Ignez. O conceito de ângulo e o ensino de Geometria. 2. ed. São
Paulo: IME-USP, 1996.
SOUZA, Eliane R.; DINIZ, Maria Ignez; PAULO, Rosa Monteiro; OCHI, Fusako Hori. A Matemática das sete
peças do tangram. 2.ed. São Paulo: IME-USP, 1996.
SITES RECOMENDADOS
http://forum.swarthmore.edu/
Informações e grupos de discussão com ênfase na Educação Matemática.
http://www.ime.usp.br/lem
Laboratório de Ensino da Matemática – LEM/IME - USP.
http://matematicando.pro.br
Sites com jogos, oficinas, história e exercícios.
http://somatematica.com.br
Diversos assuntos sobre Matemática.
31
32
UNIDADE III
Estratégias Pedagógicas que Possibilitam
a Construção dos Conceitos Fundamentais
da Matemática
3.1 - O Problema como Ponto de Partida da Atividade
Matemática
De acordo com Echeverría (1998: 45), resolver problemas faz parte da Matemática e do fazer matemático, uma vez que “a complexidade do mundo atual faz
com que esse tipo de conhecimento seja uma ferramenta muito útil para analisar certas tarefas mais ou
menos cotidianas”.
Uma das formas mais acessíveis para levar os alunos
a aprender a aprender é a solução de problemas. Para
Pozo (1998: 99), “é preciso tornar os alunos pessoas
capazes de enfrentar situações e contextos variáveis,
que exijam deles a aprendizagem de novos conhecimentos e habilidades”. Ele define que:
A solução de problemas baseia-se na apresentação de
situações abertas e sugestivas que exijam dos alunos
o domínio de procedimentos, assim como a utilização dos conhecimentos disponíveis, para dar resposta
a situações variáveis e diferentes. Assim, ensinar os
alunos a resolver problemas supõe dotá-los da capacidade de aprender a aprender, no sentido de habituá-los a encontrar por si mesmos respostas às perguntas
que os inquietam ou que precisam responder, ao invés de esperar uma resposta já elaborada por outros
e transmitida pelo livro-texto ou pelo professor (Ibidem: 09).
A resolução de problemas já vem sendo analisada,
discutida, e estudada há tempos, inclusive pelos educadores matemáticos, daí seu imenso valor no meio
educacional e no ensino de Matemática. Observemos,
de acordo com Dante (1999: 7-8), o que alguns teóricos comentam:
A real justificativa para se ensinar Matemática é que
ela é útil e, em particular, auxilia na solução de muitas espécies de problemas. (Begle)
A razão principal de se estudar Matemática é para
aprender como se resolvem problemas. (Lester Jr.)
A resolução de problemas foi e é a coluna vertebral
da instrução matemática desde o Papiro de “Rhind”.
(Polya)
Aprender a resolver problemas matemáticos deve ser
o maior objetivo da instrução matemática. Certamen-
te outros objetivos da Matemática devem ser procurados, mesmo para atingir o objetivo da competência
em resolução de problemas. Desenvolver conceitos
matemáticos, princípios e algoritmos através de um
conhecimento significativo e habilidoso é importante.
Mas o significado principal de aprender tais conteúdos matemáticos é ser capaz de usá-los na construção
das soluções das situações-problema. (Hatfield)
O currículo de Matemática deve ser organizado em
torno da resolução de problemas. (NCTM – Conselho Nacional de Professores de Matemática, EUA,
1980)
No mundo em que vivemos, resolver problemas
não se restringe apenas em resolver exercícios ou
problemas com soluções predeterminadas, mas “num
processo dinâmico e participativo em que o indivíduo necessita de todo o seu conhecimento já adquirido na vida, no trabalho” (Grando, 1995: 76).
Dessa forma, a essência da resolução de problemas
encontra-se “no processo de criação de estratégias e
na análise, processada pelo sujeito, das várias possibilidades de resolução” (Ibidem). Consequentemente, a escola deve dar prioridade aos processos, no desenvolvimento do sujeito, e não somente ao produto
final – a solução, permitindo, de tal forma, um aluno
“que atue, pense, questione, se arrisque, transforme e
ouse propor soluções aos vários problemas que surgem, redimensionando sua forma de atuação na sociedade atual” (Ibidem).
A referida metodologia permite ainda, de acordo
com Borin (1996: 09), o desenvolvimento de habilidades envolvidas no processo ensino-aprendizagem
como: ”tentar, observar, analisar, conjecturar, verificar”, compondo, igualmente, o raciocínio lógico “que
é uma das metas prioritárias do ensino de Matemática
e característica primordial do fazer ciência”.
Algumas maneiras de resolver problemas aparecem naturalmente durante as atividades matemáticas.
Quando o aluno se depara com a solução de um problema, ele apresenta uma atitude ativa e um esforço
na busca de respostas e na busca do próprio conhecimento. Verificamos também, segundo Pozo (1998:
22) que há uma série de “procedimentos e habilida-
des que são comuns a todos os problemas e que todas
as pessoas colocam em ação com maior ou menor
competência”, pois para ele, na resolução de qualquer problema, é preciso: prestar atenção, recordar
e relacionar entre si certos elementos levando-se em
consideração uma determinada ordem para podermos
alcançar o objetivo proposto.
Segundo Dante (1999), para relacionar a importância
dos objetivos da resolução de problemas no processo
de construção de conceitos matemáticos deve-se:
• Fazer o aluno pensar produtivamente: Se apresentarmos situações-problema que envolvam, motivem e
desafiem o aluno a querer resolvê-las, estaremos atingindo a meta desejada.
• Desenvolver o raciocínio do aluno: Quando o aluno desenvolve a habilidade de elaborar um raciocínio
lógico e usa com inteligência e eficácia os recursos
disponíveis, ele pode propor boas soluções aos problemas que surjam quer na vida escolar, quer no cotidiano.
• Ensinar o aluno a enfrentar situações novas: Diante de tantos avanços tecnológicos, as crianças devem
estar preparadas para lidar com situações inovadoras.
Portanto é preciso desenvolver no aluno a iniciativa,
o espírito explorador, a criatividade e a independência.
• Dar ao aluno a oportunidade de se envolver com as
aplicações da Matemática: Logo de início, os alunos
tendem a detestar ou se tornam indiferentes à disciplina. Isso se deve ao exagero no treino de algoritmos
e regras desvinculados de situações reais que pouco
exigem um raciocínio ou um modo de pensar matemático para resolvê-los. Não basta que os alunos
resolvam mecanicamente a operação, é preciso saber
como e quando usá-las convenientemente na resolução de situações-problema.
• Tornar as aulas de Matemática mais interessantes
e desafiadoras: O objetivo aqui é fazer com que os
alunos trabalhem de modo ativo – individualmente ou
em grupo. Eles devem ser incentivados e orientados
pelo professor na aventura de buscar a solução de um
problema que os desafie, em vez de ficar naquele esquema de explicar e repetir. Um bom problema pode
despertar a curiosidade do aluno e desencadear um
comportamento de pesquisa, diminuindo sua passividade e conformismo.
• Equipar o aluno com estratégias para resolver problemas: Aqui precisamos desenvolver determinadas
estratégias que, às vezes, se aplicam a um número
grande de situações. Por conseguinte, auxiliará na
análise e na solução de situações em que elementos
desconhecidos são procurados.
• Dar uma boa base matemática às pessoas: O mercado de trabalho hoje requer pessoas que sabem tomar
decisões rápidas e precisas, que têm iniciativa, criatividade, independência. Para isso é necessário formar
cidadãos matematicamente alfabetizados que tenham
autonomia de pensamento. E a resolução de problemas ajuda a desenvolver desde cedo a capacidade de
enfrentar situações-problema em qualquer área.
A resolução de problemas requer domínio de técnicas e estratégias adequadas, já que permite o “desenvolvimento de habilidades de raciocínio como organização, atenção e concentração” (Borin, 1996: 08),
possuindo uma postura crítica diante de situações que
demandam respostas e contribuindo para a construção e organização do pensamento lógico-matemático.
De uma perspectiva cognitivista, problemas servem
para formar, enriquecer e reorganizar os conceitos
matemáticos existentes.
3.2 - O Problema como Estruturador de uma Situação
que Deve Ser Resolvida
Vamos analisar como devemos resolver problemas,
quais estratégias e técnicas utilizar para podermos
alcançar os objetivos propostos anteriormente. Não
podemos deixar de levar em conta os vários conhecimentos, habilidades e competências que aparecem
ao longo das atividades denominadas problemas, uma
vez que alguns autores instituem alguns tipos e, por
trás desses, Pozo (1998) especificamente afirma que
diferentes
(...) problemas exigem o acionamento de uma série
de capacidades de raciocínio e de habilidades comuns que precisariam adaptar-se às características
de cada tipo de problema. As diferenças individuais
na maneira de resolver problemas não seriam devi-
do tanto a diferenças nas capacidades das pessoas,
como a diferenças entre as tarefas e a diferenças na
aprendizagem dos alunos que as resolvem. Nesse
sentido, a aprendizagem contribuiria para que o aluno se adaptasse cada vez melhor à estrutura da tarefa
(POZO, 1998: 19).
O referido teórico ainda os classifica de várias maneiras, pois defende, por exemplo, que para diferenciar um problema do tipo indutivo de um dedutivo
vai depender do raciocínio necessário na resolução do
mesmo. Para ele,
(...) existem inúmeras classificações das possíveis
estruturas dos problemas, tanto em função da área a
33
qual pertence e do conteúdo dos mesmos, como do
tipo de operações e processos necessários para resolvê-los, ou de outras características. (...) Fazer a demonstração de uma fórmula matemática poderia ser
um exemplo de problema dedutivo, enquanto estabelecer regularidades no comportamento dos objetos
em função do seu peso seria um problema do tipo
indutivo. (Ibidem, 1998: 20).
34
diante de um problema, mas, quando já o tiver resolvido diversas vezes, o problema ficará reduzido a um
exercício (POZO, 1998: 16).
Por sua vez, Dante (1999)15 classifica os tipos de
problemas em: exercícios de reconhecimento; exercícios de algoritmos; problemas-padrão (simples e
compostos); problemas-processo ou heurísticos; problemas de aplicação; problemas de quebra-cabeça.
Entretanto, tais técnicas nem sempre representam
um recurso eficaz para chegarmos à solução de um
problema, uma vez que essas exigem atitudes, conceitos específicos, estratégias que temos dificuldades
em expressá-las ou descrevê-las, como nos explica
Lester (1983)16. Faz-se necessário, desta forma, investigar como as pessoas chegam a essa ou aquela
resolução, para podermos, então, entender melhor e
aprimorar os processos que estão envolvidos na solução de problemas.
