Aplicações de números irracionais: um
número famoso, outro instigante
Diego da Silva Serra1
Resumo
Este artigo demonstra principalmente aplicações e significados do número irracional
Phi (ϕ), que também é conhecido como número de ouro, além de exemplos de outro
número irracional Pi (π). O estudo está fundamentado na aplicação prática em uma
turma de primeiro ano do ensino técnico integrado em Mecatrônica. Utilizou-se o software Geogebra, a fim de promover o interesse dos alunos, pois ele permite alterações
instantâneas nas figuras, além de conclusões diretas sobre as modificações. Mostrou-se
a eles aplicações matemáticas e curiosidades do número de ouro, como nas obras de
Leonardo da Vinci (Mona Lisa e o Homem Vitruviano), no Parthenon em Atenas e na
Sequência de Fibonacci. Constatou-se que os alunos se sentiram desafiados a procurar
mais aplicações sobre esse número, comprovando como a matemática possui muitas
utilizações computacionais. Consequentemente, os alunos ficaram interessados pelo
uso da informática.
Palavras-chave: Geogebra. Número de ouro. Aplicações matemáticas.
Abstract
This paper demonstrates mainly applications and meanings of the irrational number Phi
(φ), which is also known as golden number, besides examples of other irrational number
Pi (π). The study is based on a practical application in a first grade class of an integrated
technical education in Mechatronics. It was used the Geogebra software, in order to
promote the students’ interest, because it allows instant changes in the figures and direct
conclusions about the changes. It was shown mathematical applications and curiosities
about the number of gold, as the works from Leonardo da Vinci (Mona Lisa and Vitruvian
Man), the Parthenon in Athens and the Fibonacci Sequence. It was found that students
felt challenged to find more mathematical applications on this number, proving that
Mathematics has many computational uses. Consequently, the students were interested in
the internet use.
Keywords: Geogebra. Golden number. Mathematical applications.
1 Filiado ao Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática da Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS), Porto Alegre,
RS, Brasil. Professor de Matemática do Instituto Federal Sul-rio-grandense (IFSUL), campus Charqueadas, RS, Brasil. E-mail: diegoserra@
charqueadas.ifsul.edu.br
Artigo recebido em 30.05.2014 e aceito em 31.10.2014.
SERRA, D. S.
1 Introdução
Há alguns anos, principalmente na área
de matemática, percebe-se que os alunos estão,
cada vez mais, desanimados e desinteressados pelos conteúdos desenvolvidos no colégio.
Frequentemente, surgem questionamentos, tais
como: Onde encontro a matemática no meu cotidiano? Estes cálculos têm aplicação real? Para
que aprender isso?
Neste sentido, Valente destaca:
[...] quando observamos o que acontece com o
ensino de matemática na escola notamos que
o argumento nobre, o desenvolvimento do
raciocínio lógico-dedutivo, não é subproduto
mais comumente encontrado. Muito pelo
contrário. Aprender matemática ou fazer
matemática é sinônimo de fobia, de aversão
à escola e, em grande parte, responsável
pela repulsa em aprender. Assim, o que foi
introduzido no currículo como um assunto para
propiciar o contato com a lógica, com o processo
de raciocínio e com o desenvolvimento do
pensamento, na verdade acaba sendo a causa de
tantos problemas relacionados com o aprender.
(VALENTE, 1993, p. 35).
Nos cursos técnicos integrados observa-se, ainda mais presente, essas indagações.
Tratando-se de cursos de caráter formador e
desenvolvedor de práticas profissionalizantes,
os alunos procuram aplicações objetivas na sua
formação, ou seja, visualizam práticas matemáticas, a fim de aplicá-las na sua futura profissão.
Em busca de respostas, os professores
e formadores são responsáveis por criar novas
ferramentas de ensino, novas maneiras de cativar os alunos e desenvolver a curiosidade matemática. Assim, obtém-se o instrumento necessário, para que eles se interessem e interajam
nas aulas. Uma das ferramentas mais usuais são
os softwares de matemática, onde os alunos se
sentem atraídos e instigados a aprender. O computador se torna a ferramenta atrativa que, de
maneira direta, interliga o professor e o aluno
criando um mecanismo de fácil entendimento.
