Álgebra Linear
Módulo 2
Autovalores e autovetores
Transformações lineares
Formas quádricas
Jossana Ferreira
Projeto Institucional
Edital nº 015/2010/CAPES/DED
Fomento ao uso de tecnologias de comunição e informação nos cursos de graduação
Jossana Ferreira
Módulo 2
Autovalores e autovetores
Transformações lineares
Formas quádricas
Governo Federal
Presidenta da República
Dilma Vana Rousseff
Vice-Presidente da República
Michel Miguel Elias Temer Lulia
Ministro da Educação
Aloizio Mercadante Oliva
Comitê Gestor
Presidente
Alexandre Augusto de Lara Menezes
Reitora
Ângela Maria Paiva Cruz
Vice-Reitora
Maria de Fátima Freire Melo Ximenes
Coordenação geral
Apuena Vieira Gomes
Secretária de Educação a Distância
Maria Carmem Freire Diógenes Rêgo
Coordenadores
Apuena Vieira Gomes/CE
Adir Luiz Ferreira/CE
Gleydson de Azevedo Ferreira Lima/SINFO
Marcos Aurélio Felipe/CE
Maria Carmozi de Souza Gomes/PROGRAD
Rex Antonio da Costa de Medeiros/ECT
Secretária Adjunta de Educação a Distância
Eugênia Maria Dantas
Pró-Reitoria de Graduação
Alexandre Augusto de Lara Menezes
Secretaria de Educação a Distância (SEDIS)
FICHA TÉCNICA
Coordenador de Produção de Materiais Didáticos
Revisora das Normas da ABNT
Diagramadores
Marcos Aurélio Felipe
Verônica Pinheiro da Silva
Ana Paula Resende
Projeto Gráfico
Revisora Técnica
Ivana Lima
Rosilene Alves de Paiva
Revisores de Estrutura e Linguagem
Ilustradores
Ivana Lima
Eugenio Tavares Borges
Adauto Harley
José Antonio Bezerra Junior
Janio Gustavo Barbosa
Anderson Gomes do Nascimento
Luciana Melo de Lacerda
Jeremias Alves de Araújo
Carolina Costa de Oliveira
Rafael Marques Garcia
Kaline Sampaio de Araújo
Dickson de Oliveira Tavares
Luciane Almeida Mascarenhas de Andrade
Leonardo dos Santos Feitoza
Thalyta Mabel Nobre Barbosa
Roberto Luiz Batista de Lima
Revisoras de Língua Portuguesa
Carolina Aires Mayer
Davi Jose di Giacomo Koshiyama
Elizabeth da Silva Ferreira
Rommel Figueiredo
Cristinara Ferreira dos Santos
Emanuelle Pereira de Lima Diniz
Janaina Tomaz Capistrano
Catalogação da publicação na fonte. Bibliotecária Verônica Pinheiro da Silva.
© Copyright 2005. Todos os direitos reservados a Editora da Universidade Federal do Rio Grande do Norte – EDUFRN.
Nenhuma parte deste material pode ser utilizada ou reproduzida sem a autorização expressa do Ministério da Educacão – MEC
Jossana Ferreira
Álgebra Linear
Módulo 2
Autovalores e autovetores
Transformações lineares
Formas quádricas
Natal – RN
Abril/2012
Sumário
Apresentação Institucional
5
Aula 12 Autovalores e autovetores
7
Aula 13 Diagonalização de matrizes
21
Aula 14 Transformações lineares – definição
37
Aula 15 Transformações lineares e matrizes
57
Aula 16 Transformações lineares inversas
69
Aula 17 Transformações lineares e geometria do 2
83
Aula 18 Formas quádricas
101
Aula 19 Diagonalização de formas quádricas
115
Aula 20 Seções cônicas
125
Apresentação Institucional
A
Secretaria de Educação a Distância – SEDIS da Universidade Federal do Rio Grande
do Norte – UFRN, desde 2005, vem atuando como fomentadora, no âmbito local, das
Políticas Nacionais de Educação a Distância em parceira com a Secretaria de Educação
a Distância – SEED, o Ministério da Educação – MEC e a Universidade Aberta do Brasil –
UAB/CAPES. Duas linhas de atuação têm caracterizado o esforço em EaD desta instituição: a
primeira está voltada para a Formação Continuada de Professores do Ensino Básico, sendo
implementados cursos de licenciatura e pós-graduação lato e stricto sensu; a segunda volta-se
para a Formação de Gestores Públicos, através da oferta de bacharelados e especializações
em Administração Pública e Administração Pública Municipal.
Para dar suporte à oferta dos cursos de EaD, a Sedis tem disponibilizado um conjunto de
meios didáticos e pedagógicos, dentre os quais se destacam os materiais impressos que são
elaborados por disciplinas, utilizando linguagem e projeto gráfico para atender às necessidades
de um aluno que aprende a distância. O conteúdo é elaborado por profissionais qualificados e
que têm experiência relevante na área, com o apoio de uma equipe multidisciplinar. O material
impresso é a referência primária para o aluno, sendo indicadas outras mídias, como videoaulas,
livros, textos, filmes, videoconferências, materiais digitais e interativos e webconferências, que
possibilitam ampliar os conteúdos e a interação entre os sujeitos do processo de aprendizagem.
Assim, a UFRN através da SEDIS se integra o grupo de instituições que assumiram o
desafio de contribuir com a formação desse “capital” humano e incorporou a EaD como modalidade capaz de superar as barreiras espaciais e políticas que tornaram cada vez mais seleto o
acesso à graduação e à pós-graduação no Brasil. No Rio Grande do Norte, a UFRN está presente
em polos presenciais de apoio localizados nas mais diferentes regiões, ofertando cursos de
graduação, aperfeiçoamento, especialização e mestrado, interiorizando e tornando o Ensino
Superior uma realidade que contribui para diminuir as diferenças regionais e o conhecimento
uma possibilidade concreta para o desenvolvimento local.
Nesse sentido, este material que você recebe é resultado de um investimento intelectual
e econômico assumido por diversas instituições que se comprometeram com a Educação e
com a reversão da seletividade do espaço quanto ao acesso e ao consumo do saber E REFLETE O COMPROMISSO DA SEDIS/UFRN COM A EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA como modalidade
estratégica para a melhoria dos indicadores educacionais no RN e no Brasil.
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
SEDIS/UFRN
5
Autovalores e autovetores
Aula
12
Apresentação
Os autovalores e autovetores de uma matriz podem revelar muita informação a respeito
de sistemas e plantas que estejam por trás dessas matrizes. Esse recurso da Álgebra Linear é
bastante utilizado nas engenharias, física, química etc.
Objetivo
Calcular os autovalores e autovetores a partir de matrizes quadradas.
Aula 12
Álgebra Linear
9
Autovalor
Os autovalores de uma matriz também são chamados de valor próprio ou valor característico. Para entendermos sua definição, consideremos uma matriz A quadrada:
⎡
⎤
a11 a12 · · · a1n
⎢
⎥
⎢ a21 a22 · · · a2n ⎥
⎢
⎥
A=⎢
⎥
⎣
⎦
an1 an2 · · · ann
⎡
⎢
⎢
Ao multiplicarmos essa matriz A por um vetor v = ⎢
⎢
⎣
⎤
1
2
⎥
⎥
⎥ não nulo, obtemos um outro
⎥
⎦
n
vetor também de dimensão n ×1. Por outro lado, se multiplicarmos o mesmo vetor v por uma
constante ¸, também obteremos como resultado um vetor de dimensão n×1:
A·v = vetor de dimensão n×1
¸·v = vetor de dimensão n×1
Será que existe algum valor para ¸ que torne esses dois resultados iguais? A.v = ¸.v ?
A resposta é sim. Esses valores são chamados de autovalores.
Portanto, autovalor é um número, real ou complexo, que de certa forma pode substituir
uma matriz quadrada, ou seja, ou autovalores podem representar essa matriz.
Observações
Só é possível obter autovalores e autovetores de matrizes quadradas.
O número de autovalores é definido pela ordem da matriz.
Aula 12
Álgebra Linear
11
Exemplo 1
Se multiplicarmos a matriz A =
1
1
pelo vetor
1
=
1
1
temos:
3
A· 1 =
·
=
. É notório que a constante que devemos multiplicar por v1 para
3
2 1
1
1
3
·
=3·
=
que a igualdade A.v = ¸.v seja satisfeita é ¸=3: λ = 3 :
.
1 2
1
1
3
2 1
Uma outra possibilidade é multiplicarmos a matriz A =
pelo vetor
1 2
−1
2 1
−1
−1
. Assim, temos: A · 2 =
logo, a constan·
=
v2 =
1 2
1
1
1
2 1
1 2
2 1
1 2
te que devemos multiplicar por v 2 para que a igualdade A·v = ¸.v seja satisfeita é ¸=1:
2 1
−1
−1
−1
.
λ=1:
·
=1·
=
1 2
1
1
1
Encontrando os autovalores
No Exemplo 1, conseguimos identificar os autovalores da matriz A, porém, nem sempre
essa tarefa é possível de ser alcançada simplesmente analisando a matriz intuitivamente.
Para obtermos o procedimento a fim de encontrarmos os autovalores de uma matriz
quadrada, vamos partir da própria definição de autovalores:
Av =¸v
Vamos introduzir a matriz identidade sem alterar a igualdade:
Av =¸Iv
Vamos agora somar a ambos os lados da equação o termo –Av:
Av – v = ¸Iv – Av
0 = ¸Iv – Av
Colocando o vetor v em evidência: (¸I– A)v =0
Essa equação resulta em um sistema de equações com n equações e n incógnitas, onde
n é a ordem da matriz A. Note que o sistema é um sistema homogêneo, portanto, admite a
solução trivial (todas as variáveis iguais a zero). No sistema de equações, v é o vetor com as
incógnitas e a matriz (¸I–A) é a matriz dos coeficientes. Sabemos ainda que em um sistema
de equações, quando a matriz dos coeficientes apresenta determinante diferente de zero, isso
implica em um sistema possível determinado, ou seja, de única solução, e como esse sistema
12
Aula 12
Álgebra Linear
é homogêneo, se apresentar uma única solução, essa solução necessariamente será a trivial,
solução que não interessa, pois obteríamos qualquer valor para ¸. Para encontrarmos as
soluções não triviais dessa equação, devemos garantir que o determinante da matriz (¸I–A)
seja igual a zero: det(¸I–A)=0
Essa equação é chamada de equação característica.
Ao desenvolvermos a equação característica, nos deparamos com um polinômio em ¸,
chamado de polinômio característico.
¸n+c1¸n -1+c2¸n -2+ ... + cn -1¸+ cn
Exemplo 2
Encontre os autovalores da matriz A =
2 2
2 2
Fazendo det(¸I–A)=0
det λ
det
1 0
0 1
−
λ − 2 −2
−2 λ − 2
2 2
2 2
=0
=0
(¸ – 2)2 – 4 = 0
¸2 – 4¸ = 0 →polinômio característico
¸(¸–4) = 0
λ1 = 0
autovalores de A
λ2 = 4
1
Encontre os autovalores da matriz A =
2 −4
−4
2
Aula 12
Álgebra Linear
13
Autovetor
Quando partimos da definição Av =¸v encontramos os autovalores da matriz A, porém
quando substituímos o valor de ¸, a equação não é satisfeita para qualquer vetor v, apenas
para alguns vetores que são chamados de autovetores da matriz A.
Portanto, autovetor é o conjunto de vetores solução, não triviais, da equação Av =¸v
ou (¸I–A)v=0, para cada valor de ¸.
Exemplo 3
Encontre os autovetores da matriz A =
2 2
.
2 2
Para encontrarmos os autovetores de uma matriz, antes precisamos conhecer seus autovalores,
como calculamos no Exemplo 2, sabemos que os autovalores de A são 0 e 4.
Então, vamos solucionar a equação (¸I–A)v=0 para ¸=0 e para ¸=4.
Para ¸=0
Para ¸=4
(λI − A)v = 0
0
λ − 2 −2
x1
=
0
y1
−2 λ − 2
0 − 2 −2
x1
0
=
−2 0 − 2
0
y1
−2 −2
x1
0
=
−2 −2
y1
0
−2x1 − 2y1 = 0
−2x1 − 2y1 = 0
(λI − A)v = 0
0
λ − 2 −2
x2
=
0
y2
−2 λ − 2
4 − 2 −2
x2
0
=
−2 4 − 2
0
y2
2 −2
x2
0
=
−2
2
0
y2
2x2 − 2y2 = 0
−2x2 + 2y2 = 0
x1 = −y1
x1
−y1
−1
=
= y1
1
y1
y1
x 2 = y2
x2
y2
1
=
= y2
1
y2
y2
v 1 = (−1, 1)
14
Aula 12
Álgebra Linear
v 2 = (1, 1)
Autoespaço
Note que em toda situação obteremos um sistema possível indeterminado porque definimos no início que det(¸I–A)=0, o que caracteriza um sistema possível indeterminado ou
impossível, e como o sistema é sempre homogêneo, logo não pode ser impossível. Portanto,
sempre teremos infinitas soluções para os autovetores e, por essa razão, não dizemos que
apenas um determinado vetor é autovetor de uma matriz e sim todo espaço gerado por essa
base encontrada. Esse espaço solução para os autovalores possíveis é chamado de autoespaço
associado a um determinado autovalor.
2
Encontre os autovetores da matriz A =
2 −4
−4
2
.
Observação:
O sistema tem soluções não triviais.
Se A é uma matriz triangular ou diagonal, então, os autovalores de A são os
elementos da diagonal principal.
Propriedades
Se v é um autovetor associado a um autovalor ¸ de A, então, kv também é
um autovetor de A associado ao mesmo autovalor.
Se ¸ é autovalor de A, então, ¸k é um autovalor de Ak.
Se ¸ é autovalor de A, então, ¸–1 é um autovalor de A–1.
Se ¸ é autovalor de A, então, k¸ é um autovalor de kA.
*k é um escalar.
Aula 12
Álgebra Linear
15
Multiplicidade dos autovalores
Multiplicidade algébrica
A multiplicidade algébrica dos autovalores indica a quantidade de vezes que um determinado autovalor aparece como solução do polinômio característico.
Multiplicidade geométrica
A multiplicidade geométrica dos autovalores indica a dimensão do autoespaço associado
a um determinado autovalor, ou seja, a quantidade de vetores na base do autoespaço.
Exemplo 4
⎡
⎤
0 0 1
⎢
⎥
Encontre a multiplicidade algébrica e geométrica da matriz A = ⎣ 0 0 1 ⎦
Encontrando os autovalores de A:
0 0 1
det(λI − A) = 0
⎛
⎞
λ 0 −1
⎜
⎟
det ⎝ 0 λ −1 ⎠ = 0
0 0 λ−1
Escolhendo a terceira linha da matriz:
detM = m31 c31 + m32 c32 + m33 c33 = 0
detM = 0 · c31 + 0 · c32 + m33 c33 = 0
0 3+3 λ
detM = (λ − 1)(−1) =0
0 λ 2
(λ − 1)λ = 0
λ1 = 1 → M ult. Algébrica = 1
λ2 = 0
→ M ult. Algébrica = 2
λ3 = 0
16
Aula 12
Álgebra Linear
Encontrando os autovetores de A:
Para ¸=1
Para ¸=0
(λI − A)v = 0
⎞ ⎛ ⎞
⎛
⎞⎛
0
λ 0 −1
x1
⎟ ⎜ ⎟
⎜
⎟⎜
⎝ 0 λ −1 ⎠ ⎝ y1 ⎠ = ⎝ 0 ⎠
z1
0
0 0 λ−1
(λI − A)v = 0
⎞ ⎛ ⎞
⎛
⎞⎛
0
λ 0 −1
x2
⎟ ⎜ ⎟
⎜
⎟⎜
⎝ 0 λ −1 ⎠ ⎝ y2 ⎠ = ⎝ 0 ⎠
z2
0
0 0 λ−1
(λI − A)v = 0
⎞ ⎛
⎛
⎞⎛
1 0 −1
x1
⎟ ⎜
⎜
⎟⎜
⎝ 0 1 −1 ⎠ ⎝ y1 ⎠ = ⎝
z1
0 0
0
x1 − z 1 = 0
y 1 − z1 = 0
⎞
⎛
⎞ ⎛
⎛
1
z1
x1
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎜
⎝ y 1 ⎠ = ⎝ z1 ⎠ = z 1 ⎝ 1
(λI − A)v = 0
⎞ ⎛ ⎞
⎛
⎞⎛
0
0 0 −1
x2
⎟ ⎜ ⎟
⎜
⎟⎜
⎝ 0 0 −1 ⎠ ⎝ y2 ⎠ = ⎝ 0 ⎠
z2
0
0 0 −1
−z2 = 0
⎞ ⎛
⎛ ⎞
⎛
⎛ ⎞
⎞
x2
1
x2
0
⎟ ⎜
⎜ ⎟
⎜
⎜ ⎟
⎟
⎝ y2 ⎠ = ⎝ y2 ⎠ = x 2 ⎝ 0 ⎠ = y2 ⎝ 1 ⎠
z2
0
0
0
0
⎟
0 ⎠
0
⎞
⎟
⎠
1
z1
z1
⎞
v 2 = (1, 0, 0), v 3 = (0, 1, 0)
v 1 = (1, 1, 1)
Multiplicidade geométrica de ¸=1 → 1
Multiplicidade geométrica de ¸=0 → 2
3
Encontre as multiplicidades algébricas e geométricas dos autovalores de
⎡
⎤
0 0 1
⎢
⎥
A = ⎣ 0 0 1 ⎦.
