Geometria Plana
Parte I
1. (Fuvest 2014) Uma circunferência de raio 3 cm está
inscrita no triângulo isósceles ABC, no qual AB = AC. A
altura relativa ao lado BC mede 8 cm. O comprimento de
BC é, portanto, igual a
a) 24 cm
b) 13 cm
c) 12 cm
d) 9 cm
e) 7 cm
2. (Insper 2014) Considere o retângulo ABCD da figura, de
dimensões AB = b e AD = h, que foi dividido em três
regiões de áreas iguais pelos segmentos EF e GH.
Assinale a alternativa que mais se aproxima da área da
piscina.
2
a) 1.600 m
2
b) 1.800 m
2
c) 2.000 m
2
d) 2.200 m
2
e) 2.400 m
4. (Fuvest 2014) O triângulo AOB é isósceles, com
OA = OB, e ABCD é um quadrado. Sendo θ a medida
ˆ
do ângulo AOB,
pode-se garantir que a área do quadrado
é maior do que a área do triângulo se
Dados os valores aproximados:
tg 14° ≅ 0,2493 , tg 15° ≅ 0,2679
As retas EF, BD e GH são paralelas. Dessa forma, sendo
AE = x e AF = y, a razão
a)
x
é igual a
b
2 2
.
3
2
.
2
3
c)
.
2
6
d)
.
4
6
e)
.
3
b)
tg 20° ≅ 0,3640 , tg 28° ≅ 0,5317
a) 14° < θ < 28°
b) 15° < θ < 60°
c) 20° < θ < 90°
d) 25° < θ < 120°
e) 30° < θ < 150°
5. (Insper 2014) As disputas de MMA (Mixed Martial Arts)
ocorrem em ringues com a forma de octógonos regulares
com lados medindo um pouco menos de 4 metros,
conhecidos como “Octógonos”. Medindo o comprimento
exato de seus lados, pode-se calcular a área de um
“Octógono” decompondo-o, como mostra a figura a seguir,
em um quadrado, quatro retângulos e quatro triângulos
retângulos e isósceles.
3. (Fuvest 2014) Uma das piscinas do Centro de Práticas
Esportivas da USP tem o formato de três hexágonos
regulares congruentes, justapostos, de modo que cada par
de hexágonos tem um lado em comum, conforme
representado na figura abaixo. A distância entre lados
paralelos de cada hexágono é de 25 metros.
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A medida do lado do quadrado destacado no centro da
figura é igual à medida a do lado do “Octógono”. Se a área
desse quadrado é S, então a área do “Octógono” vale
a) S(2 2 + 1).
b) S( 2 + 2).
c) 2S( 2 + 1).
d) 2S( 2 + 2).
e) 4S( 2 + 1).
6. (Insper 2014) Um retângulo tem comprimento X e
largura Y, sendo X e Y números positivos menores do que
100. Se o comprimento do retângulo aumentar Y% e a
largura aumentar X%, então a sua área aumentará
XY 

