PRINCÍPIOS DA CONTAGEM NUMÉRICA: UMA CONSTRUÇÃO PROGRESSIVA? 1
Beatriz Vargas Dorneles
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Resumo
A construção dos princípios da contagem é um processo longo que requer
interações em situações de quantificação pela criança.Este trabalho descreve a
construção dos cinco princípios de contagem por crianças de cinco e seis anos e
descreve uma seqüência de construção dos mesmos. Em um grupo de 118 crianças de
cinco e seis anos de escolas particulares, utilizando-se situações experimentais
baseadas no método clínico, encontramos a seguinte ordem na construção: o princípio
da ordem estável é o primeiro a ser construído acompanhado do princípio da
correspondência termo a termo logo a seguir.Os seguintes princípios aparecem nesta
seqüência nos dois grupos de crianças: princípio da cardinalidade, da abstração e da
irrelevância da ordem. Discute-se os resultados confrontando-os coma literatura
existente. Conclui-se que tal tendência na construção destes princípios mantém-se nos
dois grupos pesquisados, é parcialmente coerente com a literatura e sugere-se a
necessidade de intervenção pedagógica com crianças desta faixa etária, considerandose a importância da aprendizagem da contagem para as aprendizagens matemáticas
posteriores.
Palavras-chave: Princípios de contagem, contagem numérica, quantificação.
Introdução
A construção das primeiras regularidades do sistema numérico pelas crianças e,
mais especificamente, das regularidades da contagem numérica tem sido menos
estudada do que a construção das regularidades do sistema alfabético de escrita.No
entanto, há um crescimento no volume de trabalhos escritos na área nas duas últimas
1 Participaram da coleta dos dados as seguintes alunas do PPGEdu: Neila Agranionih, Iara Caierão (Doutorandas),
Jutta Cornelia Reuwsaat Justo, Andréa Wallauer (mestrandas) e Dionara Aragon, Isabel Vasconcellos e Nilce
Azevedo Cardoso (alunas do Programa de Pós-Graduação pelo PEC-Programa de Extensão Continuada). Este
trabalho faz parte do projeto de pesquisa desenvolvido junto ao PPGEdu-UFRGS intitulado “A construção dos
princípios princípios da contagem inicial em crianças de cinco a sete anos”.
2 Doutora em Educação – USP. Professora do PPGEdu da Faculdade de Educação da UFRGS.
1
décadas, tratando desde o uso precoce de símbolos numéricos até uma idéia muito
inicial de numerosidade passando pela compreensão das regularidades da contagem
(FUSON, 1988; GEARY, D., HOARD, M. & HAMSON, C.O. (1999); K.C.;RICHARDS &
BRIARS,1982; GEARY, David C.,1993) em crianças com e sem dificuldades na área da
matemática.
A pesquisa que ora descrevemos trata de um tema bastante específico: a
seqüência de construção cognitiva dos princípios de contagem que aparecem no início
do processo de consolidação de tais regularidades pela criança pequena, de cinco e
seis anos. Consideramos, de acordo com GELMAN e GALISTEL (1978), a existência de
cinco grandes princípios a serem desenvolvidos pelas crianças e consideramos que tais
princípios sofrem influência da qualidade das interações sociais, bem como das
habilidades internas de cada sujeito.
Encontra-se, na literatura da área, uma aceitação relativamente consensual
quanto à existência de tais princípios (GEARY, 1992,1993; FAYOL,1996; NUNES &
BRYANT, 1997; BURGOS, 2003). No entanto, há uma lacuna na literatura a respeito da
seqüência da construção de tais princípios. O que descrevemos nesta pesquisa é
justamente tal seqüência na construção de tais princípios, ou seja, procuramos
determinar tendências no aparecimento seqüencial dos princípios.Já temos trabalhado
com diferentes dimensões da construção numérica (DORNELES, 1998; DORNELES,
2002b; DORNELES, 2003) e, neste momento, optamos por pesquisar a construção dos
princípios de contagem por três razões diferentes mas complementares. Em primeiro
lugar, os princípios da contagem são a base para toda a construção numérica posterior.