Em contrapartida, vale ressaltar, segundo Pozo
(1998) e Dante (1999), a distinção entre exercício –
caracterizado por uma situação resolvida rapidamente
utilizando-se, na maioria das vezes, de procedimentos
automáticos –, e problema, que exige sempre um processo de reflexão, tomada de decisão.
Para tanto, sugerimos como recursos as etapas que
tanto Polya (1945) quanto outros autores constituíram
como principais na resolução de problemas – quadro
1.1; técnicas que colaboram na compreensão de problemas – quadro 1.2; e procedimentos ou estratégias
que surgem na solução dos mesmos – quadro 1.3.
De forma sintética, podemos dizer que a realização
de exercícios se baseia no uso de habilidades ou técnicas sobreaprendidas (ou seja, transformadas em
rotinas automatizadas como consequência de uma
prática contínua). Limitamo-nos a exercitar uma técnica quando enfrentamos situações ou tarefas já conhecidas, que não representam nada de novo e que,
portanto, podem ser resolvidas pelos caminhos ou
meios habituais. Escrever estas linhas num computador, usando o programa de editor de textos que usamos habitualmente – e que foi sobreaprendido – é um
simples exercício. (...) Para tanto, deveríamos encontrar-nos numa situação na qual, propondo-nos um objetivo (por exemplo, inserir referências bibliográficas
procedentes de um fichário em uma base de dados),
desconhecêssemos a forma ou o caminho para alcançar esses objetivos e tivéssemos que buscá-lo a partir
de procedimentos ou técnicas que conhecemos ou
dominamos. Assim, um problema é de certa forma,
uma situação nova ou diferente do que já foi aprendido, que requer a utilização estratégica de técnicas já
conhecidas. O aluno que enfrenta pela primeira vez a
tarefa de comparar duas sequências cronológicas ou
calendários históricos diferentes pode encontrar-se
Dante (1999: 22) entende que tais etapas “não são
rígidas, fixas ou infalíveis”, pois somos nós, educadores, que devemos adaptá-las à prática utilizada no diaa-dia de sala de aula de acordo com as especificidades
de cada criança, cada grupo e cada região.
Além da compreensão do problema, o aluno precisa
estar disponível para resolvê-lo, ou seja, “compreender um problema implica dar-se conta das dificuldades e obstáculos apresentados por uma tarefa e ter
vontade de tentar superá-las” (Pozo, 1998: 22).
Percebemos em Charnay (1996: 40) que existem
estratégias de aprendizagem para estabelecer um esquema sobre a utilização da resolução de problemas.
Tais estratégias se resumem em três modelos de referência: normativo (centrado no conteúdo), iniciativo
(centrado no aluno) e aproximativo (centrado na construção do saber pelo aluno). Segundo ele, um docente
não “utiliza exclusivamente um dos modelos; que o
ato pedagógico em toda a sua complexidade utiliza
elementos de cada um deles (...), cada professor faz
uma escolha, consciente ou não”. Descrevemos esses
modelos logo após os quadros sugeridos acima.
Exercício de reconhecimento: são exercícios para reconhecer, identificar ou lembrar um conceito, fato, definição, propriedade. Exercícios
de algoritmos: podem ser resolvidos passo a passo e tem como objetivo treinar a habilidade em executar um algoritmo e reforçar conhecimentos anteriores. Problemas-padrão: objetiva recordar e fixar fatos básicos através dos algoritmos, além de reforçar o vínculo entre as
operações e o emprego de situações do dia-a-dia. Problemas-processo ou heurísticos: são aqueles cuja solução envolve operações que não
estão contidas no enunciado. Em geral, não podem ser traduzidos diretamente para a linguagem matemática, nem resolvidos pela aplicação
automática de algoritmos, pois exigem do aluno um tempo para pensar e arquitetar um plano de ação, uma estratégia. Problemas de aplicação: estes retratam situações do dia-a-dia e exigem o uso da Matemática para serem resolvidos. São chamados de situações-problema.
Problemas de quebra-cabeça: estes constituem a chamada Matemática recreativa e sua solução depende, quase sempre, de um golpe de
sorte ou de algum truque.
16
Procurar explicar o que fazemos para resolver um problema, o que deve ser feito, é como tentar explicar a um amigo que jamais
andou de bicicleta quais são os movimentos e equilibrismos que realizamos normalmente para que a bicicleta não somente se mantenha de pé, mas, além disso, nos transporte na direção que desejamos, na velocidade que nossas forças e o terreno permitam. No
entanto, apesar da dificuldade para expressar nossas ações, nosso procedimentos, parece que muitas pessoas aprendem a andar de
bicicleta e a maneira como andam pode ser diferente em função de como tenham aprendido a fazê-lo e de como lhes foi ensinado.
15
Quadro 1.1. Passos necessários para resolver um
problema, segundo Poya17
Compreender o problema
• O que se pede no problema? Quais são os dados?
• Qual é a condição? A condição é suficiente? Redundante? Contraditória?
• É possível fazer uma figura, um esquema ou um
diagrama?
• É possível estimar resposta?
Conceber um plano
• Qual é o seu plano para resolver o problema?
• Que estratégia você tentará desenvolver?
• Já encontrou um problema semelhante? Ou já viu
o mesmo problema proposto de maneira um pouco
diferente?
• Conhece um problema relacionado com este?
• Este é um problema relacionado com o seu e que já
foi resolvido? Você poderia utilizá-lo? Poderia usar o
seu resultado? Poderia empregar o seu método? Considera que seria necessário introduzir algum elemento
auxiliar para poder utilizá-lo?
• Poderia enunciar o problema de outra forma? Poderia apresentá-lo de forma diferente novamente?
• Se não pode resolver o problema proposto, tente
resolver primeiro algum problema semelhante. Poderia imaginar um problema análogo ou um pouco mais
acessível? Um problema mais geral? Um problema
mais específico? Pode resolver parte do problema?
• Empregou todos os dados? Empregou toda a condição? Considerou todas as noções essenciais concernentes ao problema?
• Tente organizar os dados em tabelas e gráficos.
Executar o plano
• Execute o plano elaborado, verificando-o passo a
passo. Comprove cada um dos passos.
• Pode ver claramente que o passo é correto? Pode
demonstrá-lo?
• Efetue todos os cálculos indicados no plano.
• Execute todas as estratégias pensadas, obtendo várias maneiras de resolver o mesmo problema.
Visão retrospectiva
• Pode verificar o resultado? Pode verificar o raciocínio? Estão corretos?
• Pode obter o resultado de forma diferente? Pode
vê-lo com apenas uma olhada? Você pode empregar o
resultado ou o método em algum outro problema?
Quadro 1.2. Algumas técnicas que ajudam a compreender melhor os problemas18
• Fazer perguntas do seguinte tipo:
Existe alguma palavra, frase ou parte da proposição
que não entendo?
Qual a dificuldade do problema?
Qual a meta?
Quais são os dados que estou usando como ponto
de partida?
Conheço algum problema similar?
• Tornar a propor o problema usando seus próprios termos.
• Explicar aos colegas em que consiste o problema.
• Modificar o formato da proposição do problema.
• Quando for muito geral, concretizar o problema usando exemplos.
• Quando for muito específico, tentar generalizar
o problema.
Quadro 1.3. Alguns procedimentos heurísticos de
solução de problemas19
• Realizar tentativas por meio de ensaio e erro.
• Dividir o problema em subproblemas.
• Estabelecer submetas.
• Decompor o problema.
• Procurar problemas análogos.
• Partir do conhecido até o desconhecido.
Modelo 1 – O problema como critério de aprendizagem (modelo chamado “normativo”)20
Mecanismos
Sentidos
• lições (aquisições)
• exercícios (exercitação)
• problemas (utilização dos
conhecimentos pelo aluno,
controle pelo professor.
• Conduz com frequência a estudar tipos de problemas em que o aluno se confronta com uma nova situação, um novo problema e pergunta se já resolveu um
do mesmo tipo.
• É o modelo de referência de numerosos manuais,
tendo como ideia subjacente que é necessário partir
do fácil, do simples, para ter acesso ao complexo,
Quadro adaptado de POZO, Juan Ignacio (org.). A Solução de Problemas: aprender a resolver, resolver para aprender. Porto Alegre:
Artmed, 1998: 23; e DANTE, Luiz Roberto. Didática da Resolução de Problemas de Matemática. 12.ed. São Paulo: Editora Ática, 1999:
29.
18
Quadro adaptado de POZO, Juan Ignacio (org.). A Solução de Problemas: aprender a resolver, resolver para aprender. Porto Alegre:
Artmed, 1998: 25.
19
Quadro adaptado de POZO, Juan Ignacio (org.). A Solução de Problemas: aprender a resolver, resolver para aprender. Porto Alegre:
Artmed, 1998, p. 25.
20
Modelo adaptado de PARRA, C.; SAIZ, I. (orgs). Didática da Matemática: Reflexões Psicopedagógicas. Porto Alegre: Artes Médicas,
1996: 41.
17
35
36
e que um conhecimento complexo pode ser, para a
aprendizagem, decomposto em uma série de conhecimentos fáceis de serem assimilados e que, finalmente,
toda aprendizagem deve ir do concreto ao abstrato.
Modelo 2 – O problema como motor da aprendizagem (modelo chamado “iniciativo”)21
Ressignificação
• Inicialmente, se deseja que o aluno seja um “pesquisador ativo, ávido de conhecimentos funcionalmente úteis”.
• Porém as situações “naturais” são com frequência demasiado complexas para permitir ao aluno
construir por si mesmo as ferramentas e, sobretudo,
demasiado dependentes do “ocasional” para que seja
levada em conta a preocupação com a coerência dos
conhecimentos.
• É principalmente através da resolução de uma
série de problemas escolhidos pelo professor que o
aluno constrói seu saber, em interação com os outros
alunos.
• A resolução de problemas (e não de simples exercícios) intervém assim desde o começo da aprendizagem.
O importante não é seguir regras, nem passos literalmente. Precisamos nos apropriar delas para melhor adaptá-las ao nosso fazer pedagógico. Portanto
é preciso levar em consideração que os conhecimentos que os alunos vão adquirindo não se empilham,
não se acumulam, não se amontoam, eles passam
por estágios de equilíbrio e desequilíbrios, para então se organizarem, uma vez que “os novos saberes
são integrados ao saber antigo, às vezes modificado”
(Charnay, 1996: 43).
A aprendizagem só vai ocorrer no momento em que
o aluno percebe que existe um problema para resolver,
pois quando o aluno reconhece o novo conhecimento, esse “não é simplesmente empírico (constatações
a respeito do meio) e nem pré-elaborado (estruturas
inatas), mas o resultado de uma interação sujeitomeio” (Ibidem).