1 1 1
Aula 12
Álgebra Linear
17
Desafio
1)
Sabendo que o polinômio característico é p(¸)= ¸3 –¸2+2¸+4, encontre det(A).
2)
Conhecendo os autovalores de A, então, conhecemos os autovalores de AT?
3)
Uma matriz A é inversível se um dos seus autovalores for zero?
Resumo
O assunto de autovalores e autovetores é um dos mais usados da Álgebra
Linear e é importante que nesta aula você tenha aprendido como calculá-los,
assim como entender seu significado, pois esse conteúdo será amplamente
aplicado daqui em diante.
Autoavaliação
1
a)
Encontre os autovalores e autovetores das seguintes matrizes.
A=
b)
A=
c)
A=
d)
18
Aula 12
A=
Álgebra Linear
4
2 1
0 3
2 1
2 3
⎡
e)
⎤
0 1 1
⎢
⎥
A=⎣ 1 1 0 ⎦
1 0 1
⎡
1
1
1 −1
f)
⎤
1 0 0
⎢
⎥
A=⎣ 0 0 0 ⎦
0 0 0
⎡
g)
⎢
⎢
A=⎢
⎢
⎣
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎡
2
⎤
−1 −2 −2
⎥
Encontre os autovalores e autovetores de A15, sendo A = ⎢
2
1 ⎦.
⎣ 1
−1 −1
0
3
Encontre uma matriz de ordem 4 onde seus autovalores sejam 1, 2, 3 e 4.
4
Encontre uma base para o autoespaço de:
⎡
a)
⎡
⎤
1 1 1
⎢
⎥
F =⎣ 0 0 0 ⎦
1 0 1
b)
5
Considere a matriz A =
a b
c d
⎢
⎢
H=⎢
⎢
⎣
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
2
0
0
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
e responda:
a)
Que condição faz com que a matriz A tenha autovalores complexos?
b)
Que condição faz com que os autovalores de A tenham multiplicidade algébrica diferente
de 1?
6
Se um dos autovalores de uma matriz B é zero, a matriz B é não singular?
Justifique.
7
Considere o polinômio característico de A, p(¸)= ¸(¸–2)(¸+1)3 (¸–4).
a)
Qual o tamanho de A?
b)
A é inversível?
Referências
ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre:
Bookman, 2001.
BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Harper-Row, 1980.
LAY, David. Álgebra linear e suas aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
Aula 12
Álgebra Linear
19
Anotações
20
Aula 12
Álgebra Linear
Diagonalização de matrizes
Aula
13
Apresentação
S
abemos que muitos sistemas podem ser representados por matrizes e a manipulação
dessas matrizes implica em análise, melhorias e cálculos desses sistemas. Imagine que
essas matrizes, em determinados casos, não sejam simples de serem manipuladas,
então devemos encontrar matrizes o mais simples possível para representar esses sistemas e
assim ganhar em tempo de processamento e custo operacional. Uma das formas de obter essa
simplificação consiste em encontrarmos uma matriz diagonal que seja semelhante à original,
e a esse processo chamamos de diagonalização de matrizes.
Objetivos
1
Saber aplicar o processo de diagonalização de matrizes.
2
Diferenciar a diagonalização convencional da diagonalização ortogonal.
3
Calcular a matriz que diagonaliza outra.
Aula 13
Álgebra Linear
23
Definição
A diagonalização de matrizes consiste na obtenção de uma matriz diagonal que seja
equivalente à matriz original. O que motiva a obtenção dessa matriz equivalente diagonal
são as suas características. Por apresentar todos os elementos fora da diagonal principal
diferentes de zero, isso implica, matematicamente, em uma redução significativa no custo de
processamento dessa matriz.
Matrizes equivalentes
Para entender melhor como a matriz diagonal pode ser semelhante a uma matriz qualquer
quadrada, vejamos a seguir o que é preservado em matrizes semelhantes.
Considere duas matrizes A e B que sejam semelhantes:
As características (postos) são iguais.
As nulidades são iguais.
Os polinômios característicos são iguais.
Os determinantes são iguais.
Os traços são iguais.
Os autovalores são iguais.
Os autovetores são correspondentes.
Com esses pontos iguais, então podemos afirmar que duas matrizes são semelhantes.
O desafio consiste então em encontrar uma matriz diagonal que preserve todos esses itens
da matriz original.
Por definição, dizemos que duas matrizes A e B são semelhantes se existir uma matriz
P, inversível, tal que:
B = P–1AP
Aula 13
Álgebra Linear
25
Então, se encontrarmos a matriz P, estamos encontrando a matriz que diagonaliza A, e
B será uma matriz diagonal.
Matriz diagonal
Se B é uma matriz diagonal semelhante à A e os autovalores são preservados quando
as matrizes são semelhantes, então a única possibilidade de B ter os mesmos autovalores de
A é se os elementos da diagonal de B forem os próprios autovalores de A:
B = D = P –1AP
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
D=⎢
⎢
⎢
⎣
λ1 0 0 · · ·
0 λ2 0 · · ·
0 0 λ3 · · ·
0
0
0
0
0
0
· · · λn
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Se quisermos apenas saber qual a matriz diagonal equivalente, então basta encontrarmos os autovalores da matriz A, porém, muitos problemas requerem encontrar a matriz que
diagonaliza A, uma vez que essa simplificação na matriz de trabalho implica em uma mudança
de coordenadas e é muito provável que todos os dados envolvidos com o sistema original
necessitem migrar para esse novo sistema de coordenadas.
Matriz que diagonaliza a matriz A
Para encontrarmos a matriz que diagonaliza A, devemos encontrar os autovetores da
matriz A, uma vez conhecidos os autovetores v1, v2, v3,..., vn, basta montar a matriz P com os
autovetores por coluna:
P = [v 1 |v 2 |v 3 | · · · |v n ]
A única ressalva é que os autovetores sejam linearmente independentes (LI), pois P deve
ser inversível. Portanto, se os autovetores forem LI e a quantidade de autovetores for igual à
ordem da matriz A, então dizemos que A é diagonalizável.
26
Aula 13
Álgebra Linear
Exemplo 1
⎡
⎤
1 0 0
⎥
Encontre a matriz que diagonaliza A = ⎢
⎣ 2 0 0 ⎦
0 0 1
Resolução:
Encontrando os autovalores:
det(λI− ) = 0
A=
λ1 = λ2 = 1
λ3 = 0
Encontrando os autovetores:
λ=1
(λI − A)X = 0
⎤ ⎡ ⎤
⎡
⎤⎡
0
1−1 0
0
x1
⎥ ⎢ ⎥
⎢
⎥⎢
0 ⎦ ⎣ x2 ⎦ = ⎣ 0 ⎦
⎣ −2 1
x3
0
0
0 1−1
{−2x1 + x2 = 0
⎛ ⎞
⎛ ⎞
0
1
⎜ ⎟
⎜ ⎟
v1 = ⎝ 2 ⎠ , v2 = ⎝ 0 ⎠
1
0
λ=1
(λI − A)X = 0
⎤ ⎡ ⎤
⎡
⎤⎡
0
0−1 0
0
x1
⎥ ⎢ ⎥
⎢
⎥⎢
0 ⎦ ⎣ x2 ⎦ = ⎣ 0 ⎦
⎣ −2 0
x3
0
0
0 0−1
−x1 = 0
−x3 = 0
⎛ ⎞
0
⎜ ⎟
v3 = ⎝ 1 ⎠
0
Verificando se os autovetores são LI:
k1 v 1 + k2 v 2 + k3 v 3 = 0
k1 (1, 2, 0) + k2 (0, 0, 1) + k3 (0, 1, 0) = 0
⎧
⎪
k1 = 0
⎨
2k1 + k3 = 0
⎪
⎩
k3 = 0
k1 = k2 = k3 = 0
Como todas as constantes são iguais a zero, então o conjunto é LI.
Aula 13
Álgebra Linear
27
Montando a matriz P:
P = [ v1
1
P = 2
0
P
−1
=
v2 v3 ]
0 0
0 1
1 0
1 0 0
0 0 1
−2 1 0
Verificando:
D = P-1AP
⎡
⎤ ⎡
⎤ ⎡
⎤
1 0 0
1 0 0
1 0 0
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
D =⎣ 0 0 1 ⎦·⎣ 2 0 0 ⎦·⎣ 2 0 1 ⎦
−2 1 0
0 0 1
0 1 0
⎡
⎤ ⎡
⎤
1 0 0
1 0 0
⎢
⎥ ⎢
⎥
D =⎣ 0 0 1 ⎦·⎣ 2 0 1 ⎦
0 0 0
0 1 0
⎡
⎤
1 0 0
⎢
⎥
D=⎣ 0 1 0 ⎦
0 0 0
Matriz diagonal formada a partir dos autovalores de A.
1
⎡
Encontre a matriz que diagonaliza
⎤
2 0 1
⎢
⎥
A=⎣ 1 0 1 ⎦
0 0 1
Potenciação de matrizes
A diagonalização de matrizes permite-nos calcular potências de matrizes. Sabendo que
D = P–1AP, ao multiplicarmos a matriz diagonal por ela mesma, teremos:
D·D = (P–1AP)·(P–1AP)
Eliminando os parênteses, temos:
D 2 = P–1A /AP = P–1A2P
Multiplicando a expressão pela esquerda por P e pela direita por P –1, temos:
28
Aula 13
Álgebra Linear
PD 2P –1 = A2
Se multiplicarmos novamente por D, chegaremos à conclusão que:
Ak = PDkP–1
Onde k é qualquer expoente inteiro.
Dessa forma, se conhecemos a matriz diagonal e a matriz que diagonaliza A, podemos calcular
qualquer potência de A.
Exemplo 2
Calcule A15, onde A =
0 0
1 1
Resolução:
Sabemos que A15 = PD15P –1 , então devemos encontrar D e P.
Encontrando os autovalores:
λ1 = 1
det(λI− ) = 0
λ2 = 0
Encontrando os autovetores:
λ1 = 1
λ2 = 0
(λI − A)X = 0
0
1
0
x1
=
0
−1 1 − 1
x2
x1 = 0
0
v1 =
1
(λI − A)X = 0
0
0
x1
0
=
−1 0 − 1
x2
0
−x1 − x2 = 0
1
v2 =
−1
Verificando se os autovetores são LI:
Como não são múltiplos um do outro, então são LI.
Matriz diagonal: D =
1 0
0 0
, D15 =
Matriz que diagonaliza A: P =
0
1
1 −1
115 0
0 0
=
, P −1 =
1 0
0 0
1 1
1 0
Aula 13
Álgebra Linear
29
Logo,
A
15
=P
15
P
−1
=
0
1
1 −1
·
1 0
0 0
·
1 1
1 0
=
0 0
1 1
2
Calcule A15, onde A =
1 −1
.
1
1
Diagonalização ortogonal
de matrizes
Uma particularidade no caso da diagonalização de matrizes é quando a matriz que diagonaliza A é uma matriz ortogonal:
P t = P –1
Ou seja, os vetores que representam as linhas e as colunas de P são ortonormais entre si.
A diagonalização ortogonal permite que a transição de um sistema de coordenadas para
outro ocorra sem perda de proporções, fato que comprovaremos ao estudarmos as cônicas.
Portanto, se houver uma matriz P, tal que D = P–1AP = P tAP, então dizemos que A é
ortogonalmente diagonalizável.
Para saber se A pode ser diagonalizada ortogonalmente, devemos observar se A é uma
matriz simétrica, caso contrário, já podemos descartar a possibilidade. Então:
Se At = A (simétrica), A é diagonalizável ortogonalmente.
O processo de obtenção da matriz que diagonaliza A ortogonalmente é inicialmente o
mesmo do processo de diagonalização convencional, porém quando encontramos os autovetores LI, estes devem ser ortonormais e, para isso, aplicamos o processo de Gram-Schmidt e
depois normalizamos os vetores para só então montarmos a matriz P.
As etapas para a diagonalização ortogonal são:
30
Aula 13
1)
Encontrar os autovetores.
2)
Se os vetores forem LI, aplicar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt.
3)
Normalizar os vetores.
Álgebra Linear
Exemplo 3
⎡
⎤
1 0 1
⎢
⎥
Encontre a matriz que diagonaliza A = ⎣ 0 0 0 ⎦ ortogonalmente.
1 0 1
Resolução:
Encontrando os autovalores:
λ1 = 2
det(λI− ) = 0
λ2 = λ3 = 0
Encontrando os autovetores:
λ1 = 2
(λI − A)X = 0
⎡
2 − 1 0 −1
⎢
2
0
⎣ 0
−1 0 2 − 1
⎧
⎪
⎨ x1 − x3 =
x2 =
⎪
⎩
−x1 + x3 =
⎛ ⎞
1
⎜ ⎟
v1 = ⎝ 0 ⎠
1
λ2 = 0
⎤⎡
⎤
⎡
⎤
0
x1
⎥ ⎢ ⎥
⎥⎢
⎦ ⎣ x2 ⎦ = ⎣ 0 ⎦
x3
0
0
0
0
{x1 = x3
(λI − A)X = 0
⎡
⎤ ⎡ ⎤
⎤⎡
0 − 1 0 −1
0
x1
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎥⎢
0
0 ⎦ ⎣ x2 ⎦ = ⎣ 0 ⎦
⎣ 0
−1 0 0 − 1
x3
0
x1 = −x3
−x1 − x3 = 0
x2
⎛ ⎞
⎛
⎞
0
−1
⎜ ⎟
⎜
⎟
v2 = ⎝ 0 ⎠ , v3 = ⎝ 1 ⎠
0
1
Verificando se os autovetores são LI:
k1 v 1 + k2 v 2 + k3 v 3 = 0
k1 (1, 0, 1) + k2 (−1, 0, 1) + k3 (0, 1, 0) = 0
⎧
⎪
⎨ k1 − k3 = 0
k2 = 0
⎪
⎩
k1 + k3 = 0
k1 = k2 = k3 = 0
Como todas as constantes são iguais a zero, então o conjunto é LI.
Analisando se os vetores são ortogonais:
<(1,0,1),(–1,0,1)> = 0
<(1,0,1),(0,1,0)> = 0
<(–1,0,1),(0,1,0)> = 0
Aula 13
Álgebra Linear
31
Não será necessário utilizar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, pois os vetores
já são ortogonais, é necessário então apenas normalizá-los:
⎛
⎜
(1, 0, 1) ⎜
v1
v1 =
=⎜
= √
⎜
v 1 2
⎝
1
√
2
0
1
√
2
⎞
⎛
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎜
(−1, 0, 1) ⎜
v2
√
v2 =
=⎜
=
⎜
v 2 2
⎝
−1
√
2
0
1
√
2
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎞
0
⎜ ⎟
v3 = ⎝ 1 ⎠
0
Montando a matriz P:
t
P =⎡
[ v 1 v 2 v 3 ] ⎤ P −1 = P
⎡
−1
√1
√
√1 0 √1
0
2
2
⎢ 2 2 ⎥
⎢
⎥ P −1 = ⎢ √
−1
1
P =⎢
0
0
1
√
0
⎦
⎣
⎣ 2
2
√1
√1 0
2
2
0 1 0
⎤
⎥
⎥
⎦
3
⎡
⎤
0 0 1
⎥
Encontre a matriz que diagonaliza A = ⎢
⎣ 0 2 0 ⎦ ortogonalmente.
1 0 0
Desafio
⎡
1)
2)
⎢
⎢
⎢
N
=
A matriz
⎢
⎣
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
⎤
⎥
⎥
⎥ pode ser diagonalizada? E diagonalizada ortogonalmente?
⎥
⎦
Se A é uma matriz quadrada de ordem 3, a qual possui dois autovalores distintos, onde
cada autoespaço é unidimensional. A é diagonalizável? Justifique.
3)
32
Aula 13
Prove que A não é diagonalizável se s≠0. A =
Álgebra Linear
r s
0 r
Resumo
Nesta aula, você aprendeu como obter uma matriz diagonal equivalente a
uma matriz qualquer, assim como obter a diagonalização ortogonal. Viu ainda
como identificar quais os requisitos para que determinada matriz possa ser
diagonalizada e diagonalizada ortogonalmente.
Autoavaliação
Determine se a matriz A é diagonalizável. Em caso afirmativo, encontre a matriz
que diagonaliza A.
1
a)
2 1
0 1
A=
⎡
c)
⎡
b)
⎤
3 0 0
⎢
⎥
A=⎣ 1 3 0 ⎦
0 1 3
e)
⎡
d)
⎤
2 0 2
⎢
⎥
A=⎣ 0 0 0 ⎦
2 0 2
A=
2 1
0 1
⎡
c)
⎡
b)
⎡
⎢
⎢
A=⎢
⎢
⎣
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Determine se a matriz A é diagonalizável ortogonalmente. Em caso afirmativo,
encontre a matriz que diagonaliza A ortogonalmente.
