GUIA PARA AS PROVAS
( PO, AT E PG) E VESTIBULARES
GEOMETRIA ANALÍTICA
PROF. ENZO MARCON TAKARA – 2015
1
1- PLANO CARTESIANO ORTOGONAL
Considere num plano a dois eixos x e y perpendiculares em O. O par de eixos x (Ox), eixo das abscissas, e y (Oy),
eixo das ordenadas, chama-se sistema cartesiano ortogonal, onde o plano α é o plano cartesiano e o ponto O é a
origem do sistema.
IMPORTANTE
Localizações notáveis do plano cartesiano ortogonal
1) Origem (0,0)
2) Um ponto do eixo x ( a,0)
3) Um ponto do eixo y ( 0,a)
4) Um ponto da bissetriz dos quadrantes ímpares bi ( a , a) ou ( -a , -a)
5) Um ponto da bissetriz dos quadrantes pares bp ( -a , a ) ou ( a , -a)
TABELA1: Obtenha o ponto P conforme a localização notável
N
PONTO
LOCALIZAÇÃO NOTÁVEL
RESPOSTA
1
P( 2 ,k)
EIXO X
P(2,0)
2
P( 2 ,k)
bi ( bissetriz dos quadrantes
3
P( 2 ,k)
ímpares
bp ( bissetriz dos quadrantes
pares)
4
P (k,-3)
EIXO Y
5
P (k,-3)
bi ( bissetriz dos quadrantes
6
P (k,-3)
7
P( 2m+3, m+1)
8
P( 2m+3, m+1)
ímpares
bp ( bissetriz dos quadrantes
pares)
bi ( bissetriz dos quadrantes
ímpares
bp ( bissetriz dos quadrantes
pares)
2
Após ter com concluído a TABELA 1, responda esses exercícios para as provas:
1) Determine as coordenadas do ponto P( 3k-4, 2k+5) sabendo que ele pertence a bissetriz dos
quadrantes ímpares.
2)-(UNIFESP) Um ponto do plano cartesiano é representado pelas coordenadas (x + 3y, - x - y) e também
por (4 + y, 2x + y), em relação a um mesmo sistema de coordenadas. Nestas condições, x
a) -8.
b) -6.
c) 1.
d) 8.
e) 9.
y
é igual a
3- (IFSP) Os vértices de um triângulo ABC tem coordenadas A( 3,5) B( 2 , -6) e C( -4,1). O triângulo A’B’C’
é o simétrico do triângulo ABC em relação ao eixo y. Um dos vértices do triângulo A’B’C’ é:
a) A(3,5)
B( -2,-6)
C( 1, -4)
D( 4,1)
4-(ANGLO) Num sistema cartesiano, o ponto P (a-3 , 2a-4) pertence ao segundo quadrante. Assim sendo,
o número real a é tal que:
a) 2<a<3
b) -3< a <-2
c) 0 <a < 2
d) a < 3
e) 3 < a < 2
n
5- (FUVEST) Se (m + 2n, m - 4) e (2 - m, 2n) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, então m é
igual a:
a) -2
b) 0
c) 2
d) 1
e)1/ 2
Respostas:
1) P(23, 23) 2)A 3)D 4)A 5) E
2-DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
Quando conhecemos as coordenadas de dois pontos A e B do plano, sabemos localizar esses pontos num sistema
cartesiano ortogonal e, assim, podemos calcular a distância entre A e B por meio do Teorema de Pitágoras.
B
yb
dAB
ya
yb - ya
A
xb – xa
xa
d AB
(xA
xB ) 2 ( y A
yB ) 2
xb
ou
d AB
3
( xB
x A ) 2 ( yB
yA )2
TABELA 2 : Calcule a distância entre os pontos.
N
PONTOS
1
A( 2,3) e B( 5,4)
2
A( -1,4 ) e B (2,7)
3
A( 2,4 ) e origem
4
A(1,3) e B( -1,4)
5
A(-6,8) e origem
RESPOSTAS
TABELA 3: Determine as coordenadas do ponto P para que seja
equidistante de A e B
N
PONTO P
PONTOS A E B
1
P(x,5)
A (-2,3) e B(4,1)
2
Eixo x
A(1,3) e B (-3,5)
3
Bissetriz dos quadrantes
pares
A (8,-8) e B(12,-2)
RESPOSTA
Após ter completado as tabela 2 e 3 , resolva esses exercícios para
prova.
01-(UFRG) Sendo os pontos A = (- 1, 5) e B = (2, 1) vértices consecutivos de um quadrado, o
comprimento da diagonal desse quadrado é
a) 2.
b) 2 2 .
c) 3 2 .
e) 5 2
d) 5.
02-(UEL) Seja AC uma diagonal do quadrado ABCD. Se A = (-2, 3) e C = (0, 5), a área de ABCD, em
unidades de área, é
a) 4
b) 4 2
c) 8
d)8 2
e) 16
03-(ANGLO) Dois vértices consecutivos de um quadrado ABCD são os pontos A (1,0) e B ( 0,1). Calcule o
comprimento da diagonal do quadrado
04-(UFRGS) A distância entre os pontos A(-2, y) e B(6, 7) é 10. O valor de y é:
a)–1
b) 0
c) 1 ou 13
d) -1 ou 10
e) 2 ou 12
05-( ANGLO) Qual o ponto do eixo das ordenadas que equidista dos pontos A(2, -1) e B(6, 3)?
a) (0,5)
b) (5,0)
c) (2,3)
d) (6,2)
e) (-1,0)
06-(ANGLO) O comprimento da circunferência de diâmetro CD, sendo C(2, 1) e D(10, 7) é:
a) 5
b) 10
c) 20
d) 17
e) 29
Respostas
1)E 2)A 3)2 4)C 5)A 6)B
4
3- PONTO MÉDIO
Sejam os pontos A, B, e um ponto M, que divide AB ao meio, podemos dizer que as coordenadas X M e YM do ponto
médio M são obtidos por meio da média aritmética das abscissas e ordenadas, respectivamente, dos pontos dos quais
M é ponto médio.
TABELA 4: Complete a tabela sabendo que A e B são pontos dos extremos de um
segmento e M o ponto médio de AB.
N
PONTO A
PONTO B
1
A (1,4)
B (3,7)
2
A( -2,8)
Origem
3
A( 1,5)
4
5
6
PONTO MÉDIO M
M (2,8)
B ( -1,4)
M ( 5,3)
A ( 4,4)
Origem
B( -1,-7)
M ( 4,-2)
Após ter completado a tabela 4 , resolva esses exercícios para prova.
1)Calcular o comprimento da mediana AM do triângulo ABC cujos vértices são os pontos A(0,0), B(3,7) e
C( 5,-1).
2) Dados os vértices consecutivos , A(-2,1) e B(4,4), de um paralelogramo, e o ponto E (3,-1), intersecção
de suas diagonais, determinar os outros dois vértices.
5
3-(IBMEC) Considere o triângulo ABC, onde A (2, 3), B (10, 9) e C (10, 3) representam as coordenadas dos
seus vértices no plano cartesiano. Se M é o ponto médio do lado AB, então, a medida de MC vale:
a) 2
3
b) 3 c) 5
d) 3
2
e) 6
4-(FEI) O simétrico do ponto A=(1,3) em relação ao ponto P=(3,1) é:
a) B = (5, -1)
b) B = (1, -1)
c) B = (-1, 3) d) B = (2, 2)
e) B = (4, 0)
5-(PUCMG) Os catetos AC e AB de um triângulo retângulo estão sobre os eixos de um sistema cartesiano.
Se M = (-1, 3) for o ponto médio da hipotenusa BC , é correto afirmar que a soma das coordenadas dos
vértices desse triângulo é igual a:
a) - 4
b) - 1
c) 1
d) 4
06- (PUC) Os pontos (-1, 6), (0, 0) e (3, 1) são três vértices consecutivos de um paralelogramo. Assinale a
opção que apresenta o ponto correspondente ao quarto vértice.
a) (2, 7).
b) (4, -5).
c) (1, -6).
d) (-4, 5).
e) (6, 3).
07-(ANGLO) Sendo W o comprimento da mediana relativa ao lado BC do triângulo ABC onde A(0,0), B(4,6) e C(2,4) ,
então W2 é igual a:
a)25
b)32
c)34
d)44
e) 16
08-(ANGLO) O comprimento da mediana relativa ao lado BC do triângulo ABC, sendo A(-1, 2), B(2, 3) e
C(4, 7), é
a) 4
b)3
c) 5
d) 6
e) 2
RESPOSTAS
1)5 2) C (8,-3) e D (2,-6) 3)C 4)A 5) D 6)A 7)C 8)C
4-BARICENTRO
Sabemos da Geometria plana , que o baricentro de um triângulo ABC é o ponto de encontro das 3
medianas . Sendo G o baricentro , temos que AG = 2 . GM onde M é o ponto médio do lado oposto
ao vértice A (AM é uma das 3 medianas do triângulo).
Nestas condições , as coordenadas do baricentro G(xg , yg) do triângulo ABC onde
A(xa , ya) , B(xb , yb) e C(xc , yc) é dado por :
6
Conclui-se pois que as coordenadas do baricentro do triângulo ABC, são iguais às médias
aritméticas das coordenadas dos pontos A , B e C.
Assim, por exemplo, o baricentro (também conhecido como centro de gravidade) do triângulo ABC
onde A(3,5) , B(4, -1) e C(11, 8) será o ponto G(6, 4). Verifique com o uso direto das fórmulas.
TABELA 5: Complete a tabela sabendo que A , B e C são vértices de um triângulo
e G o seu baricentro.
N
PONTO A
PONTO B
PONTO C
1
A (1,4)
B (3,7)
C( -1,2)
2
A( -2,8)
Origem
C( 3,5)
3
A( 1,5)
4
B ( -1,4)
BARICENTRO G
C (2,8)
G( 1,4)
C ( 5,3)
Origem
Após ter completado a tabela 5 , resolva esses exercícios para prova.
1- O baricentro de um triângulo é G( 1,6) e dois de seus vértices são A(2,5) e B (4,7). Determinar o terceiro
vértice
2- Calcule a distância do baricentro do triângulo A ( 1,4), B( 2,7) e C (3,1) à origem.
3- (FEI) Dado um triângulo de vértices (1,1); (3,1); (-1,3) o baricentro (ponto de encontro das medianas) é:
a) (1, 3/2)
b) (3/2, 1)
c) (3/2, 3/2)
d) (1, 5/3)
e) (0, 3/2)
4-(ANGLO) -Os pontos A(m, 7), B(0, n) e C(3, 1) são os vértices de um triângulo cujo baricentro é o ponto
G(6, 11). Calcule o valor de m2 + n2.
5-(ANGLO) Conhecendo-se o baricentro B(3,5), do triângulo XYZ onde X(2,5) , Y(-4,6) , qual o comprimento do
segmento BZ?
RESPOSTAS
1) C( -3,6) 2) 2 5 3)D 4) 850 5)
65
7
5-ÁREA DE TRIÂNGULO / ALINHAMENTO DE 3 PONTOS
5.1 - Área de um triângulo
Seja o triângulo ABC de vértices A(xa , ya) , B(xb , xc) e C(xc , yc) . A área S desse triângulo é dada por
S=
1
D onde
2
D é o módulo do determinante formado pelas coordenadas dos vértices A , B e C .
Temos portanto:
A área S é normalmente expressa em u.a. (unidades de área)
Para o cálculo do determinante de terceira ordem, utilizamos a conhecida e prática regra de Sarrus.
5.2 - Condição de alinhamento de três pontos
Três pontos estão alinhados se são colineares , isto é , se pertencem a uma mesma reta .
É óbvio que se os pontos A , B e C estão alinhados , então o triângulo ABC não existe , e podemos pois
considerar que sua área é nula ( S = 0 ) .
Fazendo S = 0 na fórmula de área do item 1.1 , concluímos que a condição de alinhamento dos 3 pontos é
que o determinante D seja nulo , ou seja : D = 0 .
Exercício resolvido:
Se os pontos P(3 , 5) , Q(-3 , 8) e C(4 , y) são colineares , então o valor de y é :
a) 4
b) 3
c) 3,5
d) 4,5
e) 2
Solução:
Para que estes pontos estejam alinhados (pontos colineares), deveremos ter:
8
Desenvolvendo o determinante pela Regra de Sarrus, obtemos: - 32 - 3y + 15 + 24 - 3y + 20 = 0
y = 9/2 = 4,5. Portanto a alternativa correta é a letra D.
TABELA 6: Calcule a área do triângulo ABC .
N
PONTO A
PONTO B
PONTO C
1
A (1,4)
B (3,0)
C( -1,2)
2
A( -2,1)
Origem
C( 3,5)
3
A( 1,5)
B( 1,4)
C (2,8)
ÁREA
TABELA 7: Determine k para que os pontos ABC sejam colineares ( NÃO
FORMAM TRIÂNGULO)
N
PONTO A
PONTO B
PONTO C
1
A (1,k)
B (3,1)
C( -1,2)
2
A( -2,1)
Origem
C( k,5)
3
A( 1,k)
B( 1,4)
C (2,0)
k
Após ter completado as tabelas 6 E 7 , resolva esses exercícios para
prova.
01-Para que valores de x os pontos A (x,x), B(3,1) e C ( 7,-3), são colineares ?
02-Para que valores de a os pontos A (0,a) , B (a, -4) e C (1 , 2) são vértices de um triângulo ?
03-Dados A(3,1) e B (5,5), obter o ponto em que a reta AB intercepta o eixo das ordenadas.
04-Dados A ( 2,-3) e B ( 8,1), obter o ponto em que a reta AB intercepta a bissetriz dos quadrantes
ímpares.
05-Dados A (7,4) e B( -4,2) , obter o ponto em que a reta AB intercepta a bissetriz dos quadrantes pares.
06-(UERJ) A área do triângulo, cujos vértices são (1, 2), (3, 4) e (4, -1), é igual a:
a) 6.
b) 8
c) 9.
d) 10.
e) 12
07-(PUC) O valor de x para que os pontos (1,3), (-2,4), e (x,0) do plano sejam colineares é:
a) 8.
b) 9
c) 11
d) 10
e) 5
08-(UNESP) Um triângulo tem vértices P = (2, 1), Q = (2, 5) e R = (x, 4), com x > 0. Sabendo-se que a
área do triângulo é 20, a abscissa x do ponto R é:
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
9
09-(PUC) Calcule a área do triângulo de vértices A = (1,2), B = (2,4) e C = (4,1).
a) 5/2
b) 3
c) 7/2
d) 4
e) 9/2
10-(PUCRIO) Os pontos (0,8), (3,1) e (1,y) do plano são colineares. O valor de y é igual a:
a) 5
b) 6
c) 17/3
d) 11/2
e) 5,3
11-(ANGLO) Dados os pontos A(0,0), B(5,0), C(8,5) e D(11,8) no plano cartesiano ortogonal, P é um
ponto do 1.º quadrante tal que as áreas dos triângulos APB e CPD são, respectivamente, iguais a
25
e 6.
2
Em tais condições, o produto da abscissa pela ordenada de P pode ser igual a
a) 18.
b)20.
c)21.
d)24.
e)25.
RESPOSTAS
1) x=2 2) a≠-1 e a ≠ 4 3) (0,-5) 4) ( -13,-13) 5) (-30/13 , 30/13) 6)A 7)D 8)E 09)C 10)C 11)B
6- INCLINAÇÃO E COEFICIENTE ANGULAR DE
UMA RETA
6.1- COEFICENTE ANGULAR DA RETA CONHECENDO O ÂNGULO DE INCLINAÇÃO
Inclinação α é o ângulo que a reta forma com o eixo x ( ângulo da direita), sendo que esse ângulo α deve pertencer
ao intervalo 0 ≤α< 180
O coeficiente angular de uma reta ( m )é um número real “a” que representa a sua inclinação ( ). Por definição,
temos que: m = a =tgα
Exemplo 1
Nesse exemplo o valor da inclinação é menor que 90º.
Inclinação igual a 45° e coeficiente angular igual a: m = tg 45° = 1.
Exemplo 2:
Nesse exemplo o valor da inclinação da reta é maior que 90° e menor que 180°.
10
Inclinação igual a 125° e coeficiente angular da reta igual a: m = tg 125° = -1,48
Exemplo 3: Quando a reta for paralela ao eixo Oy, ou seja, tiver uma inclinação igual a 90° o seu
coeficiente angular não irá existir, pois não é possível calcular a tg 90°.
Exemplo 4: Nesse exemplo a reta s é paralela ao eixo Ox, ou seja, seu ângulo de inclinação é igual a
180°, portanto, o seu coeficiente angular será igual a: m = tg 180º = 0.
6.2-COEFICIENTE ANGULAR CONHECENDO AS COORDENADAS DE DOIS PONTOS
O coeficiente angular de uma reta ( m) é a tangente do ângulo de inclinação m = tgα
Porém em muitos casos não vamos conhecer o ângulo de inclinação, mas sim as coorcenadas de dois
pontos, A xa , y a e B xb , yb
Prolongando-se a reta que passa por A e é paralela ao eixo x, formaremos um triângulo retângulo no ponto C.
m tg
cateto oposto
cateto adjacente
yA
xA
yB
xB
yB
xB
yA
xA
11
TABELA 8: Calcule o coeficiente angular da reta conforme os dados fornecidos,
sendo que α é a inclinação da reta
N
DADOS
1
α = 30°
2
A( 3,1) E B (2,8)
3
α = 120°
4
A (3,8) e B ( 9 , 8)
5
A( -1,5) e origem
6
α = 135°
CONEFICIENTE ANGULAR m
Após ter completado as tabela 8 , resolva esses exercícios para prova.
01- (UFRS) Considere os coeficientes angulares das retas r, s e t que contêm os lados do triângulo
representado a seguir.
A sequência das retas r, s e t que corresponde à ordenação crescente dos coeficientes angulares é
a) r, s, t.
b) r, t, s.
c) s, r, t.
d) s, t, r.
e) t, s, r.
2- (UFSCAR) Considere a relação gráfica:
Podemos afirmar que
a) o coeficiente linear de I é negativo.
b) o coeficiente linear de II é positivo.
c) ambos os gráficos possuem coeficiente linear zero.
d) o coeficiente angular do gráfico II é maior que o do gráfico I.
e) o coeficiente angular do gráfico I é maior que o do gráfico II.
12
3-(ANGLO) O valor de b para que o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A(4,2) e B(2b +
1,4b) seja –2 é:
a) –1
b) 0
c) 1
d) 2
e) 5
RESPOSTAS
1)C 2)D 3)C
7- EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA RETA
Podemos representar uma reta r do plano cartesiano por meio de uma equação. Essa equação pode ser
obtida a partir de um ponto A(x A, yA) e do coeficiente angular m dessa reta.
Considere uma reta r não-vertical, de coeficiente angular m, que passa pelo ponto A(x A, yA). Vamos obter
a equação dessa reta, tomando um ponto P(x, y) tal que P ≠ A.
A equação fundamenta da reta é: m
y
x
y0
x0
y
y0
m( x
x0 )
TABELA 9: Determine a equação da reta conforme os dados fornecidos, sendo
que α é a inclinação da reta
N
DADOS
1
α = 30° e P (1,5)
2
A( 3,1) E B (2,8)
3
α = 120° e P (-1,4)
4
A (3,8) e B ( 9 , 8)
5
A( -1,5) e origem
6
α = 135° e origem
7
A( 1,4) e B (5,5)
8
A(2,7) e B ( 2,9)
EQUAÇÃO DA RETA ( ISOLAR Y)
13
Após ter completado as tabela 9 , resolva esses exercícios para prova.
1-(PUC) Os pontos A = (-1; 1), B = (2; -1) e C = (0; -4) são vértices consecutivos de um quadrado ABCD. A
equação da reta suporte da diagonal BD, desse quadrado, é:
a) x + 5y + 3 = 0
b) x -2y - 4 = 0.
c) x - 5y - 7 = 0
d) x +2y - 3= 0
e) x-3y-5 = 0
2-(FUVEST) Uma reta r determina, no primeiro quadrante do plano cartesiano, um triângulo isósceles,
cujos vértices são a origem e os pontos onde a reta intercepta os eixos 0x e 0y. Se a área desse triângulo é
18, a equação de r é:
a) x - y = 4
b) x - y = 16
c) x + y = 2
d) x + y = 4
e) x + y = 6
3) (UNITAU) A equação da reta que passa pelos pontos (3, 3) e (6, 6) é:
a) y = x.
b) y = 3x.
c) y = 6x.
d) 2y = x.
e) 6y = x.
4- (UFPE) A equação cartesiana da reta que passa pelo ponto (1, 1) e faz com o semieixo positivo ox um
ângulo de 60° é:
a)
2x-y=
2-1
b)
3x+y=1- 3
d)
3
3
x+y=12
2
e)
3
3
x-y=
-1
2
3
c)
3x-y=
3-1
5-(FEI) A equação da reta que intercepta o eixo Ox no ponto x = 3 e o eixo Oy no ponto y = -1 é:
a) x - 3y - 1 = 0
b) x - 3y - 3 = 0
c) x - 3y + 3 = 0 d) 3x - y - 1 = 0
6-(PUC) Na figura a seguir têm-se as retas r e s, concorrentes no ponto (1;3).
