Despertando o Interesse pela Matemática através do Tangram
Cíntia Regina Fick1
Eliana Do Carmo 2
Cláudia Vargas3
João Carlos Gilli Martins4
Resumo
Este trabalho é parte integrante do Subprojeto do Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência
(PIBID) área da Matemática e foi desenvolvido na Escola Estadual de Ensino Médio Professora Maria
Rocha. Buscamos utilizar ferramentas lúdicas para despertar nos alunos o interesse pela matemática, mais
especificamente pela área de figuras geométricas planas. O Tangram, que é um quebra-cabeça com sete
peças, com as quais é possível montar cerca de 1700 figuras, tem mostrado ser uma ferramenta bastante
eficaz no ensino e na aprendizagem desse conteúdo. Os alunos da Escola Estadual Maria Rocha
participaram de atividades onde o objetivo era explorar as proporções entre a área de cada peça do
Tangram. Aos alunos participantes dessa atividade foi solicitado que resolvessem exercícios com a
utilização do quebra-cabeça ao passo que um outro grupo de alunos, sem o auxílio do quebra-cabeça,
tentaram resolver os mesmos exercícios. Este trabalho, que ainda está em andamento, encontra-se em fase
de análise dos resultados obtidos. Alguns aspectos já observados, são os erros corriqueiros que os alunos
cometeram ao resolverem os exercícios propostos.
Palavras-chave: Tangram. Área. Aprendizagem. Volume
O Projeto
Após uma conversa com alguns professores da Escola Estadual de Ensino Médio
Professora Maria Rocha, localizada na cidade de Santa Maria, constatamos que os
alunos que ingressam na primeira série do ensino médio, demonstram, muitas vezes,
não
1
2
3
4
tem
pré-requisitos
para
compreensão
dos
conhecimentos
Universidade Federal de Santa Maria Cí[email protected]
Universidade Federal de Santa Maria [email protected]
Escola Estadual de Ensino Médio Professora Maria Rocha [email protected]
Universidade Federal de Santa Mariajcgillimartins@g,ail.com
matemáticos,
especialmente no que se refere à Geometria. Outra observação feita pelos professores
foi que muitas vezes a dificuldade e o erro na Matemática estão atrelados firmemente
com a dificuldade de interpretação do texto.
Segundo experiências relatadas, a revisão rápida do assunto na sala de aula não
tem se mostrado eficiente para motivar o aluno a estudar tais conteúdos. Pensando
nisso, os alunos bolsistas juntamente com a professora colaboradora, se propuseram a
desenvolver estratégias inovadoras utilizando o Tangram, com o objetivo de através
desse, resgatar esta motivação e este interesse.
O Tangram é um quebra-cabeça, com sete peças, com as quais é possível montar
cerca de 1700 figuras dentre animais, plantas, pessoas, objetos, letras, números e outros,
tornando-o um material pedagógico bastante atraente pelo seu aspecto lúdico, o que
pode motivar e despertar o interesse do aluno, tornando a aprendizagem mais eficaz.
Com o uso do Tangram, podemos explorar conceitos matemáticos tais como:
identificação, descrição, classificação, desenho de formas geométricas planas,
visualização e representação dessas figuras, compreensão das propriedades de figuras
planas, representação e resolução de problemas usando modelos geométricos, noções de
áreas e frações.
A partir do desenvolvimento desses conceitos, é permitido ao aluno desenvolver
algumas habilidades importantes para a percepção e para a real inserção do aluno no
mundo a sua volta, tais como: visualização/diferenciação, percepção espacial, análise/
síntese.
Entendemos a importância da matemática, em conjunto com as demais
disciplinas, como ferramentas para intervenção no mundo real. Com esse objetivo
desenvolvemos este projeto visando criar condições para que os alunos entendam
matemática de acordo com o campo semântico no qual ela é elaborada na escola e em
consonância com a temática norteadora do subprojeto PIBID, que é: “A Educação
Matemática e o mundo à nossa volta”.
Acreditamos que com este trabalho possamos contribuir para a formação dos
futuros professores (bolsistas do projeto PIBID), inserindo-os em ações de capacitação
que os levem a planejar e executar sua prática docente com criatividade, de modo a
construir metodologias de ensino de matemática que valorizem a construção do
conhecimento pelos alunos, proporcionando que eles se desenvolvam enquanto sujeitos
críticos.
Referencial Teórico e Metodológico
O presente projeto inicia com estudos teóricos sobre o uso do Tangram em sala
de aula, para auxiliar na elaboração das atividades a serem desenvolvidas com os alunos
do segundo ano do Ensino Médio da Escola Maria Rocha. Foram estudados textos tais
como de Souza (1995) e foram pesquisados sites da internet que pudessem trazer
sugestões para a elaboração do trabalho.
As atividades, que foram colocadas em prática no primeiro semestre de 2010,
foram realizadas em duas etapas, nos dias 14 e 16 de junho.