Quando o erro acontece, não podemos determinar que
haja ausência do saber, pois o que os alunos produzem determinam o estágio em que o conhecimento se encontra.
Modelo 3 – O problema como recurso de aprendizagem (modelo chamado “apropriativo”)22
A resolução de
problemas como
fonte, local e
critério da
elaboração do saber
ressignificação
Outro ponto importante e necessário são os conceitos matemáticos que nunca estão isolados, eles se entrelaçam e se
consolidam mutuamente: “daí a ideia de propor aos alunos
campos de problemas que permitam a construção destas
redes de conceitos” (Ibidem: 44).
Devemos considerar ainda a interação social, pois como
elemento imprescindível no processo ensino-aprendizagem
em que utilizamos a resolução de problemas trata “tanto da
relação professor-aluno como das relações aluno-aluno, colocadas em ação nas atividades de formulação (dizer, des-
crever, expressar), de prova (convencer, questionar) ou de
conflito cognitivo” (Ibidem).
Problemas aparecem tanto no meio educacional quanto
no nosso cotidiano, este último não é separado em áreas do
conhecimento, portanto é preciso que os alunos tenham a
possibilidade de lidar com estes longe dos olhos do professor, por serem situações abertas. “E para que esse uso seja
eficaz deverão aprender não somente quando devem usar
uma estratégia, mas também a discriminar quando não devem usá-la” (Claxton apud Pozo & Angon, 1998:
165).
Modelo adaptado de PARRA, C.; SAIZ, I. (orgs). Didática da Matemática: Reflexões Psicopedagógicas. Porto Alegre: Artes Médicas,
1996: 41.
22
Modelo adaptado de PARRA, C.; SAIZ, I. (orgs). Didática da Matemática: Reflexões Psicopedagógicas. Porto Alegre: Artes Médicas,
1996: 42.
21
3.3 - O Saber Matemático como um Sistema Conceitual
que Permite Resolver as Situações-problema
Tanto o saber matemático quanto a resolução de
problemas envolvem determinadas capacidades intelectuais, pois, de acordo com Echeverría (1998: 44),
“uma pessoa que tem sucesso no campo da Matemática é uma pessoa que sabe raciocinar e pensar de
maneira adequada. E, no sentido inverso, uma pessoa
que sabe raciocinar aprenderá facilmente o conhecimento matemático”. Pensar de maneira adequada significa levar em consideração a estrutura cognitiva e os
processos mentais comentados na Unidade I.
A Matemática é o idioma das ciências e da tecnologia. Nesse sentido, aprender a resolver problemas
matemáticos e a analisar como os especialistas e os
não-especialistas resolvem este tipo de tarefas pode
contribuir para um aumento do conhecimento científico e tecnológico de maneira geral. Ao mesmo
tempo, a Matemática constitui um poderoso auxiliar
para a solução de problemas de caráter científico. Da
mesma forma, a complexidade do mundo atual faz
com que esse tipo de conhecimento seja uma ferramenta muito útil para analisar certas tarefas mais ou
menos cotidianas, por exemplo, pedir um empréstimo, analisar os resultados eleitorais, jogar na Loteria
Esportiva ou tomar decisões no âmbito do consumo
diário (Ibidem: 45).
É preciso compreender os processos matemáticos
que os alunos utilizam diante de situações problema,
uma vez que trabalhar os conceitos matemáticos demanda que coloquemos em ação certas capacidades
de inferência e de raciocínio geral. Desse modo, algumas relações e instruções estabelecidas nos problemas matemáticos vão influenciar na capacidade de
raciocínio e de solução dos mesmos.
Dante (1999) defende que os problemas devem ser
propostos de forma adequada. Assim, como ponto de
partida devemos reconhecer e distinguir o que é exercício matemático e o que é problema. Já assinalamos,
em outro momento, tais diferenças, mas faz-se necessário ressaltar especificidades na própria disciplina de
Matemática, já que os dois tipos “têm consequências
muito diferentes para a aprendizagem e respondem
a diferentes tipos de objetivos escolares” (Pozo,
1998: 48).
Assim, os exercícios servem para consolidar e automatizar certas técnicas, habilidades e procedimentos
necessários para a posterior solução de problemas,
mas dificilmente podem trazer alguma ajuda para que
estas técnicas sejam usadas em contextos diferentes
daqueles onde foram aprendidas ou exercitadas, ou
dificilmente podem servir para a aprendizagem e
compreensão de conceitos. (...) Podemos distinguir
dois tipos: (...) repetição de uma determinada técnica,
previamente exposta pelo professor (...); o segundo
tipo de exercícios não pretende somente que sejam
automatizadas uma série de técnicas, mas também
que sejam aprendidos alguns procedimentos nos
quais se inserem essas técnicas (Ibidem: 49)23.
Já o problema, apesar de alguns autores defenderem
que não deveria ser utilizado nas primeiras etapas de
escolaridade tal sua complexidade, outros recomendam sua apresentação nas séries iniciais, já que “é
possível considerar a existência de um problema em
função do grau de novidade que a tarefa represente
para um determinado aluno” (Ibidem). Para ser caracterizado como problema, deve haver obstáculos entre
a proposição e a meta.
Tanto nos primeiros anos de escolaridade como mais
adiante, a aprendizagem de conceitos e de procedimentos matemáticos pode ser adquirida através da
observação da “conduta” dos objetos e da manipulação dos mesmos. Assim, a classificação, seriação e
ordenação de objetos, a utilização de diferentes tipos
de medidas, a análise de regularidades entre determinados fatos, etc. podem constituir problemas com
objetivos tão diversos como traduzir as experiências
cotidianas para uma linguagem matemática, estabelecer conjecturas e hipóteses, explorar e modelar
as estratégias de resolução de tarefas adquiridas em
contextos informais ou adquirir uma série de atitudes em relação à Matemática. (...) Embora a Ciência
Matemática seja uma disciplina formal cujos procedimentos se baseiam fundamentalmente em métodos
dedutivos, também é verdade que, como está colocado no currículo tanto da Educação Primária como
da Educação Secundária, os conhecimentos matemáticos são uma construção do próprio aluno que se
enraíza na atividade indutiva que tem lugar na vida
cotidiana (Ibidem: 50)24.
Importante destacar que propor adequadamente um
problema requer que reconheçamos algumas de suas
características. Para Dante (1999), devemos levar em
Se ao invés de pedir a um aluno que indique qual é o resultado de 7+5 propusermos que nos diga quantos animais há numa granja com
sete pintinhos e cinco galinhas, estaremos propondo um exercício desse segundo tipo. A diferença entre um e outro exercício reside em
que na segunda tarefa o aluno é obrigado a realizar uma tradução da linguagem falada para a linguagem matemática e obriga-o a planejar
a ordem em que a tarefa deve ser resolvida (POZO, 1998: 49).
24
Pode-se, por exemplo, observar, analisar, estabelecer regularidades, fazer conjecturas e comprovações sobre a “conduta” de um dado ou
sobre o giro de uma roleta, ou observar como caem as gotas de chuva sobre uma laje do piso, para trabalhar o conceito de acaso e probabilidade. Da mesma maneira, podem ser analisados diferentes conceitos e procedimentos geométricos ou imaginar tarefas nas quais sejam
comparadas as estratégias informais (ou procedimentos heurísticos de julgamentos) usadas cotidianamente para confrontar a complexidade
ambiental com os métodos matemáticos mais idôneos (Pozo, 1998: 50).
23
37
38
conta que o mesmo deve: ser desafiador para o aluno;
ser real para o aluno; ser interessante para o aluno; ser
o elemento desconhecido de um problema realmente
desconhecido; não consistir na aplicação evidente e
direta de uma ou mais operações aritméticas; ter um
nível adequado de dificuldade.
Por conseguinte, faz-se necessário identificar alguns
fatores que dificultam a interpretação de um problema, como linguagem utilizada na redação de um problema; tamanho e estrutura das frases; vocabulário
matemático; complexidade dos números; ordem em
que as informações são dadas; número de condições a
serem satisfeitas e sua complexidade; número e complexidade de operações e estratégias envolvidas.
Mesmo assim, a solução de um problema não é tão
fácil e devem ser utilizadas algumas etapas em sua
resolução. Dessa forma, buscamos em Mayer (apud
Echeverría, 1998), um processo de solução de
problemas matemáticos descrito no esquema 1.1 a seguir, pois para ele
(...) o processo de solução de problemas exige, em
primeiro lugar, que uma pessoa compreenda o problema e traduza para uma série de expressões e símbolos matemáticos. A partir daí, deve programar uma
série de estratégias que estabeleçam as diferentes
submetas que pretende alcançar para chegar à solução final e as técnicas que permitam atingir cada uma
dessas submetas. Finalmente, essa pessoa deve interpretar os resultados obtidos e traduzi-los como uma
solução plausível. Nestes dois processos, pode-se estabelecer uma correspondência com os três grandes
eixos procedimentais estabelecidos nos currículos
de Matemática: utilização de diferentes linguagens,
utilização de algoritmos e utilização de habilidades.
Assim, a tradução do problema incide, justamente, na
utilização de uma linguagem matemática que permita interpretar a realidade circundante, enquanto o segundo passo, a solução de problemas, faz referência à
utilização estratégica de fatos, técnicas e habilidades
dentro de um contexto matemático (ECHEVERRÍA,
1998: 51-52).
Esquema1.1. Processo de resolução de um problema matemático, segundo Mayer25
Não é suficiente saber seguir os passos assinalados
na referida unidade e nem traduzir as palavras ou formatos de como o problema é apresentado para que
tenhamos a compreensão do mesmo e saibamos resolvê-lo. Precisamos levar em conta tanto o conhecimento linguístico (compreender as expressões escritas) e semântico (compreender o contexto no qual se
inserem os fatos e dar sentido a eles) quanto o conhecimento esquemático (classificar o problema, decidir
quais dados são úteis ou não e determinar o procedimento) para podermos chegar a uma representação do
mesmo que nos permita dar uma resposta à pergunta
final. Entretanto tais conhecimentos podem se tornar
um empecilho na resolução de problemas. Vejamos
alguns fatores que podem influenciar essas barreiras
no quadro 1.1 disposto a seguir, bem como algumas
técnicas – quadro 1.2 – que possibilitam melhor entendimento na solução de problemas matemáticos.
Quadro 1.1. Alguns fatores não-matemáticos que
influenciam na dificuldade de tradução de problemas matemáticos26.
Quadro adaptado de POZO, Juan Ignacio (org). A Solução de Problemas: aprender a resolver, resolver para aprender. Porto Alegre:
Artmed, 1998: 52.
26
Quadro adaptado de POZO, Juan Ignacio (org.). A Solução de Problemas: aprender a resolver, resolver para aprender. Porto Alegre:
Artmed, 1998: 53.