2
a)
⎤
0 0 1
⎢
⎥
A=⎣ 0 0 1 ⎦
1 1 1
⎤
3 0 0
⎢
⎥
A=⎣ 1 3 0 ⎦
0 1 3
⎤
0 0 1
⎢
⎥
A=⎣ 0 0 1 ⎦
1 1 1
⎡
d)
⎤
2 0 2
⎢
⎥
A=⎣ 0 0 0 ⎦
2 0 2
⎡
e)
⎢
⎢
A=⎢
⎢
⎣
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
Aula 13
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Álgebra Linear
33
⎡
3
⎤
0 2 2
⎢
⎥
Calcule A21. A = ⎣ 0 0 1 ⎦
0 1 0
4
Para que valores de x a matriz B é diagonalizável? E ortogonalmente diagonalizável?
B=
1 1
0 x
Referências
ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre:
Bookman, 2001.
BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Harper-Row, 1980.
LAY, David. Álgebra linear e suas aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
Anotações
34
Aula 13
Álgebra Linear
Anotações
Aula 13
Álgebra Linear
35
Anotações
36
Aula 13
Álgebra Linear
Transformações
lineares – definição
Aula
14
Apresentação
No estudo de espaços vetoriais é comum que espaços distintos se relacionem entre
si e essa interação ocorre através de funções que, em se tratando de espaços vetoriais, são
chamadas de transformações lineares.
Objetivos
1
Reconhecer os espaços evolvidos na transformação linear.
2
Calcular núcleo e imagem de transformações lineares.
3
Encontrar vetores de espaços distintos que estão relacionados através da transformação linear.
Aula 14
Álgebra Linear
39
Definição
Transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que
preservam a adição vetorial e a multiplicação por escalar. Também pode ser chamada de
aplicação linear ou mapa linear.
Considerando funções da forma w =F(x), onde a variável independente x é um vetor em
V (espaço domínio) e a variável dependente w é um vetor em W (espaço imagem), tem-se
que a função é dita uma transformação linear F: V →W se satisfizer as seguintes condições:
i)
ii)
F(x1 + x2) = F(x1)+ F(x2)
F(k·x1) = k·F(x1)
onde
x1 e x2= elementos quaisquer de V e k = constante.
Notação: Uma transformação T de um espaço vetorial V em um espaço vetorial W será
denotada por
T :V →W,
onde
T(v)=w,
sendo v um elemento de V e w um elemento de W. A Figura 1 mostra os espaços vetoriais V
e W relacionados através da transformação linear T.
T:V →W
o Domín
paç
io
Es
Espaço
vetorial
V
V2
Vn
V1
Es
T(V1 ) =W1
T(V2 ) =W2
o Image
paç
m
Espaço
vetorial
W
W1
T(Vn ) =Wn
W2
Wn
Figura 1 – Transformação linear de V em W
Aula 14
Álgebra Linear
41
Exemplo 1
Explique se T: →, T(x)= 8x é uma transformação linear.
Resolução:
Para que T(x)= 8x seja uma transformação linear T: →, é necessário que sejam satisfeitas
as duas condições:
i)
T(x1 + x2) = T(x1) + T(x2)
T(x1) = 8x1
T(x2) = 8x2
T(x1)+ T(x2) = 8x1+8x2 = 8(x1 + x2)
T(x1 + x2) = 8(x1 + x2)
Como T(x1 + x2) = T(x1)+ T(x2), primeira condição satisfeita.
ii)
T(k·x1) = k.T(x1)
T(k·x1)=8(k·x1)= k.8(x1)
k ·T(x1)= k·8(x1)
Satisfaz também a segunda condição T(k·x1) = k.T(x1). Logo, a transformação é uma
transformação linear.
Exemplo 2
Explique se T: 4→2, T(x,y,z,w)=(x+y+1,z–w), é uma transformação linear.
Resolução:
Para que a transformação seja uma transformação linear, é necessário que sejam satisfeitas
as duas condições:
i) T(u + v) = T(u)+ T(v),
onde u =(u1,u2,u3,u4), v =(v1,v2,v3,v4)
T(u)=(u1 + u2 + 1, u3–u4)
T(v)=(v1 + v2 + 1,v3– v4)
T(u)+ T(v) = (u1+v1+u2+v2+1+1, u3+v3–u4 – v4)= (u1+v1+u2+v2+2, u3+v3–u4–v4)
T(u + v) =(u1+v1+u2+v2+1, u3+v3–u4–v4)
Como T(u + v) ≠T(u)+ T(v), a primeira condição não foi satisfeita. Logo, a transformação
não é linear.
42
Aula 14
Álgebra Linear
Em toda transformação linear T:V→W, tem-se que T(0)=0.
Essa característica da transformação linear pode ser usada para provar que
uma determinada transformação não é linear, caso T(0) seja diferente de zero.
Mas quando a transformação T(0) é nula, sem que seja feita nenhuma outra
avaliação, não é possível afirmar que a transformação é linear.
Avaliando os exemplos anteriores, tem-se que:
Exemplo 1
T: →, T(x) = 8x (é uma transformação linear)
T(0)=8·0=0
Exemplo 2
T: 4→2, T(x,y,z,w)=(x+y+1,z–w) (não é uma transformação linear)
T(0,0,0,0)=(0+0+1,0-0)=(1,0,0)
No exemplo 1, verificamos que a transformação é linear, logo, T(0)=0. Já no exemplo 2, foi
verificado que a transformação não é linear, T(0)≠0.
1
Explique se as transformações são lineares.
a)
T: 2→3, T(x,y)=(3x,–2y, x–y)
b)
T: →, T(x)= 3x2
Aula 14
Álgebra Linear
43
Princípio da superposição
O princípio da superposição nos permite “separar” transformações lineares de somas de
vetores, assim como deslocar constantes para fora da transformação, isso faz com que usemos
parcelas mais simples de serem resolvidas. Na realidade, aplicaremos as características de
adição e multiplicação por escalar das transformações lineares.
T:V→W é uma transformação linear, {v1,v2,...,vn } é base de V e ¸1, ¸2,..., ¸n pertencem a , então:
T(¸1v1+¸2v2+...¸nvn)= ¸1T(v1)+ ¸2T(v2)+...+ ¸nT(vn)
O princípio da superposição possibilita encontrarmos as expressões das transformações
a partir de pares de vetores relacionados por essa transformação linear.
Exemplo 3
Seja T: 3→2 uma transformação linear e B={v1,v2,v3} uma base do 3, onde v1=(0,1,0),
v 2=(1,0,1) e v 3=(1,1,0); determine T(v), sabendo que v =(5,3,–2), T(v 1)=(1,–2),
T(v2)=(3,1) e T(v3)=(0,2).
Resolução:
O vetor v pode ser escrito como combinação linear dos elementos da base B, considere ¸ constantes:
V=¸1v1+¸2v2+¸3v3
v =¸1(0,1,0)+¸2(1,0,1)+¸3(1,1,0)
v=(¸2+¸3, ¸1+¸3, ¸2)
(5,3,–2)= (¸2+¸3, ¸1+¸3, ¸2)
¸2+¸3=5
¸1+¸3=3
¸2=–2
Logo,
¸1= –4
¸2= –2
¸3= 7
Assim,
v =¸1v1+¸2v2+¸3v3
v= –4 v1–2v2+7v3
44
Aula 14
Álgebra Linear
Aplicando a transformação em ambos os lados da equação, temos:
T(v)=T(–4v1–2v2+7v3)
Usando agora o princípio da superposição podemos separar as somas e colocar as constantes
para fora da transformação:
T(v)=–4T(v1)–2T(v2)+7T(v3)
T(v)=–4(1,–2)–2(3,1)+7(0,2)
T(V)=(–10,20)
Dessa forma, encontramos
T(v)=T(5,3,–2)=(–10,20).
Exemplo 4
Encontre, caso exista, T: 2→3 tal que T(1,1)=(3,–2,1) e T(0,–2)=(0,1,0).
Resolução:
A primeira coisa a ser verificada é se {(1,1),(0,-2)} é a base do 2. Como é base, então a
transformação existe.
Nesse exercício, queremos encontrar agora a regra da transformação linear, a equação que
nos permite achar a transformação de qualquer vetor do domínio.
O passo seguinte é considerar um vetor genérico do espaço domínio v=(x,y) e escrevê-lo
como combinação linear dos elementos da base:
v =(x,y)=¸1(1,1)+¸2(0,–2)
¸1=x
¸1–2¸2=y
Logo,
λ1 = x
λ2 =
x−y
2
Depois que encontramos os pesos, escrevemos o vetor v como combinação linear dos vetores
da base com os respectivos pesos ¸1 e ¸2:
(x, y) = λ1 (1, 1) + λ2 (0, −2)
(x, y) = x(1, 1) +
x−y
2
(0, −2)
Aplicamos então a transformação em ambos os lados da equação:
T (x, y) = T
x−y
(0, −2)
x(1, 1) +
2
Aula 14
Álgebra Linear
45
Usando o teorema da superposição, temos:
x−y
· T (0, −2)
2
x−y
(0, 1, 0)
T (x, y) = x(3, −2, 1) +
2
x−y
,x
T (x, y) = 3x, −2x +
2
−3x − y
,x
T (x, y) = 3x,
2
T (x, y) = x · T (1, 1) +
Logo, encontramos a transformação linear.
Conferindo:
Se a regra está correta, as transformações fornecidas no enunciado da questão devem valer
para a regra:
T (1, 1) = (3, −2, 1)
T (0, −2) = (0, 1, 0)
(−3) · 1 − 1
, 1 = (3, −2, 1)
T (1, 1) = 3 · 1,
2
(−0) · 1 − (−2)
, 0 = (0, 1, 0)
T (0, −2) = 3 · 0,
2
Logo, a transformação está correta.
2
Encontre, caso exista, T: 3→3 tal que
T(0,1,1)=(1,–1,1), T(1,0,0)=(1,1,0) e T(–1,0,1)=(–1,0,0).
46
Aula 14
Álgebra Linear
Núcleo
De uma maneira simples, o núcleo da transformação linear corresponde ao conjunto de
todos os elementos do espaço domínio que, quando aplicados na transformação, o resultado
é o vetor nulo do espaço imagem.
Considerando a transformação linear T:V→W, chamamos de núcleo da transformação
linear todos os vetores de V tal que T(v)=0. O núcleo é também chamado de Kernel de uma
transformação linear.
N(T)=Ker(T)={v ∈V; T(v)=0}
A Figura 2 mostra a relação dos espaços com o núcleo da transformação.
T:V →W
Espaço V
ço
Espa W
V3
W3
V2
0
N(T)
V4
V1
W1
V5
W5
Vn
Wn
Figura 2 – Núcleo de uma transformação linear
Note que o núcleo da transformação está contido em V, N(T) ⊂ V, e N(T) ≠ ∅, pois
0 ∈ N(T), uma vez que a transformação é linear e T(0)=0.
Aula 14
Álgebra Linear
47
Propriedades do núcleo
Seja T:V→W uma transformação linear, então N(T) é um subespaço vetorial de V.
Para provarmos, considere que v1 e v2 ∈ N(T), logo:
T(v1)=0
T(v2)=0
Para o subconjunto ser um subespaço, devemos verificar três pontos:
I)
Deve conter o elemento nulo do espaço:
Como T(0)=0, então o núcleo contém o elemento nulo do espaço.
II)
Adição:
T(v1+v2) = T(v1)+T(v2) = 0+0 = 0
logo, v1 +v2 ∈ N(T)
III)
Multiplicação por escalar:
Seja ¸ ∈ , então
T(¸v1) = ¸T(v1) = ¸· 0 = 0
∴ ¸·v1 ∈ N(T)
48
Aula 14
Álgebra Linear
Imagem
A imagem de uma transformação linear consiste no subconjunto do espaço imagem que
contém os vetores resultantes da aplicação das transformações lineares quando inserimos os
elementos do domínio.
Seja T:V→W, chamamos de imagem de uma transformação linear o conjunto de vetores
w ∈ W que são imagens de pelo menos um vetor v ∈ V.
Im(T)= {w ∈ W; T(v)=w, para algum v ∈ V }
A Figura 3 mostra a relação da imagem com os espaços vetoriais envolvidos.
T:V →W
Espaço V
ço
Espa W
V3
W3
V2
W2
V4
Im(T)
W1
V1
V5
Wn
W4
W5
Vn
Figura 3 – Imagem de uma transformação linear
Note que a imagem da transformação está contida em W, Im(T) ⊂ W, e Im(T) ≠ ∅,
pois T(0) = 0 e o vetor nulo pertencem e imagem de T, 0 ∈ Im(T).
Teorema
Sejam U e V espaços vetoriais de dimensão finita e T:U→V uma transformação linear, tem-se:
dim(U) = dim(N(T)) + dim(Im(T))
Aula 14
Álgebra Linear
49
Exemplo 5
Encontre o núcleo e a imagem da transformação T(x,y)=(x+y,x).
Resolução:
Núcleo
Sabemos que para o núcleo T(x,y)=0, logo
T (x, y) = (x + y, x) = (0, 0)
x+y = 0
x
= 0
x=y=0
Portanto, N(T)={(0,0)}
Imagem
Para encontrar a imagem, vamos escrever a transformação em coluna:
T (x, y) = (x + y, x) =
x+y
x
Como aparecem duas incógnitas, x e y, então separaremos em dois vetores, um para
cada variável.
T (x, y) = x
1
1
+y
1
0
Os vetores que aparecem são os que formam a base da imagem, desde que sejam linearmente
independentes (LI).
Como (1,1) e (1,0) são LI, então:
Im(T)={(1,1),(1,0)}
*Se os vetores não fossem LI, teríamos que retirar um vetor e verificar se o conjunto remanescente seria LI. Caso afirmativo, teríamos a base da imagem e, caso fossem LD, teríamos
que retirar mais um vetor e fazer a verificação quantas vezes forem necessárias.
50
Aula 14
Álgebra Linear
Exemplo 6
Encontre o núcleo e a dimensão da imagem da transformação linear T:3→3, onde
T(x,y,z)=(x–y+2z , 2x+y–z , 3x+z).
Resolução:
Encontrando o núcleo:
Sabemos que para o núcleo T(x,y,z)=0
(x − y + 2z, 2x + y − z, 3x + z) = 0
⎧
⎪
⎨ x − y + 2z
2x + y − z
⎪
⎩ 3x + z
=
=
=
⎧
⎪
⎨ x
z
⎪
⎩ y
0
0
0
=
=
−3x
−5x
(x, y, z) = x(1, −5, −3)
N (T ) = (1, −5, −3)
Como o núcleo da transformação tem apenas um vetor na base, então
dim(N(T)) = 1.
Usando o teorema das dimensões:
dim(3) = dim(N(T)) + dim(Im(T))
3 = 1 + dim(Im(T))
dim(Im(T)) = 2.
3
Encontre o núcleo, a imagem, a dimensão do núcleo e a dimensão da imagem
da transformação linear T:3→2, onde T(x,y,z)=(x–y+z, –x+z).
Desafio
1)
Encontre uma transformação linear cujo núcleo seja P2.
2)
Seja T:P1→P1, T(x+1)=2x+3 e T(x–1)=3x–2, encontre T(ax+b).
3)
Encontre N(T) e escreva dois vetores pertencentes à Im(T), sendo T:M22→M22,
T
a
c
b
d
=
a+b b+c
c+d d+c
Aula 14
Álgebra Linear
51
Resumo
Nesta aula, você viu uma introdução às transformações lineares e descobriu
que é através delas que os espaços vetoriais se relacionam. Viu ainda a definição
de núcleo e imagem de uma transformação linear e como calculá-los.
Autoavaliação
1
Verifique se as transformações são lineares.
a)
T:3→3, T(x,y,z) = (x–y,x 2+z, y+2z)
b)
T:5→, T(v,x,y,z,w) = (x+3y–2z–w)
c)
T:3→3, T(x,y,z) = (0,0,0)
d)
T:4→2, T(x,y,z,w) = (x–y+2z+3, 3x–w+4z)
e)
T : M22 → ,
A=
Aula 14
b
d
a
c
b
d
, T (A) = det(A)
⎡
⎢
⎢
=⎢
⎣
a
0
0
0
0 0
b 0
0 c
0 0
0
0
0
d
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
f)
T : M22 → M44 ,
g)
T:Mnn→ Mnn, , Ann, T(A) = At
h)
T:P2→R, P2(x) =a2x 2 + a1x + a0,T(P2) = a2a1a0
i)
T:P2→ P2, T(a2x2 + a1x + a0) = (a2 – a0)x 2 + (a0 +a1 +a2)
j)
T : P3 → P2 ,
k)
52
a
c
T
T (P2 ) =
dP2
dx
T:P2→ P3, T(p(x)) = p(x) + xp(x) + x 2p´ (x)
Álgebra Linear
2
Encontre a regra para a transformação linear, sabendo que:
a)
T:2→2, Base do 2 = {(2,1),(0,1)}, T(2,1) = (3,7) e T(0,1) = (–1,1)
b)
T:3→2, Base do 3 = {(1,0,1),(0,1,2),(1,1,1)}, T(1,0,1) = (3,1), T(0,1,2) = (1,2)
e T(1,1,1) = (4,2)
c)
T:2→4, Base do 2 = {(–1,1),(1,1)}, T(–1,1) = (0, –4, 0, –1) e T(1,1) = (4,2,2,1)
3
Sejam as transformações T(v1) = (1,1,1), T(v2) = (1,0,1) e T(v3) = (–1,2,0),
encontre T(3v1 – v2 + 5v3).
