Universidade Federal do Pará
Instituto de Ciências Exatas e Naturais
Programa de Pós-Graduação em Física
Exame de Seleção - Data: 03/08/2011
Nome do Candidato:
Nível: Mestrado Doutorado
1. No cálculo da corrente de tunelamento através da superfície de
contato entre condutores, na estimativa dos níveis mais baixos
de energia de um elétron em uma molécula de Hidrogênio e em
outras situações mais, a energia potencial dos elétrons pode ser
aproximada por uma função delta de Dirac. Encontre a energia
do estado fundamental de um elétron cuja energia potencial é
dada por:
V (x) = −V0δ(x),
onde V0 > 0 e δ(x) é a delta de Dirac. Determine a função
densidade de probabilidade do elétron no estado fundamental.
2. No instante t = 0, o estado físico de uma partícula livre em uma
dimensão é descrito pela seguinte função de onda:
A cos x , para |x| < π/2,
ψ(x) =
0,
para |x| ≥ π/2.
(a) Determine a constante de normalização A.
(b) Quais são os valores médios da posição, x, e do momento, p,
neste estado?
(c) Calcule os desvios-padrão de x e de p (σx e σp, respectivamente) neste estado. Estes desvios são compatíveis com o
princípio da incerteza?
(d) Faça um esboço do gráfico de |ψ|2 como função de x e marque
os pontos (hxi − σx) e (hxi + σx).
i
3. Considere uma região do espaço (aqui denominada região I), definida pela equação x2 + z 2 < a2, sendo a > 0. Por essa região
as cargas elétricas movimentam-se através do vácuo, com velocidade constante ~v = v ĵ, sendo v 6= 0 (na presente questão, î,
ĵ e k̂ são os versores que formam a base do sistema cartesiano
cujas coordenadas são x, y e z). A cada ponto da região I está
associada uma densidade volumétrica de carga não nula ρ, dada
por ρ(~r) = αxm + βy n + γz s, onde: α, β e γ são constantes
com unidades apropriadas para que a expressão tenha a dimensão de densidade volumétrica de carga; m, n e s são números
reais, diferentes de zero e positivos. Na região x2 + z 2 > a2 (aqui
denominada região II), há apenas o vácuo.
Responda as questões formuladas nos itens a seguir, justificando,
com base nos seus cálculos explicitados, cada uma de suas respostas.
(a) Disctuta o conjunto de valores possíveis para os parâmetros
α, β, γ, m, n e s, de modo que o modelo em questão não
viole o princípio de conservação da carga elétrica.
(b) Escolha um conjunto de valores específicos para os parâmetros α, β, γ, m, n e s, de modo que, além do modelo estar
de acordo com o princípio de conservação da carga elétrica, a
escolha permita ao modelo ter simetrias apropriadas, de ma~ gerado,
neira que você possa calcular o campo magnético B
por meio da lei de Ampére. Dessa forma, a partir de sua
~ tanto na região I, quanto na região II.
escolha, encontre B,
4. Considere uma região do espaço (aqui denominada região I), definida, em coordenadas cartesianas, pela equação x2 +y 2 +z 2 < a2,
sendo a > 0 (na presente questão, î, ĵ e k̂ são os versores que
formam a base do sistema cartesiano cujas coordenadas são x,
y e z; o vetor posição ~r é dado por ~r = xî + y ĵ + z k̂). Nessa
região há apenas cargas elétricas em repouso, no vácuo. A cada
ponto da região I está associada uma densidade volumétrica de
carga não nula ρ, dada por ρ(~r) = αxm + βy n + γz s + qδ(~r),
onde: α, β e γ são constantes com unidades apropriadas para
ii
que a expressão tenha a dimensão de densidade volumétrica de
carga; m, n e s são números reais, diferentes de zero e positivos;
δ representa a função delta de Dirac; q é constante não nula, com
dimensão de carga elétrica. Na região x2 + y 2 + z 2 > a2 (aqui
denominada região II), há apenas o vácuo.
Responda as questões formuladas nos itens a seguir, justificando,
com base nos seus cálculos explicitados, cada uma de suas respostas.
(a) Escolha um conjunto de valores específicos para os parâmetros α, β, γ, m, n e s, de modo que a escolha permita ao
modelo ter simetrias apropriadas, de maneira que você possa
~ gerado, por meio da lei de Gauss.
calcular o campo elétrico E
~ tanto na
Dessa forma, a partir de sua escolha, encontre E,
região I, quanto na região II.
(b) Com base nos valores específicos dos parâmetros α, β, γ, m,
n e s, que você escolheu, calcule o momento de dipolo elétrico
da distribuição de carga, em relação à origem do sistema de
coordenadas.
(c) Discuta para que subconjunto dos valores específicos dos parâmetros α, β, γ, m, n e s, que você escolheu, a densidade
volumétrica de energia elétrica (armazenada no campo) é nula
na região II e não nula na região I.
5. Na questão abaixo, considere h como sendo a constante de Planck,
kB a constante de Boltzmann e ~ = h/(2π).