25
• Diferenças no significado de uma mesma expressão na linguagem cotidiana (ambígua e contextual) e na linguagem matemática (mais precisa).
• Diferentes significados matemáticos de uma
mesma expressão ou palavra.
• Ordem e forma de apresentação dos dados.
• Presença de dados relevantes para a solução de
problemas.
• Caráter hipotético dos problemas matemáticos
(dados matemáticos diferentes de dados reais).
• Diferença entre as teorias pessoais e as teorias
matemáticas.
Quadro 1.2. Algumas técnicas que ajudam a compreender melhor os problemas matemáticos27
• Expressar o problema com outras palavras.
• Explicar aos colegas em que consiste o problema.
• Representar o problema com outro formato
(gráficos, diagramas, desenhos, objetos).
• Indicar qual é a meta do problema.
• Apontar onde reside a dificuldade da tarefa.
• Separar os dados relevantes dos não-relevantes.
• Indicar os dados com os quais contamos para
resolver a tarefa.
• Indicar quais os dados que não estão presentes,
mas que são necessários para resolver a tarefa.
• Procurar um problema semelhante que já tenhamos resolvido.
• Analisar inicialmente situações (cenários, contextos, tarefas) nas quais esse problema possa ter
lugar.
Podemos perceber que as técnicas apontadas se
complementam, se repetem, e se consolidam com as
já traçadas anteriormente. No entanto, qual caminho
seguir, como refletir, quais procedimentos ou estratégias utilizar, vai variar de acordo com as características das próprias crianças. Portanto, quanto menor a
idade do aluno, mais necessidade do auxílio do professor na realização das tarefas, embora não devamos
esquecer que gradativamente essa ajuda deverá ir diminuindo e deixando o controle para os próprios alunos, uma vez que verbalizar, comentar e trocar com
os colegas contribui para uma maior reflexão e “para
um maior controle e programação dos problemas”
(Pozo, 1998: 60).
3.4 – Algumas Considerações Complementares para a
Construção de Conceitos Matemáticos
Amparando-nos em Lorenzato (2006: 01), apresentamos alguns princípios que permitem que a Matemática possa ser trabalhada de maneira mais aprazível,
mais simples e com um nível de compreensão mais
acessível aos nossos alunos, uma vez que “o papel
que o professor desempenha é fundamental na aprendizagem dessa disciplina, e a metodologia de ensino
por ele empregada é determinante para o comportamento dos alunos”.
• Ensinar com conhecimento
Ensinar aquilo que não dominamos traz insegurança, incerteza e garante que ninguém aprende com
quem dá aulas sobre o que não conhece. É preciso
que o professor conheça o que ensina e qual método
didático deve utilizar, já que “por razões éticas e de
responsabilidade, independentemente de sua remuneração, todo professor tem o dever de conhecer o que
vai ensinar” (Ibidem: 04).
• Valorizar a experiência do magistério
“Aqui está um paradoxo do qual nenhum professor
escapa e que pode ser assim resumido: ao tentar ensinar, inevitavelmente ele aprende com seus alunos”.
(Ibidem: 09). Por melhores que sejam os cursos de
formação, a experiência de sala de aula é imprescin-
dível para uma atuação de qualidade, compromissada
com uma aprendizagem significativa.
• Investir na formação
Aspectos positivos: atualização profissional; melhor
remuneração; aperfeiçoamento e aprimoramento da
prática; aquisição de novas informações entre outros.
Aspectos negativos: falta de tempo; desestímulo dos
colegas; secretarias de educação que não investem
nos professores nem estimulam os mesmos a se atualizarem. Independente de todos os aspectos apontados
“cabe a cada um preencher as lacunas herdadas de sua
formação inicial (no curso superior), bem como providenciar a continuada” (Ibidem: 12).
• Auscultar o aluno
Para os professores poderem auscultar seus alunos
“não basta escutá-los ou observá-los, é preciso auscultá-los; mais do que responder a eles, é preciso falar
com eles; mais do que corrigir as tarefas, sentir quem
as fez e como elas foram feitas; mais do que aceitar
o silêncio de alguns alunos, captar seus significados.
Enfim, auscultar significa analisar e interpretar os diferentes tipos de manifestações dos alunos. O objetivo é saber quem são, como estão, o que querem e o
que podem eles” (Ibidem: 16).
27
Quadro adaptado de POZO, Juan Ignacio (org.). A Solução de Problemas: aprender a resolver, resolver para aprender. Porto Alegre:
Artmed, 1998: 59.
39
40
• Aproveitar a vivência do aluno
As pessoas experimentam situações no dia-a-dia
em que aparecem conceitos matemáticos (números,
contagem, operações como: contar, medir, tirar, distribuir, repartir, entre outros) e vêm para a escola com
saberes diferentes dos ensinados nela. Já sabemos
que os alunos se apropriam do conhecimento quando
adaptam os novos aos já adquiridos. “Convém ainda
observar que vivência não deve ser confundida com
realidade, uma vez que alguns fatos, situações ou objetos podem não ser do convívio dos alunos e são realidades, por exemplo, neve, guerra, cereja, cupuaçu,
terremoto, vulcão” (Ibidem: 24).
• Partir de onde o aluno está
“Tanto os pré-requisitos matemáticos, como os estágios de construção do pensamento, propostos por Piaget (pré-operatório, operatório concreto, operatório
formal), como também os níveis de pensamento geométrico de Van Hiele apontam para a existência de
etapas ordenadas de desenvolvimento do pensamento
humano. Tais ordenações devem ser respeitadas pelos
professores que desejarem obter uma aprendizagem
com compreensão e, se acreditarem na importância
disso, convém que reflitam sobre qual seria a ordem
natural ou didática para as seguintes duplas operativas: análise / síntese, simples / complexo, conceito / definição, compreensão / memorização, verbalização / escrita, experimentação / formalização, desejo de aprender / aprender, intuição / dedução. Porém,
respeitar ordenação de etapas significa não saltar etapas no ensino, e isto nem sempre é fácil na prática
pedagógica” (Ibidem: 28).
• Respeitar a individualidade do aluno
Sabemos que os alunos possuem diversas características, comportamentos, habilidades, competências,
preferências, linguagens entre tantos outros aspectos.
Respeitá-las é imprescindível para uma aprendizagem que leve em consideração a individualidade de
cada um. “Como reconhecimento de que os alunos
possuem diferentes características, cabe ao professor
favorecer o desenvolvimento das potencialidades deles por meio da utilização de diferentes recursos didáticos” (Ibidem: 35).
• Atentar para a linguagem matemática
Juntamente com as dificuldades que a linguagem
matemática nos apresenta, encontramos as inerentes
à própria língua materna (tanto no léxico, quanto no
semântico)28. “Quanto menor for a idade das crianças,
maior deverá ser o cuidado com a linguagem empregada em sala de aula: assim, se o objetivo for propiciar aos alunos a percepção da diferença entre as
noções de perímetro e de área, devemos realçar, para
perímetro, as ideias de percorrer, linha, adição, medida em m, e, para área, as ideias de varrer, superfície,
multiplicação e medida em m2” (Ibidem: 46). Construir em conjunto com os alunos um glossário ajuda
no entendimento de conceitos, linguagens, símbolos
e termos matemáticos.
• Explorar as aplicações da Matemática
Os professores de Matemática ouvem com bastante
frequência: “Onde vou usar isso?” “Por que preciso
aprender isso?” “A Matemática está presente em todos os campos de conhecimento e se faz necessária
em qualquer atividade humana e, consequentemente,
oferece à escola inúmeros exemplos de aplicação. (...)
Assim, se o professor orientar seus alunos para que
observem situações práticas, esses poderão concluir
que as aplicações revelam como a Matemática está
forte e cotidianamente relacionada com o nosso viver” (Ibidem: 53-56)29.
• Ensinar de forma integral Aritmética, Geometria e Álgebra
“Cinco cegos costumavam pedir diariamente esmolas no portal de entrada da cidade e nenhum deles,
até então, havia conhecido um elefante. Por isso, ao
saberem que logo chegaria um elefante à cidade, decidiram pedir ao dono que parasse o animal diante do
portal para que eles pudessem “ver com as mãos” o
tal de elefante. E assim aconteceu: o primeiro cego
apalpou a lateral do elefante e disse: ele parece um
muro; o segundo apalpou uma orelha do elefante e
disse: ele é como uma grande ventarola; o terceiro
apalpou uma das pernas do elefante e disse: é como as
colunas do templo; o quarto, depois de apalpar uma
das presas de marfim, concluiu: é igual a uma lança; o
quinto apalpou a tromba e disse: é uma grande cobra.
Então o elefante prosseguiu em sua viagem, enquanto
os cegos, em meio a grande falatório, não conseguiram concordar sobre o que seria o elefante, uma vez
que cada um teve uma percepção parcial do animal”
(Ibidem: 60).
Ter consciência de que o ensino da Matemática e de
que os conteúdos presentes no currículo devem ser
trabalhados de forma integrada é fundamental para o
Um professor explicou três vezes como calcular o menor múltiplo comum de dois números, mas os alunos se mostraram em dúvida,
até que um deles disse: “Entendi que pego os múltiplos e separo o menor deles, mas o que quer dizer comum?”. Outro exemplo é o do
menino que passeava com o pai no zoológico e pediu-lhe que comprasse um dos bichos para ser levado para casa; a fim de justificar a
impossibilidade de atendimento do pedido, o pai lembrou ao filho que aquele animal exigia uma especial alimentação; isto foi suficiente
para a criança, com pureza e simplicidade, dizer: “então vamos levar esta”, apontando para uma jaula na qual se lia “não dê comida ao
animal” (Lorenzato, 2006: 46).
29
Será que o que ensinamos de Matemática para nossos alunos, bem como o que propõem os programas de formação de professores de
Matemática, do Ensino Fundamental ao Superior, observam a aplicabilidade do conhecimento? Caso não, a seguinte história aplica-se a
nós: em um país foi divulgada a notícia de que dragões estavam dizimando populações e, então, decidiram criar um curso de alto nível
para formar caçadores de dragões. Assim que os alunos concluíram o curso, lançaram-se na nova profissão vasculhando países e mares;
mas não encontraram um só dragão e voltaram aos países de origem. Devido à experiência acumulada, os exímios caçadores fundaram um
curso de pós-graduação sobre a arte de caçar dragões (Lorenzato, 2006: 56).
28
professor que almeja desenvolver habilidades mentais de operar com as partes sem perder de vista o
todo. Para tanto é preciso respeitar as características
de símbolos, regras, definições e identificar conexões
entre elas.