Dificuldades nesta construção inicial acarretam dificuldades em vários outros processos
presentes na construção matemática como a literatura na área tem confirmado
(GEARY, HOARD & HAMSON, 1999; GEARY, HAMSON & HOARD, 2000).Uma melhor
compreensão da construção destes princípios possibilita uma intervenção pedagógica
mais precisa e preventiva de dificuldades futuras.Em segundo lugar, a constatação da
existência da lacuna significativa que apontamos acima quanto à seqüência de
construção de tais princípios mesmo com a relativa aceitação da existência dos
mesmos. Em terceiro lugar, a contagem tem sido considerada como uma ferramenta
cognitiva importante não só para a compreensão de conteúdos posteriores como
2
também para o desenvolvimento de habilidades de matematização mais elaboradas e
significativas. Ou seja, é preciso contar bem para desenvolver habilidades cognitivas
mais complexas.Este relato de pesquisa se divide em três seções: a primeira trata do
enquadramento teórico do problema, a segunda descreve a metodologia da pesquisa e
a terceira descreve os primeiros resultados encontrados.
1.Diretrizes teóricas
A compreensão dos processos de aprendizagem e/ou construção do sistema de
contagem numérico tem se ampliado graças a trabalhos publicados sobre o
desenvolvimento de tais processos (GELMAN & GALISTELL, 1978; NUNES &
BRYANT, 1997; BRUN, 1996, HOUDÉ & MIEVILLE, 1994) que
têm garantido um
acúmulo de conhecimentos sobre o tema.
A pesquisa ora descrita está baseada em dois grandes paradigmas teóricos: a
Epistemologia Genética e a Ciência Cognitiva. Temos trabalhado com estas duas
construções teóricas considerando-as na perspectiva de POZO (2002): como
referenciais teóricos que explicam os processos de aprendizagem diversos que estão
presentes na maioria das situações de aprendizagem complexas que caracterizam as
aprendizagens numéricas de crianças e adolescentes.
Como já referimos em trabalho recente (DORNELES, 2003), encontramos na
Epistemologia Genética referenciais poderosos para explicar os processos de
construção e reestruturação cognitiva.Tais processos estão presentes na aprendizagem
das regularidades da contagem, das regularidades do sistema decimal, na construção
das relações espaciais, na compreensão das relações trigonométricas etc. No entanto,
a aprendizagem associativa, bem descrita pela Ciência Cognitiva, está presente
também nas construções numéricas permitindo a memorização das seqüências de
nomes de números, dos resultados da tabuada, dos procedimentos de solução de
problemas, etc.
Portanto, ao falarmos de aprendizagem do sistema numérico estamos diante de
um bom exemplo de sistema complexo, como o define MORIN (1996), que comporta
uma organização hierárquica integrando vários processos. Da mesma forma que
MORIN (BIANCHI, 2001) propõe em relação à natureza das modificações nos sistemas
3
complexos, consideramos que a aprendizagem do sistema numérico dispõe de dois
tipos de processos: processos cíclicos, reversíveis e cumulativos baseados na repetição
e na manutenção da estabilidade (aprendizagem por associação) e outros processos
evolutivos, irreversíveis, que produzem uma reorganização e um aumento da
complexidade (aprendizagem por reestruturação).
