SINAIS E SISTEMAS
Propriedades dos SLITs contı́nuos e sua relação com a região de
convergência da função de transferência
(versão revista da secção 3.3.6 do livro)
Viu-se no Capı́tulo 2 que a resposta impulsional h(t) de um sistema contı́nuo causal satisfaz
h(t) = 0 , ∀t < 0 .
Quando h(t) é de duração infinita, da propriedade 4 da região de convergência da transformada de Laplace, a RC do sinal causal h(t) é a zona do plano s limitada à esquerda pela recta
paralela ao eixo imaginário que passa pelo polo de H(s) de maior parte real. Neste caso, quando
a expressão algébrica da função de transferência é uma função racional com um número de zeros
não superior ao número de polos, é fácil concluir que
um SLIT é causal sse a RC da função de transferência fôr uma região do plano s que
se estende desde um valor finito de <e(s) até (inclusivé) +∞.
×
=m(s)
6
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× ¡¡ ¡<e(s)
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(a)
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=m(s)
6
×
<e(s)
(b)
Figure 1: Mapa polos/zeros e possı́veis RCs para H(s) =
¡¡
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¡¡
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× ¡×
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=m(s)
6
<e(s)
(c)
1
correspondendo a (a)
(s + 1)(s + 2)
sinal direito, (b) sinal esquerdo e (c) sinal bilateral.
Por exemplo, considere-se a classe de SLITs cuja expressão algébrica da função de transferência é
1
.
H(s) =
(s + 1)(s + 2)
A esta função de transferência é possı́vel associar as três diferentes RCs representadas na Figura
1. As RCs das Figuras 1-(b) e (c) correspondem a sinais, respectivamente, esquerdo e bilateral.
Portanto, não representam sistemas causais. Pelo contrário, a RC da Figura 1-(a) representa
um sinal direito. Se se atender a que a expressão algébrica é uma função racional com 2 polos
e sem zeros, pode-se concluir que o sinal no tempo é uma combinação linear de exponenciais da
forma e−αt u−1 (t), i.e., h(t) é causal.
2
Repare-se que o SLIT não pode ter mais zeros do que polos. De facto, vimos na Secção 3.3.1
que, se a ordem do polinómio do numerador fôr superior à ordem do polinómio do denominador,
1
H(s) torna-se ilimitado quando |s| tende para infinito. Consequentemente, <e(s) = +∞ não
pertence à RC pelo que o sistema é não causal.
É este o caso, por exemplo, de um diferenciador, i.e., de um sistema cuja relação entrada/
saı́da é
d
y(t) = x(t) ,
dt
em que x(t) e y(t) representam, respectivamente, os sinais de entrada e de saı́da do sistema.
Este SLIT é não causal, pois a determinação da saı́da num dado instante, depende do sinal de
entrada na vizinhança desse instante. Da propriedade 6 da transformada de Laplace, tem-se
Y (s) = sX(s)
RCY ⊇ RCX ,
i.e., a função de transferência de um diferenciador,
H(s) = s
plano s, excepto <e(s) = ±∞ .
(1)
é uma função racional com 1 zero e sem polos.
2
◦
=m(s)
6
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¡¡¡
◦¡
ס¡¡¡¡
¡¡¡¡ ¡ ¡¡ <e(s)
¡
¡¡¡ ¡ ¡ ¡
¡
¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¡
¡¡¡¡¡¡
Figure 2: Mapa polos/zeros e RC de H(s) =
(s + 2)(s − 1)
.
s+1
Do mesmo modo, o SLIT cujo mapa polos/zeros se representa na Figura 2, embora a sua
RC se estenda para a direita de um valor finito de <e(s), é não causal, como se depreende pela
existência de um número de zeros superior ao número de polos. Repare-se que este SLIT é
equivalente a dois sistemas em paralelo: um diferenciador que, como vimos, é não causal, e um
SLIT causal com função de transferência
G(s) = −
2
s+1
<e(s) > −1 .