Um dos softwares mais completos e com
22
grandes aplicações em muitos conteúdos de matemática é o Geogebra. É livre, portanto, gratuito
e apresenta diversas possibilidades: desenvolver
elementos geométricos, calcular áreas, perímetros, construir gráficos, equações, matrizes, entre outras aplicações.
Na turma de primeiro ano do ensino
técnico integrado foi desenvolvida a aplicação
desse software. Fez-se uma revisão de matemática do ensino fundamental que começou por
conjuntos, mais especialmente os conjuntos numéricos, os quais são a base de estudo para muitos outros conteúdos. Nesse tópico, estão englobados assuntos como: mínimo múltiplo comum
(MMC), máximo divisor comum (MDC), números simétricos, números inversos, módulo de
um número real, dízimas periódicas e não periódicas, entre outros.
Nos conjuntos numéricos, a grande maioria dos professores de matemática dispensa boa
parte do tempo, explicando os números naturais,
inteiros, racionais, sendo que os irracionais são
pouco analisados. Além do número Pi (π) que é a
razão entre o comprimento e o diâmetro de uma
circunferência, muito utilizado e aplicado nas
geometrias, em especial plana e espacial. Pouco
se fala de outros números irracionais, como por
exemplo, o número Phi (ϕ), também conhecido
como número de ouro ou razão áurea.
Todavia, nota-se que esse número (Phi),
em especial, oferece enormes aplicações e desafia os alunos. Quando mostramos suas utilidades e presença no mundo, além de demonstrar o
seu valor por meio de ferramentas tradicionais,
ele se torna ainda mais evidente e atrativo com
o uso de softwares - o Geogebra, por exemplo.
A utilização de novas ferramentas e curiosidades sobre matemática são maneiras que tornam o aprendizado mais rápido e interessante.
Nessa perspectiva, foi desenvolvido este artigo,
com o objetivo de destacar essas formas alternativas de ensino, especificamente o uso de ferramentas computacionais.
Neste trabalho, os alunos se tornaram parte
do aprendizado, pois participaram de forma ativa no desenvolvimento da aula e nas conclusões
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Aplicações de números irracionais: um número famoso...
matemáticas sobre os números irracionais. O suas aplicações e seus significados.
estudo se desenvolveu de maneira interativa enEm pesquisas recentes, mostrou-se que o
tre os alunos, a ferramenta computacional e o uso da informática em outras áreas do ensino,
ensinamento do professor.
como matemática, tornou-se uma poderosa ferramenta para minimizar eventuais dificuldades
2 Fundamentação teórica
inerentes ao aprendizado. O enfoque da informática educativa não é o computador como
Em busca de uma educação contínua que objeto de estudo, mas como meio para adquirir
se aproxime da linguagem dos alunos, onde se conhecimentos (VALENTE, 1993).
consiga cativá-los, além de fazê-los participar
De acordo com Gravina et al.:
do processo de ensino-aprendizagem, analisa-se
os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN):
Nossas rotinas de sala de aula também deveriam
Propõe-se, no nível do Ensino Médio, a formação
geral, em oposição à formação específica; o
desenvolvimento de capacidades de pesquisar,
buscar informações, analisá-las e selecioná-las;
a capacidade de aprender, criar, formular[...].
(BRASIL, 2000, p. 5).
incorporar, cada vez mais, as tecnologias,
pois elas também influem nas nossas formas
de pensar, de aprender, de produzir. O “giz e
quadro-negro” é uma tecnologia que teve o seu
momento de impacto no processo educativo[...].
(GRAVINA et al., 2012, p. 12).
Entende-se que não é preciso eliminar tecnologias antigas, mas sim, agregar novas tecnologias a esse processo, com intuito de cativar
um maior número possível de alunos que não
apenas se interessem pelas aulas, porém, participem delas.
Segundo Valente (1993), uma das grandes
motivações do uso de softwares de informática
no processo de ensino e aprendizagem é a possibilidade de desenvolver o raciocínio ou facilitar
a visualização de situações práticas. Dessa forma, criando a curiosidade e as aplicações de uso
pelo aluno.
Existem inúmeras vertentes que defendem
o uso da informática na área da matemática.