Se os ângulos assinalados têm as medidas indicadas, então a equação da reta
a) r é
3 x + 3y - 6 = 0
d) s é x + y - 4 = 0
c) r é - 3 x + 3y + 6 = 0
b) s é x + y + 4 = 0
e) r é - 3 x + 3y + 9 = 0
07-(Unirio )
A equação geral da reta anterior representada é:
14
e) 3x + y + 1 = 0
a) 3x d) y =
3y+6=0
3y+6=0
b) 3x +
3x+2 3
e) y =
c)
3x-y-2=0
3
(x+2)
3
8-(PUC) A reta x + y = 1 no plano xy passa pelos pontos
a) (5, -4) e (1/2, 1/2).
b) (0, 0) e (1/2, 1/2). c) (0, 0) e (1, 1). d) (1, 0) e (1, 1). e) (5, -4) e (4, -5).
9-(Ufrs ) Considere a figura a seguir.
Uma equação cartesiana da reta r é
a) y =
3
-x
3
b) y =
3
(1-x)
3
c) y = 1 -
3x
d) y =
3 (1-x)
e) y =
3 (x-1)
10-(Fatec) No plano cartesiano, considere o triângulo determinado pelo ponto A e pelos pontos de
abscissas -3 e 7, representado a seguir.
A área desse triângulo é
a) 40
b) 35
c) 30
d) 25
e) 20
11- (Ufpi ) Se a reta de equação (k + 5)x - (4 - k2)y + k2 - 6k + 9 = 0 passa pela origem, então seu
coeficiente angular é igual a:
a) 0
b) 5/4
c) -1
d) -8/5
e) 1/2
12-(Ufmg ) Sejam A e B dois pontos da reta de equação y = 2x + 2, que distam duas unidades da origem.
Nesse caso, a soma das abscissas de A e B é
a) 5/8.
b) -8/5
c) -5/8.
d) 8/5.
13- (PUC) Para que a reta (k - 3)x - (4 - k2)y + k2 - 7k + 6 = 0 passe pela origem dos eixos coordenados, o
valor da constante k deve ser:
a) ± 2
b) ± 3
c) 1 e 6
d) -1 e -6
15
e) 2 e 3
14-(URPR) Considere, no plano cartesiano, o triângulo de vértices A = (0, 0), B = (3, 1) e
C = (1, 2) e avalie as afirmativas a seguir.
I. O triângulo ABC é isósceles.
II. O ponto D = (2, 1/2) pertence ao segmento AB.
III. A equação da reta que passa pelos pontos B e C é 2x + y = 5.
Assinale a alternativa correta.
a) Somente a afirmativa I é verdadeira.
b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
e) As afirmativas I, II e III são verdadeiras.
15-(UFPR) Na figura abaixo estão representados, em um sistema cartesiano de coordenadas, um quadrado cinza
de área 4 unidades, um quadrado hachurado de área 9 unidades e a reta r que passa por um vértice de cada
quadrado. Nessas condições, a equação da reta r é:
a) x 2y
4 b) 4x 9y
0 c) 2x 3y
1 d) x y
3
e) 2x y
3
Gabarito
1) D 2) E 3) A 4)C 5)B 6)D 7)A 8)A 9)B 10)E 11)D 12)B 13)C 14)A 15)A
8- TIPOS DE EQUAÇÃO DA RETA
8.1-Equação geral da reta
Toda reta r do plano cartesiano pode ser expressa por uma equação do tipo:
Em que:
• a, b, e c são números reais;
• a e b não são simultaneamente nulos.
Podemos obter a equação geral de uma reta r conhecendo dois pontos não coincidentes de r:
Para isso, usa-se a condição de alinhamento de A e B com um ponto genérico P(x,y) de r.
16
8.2-Equação reduzida da reta
Vamos determinar a equação da reta r que passa por Q(0,q), e tem coeficiente angular
m = tg(α):
Toda equação na forma y = mx + q é chamada equação reduzida da reta, em que m é o coeficiente
angular e q a ordenada do ponto n qual a reta cruza o eixo Oy. A equação reduzida pode ser obtida
diretamente da equação geral ax + by + c = 0:
Onde:
17
8.3-Equação segmentária da reta
Considere uma reta r que cruza os eixos cartesianos nos pontos (0, q) e (p, 0).
Vamos escrever a equação da reta r:
Dividindo essa equação por pq, obtemos a equação segmentária da reta:
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE
Não é possível usar a equação segmentária da reta quando a reta for paralela a um dos eixos ou passa
pela origem.
8.4-Equação paramétrica da reta
As equações paramétricas são formas de representar as retas através de um parâmetro, ou seja, uma variável irá
fazer a ligação de duas equações que pertencem a uma mesma reta.
As equações x = t + 9 e y = 2t – 1 são as formas paramétricas de representar a reta s determinadas pelo parâmetro t.
Para representar essa reta na forma geral através dessas equações paramétricas, é preciso seguir os seguintes
passos:
Escolher uma das duas equações e isolar o t. E substituir na outra.
x=t+9
x–9=t
y = 2t – 1
y = 2 (x – 9) – 1
y = 2x – 18 – 1
y = 2x – 19
18
2x – y – 19 = 0 é a equação geral da reta s.
8.5-Reta horizontal
É toda reta do tipo y=k.
8.6-Reta vertical.
É toda reta do tipo x=k . (ESTA RETA NÃO É FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU)
TABELA 10: Determine coeficiente angular m e o linear q das retas.
N
RETAS
1
y=3x-5
2
2+3y-2=0
3
y =4
4
4x-3y-7=0
5
y
m
q
2t 5
x t 2
6
y
4t 6
x
3t 1
19
Após ter completado as TABELA 10 , resolva esses exercícios para
prova.
1-(UNESP) Seja B (0, 0) o ponto da reta de equação y = 2x cuja distância ao ponto A = (1, 1) é igual a distância de
A à origem. Então a abscissa de B é igual a:
a) 5/6
b) 5/7
c) 6/7
d) 6/5
e) 7/5
2-(UEL) São dados os pontos A = (-2, 1),
B = (0, -3) e C = (2, 5). A equação da reta suporte da mediana do triângulo ABC, traçada pelo vértice A, é:
a) y = 1
b) x = 1
c) x = y
d) x - y = 1
e) x + y = 1
3-(PUC) Considere a parábola de equação
y = -x²+ 2x + 4 e uma reta r. Se r é conduzida pelo vértice da parábola e tem uma inclinação de 135°, então a equação
de r é
a) x + y -6 = 0
b) x - y + 2 = 0
c) x + y - 2 = 0 d) x - y - 4 = 0
e) x + y - 4 = 0
4- (Cesgranrio ) A equação da reta mostrada na figura a seguir é:
a) 3x + 4y - 12 = 0
b) 3x - 4y + 12 = 0 c) 4x + 3y + 12 = 0
d) 4x - 3y - 12 = 0
e) 4x - 3y + 12 = 0
5-(UFMG) Observe a figura a seguir.
Nessa figura, está representada a reta r de equação y = ax + 6. Se A = (-a-4, -a-4) pertence à reta r, o valor de a é
a) - 5
b) - 2
c) 6/5
d) 2
e) 5
6- (Ufrs) Um ponto P (x,y) descreve uma trajetória no plano cartesiano, tendo sua posição a cada instante t (t ≥ 0)
dada pelas equações.
a) 2
b) 3
x
2t
y
3t
2
c)
A distância percorrida pelo ponto P (x,y) para 0 ≤ t ≤ 3 é
.
13
d) 3 13
e)
61
7-(Ufmg ) Um triângulo isósceles ABC tem como vértices da base os pontos A = (4, 0) e B = (0, 6). O vértice C está
sobre a reta y = x - 4. Assim sendo, a inclinação da reta que passa pelos vértices B e C é
a) 7/17 b) 10/23
c) 9/20 d) 12/25
08- (Fgv) O ponto da reta de equação y = (1/2)x + 3, situado no 1 . quadrante e equidistante dos eixos x e y, tem
coordenadas cuja soma é:
a) menor que 11. b) maior que 25. c) um múltiplo de 6. d) um número primo. e) um divisor de 20.
GABARITO
1)D 2)A 3)A 4)B 5)A 6)D 7)A 8)C
20
9- POSIÇÕES RELATIVAS DE RETAS NO PLANO
Duas retas podem ser representadas em um plano cartesiano de forma paralela ou concorrente. Mas cada uma
dessas formas possui características e elementos que ajudam na identificação da forma que estão dispostas no plano,
sem ser preciso construir o gráfico.
9.1-Retas paralelas
Duas retas são paralelas se não tiverem nenhum ponto em comum ou todos em comum e seus coeficientes angulares
forem iguais ou não existirem.
As retas u e t são paralelas e distintas. E por serem perpendiculares ao eixo Ox os seus coeficientes angulares não
irão existir.
As retas u e t são paralelas e coincidentes, pois possuem todos os pontos em comum. E por serem perpendiculares
ao eixo Ox os seus coeficientes angulares não irão existir.
As retas u e t são paralelas e distintas. E os seus coeficientes angulares serão iguais. PORTANTO
mu
mt e q u
qt
As retas u e t são paralelas e coincidentes, pois possuem todos os pontos em comum. E os seus coeficientes
angulares serão iguais. PORTANTO
mu
mt e q u
qt
21
9.2-Retas concorrentes
Duas retas são concorrentes se possuírem apenas um ponto em comum. E seus coeficientes angulares poderão ser
diferentes ou um existir e o outro não.
As retas u e t são coincidentes e as inclinações das retas são diferentes de 90°. Assim, seus coeficientes angulares
serão diferentes.
As retas u e t são concorrentes e a inclinação da reta t é de 90°, sendo assim seu coeficiente angular não irá existir,
mas o coeficiente da reta u existe, pois não é perpendicular ao eixo Ox.
TABELA 11: Determine m para que as retas r e s sejam paralelas.
N
Reta r
Reta s
m
1
3x-2y+4 = 0
mx + 2y +3 =0
2
mx-y+4=0
x + y +7=0
3
2x+my-1=0
2x+y=0
4
x-my+4=0
5x-2y=0
TABELA 12: Determine a equação da reta r que passa por P para que
seja paralela à reta s
N
Ponto P
Reta s
Reta r
1
P(1,4)
y=3x-4
2
P (-1,2)
2x +y-2=0
3
Origem
6x-2y+3=0
4
P(2,6)
x=4
22
Após ter completado as TABELA 11 e 12 , resolva esses exercícios
para prova.
01-(UFMG ) Observe a figura.
Nessa figura, os pontos B, C e D são colineares, B = (2,3) e a área do triângulo OCD é o dobro da área do
paralelogramo OABC. Então, C é o ponto de coordenadas
a) 2,
3
5
b) 2,
12
5
c) (2, 1) d) (3, 2) e) (2, 2)
02-(UNAERP) A equação, no plano, x - 3 = 0, representa:
a) Um ponto do eixo das abcissas
b) Uma reta perpendicular ao eixo das ordenadas
c) Uma reta perpendicular à reta x + y = 0
d) Uma reta concorrente à reta x + y = 0
e) Uma reta paralela à reta y - 3 = 0
03-(Cesgranrio ) As retas x + ay - 3 = 0 e 2x - y + 5 = 0 são paralelas, se a vale:
a) - 2
b) - 0,5
c) 0,5
d) 2
e) 8
04- (Cesgranrio) Se as retas y + (x/2) + 4 = 0 e my + 2x + 12 = 0 são paralelas, então o coeficiente m vale:
a) 2.
b) 3.
c) 4.
d) 5.
e) 6.
05-(Ufmg ) A reta r é paralela à reta de equação 3x-y-10=0. Um dos pontos de interseção de r com a
parábola de equação y=x2-4 tem abscissa 1. A equação de r é
a) x + 3y + 8 = 0
b) 3x - y + 6 = 0
c) 3x - y - 6 = 0
d) x - 3y - 10 = 0
06 (Ufmg ) A reta r passa pelo ponto (16, 11) e NÃO intercepta a reta de equação
y = (x/2) - 5. Considerando-se os seguintes pontos, o ÚNICO que pertence à reta r é
a) (7, 6)
b) (7, 13/2)
c) (7, 7)
d) (7, 15/2)
07-(Fatec) Seja a reta r, de equação y=(x/2) +17.
Das equações a seguir, a que representa uma reta paralela a r é
a) 2y = (x/2) + 10
b) 2y = - 2x + 5
c) 2y = x + 12
d) y = - 2x + 5
e) y = x + 34
08- (CFTMG) As retas x + ky = 3 e 2x - y = - 5 são paralelas; logo o valor de k é
a) - 2
b) -1/2
c) 1/2
d) 2
09- (UFRRJ) Sabendo que as retas mx + (m - 2)y = m e (m + 3)x + (m + 5)y = m + 1 são paralelas, o valor
de m será:
a) 1/2.
b) - 1/2.
c) 3/2.
d) - 3/2.
e) 5/2.
23
10- (UNEMAT) Dada a equação de reta (s): 2x - y +1 = 0 , a equação de reta paralela a s pelo ponto P(1,1)
será:
a) 2x - y = 0
b) 2x + y +1 = 0
c) 2x + y -1 = 0
d) 2x - y -1 = 0
e) 2x - y + 2 = 0
1)B 2)D 3)B 4)C 5)C 6)B 7)C 8)B 9)D 10)D
10-INTERSECÇÃO ENTRE RETAS / CURVAS
Relembrado a definição de retas concorrentes: Duas retas são concorrentes se, somente se, possuírem um único
ponto em comum, ou seja, a intersecção das duas retas é o ponto em comum.
Considerando a reta t e u e as suas respectivas equações gerais das retas, a tx + bty + ct = 0 e aux + buy + cu = 0.
Representando-as em um plano cartesiano, iremos perceber que são concorrentes, pois possui o ponto A em comum.
O sistema formado com as equações gerais das retas terá como solução o par ordenado (x0, y0) que representa o
ponto de intersecção.
Exemplo: As equações gerais das duas retas r e s são respectivamente, x + 4y – 7 = 0 e 3x + y + 1 = 0. Determine o
ponto P(x0, y0) comum às retas r e s.
Sabemos que o ponto de intersecção de duas retas concorrentes é a solução do sistema formado por elas. Assim,
veja a resolução do sistema abaixo:
x + 4y – 7 = 0
3x + y + 1 = 0
x + 4y = 7
3x + y = -1
(-3)
-3x – 12y = -21
3x + y
= -1
-11y = -22
y=2
Substituindo o valor de y em qualquer uma das equações iremos obter o valor de x:
x + 4y = 7
x+4.2=7
x+8=7
x=7–8
x = -1
Portanto, o ponto P(x0, y0) = (-1,2).
24
TABELA 13: Determine o ponto de intersecção P das retas r e s
N
Reta r
Reta s
P
1
y=3x-2
y=2x+4
2
3x-2y+4 = 0
x + y +7=0
3
2x+2y-1=0
2x+y=0
4
x=5
y=4
Após ter completado as TABELA 13 , resolva esses exercícios para
prova.
01-(Ufmg ) Sejam t e s as retas de equações 2x - y - 3 = 0 e 3x - 2y + 1 = 0, respectivamente. A reta r
contém o ponto A = (5,1) e o ponto de interseção de t e s. A equação de r é:
a) 5x - y - 24 = 0
b) 5x + y - 26 = 0
c) x + 5y - 10 = 0
d) x - 5y = 0
02- (Puc-rio) O ponto de intersecção entre a reta que passa por (4,4) e (2,5) e a reta que passa por (2,7) e
(4,3) é:
a) (3, 5).
b) (4, 4).
c) (3, 4).
d) (7/2, 4).
e) (10/3, 13/3).
03- (Fei) As retas representadas pelas equações y = 2x + 1, y = x + 3 e y = b - x passam por um mesmo
ponto. O valor de b é:
a) 1
b) 3
c) 5
d) 7
e) 9
04-(Puc-rio) As retas dadas pelas equações x + 3y = 3 e 2x + y = 1 se interceptam:
a) em nenhum ponto.
b) num ponto da reta x = 0.
c) num ponto da reta y = 0.
d) no ponto (3, 0).
e) no ponto (1/2, 0).
05-(Unifesp ) Se P é o ponto de intersecção das retas de equações x - y - 2 = 0 e (1/2) x + y = 3, a área do
triângulo de vértices A(0, 3), B(2, 0) e P é
a) 1/3.
b) 5/3.
c) 8/3.
d) 10/3.
e) 20/3.
06- (Ufpr ) Sabe-se que a reta r passa pelos pontos A = (-2, 0) e P = (0, 1) e que a reta s é paralela ao
eixo das ordenadas e passa pelo ponto Q = (4, 2). Se B é o ponto em que a reta s intercepta o eixo das
abscissas e C é o ponto de interseção das retas r e s, então o perímetro do triângulo ABC é:
a) 3 (3 + 5 ) b) 3 (5 + 3 ) c) 5 (3 + 5 )
d) 3 (3 3 )
e) 5 ( 5 + 3 )
07- (Unifesp ) Dadas as retas r: 5x - 12y = 42, s: 5x + 16y = 56 e t: 5x + 20y = m, o valor de m para que as
três retas sejam concorrentes num mesmo ponto é
a) 14.
b) 28.
c) 36.
d) 48.
e) 58.
08-(UFMG) A reta de equação y = 3x + a tem um único ponto em comum com a parábola de equação y =
x² + x + 2. O valor de a é
a) - 2
b) - 1
c) 0
d) 1
e) 2
GABARITO
1)A 2)E 3)D 4)B 5)D 6)A 7)E 8)D
25
11-CONDIÇÃO DE PERPENDICULARISMO
Considere duas retas perpendiculares r e s .
Pelo teorema dos ângulos externos temos :
2 =90
tg (
2)
+
1
sen(90 0
cos(90 0
PORTANTO tg
Portanto m s
2
)
1)
1
sen900. cos
cos900. cos
sen 1. cos900 cos
=
sen
sen900.sen 1
1
1
1
=
1
1
tg
1
1
tg 1
1
, ou seja, mr .ms
mr
1
TABELA 14: Determine m para que as retas r e s sejam
perpendiculares.
N
Reta r
Reta s
m
1
3x-2y+4 = 0
mx + 2y +3 =0
2
mx-y+4=0
x + y +7=0
3
2x+my-1=0
2x+y=0
4
x-my+4=0
5x-2y=0
26
TABELA 15: Determine a equação da reta r que passa por P para que
seja perpendicular à reta s
N
Ponto P
Reta s
Reta r
1
P(1,4)
y=3x-4
2
P (-1,2)
2x +y-2=0
3
Origem
6x-2y+3=0
4
P(2,6)
x=4
Após ter completado as TABELA 14 e 15 , resolva esses exercícios
para prova.
01-(FATEC) Se A=(-1,3) e B=(1,1), então a mediatriz do segmento AB encontra a bissetriz dos quadrantes
pares no ponto:
a) (-1,1)
b) (-3/4, 3/4)
c) (-6.6)
d) (-1/2, 1/2)
e) (-1/4, 1/4)
02-(Ufmg ) A reta r é perpendicular à reta de equação 2x + y - 1 = 0 no ponto de abscissa -1.
A equação da reta r é
a) x - 2y + 7 = 0
b) 2x + y - 7 = 0 c) -x + 2y + 7 = 0
d) 2x + y + 7 = 0 e) x + 2y - 1 = 0
03-(FEI) Se a reta r passa pelos pontos (3, 0) e (0, 1), a reta s é perpendicular a r e passa pela origem,
então s contém o ponto:
a) (5, 15)
b) (5, 10)
c) (5, 5)
d) (5, 1)
e) (5, 0)
04-(Cesgranrio) A equação da reta que contém o ponto A (1, 2) e é perpendicular à reta y=2x+3 é:
a) x + 2y - 5 = 0 b) 2x + y = 0 c) 2x + y - 4 = 0 d) x - 2y + 3 = 0 e) x + 3y - 7 = 0
05-(Ufmg ) O lado BC de um ângulo reto ABC está sobre a reta de equação x - 2y + 1 = 0, e o ponto de
coordenadas (2,4) pertence à reta que contém o lado BA. A equação da reta que contém o lado BA é:
a) 4x + 2y - 5 = 0
b) x - 2y + 6 = 0
c) x + 2y - 10 = 0
d) 2x + y - 8 = 0
06- (Ufrn ) Sobre as retas y = -x + 3 e y = x + 3, podemos afirmar que elas
a) se interceptam no ponto de coordenadas
(-1,2).
b) se interceptam formando um ângulo de 60°.
c) são perpendiculares aos eixos OX e OY, respectivamente.
d) estão a uma mesma distância do ponto de coordenadas (3, 3).
07-(Ufal) As retas de equações y + 3x - 1 = 0 e y + 3x + 9 = 0 são
a) coincidentes.
b) paralelas entre si.
c) perpendiculares entre si.
d) concorrentes no ponto (1, -9).
e) concorrentes no ponto (3, 0).