1.1.Habilidades numéricas iniciais
Um certo inatismo nas capacidades de quantificação é tema polêmico entre os
pesquisadores da construção numérica (FODOR, 1983; STERNBERG, 2000). GELMAN
& GALISTEL (1978) defendem a existência de uma capacidade inata de “abstração
numérica das crianças”, isto é, a capacidade que as crianças têm para formar
representações sobre a numerosidade de conjuntos. Vários trabalhos realizados com
bebês (FLAVELL et alii, 1999; STERNBERG, 2000) mostram algum tipo de raciocínio
numérico entre bebês, resultante de uma certa predisposição inata que nos possibilita
sermos numericamente competentes. Vale ressaltar, porém, que tais habilidades se
expressam somente frente a conjuntos pequenos de dois, três ou quatro elementos, o
que nos remete ao processo de “subitização” (da palavra “súbito”), um processo de
reconhecimento imediato da quantidade de elementos de um conjunto que é
encontrado inclusive em animais (IFRAH, 1989). Há, porém, que se referir outras
habilidades numéricas iniciais, especialmente um certo conhecimento lingüístico que
permite estabelecer (ou etiquetar) algumas relações do tipo “mais ou menos, maior ou
menor”. São esquemas muito iniciais, que alguns autores (RESNICK, In: STERNBERG,
2000) chamam de “protoquantitativos”, que constituem os elementos básicos para o
desenvolvimento matemático posterior. A autora citada refere três tipos de esquemas
de raciocínio: os esquemas de comparação, os esquemas de aumento ou diminuição e
os esquemas de relações parte-todo.Tais esquemas são os que dão origem aos
princípios da contagem desenvolvidos posteriormente.Porém não há consenso sobre o
caráter inato dos princípios de contagem.FUSON (1988) considera que os princípios de
contagem não são inatos e se desenvolvem a partir da prática repetida dos
procedimentos de contagem, especialmente por imitação.
4
1.2.Princípios da contagem
Partimos, então, da possibilidade de uma certa predisposição genética, não bem
determinada, mas existente, que permite a construção do número, e necessitamos de
oportunidades quantitativas para construir a estrutura da quantificação, suas
regularidades e os instrumentos necessários para realizar esta quantificação que nos
são dados pela cultura. Apesar de que os contextos interacionais variam de cultura para
cultura (DORNELES, 2002a), a maior parte das diferentes culturas oferece um sistema
de contagem junto com as oportunidades para manipular e contar pequenas
quantidades de objetos.A contagem é progressivamente construída na medida em que
as crianças vão compreendendo as regularidades do sistema e organizando os
princípios essenciais que as regem. GELMAN & GALISTEL (1978) foram os
precursores na descrição destes princípios os quais descreveremos a seguir.
O primeiro princípio, o da correspondência termo a termo, supõe que o sujeito
construa a idéia de que deve contar todos os objetos e contar cada um deles uma vez e
apenas uma vez. Se contarmos cada objeto mais de uma vez ou se pularmos os
objetos, chegaremos ao total errado.Portanto, este princípio envolve a correspondência
de um nome de número para cada objeto a ser contado.
O princípio da ordem constante implica em construir a idéia de que a ordem na
qual devemos produzir os números deve ser sempre a mesma, isto significa não mudar
a seqüência para não chegar a resultados inconsistentes.É necessário contar na
seguinte ordem: um, dois, três, quatro, cinco e não quatro, seis, oito, dois.
O terceiro princípio se refere à decisão de quando parar: ou seja, o total de
objetos corresponde ao último nome de número de nossa contagem. E compreender
que este último número envolve todos os números da série contada.
GELMAN E GALISTEL (1978) propõem outros dois princípios: o da abstração,
que determina que os princípios anteriores podem ser aplicados a qualquer tipo de
conjunto e o princípio da irrelevância que indica que a ordem pela qual se começa a
enumerar os elementos de um conjunto é irrelevante para sua designação cardinal.
Compreender a contagem é um processo que envolve tais princípios complexos
que as crianças vão construindo lentamente. Uma boa parte das crianças desenvolve
estes princípios até os cinco, seis anos, mas ainda não estabelecem relações entre
5
todos os aspectos dos números (GEARY, 1993). Numeralizar crianças desta idade
requer envolvê-las em situações nas quais a contagem é uma boa estratégia para
resolver problemas. O uso da contagem em situações significativas torna o número
mais pleno de sentidos (NUNES & BRYANT, 1997). Na medida em que o número for
mais significativo, ele vai se transformando numa ferramenta para pensar, num
procedimento a ser usado para resolver problemas (NUNES & BRYANT, 1997;
DORNELES, 2002b).A aprendizagem da série numérica não termina quando as
crianças são capazes de recitar a seqüência de números corretamente. Esta seqüência
permite que, mais adiante, as crianças e adolescentes recitem automaticamente os
números de dois em dois, de três em três, de quatro em quatro. Além disso, permite
recitá-los regressivamente, o que será de significativa importância para as operações
básicas de adição e subtração (FAYOL,1996). Ou seja, encontramos fartas evidências
de que a contagem inicial é a base para aprendizagens numéricas posteriores.