• Desmitificar a Matemática
Aprendizagem desprovida de significado nos remete
a memorização e, portanto, ao esquecimento logo depois e, desta forma, algumas crenças equivocadas em
relação à Matemática vão surgindo. Podemos verificar algumas delas, de acordo com Lorenzato (2006:
116-117):
1- Matemática é: (em relação à concepção de matemática)
• Fazer cálculos com números;
• Exata;
• Completa (pronta, acabada);
• Abstração;
• Lógica, dedutiva;
• Conjunto de conhecimentos específicos, ora estanques, ora sequenciados;
• É aritmética.
2- Em relação à aprendizagem da Matemática:
• A capacidade para aprender Matemática é inata a
algumas pessoas;
• Resolver problemas é achar a solução correta;
• Aprender Matemática é difícil;
• Quem aprende Matemática é inteligente;
• Aquele que aprende Matemática é superior aos
outros;
• Meninos aprendem Matemática mais facilmente
que meninas.
3- Em relação ao ensino de Matemática
• Quem sabe Matemática, sabe ensiná-la;
• O importante é dar a resposta correta ao problema;
• Calcular é sinônimo de fazer comparações;
• Cada assunto apóia a compreensão do seguinte.
4- Em relação a alguns conteúdos de Matemática
elementar:
• Fração é qualquer parte do inteiro;
• Zero vale nada;
• 3,14 é menor que 3,13857;
• O produto é sempre maior que cada fator;
• O quociente é sempre menor que o dividendo;
• Toda fração é menor que a unidade;
• Multiplicar é um modo de aumentar;
• Quando divide, diminui;
• Quadrados não são retângulos.
Outras crendices
• Quem não gosta de Matemática deve escolher uma
profissão que não a utiliza;
• Saber Matemática é privilégio para poucos.
Os professores precisam ter cautela para não bloquearem as crianças, proporcionando um trabalho
em que seja primordial a construção de uma aprendizagem significativa.
• Assumir melhor postura profissional
“Considerando que cada professor é o principal
protagonista de seu desenvolvimento profissional, a
questão se resume em verificar se você deseja ser protagonista da ação educativa necessária (quase sempre possível), ou se prefere ser objeto de inevitáveis
transformações que causam sensações de desequilíbrio. Alguns preferem ver a banda passar, mas quem
sabe, não espera acontecer” (Ibidem: 129).
Tais princípios estabelecidos por Lorenzato (Ibidem: 119) se integram, se complementam, se associam e não seguem uma hierarquia, pois eles servem
para “facilitar a construção de uma aprendizagem
matemática com significado” com o objetivo de acabar com crendices, mitos e preconceitos em relação
ao ensino de Matemática e à própria Matemática.
Cabe a nós, professores, adaptá-los às nossas práticas,
metodologias e necessidades e ajustá-los com o contexto em que nos encontramos. “A matemática não é
algo que diz respeito a números, mas sim à vida. Ela
é algo que nasce do mundo em que vivemos. Lida
com ideias. E, longe de ser aborrecida e estéril, como
muitas vezes é retratada, ela é cheia de criatividade”
(Devlin, 2006: 98)30.
Na realidade, a primeira coisa a chamar a atenção de alguém que abre um livro de Matemática é que ele é cheio de símbolos – página após
página do que parece ser uma língua estrangeira, escrita num estranho alfabeto. De fato, isso é exatamente o que ela é. Os matemáticos
expressam suas ideias na linguagem da Matemática. Se a Matemática trata da vida e do mundo em que vivemos, por que os matemáticos
usam uma linguagem que afasta muitas pessoas do assunto antes de elas terminarem o curso de ensino médio? Não é pelo fato de os matemáticos serem criaturas perversas, que gostam de passar os dias nadando num mar algébrico de símbolos sem sentido. A razão para que
eles se apoiem em símbolos abstratos é que os padrões estudados pelos matemáticos são padrões abstratos. Você pode pensar nos padrões
abstratos matemáticos como “esqueletos” de coisas do mundo. O matemático pega um aspecto do mundo, digamos, uma flor ou um jogo
de pôquer, separa determinado aspecto da coisa escolhida, e depois descarta todas as características particulares, deixando apenas um
esqueleto abstrato. No caso da flor, esse esqueleto abstrato pode ser sua simetria. Quanto ao jogo de pôquer, pode ser a distribuição das
cartas, ou o padrão de apostas. Para estudar padrões abstratos, o matemático tem que usar uma notação abstrata. Quando um matemático
olha para uma página de símbolos matemáticos, ele não “vê” os símbolos, como um músico experiente também não “vê” as notas musicais
na partitura. Os olhos do músico treinado leem diretamente “através” dos símbolos musicais, alcançando os sons que estes representam. Da
mesma forma, o matemático treinado lê “através” dos símbolos matemáticos, alcançando os padrões que eles representam.
30
41
42
Sugestões de Atividades
1. Para cada objetivo traçado em 3.1, elaborar um problema que possa ser aplicado na Educação Infantil ou
Ensino Fundamental, levando em conta pelo menos uma das características especificadas. Procure pesquisar
em sites e livros.
2. Escolha um dos problemas que você criou na atividade 1 e procure resolvê-lo seguindo as etapas, estratégias e procedimentos sugeridos nesta unidade. Faça uma análise do que você observou.
Leituras Complementares
BORIN, Júlia. Jogos e Resolução de Problemas: Uma estratégia para as aulas de matemática. 2.ed. São
Paulo: IME-USP, 1996.
SMOLE, Kátia C. Stocco; ROCHA, Glauce H. R.; CÂNDIDO, Patrícia T.; STANCANELLI, Renata. Era uma
vez na Matemática: uma conexão com a Literatura Infantil. 3.ed. São Paulo: IME-USP, 1996.
UNIDADE IV
43
Aplicações da Matemática na Educação
Infantil e no Ensino Fundamental
Mais uma vez percebemos que os conceitos assinalados se complementam e se integram. Dessa forma,
nas aplicações dispostas a seguir, os temas aparecem
espontaneamente em quase todos os assuntos citados. Cada professor deve adaptá-los, reorganizá-los
e ajustá-los de acordo com a prática, o contexto em
que os alunos se encontram e com a especificidade de
cada região em que vivem.
Entretanto faz-se necessário ressaltar que nem sempre encontramos aplicação para tudo que ensinamos
nas aulas de Matemática e também não devemos nos
preocupar em somente ensinar aquilo em que encontramos aplicação, uma vez que “para nós, professores,
a aplicação deve ser concebida como uma alternativa
metodológica ou estratégia de ensino e não como uma
panaceia que deve estar presente em todas as aulas”
(Lorenzato, 2006: 55).
4.1 - Na Informática
Atualmente, um dos termos mais utilizados para falar de Informática31 na Educação se denomina: Tecnologias da Informação e Comunicação – TIC. Portanto, nos utilizaremos dessa terminologia no lugar de
Informática, uma vez que novas formas de comunicar,
conhecer e informar surgem no cenário educacional
com o advento da tecnologia.
As crianças do mundo contemporâneo convivem
com inúmeros recursos digitais cotidianamente, o que
permite que estabeleçam o tempo todo novas relações
com o conhecimento, uma vez que utilizam a internet
com facilidade, criam blogs e comunidades virtuais,
baixam músicas e vídeos, comunicam-se através de
redes de relacionamento como MSN, Orkut entre tantas outras ações mediadas pelas diversas mídias.
Em vista disso, propor que utilizem tais recursos
na aplicação de conceitos matemáticos vai permitir
que capacidades cognitivas como: memória, percepção, imaginação entre outras sejam potencializadas
pelas TIC oferecendo-nos novas perspectivas na
construção do conhecimento matemático, já que seu
caráter lógico-matemático pode se tornar um grande
aliado no desenvolvimento de habilidades, permitindo, assim, que os alunos aprendam com os erros, com
os colegas, troquem e comparem suas produções.
É fundamental que o professor se aproprie das tecnologias e seus recursos para aplicá-los à Educação
e à sua prática educacional, levando em conta quais
objetivos e intencionalidades pedagógicas almeja.
Vale ressaltar que as Tecnologias da Informação e
Comunicação a todo o momento se aprimoram, se
atualizam, se transformam, e as crianças se adaptam
com a maior facilidade, porém cabe a nós, educadores, buscarmos uma formação contínua, uma vez
31
que “qualquer mudança necessária a ser realizada no
processo ensino-aprendizagem da Matemática estará
sempre vinculada à ação transformadora do professor” (Grando, 1995: 23).
Para Papert (1985), empregar o computador na sala
de aula requer certas ações que vão desde a forma
como promovemos a construção do conhecimento até
sua aceitação pela escola no momento em que permite que seu uso faça parte do desenvolvimento coerente da escola e gere novas possibilidades de trabalho
(Kampff, Machado & Cavedini, 2004).
O computador não exclui o professor, muito ao contrário, atribui-lhe novas situações-problema, novos
desafios, novas responsabilidades. Papert (1980) posiciona o computador como algo que viabiliza a criação de situações mais propícias, ricas e específicas
para a construção de conhecimento. (...) O professor
precisa estar atento para não utilizar as TIC como
fuga ou distração, no sentido de tentar inovar sua
prática pedagógica erroneamente, só para dizer que
utiliza informática em suas aulas. Ele precisa promover ambientes de aprendizagem para que os alunos
possam sentir-se à vontade para discutirem sobre
suas ideias com os demais colegas de classe e com o
professor, o que pode não ocorrer com frequencia nas
salas de aula atualmente, onde somente o professor
fala (Ibidem).
Uma das dez competências fundamentais dos professores que Perrenoud (2000: 139) realça é a de tomar conhecimento das possibilidades e dominar os
recursos computacionais existentes. Para ele “o ofício
do professor redefine-se: mais do que ensinar, trata-se
de fazer aprender”. Ao professor cabe
A palavra Informática é derivada de duas outras palavras associadas a ela: informação e automática (Fonte: Wikipedia).
44
(...) atualizar-se constantemente, buscando novas
práticas educativas que possam contribuir para um
processo educacional qualificado. Nesse contexto, o
professor torna-se indispensável, tornando-se orientador do processo de aprendizagem, podendo dispor
dos meios computacionais para atender aos alunos de
forma diversificada, de acordo com suas necessidades (Ibidem).
Para tanto traçamos algumas sugestões com possíveis aplicações da Matemática nas Tecnologias da Informação e Comunicação, promovendo, assim, uma
Matemática que, além de construir conceitos, construa juntamente uma significação aos mesmos.
Uma possibilidade é a linguagem de programação
LOGO, proposta por Papert no Massachusetts Insitute of Technology (MIT) por volta dos anos 60-70,
em que é possível trabalhar com a Geometria e com
medidas buscando identificar regularidades, construir
figuras geométricas32.
