1a Prova de Geometria Analı́tica e Sistemas Lineares
Curso de Ciências Exatas
Departamento de Matemática - ICE - UFJF
07/04/2009
Aluno:
Matrı́cula:
1. Resolva, usando escalonamento de matrizes (método
Jordan), os sistemas:



 x + 2y
 2x + y − 2z = 10

2x + 5y
(a) 3x + 2y + 2z = 1
(b)
3x + 4y



5x + 4y + 3z = 4

x + 2y
Turma:
de Gauss ou de Gauss(40 pts)
− 3z + 2w =
− 8z + 6w =
− 5z + 2w =
− z
=
2
5
4
2


0 3 5
2. Considere a matriz: A =  2 −5 4 .
1 2 1
(20 pts)
(a) Determine se A é invertı́vel.
(b) Caso seja invertı́vel, encontre a matriz inversa de A.


1 2
2
3
 1 0 −2 0 

3. (a) Calcule o determinante da matriz: A = 
 3 −1 1 −2 .
4 −3 0
2
(20 pts)
(b) O sistema AX = 0̄ tem solução não trivial? Justifique.
4. Classifique cada uma das afirmações abaixo como VERDADEIRA ou FALSA. Se verdadeira, prove; se falsa, prove ou dê um contra-exemplo.
(20 pts)
(a) Se A e B são matrizes n × n tais que det(AB) = 0 então A é singular ou B é
singular(não invertı́vel).
(b) Para quaisquer matrizes A e B n × n vale: det(A + B) = det(A) + det(B).
(c) Se AB = 0̄ então A = 0̄ ou B = 0̄.
(d) Se A, B e AB são simétricas então AB = BA. (Lembre-se: uma matriz A é dita
simétrica se At = A.)