08-(Fgv ) A reta perpendicular à reta (r) 2x-y=5, e passando pelo ponto P(1,2), intercepta o eixo das
abscissas no ponto:
a) (9/2, 0)
b) (5, 0)
c) (11/2, 0)
d) (6, 0)
e) (13/2, 0)
09-(Fgv) No plano cartesiano, o ponto da reta (r) 3x-4y=5 mais próximo da origem tem coordenadas cuja
soma vale:
a) -2/5
b) -1/5
c) 0
d) 1/5
e) 2/5
27
10 -(Fgv ) Considere os pontos A = (1, - 2); B = (- 2, 4) e C = (3, 3). A altura do triângulo ABC pelo vértice
C tem equação:
a) 2y - x - 3 = 0
b) y - 2x + 3 = 0 c) 2y + x + 3 = 0
d) y + 2x + 9 = 0 e) 2y + x - 9 = 0
11. (Fgv ) As retas de equações y = - x - 1 e y = [(-a + 1)/(a - 2)] x + 12 são perpendiculares.
O valor de a é:
a) 2
b) 1/2
c) 1
d) -2
e) 3/2
12. ( cftmg ) A equação da reta s perpendicular à reta r: y = 2x + 1, traçada pelo ponto P (4, -1) é
a) y = - (1/2)x - 1
b) y = (1/2)x - 1
c) y = - (1/2)x + 1
d) y = (1/2) x + 1
13-(Puc) Duas retas perpendiculares se cortam no ponto (2, 5) e são definidas pelas equações y = ax + 1
e y = bx + c. Com base nessas informações, é correto afirmar que o valor do coeficiente linear c é igual a:
a) - 4
b) - 2
c) 4
d) 6
14- (Ufscar ) Considere P um ponto pertencente à reta (r) de equação 3x + 5y - 10 = 0 e equidistante dos
eixos coordenados. A equação da reta que passa por P e é perpendicular a (r) é
a) 10x - 6y - 5 = 0. b) 6x - 10y + 5 = 0. c) 15x - 9y - 16 = 0. d) 5x + 3y - 10 = 0. e) 15x - 3y - 4 = 0.
15-(FEI) O ponto A', simétrico do ponto
A = (1, 1) em relação à reta r: 2x + 2y - 1 = 0 é:
a) (1, 1)
b) (1/2, -3/2) c) (-1/2, -1/2) d) (-1/2, -3/2) e) (1/2, 3/2)
16-(AMAN-2015) O ponto simétrico do ponto (1,5) em relação à reta 2x+3y-4=0 é o ponto
a) ( -3,-1)
b) (-1,-2)
c) (-4,4)
d)(3,8)
e) (3,2)
GABARITO
1)A 2)A 3)A 4)A 5)D 6)D 7)B 8)B 9)B 10)A 11)E 12)C 13)D 14)A 15)C 16)A
12-DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA
Dado um ponto P=(xo,yo) e uma reta na sua forma geral ax+by+c=0, pode-se obter a distância d deste
ponto P à reta através da expressão matemática:
DISTÂNCIA É SEMPRE PERPENDICULAR
A distância da origem (0,0) à reta 5x+12y+25=0 é:
28
TABELA 16: Calcule a distância do ponto P à reta r
N
Ponto P
Reta r
Distância d
1
P(1,4)
y=3x-4
2
P (-1,2)
5x +12y-2=0
3
Origem
6x-2y+3=0
4
P(2,6)
x=4
Após ter completado as TABELA 16, resolva esses exercícios para
prova.
1-(FGV) No plano cartesiano, existem dois valores de m de modo que a distância do ponto P(m,1) à reta
de equação 3x + 4y + 4 = 0 seja 6; a soma destes valores é:
a) - 16/3
b) - 17/3
c) - 18/3
d) - 19/3
e) - 20/3
2- Calcule o comprimento da altura do triangulo ABC, sendo A ( 7,4), B ( -1,2) e C ( 0,3) em relação ao
vértice A
RESPOSTAS
1)A 2) 3 2
13-RESOLUÇÃO GEOMÉTRICA DE INEQUAÇÕES
Uma inequação do 1o grau com duas variáveis admite infinitas soluções que podem ser representadas
num sistema de eixos coordenados por uma região limitada por uma reta, conforme mostra a figura.
29
Exemplo 1
Resolver graficamente
a) x + y - 2 > 0 e x - y < 0
b) x + y - 2 > 0 ou x - y < 0
30
EXERCÍCIOS PARA PROVA
1-(Ufal) Seja R a região sombreada na figura a seguir.
Essa região é o conjunto dos pontos (x, y) do plano cartesiano, com y ≥ 0 e tais que
3
+ 3 e y ≤ -3x + 3
2x
3
d) y ≤ 3x + 3 e y ≤
+3
2x
a) y ≤
b) y ≤
2
+ 3 e y ≤ -3x + 1
3x
c) y ≤
3
+ 3 e y ≥ -3x + 3
2x
e) y ≥ 2x + 3 e y ≥ -3x -1
2-(Fgv) A região do plano cartesiano determinada pelas inequações x + y ≤ 5
uma área A. O valor de A é:
a) 10
b) 10,5
c) 11
d) 11,5
e) 12
y≤3
x≥0
y ≥ 0 tem
3- (Pucrj ) A área delimitada pelos eixos x = 0, y = 0 e pelas retas x + y = 1 e 2x + y = 4 é:
a) 3
b) 2
c) 3,5
d) 2,5
e) 1,5
4- (Fgv) A área da região triangular limitada pelo sistema de inequações
3x
5y
15
0
2x
5y
10
0
x
0
a) 2,5
b) 7,5
c) 5
d) 12,5
e) 3
5- (Puc) A área do triângulo determinado pelas retas y = x, y = - x e y = 3 é:
a) 8.
b) 9.
c) 5.
d) 4.
e) 1.
6-(Ufrs ) A área do triângulo que tem lados sobre as retas de equações y = - 2 x + 9, x = 1 e y = 1 é
a) 6.
b) 7.
c) 8.
d) 9.
RESPOSTAS
1)A 2)B 3)D 4)A 5)B 6)D
31
e) 10.
14- EQUAÇÃO REDUZIDA DA CIRCUNFERÊNCIA
A equação reduzida da circunferência é dada por (x-a)² + (y-b)² = r²,
Onde o centro da circunferência é o ponto C(a,b) e o raio é r.
A definição de uma equação de uma circunferência “ é a condição necessária para que um ponto de coordenadas P
(x,y) pertença a uma circunferência de centro C(a,b) e raio r “.
Ou seja
d CP
r
Usando a fórmula da distância entre dois pontos temos:
d CP
( xc
x p )2
( yc
y p ) 2 =r ou seja
( x a) 2
( y b) 2 =r
Elevando-se os dois lados ao quadrado temos:
(x-a)² + (y-b)² = r²,
Exemplo: Determine a equação reduzida da circunferência de centro C(-4,1) e R = 1/3.
2
2
Basta substituirmos esses dados na equação R2 = (x – a) + (y – b) .
(x – (-4))2 + (y – 1)2 = (1/3)2
2
2
(x + 4) + (y – 1) = 1/9
Exemplo: Obtenha o centro e o raio da circunferência cuja equação é (x – 1/2)2 + (y + 5/2)2 = 9.
É preciso que seja feito à comparação das equações:
(x – 1/2)2 + (y + 5/2) 2= 9
2
2
2
(x – a) + (y – b) = R
- a = -1/2
2
R =9
a = 1/2
e
- b = 5/2
b = -5/2
R=3
Portanto as coordenadas do centro da circunferência de equação (x – 1/2)2 + (y + 5/2) = 9 é igual a C(1/2, -5/2) e raio
igual a R = 3
32
TABELA 17: Determine a equação reduzida das circunferências de
centro C e raio r
N
Centro C
Raio r
1
C(1,4)
2
2
C (-1,2)
1
3
Origem
2
4
C (2,0)
5
Equação
TABELA 18: Determine o centro e o raio das circunferências
N
Equação
1
(x-3)²+(y-2)²=4
2
x²+(y+3)² = 2
3
x²+y²=3
Raio r
Centro C
Após ter completado as TABELA 17e 18 , resolva esses exercícios
para prova.
1- (Ufc ) O segmento que une os pontos de interseção da reta 2x + y - 4 = 0 com os eixos coordenados
determina um diâmetro de uma circunferência. A equação dessa circunferência é:
a) (x - 1)2 + (y - 2)2 = 5
b) (x - 1)2 + (y - 2)2 = 20
c) (x - 1)2 + (y - 2)2 = 25
d) (x + 1)2 + (y + 2)2 = 5
e) (x + 1)2 + (y + 2)2 = 20
2- (Pucrs) Os pontos (3, 1) e (9, -7) são extremidades de um dos diâmetros da circunferência c. Então, a
equação de c é
a) (x + 6)2 + (y - 3)2 = 5
b) (x + 6)2 + (y - 3)2 = 10
c) (x - 6)2 + (y + 3)2 = 10
d) (x - 6)2 + (y - 3)2 = 25
e) (x - 6)2 + (y + 3)2 = 25
3-(Fatec ) A área do quadrilátero determinado pelos pontos de intersecção da circunferência de equação
(x + 3)2 + (y - 3)2 = 10 com os eixos coordenados, em unidades de área, é igual a
a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
e) 12
4- (PUC) A distância entre o centro da circunferência de equação (x - 2)2 + (y + 5)2 = 9 e a reta de
equação 2 y + 5 x = 0 é
a) - 5
b) 0
c) 2
d) 5
e) 9
5-(Uft ) Considere no plano cartesiano xy, a circunferência de equação (x - 2)2 + (y + 1)2 = 4 e o ponto P
dado pela interseção das retas 2x - 3y + 5 = 0 e x - 2y + 4 = 0. Então a distância do ponto P ao centro da
circunferência é:
a) o dobro do raio da circunferência
b) igual ao raio da circunferência.
c) a metade do raio da circunferência.
d) o triplo do raio da circunferência.
33
6-(Ufpel ) O gráfico a seguir representa a função:
f(x) = x2 - 5x + 6.
Com base nessas informações é CORRETO afirmar que a equação da circunferência que passa em B e
tem centro em A é:
a) (x - 6)2 + y = 45
b) x2 + (y - 6)2 = 9
c) x2 + (y - 6)2 = 45
d) (x - 6)2 + y2 = 9
e) x2 + (y - 3)2 = 9
7- (Ufrgs ) Os pontos de interseção do círculo de equação (x - 4)2 + (y - 3)2 = 25 com os eixos
coordenados são vértices de um triângulo. A área desse triângulo é
a) 22.
b) 24.
c) 25.
d) 26.
e) 28
GABARITO
1)A 2)E 3)B 4)B 5)A 6)C 7)B
15-EQUAÇÃO NORMAL DA CIRCUNFERÊNCIA
A equação normal da circunferência é obtida através da eliminação dos parênteses e redução dos termos
semelhantes.
(x – a)² + (y – b)² = r²
x² – 2xa + a² + y² – 2yb + b² – r² = 0
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0
Essa equação é mais uma forma de equacionar uma circunferência e a partir dela determinar o centro e o
raio que a equação está representando, isso poderá ser feito utilizando dois métodos diferentes:
comparação e redução.
Comparação
Dada a equação x2 + y2 – 2x + 8y + 8 = 0, comparado-a com a equação x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 =
0, temos:
–2a = –2
a=1
–2b = 8
2b = –8
a² + b² – r² = 8
r=3
b = –4
1² + (–4)² – r² = 8
1 + 16 – r² = 8
34
17 – r² = 8
– r² = 8 – 17
– r² = – 9
Portanto, a circunferência de equação igual a x2 + y2 – 2x + 8y + 8 = 0 terá centro igual a C(1,– 4) e raio
igual a r = 3.
Redução
Consiste em transformar a equação normal em reduzida e assim identificar o centro e o raio.
Pegando como exemplo a equação x2 + y2 – 2x + 8y + 8 = 0, iremos transformá-la em uma equação reduzida seguindo
os passos abaixo:
1º passo
É preciso agrupar os termos em x e os termos em y, e isolar o termo independente.
(x2 – 2x) + (y2 + 8y) = – 8
2º passo
Somar aos dois membros da igualdade um termo que torne o agrupamento em x um quadrado perfeito.
(x2 – 2x +1) + (y2 + 8y) = – 8 +1
3º passo
Somar aos dois membros da igualdade um termo que torne o agrupamento em y um quadrado perfeito.
(x2 – 2x +1) + (y2 + 8y + 16) = – 8 +1 + 16
(x2 – 2x +1) + (y2 + 8y + 16) = 9
(x – 1)2 + (y + 4)2 = 9
Comparando com a equação reduzida.
(x – 1)2 + (y + 4)2 = 9
(x + a)2 + (y + b)2 = r2
Portanto, o centro dessa equação da circunferência será C (1, –4) e R = 3.
TABELA 19: Determine o centro e o raio das circunferências
N
Equação
1
x² +y²-4x-6y-2=0
2
x² +y²+8x-6y-6=0
3
x² +y²-6y-7=0
4
x² +y²+8x-2=0
Raio r
Centro C
35
Após ter completado as TABELA 19, resolva esses exercícios para prova.
1-(Udesc ) Para que a equação x2 + y2 - 4x + 8y + k = 0 represente uma circunferência, devemos ter:
a) K < 20
b) K > 13
c) K < 12
d) K > 12
e) K < 10
2- (Fatec) Sejam O a origem do sistema de eixos cartesianos e A o centro da circunferência de equação
x2 + y2 - 2x - 4y - 4 = 0. A equação de reta que passa pelos pontos A e O é:
a) y = 2x + 1 b) y = 2x -1
c) y = x/2
d) y = 2x
e) y = x
3-(Cesgranrio) As circunferências x 2 + y2 + 8x + 6y = 0 e x 2 + y2 - 16x - 12y = 0 são:
a) exteriores.
b) secantes.
c) tangentes internamente.
d) tangentes externamente.
e) concêntricas.
4. (Ufrs ) A equação x2 + y2 + 4x - 6y + m = 0 representa um círculo se e semente se
a) m > 0 b) m < 0 c) m > 13 d) m > -13 e) m < 13
5-(Cesgranrio ) A equação da circunferência de raio 5, cujo centro é o ponto comum às retas
x - y + 1 = 2 e x + y - 1 = 2 é:
a) x2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0 b) x2 + y2 - 4x - 2y + 20 = 0 c) x2 + y2 - 4x + 2y + 20 = 0
d) x2 + y2 - 4x + 2y - 20 = 0 e) x2 + y2 + 4x - 2y - 20 = 0
6-(Unirio ) A equação x2 + y2 - 4x + 6y - 3 = 0 é de uma circunferência cuja soma do raio e das
coordenadas do centro é igual a:
a) -2 b) 3
c) 5
d) 8
e) 15
7-(Unifesp ) A equação x2 + y2 + 6x + 4y + 12 = 0, em coordenadas cartesianas, representa uma
circunferência de raio 1 e centro
a) (- 6, 4).
b) (6, 4).
c) (3, 2).
d) (-3, -2).
e) (6, -4).
8-(Ufv ) Considere a equação x2 + y2 - 6x + 4y + p = 0. O maior valor inteiro p para que a equação
anterior represente uma circunferência é:
a) 13 b) 12 c) 14 d) 8
e) 10
9- (Pucpr ) A distância do ponto P(1; 8) ao centro da circunferência x 2 + y2 - 8x - 8y + 24 = 0 é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 5
e) 6
10-(Ufrs ) As extremidades de uma das diagonais de um quadrado inscrito em um círculo são os pontos
(1, 3) e (-1, 1). Então, a equação do círculo é
a) x2 + y2 + 4y - 2 = 0. b) x2 + y2 - 4y + 2 = 0. c) x2 + y2 - 2y + 2 = 0.
d) x2 + y2 + 2 = 0.
e) x2 + y2 - 4y = 0.
11 (Fatec) Num sistema de eixos cartesianos ortogonais, considere a circunferência λ e a reta r, de
equações x2 + y2 - 6x + 2y + 6 = 0 e 3x + 7y - 21 = 0. A reta s, que é paralela a r e contém o centro de λ,
tem equação
a) 3x + 7y - 2 = 0
b) 3x - 7y - 2 = 0 c) 3x - 7y + 5 = 0
d) 3x + 7y - 16 = 0 e) 7x + 3y - 2 = 0
12- ( cftmg ) O lado do quadrado circunscrito à circunferência de equação x 2 + y2 - 4x - 5 = 0 mede
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
36
3- (Ufrs ) Na figura a seguir, o octógono regular está inscrito no círculo de equação
x2 + y2 - 4 = 0.
A área do octógono é
2 . b) 8 2 . c) 10. d) 10 2 . e) 20.
a) 5
14- (Ufjf ) Considere uma circunferência c1 de equação x2 + y2 + 8x - 2y - 83 = 0. Seja agora uma circunferência c2
de centro em O(13, - 2) que passa pelo ponto P(9, 0). A área da figura plana formada pelos pontos internos à
circunferência c1 e externos à circunferência c2, em unidades de área, é:
a) 20π. b) 80π. c) 100π. d) 120π. e) 200π.
15-(GV) Dada a equação x² + y² = 14x + 6y + 6, se p é o maior valor possível de x, e q é o maior valor possível de y,
então, 3p + 4q é igual a
a) 73
b) 76
c) 85
d) 89
e) 92.
16- (Ufsm ) A massa utilizada para fazer pastéis folheados, depois de esticada, é recortada em círculos (discos) de
igual tamanho. Sabendo que a equação matemática da circunferência que limita o círculo é x2 + y2 - 4x - 6y - 36 = 0 e
adotando π = 3,14, o diâmetro de cada disco e a área da massa utilizada para confeccionar cada pastel são,
respectivamente,
a) 7 e 113,04
b) 7 e 153,86 c) 12 e 113,04
d) 14 e 113,04 e) 14 e 153,86
17-(Fgv ) Dada a circunferência de equação x2 + y2 – 6x – 10y + 30 = 0, seja P seu ponto de ordenada máxima. A
soma das coordenadas de P e:
a) 10 b) 10,5 c) 11 d) 11,5 e) 1
18-(Fgv ) No plano cartesiano, uma circunferência, cujo centro se encontra no segundo quadrante, tangencia os eixos
x e y. Se a distância da origem ao centro da circunferência é igual a 4, a equação da circunferência é:
2
y2
2 10 x
2 10 y 10
0
b) x
2
y2
2 10 x
2 10 y 10
0
d) x
2
e) x
y2
a) x
c) x
4x 4y 4
2
2
y2
2 8 x
2 8 y 8
0
y2
2 8 x
2 8 y 8
0
0
19-(Ueg ) Considere num plano cartesiano duas retas r e s. perpendiculares. A reta r tem equação y
2x e a reta s
intercepta o eixo x no ponto B (10,0). Encontre a equação da circunferência que passa pelos pontos A (0,0), B (10,0) e
C, que é o ponto de interseção das retas r e s.
20) (Ufjf) No plano cartesiano, considere os pontos A( 1,2) e B(3,4).
a) Encontre a equação da reta r que passa por A e forma com o eixo das abscissas um ângulo de 135º, medido do
eixo para a reta no sentido anti-horário.
b) Seja s a reta que passa por B e é perpendicular à reta r. Encontre as coordenadas do ponto P , determinado pela
intersecção das retas r e s .
c) Determine a equação da circunferência que possui centro no ponto Q(2,1) e tangencia as retas r e s.
RESPOSTAS
1) A 2) D 3)D 4)E 5)A 6)B 7)D 8)B 9)D 10)B 11)A 12)D 13)B 14)C 15)D 16)E 17)A 18)B 19) (x-5)² +y²=25
20)a) y=-x+1 b) y=x+1 c) (x-2)² +(y-1)² =2
37
16-POSIÇÕES RELATIVAS: RETA E CIRCUNFERÊNCIA
CASO 1 – RETA EXTERNA À CIRCUNFERÊNCIA
DISTÂNCIA ENTRE O CENTRO E A RETA É MAIOR QUE O RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA
A INTERSECÇÃO ENTRE A EQUAÇÃO DA RETA E A DA CIRCUNFERÊNCIA RESULTA EM UMA EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU COM Δ <0
CASO 2 – RETA TANGENTE À CIRCUNFERÊNCIA
DISTÂNCIA ENTRE O CENTRO E A RETA É IGUAL AO RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA
A INTERSECÇÃO ENTRE A EQUAÇÃO DA RETA E A DA CIRCUNFERÊNCIA RESULTA EM UMA EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU COM Δ =0
CASO 3 – RETA SECANTE A UMA CIRCUNFERÊNCIA
DISTÂNCIA ENTRE O CENTRO E A RETA É MENOR QUE O RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA
A INTERSECÇÃO ENTRE A EQUAÇÃO DA RETA E A DA CIRCUNFERÊNCIA RESULTA EM UMA EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU COM Δ =0
38
Uma forma de encontrar a posição relativa entre uma reta e uma circunferência é verificando a sua intersecção, ou
seja, analisando se a reta e a circunferência terão dois pontos em comum, apenas um ponto em comum ou nenhum
ponto em comum.