4
Sabendo que Q(u) = x 2–2 e Q(v) = 2–3x, encontre Q(3u–2v).
5
Encontre a imagem do vetor u nas seguintes transformações:
a)
T:5→, T(v,x,y,z,w) = (x+3y–2z–w), onde u = (1,1,2,0,1)
b)
T : M22 → M22 ,
c)
T : P2 → P1 , T (P2 ) =
6
T
a
c
b
d
=
−a
0
0
−b
,u =
3
7
2
−2
dP2
, u = 5x2 − 3x + 2
dx
Encontre o núcleo e a imagem das transformações:
a)
T:5→, T(v,x,y,z,w) = (x+3y –2z –w)
b)
T:2→2, T(x,y) = (x+3y,3y)
c)
T:→3, T(x) = (x,0,3x)
d)
T:3→2, T(x,y,z) = (x+y, x+z)
a
c
b
d
e)
T : M22 → M22 ,
f)
T : P2 → P1 , T (P2 ) =
g)
T: P2→ P2, T(p(x))= xp´ (x)
T
=
−a
0
0
−b
dP2
dx
Aula 14
Álgebra Linear
53
7
Encontre a dimensão do núcleo e da imagem das transformações:
a)
T:5→, T(v,x,y,z,w) = (3x–w)
b)
T:2→2, T(x,y) = (x–y, 3x+y)
c)
T:→3, T(x) = (0,0,5x)
d)
T:3→2, T(x,y,z) = (y,x+y+z)
e)
T:M22→ M22, T : M22 → M22 ,
f)
T : P3 → P1 ,
T (P3 ) =
a
c
b
d
=
−a
−a − b − c
a+b+c
−b
d 2 P3
dx2
g)
T: P2→ P3, T(p(x))= xp(x)
h)
T : 2 → 2 ,
8
T
1
T (x, y) = √ (x + y, x − y)
2
O que é o núcleo de uma transformação linear? E a imagem de uma transformação
linear?
Referências
ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2001.
BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Harper-Row, 1980.
LAY, David. Álgebra linear e suas aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
54
Aula 14
Álgebra Linear
Anotações
Aula 14
Álgebra Linear
55
Anotações
56
Aula 14
Álgebra Linear
Transformações
lineares e matrizes
Aula
15
Apresentação
Temos visto ao logo de nossas aulas o quanto a representação matricial de sistemas
pode facilitar seu manuseio, cálculo e entendimento, quando tratamos com transformações
lineares não é diferente. Toda transformação linear pode ser representada na forma matricial,
o que implica nas mesmas facilidades da representação matricial dos sistemas.
Objetivos
1
Obter transformações lineares na forma matricial.
2
Efetuar cálculos com transformações lineares na forma
matricial.
Aula 15
Álgebra Linear
59
Definição
Consideremos uma transformação linear T:n →m definida pelas equações da forma:
w1
w2
=
=
a11 x1
a21 x1
+
+
a12 x2
a22 x2
+
+
···
···
a1n xn
a2n xn
wm
=
am1 x1
+
am2 x2
+
···
amn xn
Podemos escrever essas equações como um produto de matrizes, separando as matrizes
dos termos independentes W, dos coeficientes A e das incógnitas X, onde
⎡
⎤
⎡
w1
a11
⎢
⎥ ⎢
⎢ w2 ⎥ ⎢ a21
⎢
⎥=⎢
⎢
⎥ ⎢
⎣
⎦ ⎣
wm
am1
W=A.X
a12
a22
···
···
am2
···
⎤⎡
⎤
a1n
x1
⎥⎢
⎥
a2n ⎥ ⎢ x2 ⎥
⎥⎢
⎥
⎥⎢
⎥
⎦⎣
⎦
amn
xn
Onde A é chamada matriz canônica da transformação linear.
Prova que T(x)=A.X é uma transformação linear:
i)
F(x1 + x2) = F(x1) + F(x2)
F(x1 + x2) = A(x1 + x2) = Ax1 + Ax2 = F(x1) + F(x2)
ii)
F(k.x) = k.F(x)
F(k.x) = A(k.x) = A.k.x = k.A.x = k(Ax) = k.F(x)
As duas regras são satisfeitas, logo, é uma transformação linear.
Exemplo 1
A transformação linear T:4→3, definida por:
T(x1, x2, x3, x4) = (2x1 – 3x2 + x3 – 5x4, 4x1 + x2 – 2x3 + x4, 5x1 – x2 + 4x3)
Pode ser representada da seguinte forma;
⎤
⎡
⎡
⎤ ⎡
⎤
x1
w1
2 −3
1 −5 ⎢
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢ x2
1 −2
1 ⎦⎢
⎣ w2 ⎦ = ⎣ 4
⎣ x3
w3
5 −1
4
0
x4
⎥
⎥
⎥→W =A·X
⎦
Note que na primeira coluna da matriz A aparecem os coeficientes da primeira variável, x1, na
segunda de x2 e assim sucessivamente.
Aula 15
Álgebra Linear
61
Encontrando a matriz
transformação com as bases canônicas
Podemos encontrar a matriz transformação com a aplicação dos vetores da base canônica
à transformação linear. A matriz é montada a partir da entrada por coluna dos vetores imagem
dos vetores da base canônica.
Exemplo 2
A transformação linear T:4→3, definida por:
T(x1, x2, x3, x4) = (2x1 – 3x2 + x3 – 5x4, 4x1 + x2 – 2x3 + x4, 5x1 – x2 + 4x3)
Resolução
O primeiro passo é identificar a base canônica do espaço domínio, nesse exemplo é o 4,
logo, a base canônica é:
e1
e2
e3
e4
=
=
=
=
(1,0,0,0)
(0,1,0,0)
(0,0,1,0)
(0,0,0,1)
Em seguida, aplicamos a transformação aos vetores da base canônica:
T(e1)
T(e2)
T(e3)
T(e4)
=
=
=
=
(2.1
(2.0
(2.0
(2.0
–
–
–
–
3.0
3,1
3.0
3.0
+
+
+
+
0
0
1
0
–
–
–
–
5.0,4.1
5.0,4.0
5.0,4.0
5.1,4.0
+
+
+
+
0
1
0
0
–
–
–
–
2.0
2.0
2.1
2.0
+
+
+
+
0,5 .1–
0,5.0 –
0,5.0 –
1,5.0 –
0
1
0
0
+
+
+
+
4.0)
4.0)
4.1)
4.0)
=
=
=
=
(2,4,5)
(–3,1,–1)
(1, –2, 4)
(-5,1,0)
Agora, montamos a matriz transformação A com os vetores T(e1), T(e2), T(e3) e T(e4)
por coluna:
⎡
⎤
2 −3
1 −5
⎢
⎥
A = [T (e1)|T (e2)|T (e3)|T (e4)] = ⎣ 4
1 −2
1 ⎦
5 −1
4
0
⎡
⎤ ⎡
⎤ x1
w1
2 −3
1 −5 ⎢
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢ x2
Logo, ⎣ w2 ⎦ = ⎣ 4 1 −2 1 ⎦ ⎢
⎣ x3
w3
5 −1
4
0
x4
⎡
62
Aula 15
Álgebra Linear
⎤
⎥
⎥
⎥→W =A·X
⎦
1
Encontre a forma matricial da transformação linear T:2→5, definida por:
T(x1, x2) = (x1+2x2, 0, –3x1, –x1–x2, x2)
Núcleo e Imagem de uma
transformação linear na forma matricial
A forma matricial de uma transformação linear facilita as operações envolvidas e com o
processo de obtenção do núcleo e da imagem ocorre a mesma coisa.
Exemplo 3
Encontre o núcleo e a imagem da transformação linear T:4→3, definida por:
⎡
2
⎢
T (X) = W = ⎣ 1
0
0
1
0
⎤
⎡
1 0 ⎢
⎥⎢
0 1 ⎦⎢
⎣
−1 0
x1
x2
x3
x4
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
W ∈ 3 e X ∈ 4
Resolução
Núcleo
Devemos investigar que vetores do 4 resultam em um vetor nulo do 3 quando aplicados
à transformação:
⎡
2 0
⎢
⎣ 1 1
0 0
⎤
⎡
1 0 ⎢
⎥⎢
0 1 ⎦⎢
⎣
−1 0
x1
x2
x3
x4
⎤
⎡
⎤
0
⎥
⎥ ⎢
⎥
⎥=⎣ 0 ⎦
⎦
0
Ou seja, nesse caso, corresponde a encontrarmos o espaço nulo da matriz dos coeficientes A.
Aula 15
Álgebra Linear
63
Usando a eliminação gaussiana, chegamos a:
⎡
1
⎢
⎣ 0
0
0
1
0
⎡
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
x1
x2
x3
x4
⎡
⎤ x1
0 ⎢
⎥ ⎢ x2
1 ⎦⎢
⎣ x3
0
x4
0
0
1
⎡
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥=⎢
⎦ ⎣
0
−x4
0
x4
⎤
⎧
⎪
⎨
⎡
⎤
0
⎥
⎥ ⎢
⎥
⎥=⎣ 0 ⎦
⎦
0
⎤
⎡
⎥
⎢
⎢
⎥
⎥ = x4 ⎢
⎦
⎣
0
−1
0
1
x1
x2 + x4
⎪
⎩
x3
=
=
=
0
0
0
⎤
⎥
⎥
⎥,
⎦
logo
N (T (X)) = {(0, −1, 0, 1)}
Imagem
Para encontrar a imagem, separaremos os vetores:
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡
⎤
2
0
1
0
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
T (X) = x1 ⎣ 1 ⎦ + x2 ⎣ 1 ⎦ + x3 ⎣ 0 ⎦ + x4 ⎣ 1 ⎦
0
0
−1
0
Aparecem multiplicados por x1 todos os seus coeficientes e o mesmo acontece para x2, x3 e x4.
Analisando os vetores resultantes, a base da Imagem será a maior quantidade possível de
vetores LI desse conjunto.
Ao tomarmos os quatro vetores resultantes, percebemos que o conjunto é LD, pois temos
quatro vetores de dimensão 3. Devemos então descartar um e analisar o conjunto resultante.
Escolhendo os três primeiros vetores (2, 1, 0), (0, 1, 0) e (1, 0, –1), quando calculamos
percebemos que o conjunto é LI, logo é uma base para a Imagem da transformação.
Im = (2,1,0),(0,1,0),(1,0,-1)
2
Encontre o núcleo e a imagem da transformação linear T:3→3, definida por:
⎡
2
⎢
T (X) = ⎣ −1
1
64
Aula 15
Álgebra Linear
0
0
1
⎤
⎤⎡
1
x1
⎥
⎥⎢
0 ⎦ ⎣ x2 ⎦
x3
0
Desafio
1
Mostre que as transformações T1 e T2 T:3→3 têm o mesmo núcleo e Imagem.
⎡
⎤⎡
⎤
0 0 0
x
⎢
⎥⎢
⎥
T 1(x, y, z) = ⎣ 0 1 0 ⎦ ⎣ y ⎦
0 0 1
z
⎤⎡
⎤
⎡
0 0 0
x
⎢
⎥⎢
⎥
T 2(x, y, z) = ⎣ 0 1 1 ⎦ ⎣ y ⎦
0 2 1
z
2
Encontre o valor de a para que a dimensão do núcleo seja a mesma da imagem de
T, onde T:2→2
T (x, y) =
1
a
1
1
x
y
Resumo
Na aula sobre transformações lineares e matrizes você aprendeu como obter
a forma matricial de uma transformação linear, assim como realizar operações
características dessas transformações na forma matricial.
Aula 15
Álgebra Linear
65
Autoavaliação
1
Escreva a transformação na forma matricial e encontre seu Núcleo e Imagem:
a)
T:5→, T(v,x,y,z,w) = (x+3y–2z –w)
b)
T:2→2, T(x,y) = (x+3y, 3y)
c)
T:→3, T(x) = (x, 0, 3x)
d)
T:3→2, T(x,y,z) = (x+y, x+z)
e)
T : P3 → P1 ,
f)
T:P2→P3, T(p(x)) = xp(x)
g)
T : 2 → 2 ,
T (P ) =
b)
T (P ) =
⎡
⎢
⎢
T (P ) = ⎢
⎣
c)
⎡
d)
66
Aula 15
d 2 P3
dx2
1
T (x, y) = √ (x + y, x − y)
2
Sabendo que a transformação envolve polinômios, encontre a forma por extenso
da transformação e diga qual o espaço domínio e qual o imagem:
2
a)
T (P3 ) =
0
1
1
2
−1 2
0 1
P
P
⎤
1
0
2 −1 ⎥
⎥
⎥P
3
0 ⎦
4 −2
1
⎢
T (P ) = ⎣ −1
1
Álgebra Linear
1
1
0
2
0
⎤
0 −1 1
⎥
0
1 1 ⎦P
0
0 1
Referências
ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2001.
BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Harper-Row, 1980.
LAY, David. Álgebra linear e suas aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
Anotações
Aula 15
Álgebra Linear
67
Anotações
68
Aula 15
Álgebra Linear
Transformações
lineares inversas
Aula
16
Apresentação
Vimos nas aulas anteriores que uma transformação Linear é uma função que associa
espaços vetoriais distintos ou não. Imaginemos que essa associação, em muitos casos, deva
permitir o caminho de volta, ou seja, se a transformação que leva um vetor de uma espaço V
para um espaço W permitir a transformação inversa, então, é possível partir do vetor resultante
em W e voltar ao mesmo vetor em V de partida.
Objetivos
1
Saber reconhecer quando uma transformação admite inversa.
2
Aplicar a definição de inversa.
3
Calcular a inversa de uma Transformação Linear.
Aula 16
Álgebra Linear
71
Definição
Consideremos a Transformação Linear deV em W, T:V→W. Partindo do ponto que
o domínio da transformação corresponde ao conjunto de vetores de V que são aplicados à
transformação e que a imagem de T é o subespaço composto por todos os vetores em W
gerados a partir de V através da transformação, então, se a transformação permitir o caminho
inverso, o que era imagem da transformação T passa a ser domínio da transformação inversa
e o que era domínio passa a ser imagem, como mostrado na Figura 1.
Notação para Transformação Linear inversa de T:T –1
T:V →W
Espaço
vetorial
V
Espaço
vetorial
W
-1
T :V →W
Figura 1 – Transformação Linear inversa
Relações entre T e T –1
Sendo v um vetor de V e w um vetor de W, então, teremos:
T(v) = w
T –1(w) = v
T –1(T(v)) = v
T(T –1(w)) = w
Aula 16
Álgebra Linear
73
Relembrando...
Funções Injetoras, Sobrejetora e Bijetora
Uma função é dita injetora se para cada elemento do domínio existe um correspondente exclusivo no contradomínio. Uma função é classificada como sobrejetora se a imagem corresponder a todo o contradomínio. Já no caso de
a função ser injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, ela é classificada como
bijetora. A Figura 2 mostra a diferença entre os tipos de funções.
Domínio
Imagem
1
Domínio
1
A
2
B
3
4
Função injetora
e não sobrejetora
C
Função sobrejetora
e não injetora
Imagem
1
A
2
B
C
Domínio
A
2
D
3
Imagem
D
B
3
C
4
Função bijetora
Figura 2 – Função injetora, sobrejetora e bijetora
Critérios para transformação inversa
Para que uma Transformação Linear admita inversa ela deve ser bijetora, ou seja, deve
ser injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.
Transformação Injetora
Dada uma transformação linear T:V→W, e dados os vetores u e v, ambos pertencentes a
V, diz-se que T é injetora se T(u) = T(v) apenas para u = v. Ou seja, T é injetora se as imagens de vetores distintos são distintas. Uma transformação linear é injetora quando Ker(T )=0.
Transformação Sobrejetora
Dada uma transformação linear T:V→W, tem-se que a transformação é sobrejetora se
a imagem de T coincidir com W.
74
Aula 16
Álgebra Linear
Transformação Bijetora
A transformação é bijetora se for injetora e sobrejetora.
Quando uma transformação linear T:V→W for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo,
tem-se um isomorfismo.
Se T é bijetora, então, cada vetor w pertencente à Im(T) é imagem de um único
vetor v em V. Essa unicidade é que permite definir essa nova função, chamada
transformação inversa de T, que leva w de volta em v.
Exemplo 1
Verifique se a transformação é bijetora: T: 2→2 T(x,y)=(x +y, x).
Resolução
Para que a transformação seja bijetora, ela deve ser injetora e sobrejetora.
Injetora
Uma transformação é injetora se o núcleo da transformação for apenas o vetor nulo.
Encontrando o núcleo:
T(x,y) = (0,0)
(x + y, x) = (0, 0)
x+y = 0
x
= 0
Logo, x = y = 0 , portanto, N(T(x,y))={(0,0)} → A transformação é injetora.
Sobrejetora
A transformação é sobrejetora se a imagem corresponder a todo o contradomínio, ou seja, o 2.