a)  X + Y +
 %.
100 

X+Y

b)  XY +
 %.
100 

 X + Y + XY 
c) 
 %.
100


d) (X + Y)%.
e) (XY)%.
7. (Insper 2014) Um polígono regular possui n lados, sendo
n um número par maior ou igual a 4. Uma pessoa uniu dois
vértices desse polígono por meio de um segmento de reta,
dividindo-o em dois polígonos convexos P1 e P2,
congruentes entre si. O número de lados do polígono P1 é
igual a
n
a) + 2.
2
n
b) + 1.
2
n
c) .
2
n
d) − 1.
2
n
e) − 2.
2
8. (Fgv 2013) Na figura, AC e BD são diagonais do
quadrado ABCD de lado x, M e N são pontos médios de AB
e BC , respectivamente.
a) Calcule a área da região sombreada na figura, em função
de x.
b) Calcule o perímetro do quadrilátero PQRS, em função de
x.
9. (Fgv 2013) Um funcionário do setor de planejamento da
Editora Progresso verificou que as livrarias dos três clientes
mais importantes estão localizadas nos pontos
A ( 0,0 ) , B (1,7 ) e C ( 8,6 ) , sendo que as unidades estão
em quilômetros.
a) Em que ponto P ( x,y ) deve ser instalado um depósito
para que as distâncias do depósito às três livrarias sejam
iguais?
b) Qual é a área do quadrado inscrito na circunferência que
contém os pontos A, B e C?
10. (Enem 2013) Um programa de edição de imagens
possibilita transformar figuras em outras mais complexas.
Deseja-se construir uma nova figura a partir da original. A
nova figura deve apresentar simetria em relação ao ponto
O.
A imagem que representa a nova figura é:
a)
b)
c)
d)
e)
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11. (Ita 2013) Em um triângulo de vértices A, B e C, a
altura, a bissetriz e a mediana, relativamente ao vértice C,
ˆ em quatro ângulos iguais. Se ℓ é a
dividem o ângulo BCA
medida do lado oposto ao vértice C, calcule:
a) A medida da mediana em função de ℓ.
ˆ
ˆ e BCA.
ˆ
b) Os ângulos CAB,
ABC
12. (Espm 2013) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado,
BDE é um triângulo equilátero e BDF é um triângulo
isósceles, onde AF = AB. A medida do ângulo α é:
a) 120°
b) 135°
c) 127,5°
d) 122,5°
e) 110,5°
13. (Fgv 2013) Na figura, ABCD é um quadrado de lado 4
cm, e M é ponto médio de CD . Sabe-se ainda que BD é
arco de circunferência de centro A e raio 4 cm, e CD é
arco de circunferência de centro M e raio 2 cm, sendo P e D
pontos de intersecção desses arcos.
14. (Enem 2013) O dono de um sítio pretende colocar uma
haste de sustentação para melhor firmar dois postes de
comprimentos iguais a 6m e 4m. A figura representa a
situação real na qual os postes são descritos pelos
segmentos AC e BD e a haste é representada pelo EF, todos
perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de
reta AB. Os segmentos AD e BC representam cabos de aço
que serão instalados.
Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF?
a) 1m
b) 2 m
c) 2,4 m
d) 3 m
e) 2 6 m
15. (Unesp 2013) Uma semicircunferência de centro O e
raio r está inscrita em um setor circular de centro C e raio
R, conforme a figura.
O ponto D é de tangência de BC com a
semicircunferência. Se AB = s, demonstre que
R ⋅ s = R ⋅ r + r ⋅ s.
A distância de P até CB , em centímetros, é igual a
4
a)
5
19
b)
25
3
c)
4
7
d)
10
17
e)
25
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16. (Unesp 2013) A figura, fora de escala, representa o
terreno plano onde foi construída uma casa.
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Sabe-se do quadrilátero ABEF que:
ˆ e AFE
ˆ são retos.
• Seus ângulos ABE
• AF mede 9 m e BE mede 13 m.
• o lado EF é 2 m maior que o lado AB .
Nessas condições, quais são as medidas, em metros, dos
comprimentos dos dentes de ambas têm valores
desprezíveis.
A medida, em centímetros, do raio da engrenagem menor
equivale a:
a) 2,5
b) 3,0
c) 3,5
d) 4,0
lados AB e EF?
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Parte II
Após serem medidas as alturas dos alunos de uma turma,
elaborou-se o seguinte histograma:
1. (Uerj 2014) Considere uma placa retangular ABCD de
acrílico, cuja diagonal AC mede 40cm. Um estudante,
para construir um par de esquadros, fez dois cortes retos
nessa placa nas direções AE e AC, de modo que
ˆ = 45° e BAC
ˆ = 30°, conforme ilustrado a seguir:
DAE
Após isso, o estudante descartou a parte triangular CAE,
restando os dois esquadros.
Admitindo que a espessura do acrílico seja desprezível e
que 3 = 1,7, a área, em cm2 , do triângulo CAE
equivale a:
a) 80
b) 100
c) 140
d) 180
3. (Uerj 2014) Sabe-se que, em um histograma, se uma reta
vertical de equação x = x0 divide ao meio a área do
polígono formado pelas barras retangulares, o valor de x 0
corresponde à mediana da distribuição dos dados
representados.
Calcule a mediana das alturas dos alunos representadas no
histograma.