Muitas delas coincidem com a justificativa de
[...] a tecnologia na educação contemporânea
que, dessa maneira, o aluno adquire conhecido jovem deverá ser contemplada também
como processo. Em outras palavras, não se mentos de forma rápida, possibilitando ao mestrata apenas de apreciar ou dar significado mo tempo a experimentação e generalização
ao uso da tecnologia, mas de conectar os nesse processo cognitivo:
O professor é responsável por criar mecanismos que consigam conduzir os alunos ao entendimento, desenvolvendo e questionando os
conteúdos aplicados. Para tanto, é preciso proporcionar novas ferramentas em sala de aula,
além de propor problemas e questionamentos
que favoreçam o desenvolvimento do aluno
com o grande grupo e não somente individual.
Uma das ferramentas que os estudantes estão acostumados a utilizar é a informática. Com
o uso do computador, o professor pode proporcionar novas maneiras de aprendizagem que
possibilitem inúmeras aplicações no processo
de ensino. Nesse sentido, destaca-se:
inúmeros conhecimentos com suas aplicações
tecnológicas,[...]. (BRASIL, 2000, p. 94).
O uso da informática permite que o professor modifique a forma de ensino, deixando de utilizar apenas o giz e o quadro-negro.
Agregando novas formas e meios de desenvolver conteúdos, possibilita ao aluno, visualizar
[...] recursos que dão suporte às ações do sujeito e
que consequentemente favorecem a construção do
conhecimento matemático. Na aprendizagem da
matemática este suporte é a possibilidade do “fazer
matemática’: experimentar, visualizar múltiplas
facetas, generalizar, conjeturar e enfim demonstrar.
(GRAVINA; SANTAROSA, 1998, p. 1).
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SERRA, D. S.
3 Números irracionais: experiência prática
Inicialmente, apresentou-se e discutiu-se
os conjuntos numéricos: naturais, inteiros e
racionais. Posteriormente, quando se iniciou
o estudo dos números irracionais, observou-se
uma dificuldade dos alunos conseguirem perceber suas características e seus elementos.
Explanou-se sobre as raízes não exatas,
como primeiros exemplos de números irracionais, tais como: √2, √3, √5, √6, ... Destacou-se
que as raízes √4, √9, √16, √25, ... não pertencem
a esse grupo, pois são raízes ditas exatas, sendo
os mesmos, números racionais.
Nesse momento, surgiu a dúvida de um
aluno: se √0,16 seria irracional? Então, demonstrou-se que:
√0,16 =
16 = 4 = 0,4
√ 100 10
Sendo assim, a mesma é um número racional. Após o primeiro momento, perguntouse aos alunos, se somente as raízes ditas “não
exatas” eram números irracionais. Muitos deles lembraram, rapidamente, do número Pi (π)
que é muito utilizado, inclusive no ensino fundamental, quando se estuda um pouco de geometria, principalmente, a plana. Verificou-se,
também, que poucos sabiam o porquê do valor
de π = 3,14159... A partir de então, observou-se
que seria interessante a introdução do software
Geogebra, por ser de fácil manuseio e de rápida
visualização das formas e cálculos.
Construiu-se uma circunferência qualquer
e um segmento de reta que ligava dois pontos
sobre a circunferência, passando pelo centro da
mesma, ou seja, o seu diâmetro. A partir daí,
utilizou-se a planilha eletrônica que aparece
no Geogebra (à direita, na figura 1) e criou-se
a razão entre o comprimento da circunferência
e o segmento de reta construído, anteriormente, o diâmetro, verificando que o seu valor era
3,1415926535 (destacando, aqui, que o valor
é aproximadamente Pi, pois se mostra um número finito de casas decimais). Como pode ser
visto abaixo:
Figura 1− Construção do número Pi(π) no software Geogebra
Fonte: O autor (2014).
No entanto, muitos alunos acabaram desconfiando que essa razão modificaria de valor,
se mudássemos a circunferência. Foi um momento importante para discutir com os alunos
que: se aumentasse a circunferência, estaria aumentando seu comprimento e, ao mesmo tem-
24
po, seu diâmetro. O mesmo aconteceria, se a diminuísse, estaria diminuindo seu comprimento
e seu diâmetro. Nessa oportunidade, indagou-se
aos alunos: será que esta razão muda de valor?