Encontrando a imagem:
T (x, y) = (x + y, x) =
x+y
x
=x
1
1
+y
1
0
Analisando os dois vetores resultantes, (1,1) e (1,0), verifica-se que são LI, logo, a imagem
corresponde ao espaço gerado por esses dois vetores, o próprio 2.
Im(T(x,y)) = 2
Assim sendo, a imagem é igual ao contradomínio e a transformação é sobrejetora. Como a
transformação é injetora e sobrejetora, logo é bijetora.
Aula 16
Álgebra Linear
75
1
Verifique se a transformação é bijetora: T: 3→2 T(x,y,z)=(0, x –y+z, 2x–z).
Forma matricial e transformação inversa
Uma maneira mais simples de verificar se uma Transformação Linear admite inversa é
proceder a análise sob a forma vetorial. Uma vez obtida a matriz canônica da transformação,
basta verificar se essa matriz admite inversa, caso afirmativo, a transformação também admite e sua transformação inversa tem a matriz canônica definida pela inversa da matriz da
transformação original.
Exemplo 2
Verifique se a transformação admite inversa: T: 2→2 T(x,y)=(x+y,x).
Resolução
Passando para a forma matricial:
T (x, y) = (x + y, x)
T (x, y) =
1
1
1
0
x
y
Analisando a matriz canônica da transformação A =
1
1
1
0
verifica-se que a matriz admite
inversa, pois det(A) = –1, logo, a transformação também admite inversa.
Calculando a inversa de A temos:
A
−1
=
0
1
1
−1
T
76
Aula 16
−1
(x, y) =
Álgebra Linear
0
1
, portanto, a transformação inversa é dada por:
1
−1
x
y
= (y, x − y)
Uma Transformação Linear admite inversa se for bijetora e uma transformação
apenas será bijetora se a matriz que a representa for inversível.
Exemplo 3
Encontre a inversa da transformação caso exista.
T:2→3, T(x,y)=(2x–y,y +3x, x+y)
Resolução
Passando para a forma matricial:
T (x, y) = (2x − y, y + 3x, x + y)
⎛
2
⎜
T (x, y) = ⎝ 3
1
⎞
−1
⎟ x
1 ⎠
y
1
Como a matriz canônica da transformação não admite inversa por não ser uma matriz quadrada,
então, a transformação também não admite inversa.
Para investigarmos porque não admite inversa, vamos averiguar se ela é injetora e sobrejetora.
Verificando se a transformação é Injetora
T (x, y) = (0, 0, 0)
T (x, y) = (2x − y, y + 3x, x + y) = (0, 0, 0)
⎧
⎪
⎨ 2x − 1
y + 3x
⎪
⎩ x+y
=
=
=
0
0
0
N (T (x, y)) = {(0, 0)}
x=y=0
→ é injetora
N(T(x,y)) = {(0,0)} → é injetora.
Verificando se a transformação é Sobrejetora
⎛
⎞
⎛ ⎞
⎛
⎞
2x − y
2
−1
⎜
⎟
⎜ ⎟
⎜
⎟
T (x, y) = (2x − y, y + 3x, x + y) = ⎝ y + 3x ⎠ = x ⎝ 3 ⎠ + y ⎝ 1 ⎠
x+y
1
1
Os dois vetores que obtemos são LI, logo, são a base da Imagem.
Im(T(x,y)) = {(2,3,1),(-1,1,1)}
O espaço correspondente à Imagem que é gerado por esses dois vetores não compreende todo
o 3 e sim um plano dentro do 3. Dessa forma, a transformação não é sobrejetora, portanto,
não admitindo inversa.
Aula 16
Álgebra Linear
77
2
Encontre a inversa da transformação, caso exista.
T: 3→3, T(x,y,z)=(2x – y – z, 2z – y +3x, x+3z)
Desafio
1
Seja T uma transformação linear do espaço dos polinômios reais de grau menor
ou igual a 2, definida por:
T (1) =1+x
T (x) = 3 −x2
T (x2) = 4 + 2x –3x2
A transformação T tem inversa? Justifique.
2
Seja T uma transformação linear T: 3→3, definida por:
T(x1,x2,x3) =(a1x1,a2x2,a3x3), ai ∈ .
Determine as condições que a1,a2 e a3 devem satisfazer para T admitir inversa.
Obtenha a expressão de T –1.
3
Por que é necessário que a transformação seja bijetora para possuir inversa?
Resumo
Nesta aula, você aprendeu a identifi car quando uma Transformação
Linear admite inversa e como encontrar a transformação inversa. Aprendeu
ainda a relacionar os vetores dos espaços ligados por transformações que
apresentam inversa.
78
Aula 16
Álgebra Linear
Autoavaliação
1
O que é uma transformação linear injetora? E sobrejetora?
2
Verifique se as transformações são injetoras e/ou sobrejetoras.
a)
T: 2 → 4, T(x,y) = (x + y, 3x, x –2y, –y)
b)
T: 4 → 4, T(x,y,z,w) = (x + y, 3w, z –2y, –x)
c)
T: 2 → 2, T(x,y) = (x + y,0)
d)
e)
2
0
T (u) =
−2 −1
⎡
1
0
⎢ 2 −2
⎢
T −1 (u) = ⎢
⎣ 0
1
2
0
1
0
0
1
u
1
0
0
0
1
3
0 −3
−1
0
⎤
⎥
⎥
⎥u
⎦
f)
T (u) =
g)
T:P 2 → P2 , T(a2x2 + a1x + a0) = (a2 – a0)x2
3
u
Indique a inversa das transformações, por extenso, caso existam.
a)
T: 4 → 4, T(x, y, z, w) = (x, y, z, 0)
b)
T:2 → 2, T(x, y) = (x, 2y)
c)
T (u) =
2
0
1 −1
⎡
u
1
1
1
⎤
2
⎥
0 ⎦u
1
d)
1
⎢
−1
T (u) = ⎣ 0
−1
e)
T:P2 → P3, T(a2x2 + a1x + a0) = –x (a2x2 + a1x + a0)
f)
T:P1 → P3, T(a1x + a0) = ((a1+a0)x3 + a1x2 + a0x)
Aula 16
Álgebra Linear
79
g)
T : P2 → P2 , T (a2 x2 + a1 x + a0 ) = x
h)
T:P2 → P2 , T(p(x)) = p(x +1)
d(a2 x2 + a1 x + a0 )
dx
Seja T: :3→3 uma transformação linear definida por T(x,y,z)=(ax,by,cz), a,b
e c ∈ . Determine as condições que a,b e c devem satisfazer para que T admita
inversa. Para esses casos, encontre T –1 se possível.
4
Seja T:2→2 definida por T (x,y)=(k·x,x+y), k ∈ .
5
a)
Determine k de modo a que a transformação T admita inversa e, para esses valores,
obtenha a transformação inversa T–1.
b)
Considere k = 0. Determine a dimensão e uma base para o núcleo de T.
Referências
ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre:
Bookman, 2001.
BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Harper-Row, 1980.
LAY, David. Álgebra linear e suas aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
Anotações
80
Aula 16
Álgebra Linear
Anotações
Aula 16
Álgebra Linear
81
Anotações
82
Aula 16
Álgebra Linear
Transformações lineares
e geometria do 2
Aula
17
Apresentação
U
ma das formas mais comuns de utilizar as Transformações Lineares é a aplicação a
vetores no plano. Modificações como expansão, rotação, reflexão etc. são utilizadas corriqueiramente e servem de base para a manipulação de imagens. Veremos a aplicação
de transformações lineares no plano, porém, os princípios vistos aqui podem ser expandidos
a espaços com dimensão superior.
Objetivos
1
Identificar matrizes transformações e aplicar a vetores
no plano.
2
Utilizar combinações de Transformações Lineares.
Aula 17
Álgebra Linear
85
Definição
As Transformações Lineares permitem modificarmos vetores utilizando apenas multiplicação de matrizes, ou seja, aplicando uma Transformação Linear a um vetor, o que resulta em
outro vetor com uma, ou várias, alterações previamente definidas. Aqui, serão analisadas algumas
dessas transformações no 2, as quais podem ser expandidas para outros espaços euclidianos.
Operações sobre vetores
Para todos os casos, considere o vetor u = (x,y).
1)
Semelhança (Expansão e contração)
Nessa operação, o vetor aumenta ou diminui de tamanho sendo mantidos a direção e
o sentido.
Forma por extenso
Forma matricial
k 0
x
T (x, y) =
0 k
y
T (x, y) = k(x, y)
A Figura 1 mostra o vetor u e o resultado da transformação k.u para os possíveis valores
de k. Note que as duas coordenadas são alteradas do fator k.
y
u
x
y
u
ku
y
y
u
ku
K >1
0 <K <1
u
x
x
-ku
K< 0
Figura 1 – Vetor u e suas alterações de semelhança
Aula 17
Álgebra Linear
87
2)
Reflexão em torno do eixo Y
Forma por extenso
Forma matricial
T (x, y) = (−x, y)
T (x, y) =
1
0
0 −1
x
y
A Figura 2 mostra o vetor u e sua reflexão em torno do eixo Y. Nesse caso, apenas a
coordenada x é modificada, permanecendo a mesma coordenada y.
y
y
u
u
T(u)
x
x
Figura 2 – Vetor u e sua reflexão em torno do eixo Y
3)
Reflexão em torno do eixo X
Forma por extenso
Forma matricial
T (x, y) = (x, −y)
T (x, y) =
1
0
0
−1
x
y
A Figura 3 mostra o vetor u e sua reflexão em torno do eixo X. Nesse caso, a coordenada
y é modificada e a coordenada x permanece a mesma.
88
Aula 17
Álgebra Linear
y
y
u
u
x
x
T(u)
Figura 3 – Vetor u e sua reflexão em torno do eixo X
4)
Reflexão em torno da reta Y = X
Forma por extenso
Forma matricial
T (x, y) =
T (x, y) = (y, x)
0
1
1
0
x
y
A Figura 4 mostra o vetor u e sua reflexão em torno da reta Y = X. Aqui as coordenada
x e y são invertidas.
y
y
u
u
T(u)
x
x
Figura 4 – Vetor u e sua reflexão em torno da reta Y = X
5)
Projeção ortogonal sobre o eixo Y
Forma por extenso
Forma matricial
T (x, y) = (0, y)
T (x, y) =
0
0
0
1
x
y
Aula 17
Álgebra Linear
89
A Figura 5 mostra o vetor u e sua projeção ortogonal sobre o eixo Y. No caso da
projeção ortogonal, uma das coordenadas é zerada, se for a projeção sobre o eixo Y, a
coordenada x é descartada.
y
y
u
u
T(u)
x
x
Figura 5 – Vetor u e sua projeção ortogonal sobre o eixo Y
6)
Projeção ortogonal sobre o eixo X
Forma por extenso
Forma matricial
T (x, y) =
T(x,y) = (x,0)
1
0
0
0
x
y
A Figura 6 mostra o vetor u e sua projeção ortogonal sobre o eixo Y. Nesse caso, a
coordenada y é descartada.
y
y
u
u
x
T(u)
Figura 6 – Vetor u e sua projeção ortogonal sobre o eixo X
90
Aula 17
Álgebra Linear
x
7)
Rotação de um vetor de um ângulo θ
Forma por extenso
Forma matricial
T (x, y) = (x · cos(θ) − y · sen(θ), x · sen(θ) + y · cos(θ))
T (x, y) =
−sen(θ)
cos(θ)
cos(θ)
sen(θ)
x
y
A Figura 7 mostra o vetor u e sua rotação de um ângulo θ.
y
y
T(u)
u
θ
u
x
x
Figura 7 – Vetor u e sua rotação de um ângulo θ
8)
Cisalhamento de um fator k na direção X
Forma por extenso
Forma matricial
T (x, y) = (x + ky, y)
T (x, y) =
1 k
0 1
x
y
A Figura 8 mostra o vetor u e seu cisalhamento de um fator k maior e menor que zero no
eixo X. Note que, à medida que o vetor se afasta do eixo y, a distorção é maior, perceba que,
para um mesmo k, quando o vetor tem sua coordenada y próximo de zero, o cisalhamento é
menor, porém, se y for grande, então, essa distorção será maior.
Aula 17
Álgebra Linear
91
y
u
x
y
y
u
u
T(u)
T(u)
x
K< 0
K>0
Figura 8 – Vetor u e seu cisalhamento de um fator k no eixo X
9)
Cisalhamento de um fator k na direção Y
Forma por extenso
Forma matricial
T (x, y) = (x, kx + y)
T (x, y) =
1
k
0
1
x
y
A Figura 9 mostra o vetor u e seu cisalhamento de um fator k maior e menor que zero no
eixo Y. Nesse caso, acontece a mesma proporcionalidade que foi comentada no cisalhamento
no eixo X, para um mesmo k, quando o vetor tem sua coordenada x próximo de zero, o cisalhamento é menor, porém, se x for grande, então, essa distorção será maior.
92
Aula 17
Álgebra Linear
y
u
x
y
T(u)
y
u
u
x
T(u)
K< 0
K>0
Figura 9 – Vetor u e seu cisalhamento de um fator k no eixo Y
Exemplo 1
Obtenha a projeção ortogonal sobre o eixo x do vetor (3,–5).
Resolução
Para obter a projeção de qualquer vetor do 2 sobre o eixo x, basta usar a transformação:
T (x, y) =
1
0
0
0
x
y
, logo, T (3, −5) =
1
0
0
0
3
−5
=
3
0
Portanto, a projeção do vetor (3,5) sobre o eixo x é o vetor (3,0).
1
Encontre o vetor resultante da rotação do vetor (1,4) de um ângulo de 90º.
Aula 17
Álgebra Linear
93
Composição de
transformações lineares
Em muitas situações, há a necessidade de aplicarmos não apenas uma, mas uma sequência de transformações a um conjunto de vetores. Nessa situação, ao invés de multiplicarmos
uma matriz transformação e depois outra e outra, o melhor a fazer é encontrar uma única matriz
que represente a aplicação de todas as transformações desejadas. Para obtermos essa matriz
equivalente, basta que multipliquemos as matrizes às transformações envolvidas.
Consideremos que se deseja aplicar a transformação T 1(u) e depois T 2(u), nessa
ordem, onde T 1 é a matriz transformação de T 1(u), T 2 é a matriz transformação de T 2(u)
e u um vetor, então, teremos:
T2 ◦ T1 (u) = T2 (T1 (u)) = T2 · T1
Onde: T2 ◦ T1 = T1 ◦ T2
Exemplo 2
Obtenha o vetor resultante da rotação de 90º seguida de reflexão sobre o eixo y do vetor (–4,3).
Resolução
Primeiro encontramos as duas matrizes transformações:
Rotação de 90º: T (x, y) =
T1 (x, y) =
0
1
−1
0
x
y
cos(θ)
sen(θ)
−sen(θ)
cos(θ)
x
y
=
cos(90 )
sen(90 )
Reflexão sobre o eixo Y:
T2 (x, y) =
−1
0
0
1
Obtendo a combinação:
x
y
T2 ◦ T1 (x, y) = T2 · T1 =
T2 ◦ T1 (x, y) =
0
1
T2 ◦ T1 (−4, 3) =
94
Aula 17
Álgebra Linear
1
0
0
1
1
0
−1
0
x
y
0
1
0
1
−1
0
−4
3
=
3
−4
=
0
1
1
0
−sen(90 )
cos(90 )
x
y
Verificando graficamente, podemos comprovar o resultado, conforme mostrado na Figura 10.
y
u
y
y
3
-3
x
-4
3
x
T1(u)
-4
-4
Rotação de 90°
Vetor u
x
T2(T1(u))
Reflexão em torno do eixo y
Figura 10 – Vetor u e a aplicação de duas transformações seguidas
2
Obtenha o vetor resultante da reflexão em torno da reta y=x seguida da projeção
ortogonal sobre o eixo x do vetor (–5,–3).
Exemplo 3
Obtenha a transformação resultante da composição de duas rotações, primeiro por um ângulo
θ1 e depois por θ2.
Resolução
As transformações são:
T1 (x, y) =
cos(θ1 )
sen(θ1 )
−sen(θ1 )
cos(θ1 )
x
y
T2 (x, y) =
A composição das duas é dada por:
TR = T2 ◦ T1 = T2 · T1 =
TR =
TR =
cos(θ2 )
sen(θ2 )
−sen(θ2 )
cos(θ2 )
cos(θ1 )cos(θ2 ) − sen(θ1 )sen(θ2 )
sen(θ1 )cos(θ2 ) + cos(θ1 )sen(θ2 )
cos(θ1 + θ2 )
sen(θ1 + θ2 )
−sen(θ1 + θ2 )
cos(θ1 + θ2 )
cos(θ2 )
sen(θ2 )
cos(θ1 )
sen(θ1 )
−sen(θ2 )
cos(θ2 )
−sen(θ1 )
cos(θ1 )
x
y
−cos(θ1 )sen(θ2 ) − sen(θ1 )cos(θ2 )
−sen(θ1 )sen(θ2 ) + cos(θ1 )cos(θ2 )
Aula 17
Álgebra Linear
95
Como era de se esperar, a composição das duas rotações resulta em fazer uma transformação
apenas com a rotação da soma dos ângulos. NESSE CASO, a ordem não influência.