2.Objetivos da Pesquisa
O objetivo central desta pesquisa é identificar a psicogênese dos princípios da
contagem em crianças de cinco e seis anos, ou seja, determinar a seqüência de
construção dos cinco princípios da contagem em crianças da faixa etária citada
acima.Estabelecer algumas conseqüências desta evolução psicogenética para o ensino
do sistema numérico na educação infantil e nas séries iniciais é o objetivo secundário.
3.Metodologia da investigação
Esta pesquisa foi realizada em cinco escolas particulares, duas de Porto Alegre e
três de diferentes cidades do interior do Rio Grande do Sul. Tais escolas foram
selecionadas considerando dois aspectos:
a) interesse e possibilidade física de realização de atividades individuais com as
crianças da pesquisa e
b) número de crianças, de cinco e seis anos, suficiente para completar a amostra.
Foi utilizado o método clínico como recurso metodológico, com técnicas de
investigação dos cinco princípios de contagem, a partir da descrição dos princípios de
contagem de GELMAN E GALISTEL (1978), organizadas e sintetizadas por BURGOS
6
(2002), em 118 sujeitos assim distribuídos: 62 sujeitos de cinco anos, 56 sujeitos de
seis anos.Tal instrumento foi adaptado pela organizadora da pesquisa com a
autorização do autor.
As técnicas de investigação constam de cinco situações experimentais
diferentes.
A primeira situação refere-se ao princípio da ordem estável. Inicialmente
perguntou-se
à
criança
até
quanto
ela
sabia
contar
e
pediu-se
que
ela
contasse.Anotavam-se todos os procedimentos e respostas orais na folha de respostas.
A segunda situação, envolvendo o princípio da correspondência termo a termo,
consistiu em apresentar inicialmente um grupo de dez fichas enfileiradas e pedir que a
criança diga quantas fichas há no grupo apresentado. Após esta primeira contagem,
apresentou-se o mesmo número de fichas não mais enfileiradas e perguntou-se
novamente quantas fichas havia no grupo.Repetiu-se o mesmo procedimento com 15,
25,35 e 45 fichas.
A terceira situação diz respeito ao princípio da abstração. Perguntou-se à criança
se fossem contadas quinze balas se contaríamos de forma diferente das quinze fichas
ou não.
A quarta proposta trata do princípio da cardinalidade.Ao final da contagem de um
conjunto de 15 elementos, perguntou-se à criança quantos tinham ao todo e pediu-se
que ela entregasse dez fichas à avaliadora.
A quinta proposta refere-se ao princípio da irrelevância da ordem. Pediu-se que a
criança contasse o mesmo conjunto de quinze fichas, apresentado linearmente, em
outra ordem, ou seja, começando por outra ficha. A seguir, solicitava-se que ela
dissesse quantas fichas teria ao desmanchar-se a linearidade do conjunto.Logo, pediase que a criança contasse primeiramente 8 fichas do mesmo conjunto, separando-as e
depois as outras 7 e perguntava-se quantas tinha agora ao todo.
Todas as crianças foram classificadas em três grupos em cada princípio. Aquelas
que apresentavam os indicadores que mostravam que ela já havia construído o
princípio eram consideradas S (Sim).As que mostravam dúvidas, tateios, respostas
pouco consistentes eram consideradas EC (Em construção). As que não demonstravam
7
nenhuma compreensão do princípio que estava em observação eram consideradas N
(Não).
4.Descrição dos dados
A tabela seguinte resume os principais dados encontrados.
Tabela 1
Distribuição dos Princípios de Contagem em Crianças de 5 e 6 anos
Princípio da Ordem
Estável
Idade Quant.