Primeiramente a turma foi dividida em dois grupos, digamos A e B. O grupo A
ficou sob a responsabilidade do bolsista Fabrício, enquanto o grupo B ficou sob a
responsabilidade da bolsista Cíntia, ambos sendo supervisionados pela professora
colaboradora Cláudia.
No dia 14 de junho, o grupo A participou de uma atividade com o Tangram
(atividade no anexo I), enquanto o grupo B assistia a uma aula para encontrar a área de
quadrados, paralelogramos e triângulos retângulos sem o uso do Tangram (atividade no
anexo II). Ao final de cada aula, foi solicitado que os alunos dos dois grupos
resolvessem os mesmos exercícios (lista de exercícios no anexo III).
No dia 16 de julho, as atividades foram invertidas: enquanto o grupo A assistia
uma aula sem Tangram, o grupo B participava de uma aula com o uso do Tangram. Ao
final, foi solicitado que os alunos novamente resolvessem os mesmos exercícios
propostos no dia 14 de junho.
As atividades foram realizadas dessa maneira para que fosse possível fazer um
comparativo entre o desempenho dos grupos A e B.
Os resultados
Embora a pesquisa ainda não esteja concluída encontrando-se em fase de análise
do material obtido, pudemos observamos que ambos os grupos sentiram dificuldades na
resolução dos exercícios propostos. Na primeira aplicação, dia 14 de junho, o grupo B
(que não trabalharam com o tangram) não conseguiu resolver dois exercícios
específicos de Tangram, as questões 5 e 6, enquanto o grupo A conseguiu resolver
parcialmente estes mesmos dois exercícios.
Já na segunda etapa da aplicação das atividades, dia 16 de junho, o grupo B
(que, agora trabalharam com o tangram) conseguiu resolver parcialmente os mesmos
dois exercícios que antes não haviam conseguido.
Como a pesquisa ainda está em andamento, é cedo para afirmarmos algo sobre a
eficácia do Tangram no ensino e na aprendizagem da geometria, uma vez que
pretendemos aplicar esta mesma atividade em outros grupos de alunos da mesma escola.
Percebemos que os alunos, após manusearem o Tangram, ficaram mais motivados para
resolverem os exercícios e passaram a se interessar mais pelo assunto, pois estes fizeram
várias perguntas sobre curiosidades do Tangram e da matemática.
Considerações Finais
Este trabalho objetivava despertar nos alunos o interesse pela matemática através
do Tangram. O trabalho desenvolvido, contribuiu de forma significativa para a formação
dos bolsistas como futuros professores, proporcionando uma integração com os alunos
da educação básica e uma aproximação entre acadêmicos e as escolas da educação
básica. Os alunos da Escola Estadual de Ensino Médio Maria Rocha, tiveram a
oportunidade de aperfeiçoar seus conhecimentos e para alguns, complementar a
preparação para o vestibular, uma vez que a grande maioria deles não conheciam o
Tangram.
As atividades, que foram realizados em duas etapas com dois grupos distintos de
alunos, mostraram-nos que os alunos sentiram-se mais motivados a resolverem os
exercícios propostos após conhecerem o Tangram e principalmente após o manuseio do
mesmo, explorando juntamente com os bolsistas as proporções entre as peças do
Tangram. Ressaltamos que esta mesma atividade será desenvolvida com outros grupos
de alunos para obtermos mais dados referentes ao uso do Tangram no ensino e
aprendizagem da geometria.
Anexo I
D
C
Q
O
P
Construção do Tangram
A
G
E
B
Ilustração 1: Tangram5
Fazer um quadrado de 16 cm de lado em uma folha de papel;
Traçar uma diagonal do quadrado obtendo-se dois triângulos, neste caso traçamos a
diagonal AC;
No triângulo ABC, sobre cada cateto marca-se o ponto médio (pontos E e F);
Traça-se uma reta passando por estes dois pontos;
Sobre a reta EF, marca-se o ponto médio (ponto G);
Traça-se a reta CG;
Na interseção da DG com a reta AC, marca-se o ponto O;
No segmento AO, marca-se o ponto médio (ponto P) e traça-se a reta PE;
No segmento OC, marca-se o ponto médio(ponto Q) e traça-se a reta QG;
Para facilitar o manuseio, os bolsistas confeccionaram um número suficiente de
jogos (Tangram) de EVA para facilitar na sobreposição das peças na verificação das
proporções, uma vez que o papel não é muito resistente.
Neste momento foram trabalhados vários conceitos matemáticos sobre
Geometria Plana, área de figuras triangulares, quadradas e do paralelogramo. Também
foram exploradas as proporções entre as peças do Tangram, juntamente com a
porcentagem que cada peça representa.
Obtenção do quadrado grande através do(s) triângulos pequeno(s):
Note que um dos catetos do triângulo APE é também lado comum do quadrado
POGE (PE é lado comum).Verifique sobrepondo o triângulo APE sobre o quadrado
5
Fonte:
http://www.google.com.br/imgres?imgurl=http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/77/Tang
ram-Imprimible.jpg&imgrefurl=http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tangram
POGE que a hipotenusa do triângulo é congruente a diagonal do quadrado.
P
E
G