O valor dessa intersecção é a solução do sistema formado com a equação geral da reta e com a equação reduzida da
circunferência. Considerando a equação geral da reta ax+by+c = 0 e a equação reduzida da circunferência
(x - a)2 + (y - b)2 = R2. Resolvendo o sistema
é possível encontrar uma equação do
segundo grau, analisando o seu descriminante Δ é possível determinar a posição da reta em relação à circunferência:
Δ > 0 reta secante à circunferência
Δ = 0 reta tangente à circunferência
Δ < 0 reta externa à circunferência.
Se o discriminante Δ for maior ou igual à zero, para descobrir as coordenadas dos pontos é preciso terminar a
resolução da equação do segundo grau.
Exemplo: Verifique se a circunferência (x+1) 2 + y2 = 25 e a reta x + y – 6 = 0 possui algum ponto de intersecção.
Resolução:
x + y – 6 = 0 → equação 1
(x+1)2 + y2 = 25 → equação 2
Escolhemos uma das duas equações e isolamos uma das incógnitas.
x+y–6=0
x=6–y
Substituímos o valor de x na equação 2.
(6 – y +1)2 + y2 = 25
(-y + 7)2 + y2 = 25
2
2y – 14y + 24 = 0 (: 2)
y2 – 7y + 12 = 0
Δ = b2 – 4ac
Δ = (-7)2 – 4 . 1 . 12
Δ = 49 – 48
(-y)2 – 14y + 49 + y2 = 25
y2 – 14y + 49 – 25 + y2 = 0
Δ=1
Como o descriminante Δ é maior que zero sabemos que essa reta é secante à circunferência, agora para descobrir o
valor das coordenadas dos dois pontos pertencentes à circunferência é preciso terminar de resolver a equação.
Para y’= 4
x=6–y
Para y’’ = 3
x=6–4
x=6–y
x=2
x=6–3
x=3
Portanto, os dois pontos que interceptam a circunferência são: (2,4) e (3,3).
39
EXERCÍCIOS PARA AS PROVAS
1- (Fei ) O comprimento da corda que a reta
x + y = 3 determina na circunferência de centro em (2,1) e raio
5
2
é:
2 b) 2 2 c) 3 2 d) 4 2 e) 5 2
a)
2-(Fei ) Qual deve ser o raio da circunferência com centro no ponto O = (0,0) para que a reta
x - 2y - 10 = 0 seja tangente a essa circunferência?
a) 4 2 b) 2 5 c) 20 d) 5 2 e) 4 5
3-(Ufrs ) O centro O = (x, y) de uma circunferência que passa pelos pontos (-1, 1) e (1, 5), tem as
coordenadas na relação
a) 2y + x = 6
b) 5y + 2x = 15 c) 5y + 3x = 15
d) 8y + 3x = 25 e) 9y + 4x = 36
4- (Ufes ) Sabe-se que b > 0 e que a reta
5y + b(x - 5) = 0 é tangente à circunferência
x2 + y2 = 9. O valor de b é
a) 15/4 b) 16/3 c) 6 d) 20/3 e) 7
5-(Ufsm ) Dada a circunferência β: x2 + y2 - 4x - 12 = 0, então a circunferência α, que é concêntrica à
circunferência β e tangente à reta r: x + y = 0, é
a) x2 + (y + 2)2 = 4
b) y2 - 4x + y2 = 0
d) x2 + y2 - 4x + 2 = 0
e) (x + 2)2 + y2 = 2
c) x2 + y2 + 4y + 2 = 0
6-(Ufsm ) A equação da circunferência de centro C(2,1) e tangente à reta 3x - 4y + 8 = 0 é
a) (x2 + 2)2 + (y - 1)2 = 8
d) (x - 2)2 + (y - 1)2 = 4
b) (x2 - 2)2 + (y - 1)2 = 2
e) (x - 2)2- (x - 1)2 = 4
c) (x - 2)2 + (y + 1)2 = 2
7- (Fgv ) A reta de equação y = x - 1 determina, na circunferência de equação x 2 + y2 = 13, uma corda de
comprimento:
a) 4 2
b) 5 2
c) 6 2
d) 7 2
e) 8 2
8-(Ufsm ) As retas r e s tangenciam a circunferência de equação x 2 + y2 - 4x + 3 = 0, respectivamente,
nos pontos P e Q e passam pelo ponto O (0, 0). A medida do ângulo PÔQ vale
a) 15° b) 30° c) 45° d) 60° e) 90°
9- (Ufpi ) Se uma circunferência no segundo quadrante, tangente a ambos os eixos, toca o eixo y no ponto
(0, 3), então o centro dessa circunferência é o ponto:
a) (-3, 0) b) (-3, 3) c) (3, 3) d) (-4, 3) e) (2, 3)
10-(Ufrrj ) Se a área de uma figura é representada pela solução do sistema
x2
y2
x y 3
a)
d)
9
0
, pode-se afirmar que esta área corresponde a
9 π 2
3 π 3
9π
b)
. c)
.
4
2
4
3 π 3
π 3
4
. e)
3
.
40
11- (Ufrs ) Considere a região plana limitada pelos gráficos das inequações y ≤ - x - 1 e x2 + y2 ≤ 1, no
sistema de coordenadas cartesianas. A área dessa região é
a) π/4 - 1/2
b) π/4 - 1/3 c) π/2 - 1 d) π/2 + 1 e) 3π/2 - 1
12-(Fgv ) No plano cartesiano, a reta de equação x = k tangencia a circunferência de equação
(x - 2)2 + (y - 3)2 = 1. Os valores de k são:
a) -2 ou 0
b) -1 ou 1
c) 0 ou 2
d) 1 ou 3
e) 2 ou 4
13- (Ufes) Em um sistema de coordenadas cartesianas com origem O, considere a circunferência C dada
pela equação x2 + y2 - 4x - 8y + 15 = 0, cujo centro indicamos por P. A reta OP intersecta C em dois
pontos A e B, onde A é o mais próximo da origem.
A equação da reta que tangencia a circunferência C no ponto A é
a) x - 2y + 3 = 0 b) x + 2y - 5 = 0 c) 2x + y - 4 = 0 d) 2x + y - 5 = 0 e) 2x - y - 4 = 0
14- (Ufjf ) Sobre o conjunto de pontos de interseção da circunferência x 2 + (y - 2)2 = 2 com a reta mx - y +
2 = 0, onde m é real, podemos afirmar que:
a) contém um único ponto.
b) é o conjunto vazio.
d) contém três pontos.
e) depende de m.
c) contém dois pontos.
15- (Pucmg ) Considere a circunferência C de equação (x + 1)2 + (y - 1)2 = 9 e a reta r de equação x + y =
0. É CORRETO afirmar:
a) r é tangente a C.
b) r não corta C.
c) r corta C no ponto (1, 1). d) r passa pelo centro de C.
16- (Pucrs) O raio da circunferência centrada na origem que tangencia a reta de equação y = x -1 é
a) 1
b)
1
2
c)
2
d)
2
2
e)
2 -1
17-(Fatec ) Considere que R é a região do plano cartesiano cujos pontos satisfazem as sentenças
(x - 2)2+ (y - 2)2 ≤ 4 e x ≤ y. A área de R, em unidades de superfície, é
a) π
b) 2π
c) π2
d) 4π
e) 4π2
18-(PUC) A área da região do plano limitada pela curva de equação (x - 1)2 + (y - 2)2 = 4 com x ≥ 1 e y ≤ 2
é
a) 4π
b) 2π
c) π
d) π/2
e) π/4
19- ( cftmg ) Analisando a equação da reta r: x - 2y = 0 e da circunferência λ: x2 + y2 - 10y + 5 = 0,
podemos afirmar que
a) a reta é tangente à circunferência.
c) a reta é exterior à circunferência.
b) a reta é secante à circunferência.
d) a reta está em plano distinto da circunferência.
20- (Uece ) A soma das coordenadas do centro da circunferência que tem raio medindo 1 u.c., que está
situada no primeiro quadrante e que tangencia o eixo dos y e a reta 4x - 3y = 0, é
a) 3 u.c.
b) 5 u.c.
c) 4 u.c.
d) 6 u.c.
21-(Ufc ) Em um sistema Cartesiano de coordenadas, o valor positivo de b tal que a reta y = x + b é
tangente ao círculo de equação x2 + y2 = 1 é:
a) 2
b) 1
c)
2
d)
1
2
e) 3
GABARITO
1)E 2)B 3)A 4)A 5)D 6)D 7)B 8)D 9)B 10)B 11)A 12)D 13)B 14)C 15)D 16)D 17)B 18)C 19)A 20)C
21) C
41
17-CÔNICAS E RECONHECIMENTO DE CURVAS
1-ELIPSE
Entende-se por elipse o lugar geométrico de um plano onde a soma da distância de sua extremidade a dois pontos
fixos, chamados de focos, F1 e F2, resulta em uma constante 2a, onde 2a > 2c.
Na ilustração da elipse acima temos:
F1 e F2 são os focos da elipse e a distância entre eles é a distância focal (2c).
O segmento A1A2 é o maior eixo da elipse e sua medida é a soma da definição 2a.
O segmento B1B2 é o menor eixo da elipse e sua medida corresponde a 2b.
O centro O é o ponto médio entre os eixos da elipse e os focos A1A2 e F1F2.
A excentricidade da elipse é calculada pela razão entre c e a.
Na elipse, a relação de Pitágoras é válida entre as medidas de a, b e c. Dessa forma, temos que:
a² = b² + c²
É o conjunto de pontos P (x,y) do plano tal que a soma da distância a dois pontos fixos ( focos) é uma
constante ( 2 a)
focos : os pontos F1 e F2
centro: o ponto C ( x 0 ; y 0 ) , que é o ponto médio de
semi-eixo maior: a
semi-eixo menor: b
semidistância focal: c
vértices: os pontos A1, A2, B1, B2
42
eixo maior:
eixo menor:
distância focal:
relação fundamental : a² = b² + c²
excentricidade e=c/a 0<e<1
EQUAÇÕES REDUZIDAS
Eixo maior paralelo ao eixo x:
x0 ) 2
(x
(y
a2
y0 ) 2
b2
1
Eixo maior paralelo ao eixo y:
x0 ) 2
(x
b2
(y
y0 ) 2
a2
1
ÁREA DA ELIPSE: A= ab
Exemplo 1
Vamos determinar as equações das seguintes elipses:
a)
a² = b² + c²
a² = 6² + 8²
a² = 100
a = 10
Equação:
b)
43
a² = b² + c²
a² = 5² + 12²
a² = 25 + 144
a² = 169
a = 13
Equação:
Exemplo 2
Vamos determinar os focos e as extremidades do eixo maior da elipse de equação 9x² + 36y² = 144.
Temos que 16 > 4, portanto, o eixo maior está na abscissa (x). Dessa forma:
a² = 16 → a = 4
b² = 4 → a = 2
a² = b² + c² → 16 = 2 + c² → c² = 16 – 2 → c² = 14
Os focos são F1(14,0) e F2(–14,0) e as extremidades dos eixos maiores são A1(5,0) e A2(–5,0).
A elipse possui uma importante aplicação na Astronomia, pois os planetas descrevem movimentos
elípticos em órbita do sol, estando localizados nos focos da elipse. Essa teoria foi descoberta e
comprovada por Johannes Kepler (1571 – 1630), grande astrônomo alemão.
2-HIPÉRBOLE
No estudo da geometria analítica, as diversas figuras geométricas são estudadas do ponto de vista
algébrico. Ponto, retas, circunferências são esquematizadas com o auxílio da álgebra. As cônicas, que são
figuras geométricas oriundas de secções transversais realizadas em um cone, também são muito
exploradas. A própria circunferência, a elipse, a parábola e a hipérbole são classificadas de cônicas.
Vejamos como a hipérbole pode ser explorada do ponto de vista da geometria analítica.
Definição de hipérbole: Considere F1 e F2 como sendo dois pontos distintos do plano e 2c a distância entre
eles. Hipérbole é o conjunto dos pontos do plano, tais que a diferença, em valor absoluto, das distâncias à
F1 e F2 é a constante 2a (0 < 2a < 2c).
A hipérbole pode ter os focos sobre o eixo x ou sobre o eixo y e sua equação varia em cada um dos
casos. Vamos deduzir sua equação para cada um dos casos citados.
44
Hipérbole com focos sobre o eixo x.
Como os focos da hipérbole estão localizados sobre o eixo x, suas coordenadas serão: F2(c, 0) e F1(– c, 0). Nesse
caso, a equação da hipérbole será do tipo:
Hipérbole com focos sobre o eixo y.
Como os focos da hipérbole estão sobre o eixo y, suas coordenadas serão: F 2(0, c) e F1(0, – c). Nesse caso, a
equação da hipérbole será do tipo:
Elementos e propriedades da hipérbole:
2c → é a distância focal.
c2 = a2 + b2 → relação fundamental.
A1(– a, 0) e A2(a, 0) → são os vértices da hipérbole.
2a → é a medida do eixo real.
2b → é a medida do eixo imaginário.
c/a → é a excentricidade
Exemplo 1. Determine a equação da hipérbole com focos F1(– 10, 0) e F2(10, 0) e eixo real medindo 16 unidades.
Solução: De acordo com as coordenadas dos focos percebemos que eles estão sobre o eixo x, pois as coordenadas y
são iguais a zero. Também podemos afirmar que c = 10.
Foi dado que o eixo real tem 16 unidades de comprimento. Logo, temos que:
45
2a = 16 → a = 8
Para determinar a equação da hipérbole precisamos conhecer os valores de a e b, portanto devemos utilizar a relação
fundamental para encontrarmos o valor de b. Segue que:
c2 = a2 + b2
2
2
2
10 = 8 + b
2
b = 100 – 64
b2 = 36
b=6
Conhecidos os valores de a e b podemos escrever a equação da hipérbole com focos sobre o eixo x:
Exemplo 2. Determine as coordenadas dos focos da hipérbole de equação:
Solução: Observando a equação da hipérbole podemos constatar que seus focos estão sobre o eixo y, logo terão
coordenadas do tipo F1(0, – c) e F2(0, c).
Da equação da hipérbole obtemos que:
a2 = 16 → a = 4
2
b =9→b=3
Utilizando a relação fundamental, teremos:
c2 = a2 + b2
c2 = 16 + 9
c2 = 25
c=5
Portanto, os focos da hipérbole são F1(0 , – 5) e F2(0, 5).
3- PARÁBOLA
2-Como traçar uma parábola.
Com pregos, barbante e um lápis, você consegue desenhar circunferência, elipse e também uma parábola. Parábola é
o lugar geométrico tal que distam igualmente de uma reta fixa d, chamada diretriz, e de um ponto fixo F, não
pertencente à diretriz, chamado foco.
Imagine uma reta d, um ponto F (foco) e o barbante preso ao prego no ponto F.
O comprimento do barbante tem que ser constante e a sua outra ponta deve correr livre sobre a reta d, o lápis deve se
deslocar, mas sempre o barbante, entre o lápis e a reta d, deve ser perpendicular à reta:
46
2-Definição
Considere no plano cartesiano xOy, uma reta d (diretriz) e um ponto fixo F (foco) pertencente ao eixo das
abcissas (eixo dos x), conforme figura abaixo:
Denominaremos PARÁBOLA, à curva plana formada pelos pontos P(x,y) do plano cartesiano, tais que
PF = Pd onde:
PF = distância entre os pontos P e F
PP' = distância entre o ponto P e a reta d (diretriz).
Importante: Temos portanto, a seguinte relação notável: VF = p/2
3 - Equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na origem
Observando a figura acima, consideremos os pontos: F(p/2, 0) - foco da parábola, e P(x,y) - um ponto
qualquer da parábola. Considerando-se a definição acima, deveremos ter: PF = PP'
Daí, vem, usando a fórmula da distancia entre pontos do plano cartesiano:
47
Desenvolvendo convenientemente e simplificando a expressão acima, chegaremos à equação reduzida da
parábola de eixo horizontal e vértice na origem, a saber:
2
y = 2px onde p é a medida do parâmetro da parábola.
3.1 - Parábola de eixo horizontal e vértice no ponto (x0, y0) Se o vértice da parábola não estiver na
origem e, sim, num ponto (x 0, y0), a equação acima fica: (y - y0)2 = 2p(x-x0)
3.2 - Parábola de eixo vertical e vértice na origem : Se a parábola tiver vértice na origem e eixo
2
vertical, a sua equação reduzida será: x = 2py
3.3 - Parábola de eixo vertical e vértice no ponto (x0, y0) : Analogamente, se o vértice da parábola não
estiver na origem, e, sim, num ponto (x 0, y0), a equação acima fica: (x - x0)2 = 2p(y - y0)
Exercícios resolvidos
1 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(2,0) e vértice na origem?
Solução: Temos p/2 = 2
p=4
Daí, por substituição direta, vem:
y2 = 2.4.x
y2 = 8x ou y2 - 8x = 0.
2 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(4,0) e vértice no ponto V(2,0)?
Solução: Como já sabemos que VF = p/2, vem, 2 = p/2
2
Logo, (y - 0) = 2.4(x - 2)
2
2
y = 8(x-2)
p = 4.
2
y - 8x + 16 = 0, que é a equação da parábola.
3 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(6,3) e vértice no ponto V(2,3)?
Solução: Como VF = p/2, vem: 4 = p/2
2
Daí, vem: (y - 3) = 2.8(x - 2)
p = 8.
2
y - 6y + 9 = 16x - 32
y2 - 6y - 16x + 41 = 0, que é a equação procurada.
4 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(0,4) e vértice no ponto V(0,1)?
Solução: Como VF = p/2, vem: 3 = p/2
2
(x - 0) = 2.6(y - 1)
2
x = 12y - 12
p = 6. Logo,
2
x - 12y + 12 = 0, que é a equação procurada.
Parte superior do formulário
Lógico que você já ouviu falar das antenas parabólicas. Se você observar a figura e a definição de
parábola, deve deduzir sua utilização.
Todas as retas que incidam perpendicularmente na parábola "refletem" e se concentram no foco. As antenas
parabólicas recebem raios paralelos e concentram estes raios no foco onde existe um receptor em que todos os sinais
fracos se concentram tornando-se um sinal forte.
48
TABELA 20: Dadas as equações das elipses, calcule o eixo maior (2a),
o eixo menor (2b), a distância focal (2c), os focos F1 e F2 e a
excentricidade (e),
N
1
2
3
4
5
Equação
2a
x2
25
y2
16
1
x2
16
y2
25
1
x 1
9
2
x 4
4
2
y 2
4
2
y 2
25
2
2b
2c
1
1
4x²+9y²-36=0
49
F1
F2
e
TABELA 21: Reconheça as curvas das equações dadas.
N
Equação
1
2x+3y+4=0
2
x²-7x+12=0
3
x²+y²+4x+2y-5=0
4
x2
9
y2
4
5
x2
9
y
4
6
x2
9
y2
4
1
7
x2
9
y2
4
1
8
x
9
y2
4
1
9
x
9
y
4
Nome da curva
1
1
1
10
4x² +9y²=36
11
4x² -9y²=36
12
x² = 4y
13
x² +y²-4x-6y-8=0
14
x²+y²-6x-4y+20=0
50
EXERCÍCIOS PARA PROVA
1 A distância entre o centro da circunferência de equação
x² + y² + 8x – 6y = 0 e o foco de coordenadas positivas da elipse de equação
a)
58 b)
x2
25
y2
16
1 é:
56 c)4 d) 7 e) 12
2) Considere as equações apresentadas na coluna da esquerda e os nomes das curvas planas descritas na
coluna da direita. Associe a 2ª coluna com a 1ª coluna
A associação que relaciona corretamente a equação ao tipo de curva plana na sequencia de cima para
baixo, é:
a) I, IV, II, V e III b) I, V, III, IV e II c) II, III, V, I e IV
d) III, II, IV, I e V
e) IV, II, V, I e III
3. (Uff ) As equações y - 2x = 0, y + x2 = 0 e
y2 - x2 + 1 = 0 representam no plano, respectivamente:
a) uma reta, uma hipérbole e uma parábola
b) uma parábola, uma hipérbole e uma reta
c) uma reta, uma parábola e uma elipse
d) uma elipse, uma parábola e uma hipérbole
e) uma reta, uma parábola e uma hipérbole
4. (Unirio) As equações x2 - 9y2 - 6x - 18y - 9 = 0, x2 + y2 - 2x + 4y + 1 = 0 e x2 - 4x - 4y + 8 = 0
representam, respectivamente, uma:
a) hipérbole, uma elipse e uma parábola.
b) hipérbole, uma circunferência e uma reta.
c) hipérbole, uma circunferência e uma parábola.
d) elipse, uma circunferência e uma parábola.
e) elipse, uma circunferência e uma reta.