Transformações Lineares no 3
Para as Transformações Lineares sobre vetores no 3, não serão feitas as
demonstrações, porém, o raciocínio é o mesmo visto para o 2.
Transformação
Forma por extenso
Forma matricial
⎡
Expanção-contração
T (x, y, z) = (kx, ky, kz)
⎡
Reflexão em torno do plano xy
Reflexão em torno do plano xz
T (x, y, z) = (x, y, −z)
T (x, y, z) = (x, −y, z)
0
k
0
k
⎢
⎣ 0
0
T (x, y, z) = (−x, y, z)
0
1
0
⎡
⎤
0 0
⎥
−1 0 ⎦
0 1
1
⎢
⎣ 0
0
−1
⎢
⎣ 0
0
⎡
Projeção ortogonal
sobre o plano xy
T (x, y, z) = (x, y, 0)
1
⎢
⎣ 0
0
⎡
Projeção ortogonal
sobre o plano xz
T (x, y, z) = (x, 0, z)
1
⎢
⎣ 0
0
⎡
Projeção ortogonal
sobre o plano yz
96
Aula 17
Álgebra Linear
T (x, y, z) = (0, y, z)
⎤
0
⎥
0 ⎦
−1
1
⎢
⎣ 0
0
⎡
Reflexão em torno do plano yz
⎤
0
⎥
0 ⎦
k
0
⎢
⎣ 0
0
0
1
0
⎤
0
⎥
0 ⎦
1
0
1
0
⎤
0
⎥
0 ⎦
0
0
0
0
⎤
0
⎥
0 ⎦
1
0
1
0
⎤
0
⎥
0 ⎦
1
Desafio
1)
Considerando as Transformações Lineares no plano T1, T2, T3 e T4, determine as matrizes associadas e esboce no plano a figura determinada pela aplicação das Transformações
Lineares em sequência, T1 até T4, sobre o quadrado com vértices (0,0),(1,0),(0,1) e(1,1).
T 1(x, y) = (3x − y, −y − 2x)
T 2(x, y) =
x+y x−y
,
2
2
T 3(x, y) = (x + y, 0)
T 4(x, y) = (x − y, x)
x+y x−y
,
2
2
2)
A Transformação Linear T (x, y) =
3)
Utilizando a matriz transformação que define a rotação de um vetor no 2 de um ângulo
θ, determine os vértices de um triângulo retângulo e isósceles que tem um dos lados
coincidente com o vetor A=(2,1).
é bijetora? Justifique.
Resumo
Nesta aula, você aprendeu a aplicar Transformações Lineares a vetores
no plano, assim como a obter suas respectivas matrizes transformações. Esta
aula contemplou ainda a composição de transformações e a determinação
de uma matriz resultante que represente a aplicação dessas transformações
em sequência.
Aula 17
Álgebra Linear
97
Autoavaliação
Encontre a representação matricial canônica para cada um dos operadores lineares
em 2 descritos a seguir.
1
a)
Gira cada vetor de 45° no sentido antitrigonométrico.
b)
Reflete cada vetor em relação ao eixo x e depois roda o vetor refletido de 90° no sentido
trigonométrico.
c)
Dobra o comprimento do vetor, depois roda o vetor obtido de 30° no sentido trigonométrico.
d)
Reflete cada vetor em relação à reta x = y e depois projeta o vetor refletido sobre o eixo x.
Considerando as transformações lineares do 2 , descreva geometricamente o que
elas fazem com o vetor.
2
a)
T (x, y) = (−x, y)
e)
T (x, y) = (x, y)
b)
x
T (x, y) = ( , 0)
2
f)
T (x,y) = (x,y)
c)
T (x, y) = (−x, 0)
d)
T (x, y) = y(e1 )
Uma transformação linear T:2→2 é obtida a partir da rotação de um vetor de um
ângulo de –90º, seguida de uma expansão por um fator k = 2,5, seguida de reflexões em torno do eixo X e Y, exatamente nessa sequência. Qual a transformação
linear resultante? Considere o sentido positivo como sendo o sentido anti-horário.
3
Conhecendo as transformações T:3→3 , onde Ta(x,y,z)=(x+z, 2x–z, y –2z),
Tb(x,y,z)=(2x, 2y,2z) e Tc(x,y,z)=(y,z,x), encontre:
4
98
Aula 17
a)
(Tc ◦ Ta )(1, 1, 1)
c)
(Ta ◦ Tb ◦ Tc )(1, −1, 1)
b)
(Tb ◦ Ta )(0, −1, 2)
d)
(Tc ◦ Tb ◦ Ta )(1, −1, 1)
Álgebra Linear
Referências
ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2001.
BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Harper-Row, 1980.
LAY, David. Álgebra linear e suas aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
Anotações
Aula 17
Álgebra Linear
99
Anotações
100
Aula 17
Álgebra Linear
Formas quádricas
Aula
18
Apresentação
A Álgebra Linear pode ser usada, além de muitos outros casos, na Geometria. Nesta aula,
veremos como equações quádricas podem ser reescritas visando uma mudança de coordenadas que facilitará o traçado do seu gráfico futuramente.
Objetivos
1
Saber manipular as formas quádricas da forma por extenso
para forma matricial e o contrário.
2
Reconhecer a matriz associada das formas quádricas.
Aula 18
Álgebra Linear
103
Definição
Formas quádricas ou quadráticas são funções em que aparecem termos com multiplicação de variáveis, fato que não ocorre nas funções lineares.
Forma linear
Todas as variáveis aparecem na primeira potência e não há produto de variáveis
na expressão.
a1x1 + a2x2 + ... + anxn
Forma bilinear
As variáveis aparecem na primeira potência e há produto de variáveis distintas
na expressão.
a1x1y1 + a2x2y2 + ... + anxnyn
Forma quádrica
É possível aparecer quadrados de variáveis ou produto de duas variáveis:
No 2 → a1x21 + a2x22 + a3x1 x2
No 3 → a1x21 + a2x22 + a3x23 + a4x1 x2 + a5x1 x3 + a6x2x3
Onde os termos que envolvem variáveis distintas são chamados de produto misto ou
termo cruzado. Exemplo: a2x1x2.
Aula 18
Álgebra Linear
105
Representação matricial
Seja x um vetor de dimensão n, y um vetor de dimensão n e A uma matriz n×n.
⎤
x1
⎥
⎢
⎢ x2 ⎥
⎥
⎢
x=⎢
⎥
⎣
⎦
xn
⎤
y1
⎥
⎢
⎢ y2 ⎥
⎥
⎢
y=⎢
⎥
⎦
⎣
yn
⎡
⎡
⎡
a11
⎢
⎢ a21
A=⎢
⎢
⎣
an1
a12
a22
···
···
an2
···
⎤
a1n
⎥
a2n ⎥
⎥
⎥
⎦
ann
Uma forma linear pode ser associada a uma matriz na forma:
L(x) = Ax
Uma forma bilinear pode ser associada a uma matriz na forma:
B(x) = xTAy
Uma forma quadrática pode ser associada a uma matriz na forma:
Q(x) = xTAx
Onde A é a matriz associada à forma quádrica.
Exemplo 1
Seja A =
3
−2
2
7
a matriz associada à forma quádrica, encontre sua expressão
por extenso.
Resolução:
Conhecendo a matriz que é associada à forma quádrica, basta substituir na expressão
Q(x) = XTAx. Como a matriz A tem ordem 2x2, então o vetor X só pode pertencer ao 2:
X=
x1
x2
Substituindo:
T
Q(x) = x Ax =
x1
x2
3
−2
Q(x) = [(3x1 − 2x2 )(2x1 + 7x2 )]
Q(x) = 3x21 + 7x22 − 2x1 x2 + 2x1 x2
Q(x) = 3x21 + 7x22
106
Aula 18
Álgebra Linear
2
7
x1
x2
x1
x2
Obtendo a forma matricial
Quando se conhece a matriz associada à forma quádrica é fácil obter a forma por extenso,
o contrário também pode ser obtido, porém, requer um pouco mais de atenção.
Procedimento:
Definimos a ordem da matriz associada de acordo com a quantidade de variáveis
envolvidas.
Identificamos os coeficientes dos termos ao quadrado.
Alocamos na diagonal principal esses coeficientes.
As demais entradas da matriz dependem dos coeficientes dos termos cruzados, a posição
ij + a posição ji na matriz corresponde ao coeficiente do termo cruzado xixj .
Exemplo 2
Considere a forma quádrica Q(x) = x21 – 2x22 + 5x1 x2 e obtenha uma forma matricial equivalente.
Resolução:
Primeiro, definiremos a ordem da matriz. Como apenas aparecem como variáveis x1 e x2, então
a matriz associada terá ordem 2x2.
A=
−
−
−
−
Os elementos dos termos ao quadrado são os elementos da diagonal principal. Nesse caso,
os coeficientes são: 1 e –2
A=
1
−2
Os elementos a12 e a21 partem dos termos cruzados, onde a12+a21 corresponde ao coeficiente
do termo x1x2.
a12+ a21 = 5
Existe uma infinidade de possibilidades: (2 e 3), (1 e 4), (0 e 5), (2,5 e 2,5)...
O que ocorre é que sempre se tende a utilizar matrizes simétricas, pelo fato destas apresentarem
algumas facilidades, vistas mais adiante, portanto:
A=
1 2, 5
2, 5 −2
Aula 18
Álgebra Linear
107
Forma matricial: Q(x) = xT Ax =
x2
x1
1 2, 5
2, 5 −2
x1
x2
É possível observar que para cada função existe uma infinidade de matrizes que se encaixariam
na sua representação, cabe escolher então a mais adequada.
Verificando se a matriz é associada de fato à forma quádrica dada:
Q(x) = xTAx
1 2, 5
2, 5 −2
x1
Q(x) = [(x1 + 2, 5x2 )(2, 5x1 − 2x2 )]
x2
Q(x) = xT Ax =
x1
x2
x1
x2
Q(x) = x21 + 2, 5x1 x2 + 2, 5x1 x2 − 2x22
Q(x) = x21 + 5x1 x2 − 2x22
Exatamente a forma quádrica inicial.
Exemplo 3
Seja, Q(x) = x21 + 2x22 + 3x23 + 5x1x2 – x1x3 + 2x2x3 encontre a matriz associada.
Resolução:
Primeiro, definiremos a ordem da matriz. Como aparecem as variáveis x1, x2 e x3, então, a
matriz associada terá ordem 3x3.
⎡
−
⎢
A=⎣ −
−
−
−
−
⎤
−
⎥
− ⎦
−
Os elementos dos termos ao quadrado são os elementos da diagonal principal. Nesse caso,
os coeficientes são: 1, –2 e 3.
⎡
⎢
A=⎣
⎤
1
⎥
⎦
−2
3
Os demais elementos partem dos termos cruzados:
Coeficiente do termo cruzado da variável 1 com 2 : 5.
Então, os elementos a12 e a21 devem ter a soma igual a 5: a12 + a21 = 5.
Optando pela matriz simétrica, teremos a12 = 2,5 e a21 = 2,5.
⎡
⎤
1 2, 5
⎢
A = ⎣ 2, 5 −2
⎥
⎦
3
108
Aula 18
Álgebra Linear
Os elementos a13 e a31 devem ter a soma igual a –1: a13 + a31 = –1.
Optando pela matriz simétrica, teremos a13 = –0,5 e a31 = –0,5.
⎡
1
2, 5
⎢
A = ⎣ 2, 5 −2
−0, 5
−0, 5
⎤
⎥
⎦
3
Os elementos a23 e a32 devem ter a soma igual a 2: a23 + a32 = 2.
Optando pela matriz simétrica, teremos a23 = 1 e a32 = 1.
⎡
⎤
−0, 5
⎥
1 ⎦
3
1
2, 5
⎢
A = ⎣ 2, 5 −2
−0, 5 1
Forma matricial: Q(x) = xT Ax =
Verificando:
Q(x) = xT Ax =
x1
x2
x3
x1
x2
x3
⎡
1
2, 5
⎢
⎣ 2, 5 −2
−0, 5 1
⎡
1
2, 5
⎢
⎣ 2, 5 −2
−0, 5 1
⎤⎡
⎤
−0, 5
x1
⎥⎢
⎥
1 ⎦ ⎣ x2 ⎦
x3
3
⎤⎡
⎤
−0, 5
x1
⎥⎢
⎥
1 ⎦ ⎣ x2 ⎦
x3
3
⎤
x1
⎥
⎢
Q(x) = [(x1 + 2, 5x2 − 0, 5x3 )(2, 5x1 − 2x2 x3 )(−0, 5x1 + x2 + 3x3 )] ⎣ x2 ⎦
x3
⎡
Q(x) = x21 + 2, 5x1 x2 − 0, 5x1 x3 + 2, 5x1 x2 − 2x22 + x2 x3 − 0, 5x1 x3 + x2 x3 + 3x23
Q(x) = x21 − 2x22 + 3x23 + 5x1 x2 − x1 x3 + 2x2 x3
Forma quádrica original.
1
Encontre a forma matricial das formas quádricas e, ao final, verifique se a
matriz está correta.
a)
Q(x) = –3x 21 – x22 – 6x1 x2
b)
Q(x) = 3x 21 – 3x 22 + x23 + 4x1x2 + 3x1x3 – 8x2x3
Aula 18
Álgebra Linear
109
Formas quádricas positivas
Uma forma quádrica Q(x) = xT Ax é chamada positiva definida se xT Ax>0 qualquer
x diferente de zero.
Existe ainda a nomenclatura negativa definida, quando xT Ax<0 para todo x diferente
de zero, e indefinida, quando xT Ax pode assumir tanto valores positivos quanto negativos
para todo x diferente de zero.
Uma matriz simétrica A, associada a uma forma quádrica, é chamada positiva se
T
x AX é uma forma quádrica positiva, e a matriz A será positiva se, e somente se, todos seus
autovalores forem positivos.
Desafio
1)
Considere a seguinte forma quadrática:
Q(x1 , x2 , x3 ) =
x1
x2
x3
⎡
a
⎢
⎣ 0
0
0
d
e
⎤⎡
⎤
0
x1
⎥⎢
⎥
e ⎦ ⎣ x2 ⎦
x3
f
Sabendo que f (1, 0, 0 ) = 3, f (0, 1, 0) = 2, f (0, 1, 1) = f ( 0, 0, 1) = 4, determine
a expressão da forma quadrática.
2)
Expresse a forma quádrica (b1x1 + b2x2 + ... + bnxn)2 na notação matricial
Q(x) = xTAx, onde A é uma matriz simétrica.
Resumo
Nesta aula, você aprendeu a identificar formas quádricas assim como
diferenciá-las de formas lineares e bilineares, aprendeu ainda a mudar sua
representação de matricial para extensa e também o contrário.
110
Aula 18
Álgebra Linear
Autoavaliação
1
Identifique quais das equações são formas quádricas. Justifique.
a)
Q(x)= 2x 21 + 2x 22 + 2x1x2
b)
Q(x)= –5x 1x2x3
c)
Q(x)= 3x 21x 22 + 4x1x2
d)
Q(x)= x 21 – x 22 + x 23 – 2x 24 + 8x 1x2x3 +x3x4
e)
Q(x)= 2x 31 + x 32 + x 33
Transforme a forma matricial em forma quádrica, tomando a matriz A como a
matriz associada à forma quádrica.
2
⎡
a)
1
⎢
A=⎣ 2
1
b)
A=
⎡
c)
3
4
3
0
3
4
1
⎢
A=⎣ 3
2
⎤
3
⎥
2 ⎦
−2
7
−3
3
3
1
d)
⎤
2
⎥
1 ⎦
−2
⎤
1
0 1 −2
⎢3
2 1 −3⎥
⎥
⎢
A=⎢
⎥
⎣1
2 0
0⎦
0 −2 6 −2
⎡
⎡
e)
⎤
2 −2 0 7 −5
⎢ 4 −1 2 4
6⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
A=⎢ 0
3 4 1
0⎥
⎢
⎥
⎣ 1
0 1 0
1⎦
−1
2 6 1 −2
Escreva a forma quádrica na forma matricial.
a)
Q(x)= 3x 21 – x 22 + 4x1x2
b)
Q(x)= –2x 21 + x1x2
c)
Q(x)= –4x 21 – 2x 22 – x 23 + 4x1x2 – 6x1x3 + 8x2x3
d)
Q(x)= 4x 24
e)
Q(x)= 3x 21 + x 22+ 4x1x2
f)
Q(x)= 4x1x2 – x2x4– 2x2x5
Aula 18
Álgebra Linear
111
Referências
ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre:
Bookman, 2001.
BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Harper-Row, 1980.
LAY, David. Álgebra linear e suas aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
Anotações
112
Aula 18
Álgebra Linear
Anotações
Aula 18
Álgebra Linear
113
Anotações
114
Aula 18
Álgebra Linear
Diagonalização de
formas quádricas
Aula
19
Apresentação
A Álgebra Linear quando aplicada às formas quádricas permite obter matrizes associadas
simplificadas, facilitando cálculos e reduzindo custo computacional. Ao lançar mão da diagonalização, mostramos uma aplicação direta da Álgebra Linear na geometria, uma vez que
utilizaremos esse recurso para a facilitação do traçado do seu gráfico futuramente.