Bossuet [apud Papert, 1985] coloca que Logo designa ao mesmo tempo uma teoria de aprendizagem,
uma linguagem de comunicação e um conjunto de
unidades materiais que permite demonstrar os processos mentais empregados por um indivíduo para
resolver um problema, num contexto de ação sobre
o mundo exterior. Acrescenta ainda que “a teoria do
conhecimento adotada por Logo faz uma síntese entre a concepção de Piaget sobre o desenvolvimento
da criança e o estudo, em inteligência artificial, do
problema do pensamento. A criança não é mais um
objeto a ser modelado, educado. Ela torna-se sujeito”. Propõe-se, então, propiciar às crianças a interação com essa linguagem, para que elas também
possam pensar mais concretamente a respeito dos
processos mentais, pois a habilidade de articular os
processos do pensamento dá a chance de melhorá-los
(Kampff, Machado & Cavedini, 2004).
Ressaltamos ainda o uso de programas como Word
(editor de textos); Excel (planilhas eletrônicas) para
construção de tabelas, gráficos, fluxogramas, bem
como uma gama de jogos e desafios3 com o intuito de
desenvolver o raciocínio lógico, presentes na internet, que permite aplicar atividades pedagógicas em
um ambiente web. Cabe ao professor nortear, considerar e avaliar a importância e momentos apropriados
para oferecê-los como propostas educacionais.
A construção de um blog (recurso de simples utilização que requer poucos conhecimentos técnicos) com
os alunos também é um recurso rico no meio multimídia, uma vez que proporciona o debate, a comparação
e a correção de respostas e permite que se trabalhe
com crianças pequenas. Criar normas, regras de respeito e convivência, estabelecer limites de visita à página, favorecer as pesquisas são aspectos do blog que
contribuem para o desenvolvimento pleno da criança.
Destacamos também as possibilidades de ensinar às
crianças a manipulação de inúmeras ferramentas tais
como: hiperlink; buscadores; navegação por outros
blogs; criação de e-mails. E mais: utilização da escrita matemática e da sistematização do cálculo mental;
desenvolvimento do raciocínio lógico-matemático na
resolução de problemas; argumentação matemática;
cooperação mútua e participação de todos na busca
de uma resposta aceitável.
Portanto é imprescindível que os professores, amparados por novas perspectivas de trabalho, percebam
que mudanças acontecerão e, a partir da implementação de ambientes informatizados, permitam que recursos, técnicas e ferramentas de multimídia colaborem com um aprendizado significativo dos conceitos
matemáticos e quem sabe com a própria Matemática.
A possibilidade de unir a Tecnologia com a Matemática de forma coerente e contextualizada dever-nos-ia
parecer irresistível.
4.2 - No Tratamento da Informação – Estatística e
Probabilidade
A importância no Tratamento da Informação é reconhecida, atualmente, nos mais diversos campos
das pesquisas científicas e sociais no mundo dos negócios, constituindo, assim, ferramenta para outras
disciplinas. Torna-se mais frequente a necessidade de
compreender as informações veiculadas pelos meios
de comunicação, como tomar decisões e fazer previsões que influenciarão tanto a vida pessoal quanto a
toda a sociedade.
comunicação, tais como jornais, revistas, livros, televisão, e na vida de seus alunos e de sua escola.
Esse tema permite aos professores trazer para a sala
de aula o cotidiano presente nos diferentes meios de
A Estatística é o campo da Matemática que estuda processos de obtenção, organização e análise de
O Tratamento da Informação envolve noções de
estatística, combinatória, possibilidades e chances,
como elementos do estudo de probabilidade, além
de problemas de contagem que englobam o princípio
multiplicativo, podendo ser desenvolvidos desde a
Educação Infantil.
32
Em Kampff, Machado e Cavedini (2004) podemos verificar uma proposta de trabalho com Logo, desenvolvida com uma turma do 6º ano
(antiga 5ª série), em que os alunos tinham total liberdade para desenhar uma cidade com ruas, casas, edifícios, uma vez que o objetivo era
trabalhar com retas, linhas, polígonos regulares e irregulares. Vale a pena conferir.
33
Você pode acessar a página http://math.exeter.edu/rparris/winarc.html e http://www.plastelina.net para conferir e aproveitar.
dados e métodos de tirar conclusões e até de fazer
previsões sobre um fenômeno em estudo. Através
da utilização de gráficos e tabelas, cujos assuntos
abordados são veiculados pelos meios de comunicação e fazem parte do cotidiano, o aluno é capaz
de desenvolver a habilidade de distinguir os dados
importantes e necessários daqueles que não são úteis
para a resolução de uma situação-problema.
Relacionar atividades com assuntos que interessem
à criança é imprescindível para uma aprendizagem
com significados. O trabalho com datas de aniversário é um exemplo. As crianças devem organizar uma
lista com informações em que se estabeleçam alguns
critérios na sua organização (ordem alfabética, meninas, meninos). A seguir analisam e avaliam se as
informações são facilmente compreendidas, propondo, então, diversas maneiras de comunicar quem faz
aniversário e em que mês, utilizando, se possível, a
construção de um gráfico. Dados dos mais diversos,
tendo como referência as próprias crianças, podem
ser trabalhados e apresentados graficamente, tais
como peso, altura, nacionalidade dos avôs, número
de irmãos, músicas preferidas, times de futebol entre
tantos outros.
“Com relação à probabilidade, a principal finalidade é a de que o aluno compreenda que grande parte
dos acontecimentos do cotidiano são de natureza
aleatória e é possível identificar prováveis resultados desses acontecimentos” (PCN, 1998: 40). Construir tabelas que mostram o comportamento do tempo (dias com sol, dias com chuvas, dias nublados);
acompanhar as previsões do tempo pelos meios de
comunicação permitem que as crianças façam algumas previsões somente observando os acontecimentos.
Para poderem construir gráficos, é preciso que o
professor averigue se as crianças conseguem compreendê-lo, a partir da leitura e interpretação das informações representadas, podendo até solicitar que
elaborem questões as quais eles tenham capacidade
para respondê-las.
Problemas que envolvem possibilidades como o
clássico problema dos apertos de mãos34, possibilitam que se explorem as chances de quantificar as
possibilidades. Noções elementares de Probabilidade (lançamento de dados, moedas) são desenvolvidas, como também o pensamento probabilístico,
inserido nas aulas de Matemática como elemento
auxiliar tanto na aprendizagem de Matemática quanto na interpretação dos fatos divulgados pelos meios
de comunicação.
As crianças gostam de fazer apostas, desejando ganhar o tempo todo, por isso podemos sugerir atividades que propiciem o levantamento do número de
ocorrências de um evento acontecer, e o que ocorre
mais vezes tem mais chance de realizar. Um exemplo que ilustra a noção de probabilidade na Educação Infantil, de acordo com Lopes (1997: 1-2) é:
“se durante uma viagem rodoviária as crianças forem levadas a contar os automóveis que passam no
sentido horário, classificando-os pela marca ou pela
cor, apostar na marca ou na cor que aparece com
maior frequência é ter uma chance maior de ganhar
a aposta”.
Perguntar a alunos que conhecem a área do círculo, num jogo de tiro ao alvo, onde existe a maior
chance de acertar: no círculo maior ou no círculo
menor? O que dizer, então, para acertar na mosca?
Uma discussão interessante é supor que os alunos
sejam os donos do jogo e pedir que atribuam valores
para o preço dos tiros e o pagamento dos acertos
nos diferentes círculos. É claro que o dono do jogo
deve ter sempre um lucro e para tal deve “medir a
sorte” (Ibidem).
Ressaltamos, ainda, amparados pelos PCN (1998),
outras propostas de aplicação Matemática no Tratamento da Informação para o Ensino Fundamental ou
para a Educação Infantil35, como ler e interpretar informações apresentadas em imagens, figuras, desenhos, fotos; criar registros pessoais para informar os
dados coletados; explorar a função de número como
código de organização das informações (linhas de
ônibus, telefones, placas de carro, registros de identidade, calçados); interpretar e elaborar listas, tabelas simples, de dupla entrada, gráficos de barra, de
linha, setor; produzir textos que tenham como base
a interpretação dos dados das tabelas e dos gráficos;
construir gráficos a partir das informações contidas
em jornais, revistas, textos científicos; interpretar
e calcular média aritmética e ponderada; explorar
algumas ideias de probabilidade em situações-problema.
Constatamos que os mais diversos assuntos abordados pelo tema Tratamento da Informação possibilitam também discussões acerca dos temas transversais, propostos pelos Parâmetros Curriculares
Nacionais, como Saúde, que pode permear outras
áreas do conhecimento. Todas as atividades comentadas e sugeridas aqui perpassam pela construção de
conceitos matemáticos já vistos nas unidades anteriores tanto para a Educação Infantil quanto para o
Ensino Fundamental. Cabe ao professor adaptá-las,
como já mencionado.
Existem várias formas de elaborar tal problema. Uma delas é: “Numa sala, havia certo número de pessoas para uma reunião. Todos os
presentes se cumprimentaram apertando as mãos. Se foram 66 apertos de mão no total, quantas pessoas havia na sala?” Ou podia informar
o número de pessoas e perguntar a quantidade de apertos de mãos.
35
Novamente cabe ao professor discernir quais atividades seus alunos estão maduros suficientes ou quais atividades podem ser desenvolvidas pela faixa etária das crianças. Adaptá-las e(re)criá-las faz parte do ser professor.
34
45
46
4.3 - Coleta, Organização, Comunicação e Interpretação
de Dados
As formas utilizadas no Tratamento da Informação, tais como coleta, organização, comunicação e
interpretação de dados, favorecem a compreensão
de argumentos estatísticos pelos quais somos bombardeados36, bem como nos ajudam a entender que
a Matemática não se reduz ao verdadeiro e falso de
suas proposições, nem que existem só o possível e o
impossível, podendo ser construídas, através de observações, entrevistas, histórias de vida, pesquisa bibliográfica, questionários, observação empírica entre
outros, existindo uma gama de procedimentos utilizados para esse fim.
A coleta de dados pode ser direta (coletados pela
própria criança) ou indireta (feita por elementos
conhecidos), podendo facilitar a comparação entre
quantidades. Após a coleta, os dados são distribuídos
de forma ordenada mediante critérios de classificação,
favorecendo uma melhor interpretação. A análise dos
dados pode ser feita através de inferências (dedução
por meio de raciocínio) para chegar a conclusões ou
previsões, e a apresentação dos dados é realizada pela
comunicação (descrição/narração/exposição) dos dados que devem ser exibidos de forma adequada e com
clareza por meio de gráficos, tabelas entre outros.