5. (Cesgranrio ) O gráfico que melhor representa a curva de equação x2 + 16y2 = 16 é:
51
6. (Unirio ) A área do triângulo PF1F2, onde P(2,-8) e F1 e F2 são os focos da elipse de equação x2/25 +
y2/9 = 1, é igual a:
a) 8 b) 16 c) 20 d) 32 e) 64
7. (Cesgranrio) A equação 9x2 + 4y2 - 18x - 27 = 0 representa, no plano cartesiano, uma curva fechada. A
área do retângulo circunscrito a essa curva, em unidades apropriadas, vale:
a) 36 b) 24 c) 18 d) 16 e) 12
8. (Uece) A área do quadrilátero cujos vértices são as interseções da elipse 9x2+25y2=225 com os eixos
coordenados é igual, em unidades de área, a:
a) 30 b) 32 c) 34 d) 36
9. (Ufc ) Um segmento de reta desloca-se no plano cartesiano de tal forma que uma de suas
extremidades permanece sempre no eixo y e o seu ponto médio permanece sempre no eixo x. Então, a
sua outra extremidade desloca-se ao longo de uma:
a) circunferência. b) parábola. c) reta.
d) elipse.
e) hipérbole.
10. (Ufpi ) O gráfico da equação x2 - y2 = 4 representa uma hipérbole. Os focos dessa hipérbole são:
a)
1
,0 e
2
1
,0
2
c) (2 2 , 0) e (-2 2 ,0) d) (0,
e) 0,
b) (2, 0) e (-2, 0)
2 ) e (0, - 2 )
1
1
e 0,
2
2
11. (Ufc ) O número de pontos de interseção das curvas x2 + y2 = 4 e (x2/15) + (y2/2) = 1 é igual a:
a) 0 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
12. (Fgv) No plano cartesiano, a curva de equações paramétricas x=2cost e y=5sent com t
a) uma senoide
b) uma cossenoide
c) uma hipérbole
d) uma circunferência
e) uma elipse
lR é:
13. A expressão (x²/100)+(y²/36)=1 é a equação reduzida de uma elipse de
a) excentricidade 5/3.
b) distância focal 16.
c) eixo menor igual a 6.
d) eixo maior igual a 10.
e) centro no ponto (5; 6)..
14. (Ufrn ) O conjunto dos pontos P = (x,y), que estão a uma mesma distância do ponto F = (0,2) e do eixo
ox, no plano cartesiano xy é
a) a parábola de equação y = (x2/2) + 4.
b) a parábola de equação y = (x2/4) + 1.
c) a parábola de equação y = 4x 2 +1.
d) a parábola de equação y = 2x2 +1.
52
15. (Pucmg ) O gráfico da curva de equação (x2/4) - (y2/9) = 1 é uma:
a) circunferência.
b) elipse.
c) hipérbole.
d) parábola.
16. (Unifesp ) A área sombreada na figura,
limitada pela elipse e pela reta indicadas, é:
a) π. b) 2π. c) 3π. d) 4π. e) 6π.
17. (Ufpe) Considere dois pontos distintos A e B de um plano. O lugar geométrico dos pontos P deste
plano tal que a soma das distâncias de P aos pontos A e B é constante, é uma curva denominada:
a) circunferência b) parábola c) hipérbole
d) elipse e) reta
18. (Ufc ) No plano cartesiano, x2 - y2 + 5x - 5y = 0 é uma equação de:
a) um conjunto vazio. b) um conjunto unitário.
c) uma hipérbole.
d) duas retas paralelas.
e) duas retas concorrentes.
19. (Unifesp ) A parábola y = x2 - nx + 2 tem vértice no ponto (xn, yn).
O lugar geométrico dos vértices da parábola, quando n varia no conjunto dos números reais, é
a) uma parábola.
b) uma elipse.
c) um ramo de uma hipérbole.
d) uma reta.
e) duas retas concorrentes.
20. (Fatec) As intersecções das curvas de equações x2 + y2 - 7x - 9 = 0 e y2 = x + 2 são vértices de um
polígono. A equação da reta traçada pela intersecção das diagonais desse polígono, e paralela à reta de
equação 2x - y + 3 = 0, é
a) x + 2y - 2 = 0 b) x + 2y + 2 = 0 c) 2x - y + 4 = 0
d) 2x - y - 2 = 0 e) 2x - y + 2 = 0
21. (Udesc ) Analise as afirmações dadas a seguir, classifique-as como verdadeiras (V) ou falsas (F).
( ) A equação x2 - 2x + y2 + 2y + 1 = 0 representa uma circunferência que é tangente, tanto ao eixo das
abscissas quanto ao eixo das ordenadas.
( ) A elipse de equação 9x2 + 4y2 = 36 intercepta a hipérbole de equação x2 - 4y2 = 4 em apenas dois
pontos, que são os vértices da hipérbole.
( ) O semieixo maior da elipse 9x2 + 4y2 = 36 é paralelo ao eixo real da hipérbole x2 - 4y2 = 4.
Assinale a alternativa que contém a sequência correta, de cima para baixo.
a) V - V - V
b) V - V - F
c) F - V - F d) F - F - V e) V - F - F
53
22. (Uft ) Considere IR o conjunto dos números reais e b IR . Encontre os valores de b, tais que no plano
cartesiano xy, a reta y = x + b intercepta a elipse
x2
4
y2
1 em um único ponto. A soma dos valores de b
é:
a) 0 b) 2 c) 2 5 d) 5 e) 2 5
23. (Ufrn) Um arquiteto projetou, para um salão de dimensões 22 m por 18 m, um teto de gesso em
formato de elipse com o eixo maior medindo 20 m e o eixo menor, 16 m, conforme ilustra a figura abaixo.
O aplicador do gesso afirmou que saberia desenhar a elipse, desde que o arquiteto informasse as
posições dos focos. Para orientar o aplicador do gesso, o arquiteto informou que, na direção do eixo
maior, a distância entre cada foco e a parede mais próxima é de
a) 3 m. b) 4 m. c) 5 m. d) 6 m.
24. (Unesp) Suponha que um planeta P descreva uma órbita elíptica em torno de uma estrela O, de modo
que, considerando um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, sendo a estrela O a origem do
sistema, a órbita possa ser descrita aproximadamente pela equação
x2
100
y2
= 1, com x e y em
25
milhões de quilômetros.
A figura representa a estrela O, a órbita descrita pelo planeta e sua posição no instante em que o ângulo
π
.
4
A distância, em milhões de km, do planeta P à estrela O, no instante representado na figura, é:
a) 2 5 . b) 2 10 . c) 5 2 . d) 10 2 . e) 5 10 .
PÔA mede
25. (Ufrn) O conjunto dos pontos P = (x,y), que estão a uma mesma distância do ponto F = (0,2) e do eixo
ox, no plano cartesiano xy é
a) a parábola de equação y = (x2/2) + 4.
b) a parábola de equação y = (x2/4) + 1.
2
c) a parábola de equação y = 4x +1.
d) a parábola de equação y = 2x2 +1.
54
26. (Puc) O gráfico da curva de equação (x2/4) - (y2/9) = 1 é uma:
a) circunferência. b) elipse. c) hipérbole. d) parábola.
27. (Unesp) A figura representa uma elipse.
A partir dos dados disponíveis, a equação desta elipse é
a)
d)
x2
5
+
x
5
9
y2
7
= 1.
2
+
y
b)
7
16
2
= 1.
e)
x
5
2
+
9
x
3
2
+
5
y
7
2
y
4
c) (x - 5)2 + (y - 7)2 = 1.
= 1.
16
2
7
= 1.
28. (Fuvest) A elipse x2 + (y2/2) = 9/4 e a reta y = 2x + 1, do plano cartesiano, se interceptam nos pontos A
e B. Pode-se, pois, afirmar que o ponto médio do segmento AB é:
a) (-2/3, -1/3) b) (2/3, -7/3) c) (1/3, -5/3) d) (-1/3, 1/3) e) (-1/4, 1/2)
29. (Fgv 2013) Sendo m o maior valor real que x pode assumir na equação analítica
(x 2)2 4(y 5)2 36, e n o maior valor real que y pode assumir nessa mesma equação, então, m n é
igual a
a) 8. b) 7. c) 6. d) 4. e) 3.
30. (Udesc 2013) A área delimitada por uma elipse cuja equação é
x2
y2
a2
b2
Então, a área da região situada entre as elipses de equações 16x2 25y 2
a) 12π u.a. b) 20π u.a. c) 8π u.a. d) 256π u.a. e) π u.a.
1 é dada por A
400 e 16x 2
9y 2
abπ.
144 é:
31. (Uem 2013) Sobre a cônica de equação x 2 4y 2 9, assinale o que for correto.
01) Trata-se de uma elipse.
02) A cônica intercepta o eixo das abscissas em (3,0) e (−3,0).
04) Se A e B são pontos da cônica que não são colineares com os focos D e E da cônica, os triângulos ADE
e BDE possuem o mesmo perímetro.
08) A circunferência centrada na origem e de raio 2 tangencia essa cônica.
16) O ponto 2 2,
1
pertence à cônica.
2
GABARITO
1)A 2)A 3)E 4)C 5)C 6)D 7)B 8)A 9)D 10)C 11)C12)E 13)B 14)B 15)V 16)C 17)D 18)E 19)A 20)D
21)B 22)A 23)C 24)B 25)B 26)C 27)B 28)D 29)C 30) C 31) 01 + 02 + 04 + 16 = 23.
55
FUVEST PRIMEIRA FASE
01-(Fuvest 1994) A reta s passa pelo ponto (0, 3)
e é perpendicular à reta AB onde A = (0, 0) e B é
o centro da circunferência x 2 + y2 - 2x - 4y = 20.
Então a equação de s é:
a) x - 2y = - 6 b) x + 2y = 6 c) x + y = 3
d) y - x = 3
e) 2x + y = 6
a) -4 < m < 0
d) -1 < m < 1
A = (0, 4), B = (2, 3) e C é um ponto qualquer da
circunferência x 2 + y2 = 5. A abcissa do ponto C
que torna a área do triângulo ABC a menor
possível é:
a) - 1 b) - 3/4 c) 1 d) 3/4 e) 2
pontos do plano cartesiano. Nesse plano, o
segmento AC é obtido do segmento AB por uma
rotação de 60°, no sentido anti-horário, em torno
do ponto A. As coordenadas do ponto C são:
5
a) (2, 2 + 3 ).
b) 1 3,
2
c) (2, 1 + 3 ).
d) (2, 2 - 3 ).
7. (Fuvest 1996) Para cada número real n seja
Pn=(xn,yn) o ponto de intersecção das retas nx +
y = 1 e x - ny = 1. Sabendo-se que todos os
pontos Pn pertencem a uma mesma
circunferência, qual é o centro dessa
circunferência?
a) (1/2, 1/2)
b) (0,0) c) (-1/2, 1/2)
d) (-1/2, -1/2) e) (1,1)
3 , 2 + 3 ).
3. (Fuvest 95) Uma circunferência de raio 2,
localizada no primeiro quadrante, tangencia o
eixo x e a reta de equação 4x - 3y = 0.
Então a abscissa do centro dessa circunferência
é:
a) 1
b) 2
c) 3 d) 4
)5
8. (Fuvest 1989) O segmento AB é diâmetro da
circunferência de equação x 2 + y2 = 10y. Se A é
o ponto (3, 1), então B é o ponto
a) (-3, 9) b) (3, 9) c) (0, 10) d) (-3, 1) e) (1, 3)
4. (Fuvest 1990) A reta y = mx (m > 0) é tangente
9. (Fuvest 1997) As retas r e s são
à circunferência (x - 4)2 + y2 = 4. Determine o
seno do ângulo que a reta forma com o eixo x.
1
1
3
a) .
b) .
c)
.
2
2
5
d)
2
.
2
e)
c) m < 0
6. (Fuvest 1996) Considere o triângulo ABC, onde
2. (Fuvest 1995) Sejam A = (1, 2) e B = (3, 2) dois
e) (1 +
b) m > 0
e) m > - 4
perpendiculares e interceptam-se no ponto (2, 4).
A reta s passa pelo ponto (0, 5). Uma equação
da reta r é
a) 2y + x = 10 b) y = x +2
c) 2y - x = 6
d) 2x + y = 8
e) y = 2x
5.
10. (Fuvest 1997) Na figura a seguir, A é um ponto
do plano cartesiano, com coordenadas (x, y).
Sabendo que A está localizado abaixo da reta r e
acima da reta s, tem-se
5. (Fuvest 1996) A figura adiante mostra parte do
gráfico de uma função polinomial f(x) de grau 3.
O conjunto de todos os valores reais de m para
os quais a equação f(x)=m tem três raízes reais
distintas é:
56
x
x
e y < -x + 1 b) y < ou y > -x + 1
2
2
x
x
c) < y e y > -x + 1 d) -x + 1 < y <
2
2
x
e) < y < -x + 1
2
a) y <
11. (Fuvest 1998) Uma reta de coeficiente angular
m > 0 passa pelo ponto (2,0) e é tangente à
circunferência inscrita no quadrado de vértices
(1,1), (5,1), (5,5) e (1,5). Então
15. (Fuvest 2000) Se (m + 2n, m - 4) e (2 - m, 2n)
representam o mesmo ponto do plano
cartesiano, então m n é igual a:
a) -2 b) 0 c)2
d) 1
e) 1/2
16. (Fuvest 2001) O conjunto dos pontos (x, y) do
plano cartesiano, cujas coordenadas satisfazem
a equação (x2 + y2 + 1) . (2x + 3y - 1) . (3x - 2y +
3) = 0, pode ser representado, graficamente, por:
a) 0 < m <
1
3
d) m = 1
b) m =
1
3
e) 1 < m <
c)
1
<m<1
3
5
3
12. (Fuvest-99) Uma reta r determina, no primeiro
quadrante do plano cartesiano, um triângulo
isósceles, cujos vértices são a origem e os
pontos onde a reta intercepta os eixos 0x e 0y.
Se a área desse triângulo é 18, a equação de r é:
a) x - y = 4
b) x - y = 16
c) x + y = 2
d) x + y = 4
e) x + y = 6
17. (Fuvest 2001) A elipse x 2 + (y2/2) = 9/4 e a
13. (Fuvest 2000) Uma circunferência passa pelos
reta y = 2x + 1, do plano cartesiano, se
interceptam nos pontos A e B. Pode-se, pois,
afirmar que o ponto médio do segmento AB é:
a) (-2/3, -1/3) b) (2/3, -7/3) c) (1/3, -5/3)
d) (-1/3, 1/3) e) (-1/4, 1/2)
pontos (2,0), (2,4) e (0,4). Logo, a distância do
centro dessa circunferência à origem é:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
14. (Fuvest 2000) Das regiões hachuradas na
sequência, a que melhor representa o conjunto
dos pontos (x, y), do plano cartesiano,
satisfazendo ao conjunto de desigualdades
x ≥ 0;
y ≥ 0;
x - y + 1 ≥ 0;
18. (Fuvest 2002) Os pontos A = (0, 0) e B = (3,
0) são vértices consecutivos de um
paralelogramo ABCD situado no primeiro
quadrante. O lado AD é perpendicular à reta y =
- 2x e o ponto D pertence à circunferência de
centro na origem e raio 5 . Então, as
coordenadas de C são:
a) (6, 2) b) (6, 1) c) (5, 3)
d) (5, 2) e) (5, 1)
x2 + y2 ≤ 9,
é:
19. (Fuvest 2003) Duas retas s e t do plano
cartesiano se interceptam no ponto (2,2). O
produto de seus coeficientes angulares é 1 e a
57
reta s intercepta o eixo dos y no ponto (0,3). A
área do triângulo delimitado pelo eixo dos x e
pelas retas s e t é:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
Oxy, a circunferência C de equação (x - 2)2 + (y 2)2 = 4 e sejam P e Q os pontos nos quais C
tangencia os eixos Ox e Oy, respectivamente.
Seja PQR o triângulo isósceles inscrito em C, de
base PQ, e com o maior perímetro possível.
20. (Fuvest 2004) Duas irmãs receberam como
herança um terreno na forma do quadrilátero
ABCD, representado a seguir em um sistema de
coordenadas. Elas pretendem dividi-lo,
construindo uma cerca reta perpendicular ao
lado AB e passando pelo ponto P = (a, 0). O
valor de a para que se obtenham dois lotes de
mesma área é:
Então, a área de PQR é igual a:
a) 2 2 - 2 b) 2 2 - 1 c) 2 2
d) 2 2 + 2 e) 2 2 + 4
24. (Fuvest 2010) No plano cartesiano x0y, a reta
de equação x + y = 2 é tangente à circunferência
C no ponto (0,2). Além disso, o ponto (1,0)
pertence a C. Então, o raio de C é igual a
3 2
2
9 2
d)
2
a)
5 2
2
11 2
e)
2
b)
c)
7 2
2
25. (Fuvest 2011) No plano cartesiano, os pontos
21. (Fuvest 2006) O conjunto dos pontos (x,y), do
(0, 3) e (-1, 0) pertencem à circunferência C.
Uma outra circunferência, de centro em (-1/2,4) é
tangente a C no ponto (0,3). Então, o raio de C
vale
5
5
5
3 5
a)
b)
c)
d)
e) 5
8
4
2
4
plano cartesiano que satisfazem t2 - t - 6 = 0,
onde
t = │x - y│, consiste de
a) uma reta. b) duas retas.
c) quatro retas. d) uma parábola.
e) duas parábolas.
26.(FUVEST-2012) No plano cartesiano Oxy , a
circunferência C é tangente ao eixo Ox no ponto
de abscissa 5 e contém o ponto (1, 2). Nessas
condições, o raio de C vale
a) 5 b) 2 5 c) 5 d) 3 5 e) 10
5-1
b) 5 - 2 2
d) 2 + 5
e) 5 + 2 2
a)
c) 5 -
2
22. (Fuvest 2008) A circunferência dada pela
27.(Fuvest 2013) São dados, no plano
cartesiano, o ponto P de coordenadas (3,6) e a
circunferência C de equação
equação x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0 é tangente aos
eixos coordenados x e y nos pontos A e B,
conforme a figura.
O segmento MN é paralelo ao segmento AB e
contém o centro C da circunferência. É correto
afirmar que a área da região hachurada vale
2
2
x 1
y 2
1. Uma reta t passa por P e é
tangente a C em um ponto Q. Então a distância
de P a Q é
a) 15 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20
28-(FUVEST-2014) Considere o triângulo ABC
no plano cartesiano com vértices A = (0, 0), B =
(3, 4) e C = (8, 0). O retângulo MNPQ tem os
vértices M e N sobre o eixo das abscissas, o
vértice Q sobre o lado A—B e o vértice P sobre o
lado B —C. Dentre todos os retângulos
construídos desse modo, o que tem área
máxima é aquele em que o ponto P é
a) (4, 16/ 5 ) b) ( 17 /4 , 3) c) (5, 12 /5 )
d) ( 11/ 2 , 2) e) (6, 8 /5)
a) π - 2 b) π + 2 c) π + 4 d) π + 6 e) π + 8
23. (Fuvest 2009) Considere, no plano cartesiano
58
29-(FUVEST-2015) A equação
X² + 2x +y² + my =n, em que m e n são
constantes, representa uma circunferência no
plano cartesiano. Sabe-se que a reta y= -x + 1
contém o centro da circunferência e a intersecta
no ponto (23, 4). Os valores de m e n são,
respectivamente,
a) 24 e 3 b) 4 e 5 c) 24 e 2 d) 22 e 4 e) 2 e 3
GABARITO
1) B 2)A 3)D 4)B 5)A 6)C 7)A 8)A 9)E 10)E 11)C
12)E 13)D 14)A 15)E 16)D 17)D 18)E 19)B 20)B
21)B 22)B 23)D 24)B 25)E 26)C 27)D 28)D 29)A
FUVEST SEGUNDA FASE
1. (Fuvest 1994) Fixado o ponto N = (0, 1), a cada
ponto P do eixo das abscissas associamos o ponto
P' ≠ N obtido pela intersecção da reta PN com a
circunferência x2 + y2 = 1.
a) Que pontos do eixo das abscissas foram
associados aos pontos (x, y) da circunferência, com
y < 0?
b) Quais as coordenadas do ponto P' da
circunferência, associado a P = (c, 0), c ≠ 0?
2. (Fuvest 1995) Sejam A = (0, 0), B = (0, 5) e C = (4,
5. (Fuvest 1993) Determine as equações das retas
3) pontos do plano cartesiano.
a) Determine o coeficiente angular da reta BC.
b) Determine a equação da mediatriz do segmento
BC. O ponto A pertence a esta mediatriz?
c) Considere a circunferência que passa por A, B e
C. Determine a equação da reta tangente a esta
circunferência no ponto A.
do plano que passam pela origem do sistema de
coordenadas e que não interceptam a curva do
plano dada pela equação x2/4 - y2/9 = 1
6. (Fuvest 1996) Considere a função f(x) =
x (1 2x2
a) Determine constantes reais α, β e γ de modo que
(f(x))2 = α [(x2 + β)2 + γ]
b) Determine os comprimentos dos lados do
retângulo de área máxima, com lados paralelos
aos eixos coordenados, inscrito na elipse de
equação 2x2 + y2 = 1.
3. (Fuvest 1991) a) As extremidades de um diâmetro
de uma circunferência são (-3, 1) e (5, -5).
Determine a equação da circunferência.
b) Determine a equação da circunferência que
passa pelo ponto (9, 3 ) e que é tangente às retas
y=0ey= 3.
7. (Fuvest 1996) Considere, no plano cartesiano, os
4. (Fuvest 1992) Seja S a região do plano cartesiano
pontos P = (0, -5) e Q = (0, 5). Seja X = (x, y) um
ponto qualquer com x > 0.
representada pelo triângulo ABC e seu interior.