Muitos voltaram atrás e disseram que “não”, pois
esse aumento ou diminuição iria “se compen-
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Aplicações de números irracionais: um número famoso...
sar”. Mostrou-se, com o Geogebra (destacando
que o software faz um arredondamento para um
número finito de casas decimais), que a razão
não se altera, como demonstra a figura 2.
Figura 2 – Alterações na circunferência da Figura 1 (Software Geogebra)
Fonte: O autor (2014).
Após as visualizações do número Pi(π),
notou-se que os alunos entenderam rapidamente que essa razão será sempre 3,14159..., não
importando o tamanho da circunferência que
está sendo tratada. Esse fato incitou bastante a
curiosidade deles. Na aula seguinte, foram retomados os conceitos e aplicações anteriores.
Questionou-se os alunos, se só existiam esses
tipos de números irracionais. A resposta foi o
silêncio, mas, ao mesmo tempo, uma grande
vontade de conhecer outros números, do mesmo tipo que o Pi(π).
Iniciou-se a procura desse número com o
aplicativo Geogebra, dizendo aos alunos que o
objetivo era encontrar um número que era “mágico”: que estava presente em muitos objetos e
possuía muitas aplicações na natureza, na arte e
na arquitetura. Construiu-se, então, no laboratório de informática, juntamente com os alunos,
um quadrado de qualquer medida de segmento
que formam os seus lados (importante que cada
dupla de alunos criasse um quadrado, com medidas diversas), como na figura 3:
Figura 3 – Quadrado (Software Geogebra).
Fonte: O autor (2014).
Depois, foi construído um segmento (e) de
reta que ligava o ponto médio (ponto E) de um dos
segmentos do quadrado até um de seus vértices,
no segmento oposto do ponto E, como na figura
4. Em seguida, realizou-se uma rotação desse segmento, com ponto fixo no ponto E, com auxílio de
circunferência, pois esse segmento (g) seria o raio
dessa circunferência, como na figura 5.
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Figura 4 – Segmento (e) no quadrado (Software Geogebra)
Fonte: O autor (2014).
Figura 5 – Rotação do segmento, com auxílio da circunferência (Software Geogebra)
Fonte: O autor (2014).
Por fim, construiu-se um retângulo,
usando o lado do quadrado e o segmento (g),
como base e altura do mesmo, conforme
a figura 6. Nessa etapa, solicitou-se que os
alunos descobrissem as razões entre as arestas
dos retângulos, que teriam resultados iguais
para todas as duplas. Eles puderam discutir
entre si. O professor somente auxiliou,
mostrando como achar o comprimento dos
segmentos escolhidos no Geogebra.
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Figura 6 – Retângulos e quadrado (Software Geogebra)
Fonte: O autor (2014).
Surpreendentemente, após 10 minutos
de discussão entre o grande grupo, os alunos
afirmaram que encontraram um valor muito próximo. Esse número era 1,6 e foi obtido
pela razão entre a maior aresta do retângulo
maior pela aresta do quadrado (que seria a
menor aresta do mesmo retângulo). Surgiu
uma indagação: sendo este número 1,6, seria
ele um número racional?
Pediu-se aos alunos que realizassem esse
cálculo na planilha disponível no próprio
Geogebra, pois assim não fariam arredondamentos que influenciaria no resultado final.
Verificaram que esse número possuía muitas
casas após a vírgula, sem período de repetição,
logo, seria esse um número irracional.
Após as conclusões, o professor voltou ao
seu retângulo e começou a realizar alterações
nos mesmos, mostrando na planilha que o
resultado era sempre o mesmo 1,6180..., o
número de ouro, chamado de Phi(ϕ), figura 7.
Para demonstrar algebricamente que o
mesmo se tratava de um número irracional,
resolveu-se a equação entre suas razões, de
forma que suas medidas (a e b) fossem tratadas, sem determinar seus valores, ou seja,
como variáveis.
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Aplicações de números irracionais: um número famoso...
Figura 7 – Valor do número de ouro (Software Geogebra)
Fonte: O autor (2014).