Os núcleos de átomos de certos sólidos cristalinos têm spin S =
1. De acordo com a teoria quântica, cada núcleo pode ter três
estados quânticos de spin, com respectivos números quânticos
Si = +1, 0 ou -1. Este número quântico Si mede a projeção
do spin nuclear, em um sítio i, ao longo do eixo cristalino do
sólido. Como a distribuição de carga nuclear não é esfericamente
simétrica, a energia de cada núcleo depende da orientação de seu
spin em relação a campos elétrico e magnético locais. Suponha
que a energia de um sistema de N núcleos localizados descritos
iii
acima, a temperatura T , na presença de um campo magnético
conhecido e constante de módulo H, possa ser escrita, em um
“modelo de brinquedo”, na forma
E=D
N
X
Si2 − µ0H
i=1
N
X
|Si| ,
i=1
onde os parâmetros D e µ0 são constantes positivas conhecidas
e Si = +1, 0 ou −1, para qualquer sítio i. Supondo que U
seja a energia total do sistema, determine uma expressão para a
entropia por partícula, em função de u = U/N , para um sistema
formado por N núcleos localizados deste tipo.
BOA PROVA !
iv
Formulário
~2 ∂ 2
L2
H=−
+
+ V (r)
2mr ∂r2 2mr2
i~
~2 ~ 2
~
~ ∗ )ψ]
~j = −
∇ ψ(~r) + V (~r)ψ(~r) = Eψ(~r)
−
[ψ ∗ (∇ψ)
− (∇ψ
2m
2m
1
d~p
1
d~x
= [~x, H]
= [~p, H]
dt
i~
dt
i~
σg2 = hg 2 i − hgi2
∂Ψ(~r, t)
i~
= HΨ(~r, t)
∂t
px = −i~
∂
∂x
Lz = xpy − ypx
[x, px ] = i~
∂
[Lx , Ly ] = i~Lz
Lz = −i~
∂ϕ
p
L± Ylm (θ, ϕ) = ~ l(l + 1) − m(m ± 1) Ylm±1 (θ, ϕ)
L± = Lx ± iLy
~ ·D
~ =ρ
∇
~
~ ×E
~ = − ∂B
∇
∂t
~ = ε0 E
~ + P~ = εE
~
D
~ ·B
~ =0
∇
~
~ ×H
~ = J~ + ∂ D
∇
∂t
~ = µ0 (H
~ +M
~ ) = µH
~
B
~
∂A
~
~
~ =∇
~ ×A
~
E = −∇ϕ −
B
∂t
Z
1
1
ϕ(~r) = [1/(4π0 )] dv 0 ρ(~r 0 )/|~r − ~r 0 |
u = (0 E 2 + B 2 )
2
µ0
W = [1/(8π0 )]
N
N
X
X
qi qj /|~ri − ~rj |
i=1 j=1;j6=i
h
i
~
~
~
F = q E + ~v × B
Z
p~ = ρ(~r 0 )~r 0 dv 0
v
√
c = 1/ µ0 0
S = kB ln Ω
∂V
∂N T,p
=
∂µ
∂p T,N
F (T, V, N ) = U − T S
f [2](S, p, µ) = U − N µ + pV
Φ(T, V, µ) = U − T S − N µ
p
∂S
=
T
∂V U,N
T = ∂U
∂S V,N
∂U
p = − ∂V S,N
∂F
− p = ∂V
T,N
∂V
− ∂S
=
∂p
∂T p,N
H(S, p, N ) = U + pV
f [1](S, V, µ) = U − N µ
G(T, p, N ) = U − T S + pV
∂S
1
=
T
∂U V,N
µ
∂S
=
−
T
∂N U,V
∂U
µ = ∂N V,S
−S = ∂F
∂T V,N
∂p
∂S
∂V T,N = ∂T
V,N
T,N
• Expressões em coordenadas esféricas
∂
~ = r̂ ∂ + θ̂ ∂ + ϕ̂
∇
∂r r ∂θ r senθ ∂ϕ
~ ·A
~ = 1 ∂ r2 Ar + 1 ∂ (senθAθ ) + 1 ∂Aϕ
∇
r2 ∂r
rsenθ ∂θ
rsenθ ∂ϕ
1
∂
∂A
1
1
∂A
∂
(rA
)
θ
r
φ
~ ×A
~ =
∇
(senθAφ ) −
r̂ +
−
θ̂+
rsenθ ∂θ
∂φ
r senθ ∂φ
∂r
1 ∂ (rAθ ) ∂Ar
−
φ̂
r
∂r
∂θ
1
∂
∂ψ
1
∂
∂ψ
1
∂ 2ψ
2
2
~
∇ψ = 2
r
+ 2
senθ
+ 2
r ∂r
∂r
r senθ ∂θ
∂θ
r sen2 θ ∂ϕ2
~
• Relações envolvendo ∇
~ · (ψ A)
~ = ∇ψ
~ ·A
~ + ψ∇
~ ·A
~
∇
~ × (ψ A)
~ = ∇ψ
~ ×A
~ + ψ∇
~ ×A
~
∇
~ A
~ · B)
~ = (A
~ · ∇)
~ B
~ +A
~ × (∇
~ × B)
~ + (B
~ · ∇)
~ A
~+B
~ × (∇
~ × A)
~
∇(
~ × (A
~ × B)
~ = A(
~ ∇
~ · B)
~ − B(
~ ∇
~ · A)
~ + (B
~ · ∇)
~ A
~ − (A
~ · ∇)
~ B
~
∇
~ ×∇
~ ×A
~ = ∇(
~ ∇
~ · A)
~ −∇
~ 2A
~
∇
vi