Determine um sistema de inequações que
caracterize os pontos (x, y) pertencentes a S.
a) Quais são os coeficientes angulares das retas PX
e QX?
b) Calcule, em função de x e y, a tangente do
ângulo PXQ.
59
c) Descreva o lugar geométrico dos pontos X = (x, y)
tais que x > 0 e PXQ = (π/4) radianos.
8. (Fuvest 1997) Considere as circunferências que
passam pelos pontos (0, 0) e (2, 0) e que são
tangentes à reta y = x + 2.
a) Determine as coordenadas dos centros dessas
circunferências.
b) Determine os raios dessas circunferências.
a) Determine, em função de α, a área da região
sombreada na figura.
b) Para que valor de α essa área é máxima?
9. (Fuvest 1998) Um quadrado está inscrito numa
circunferência de centro (1,2). Um dos vértices do
quadrado é o ponto (-3,-1). Determine os outros três
vértices do quadrado.
13. (Fuvest 2001) A hipotenusa de um triângulo
retângulo está contida na reta r: y = 5x - 13, e um de
seus catetos está contido na reta s: y = x - 1. Se o
vértice onde está o ângulo reto é um ponto da forma
(k, 5) sobre a reta s, determine
10. (Fuvest 1999) Um pirata enterrou um tesouro
numa ilha e deixou um mapa com as seguintes
indicações: o tesouro está enterrado num ponto da
linha reta entre os dois rochedos; está a mais de 50
m do poço e a menos de 20 m do rio (cujo leito é
reto).
a) todos os vértices do triângulo;
b) a área do triângulo.
14. (Fuvest 2002) Sejam A = (0, 0), B = (8, 0) e C = (-
1, 3) os vértices de um triângulo e D = (u, v) um
ponto do segmento BC . Sejam E o ponto de
intersecção de AB com a reta que passa por D e é
paralela ao eixo dos y e F o ponto de intersecção de
AC com a reta que passa por D e é paralela ao eixo
dos x.
a) Determine, em função de u, a área do
quadrilátero AEDF.
b) Determine o valor de u para o qual a área do
quadrilátero AEDF é máxima.
a) Descreva, usando equações e inequações, as
indicações deixadas pelo pirata, utilizando para isto
o sistema de coordenadas mostrado na figura.
b) Determine o menor intervalo ao qual pertence a
coordenada x do ponto (x, 0) onde o tesouro está
enterrado.
15. (Fuvest 2003) a) A reta r passa pela origem do
plano cartesiano e tem coeficiente angular m > 0. A
circunferência C passa pelos pontos (1,0) e (3,0) e
tem centro no eixo x. Para qual valor de m a reta r é
tangente a C?
b) Suponha agora que o valor de m seja menor que
aquele determinado no item anterior. Calcule a área
do triângulo determinado pelo centro de C e pelos
pontos de intersecção de r com C.
11. (Fuvest 1999) A reta r tem equação 2x + y = 3 e
intercepta o eixo x no ponto A. A reta s passa pelo
ponto P=(1, 2) e é perpendicular a r. Sendo B e C os
pontos onde s intercepta o eixo x e a reta r,
respectivamente,
a) determine a equação de s.
b) calcule a área do triângulo ABC.
16. (Fuvest 2004) Na figura a seguir, os pontos A, B e
C são vértices de um triângulo retângulo, sendo B o
ângulo reto. Sabendo-se que A = (0, 0), B pertence
à reta x - 2y = 0 e P = (3, 4) é o centro da
circunferência inscrita no triângulo ABC, determinar
as coordenadas
12. (Fuvest 2000) Considere os pontos A = (-2, 0), B
= (2, 0), C = (0, 3) e P = (0, α), com 0 < α < 3. Pelo
ponto P, traçamos as três retas paralelas aos lados
do triângulo ABC.
60
Os segmentos A1B1, A2B2 , A3B3 são paralelos ao
eixo Oy, os segmentos B0D1, B1D2, B2D3 são
paralelos ao eixo Ox, e a distancia entre Bi e Bi+1 é
igual a 9, para 0 ≤ i ≤ 2.
a) do vértice B.
b) do vértice C.
17. (Fuvest 2006) A reta s passa pela origem O e
pelo ponto A do primeiro quadrante. A reta r é
perpendicular à reta s, no ponto A, e intercepta o
eixo x no ponto B e o eixo y no ponto C. Determine
o coeficiente angular de s se a área do triângulo
OBC for o triplo da área do triângulo OAB.
Nessas condições:
a) Determine as abscissas de A1, A2, A3.
b) Sendo Ri o retângulo de base Ai Ai+1 e altura
Ai+1Di+1, para 0 ≤ i ≤ 2, calcule a soma das áreas
dos retângulos R0, R1 e R2.
18. (Fuvest 2006) a) Determine os pontos A e B do
plano cartesiano nos quais os gráficos de y = (12/x)
- 1 e x + y - 6 = 0 se interceptam.
b) Sendo O a origem, determine o ponto C no
quarto quadrante que satisfaz AOB = ACB e que
pertence à reta x = 2.
22. (Fuvest 2009) No plano cartesiano Oxy, a
Nota: AOB indica o ângulo cujos lados são OA e OB
e ACB indica o ângulo cujos lados são CA e CB.
Assim:
a) Determine as coordenadas do ponto P.
b) Escreva uma equação para a circunferência C.
c) Calcule a área do triangulo APQ.
circunferência C tem centro no ponto A = (-5, 1) e é
tangente à reta t de equação 4x - 3y - 2 = 0 em um
ponto P. Seja ainda Q o ponto de intersecção da
reta t com o eixo Ox.
20. (Fuvest 2008) São dados, no plano cartesiano de
origem O, a circunferência de equação x 2 + y2 = 5,
23. (Fuvest 2010) No sistema ortogonal de
o ponto P = (1, 3 ) e a reta s que passa por P e é
paralela ao eixo y. Seja E o ponto de ordenada
positiva em que a reta s intercepta a circunferência.
Assim sendo, determine
coordenadas cartesianas Oxy da figura, estão
representados a circunferência de centro na origem
8
e raio 3, bem como o gráfico da função y
x
a) a reta tangente à circunferência no ponto E.
b) o ponto de encontro das alturas do triângulo
OPE.
21. (Fuvest 2009) Na figura a seguir, a reta r tem
equação y = 2( 2 )x + 1 no plano cartesiano Oxy.
Além disso, os pontos B0, B1, B2, B3 estão na reta
r, sendo B0 = (0,1). Os pontos A0, A1, A2, A3 estão
no eixo Ox, com A0 = O = (0, 0). O ponto Di
pertence ao segmento AiBi , para 1 ≤ i ≤3.
Nessas condições, determine
a) as coordenadas dos pontos A, B, C, D de
interseção da circunferência com o gráfico da
função.
61
11)
12)
13)
14)
b) a área do pentágono OABCD.
Gabarito:
1) a) P (a, 0)/-1 < a <1 b) P' [2c/(c2+1); (c21)/(c2+1)]
2) a) m = -1/2 b) y = 2x e o ponto A pertence à
mediatriz
c) y = -x/2
3) a) (x - 1)2 + (y + 2) 2 = 25
3 ) 2 = 12
b) λ1: (x - 6) 2 + (y - 2
λ2: (x - 14) 2 + (y - 14
3x 2y 4
0
4) 3x 2y 4
y 1
0
a) x - 2y = -3
b) 81/20
2
a) - α + 2α + 3 b) A área é máxima para α = 1.
a) (6, 5), (3, 2) e (4, 7) b) 6
a) (17u + 8) . (8 - u)/54 b) 64/17
2m 1 3m2
3
b)
3
m2 1
16) a) B = (6, 3)b) C = (2, 11)
15) a)
2
18) a) A (4; 2) e B (3; 3) b) C (2; 1- 5 )
2
20) a) x + 2y - 5 = 0. b) (2 3 +1; 0).
17)
3 2
) = 196/3
3
21) a) 3, 6 e 9. b) 9 . (1 + 6 2 )u.a.
22) a) P (-1,-2) b) (x + 5)2 + (y - 1)2=25 c) 25/4
u.a.
23)
a) A 2 2; 1 , B 1; 2 2 , C
1; 2 2 e D
2 2; 1
b) 7 2 2
5) y = mx, │ m │ ≥ 3/2 ou x = 0
6) a) α = - 2, β = -1/4 e γ = - 1/16
b) 1 e 2
7) a) O coeficiente angular da reta PX é igual a
(y+5)/x e o c.a. da reta QX é igual a (y-5)/x.
b) Consideremos tg do ângulo PXQ = σ
1) se σ = π/2; não existe tg σ
2) tg σ = 10x/(x2+y2-25)
c) Graficamente é o arco da circunferência de centro
(5, 0) e raio 5 2 contido no semiplano x>0.
8) a) (1,1) e (1, -7) b) 2 e 5 2
9) Os vértices pedidos são: (5, 5), (4, -2) e (-2, 6).
10) a) 0 < x < 120
y=0
x2 + (y - 40)2 > 502
x
y
20 < 20 .
b) 30 < x < 20 . (1 +
2
2)
UNESP
1. (Unesp 1994) Seja A a intersecção das retas r,
é igual a distância de A à origem. Então a
abscissa de B é igual a:
a) 5/6 b) 5/7 c) 6/7 d) 6/5 e) 7/5
de equação y = 2x, e s, de equação y = 4x - 2. Se
B e C são as intersecções respectivas dessas
retas com o eixo das abscissas, a área do
triângulo ABC é:
a) 1/2. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4.
4. (Unesp 1993) Considere uma circunferência de
raio r < 4, com centro na origem de um sistema
de coordenadas cartesianas. Se uma das
tangentes à circunferência pelo ponto (4, 0) forma
com o eixo x um ângulo de 30°, então o ponto de
tangência correspondente é:
2. (Unesp 1995) Dado um sistema de coordenadas
cartesianas no plano, considere os pontos A(2, 2),
B(4, -1) e C(m, 0). Para que AC + CB seja
mínimo, o valor de m deve ser:
a) 7/3. b) 8/3. c) 10/3. d) 3,5. e) 11/3.
a) (1, - 3 ) b) (1, - 2 ) c) (
3. (Unesp 1991) Seja B ≠ (0, 0) o ponto da reta de
equação y = 2x cuja distância ao ponto A = (1, 1)
62
1
,- 3)
2
d) (
1
1
, - 2 ) e) ( ,
2
2
3
2
a) 4. b) 4 2 . c) 2.
d) 2 2 . e) 2 .
)
10. (Unesp 2000) Seja S = {(x, y) e IR2: x 2 + y2 ≤
16 e x2 + (y - 1)2 ≥ 9} uma região do plano. A
área de S é:
a) 5. b) 7. c) 5π. d) 7π. e) 7π2.
5. (Unesp 1990) A distância do vértice da parábola
y = (x - 2) (x - 6) à reta y = (4/3)x + 5 é:
a) 72/25 b) 29/25 c) 43
d) 43/25 e) 43/5
11. (Unesp 2001) A equação da circunferência com
6. (Unesp 1996) Os pontos O, A e B, do plano
centro no ponto C= (2,1) e que passa pelo ponto
P= (0,3) é dada por
a) x2 + (y - 3)2 = 0.
b) (x - 2)2 + (y - 1)2 = 4.
c) (x - 2)2 + (y - 1)2 = 8.
d) (x - 2)2 + (y - 1)2 = 16.
e) x2 + (y - 3)2 = 8.
cartesiano da figura adiante, são os vértices de
um triângulo equilátero cuja medida dos lados é
dada por 3 .
As equações das retas AB e OB são,
respectivamente,
12. (Unesp 2003) O triângulo PQR, no plano
cartesiano, de vértices P=(0,0), Q=(6,0) e R=(3,5),
é
a) equilátero.
b) isósceles, mas não equilátero.
c) escaleno.
d) retângulo.
e) obtusângulo.
a) y = ( 2 ) . x - 3 e y = (- 2 ) . x.
b) y = ( 3 ) . x - 2 e y = (- 3 ) . x.
c) y = ( 3 ) . x - 3 e y = (- 3 ) . x.
d) y = x +
e) y = 3x +
3 e y = -x.
3 e y = -3x.
13. (Unesp 2003) A figura representa uma elipse.
7. (Unesp 1989) Quando "a" varia sobre todos os
números reais, as equações y = ax + 1
representam
a) um feixe de retas paralelas.
b) um feixe de retas passando por (1, 0).
c) todas as retas passando pela origem.
d) todas as retas passando por (0, 1).
e) todas as retas passando por (0, 1), exceto
uma.
8. (Unesp 1998) Num sistema de coordenadas
A partir dos dados disponíveis, a equação desta
elipse é
cartesianas ortogonais xOy, considere a reta r de
equação y=x+1 e o ponto P=(2, 1). O lugar
geométrico dos pontos do plano, simétricos dos
pontos de r em relação a P, é a reta de equação
a) y = x - 1. b) y = - x + 1. c) y = x + 3.
d) y = x - 3. e) y = - x + 2.
a)
b)
9. (Unesp 1999) O comprimento da corda que a
x2
5
+
x
5
9
y2
7
2
+
= 1.
y
7
16
c) (x - 5)2 + (y - 7)2 = 1.
reta y = x determina na circunferência de equação
(x + 2)2 + (y - 2)2 = 16 é
63
2
= 1.
d)
e)
x
5
2
+
9
x
3
5
2
+
y
7
2
= 1.
16
y
4
7
2
= 1.
14. (Unesp 2004) O conjunto de todos os pontos
P(x, y) do plano, com y ≠ 0, para os quais x e y
satisfazem a equação sen [y/(x 2 + 1)] = 0 é uma
a) família de parábolas.
b) família de circunferências centradas na origem.
c) família de retas.
d) parábola passando pelo ponto Q(0,1).
e) circunferência centrada na origem.
A distância, em milhões de km, do planeta P à
estrela O, no instante representado na figura, é:
a) 2 5 . b) 2 10 . c) 5 2 . d) 10 2 . e)
5 10 .
15. (Unesp 2006) Num sistema de coordenadas
cartesianas ortogonais, o coeficiente angular e a
equação geral da reta que passa pelos pontos P
e Q, sendo P = (2, 1) e Q o simétrico, em relação
ao eixo y, do ponto Q' = (1, 2) são,
respectivamente:
a) 1/3; x - 3y - 5 = 0.
b) 2/3; 2x - 3y -1 = 0.
c) - 1/3; x + 3y - 5 = 0.
d) 1/3; x + 3y - 5 = 0.
e) - 1/3; x + 3y + 5 = 0.
18. (Unesp 2010) A figura mostra a representação
de algumas das ruas de nossas cidades. Essas
ruas possuem calçadas de 1,5 m de largura,
separadas por uma pista de 7 m de largura.
Vamos admitir que:
I. os postes de iluminação projetam sobre a rua
uma área iluminada na forma de uma elipse de
excentricidade 0,943;
II. o centro dessa elipse encontra-se
verticalmente abaixo da lâmpada, no meio da rua;
III. o eixo menor da elipse, perpendicular à
calçada, tem exatamente a largura da rua
(calçadas e pista).
16. (Unesp 2007) Um triângulo tem vértices P = (2,
1), Q = (2, 5) e R = (x0, 4), com x0 > 0. Sabendose que a área do triângulo é 20, a abscissa x 0 do
ponto R é:
a) 8. b) 9. c) 10. d) 11. e) 12.
Se desejarmos que as elipses de luz se
tangenciem nas extremidades dos eixos maiores,
a distância, em metros, entre dois postes
consecutivos deverá ser de aproximadamente:
17. (Unesp 2008) Suponha que um planeta P
descreva uma órbita elíptica em torno de uma
estrela O, de modo que, considerando um
sistema de coordenadas cartesianas ortogonais,
sendo a estrela O a origem do sistema, a órbita
possa ser descrita aproximadamente pela
equação
x2
100
Dado: 0,9432 ≈ 0,889 e
y2
= 1, com x e y em
25
milhões de quilômetros.
A figura representa a estrela O, a órbita descrita
pelo planeta e sua posição no instante em que o
ângulo PÔA mede
0,111
a) 35. b) 30. c) 25. d) 20. e) 15.
π
.
4
TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES:
Uma fábrica utiliza dois tipos de processos, P1 e
P2, para produzir dois tipos de chocolates, C1 e
C2. Para produzir 1 000 unidades de C1 são
exigidas 3 horas de trabalho no processo P1 e 3
horas em P2. Para produzir 1 000 unidades de C2
64
são necessárias 1 hora de trabalho no processo
P1 e 6 horas em P2. Representando por x a
quantidade diária de lotes de 1 000 unidades de
chocolates produzidas pelo processo P1 e por y a
quantidade diária de lotes de 1000 unidades de
chocolates produzidas pelo processo P2, sabe-se
que o número de horas trabalhadas em um dia no
processo P1 é 3x + y, e que o número de horas
trabalhadas em um dia no processo P2 é 3x + 6y.
d)
19. (Unesp 2010) Dado que no processo P1 pode-
se trabalhar no máximo 9 horas por dia e no
processo P2 pode-se trabalhar no máximo 24
horas por dia, a representação no plano
cartesiano do conjunto dos pontos (x, y) que
satisfazem, simultaneamente, às duas restrições
de número de horas possíveis de serem
trabalhadas nos processos P1 e P2, em um dia,
é:
e)
20. (Unesp 2010) Dado que o lucro na venda de
uma unidade do chocolate produzido pelo
processo P1 é de R$ 0,50, enquanto que o lucro
na venda de uma unidade do chocolate produzido
pelo processo P2 é de R$ 0,80, e se forem
vendidas todas as unidades produzidas em um
dia nos dois processos, no número máximo
possíveis de horas, o lucro obtido, em reais, será:
a) 3.400,00. b) 3.900,00. c) 4.700,00.
d) 6.400,00. e) 11.200,00.
a)
GABARITO
1)A 2)C 3)D 4)A 5)E 6)C 7)E 8)D 9)B 10)D
11)C 12)B 13)B 14)A 15)C 16)E 17)B 18)B
19)E 20)A
b)
c)
65
UNESP – CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS
1. (Unesp 1995) Considere o quadrado de lados
pontos em que r corta os eixos x e y. Seja, ainda,
C o simétrico de B em relação à origem. Se o
triângulo ABC é equilátero, determine a equação
de r.
paralelos aos eixos coordenados e circunscrito à
circunferência de equação: x2 + y2 - 6x - 4y + 12
= 0.
8. (Unesp 1989) Ache os coeficientes angulares
Determine as equações das retas que contêm as
diagonais desse quadrado.
das retas r e s da figura a seguir e verifique se
elas são ortogonais.
2. (Unesp 1994) A figura adiante mostra os
gráficos de uma função exponencial y = ax e da
reta que passa pelo ponto (0, 5/3) e tem
inclinação 10/7. Pelo ponto C = (1/2, 0) passou-se
a perpendicular ao eixo x, que corta os gráficos,
respectivamente, em B e A.
9. (Unesp 1989) Usando apenas o material
permitido nesta prova, esboce um gráfico e
indique por meio de hachuras o conjunto dos
pontos P(x,y) ∈ IR2 que satisfazem ao seguinte
sistema de desigualdades:
Supondo-se que B esteja entre A e C, conforme
mostra a figura, e que a medida do segmento AB
é dada por 8/21, determine o valor de a.
0
xy
x2
y2
1
2
3. (Unesp 1994) Num sistema de coordenadas
cartesianas retangulares de origem 0, considere
os pontos A = (3, 0), B = (3, 5) e C = (0, 5). Seja 'r'
a reta pelo ponto M = (1, 2) e que corta OC e AB
em Q e P, respectivamente, de modo que a área
do trapézio OQPA seja metade da do quadrado
OCBA. Determine a equação de 'r'.
10. (Unesp 1989) Usando apenas o material
permitido nesta prova, determine
aproximadamente os coeficientes angulares das
retas "r" e "s" da figura a seguir, sabendo que as
escalas dos eixos x e y são iguais.
4. (Unesp 1991) Seja AB o diâmetro da
circunferência x2 + y2 - 6x - 8y + 24 = 0 contido
na reta perpendicular a y = x + 7. Calcular as
coordenadas de A e B.
5. (Unesp 1992) Determinar os pontos de abscissa
2 tais que, para cada um deles, o produto de suas
distâncias aos eixos coordenados é igual ao
quadrado de sua distância à reta y = x.
11. (Unesp 1996) Se M = (5/2, 0) é o ponto médio
do segmento cujos extremos são as interseções
da circunferência x2 + y2 + mx - y - 4 = 0 com o
eixo x, determine o centro dessa circunferência.
7. (Unesp 1993) Seja r uma reta pelo ponto ( 3 , -
1). Indiquemos por A e B, respectivamente, os
66
12. (Unesp 1990) A reta r é perpendicular à reta -
3x + 4y - 5 = 0 e passa pelo ponto (1, 2).
Determine os pontos de r que distam 5 unidades
do ponto (1, 2).