Após algumas operações algébricas, cheUma das maiores descobertas de apligou-se à seguinte razão (já comprovada com o cações do Phi(ϕ) foi nas obras de Leonardo da
software Geogebra):
Vinci. Ele usava essa proporção na construção
de formas, pois acreditava que tal razão era pera = 1+√5 =1,6180339...
~
===> Número de ouro feita. Sendo assim, elas apresentavam uma prob
2
porção harmoniosa entre suas medidas. Uma
Voltou-se ao início do estudo, relembrando de suas obras de arte mais conhecidas é a Mona
que a procura era por um número que possuía Lisa produzida em meados de 1506 e exposta no
muitas aplicações e, até hoje, desperta o interes- Museu do Louvre, em Paris. Abaixo, verifica-se
se de muitos matemáticos.
a imagem original e as proporções áureas.
Figura 8 – Mona Lisa (esquerda: a imagem original; direita: sobreposição com as proporções áureas).
Fonte: Wikimedia Commons (2014b).
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SERRA, D. S.
Outra obra muito conhecida de Da Vinci
é o Homem Vitroviano de 1490, exposto na
Gallerie dell'Accademia (Galeria da Academia)
em Veneza, na Itália. É considerado, por
muitos, como símbolo da simetria básica do
corpo humano. Percebe-se, nesta obra, que
as posições inferiores dos braços e das pernas
estão inscritas em um quadrado e, as posições
superiores, inscritas no círculo, porém, o
umbigo permanece fixo, representando o
centro de gravidade da figura:
Figura 9 – Homem Vitruviano
Fonte: Wikimedia Commons (2014a).
Na
arquitetura,
o
Partenon
é
considerado, por muitos, como um dos
maiores monumentos culturais da história da
humanidade. A obra, construída por volta do
século V a.C. e supervisionada pelo célebre
escultor da Grécia antiga, Fídias (Phideas)
utiliza a proporção áurea. O número de ouro
Phi(ϕ) foi dado em homenagem ao artista.
(BOYER; MERZBACH, 2012).
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Figura 10 – Partenon com proporções aúreas
Fonte: Wesley Cota Blog (2014).
Uma das maiores curiosidades e aplicações
do número de ouro Phi(ϕ) está na sequência de
Fibonacci: um matemático, italiano, nascido por
volta de 1175. Com a publicação do livro Liber
Abacci (Livro do Ábaco) em 1202, Fibonacci se
tornou conhecido. Nele constam estudos sobre
o clássico problema, envolvendo populações de
coelhos, que foi a base para a construção de sua
famosa sequência. Nesse problema, Fibonacci estabelece o crescimento de populações de
pares de coelhos, cuja questão central é: Quantos pares de coelhos podem ser gerados por um
par de coelhos em um ano?
Fibonacci considerou que um par de
coelhos recém-nascido demora um (01) mês
para atingir sua maturidade sexual e, então, irá
gerar um novo casal de coelhos sempre, ou seja,
nascerá um macho e uma fêmea. O período de
gestação é de um (01) mês e, nesse período,
não morrerá nenhum coelho. Desse modo
teríamos:
• 1° mês: um (01) casal de coelhos;
• 2º mês: um (01) casal de coelhos (agora,
já adultos e podendo procriar);
• 3º mês: dois (02) casais de coelhos - um
(01) adulto e um (01) casal jovem, sem
poder procriar;
• 4º mês: três (03) casais de coelhos - dois
(02) adultos e um (01) casal jovem, sem
poder procriar;
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Aplicações de números irracionais: um número famoso...
• 5º mês: cinco (05) casais de coelhos - três
(03) adultos e dois (02) casais jovens,
sem poder procriar;
• 6º mês: oito (08) casais de coelhos cinco (05) adultos e três (03) casais
jovens, sem poder procriar;
• 7º mês: treze (13) casais de coelhos oito (08) são adultos e cinco (05) casais
jovens sem poder procriar;
• 8º mês: vinte e um (21) casais de coelhos
- treze (13) são adultos e oito (08) casais
jovens, sem poder procriar;
• 9º mês: trinta e quatro (34) casais de
coelhos - vinte e um (21) são adultos e
treze (13) são casais jovens, sem poder
procriar;
• 10º mês: cinquenta e cinco (55) casais de
coelhos - trinta e quatro (34) são adultos
e vinte e um (21) são casais jovens, sem
poder procriar;
• 11º mês: oitenta e nove (89) casais de
coelhos - cinquenta e cinco (55) adultos
e trinta e quatro (34) casais jovens, sem
poder procriar;
• 12º mês: cento e quarenta e quatro (144)
casais de coelhos - oitenta e nove (89)
adultos; e cinquenta e cinco (55) casais
jovens, sem poder procriar.