Objetivos
1
Aplicar o processo de diagonalização de matrizes às formas
quádricas.
2
Relacionar sistemas de coordenadas.
3
Compreender a relação entre os sistemas de coordenadas
envolvidos.
Aula 19
Álgebra Linear
117
Definição
Como vimos na aula anterior, a forma matricial da forma quádrica é obtida facilmente a
partir da forma por extenso, porém, a matriz pode ser uma matriz “cheia” o que implica em várias dificuldades de manipulação. O que faremos nesta aula é diagonalizar essa matriz associada
para dispor de uma matriz simplificada. Uma matriz associada diagonal implica em uma forma
quádrica sem termos cruzados, então, o que de fato faremos é eliminar os termos cruzados.
Processo de diagonalização
Inicialmente é utilizada a função na forma padrão:
⎡
Q(x) = xT Ax =
x1
x2
···
xn
a11
⎢
⎢ a21
⎢
⎢
⎣
an1
a12
a22
···
···
an2
···
⎤⎡
⎤
a1n
x1
⎥⎢
⎥
a2n ⎥ ⎢ x2 ⎥
⎥⎢
⎥
⎥⎢
⎥
⎦⎣
⎦
ann
xn
O que faremos é mudar de sistema de coordenadas, de X para Y, os quais se relacionam
através da matriz P, que é uma matriz que diagonaliza A ortogonalmente.
X = PY
Onde:
X é o vetor variável do n
⎡
⎤
x1
⎢
⎥
⎢ x2 ⎥
⎥,
X=⎢
⎢
⎥
⎦
⎣
xn
⎤
y1
⎥
⎢
⎢ y2 ⎥
⎥,
Y=⎢
⎢
⎥
⎦
⎣
yn
⎡
Y é o novo vetor variável do n
P é uma matriz ortogonal que diagonaliza A.
Aplicando a mudança de variável:
XT AX = (P Y)T A(P Y)
XT AX = YT P T AP Y
XT AX = YT (P T AP )Y
A nova matriz associada à forma quádrica no novo sistema de coordenadas é (PTAP).
Como P é uma matriz que diagonaliza A ortogonalmente, então
PT=P –1
Aula 19
Álgebra Linear
119
e
PTAP = P –1AP = D
Onde D é a matriz diagonalizada, cujos elementos da diagonal principal são os autovalores
de A.
⎡
λ1
⎢
⎢ 0
D=⎢
⎢
⎣
0
0
λ2
···
···
0
···
⎤
0
⎥
0 ⎥
⎥
⎥
⎦
λn
Logo, XT AX = YT DY
Exemplo 1
2
2
Seja Q(x) = x1 − 5x2 − 8x1 x2 , encontre uma mudança de variável que transforme a forma
quádrica em uma sem termos cruzados.
Resolução:
T
Passando para a forma matricial, temos: Q(x) = x Ax =
A matriz associada é: A =
x1
x2
1
−4
−4
−5
x1
x2
.
−4
.
−5
1
−4
Devemos diagonalizar a matriz A:
Autovalores de A: 3 e –7
⎡
Autovetores de A: vλ=3
2
√
⎢ 5
=⎢
⎣ −1
√
5
⎡
⎤
⎥
⎥
⎦
vλ=7
1
√
⎢ 5
=⎢
⎣ 2
√
5
⎤
⎥
⎥.
⎦
Como os autovetores já são ortonormais, não será necessário diagonalizá-los nem ortonormalizá-los.
Então, x = Py , onde x =
120
Aula 19
Álgebra Linear
x1
x2
y=
y1
y2
⎡
2
√
⎢ 5
D=⎢
⎣ −1
√
5
⎤
1
√
5 ⎥
⎥
2 ⎦
√
5
Mudando de coordenadas:
Q(x) = x21 − 5x22 − 8x1 x2 = xT Ax = yT Dy
3
0
y1
T
Q(y) = y Dy = y1 y2
y2
0 −7
Como a nova matriz associada é D, então a forma expandida fica:
Q(y) = 3y12 − 7y22 → Forma quádrica no novo sistema de coordenadas.
Para relacionarmos os dois sistemas de coordenadas, basta utilizarmos a expressão x = Py,
então para calcularmos um determinado vetor em Q(x), basta obter o correspondente em y.
Para calcular
Q(x1 , x2 ) = Q(2, −2),
Q(x) = x21 − 5x22 − 8x1 x2
Q(2, −2) = 22 − 5 · (−2)2 − 8 · 2 · (−2) = 16
Para encontrar o mesmo no sistema equivalente, primeiro encontramos seu correspondente
em Y:
X = PY
Y = P −1 X
P −1 = P T
⎡
2
√
⎢
5
Y = P −1 X = ⎢
⎣ 1
√
5
6
y1 = √
5
⎡
⎤
−1 √6
√
2 ⎢
5 ⎥
⎢ 5
⎥
2 ⎦ −2 ⎣ −2
√
√
5
5
⎤
⎥
⎥
⎦
−2
y2 = √
5
Então, aplicamos à expressão em Y:
Q(y) = 3y12 − 7y22
2
2
−2
6
−7 √
= 16
Q(2, −2) = 3 √
5
5
Aula 19
Álgebra Linear
121
Seja Q(x) = 3x21 + 3x22 + 2x1 x2 , encontre uma mudança de variável que
transforme a forma quádrica em uma sem termos cruzados.
Desafio
2
2
2
1)
Diagonalize a forma quádrica Q(x) = 3x1 − 2x1 x2 + 2x2 − 2x2 x3 + 3x3 .
2)
Suponha que x é um autovetor unitário de dimensão 5 associado ao autovalor ¸=3.
Qual o valor de xT Ax?
Resumo
Nesta aula, você viu que o processo de diagonalização é de essencial
importância na simplificação de formas quádricas. Você aprendeu não apenas a
aplicar a diagonalização às formas quádricas como a relacionar vetores entre os
sistemas de coordenadas envolvidos.
122
Aula 19
Álgebra Linear
Autoavaliação
Elimine o termo cruzado das formas quádricas, escrevendo-as em um novo sistema de
coordenadas. Encontre as matrizes que relacionam os dois sistemas. Para cada caso encontre
a coordenada correspondente a x1 = −1, x2 = 2, x3 = 1 no novo sistema de coordenadas.
a)
Q(x) = x21 + x22 + 10x1 x2
b)
Q(x) = 2x1 x2
c)
Q(x) = 9x21 + 7x22 + 11x23 − 8x1 x2 + 8x1 x3
d)
Q(x) = 2x1 x3 + 6x2 x3
Referências
ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre:
Bookman, 2001.
BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Harper-Row, 1980.
LAY, David. Álgebra linear e suas aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
Aula 19
Álgebra Linear
123
Anotações
124
Aula 19
Álgebra Linear
Seções cônicas
Aula
20
Apresentação
A
Álgebra Linear quando empregada na Geometria traz benefícios e facilidades ao traçado
de gráficos. Uma vez aprendida a diagonalização de formas quádricas, usaremos esse
recurso para traçar seus gráficos no plano. Faremos uma mudança de sistema de coordenadas para trazer um gráfico deslocado em relação à origem para a posição centralizada,
o que facilita, e muito, o desenho do seu gráfico.
Objetivo
Traçar gráficos de seções cônicas rotacionados e deslocados horizontal
e/ou verticalmente em relação à origem.
Aula 20
Álgebra Linear
127
Definição
Chamamos de seção cônica a forma gráfica que as quádricas do 2 assumem. Uma série
de figuras chaves pode ser obtida a partir das formas quádricas, as quais variam de acordo
com os parâmetros da equação analisada.
Quando analisamos os gráficos das quádricas do 3, temos então as superfícies cônicas,
que não serão alvos do nosso estudo.
O termo “cônicas” se dá porque as figuras, que são elipses, hipérboles e parábolas,
podem ser obtidas a partir de cortes feitos em cones. A Figura 1 mostra como o plano corta
o cone para formar as figuras.
Elipse
Hipérbole
Parábola
Figura 1 – Cônicas
Interpretação geométrica do 2
Partindo da equação das formas quádricas:
Q(x ) = xTAx = c
onde A é uma matriz 2×2 simétrica e inversível, c uma constante e x um vetor do 2.
Ao expandirmos, teremos uma expressão da forma:
rx 12 + sx 22 + tx1x2 = c
Sendo r, s e t ∈ obtidas a partir dos coeficientes da matriz A. Ao eliminarmos o termo
cruzado, através da diagonalização, teremos apenas:
fx 12 + gx 22 = c
Aula 20
Álgebra Linear
129
onde f e g também são constantes. Dividindo toda a equação por c teremos:
f x21
gx2
+ 2 =1
c
c
E arrumando, temos:
x21
x22
+
=1
a2
b2
Onde a e b são obtidas a partir de c, f e g.
Formas quádricas sem o termo cruzado
Veremos a seguir a forma padrão e a forma degenerada de cada uma das cônicas. A forma
padrão, não degenerada, é a forma como a equação da figura se apresenta, já a forma degenerada ocorre quando alguma das constantes apresenta valores fora do padrão e com isso
transforma a figura em uma outra forma.
Elipse
A equação da elipse, na forma como sabemos traçar seu gráfico, é:
x21
x22
+
=1
a2
b2
No caso particular onde a =b, temos o círculo. A Figura 2 mostra o gráfico de elipses para
relações distintas de a e b. Para desenhar o gráfico da elipse devemos marcar as delimitações
definidas por a, –a, b e –b, então completar o gráfico.
b >a >0
a >b >0
x2
a =b >0
x2
b
x2
b
b
a x1
a x1
Figura 2 – Gráficos de elipses
130
Aula 20
Álgebra Linear
a x1
Elipse degenerada:
Quando a equação tem a forma
ax 12 + bx 22 = c
Implica dizer que a figura obtida é apenas um ponto.
Círculo degenerado:
Como o círculo vem da elipse quando a=b, então também teremos apenas um ponto.
x 12 + x 22 = 0
Hipérbole
A equação da hipérbole é bem parecida com a da elipse, porém, muda um dos sinais dos
termos com variáveis para negativo:
x21
x22
+
=1
a2
b2
A Figura 3 mostra o gráfico de hipérboles para relações distintas de a e b. Para traçarmos uma
hipérbole, primeiro devemos marcar no gráfico os valores de a, –a, b e –b, traçar um retângulo
passando por esses pontos e então gerar as assíntotas, as quais o gráfico tangencia.
a >b >0
b >a >0
x2
x2
b
b
a
x1
a x1
Figura 3 – Gráficos de hipérboles
Aula 20
Álgebra Linear
131
Hipérbole degenerada:
2
2
Quando caímos na forma x21 − x22 = 0 ⇒ x1 = ± a x2 .
a
b
b
O que implica em retas concorrentes.
Parábola
A equação da parábola é obtida a partir da expressão a seguir, ou invertendo-se as variáveis:
x 12 – ax2 = 0
a
A Figura 4 mostra parábolas sobre os eixos x1 e x2. O foco da parábola está situado a do
4
vértice e a diretriz a a do foco.
2
x 22 − ax 1 = 0
x 12 − ax 2 = 0
x2
Diretriz
x2
a
4 F
F
a
4
a
4
a
4
x1
Diretriz
a
4
a
4
x1
Figura 4 – Gráficos de parábolas
Parábola degenerada:
Quando caímos na forma
x 12 – a = 0 ou x 12 = 0.
O que implica em retas paralelas no primeiro caso e em reta coincidente com o eixo x2
no segundo.
132
Aula 20
Álgebra Linear
Exemplo 1
Encontre o gráfico de:
a)
9x 21 + 4x 22 = 36
b)
x 21 – 4x 22 = 2
c)
16x 1 – x 22 = 0
Resolução:
a)
Arrumando a equação 9x 21 + 4x 22 = 36
Dividindo tudo por 36:
9x21
4x2
36
+ 2 =
36
36
36
x2
x21
+ 2 = 1, temos a equação de uma elipse com a = 2 (associado a x ) e b =3 (associa1
4
9
do a x2). Para traçar o gráfico, primeiro marcamos os pontos a, –a, b e –b e, em seguida,
desenhamos a elipse, como mostrado na Figura 5.
x2
x2
3
-2
3
-2
x1
2
-3
x1
-3
Figura 5 – Gráfico da elipse
b)
2
x2
x21
+ 2 =1
4
9
Arrumando a equação x 12 – 4x 22 = 2
Dividindo por 2:
4x2
2
x21
− 2 =
2
2
2
x2
x21
− 2 =1
2
2
4
→
x2
x21
− 2 =1
1
2
2
Temos a equação de uma hipérbole com
a=
√
2
(
x1 ) e b =
1 (
2
x2 )
Aula 20
Álgebra Linear
133
Para traçar o gráfico, primeiro marcamos os pontos a, –a, b e –b e, em seguida, marcamos
um quadrado passando por esses pontos, como mostrado na Figura 6.
x2
x2
2
2
- 2
- 2
x1
2
- 2
2
2
2
2
x1
- 2
2
Figura 6 – Passos intermediários do gráfico da hipérbole
x2
x21
− 2 =1
1
2
2
Traçamos as assíntotas passando pelas “quinas” do retângulo e, por fim, desenhamos a hipérbole, como na Figura 7.
x2
x2
2
2
- 2
2
x1
x1
- 2
2
Figura 7 – Gráfico da hipérbole
x21
x2
− 2 =1
1
2
2
Para saber se a hipérbole cruza o eixo x1 ou o eixo x2, devemos observar o sinal da equação.
Note que na equação
x21
x2
− 2 = 1 a variável x2 pode assumir o valor x2=0 que o x1 apre1
2
2
sentará valores reais, porém, se a variável x1 assumir o valor x1=0 então os valores para x2
serão complexos, valores que não fazem parte do nosso estudo neste momento. Portanto,
concluímos que o valor x1 não pode ser zero, ou seja, o gráfico não pode cortar o eixo x2, então
o gráfico está sobre o eixo x1.
134
Aula 20
Álgebra Linear
c)
Arrumando a equação 16x 1 – x 22 = 0,
x 22 = 16x 1, temos a equação de uma parábola com a =16.
Vértice no ponto (0,0).
Foco no ponto (4,0), pois a parábola está sobre o eixo x1 (variável sem o quadrado).
Conhecendo alguns pontos fica simples traçar o gráfico. Vamos atribuir os valores 1 e 3 a x1:
X1
X2
1
±4
√
± 48
3
x2
x2
48
48
4
4
V
V
F
1 3
x1
1 3
-4
-4
- 48
- 48
Figura 8 – Gráfico de parábola x 22
F
x1
= 16x 1
Forma quádrica completa
No exemplo anterior, vimos como traçar o gráfico das cônicas sem alterações. Porém, na
prática, essas figuras podem aparecer com vários deslocamentos possíveis. A equação da
forma quádrica não aparece “limpa”, na forma como sabemos traçar seu gráfico. Portanto,
veremos como considerar e eliminar cada parcela a fim de obtermos a forma reduzida e então
desenhar o gráfico de uma forma simples.
Quando consideramos a equação da forma quádrica rx 21 – sx 22 + tx 1x 2 = c deslocada, ou
seja, centrada no ponto (p,q), temos:
r(x 1– p)2 + s(x 2–q)2 + t(x 1– p)(x 2– q) = c
Arrumando, teremos uma equação com os seguintes termos:
a1x 21 + a2x 22 + a3x 1x 2 + a4x 1+ a5x 2 + a6 = 0
Essa forma, com termo cruzado e os termos lineares, é a forma completa da equação quádrica.
Aula 20
Álgebra Linear
135
Influência dos termos
Observando a equação completa – da forma quádrica a1x 21 + a2x 22 + a3x 1x 2 + a4x 1+ a5x 2 + a6 = 0,
percebemos 3 tipos de termos adicionais:
Os termos quadráticos – a1x 21 + a2x 22 , os termos cruzados (ou produto misto) – a3x 1x 2 e os
termos lineares – a4x 1 + a5x 2. Cada um deles influencia o gráfico de uma maneira.
Termos quadráticos – a1x 21 + a2x 22
Quando na forma quádrica aparecem apenas esses termos, o que implica em uma figura
centralizada na origem e livre de deslocamentos ou rotações, dizemos que ela está na posição
canônica, conforme Figura 9.
x2
x1
Figura 9 – Cônica centralizada
Termos cruzados – a3x 1x 2
Quando o termo cruzado (ou produto misto) aparece na equação, a figura é rotacionada em
relação à sua posição canônica, como mostrado na Figura 10.
x2
x1
Figura 10 – Cônica rotacionada
136
Aula 20
Álgebra Linear
Termos lineares – a4x 1 + a5x 2
Quando na forma quádrica surgem os termos lineares, isso indica deslocamentos horizontais
e/ou verticais, mostrados na Figura 11.
x2
x1
Figura 11 – Cônica deslocada horizontal e verticalmente
Uma cônica que apresenta todos os termos possíveis terá todas as modificações, a rotação e
os deslocamentos horizontais e verticais, como exemplificado na Figura 12.
x2
x1
Figura 12 – Cônica rotacionada e deslocada horizontal e verticalmente
O desafio é como traçar o gráfico de uma forma quádrica que apresenta todos os termos:
a1x 21 + a2x 22 + a3x 1x 2 + a4x 1+ a5x 2 + a6 = 0
Aula 20
Álgebra Linear
137
Traçando o gráfico com a influência dos termos
Equação com termo cruzado (rotacionado)
Para desenharmos uma cônica rotacionada, o que fazemos na realidade é uma mudança de
sistema de coordenadas. Imagine que conhecemos a equação da cônica que tem o gráfico
mostrado na Figura 10. De posse da equação, é possível descobrir e relacionar um novo sistema
de coordenadas x`1x`2 que tem a cônica na posição canônica. Dessa forma fica fácil traçar o
gráfico no novo sistema de coordenadas x`1x`2 e sobrepor ao sistema antigo x1x2.
x'
1
x'
2
x2
x1
Figura 13 – Relação entre sistemas de coordenadas distintos
Partindo da equação a1x 21 + a2x 22 + a3x 1x 2 + a6 = 0 e escrevendo-a na forma matricial, temos:
xT Ax + c =0
a
11
x1 x2
a21
Onde A =
a11
a21
a12
a22
a12
a22
x1
x2
+c=0
x=
x1
x2
c = constante
Para eliminarmos o termo cruzado, vamos passar a quádrica pelo processo de diagonalização.