13. (Unesp 1997) O tetraedro VABC da figura a
seguir é regular e sua base encontra-se sobre um
plano cartesiano, em relação ao qual seus
vértices têm coordenadas A
1
1
,0 , B ,0 e
2
2
Determine:
C
0,
3
.
2
a) a equação da reta;
b) o dia em que as plantas A e B atingiram a
mesma altura e qual foi essa altura.
16. (Unesp 2000) Considere a elipse de equação
(x2/25)+(y2/9)=1
a) Mostre que o ponto P=(3,12/5) pertence à
elipse e calcule a distância de P ao eixo das
abscissas.
b) Determine os vértices Q e R da elipse que
pertencem ao eixo das abscissas e calcule a área
do triângulo PQR, onde P=(3,12/5).
Dando-se à face ABV uma rotação em torno da
aresta AB, no sentido indicado pela figura, até
fazê-la coincidir com o plano ABC da base, quais
as coordenadas do ponto P que o vértice V
ocupará após a rotação?
17. (Unesp 2001) Dada a reta r de equação 4x +
2y + 5 = 0 e o ponto P = (2,-1), determine
a) o coeficiente angular de r;
14. (Unesp 1998) Os vértices da base de um
b) a equação da reta s que é perpendicular a r e
passa pelo ponto P.
triângulo isósceles são os pontos (1, -1) e (-3, 4)
de um sistema de coordenadas cartesianas
retangulares. Qual a ordenada do terceiro vértice,
se ele pertence ao eixo das ordenadas?
18. (Unesp 2002) Sejam A = (2, 0) e B = (5, 0)
pontos do plano e r a reta de equação y = x/2.
15. (Unesp 2000) Duas plantas de mesma espécie,
a) Represente geometricamente os pontos A e B
e esboce o gráfico da reta r.
A e B, que nasceram no mesmo dia, foram
tratadas desde o início com adubos diferentes.
Um botânico mediu todos os dias o crescimento,
em centímetros, destas plantas. Após 10 dias de
observação, ele notou que o gráfico que
representa o crescimento da planta A é uma reta
passando por (2,3) e o que representa o
crescimento da planta B pode ser descrito pela lei
24x
matemática y =
12
x
b) Se C = (x, x/2), com x > 0, é um ponto da reta
r, tal que o triângulo ABC tem área 6, determine
o ponto C.
19. (Unesp 2003) Considere a circunferência λ, de
equação (x - 3)2 + y2 = 5.
a) Determine o ponto P = (x, y) pertencente a λ,
tal que y = 2 e x > 3.
b) Se r é a reta que passa pelo centro (3, 0) de λ
e por P, dê a equação e o coeficiente angular de
r.
2
. Um esboço desses
gráficos está apresentado na figura.
20. (Unesp 2003) Dados dois pontos, A e B, com
coordenadas cartesianas (-2, 1) e (1, -2),
67
respectivamente, conforme a figura,
a) Dê a equação de C e, sabendo que a equação
a) calcule a distância entre A e B.
b) Sabendo-se que as coordenadas cartesianas
do baricentro do triângulo ABC são (xG, yG) =
de s é y =
x
, determine as coordenadas de S.
3
b) Calcule as áreas do triângulo OMP e da região
sombreada formada pela união dos triângulos
OMT e PMS.
2
, 1 , calcule as coordenadas (xC, yC) do
3
vértice C do triângulo.
24. (Unesp 2007) Sejam P = (a, b), Q = (1, 3) e R =
(-1, -1) pontos do plano. Se a + b = 7, determine
P de modo que P, Q e R sejam colineares.
21. (Unesp 2004) Considere a circunferência x 2 +
(y - 2)2 = 4 e o ponto P(0, -3).
a) Encontre uma equação da reta que passe por
P e tangencie a circunferência num ponto Q de
abscissa positiva.
b) Determine as coordenadas do ponto Q.
25. (Unesp 2008) Ao ser inaugurada, uma represa
possuía 8 mil m3 de água. A quantidade de água
da represa vem diminuindo anualmente. O gráfico
mostra que a quantidade de água na represa 8
anos após a inauguração é de 5 mil m3.
x
2
intercepta a circunferência de centro na origem e
22. (Unesp 2005) A reta r de equação y =
raio 5 em dois pontos P e Q, sendo que as
coordenadas de P são ambas positivas.
Determine:
a) a equação da circunferência e os pontos P e Q;
b) a equação da reta s, perpendicular a r,
passando por P.
Se for mantida essa relação de linearidade entre
o tempo e a quantidade de água em m 3,
determine em quantos anos, após a inauguração,
a represa terá 2 mil m3.
23. (Unesp 2006) Seja C a circunferência de centro
26) (Unesp 2013) Os pontos A e C são intersecções de
(2,0) e raio 2, e considere O e P os pontos de
interseção de C com o eixo Ox. Sejam T e S
pontos de C que pertencem, respectivamente, às
retas r e s, que se interceptam no ponto M, de
forma que os triângulos OMT e PMS sejam
congruentes, como mostra a figura.
duas cônicas dadas pelas equações x 2
y
y2
7 e
x 2 – 1, como mostra a figura fora de escala.
Sabendo que tg 49
2
3
3
e tomando o ponto
B 0,– 7 , determine a medida aproximada do
ˆ em graus.
ângulo ABC,
68
17) a) – 2 b) x - 2y - 4 = 0
18) a) Observe o gráfico a seguir:
b) C = (8,4).
19) a) P(4;2) b) y = 2 . x - 6 e mr = 2
Gabarito:
20) a) AB = 3 2 b) C (3; 4)
21) a) 21 x - 2y - 6 =0 b) Q = 2 21 /5; 6/5
22) a) x2 + y2 = 5; P(2; 1) e Q(-2; -1) b) 2x + y 5=0
1) y = x - 1 e y = -x + 5 2) 4 3) x -y +1 = 0
2
2
2
2
;4) e (3 ;4+
2
2
2
2
5) ( 2; 4 - 2 3 ) e ( 2; 4 + 2 3 )
4) (3 +
6) y = 3x - 2
8) mr =
7) y =
23) a) (x - 2)2 + y2 = 4 e S =
3
x-2
3
b)
2
8
; ms = 5
3
4
32
u.a. e
u.a.
3
15
24) P = (2, 5)
25) 16 anos
9) Observe a figura a seguir:
ˆ
26) ABC
10) ms = 3 mr = -1 11) (5/2, 1/2)
12) (-2,6) e (4,-2) 13) P 0;
14) 23/10. 15) a) y =
18 6
;
5 5
3
2
3
x b) 6o dia, 9 cm.
2
16) a) I) Substituindo as coordenadas do ponto P
na equação da elipse, temos:
[32/25] + [(12/5)2/9] = 1, ou seja:
1=1
Logo, as coordenadas de P satisfazem à equação
da elipse. Portanto, P pertence à elipse.
II) Como a ordenada P é positiva, a distância
pedida é 12/5.
b) Q(-5, 0), R(5,0) e A = 12
69
ˆ
AOC
2
82
2
41 (ângulo inscrito)
UNICAMP PRIMEIRA FASE
TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES:
d) 500 + 500 2 m.
A figura a seguir apresenta parte do mapa de
uma cidade, no qual estão identificadas a
catedral, a prefeitura e a câmara de vereadores.
Observe que o quadriculado não representa os
quarteirões da cidade, servindo apenas para a
localização dos pontos e retas no plano
cartesiano.
Nessa cidade, a Avenida Brasil é formada pelos
pontos equidistantes da catedral e da prefeitura,
enquanto a Avenida Juscelino Kubitschek (não
mostrada no mapa) é formada pelos pontos
equidistantes da prefeitura e da câmara de
vereadores.
2. (Unicamp 2011) O ponto de interseção das
avenidas Brasil e Juscelino Kubitschek pertence à
região definida por
a) (x − 2)2 + (y − 6)2 ≤ 1.
b) (x − 1)2 + (y − 5)2 ≤ 2.
c) x ]1, 3[, y ]4, 6[.
d) x = 2, y [5, 7].
3. (Unicamp 2012) A área do triângulo OAB esboçado
na figura abaixo é
a)
21
23
25
b)
c)
4
4
4
d)
27
4
4- (UNICAMP-2014) No plano cartesiano, a reta
de equação 2x – 3y = 12 intercepta os eixos
coordenados nos pontos A e B. O ponto médio do
segmento AB tem coordenadas
a) (4, 4/ 3).
b) (3, 2).
c) (4, – 4 /3).
d) (3, –2).
1. (Unicamp 2011) Sabendo que a distância real
entre a catedral e a prefeitura é de 500 m,
podemos concluir que a distância real, em linha
reta, entre a catedral e a câmara de vereadores é
de
a) 1500 m.
b) 500 5 m.
c) 1000 2 m.
GABARITO
1) B 2) B 3)C 4)D
70
UNICAMP SEGUNDA FASE
1. (Unicamp 1994) a) Identifique as circunferências
7. (Unicamp 1996) Uma elipse que passa pelo
de equações x2 + y2 = x e x2 + y2 = y, calculando
o raio e o centro das mesmas. Esboce seus
gráficos.
b) Determine os pontos de intersecção dessas
circunferências e mostre que as retas a elas
tangentes em cada um desses pontos são
perpendiculares entre si.
ponto (0,3) tem seus focos nos pontos (-4,0) e
(4,0). O ponto (0,-3) é interior, exterior ou
pertence à elipse? Mesma pergunta para o ponto
(5/2, 13/5). Justifique sua resposta.
8. (Unicamp 1997) Os ciclistas A e B partem do
ponto P(-1, 1) no mesmo instante e com
velocidades de módulos constantes. O ciclista A
segue a trajetória descrita pela equação 4y - 3x 7 = 0 e o ciclista B, a trajetória descrita pela
equação x2 + y2 - 6x - 8y = 0. As trajetórias estão
no mesmo plano e a unidade de medida de
comprimento é o km. Pergunta-se:
a) Quais as coordenadas do ponto Q, distinto de
P, onde haverá cruzamento das duas trajetórias?
b) Se a velocidade do ciclista A for de 20 km/h,
qual deverá ser a velocidade do ciclista B para
que cheguem no mesmo instante ao ponto Q?
2. (Unicamp 1995) Em um sistema de coordenadas
ortogonais no plano são dados o ponto (5, -6) e o
círculo x2 + y2 = 25. A partir do ponto (5,-6),
traçam-se duas tangentes ao círculo. Faça uma
figura representativa desta situação e calcule o
comprimento da corda que une os pontos de
tangência.
3. (Unicamp 1991) Um foguete com ogiva nuclear
foi acidentalmente lançado de um ponto da Terra
e cairá perigosamente de volta à Terra. Se a
trajetória plana desse foguete segue o gráfico da
equação y = -x2 + 300x, com que inclinação se
deve lançar outro foguete com trajetória retilínea,
do mesmo ponto de lançamento, para que esse
último intercepte e destrua o primeiro no ponto
mais distante da Terra?
9. (Unicamp 1998) Se z = x + iy é um número
complexo, o número real x é chamado "parte real
de z" e é indicado por Re(z), ou seja, Re(x + iy) =
x.
a) Mostre que o conjunto dos pontos (x, y) que
satisfazem à equação Re [(z + 2i)/(z - 2)] = 1/2, ao
qual se acrescenta o ponto (2, 0), é uma
circunferência.
b) Ache a equação da reta que passa pelo ponto
(-2, 0) e é tangente àquela circunferência.
4. (Unicamp 1992) Calcule a e b positivos na
equação da reta ax + by = 6 de modo que ela
passe pelo ponto (3, 1) e forme com os eixos
coordenados um triângulo de área igual 6.
5. (Unicamp 1992) Dados três pontos a, b e c em
uma reta, como indica a figura seguinte determine
o ponto x da reta, tal que a soma das distâncias
de x até a, de x até b e de x até c seja a menor
possível. Explique seu raciocínio.
10. (Unicamp 1999) Uma reta intersecciona nos
pontos A (3, 4) e B(-4, 3) uma circunferência
centrada na origem.
a) Qual é o raio dessa circunferência?
b) Calcule a área do quadrilátero cujos vértices
são os pontos A e B e seus simétricos em relação
à origem.
11. (Unicamp 2000) Sejam A e B os pontos de
intersecção da parábola y = x2 com a
circunferência de centro na origem e raio 2 .
a) Quais as coordenadas dos pontos A e B?
b) Se C é um ponto da circunferência diferente de
A e de B, calcule as medidas possíveis para os
ângulos A C B.
6. (Unicamp 1993) Dada uma elipse de semieixos a e b, calcule, em termos destes
parâmetros, a área do quadrado nela inscrito,
com lados paralelos aos eixos da elipse.
12. (Unicamp 2001) Considere, no plano xy, as
retas y = 1, y = 2x - 5 e x - 2y + 5 = 0.
a) Quais são as coordenadas dos vértices do
71
triângulo ABC formado por essas retas?
b) Qual é a área do triângulo ABC?
b e y = cx são ilustradas na figura a seguir.
Sabendo que o coeficiente b é igual à média
aritmética dos coeficientes a e c,
a) expresse as coordenadas dos pontos P, Q e R
em termos dos coeficientes a e b;
b) determine a, b e c, sabendo que a área do
triângulo OPR é o dobro da área do triângulo
ORQ e que o triângulo OPQ tem área 1.
13. (Unicamp 2003) As equações (x + 1)2 + y2 = 1
e (x - 2)2 + y2 = 4 representam duas
circunferências cujos centros estão sobre o eixo
das abscissas.
a) Encontre, se existirem, os pontos de
intersecção daquelas circunferências.
b) Encontre o valor de a ∈ IR, a ≠ 0, de modo que
duas retas que passam pelo ponto (a, 0), sejam
tangentes às duas circunferências.
14. (Unicamp 2004) Os pontos A, B, C e D
pertencem ao gráfico da função y = 1/x, x > 0. As
abscissas de A, B e C são iguais a 2, 3 e 4,
respectivamente, e o segmento AB é paralelo ao
segmento CD.
a) Encontre as coordenadas do ponto D.
b) Mostre que a reta que passa pelos pontos
médios dos segmentos AB e CD passa também
pela origem.
19. (Unicamp 2009) A circunferência de centro em
(2, 0) e tangente ao eixo y é interceptada pela
circunferência C, definida pela equação x 2 + y2 =
4, e pela semirreta que parte da origem e faz
ângulo de 30° com o eixo-x, conforme a figura a
seguir.
15. (Unicamp 2005) As transmissões de uma
determinada emissora de rádio são feitas por
meio de 4 antenas situadas nos pontos A(0,0),
B(100,0), C(60,40) e D(0,40), sendo o quilômetro
a unidade de comprimento. Desprezando a altura
das antenas e supondo que o alcance máximo de
cada antena é de 20 km, pergunta-se:
a) O ponto médio do segmento BC recebe as
transmissões dessa emissora? Justifique sua
resposta apresentando os cálculos necessários.
b) Qual a área da região limitada pelo quadrilátero
ABCD que não é alcançada pelas transmissões
da referida emissora?
16. (Unicamp 2006) Sabe-se que a reta r(x) = mx +
a) Determine as coordenadas do ponto P.
b) Calcule a área da região sombreada.
2 intercepta o gráfico da função y = I x l em dois
pontos distintos, A e B.
a) Determine os possíveis valores para m.
b) Se O é a origem dos eixos cartesianos,
encontre o valor de m que faz com que a área do
triângulo OAB seja mínima.
20. (Unicamp 2010) No desenho a seguir, a reta y
= ax (a > 0) e a reta que passa por B e C são
perpendiculares, interceptando-se em A. Supondo
que B é o ponto (2,0), resolva as questões que se
seguem.
a) Determine as coordenadas do ponto C em
função de a.
b) Supondo, agora, que a = 3, determine as
coordenadas do ponto A e a equação da
circunferência com centro em A e tangente ao
eixo x.
17. (Unicamp 2007) Seja dada a reta x - 3y + 6 = 0
no plano xy.
a) Se P é um ponto qualquer desse plano,
quantas retas do plano passam por P e formam
um ângulo de 45° com a reta dada acima?
b) Para o ponto P com coordenadas (2, 5),
determine as equações das retas mencionadas
no item (a).
18. (Unicamp 2008) As retas de equações y = ax +
72
b) Pretende-se substituir as antenas atuais por
uma única antena, mais potente, a ser
instalada em um ponto da estrada, de modo
que as distâncias dessa antena ao posto
rodoviário e à estação da guarda florestal
sejam iguais. Determine em que quilômetro da
estrada essa antena deve ser instalada.
22. (Unicamp 2013) Na formulação de fertilizantes, os
teores percentuais dos macronutrientes N, P e K,
associados respectivamente a nitrogênio, fósforo e
potássio, são representados por x, y e z.
21. (Unicamp 2011) Suponha um trecho retilíneo
de estrada, com um posto rodoviário no
quilômetro zero. Suponha, também, que uma
estação da guarda florestal esteja localizada a 40
km do posto rodoviário, em linha reta, e a 24 km
de distância da estrada, conforme a figura a
seguir.
a) Os teores de certo fertilizante satisfazem o seguinte
sistema de equações lineares:
3x
y
z
0,20
2y
z
0,55
z
0,25
Calcule x e y nesse caso.
b) Suponha que para outro fertilizante valem as
relações
24% x y z 54%, x 10%, y 20% e z 10%.
Indique no plano cartesiano abaixo a região de
teores (x, y) admissíveis para tal fertilizante.
a) Duas antenas de rádio atendem a região. A
área de cobertura da primeira antena,
localizada na estação da guarda florestal,
corresponde a um círculo que tangencia a
estrada. O alcance da segunda, instalada no
posto rodoviário, atinge, sem ultrapassar, o
ponto da estrada que está mais próximo da
estação da guarda florestal. Explicite as duas
desigualdades que definem as regiões
circulares cobertas por essas antenas, e
esboce essas regiões no gráfico abaixo,
identificando a área coberta simultaneamente
pelas duas antenas.
23. (Unicamp 2013) Considere a família de retas no
plano cartesiano descrita pela equação
(2 p)x (2p 1)y 8p 4 0, nas variáveis x e y,
em que p é um parâmetro real.
a) Determine o valor do parâmetro p para que a reta
correspondente intercepte perpendicularmente o
eixo y. Encontre o ponto de interseção neste caso.
b) Considere a reta x 3y 12 0 dessa família para
p = 1. Denote por A o seu ponto de interseção com
o eixo x e por O a origem do plano cartesiano. Exiba
a equação da circunferência em que o segmento OA
é um diâmetro.
73
24. (Unicamp 2014) Considere no plano cartesiano os
pontos A ( 1, 1) e B (2, 2).
Resposta da questão 9:
Sendo z = x + iy um número complexo com
(x,y)⊂IR e i = 1 .
a) Encontre a equação que representa o lugar
geométrico dos centros dos círculos que passam pelos
pontos A e B.
a) Substituindo z por x + iy, temos
(z+2i)/(z-2) = (x+iy+2i)/(x+iy-2) com z≠2 =
[x+(2+y)i/(x-2)+iy]
b) Seja C um ponto na parte negativa do eixo das
ordenadas. Determine C de modo que o triângulo
ABC tenha área igual a 8.
Efetuando-se a divisão, temos que
[(z+2i)/(z-2)] = (x2-2x+y2+2y)/(x2+y2-4x+4) = ½
Logo, x2+y2+4y-4 = 0 (z≠2).
Gabarito:
A condição z≠2 exclui o ponto (2,0) da
circunferência de equação x2+y2+4y-4=0, que
tem centro (0,-2) e raio 2 2 .
Portanto, se acrescentarmos o ponto (2,0) a
esse conjunto de pontos, obteremos a
circunferência de centro (0,-2) e raio 2 2 .
Resposta da questão 1:
a) Observe a figura:
b) x - y + 2 = 0
10) a) r = 5 b) S = 50
11) a) A (1; 1) e B (-1; 1) b) 45° ou 135°
12) a) (3; 1), (-3; 1) e (5; 5) b) 12 u.a.
b) Um ponto de intersecção é (0,0) e as retas
tangentes às respectivas circunferências por este
ponto são x = 0 e y = 0, que são perpendiculares.
O outro ponto de intersecção é (1/2, 1/2) e as
retas tangentes às respectivas circunferências por
este ponto são y = 1/2 e x = 1/2 que são
perpendiculares.
2) A corda mede
13) a) (0; 0) b) a = - 4
14) a) D = (3/2, 2/3)
b) Os pontos médios de AB e CD são,
respectivamente, (5/2, 5/12) e (11/4, 11/24). A
equação da reta que passa por esses pontos é y
= (1/6)x. Como o coeficiente linear desta reta é
zero, ela passa pela origem.
60 61
unidades de
61
comprimento
15) a) Não b) 400 (8 - π) km2
3) α = arc tg 150
16) a) -1 < m < 1 b) m = 0
4) a = 1 e b = 3
17) a) 2 retas b) 2x - y + 1 = 0 e x + 2y - 12 = 0
5) O ponto x coincide com o ponto b.
18)
6) A = 4 (a2.b2)/(a2+b2)
a) P =
b 2b
7) (0, -3) pertence a (5/2, 13/5) é exterior à elipse
b
b
, 0 , Q = (0, b) e R =
,
a
2b 2a
a
2b 2a
.