Ao propor atividades para coletar dados, as crianças, dependendo do assunto a ser trabalhado, viven-
ciam situações das mais diversas com aplicabilidade
matemática, como algumas que dispomos a seguir:
• O trabalho com altura ou peso favorece as crianças medirem e pesarem cada uma delas, procurando
maneiras de representar os dados: aproximações entre medidas e transformações de unidades; conceitos
de maior/menor, alto/baixo, pesado/leve, conceito de
média.
• Pesquisa em mercados ou padarias acerca dos preços de vários produtos em diferentes datas permite
trabalhar o conceito de unidades monetárias, unidades de medida e suas possíveis transformações (operações de adição, subtração, números decimais), bem
como explorar o local de compra em relação à escola
(confecção de plantas, mapas – explorando o conceito
de escala); discutir o percurso feito e o tempo gasto
para percorrê-lo.
Para tanto, é preciso que o professor organize as atividades propostas levando em consideração o ritmo
de cada criança e cada grupo, “pois elas não aprendem linearmente, isto é, primeiro correspondem, depois comparam, em seguida classificam e assim por
diante”. Em vista disso, “não existe uma ordem ideal
para a realização das atividades em sala de aula a ser
recomendada a todos os professores”, já que cada um
vivencia um contexto e uma realidade distinta (Lorenzato, 2006: 89).
4.4 - Leitura de Tabelas, Gráficos e Outras Formas
de Representação de Dados
Existem diversas formas de representar os dados
coletados para uma pesquisa ou trabalho escolar que
permitem o desenvolvimento de habilidades e competências, como identificar, classificar, analisar, mensurar, bem como o desenvolvimento dos processos
mentais estabelecidos por Lorenzato (2006) na Unidade I. A representação dos dados pode ser feita de
duas maneiras: 1ª) tabela – representação numérica
dos dados em linhas e colunas, como um quadro, distribuídas de modo ordenado; 2ª) gráficos – representação geométrica dos dados numéricos que permite
uma visão rápida e clara do evento que se pretenda
analisar, apresentando diversas formas.
Os gráficos37 podem ser classificados em diagramas,
pictogramas e cartogramas. Fluxogramas (tipo de
diagrama) e árvores das possibilidades são outras formas de representação de dados. Todos eles favorecem
o desenvolvimento de atividades que possibilitam
trabalhar o conceito de número, quantidade, operações, compreensão do princípio multiplicativo entre
outros. Temos ainda os diagramas, gráficos dispostos
em duas dimensões que são os mais usados (barras ou
colunas, linhas, setores).
É preciso ser capaz de questionar: Como foram obtidos esses dados? Traduzem a realidade? Como foram tiradas as conclusões enunciadas e que técnicas foram utilizadas? Os dados enunciados correspondem à realidade que se quer estudar? (Lopes, 1997: 2).
37
Todas as ilustrações apresentadas foram retiradas de pesquisas na internet, cujos endereços estão disponíveis nas referências bibliográficas.
36
1
2
3
4
Representação estruturada e simplificada de conceitos ou objetos.
7
5
6
8
Representação simbólica de objetos ou conceitos por meio de desenhos ou figuras.
Representação de fenômenos por meio de mapas cujas áreas podem ser modificadas.
Representação gráfica que envolve problemas de análise combinatória.
47
48
No que se refere às crianças pequenas, constatamos que possuem ou adquirem diversas maneiras de
representação que são inventadas por elas e, embora
elementares e imprecisas, fazem sentido para quem
as adota. Lopes (1997) apresentou uma atividade desenvolvida com crianças entre 5 e 9 anos de idade
que corrobora tal fato.
Esta atividade foi aplicada em uma classe de alfabetização com 20 alunos. (...) Foram distribuídos retângulos de cartolina para a turma, onde cada aluno
escreveu seu nome e colocou no painel feito pelo
professor, representando os meses do ano. Depois
dos dados coletados e representados, foram feitas
perguntas para a leitura do gráfico, como sugerido no desenvolvimento. Logo após, foi solicitado
que desenhassem o gráfico do cartaz em um papel
quadriculado. Para identificar a fase de alfabetização em que cada aluno se encontrava, foi solicitado
que escrevessem um pequeno texto sobre o tema: A
VACA, escolhido pela professora e depois foi feita
uma entrevista com os alunos para saber o que eles
haviam escrito, pois muitas vezes era indecifrável.
Ao examinarmos os trabalhos desses alunos, conseguimos mostrar a relação existente entre a fase da
língua escrita, segundo Emília Ferreiro, e as classificações das representações gráficas, segundo Hughes.
1. Representação Ideossincrática: a criança ao transpor o gráfico para o papel faz uso de rabiscos, sem
sentido algum – corresponde à fase Pré-Silábica;
2. Representação Pictográfica: a criança representa a quantidade pela numerosidade, desenhando os
blocos colocados sobre a mesa, sem nenhuma associação com a escala – corresponde à fase Silábica;
3. Representação Icônica: a criança representa a
quantidade apenas pela numerosidade, associando
a cada retângulo, um rabisco, por exemplo – corresponde à fase Silábica-Alfabética;
4. Representação Simbólica: representa através dos
símbolos convencionais, utilizando-se dos eixos e
relacionando a escala com a quantidade de blocos
– corresponde à fase Alfabética (Ibidem: 06-07).
A seguir, são apresentadas algumas sugestões levando em conta os campos matemáticos, tais como
número, geometria e medidas, que deverão ser explorados tanto na Educação Infantil, quanto no Ensino
Fundamental. Vale ressaltar que “a atividade em si
não garante a aprendizagem significativa. Por isso é
fundamental que, após cada atividade, o professor facilite a conversa entre as crianças sobre o que fizeram
e o que descobriram” (Lorenzato, 2006: 90).
• Ler e interpretar gráficos com dados do tipo: percentual de crianças com obesidade nos últimos cinco
anos, permitindo explorar o conceito de porcentagem
através de comparações;
• Comparar dois ou mais gráficos estabelecendo diferenças e semelhanças; identificar dados numéricos
com suas respectivas representações (um gráfico com
dados em decimais e outro com porcentagem ou com
números muito grandes escritos de forma simplificada);
• Explorar situações descritas em uma tabela, como
a quantidade de medalhas ganhas pelos primeiros dez
países em alguma Olimpíada. Nessa situação, podemos explorar a posição geográfica, regimes políticos
e outras classificações quanto ao número de medalhas, por exemplo; identificar os tipos de números e
as funções que exercem; reconhecer ordinalidade na
contagem, contagem por agrupamento; e, com crianças mais velhas, explorar o conceito de frações e as
porcentagens correspondentes.
• Em relação ao levantamento do dia, mês ou ano do
aniversário das crianças é possível trabalhar a construção do conceito de número; classificação; seriação; ordenação; relações temporais; identificação dos
períodos do ano, como mês, bimestre, trimestre, semestre e frações correspondentes; estações do ano;
concentrações de nascimentos em determinados meses.
Enfim, cabe ao professor eleger atividades “que melhor se adaptem aos seus alunos, levando em consideração o que indicam as pesquisas em educação e a
experiência de magistério, isto é, iniciar o processo
de ensino-aprendizagem pelo concreto com vistas ao
abstrato” (Ibidem: 89).
Sugestões de Atividades
1. Elabore um pictograma que tenha aplicabilidade com algum conceito matemático, descrevendo qual atividade deverá desenvolvida por alunos da Educação Infantil.
2. Escolha um dos temas Transversais sugerido pelos Parâmetros Curriculares Nacionais – Ensino Fundamental –, colete dados referentes ao assunto escolhido, e construa uma tabela, especificando quais conceitos
matemáticos podem ser desenvolvidos pelos alunos.
Leituras Complementares
JONASSEN, David H. Computers as Mindtools for Schools: engaging critical thinking. 2.ed. Ohio: Prentice
Hall, 1996.
VALENTE, José Armando. O uso inteligente do computador na educação. In: Revista Pátio, ano I, n. 1, p. 1921, Porto Alegre: Artes Médicas Sul, 1997.
––––––. Informática na educação: uma questão técnica ou pedagógica?. In: Revista Pátio, ano 3, n. 9, p. 21-23,
Porto Alegre: Artes Médicas Sul, 1999.
Sites Recomendados
http://www. mathema.com.br
Formação e pesquisa
http://www.ime.unicamp.br/ex.html
Laboratório de Ensino da Matemática (LEM)
49
50
Se você:
1)
2)
3)
4)
concluiu o estudo deste guia;
participou dos encontros;
fez contato com seu tutor;
realizou as atividades previstas;
Então, você está preparado para as
avaliações.
Parabéns!
Glossário
Abstração – separação mental de uma das partes de um todo.
Abstrair – fazer abstração; separar mentalmente qualidades ou propriedades dos seres; considerar isoladamente.
Abstrato – que se encontra existente só no domínio das ideias e sem base material.
Afeição – sentimento de ternura e amizade; afeto; dedicação.
Aleatória – dependente de circunstâncias casuais ou fortuitas.
Ambíguo – de duplo sentido; equívoco; incerto; duvidoso.
Análogo – que se baseia na analogia; idêntico.
Analogia – relação de semelhanças entre coisas diferentes.
Aprazível – que causa prazer; ameno; encantador.
Autonomia – liberdade moral ou intelectual.
Circundante – que circunda; que rodeia; envolvente.
Cognitivo – relativo a cognição.
Cognição – ação de adquirir um conhecimento.
Configuração Serial – fase intermediária ao processo de seriação operatória, trata-se do aspecto figural e perceptível do objeto, a forma do conjunto.
Conjecturas – presumir, prever, antever.
Dialética – arte de raciocinar; arte de argumentar ou discutir; argumentação dialogada; método de ascensão do
sensível para o inteligível e método de dedução racional das Formas (Platão); uma forma não demonstrativa de
conhecimento (Aristóteles); lei do pensamento (da Ideia) e do real, que se desenvolve através de três estágios,
tese, antítese e síntese (Hegel); método de compreensão da realidade, seja ela histórica e social (materialismo
histórico), seja ela natural (materialismo dialético) (Marx e Engels); todo o pensamento que tem em conta o
dinamismo dos fenômenos ou da história e que se mostra sensível às contradições que estes apresentam (séc.
XX).
Dialético – relativo à dialética.
Dicotomia – divisão em dois ramos;
Egocêntrico – indivíduo cuja visão do mundo parte sempre da sua própria personalidade.
Empírico – se fundamenta apenas na experiência.
Especificidade – caráter do que é específico.
Esquema (Piaget) – modelo de atividade que o organismo utiliza para incorporar o meio; palavra que Piaget
usou para ações, ideias e estratégias às quais as novas experiências são assimiladas e que se modificam (acomodam-se) em função das novas experiências.
Estática – em equilíbrio.
51
52
Gênese – origem; nascimento; geração; criação.
Heurístico – processo pedagógico que leva o aluno a descobrir a verdade por si próprio.