5
Princípio da
Correspondência
Princípio do Valor
Cardinal
Princí
Abstr
S
N
Ec
S
N
Ec
S
N
Ec
S
N
54
3
5
45
8
9
32
15
15
28
2
62 52,54%
87,10% 4,84% 8,06% 72,58% 12,90% 14,52% 51,61% 24,19% 24,19% 45,16% 37,1
56
6
0
0
55
0
1
44
4
8
35
1
56 47,46%
100,00% 0,00% 0,00% 98,21% 0,00% 1,79% 78,57% 7,14% 14,29% 62,50% 19,6
Fonte: Entrevistas realizadas no segundo semestre de 2003 pelo grupo de pesquisa em
seis escolas particulares
Esta tabela aponta três resultados significativos.
a) Há um crescimento importante no
percentual de construção de cada um dos
princípios dos cinco para os seis anos;
b) O princípio
da ordem estável parece ser o mais precoce.Com efeito, 87% das
crianças de cinco anos e 100% das de seis anos já tem este princípio construído.
c) O princípio da correspondência termo-a-termo aparece com um percentual levemente
menor que o princípio da ordem estável, estando consolidado em 72,58% das crianças
de cinco anos e 98,21% das crianças de seis anos. O princípio da Irrelevância da
Ordem aparece, nesta amostra, como o princípio com menor índice de construção tanto
entre as crianças de 5 anos (25,81%), como entre as de 6 anos (51,78%).
8
Na amostra pesquisada tanto entre as crianças de cinco anos como entre as de
seis encontra-se uma seqüência de aparecimento dos princípios muito semelhante:
ordem estável, correspondência termo-a-termo, cardinalidade, abstração e irrelevância
da ordem.
5.Discussão dos dados
Os dados apresentados indicam tendências coincidentes com
FUSON,
RICHARDS & BRIARS (1982) mas discrepantes de outras pesquisas (GELMAN &
MECK, 1983). GELMAN & MECK (1983) apontam para compreensão precoce dos
princípios da correspondência termo a termo e da irrelevância da ordem. FUSON,
RICHARDS & BRIARS (1982) sugerem que o princípio da ordem estável desenvolve-se
gradualmente e que as seqüências iniciais (seqüência até 15 aí incluída) estabilizam-se
até os cinco anos. Os princípios da cardinalidade e da abstração aparecem mais
tardiamente, conforme resultados de FUSON (1988) e SHIPLEY & SHEPPERSON
(1990).GEARY, BOW-THOMAS & YAO (1992) sugerem que crianças de primeira série,
com dificuldades na leitura ou na matemática não entendem o princípio da irrelevância
da ordem mas compreendem o princípio da ordem estável.Para estas crianças a ordem
estável é compreendida mais rapidamente do que a irrelevância da ordem.
Estes resultados sugerem que as crianças com desenvolvimento mais lento ou
dificuldades específicas na matemática demoram mais para compreender o princípio da
irrelevância da ordem.Em nossa pesquisa a maior parte das crianças (com ou sem
dificuldades) apresenta esta mesma tendência. A literatura (GEARY, BOW-THOMAS &
YAO, 1992) aponta para a necessidade de uma intervenção pedagógica eficaz na
construção dos princípios de contagem, especialmente entre as crianças que ainda não
construíram os princípios da ordem estável e da correspondência termo a termo.
6.Conclusões gerais
A compreensão dos princípios de contagem é um conhecimento inicial e
fundamental para os conhecimentos matemáticos posteriores.Estes princípios ainda
são pouco conhecidos dos professores, especialmente os de educação infantil e séries
iniciais. Os dados da pesquisa mostram que estes princípios se desenvolvem
9
progressivamente, sendo que a maioria das crianças já os têm construídos aos seis
anos. No entanto, nesta pesquisa não fizemos distinção entre as crianças de cinco e
seis anos com escolarização prolongada ou não e somente trabalhamos com crianças
de escolas particulares.A próxima etapa da pesquisa contemplará crianças de classes
populares e analisará o desempenho das crianças em cada um dos princípios em
relação com os outros.Os dados encontrados até agora sugerem que se dê uma maior
atenção àquelas crianças que não construíram ainda os princípios inicias (ordem
constante e correspondência termo-a-termo) e que se criem situações pedagógicas
que contemplem todos os princípios.
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