Portanto, a sequência é: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,
21, 34, 55, 89, 144, ... Cada número, a partir do
segundo, é obtido, somando-se os dois números
anteriores ao mesmo, como: 1, 1, 2(1+1), 3(2+1),
5(3+2), 8(5+3), 13(8+5), 21(13+8), ...
Esses números são instigantes, pois se
descobriu inúmeras aplicações dos mesmos,
como na natureza: crescimento de ramos de
árvores, espirais de alguns caracóis, crescimento
populacional de algumas espécies, como os coelhos.
O mais impressionante é que, após essas
aplicações e a exposição de imagens da natureza, informou-se aos alunos que, nessa sequência,
estava presente o número de ouro e que eles deveriam descobrir o motivo. Após algumas tentativas, alguns lembraram que o Phi(ϕ) provinha
de uma razão, logo, teriam que fazer divisões,
porém questionaram quais seriam? Alguns acharam 1,6, na divisão de 8 por 5 e, a partir daí, foi
fácil perceberem que a sequência das divisões se
aproximava ao número de ouro Phi(ϕ):
1 =1; 2 =2; 3 =1,5; 5 =1,666...; 8 =1,6; 13 =1,625; 21 =1,615...; 34 =1,618...
1
1
2
3
5
8
13
21
Nota-se aqui, a proximidade ao núme- 4 Considerações finais
ro de ouro Phi(ϕ), à medida que se formaram
razões com os maiores números da sequência
A partir das observações obtidas, durante
de Fibonacci, por exemplo:
a aplicação dessas atividades, verificou-se que
o objetivo principal foi atingido. Com o uso
233 =1,618055... 377 =1,618025... 610 =1,618037...
de softwares computacionais, os alunos par144
233
377
ticiparam de forma ativa no processo de ensiPor último, percebeu-se o interesse dos no e aprendizagem e ficou demonstrado que a
alunos em descobrir novas aplicações desse matemática possui muitas aplicações como, na
número que instiga a curiosidade de todos os arte, na arquitetura e na engenharia, além de
que o conhecem. Alguns estudantes trouxe- outros.
ram medidas de retângulos presentes na esNotou-se que a utilização da informática
cola que se aproximavam ao número de ouro no processo de ensino, como um meio apoio à
e, assim, esse conteúdo se estendeu por mais aprendizagem, cativou os alunos e despertou o
algumas aulas.
interesse em descobrir novas aplicações. Tam-
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SERRA, D. S.
bém, demonstrou-se como as ações e reflexões
desses alunos se tornam mais rápidas e intuitivas.
Entretanto, percebeu-se que, para esse
processo avançar, o professor torna-se o grande
responsável pela organização e condução
do ensino, ou seja, as aulas devem ser bem
planejadas, com um plano de ensino eficiente,
visualizando objetivos e metas de aprendizado
para cada conteúdo matemático.
O uso da informática, por si só, não
garante que esse processo seja facilitado,
porém pressupõe maiores possibilidades de
aprendizagem, pois os softwares possuem
interações rápidas e maiores visualizações,
auxiliando no processo cognitivo dos alunos.
Aplicações nas artes, arquitetura e engenharia também trazem o caráter pesquisador à
tona. Os alunos visualizam, assim, muitos conceitos aprendidos em sala de aula e que podem
ser utilizados em objetos reais.
Há muitos softwares e aplicações
interessantes na matemática, cabe ao professor
pesquisar, estudar e utilizar essas ferramentas
em suas aulas, criando um ambiente interessante
e instigante no processo de ensino e de
aprendizagem. Dessa forma, obtém-se maiores
perpectivas de sucesso, quanto ao empenho dos
alunos e no desenvolvimento de novos conceitos
e aplicações dessa disciplina, considerada, por
alguns estudiosos, a "mãe das ciências".
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