A
P
E
(
L
A
L
)
P
E
(
l
a
d
o
c
o
m
u
m
)
ˆ
ˆ
ˆ9
P
Ê
G

A
P
E
(
A
E

P
G
,E
P
0
Logo AQ  2ATP
(1)
Obtenção do paralelogramo a partir do(s) triângulos pequenos:
Note que QG é o lado comum do triângulo OQG e do paralelogramo QGFC.Como Q é
ponto médio de OC temos OQ  QC. Observamos ainda que QG é congruente a CF
pois QG é paralela a CF cortadas por duas paralelas, QC e GF. Assim podemos construir
o paralelogramo a partir dos triângulos pequenos. Verifique tal afirmação sobrepondo o
triângulo OQG sobre o paralelogramo QGFC para concluir que
AP  2ATP .
(2)
Obtenção do triângulo médio através do(s) triangulo(s) pequeno(s):
Note que como E é ponto médio de AB então AE  EB. Ou seja, a hipotenusa do
triângulo pequeno é congruente a um dos catetos do triângulo médio. Assim,
sobrepondo o triângulo APE sobre o triângulo EBF, pode-se concluir que
ATM 2ATP.
(3)
Obtenção do triângulo grande através dos triângulos pequenos e do paralelogramo:
Note que QO e CQ são cateto e lado do triângulo pequeno e do paralelogramo
respectivamente, além disso, formam um dos catetos do triângulo maior. Fazendo
AE + CF obtemos um segmento congruente a hipotenusa do triângulo grande. A
obtenção do outro cateto do triângulo maior é análoga ao do cateto acima mencionado.
Finalmente:
AA

2

A

2
AAA

2

4
T
G
T
P
P
T
P
T
P
T
P
Expressaremos a área do Tangram em função do(s) triângulo(s) pequeno(s)
utilizando (1), (2) e (3).
A
A
A
Tangram2
TG2
TPA
QA
PA
TM
A
(A
Tangram2
TGA
TP)A
QA
PA
TM
A
(2A
Tangram2
TPA
PA
TP)A
QA
PA
TM
ATangram2(3A
A
A
A
A
TP2
P)2
TP2
TP2
TP
A
(3A
A
6A
Tangram2
TP2
TP)
TP
A
16A
Tangram
TP
Anexo II
Neste trabalho pretendemos estudar a área de algumas figuras geométricas planas.
São elas:

Área da região quadrada;

Área da região limitada por um paralelogramo;

Área da região limitada por um triângulo retângulo.
Primeiramente vejamos a definição de área.
Área é um número real, maior ou igual a zero, que representa a medida de uma
superfície.
Vejamos agora as fórmulas para obtenção das áreas das figuras acima citadas.
Área de um quadrado de lado a.
AQ = a²
Área de um paralelogramo onde a é a base e b é a altura.
AP = a.b
Área de um triângulo retângulo onde a é a base e b é a altura.
AT = (a.b)/2
Anexo III
Resolva as seguintes questões:
1) (Mack-SP) Uma escola de Educação Artística tem seus canteiros de forma
geométrica. Um deles é o trapézio retângulo, com as medidas indicadas na
figura.
6
Ilustração 2: quadrilátero
Calcule a área desse canteiro.
2) Feito o levantamento das medidas de um terreno pentagonal, foram
determinados os lados indicados na figura.
Ilustração 3: pentágono irregular7
Determine a área desse terreno.
3) Calcule a área tracejada indicada na figura.
Ilustração 4: quadrilátero8
6
Fonte: GIOVANNI, J. R., BONJORNO, J. R., GIOVANNI Jr., J. R.; Matemática Fundamental
2º Grau, vol. Único, ed. FTD, SP,1994.
7
Fonte: GIOVANNI, J. R., BONJORNO, J. R., GIOVANNI Jr., J. R.; Matemática Fundamental
2º Grau, vol. Único, ed. FTD, SP,1994.
8
Fonte: GIOVANNI, J. R., BONJORNO, J. R., GIOVANNI Jr., J. R.; Matemática Fundamental
4) (UFV-MG) Considere a figura seguinte:
Ilustração 5: triângulo9
A área hachurada vale:
a) 2 cm²
c) 5 cm²
b) 3 cm²
d) 1 cm²
Qual a porcentagem que a área hachurada representa?
5) (UEM-PR) Do retângulo abaixo foram retirados os quatro triângulos retângulos
hachurados, formando assim um hexágono regular de lado 4 cm. Então, a área do
retângulo ABCD é:
2º Grau, vol. Único, ed. FTD, SP,1994.
9
Fonte: GIOVANNI, J. R., BONJORNO, J. R., GIOVANNI Jr., J. R.; Matemática Fundamental
2º Grau, vol. Único, ed. FTD, SP,1994.
Ilustração 6: retângulo10
a) 16√3 cm²
b) 24√3 cm²
c) 32√3 cm²
d) 40√3 cm²
e) 48√3 cm²
Qual a porcentagem de área que o hexágono representa na figura?
6) (ENEM-2008)11
10
Fonte: GIOVANNI, J. R., BONJORNO, J. R., GIOVANNI Jr., J. R.; Matemática Fundamental
2º Grau, vol. Único, ed. FTD, SP,1994.
11
Fonte: Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira
12
7) (UFSM-2006)12 Para facilitar o estudo dos triângulos, a menina foi orientada por sua
professora a trabalhar com jogos educativos. O TANGRAM é um quebra-cabeça de
origem chinesa. É formado por cinco triângulos retângulos isósceles, T1, T2, T3, T4 e
T5, um paralelogramo P e um quadrado Q que, juntos, formam um quadrado, conforme
a
figura
apresentada.
Se
a
área
de
Q
é
1,
é
correto
afirmar:
a) A área do quadrado maior é 4.
b) A área de T1 é o dobro da área de T3.
c) A área de T4 é igual à área de T5.
d) A área de T5 é 1/4 da área do quadrado maior.
e) A área de P é igual à área de Q.
Referências bibliográficas
SOUZA, Eliane Reame e outros, A Matemática das sete peças do Tangram São Paulo:
IME – USP, 1995
http://www.inep.gov.br/basica/enem/provas_gabaritos/provas_gabaritos.htm acesso em
10/06/10 às11horas e 33minutos
http://coperves.proj.ufsm.br/ acesso em 11/06/10 às 13horas e 41minutos
12
Fonte: http://coperves.proj.ufsm.br/