8) a) (7,7) b) 10π km/h
b) a = - 8, b = 4 e c = 16.
74
4π
3
19) a) P = (3, 3 ). b)
(x 32)2
2 3 u.a.
(y 24)2
242.
1
( a reta BC é perpendicular á
a
reta CA) e C ( 0,c)
c 0
1
2
2
c
logo
potanto C(0, )
0 2
a
a
a
21) a) mBC =
b) se a = 3 temos m BC = -1/3
1
( x 2)
equação da reta BC y – 0 =
3
1
2
x
3
3
1
2
y
x
Resolvendo o sistema
3
3
y 3x
y=
Sabendo que o alcance da antena situada
no posto rodoviário atinge, sem ultrapassar, o
ponto da estrada que está mais próximo da
estação da guarda florestal, temos que esse
ponto é (32,0) e, portanto, a região de
alcance da segunda antena é dada por
x 2 y 2 322.
temos
1 3
,
5 5
A
Equação da circunferência.
x
1
5
2
x
2
3
5
3
5
2
A área coberta simultaneamente pelas
duas antenas está sombreada no gráfico
acima.
b) Seja M o ponto médio do segmento de reta
que une o Posto Rodoviário à Estação da
Guarda Florestal. Logo,
M
242
2
(16, 12).
O ponto em que a nova antena deverá ser
instalada é a interseção da mediatriz do
segmento de reta que une o Posto Rodoviário
à Estação da Guarda Florestal com o eixo das
abscissas. O coeficiente angular da reta
suporte desse segmento é dado por:
24 0 3
.
32 0 4
21) a) Se o posto rodoviário encontra-se na
origem do sistema de coordenadas
cartesianas, e a estrada está sobre o eixo das
abscissas, temos que o pé da perpendicular
baixada do ponto ( , 24) sobre o eixo das
abscissas determina um triângulo retângulo
com a origem. Aplicando o Teorema de
Pitágoras, podemos calcular a abscissa do
ponto ( , 0) :
402
32 0 24 0
,
2
2
32.
Daí, segue que a região de alcance da antena
situada na estação da guarda florestal é dada
por
75
Logo, a equação da mediatriz é:
4
4
100
y 12
(x 16)
y
x
.
3
3
3
Resposta da questão 23:
Desse modo, a antena deverá ser instalada no
ponto de abscissa:
4
100
x
0
x 25km.
3
3
Resposta da questão 22:
a)
3x
y
z
0,20
2y
z
0,55
z
0,25
a) 2 – p = 0
p=2
Fazendo p = 2, temos 5y + 16 + 4 = 0
5y = –20
y = –4.
Logo, a reta intercepta o eixo y no ponto (0, –4).
b) (x + 6)2 + y2 = 36.
3
24) a) y
3 x
2
b) α
4.
2y 0,25 0,55
y 0,15
3x 0,15 0,25 0,20
x 0,10
b)
Como z
10%.
24%
y 10%
x
54%
14%
x
y
44%
temos então o sistema reprsentado no plano ao abaixo
x
y
44%
x
y
14%
x
10%
y
20%
b)
76
1
2
3x y 3
0.
UNIFESP –CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS
1. (Unifesp 2003) A figura representa, em um
quantidades mínimas para uma dieta sadia.
Assim, para compor uma dieta sadia com x
unidades do produto P1 e y unidades do produto
P2, tem-se, necessariamente, x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≥
4 e 2x + y ≥ 6.
sistema ortogonal de coordenadas, duas retas, r e
s, simétricas em relação ao eixo Oy, uma
circunferência com centro na origem do sistema,
e os pontos A=(1,2), B, C, D, E e F,
correspondentes às interseções das retas e do
eixo Ox com a circunferência.
Nestas condições, determine
a) as coordenadas dos vértices B, C, D, E e F e a
área do hexágono ABCDEF.
b) o valor do cosseno do ângulo AÔB.
a) Mostre que com 1 unidade do produto P1 e 3
unidades do produto P2 não é possível obter-se
uma dieta sadia.
b) Esboce a região descrita pelos pontos (x,y) que
fornecem dietas sadias.
2. (Unifesp 2004) Considere os gráficos das
4. (Unifesp 2007) Em um plano cartesiano, seja T o
triângulo que delimita a região definida pelas
inequações y ≤ 2, x ≥ 0 e x - y ≤ 2.
a) Obtenha as equações de todas as retas que
são equidistantes dos três vértices do triângulo T.
b) Obtenha a equação da circunferência
circunscrita ao triângulo T, destacando o centro e
o raio.
funções definidas por
f(x) = log10(x) e g(x) = 10x, conforme figura (fora
de escala).
5. (Unifesp 2011) Considere a1, a2, a3, b1, b2, b3
números reais estritamente positivos, tais que os
pontos (a1, b1), (a2, b2) e (a3, b3) pertençam à
reta y = 2x.
a) Sabendo-se que Q x
a1x 2
b1x 2
a 2 x a3
(com
b 2 x b3
b1x2 + b2x + b3 ≠ 0) independe de x, pede-se
determinar seu valor.
a) Dê as coordenadas de M, ponto médio do
segmento AB.
b) Mostre que (fog)(x) = x e (gof)(x) = x, para todo
x > 0.
b) Na figura, se os pontos A, B e C são vértices
de um triângulo isósceles e o segmento AC é
um dos diâmetros da circunferência
convenientemente centrada na origem do
sistema ortogonal, pede-se determinar a
medida do segmento AB em função de a1.
3. (Unifesp 2005) Dois produtos P1 e P2, contendo
as vitaminas v 1 e v2 devem compor uma dieta. A
tabela apresenta a quantidade das vitaminas em
cada produto. A última coluna fornece as
77
b) Como o ponto A pertence à reta y
segue que A ( a1, 2a1). Logo,
2x,
[a1 ( a1)]2 [2a1 ( 2a1)]2
AC
4 5a12
2a1 5.
Além disso, dado que AC é diâmetro e que o
triângulo ABC é isósceles, temos que ABC é
retângulo. Portanto,
AC 2a1 5
AB
a1 10.
2
2
6. (Unifesp 2013) Considere o sistema de inequações
x2
y2
x 1
2x
2
0
3
2
y
2
6)a)
1
4
a) Represente graficamente, em sistema cartesiano de
eixos ortogonais, a solução desse sistema de
inequações.
b) Calcule a área da superfície que representa a
solução gráfica do sistema de inequações.
Gabarito:
1) a) B(-1; 2), C(- 5 ; 0), D(-1; -2), E(1; -2) e
b) Considere a figura.
F( 5 ; 0)
S = 4[( 5 ) + 1] u.a.
b) cos (AÔB) = 0,6
2) a)
11 11
,
2 2
3) a) Como o número de unidades da vitamina v 2
é 2 . 1 + 1 . 3 = 5 < 6, não é possível manter uma
dieta sadia com 1 unidade do produto P1 e 3
unidades do produto P2.
4) a) x = 2, y = 0 e y = x
b) (x - 2)2 + y2 = 8; C (2, 0) e R = 2 2
A área pedida corresponde à área do semicírculo de
1
centro O e raio igual a , subtraída da área do
2
segmento circular OBDC, ou seja,
5) a) Como os pontos (a1, b1), (a2 , b2 ) e (a3 , b3 )
pertencem à reta y 2x, segue que
b1 2a1, b2 2a2 e b3 2a3. Assim,
2
Q(x)
a1x
b1x 2
a2 x a3
b2 x b3
2
a1x
2a1x 2
a 2 x a3
2a2 x 2a3
2
a1x a2 x a3
2 (a1x 2 a2 x a3 )
78
π
1 2
2
.
1
2
2
12
2
π
3
sen
π
3
π
8
π
6
3
4
6 3 π
u.a.
24
ITA
7. (Ita 1997) Seja m ∈ │R+* tal que a reta x - 3y - m =
0 determina, na circunferência (x - 1)2 + (y + 3)2 = 25,
uma corda de comprimento 6. O valor de m é
e) 3
1. (Ita 1995) Três pontos de coordenadas,
respectivamente, (0, 0), (b, 2b) e (5b, 0), com b > 0,
são vértices de um retângulo. As coordenadas do
quarto vértice são dadas por:
a) (- b, - b) b) (2b, - b)
c) (4b, - 2b) d) (3b, - 2b)
e) (2b, - 2b)
8. (Ita 1997) Seja A o ponto de intersecção das retas r
e s dadas, respectivamente, pelas equações x + y = 3 e
x - y = -3. Sejam B e C pontos situados no primeiro
quadrante com B ∈ r e C ∈ s. Sabendo que d(A, B) =
2. (Ita 1995) Uma reta t do plano cartesiano xOy tem
coeficiente angular 2a e tangencia a parábola y = x2 - 1
no ponto de coordenadas (a, b). Se (c, 0) e (0, d) são
as coordenadas de dois pontos de t tais que c > 0 e c =
-2d, então a/b é igual a:
a) - 4/15 b) - 5/16 c) - 3/16 d) - 6/15 e) - 7/15
d(A, C) = 2 , então a reta passando por B e C é dada
pela equação
a) 2x + 3y = 1 b) y = 1 c) y = 2
) x=1
e) x = 2
9. (Ita 1997) Considere os pontos A:(0, 0), B:(2, 0) e
C:(0, 3).
Seja P:(x, y) o ponto de intersecção das bissetrizes
internas do triângulo ABC. Então x+y é igual a
3. (Ita 1996) Tangenciando externamente a elipse ε1,
tal que ε1: 9x2 + 4y2 - 72x - 24y + 144 = 0, considere
uma elipse ε2, de eixo maior sobre a reta que suporta o
eixo menor de ε1 e cujos eixos têm a mesma medida
que os eixos de ε1. Sabendo que ε2 está inteiramente
contida no primeiro quadrante, o centro de ε2 é:
a) 10 +
d) 5
a) (7, 3) b) (8, 2) c) (8, 3)
d) (9, 3) e) (9, 2)
11
4
cujos vértices são denotados,
5
26
b)
7
26
c)
7
50
d)
17
50
e)
2
3
c)
5
2
e) 2
11. (Ita 1998) Considere a hipérbole H e a parábola T,
cujas equações são, respectivamente,
5(x + 3)2 - 4(y - 2)2 = -20 e (y - 3)2 = 4(x - 1).
Então, o lugar geométrico dos pontos P, cuja soma dos
quadrados das distâncias de P a cada um dos focos da
hipérbole H é igual ao triplo do quadrado da distância
de P ao vértice da parábola T, é:
respectivamente, por V1 e V2. Sabendo que r é a reta
que contém V1 e V2, então a distância de r até à
origem é:
a)
b)
10. (Ita 1998) As retas y = 0 e 4x + 3y + 7 = 0 são retas
suportes das diagonais de um paralelogramo. Sabendo
que estas diagonais medem 4 cm e 6 cm, então, a área
deste paralelogramo, em cm2, vale:
a) 36/5 b) 27/4 c) 44/3 d) 48/3 e) 48/5
4. (Ita 1996) São dadas as parábolas p1: y = - x2 - 4x 1 e p2: y = x2 - 3x +
4. 10
11
74
a) A elipse de equação
5. (Ita 1996) Sabendo que o ponto (2, 1) é o ponto
médio de uma corda AB da circunferência (x - 1)2 + y2
= 4, então a equação da reta que contém A e B é dada
por:
a) y = 2x - 3 b) y = x - 1
c) y = - x + 3 d) y = 3x/2 - 2
e) y = - (1/2)x + 2
(x 3)2
4 (y 2)2
3
(y 1)2
b) A hipérbole de equação
1
5 (x 3)2
4
1
c) O par de retas dadas por y = ± (3x - 1)
d) A parábola de equação y2 = 4x + 4
e) A circunferência centrada em (9, 5) e raio 120
12. (Ita 1998) Considere o paralelogramo ABCD onde
A=(0,0), B=(-1,2) e C=(-3,-4). Os ângulos internos
distintos e o vértice D deste paralelogramo são,
respectivamente:
a) π/4, 3π/4 e D = (-2,-5) b) π/3, 2π/3 e D = (-1,-5)
c) π/3, 2π/3 e D = (-2,-6) d) π/4, 3π/4 e D = (-2,-6)
e) π/3, 2π/3 e D = (-2,-5)
6. (Ita 1996) a) r e s são paralelas entre si e ambas
são tangentes à C.
b) r e s são perpendiculares entre si e nenhuma delas
é tangente à C.
c) r e s são concorrentes, r é tangente à C e s não é
tangente à C.
d) r e s são concorrentes, s é tangente á C e r não é
tangente à C.
e) r e s são concorrentes e ambas são tangentes à C.
79
origem 0. Se B ∈ r e C ∈ s são dois pontos no primeiro
13. (Ita 1999) Considere a circunferência C de
equação x2 + y2 + 2x + 2y + 1 = 0 e a elipse E de
equação x2 + 4y2 - 4x + 8y + 4 = 0. Então:
a) C e E interceptam-se em dois pontos distintos.
b) C e E interceptam-se em quatro pontos distintos.
c) C e E são tangentes exteriormente.
d) C e E são tangentes interiormente.
e) C e E têm o mesmo centro e não se interceptam.
quadrante tais que o segmento BC é perpendicular a r
e a área do triângulo OBC é igual a 12×10-1, então a
distância de B ao eixo das ordenadas vale
a) 8/5. b) 4/5. c) 2/5. d) 1/5. e) 1.
20. (Ita 2003) Considere a família de circunferências
com centros no segundo quadrante e tangentes ao eixo
Oy. Cada uma destas circunferências corta o eixo Ox
em dois pontos, distantes entre si de 4 cm. Então, o
lugar geométrico dos centros destas circunferências é
parte:
a) de uma elipse.
b) de uma parábola.
c) de uma hipérbole.
d) de duas retas concorrentes.
e) da reta y = - x.
14. (Ita 1999) Pelo ponto C:(4, -4) são traçadas duas
retas que tangenciam a parábola y=(x-4)2+2 nos
pontos A e B. A distância do ponto C à reta
determinada por A e B é:
a)6
12
b)
12
c) 12 d) 8 e) 6
15. (Ita 2000) A área de um triângulo é de 4 unidades
de superfície, sendo dois de seus vértices os pontos
A:(2, 1) e B:(3, -2). Sabendo que o terceiro vértice
encontra-se sobre o eixo das abcissas, pode-se afirmar
que suas coordenadas são
a) (-1/2, 0) ou (5, 0). b) (-1/2, 0) ou (4, 0).
c) (-1/3, 0) ou (5, 0). d) (-1/3, 0) ou (4, 0).
e) (-1/5, 0) ou (3, 0).
21. (Ita 2003) A área do polígono, situado no primeiro
quadrante, que é delimitado pelos eixos coordenados e
pelo conjunto
{(x, y) IR2: 3x2 + 2y2 + 5xy - 9x - 8y + 6 = 0}, é igual
a:
a)6 b) 5/2 c)2 d) 3 e) 10/3
16. (Ita 2000) Duas retas r1 e r2 são paralelas à reta
3x - y = 37 e tangentes à circunferência x2 + y2 - 2x - y
= 0. Se d1 é a distância de r1 até a origem e d2 é a
distância de r2 até a origem, então d1 + d2 é igual a
a)
12 . b)
15 . c)
d)
10 . e)
5.
22. (Ita 2005) Uma circunferência passa pelos pontos
A = (0, 2), B = (0, 8) e C = (8, 8).
Então, o centro da circunferência e o valor de seu raio,
respectivamente, são
a) (0, 5) e 6. b) (5, 4) e 5. c) (4, 8) e 5,5.
d) (4, 5) e 5. e) (4, 6) e 5.
7.
24. (Ita 2004) Assinale a opção que representa o lugar
geométrico dos pontos (x, y) do plano que satisfazem a
equação
17. (Ita 2001) Seja o ponto A=(r,0), r>0. O lugar
geométrico dos pontos P=(x,y) tais que é de 3r 2 a
diferença entre o quadrado da distância de P a A e o
dobro do quadrado da distância de P à reta y=-r, é:
a) uma circunferência centrada em (r, -2r) com raio r.
b) uma elipse centrada em (r, -2r) com semi-eixos
valendo r e 2r.
c) uma parábola com vértice em (r, -r).
e) uma hipérbole centrada em (r, -2r) com semi-eixos
valendo r.
18. (Ita 2001) O coeficiente angular da reta tangente à
elipse
x2
16
y2
9
1
a) Uma elipse.
b) Uma parábola.
c) Uma circunferência. d) Uma hipérbole.
e) Uma reta.
no primeiro quadrante e que corta o eixo das abscissas
no ponto P = (8,0) é
a)
3
3
b)
1
2
c)
2
3
d)
3
4
e)
25. (Ita 2005) A distância focal e a excentricidade da
elipse com centro na origem e que passa pelos pontos
(1,0) e (0,-2) são, respectivamente,
2
4
a)
19. (Ita 2002) Num sistema de coordenadas
cartesianas, duas retas r e s, com coeficientes
angulares 2 e 1/2, respectivamente, se interceptam na
d)
80
1
1
3 1
. b) e 3 . c)
e .
2
2
2
2
3
3
3e
. e) 2 3 e
.
2
2
3 e
26. (Ita 2006) Sejam a reta s: 12x - 5y + 7 = 0 e a
circunferência C: x2 + y2 + 4x + 2y = 11. A reta p, que é
perpendicular a s e é secante a C, corta o eixo Oy num
ponto cuja ordenada pertence ao seguinte intervalo
a) (- 91/12, - 81/12) b) (-81/12, - 74/12) c) (- 74/12,
30/12)
d) (30/12, 74/12) e) (75/12, 91/12)
O1O2 definido pelos centros O1 de C1 e C2 de C2. Os
pontos de tangência definem um segmento sobre r que
mede
a) 5 3 . b) 4 5. c) 3 6. d)
32. (Ita 2010) Um triângulo equilátero tem os vértices
nos pontos A, B e C do plano xOy, sendo B = (2,1) e C
= (5,5). Das seguintes afirmações:
27. (Ita 2006) Os focos de uma elipse são F1(0, - 6) e
F2(0, 6). Os pontos A(0, 9) e B(x, 3), x > 0, estão na
elipse. A área do triângulo com vértices em B, F1 e F2
é igual a
I. A se encontra sobre a reta y =
a) 22 10 b) 18 10 c) 15
25 e x
29. . (Ita 2013) Sobre a parábola definida pela equação
y2
2x
a) ela não admite reta tangente paralela ao eixo Ox.
b) ela admite apenas uma reta tangente paralela ao
eixo Ox.
c) ela admite duas retas tangentes paralelas ao eixo
Ox.
d) a abscissa do vértice da parábola é x
1.
d) y = -
3
x 7
5
b) y =
3
x
2
e) y = -
c) y =
45
com a
8
2
y 3
2
75
,
4
m
n
2
é
3
a equação 36x2 + 36y2 + mx + ny – 23 = 0 representa
uma circunferência de raio r = 1 cm e centro C
localizado no segundo quadrante. Se A e B são os
pontos onde a circunferência cruza o eixo Oy, a área
do triângulo ABC, em cm2, é igual a
2
.
3
a)
3 )?
3x-1
7
2
33. (Ita 2011) Sejam m e n inteiros tais que
30. (Ita 2008) Dada a cônica λ: x2 - y2 = 1, qual das
retas abaixo é perpendicular à λ no ponto P = (2,
a) y =
3
x
4
é (são) verdadeira(s) apenas
a) I. b) II. c) III. d) I e II. e) II e III.
4y 1 0 pode-se afirmar que
e) a abscissa do vértice da parábola é x
11
,
2
circunferência (x – 2)2 + (y – 1)2 = 25,
III. A pertence às circunferências (x – 5)2 + (y – 5)2 =
28. (Ita 2007) Considere no plano cartesiano xy o
triângulo delimitado pelas retas 2x = y, x = 2y e x = - 2y
+ 10. A área desse triângulo mede
a) 15/2. b) 13/4. c) 11/6. d) 9/4. e) 7/2.
2xy
3
x
4
II. A esta na intersecção da reta y =
10 d) 12 10 e) 6 10
x2
25
. e) 9.
3
8 2
4 2
2 2
2 2
2
b)
c)
d)
e)
3
3
3
9
9
34. (Ita 2012) Sejam A = (0, 0), B = (0, 6) e C = (4, 3)
vértices de um triângulo. A distância do baricentro
deste triângulo ao vértice A, em unidades de distância,
é igual a
3
x 1
3
a)
3
x 4
2
5
3
b)
97
3
c)
109
5
d)
3
3
e)
10
3
GABARITO
31. (Ita 2010) Considere as circunferências C1: (x –
4)2 + (y – 3)2 = 4 e C2: (x – 10)2 + (y – 11)2 = 9. Seja r
1) C 2)A 3)D 4)E 5)C 6)E 7)A 8)D 9)A 10)E 11)E
12)D 13)C 14)C 15)C 16)E 17)E 18)D 19)B 20)C
21)B 22)D 24)C 25)E 26)C 27)D 28)A 29)B 30)E
31)A 32)E 33)D 34)B
uma reta tangente interna a C1 e C2, isto e, r tangência
C1 e C2 e intercepta o segmento de reta
81