Hierárquica – relativo a hierarquia.
Hierarquia – distribuição ordenada (poderes);
Hipótese – suposição admissível; condição; circunstância; eventualidade.
Hipotético – relativo à hipótese; duvidoso; arbitrariamente suposto.
Indutivo – que procede por indução; diz-se do raciocínio que parte dos fatos para as leis gerais ou dos efeitos
para as causas.
Indução – ato ou efeito de induzir; raciocínio que, de fatos particulares, tira uma conclusão genérica.
Induzir – instigar à prática de alguma coisa; incutir.
Inferência – ato ou efeito de inferir; dedução; consequência.
Inferir – deduzir por meio do raciocínio; tirar por conclusão.
Inato – que nasceu com.
Interacionismo – teoria psicológica que sustenta que o desenvolvimento do comportamento humano é uma
construção resultante da relação do organismo com o meio em que está inserido. Esta teoria valoriza igualmente o organismo e o meio.
Mediação – é a ação que o sujeito, por meio de instrumentos, modifica a natureza e, ao fazê-lo, acaba por
modificar a si mesmo.
Método Sistemático – consiste em identificar, primeiro, o elemento menor (ou maior) de todos, depois o
menor dos que restaram e assim sucessivamente, pois testemunha que um elemento qualquer X é, ao mesmo
tempo, maior do que os precedentes e menor do que os seguintes (numa ordem decrescente). É também um
método antecipatório, pois o sujeito sabe que ao procurar o menor elemento dos elementos restantes constituíra
uma série. Este é o caráter antecipatório do esquema de seriação.
Paradoxal – que encerra em paradoxo.
Paradoxo – Relacionado com a antítese, o paradoxo é uma figura de pensamento que consiste na exposição
contraditória de ideias. As expressões assim formuladas tornam-se proposições falsas, à luz do senso comum,
mas que podem encerrar verdades do ponto de vista psicológico; contradição ou contrassenso; declaração ou
proposição que parece se autocontradizer, mas que na realidade expressa uma verdade possível; proposição
falsa ou autocontraditória; opinião ou declaração contrária à opinião geralmente aceita.
Percepção – ato ou efeito de perceber; intuição; representação intelectual.
Plausível – que merece aprovação; aceitável.
Proposição – proposta; teorema; ato ou efeito de propor.
Psicogênese – é a parte da Psicologia que se ocupa em estudar a origem e o desenvolvimento dos processos
mentais, das funções psíquicas, das causas psíquicas que podem causar uma alteração no comportamento.
Psicologia genética – é a psicologia que estuda os problemas psicológicos do ponto de vista do conhecimento.
Psíquico – relativo às faculdades morais e intelectuais.
Regulações – sujeitar a regras; regulamentar; acertar; moderar; ato ou efeito de regulamentar.
Regulamentar – regular; sujeitar a um regulamento.
Regularidade – qualidade do que é regular; conformidade com as regras; harmonia.
Ressurgência – ressurgimento; reaparecimento.
Reversibilidade (Piaget) – Quando a operação deixa de ter um sentido unidirecional. A reversibilidade seria
a capacidade de voltar, de retorno ao ponto de partida. Aparece, portanto como uma propriedade das ações do
sujeito, possível de se exercerem em pensamento ou interiormente. Lembramos que as operações nunca têm
um sentido unidirecional; são reversíveis.
Senso numérico – expressão introduzida por Tobias Dantzig (apud Devlin, 2006: 36) em seu livro de 1954,
Number: The Language of Science. O homem, mesmo nos estágios mais inferiores de desenvolvimento, possui
uma faculdade que, à falta de melhor nome, chamarei de senso numérico. Essa faculdade lhe permite reconhecer que algo mudou em uma pequena coleção quando, sem seu conhecimento direto, um objeto foi retirado ou
acrescentado ao conjunto.
Sensorial – relativo ao cérebro ou ao sensório.
Sensório – relativo a todo aparelho sensitivo do organismo; cérebro ou parte dele que é considerada como
centro ou sede das sensações.
Sintaxe – arranjo, disposição; parte da estrutura gramatical de uma língua que contém as regras relativas à
combinação das palavras em unidades maiores (como as orações), e as relações existentes entre as palavras
dentro dessas unidades.
Sucinta – em poucas palavras; breve; resumida.
Supremacia – superioridade; vantagem.
Teoria – conhecimento especulativo puramente racional; hipóteses; suposições; opiniões sistematizadas; princípios fundamentais de uma arte ou ciência.
Teorização – ato ou efeito de teorizar.
Teorizar – expor teorias.
Veiculado – propagado; difundido.
53
54
Gabarito
Unidade I
1. atividade 01 – facilitar a percepção de que diferentes contornos (figuras) podem ser formados com iguais
quantidades de palitos.
atividade 02 – desenvolver a observação, a memória visual e a verbalização.
2. Resposta pessoal, devendo levar em consideração os objetivos pedidos.
Unidade II
Desafios Intrigantes
1. Na maioria das vezes a resposta é 7, pois seguimos o nosso senso numérico. Psicólogos cognitivos esclarecem que num primeiro momento foi preciso que entrássemos no “modo subtração”, o que requer um esforço
mental maior. A seguir, a última operação utilizou os números 12 e 5 (12 – 5 = 7, cuja resposta é fácil), fazendo
com o que o número 7 ficasse destacado em nossa mente. Caso não tenha respondido 7, provavelmente deve
ter escolhido um número próximo a ele como o 6 ou 8. Para Devlin (2006: 35) a nossa escolha não é racional
quando o desafio nos é apresentado pela primeira vez, pois o número que espontaneamente desponta na nossa
mente equivale a distância entre 5 e 12.
2. Se fosse marcado um tempo de resposta para cada comparação, provavelmente você teria demorado mais
tempo para responder a segunda e a terceira. Novamente seguimos nosso senso numérico, que é inato. Os números pequenos têm realmente significado para nós. Na primeira comparação, visualmente os números estão
bem distanciados. Mas, de acordo com Devlin (2006: 36), a questão inicial foi quem era maior e não qual
distância havia entre eles. Nos outros exemplos temos pares de números sucessivos em que o maior está em
primeiro lugar. Acabam se tornando comparações iguais, pois temos a tendência de ignorar o primeiro algarismo do terceiro exemplo por ser o mesmo. “E, contudo, já foi mostrado em muitas ocasiões que todo mundo
leva consideravelmente mais tempo para decidir entre 25 e 24 do que entre 5 e 4. A diferença de 1 é, de alguma
forma, mais facilmente reconhecida para pares de números pequenos do que de grandes”.
3. Essa atividade foi realizada por um grupo de psicólogos para testar a capacidade aritmética de crianças
entre 7 e 10 anos. As crianças tinham aprendido as operações básicas de adição, subtração, multiplicação e
divisão. Aplicaram um teste convencional de aritmética com operações de subtração envolvendo números com
no máximo três algarismos. O percentual de sucesso foi extremamente baixo: 14%. Entretanto, as mesmas
crianças participaram de uma feira livre em que operações similares foram realizadas utilizando cálculo mental, sendo verbalizadas para os colegas e pesquisadores. E qual foi o espanto – sucesso – as crianças tiveram
um excelente desempenho.
Vamos acompanhar o raciocínio do menino. Primeiro, ele partiu os 200 em 100 + 100. (Ele não verbalizou,
mas é claro que foi isso que fez.) Ele pôs um 100 de lado e foi calcular: 100 – 35. Para fazer isso, ele primeiro
diminui 35 para 30, e calcula 100 – 30. Isso ele pode fazer facilmente: a resposta é 70. Depois ele corrige novamente o 30 para 35, subtraindo o 5 que ele ignorou: 70 – 5 = 65. Finalmente, ele acrescenta os 100 que pusera
de lado no começo: 65 + 100 = 165. Ele não apenas obtém a resposta certa rapidamente – na sua cabeça numa
feira livre barulhenta – como emprega elegantes manipulações matemáticas para fazê-lo. De fato, um matemático diria que a solução do menino usa um pensamento matemático mais sofisticado do que simplesmente
aplicar o algoritmo padrão da subtração ensinado nas escolas. (...) Como disseram os pesquisadores, as crianças
eram ruins na matemática de escola, mas extraordinárias na matemática das ruas. Qual a diferença entre as
duas? Não é a matemática propriamente dita: 2 + 2 = 4 das ruas a mesma que a da sala de aula? A diferença
era que, quando estavam trabalhando na feira, elas tinham uma forte motivação para fazer os cálculos, e os
números tinham um significado para elas (DEVLIN, 2006: 296).
Unidade III
1. Resposta pessoal.
2. Resposta pessoal em que o você deve observar dificuldades e facilidades encontradas na resolução de situações-problema criadas por você.
Unidade IV
1. Resposta pessoal.
Referências Bibliográficas
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Sites pesquisados em 29/11/2008 referentes às figuras da unidade IV - tópico 4.4
1 - http://i105.photobucket.com/albums/m223/phil_mws/diagrama.jpg
2 - http://i105.photobucket.com/albums/m223/phil_mws/diagrama.jpg
3 - http://www.inca.gov.br/inca/relatorios/rel_2000/diagrama_competencias.gif
4 - www.zats.com.br/industrias.php
5 - www.grafikas.es/ejemplos/pictogramas.htm
6 - http://www.cidadedoslogos.com/images/news/pictogramas_beijing.jpg
7 - http://shw.nandapozza.fotopages.com/12381256/Minha-vida-em-pictogramas-by-Will.html
8 - http://pt.wikipedia.org/wiki/Imagem:Zeichen_350.svg
9 - http://www.saude.ba.gov.br/rbsp/volume29-n2/imagens/Cartograma_02.tif0.JPG
10 - http://www.aids.gov.br/c-geral/ong/item023.jpg
11 - http://www.geografia.fflch.usp.br/inferior/mapas_mapoteca.htm
12 - http://4pilares.zi-yu.com/wp-content/uploads/2008/05/diagrama-de-arvore_espessura-2.png
13 - http://educar.sc.usp.br/matematica/m3p1t3.htm
14 – http://educar.sc.usp.br/matematica/m3p1t3.htm
15 - http://stat2.med.up.pt/cursop/glossario/gbarras1.gif
16 - http://www.criarweb.com/artigos/images/exemplo_grafico.gif
17 - http://img0.gmodules.com/ig/modules/line-chart.png
18 - http://gchartjava.googlecode.com/svn/trunk/img/LineChartTest.test0.png
19 - http://www.faap.br/revista_faap/rel_internacionais/images/image011.gif
20 http://www.fiepr.org.br/fiepr/energia/eficientizacao/componentelivre2657.shtml?webpContentPid=2658
21 - http://www.lugli.org/2008/02/22/grafico-de-setores-pizza/