2
Quando h(t) é de duração finita, da propriedade 3 da região de convergência da transformada
de Laplace, a RC do sinal causal h(t) é todo o plano s incluindo a recta <e(s) = +∞. Por
exemplo, o SLIT com resposta impulsional
½
+∞ ; t0 < 0
−st0
.
h(t) = δ(t − t0 ) ←→ H(s) = e
plano s, excepto <e(s) =
−∞ ; t0 > 0
só é causal quando t0 ≥ 0, i.e., quando o impulso de Dirac que representa a sua resposta impulsional estiver localizado em t ≥ 0.
2
2
Em conclusão, a RC da função de transferência de um SLIT causal ou é todo o plano s, ou
a região do plano s limitada à esquerda por um valor finito de <e(s). Em qualquer caso, a RC
tem de incluir a recta <e(s) = +∞.
A resposta impulsional de um SLIT contı́nuo estável é uma função absolutamente integrável,
i.e.,
Z
+∞
|h(t)|dt < ∞ .
(2)
−∞
Note-se que
¯Z
¯
|H(s)| = ¯¯
+∞
h(t)e
−st
−∞
¯ Z
¯
dt¯¯ ≤
+∞
|h(t)|e−<e(s)t dt .
−∞
Considerando <e(s) = 0 (s = jω) na desigualdade anterior, a condição (2) permite concluir que
para um sistema estável se verifica
Z +∞
|H(jω)| ≤
|h(t)|dt < ∞ ,
−∞
i.e., a transformada de Laplace da resposta impulsional h(t) de um SLIT estável converge sobre
o eixo imaginário do plano s, pelo que
a RC da função de transferência de um SLIT estável contém o eixo imaginário.
A condição anterior é uma condição necessária e suficiente sse o número de zeros da expressão
algébrica da função de transferência não fôr superior ao número de polos.
Por exemplo, o diferenciador é um SLIT instável pois ao sinal de entrada escalão unitário
(sinal limitado) responde com um implulso de Dirac (sinal ilimitado). Embora o eixo imaginário
esteja contido na região de convergência da sua função de transferência (ver (1)), o número de
zeros é superior ao número de polos.
2
Voltando ao exemplo da Figura 1, o sistema estável corresponde à RC da Figura 1-(a),
porque o número de polos não é inferior ao número de zeros. Este já não é o caso do SLIT com
o mapa polos/zeros representado na Figura 2, que é instável.
2
Quando H(s) tem um número de polos não inferior ao número de zeros, uma RC limitada
(à esquerda ou à direita) pelo eixo imaginário, e em que os polos sobre o eixo imaginário são de
multiplicidade simples, a resposta impulsional do SLIT é uma função limitada, pelo que o sistema é criticamente estável. Esta condição é necessária e suficiente para SLITs (de parâmetros
concentrados) causais.
Por exemplo, o integrador, para o qual
1
<e(s) > 0 ,
s
é um SLIT criticamente estável. Na figura 3-(a) representa-se o mapa polos/zeros do integrador
e a respectiva RC. Repare-se que o seu único polo (polo simples) se situa sobre o eixo imaginário.
Pelo contrário, o duplo integrador, para o qual
h(t) = u−1 (t) ←→ H(s) =
h(t) = tu−1 (t) ←→ H(s) =
3
1
s2
<e(s) > 0 ,
=m(s)
6
¡
¡¡
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¡¡¡¡ ¡¡
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ס¡¡¡¡ ¡
¡¡¡¡ ¡ ¡¡ <e(s)
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=m(s)
6
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×
ס¡¡¡¡ ¡¡ ¡¡¡¡ ¡ ¡¡ <e(s)
¡
¡¡¡ ¡ ¡ ¡
¡
¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¡
¡¡¡¡¡¡
(a)
(b)
Figure 3: Mapa polos/zeros e RC do (a) integrador e (b) duplo integrador.
é um SLIT instável. Repare-se que o polo na origem é um polo duplo.
2
Em conclusão, um SLIT contı́nuo causal é
estável sse todos os polos se situarem no semiplano complexo esquerdo,
e é
criticamente estável sse todos os polos se situarem no semiplano complexo esquerdo
ou sobre o eixo imaginário, mas em que os polos com parte real nula são polos simples.
4