Para tanto, devemos encontrar a matriz P que diagonaliza A ortogonalmente, onde
X=PY.
Deve-se substituir na equação
xT Ax + c = 0
(P y)T A(P y) + c = 0
yT P T AP y + c = 0
yT (P T AP )y + c = 0
yT Dy + c = 0
138
Aula 20
Álgebra Linear
Dessa forma, teremos um novo sistema de coordenadas Y livre do termo cruzado, o qual se
relaciona com o sistema X através da equação X=PY.
y2
y1
0
d2
d1
0
y1
y2
+c=0
d1 y12 + d2 y22 + c = 0
O gráfico no novo sistema de coordenadas é fácil de ser obtido, pois está na posição canônica.
O próximo passo é então relacionar os gráficos dos dois sistemas de coordenadas, onde os
eixos do novo sistema de coordenadas estão sobre o antigo na direção dos autovetores de A.
Exemplo 2
Encontre o gráfico da elipse 5x 21 + 8x 22 – 4x 1x 2 – 36 = 0.
Resolução:
Primeiro escrevemos na forma matricial: x TAx + c = 0
A=
5 −2
−2
8
x=
x1
x2
c = −36
Encontrando os autovalores de A: 4 e 9
Encontrando os autovetores de A: vλ=4
2
1
e
vλ=9
−1
2
São ortogonais,⎡devemos
⎡
⎤ então apenas normalizá-los:
⎤
⎢
vλ=4
=⎢
v1 =
vλ=4 ⎣
⎡
2
√
5 ⎥
⎥
1 ⎦
√
5
2
√
⎢ 5
P =⎢
⎣ 1
√
5
⎤
−1
√
5 ⎥
⎥
2 ⎦
√
5
⎢
vλ=9
=⎢
v2 =
vλ=9 ⎣
⎡
P −1
2
√
⎢ 5
=⎢
⎣ −1
√
5
−1
√
5 ⎥
⎥
2 ⎦
√
5
⎤
1
√
5 ⎥
⎥
2 ⎦
√
5
A ordem adequada para os autovetores na matriz é tal qual o determinante da
matriz P seja 1 e não –1. Segundo esse raciocínio, então v1 deve corresponder à
primeira coluna e v2 à segunda.
Aula 20
Álgebra Linear
139
A expressão x TAx + c = 0 é equivalente a y TDy + c = 0
y1
y2
4
0
0
9
y1
y2
− 36 = 0
4y12 + 9y22 − 36 = 0
A equação nessa forma é fácil percebemos que se trata de uma elipse.
4y12 + 9y 22 = 36
Dividindo toda a equação por 36:
4y12
9y 2
36
+ 2 =
36
36
36
2
2
y
y1
+ 2 =1
9
4
a=3
b=2
O gráfico no sistema de coordenas Y é mostrado na Figura 14.
y2
2
-3
3
y1
-2
Figura 14 – Gráfico da cônica na posição canônica – Sistema y1y2. Escala 1:1
Para traçarmos o gráfico no sistema X, devemos primeiro escrever os eixos y1y2. Marcamos os
autovetores no sistema X e então traçamos o eixo y1 para coincidir com o primeiro autovetor
e o y2 com o segundo, como mostrado na Figura 15.
140
Aula 20
Álgebra Linear
y
2
y
1
x2
V2
V1
x1
Figura 15 – Relação entre sistemas de coordenadas
Então, é só sobrepor o gráfico já traçado no sistema y1y2, como na Figura 16.
2
y
2
3
y
1
x2
-3
-2
x1
Figura 16 – Gráfico da cônica na posição original – Sistema x1x2. Escala 1:1
1
Encontre o gráfico da elipse 2x 21 + 2x 22 – 2x 1x 2 – 8 = 0.
Aula 20
Álgebra Linear
141
Equação com termos lineares (deslocado horizontal e/ou verticalmente)
Como não há a presença de produto misto, significa que a cônica não está rotacionada, mas
está fora da sua posição. Para desenharmos uma cônica deslocada horizontal ou verticalmente,
fazemos também uma mudança de sistema de coordenadas. Para isso, vamos apenas reescrever a quádrica de uma forma diferente, completando os quadrados.
Consideremos a forma quádrica:
a1x 21 + a2x 22 +a3x 1 + a4x 2 + a 5 = 0
O que devemos fazer é agrupar os termos com as mesmas variáveis e completar os quadrados.
Façamos com um exemplo.
Exemplo 3
Encontre o gráfico de x 21 + 2x 22 + 4x 1– 4x 2 – 4 = 0.
Resolução:
Agrupando os termos:
(x 21 + 4x 1) – (2x 22 + 4x 2) – 4 = 0
Completando os quadrados:
(x1 + 2)2 − 4 − 2
(x2 + 1)2 − 1 − 4 = 0
(x1 + 2)2 − 2(x2 + 1)2 − 6 = 0
Mudando de variáveis:
x`1 = x 1+ 2
x`2 = x 2+ 1
Logo, a nova equação é:
x`12 – 2x`22 – 6 = 0
Ao organizar, fica:
x12 − 2x22 = 6
x12
2x 2
6
− 2 =
6
6
6
x22
x12
−
=1
6√
3
√
a= 6
b= 3
142
Aula 20
Álgebra Linear
Pelo exposto, observamos que é a equação de uma hipérbole. Traçando a hipérbole no sistema
de coordenadas x`1x`2, obtemos o gráfico da Figura 17 na posição canônica.
x'2
3
- 6
6
x'1
- 3
Figura 17 – Gráfico da cônica na posição canônica – sistema x`1x`2. Escala 1:1
Para traçarmos o gráfico no sistema original, devemos relacionar os dois sistemas de coordenadas. Como:
x`1 = x1 + 2
x`2 = x2 + 1
Então, temos que o ponto (0,0) do sistema x`1 x`2 ocorre no ponto (–2,–1) do sistema x1x2,
conforme mostrado na Figura 18.
x'2
x2
x'1
x1
Figura 18 – Relação entre sistemas de coordenadas. Escala 1:1
Aula 20
Álgebra Linear
143
Agora, então é só sobrepor a figura já traçada no sistema x`1x`2, como mostrado na Figura 19.
x'2
x2
x1
x'1
Figura 19 – Gráfico da cônica na posição original – sistema x1x2. Escala 1:1
2
Encontre o gráfico de 2x 21 + x 22 – 8x 1 + 2x 2 + 5 = 0.
Equação completa – produto misto e termos lineares
O problema do traçado do gráfico da equação a1x 21 + a2x 22 + a3x 1x 2 + a4x 1 + a5x 2 + a6 = 0 se
resume então a eliminar o termo cruzado e depois reescrever a equação de forma adequada.
A equação quádrica a1x 21 + a2x 22 + a3x 1x 2 + a4x 1 + a5x 2 + a6 = 0 pode ser escrita na forma matricial:
x1
x2
a11
a21
a12
a22
x1
x2
+
b1
b2
x1
x2
+c=0
xT Ax + Bx + c = 0
Onde A =
a11
a21
a12
a22
x=
x1
x2
B=
b1
b2
c = constante
Devemos promover uma mudança de coordenadas para um novo sistema Y, o qual se relaciona
com o sistema X através da matriz P que diagonaliza A ortogonalmente:
X=PY
Devemos substituir na equação matricial:
x TAx + Bx + c = 0
144
Aula 20
Álgebra Linear
(Py)T A(Py) +B(Py) + c = 0
yTPT APy + BPy + c = 0
yT(PT AP)y + (BP)y + c = 0
yTDy + (BP)y + c = 0
Portanto, temos a nova equação matricial escrita no novo sistema de coordenadas sem o
termo cruzado. Note que para traçar o gráfico a partir dessa equação, depois de diagonalizada,
basta que completemos os quadrados e migremos para um terceiro sistema de coordenadas.
O segredo é então relacionar adequadamente os três sistemas.
Exemplo 4
√
√
Encontre o gráfico de 5x21 + 8x22 − 4x1 x2 + 4 5x1 − 16 5x2 + 4 = 0.
Resolução:
Primeiro passo é sempre escrever na forma matricial: x TAx + Bx + c = 0
A=
5
−2
−2
8
x=
x1
x2
B=
√ −16 5
√
4 5
c=4
Autovalores de A: 4 e 9
Autovetores de A: vλ=4 =
2
1
vλ=9 =
−1
2
⎡
⎡
⎤
−1
2
√
√
⎢ 5
⎢ 5
vλ=9
vλ=4
=⎢
Como são ortogonais, basta normalizar: v1 =
e v2 =
=⎢
vλ=9 ⎣ 2
vλ=4 ⎣ 1 ⎦
√
√
5
5
⎡
2
√
⎢ 5
Matriz P: P = ⎢
⎣ 1
√
5
⎡
⎤
−1
√
5 ⎥
⎥
2 ⎦
√
5
P −1
⎤
⎥
⎥
⎦
⎤
1
√
5 ⎥
⎥
2 ⎦
√
5
2
√
⎢ 5
=⎢
⎣ −1
√
5
A ordem dos autovetores está correta, pois det(P)=1. Caso fosse –1, deveríamos trocar as
colunas de P e considerar o primeiro autovalor 9 e o segundo 4.
A expressão x TAx + Bx + c = 0 é equivalente a yTDy + (BP)y + c = 0.
y1
y2
4 0
0 9
y1
y2
+
√
4 5
⎡
2
√
⎢ 5
√
−16 5 ⎢
⎣ 1
√
5
4y12 + 9y22 + [−8 − 36]
y1
y2
⎤
−1 √
y
5 ⎥
1
⎥
+4=0
2 ⎦ y2
√
5
+4=0
4y12 + 9y22 − 8y1 − 36y2 + 4 = 0
Aula 20
Álgebra Linear
145
Que é a expressão da forma quádrica no sistema Y, livre dos termos cruzados.
Devemos então agora manipular a equação para eliminar os termos lineares:
4y12 − 8y1 + 9y22 − 36y2 + 4 = 0
4(y12 − 2y1 ) + 9(y22 − 4y2 ) + 4 = 0
4(y12 − 2y1 ) + 4 − 4 + 9(y22 − 4y2 ) + 36 − 36 = −4
4(y12 − 2y1 + 1) − 4 + 9(y22 − 4y2 + 4) − 36 = −4
4(y1 − 1)2 + 9(y2 − 2)2 = 36
Mudando para o sistema de coordenadas y`1 y`2:
y`1 = y1 – 1 e y`2 = y2 – 2
Logo, a expressão da cônica no sistema y`1 y`2 é:
4y`12 + 9y`22 = 36
Colocando na forma padrão da elipse:
2
2
y 1
y
+ 2 =1
9
4
√
Onde a = 9 = 3
b=
√
4 = 2 , e seu gráfico pode ser visto na Figura 20.
y'2
y'1
Figura 20 – Gráfico da cônica na posição original – sistema y`1 y`2. Escala 1:1
Relacionando o sistema Y com o sistema Y`, temos que o ponto (0,0) do sistema Y` ocorre
no ponto (1,2) do sistema Y, conforme mostrado na Figura 21.
y`1 = y1 – 1
y`2 = y2 – 2
146
Aula 20
Álgebra Linear
y'2
y2
y'1
y1
Figura 21 – Gráfico da cônica considerados os deslocamentos horizontais e verticais - sistema y1y2. Escala 1:1
Analisando o gráfico no sistema Y, é fácil observar que:
4y`12 + 9y22 – 8y1 – 36y2 + 4 = 0
y1
y2
0
3,88 e 0,11
1
0
Para escrever o sistema Y no sistema X, devemos primeiro marcar os autovetores v1 e v2 e,
em seguida, fazer com que os eixos y1 e y2 coincidam com eles, como mostrado na Figura 22.
y2
x2
y1
V2
V1
x1
Figura 22 – Relação entre sistema X e sistema Y
Agora, basta que sobreponhamos o gráfico da Figura 21 na posição adequada dentro do sistema
X, como desenhado na Figura 23.
Aula 20
Álgebra Linear
147
y' 2
y2
x2
y' 1
y1
x1
Figura 23 – Gráfico da cônica no sistema X. Escala 1:1
Analisando o gráfico no sistema X, é fácil observar que:
√
√
5x21 + 8x22 − 4x1 x2 + 4 5x1 − 16 5x2 + 4 = 0
x1
x2
0
4,358 e 0,11
–0,89
0
3
Encontre o gráfico de 2x 2 + 2y 2 – 8x – 10y + 2xy + 11 = 0.
Desafio
148
Aula 20
1)
Encontre uma equação geral para todas as elipses, não rotacionadas, com centro em (–2,3).
2)
Encontre o gráfico de 1 x2 + 1 y 2 + xy − y = 0.
3)
Analisando a cônica a seguir, encontre:
a)
os autovalores da matriz associada à quádrica nas coordenadas X1X2.
2
Álgebra Linear
2
b)
os autovetores ortonormais da matriz associada à quádrica nas coordenadas X1X2.
x2
-4
y2
*Os números indicados na figura dizem respeito ao
sistema Y1Y2.
3
-3
x1
*A escala do sistema X1X2 é 1:1(cada quadrado tem
a dimensão 1x1).
4
y1
4)
Considere que a trajetória da borda da montanha do Cânion da figura pode ser descrita pela
hipérbole x 2 + y 2 – 4xy – 30 = 0. Se fosse construída uma ponte unindo o Lado Oeste e
o Lado Leste, que tamanho ela teria?
Resumo
Nesta aula, você compreendeu as relações entre os sistemas de coordenadas
envolvidos no estudo sobre gráficos de cônicas. Você aprendeu também a
traçar gráficos de cônicas com deslocamentos e rotações, por meio de mudanças de sistemas de coordenadas os quais recorrem a assuntos da Álgebra
Linear, tais como diagonalização de matrizes, matrizes ortogonais, autovalores
e autovetores.
Aula 20
Álgebra Linear
149
Autoavaliação
1
Descubra que forma têm as seguintes cônicas:
a)
Q(x) = 9x 21 + 4x 22 + 36x1 – 16x2 + 16 = 0
b)
Q(x) = 9x 21 – 4x 22 + 36x1 + 16x2 – 16 = 0
c)
Q(x) = x 21 – 25x 22 – 4x1 + 150x2 – 246 = 0
d)
Q(x) = x 21 + 25x 22 – 4x1 – 150x2 – 204 = 0
e)
Q(x) = 3x 21 + 6x 22 – 12x1x2 – 12 = 0
f)
Q(x) = 3x 21 + 6x 22 + 4x1x2 – 16 = 0
2
Encontre uma expressão para a cônica descrita (não rotacionada):
k1
k2
k1
150
Aula 20
a)
Elipse centrada no ponto (–3,1) com k1 = 4 e k2 = 2.
b)
Hipérbole centrada em (0,4) com k1 = 4 e k2 = 2.
c)
Elipse centrada no ponto (5,3) com k1 = 2 e k2 = 1.
d)
Hipérbole centrada em (–2,–2) com k1 = 6 e k2 = 6.
Álgebra Linear
k2
3
4
Se duas pessoas andam sobre a trajetória de uma mesma elipse definida pela
equação 2x 21 + 2x 22 + 2x1x2 – 3 = 0, qual a maior distância possível que as duas
podem estar uma da outra?
Trace o gráfico das seguintes cônicas.
a)
Q(x) = 2x 21 + 2x 22 + 2x1x2 + 4x1 – 4x2 – 4 = 0
b)
Q(x) = 2x 21 – x 22 – 4x1x2 – 4x1 – 8x2 + 14 = 0
c)
Q(x) = 9x 21 + 6x 22 – 4x1x2 – 10x1 – 20x2 – 5 = 0
d)
Q(x) = x 21 – 7x 22 – 6x1x2 + 10x1 + 2x2 – 9 = 0
Referências
ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre:
Bookman, 2001.
BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Harper-Row, 1980.
LAY, David. Álgebra linear e suas aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
Anotações
Aula 20
Álgebra Linear
151
Anotações
152
Aula 20
Álgebra Linear
Anotações
Aula 20
Álgebra Linear
153
Anotações
154
Aula 20
Álgebra Linear
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