4. (Pucrj 2013) De uma folha de papelão de lados de
medidas 23 e 14 foram retirados, dos quatro cantos,
quadrados de lado de medida 3 para construir uma caixa
(sem tampa) dobrando o papelão nas linhas pontilhadas.
2. (Uerj 2014) Uma máquina possui duas engrenagens
circulares, sendo a distância entre seus centros A e B
igual a 11cm, como mostra o esquema:
a) Determine o perímetro da folha de papelão após a
retirada dos quatro cantos.
b) Determine a área da folha de papelão após a retirada dos
quatro cantos.
c) Determine o volume da caixa formada.
Sabe-se que a engrenagem menor dá 1000 voltas no
mesmo tempo em que a maior dá 375 voltas, e que os
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5. (G1 - cftrj 2013) Considerando que, na figura a seguir, o
quadrado ABDE e o triângulo isósceles BCD (BC=CD) têm o
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mesmo perímetro e que o polígono ABCDE tem 72cm de
perímetro, qual é a medida de BC?
por dois triângulos isósceles congruentes, AMN e BMN, e
por um parafuso acionado por uma manivela, de modo que
o comprimento da base MN possa ser alterado pelo
acionamento desse parafuso. Observe a figura:
a) 15,5cm
b) 16cm
c) 17,4cm
d) 18cm
6. (Ime 2013) Seja um triângulo ABC. AH é a altura relativa
de BC, com H localizado entre B e C. Seja BM a mediana
relativa de AC. Sabendo que BH = AM = 4, a soma dos
possíveis valores inteiros de BM é
a) 11
b) 13
c) 18
d) 21
e) 26
7. (Pucrj 2013) O retângulo DEFG está inscrito no triângulo
isósceles ABC, como na figura abaixo:
Considere as seguintes medidas:
AM = AN = BM = BN = 4 dm; MN = x dm; AB = y dm.
O valor, em decímetros, de y em função de x corresponde
a:
a)
16 – 4x 2
b)
64 – x2
c)
16 – 4x 2
2
d)
64 – 2x 2
2
9. (Uerj 2013) Dois terrenos, A e B, ambos com a forma de
trapézio, têm as frentes de mesmo comprimento voltadas
para a Rua Alfa. Os fundos dos dois terrenos estão voltados
para a Rua Beta. Observe o esquema:
As áreas de A e B são, respectivamente, proporcionais a 1 e
2, e a lateral menor do terreno A mede 20 m. Calcule o
comprimento x, em metros, da lateral maior do terreno B.
Assumindo DE = GF = 12,
altura do triângulo ABC é:
35
a)
4
150
b)
7
90
c)
7
180
d)
7
28
e)
5
EF = DG = 8 e AB = 15, a
8. (Uerj 2013) Um modelo de macaco, ferramenta utilizada
para levantar carros, consiste em uma estrutura composta
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Parte III
1. (Ufjf 2012) Em um trapézio ABCD, com lados AB e CD
paralelos, sejam M o ponto médio do segmento CD e S1
a área do triângulo BMC.
a) Considere P o ponto de interseção do segmento AM
com BD. Sabendo que a área do triângulo DPM é um
quarto da área do triângulo BMC, deduza a relação
existente entre a altura H do triângulo BMC relativa à
base MC e altura h do triângulo DPM relativa à base
MD.
b) Sabendo que CD = 2 e AB = 6, calcule a área do
trapézio em função da altura H do triângulo BMC.
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2. (Ufjf 2011) No retângulo ABCD mostrado na figura
abaixo, E pertence ao segmento DC , M e N são os pontos
médios dos segmentos AD e BC, respectivamente, F e G são
os pontos de interseção do segmento MN com os
segmentos EA e EB , respectivamente.
Sabendo que a área do triângulo EFG mede 5 cm2 e que
H é um ponto do segmento MN , qual é a medida da área
do triângulo ABH?
a) 5 cm2
15
cm2
b)
2
c) 10 cm2
d) 5 5 cm2
e) 15 cm2
3. (Ufjf 2007) Na figura a seguir, encontra-se representado
um trapézio retângulo ABCD de bases AB e CD, onde ADN =
NDC = ACB = â.
Considere as seguintes afirmativas:
I. AD × NC = AN × CD
II. AB × DN = BC × AN
III. DN × BC = AC × AD
As afirmativas corretas são:
a) todas.
b) somente I e II.
c) somente I e III.
d) somente II e III.
e) nenhuma.
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4. (Ufjf 2007) Considere o paralelogramo ABCD, a seguir,
2
de área 24 cm . Sejam M o ponto médio do segmento CD, E
o ponto de interseção entre os segmentos AC e BM e AB = 8
cm.
a) Calcule a altura do paralelogramo com relação à base CD.
b) Encontre a área da figura plana hachurada em cinza.
5. (Ufjf 2006) Seja o triângulo de base igual a 10 m e altura
igual a 5 m com um quadrado inscrito, tendo um lado
contido na base do triângulo. O lado do quadrado é, em
metros, igual a:
a) 10/3.
b) 5/2.
c) 20/7.
d) 15/4.
e) 15/2.
6. (Ufjf 2006) Uma mesquita possui uma abóboda
semiesférica de 4 m de raio, cujo centro dista 7 m do chão e
5 m das paredes laterais. A figura a seguir representa um
corte em perfil, em que um menino, afastado 6 m da
parede lateral, mirando em A, vê o ponto B na abóboda.
Considerando-se os olhos do menino a 1 m do chão e
desprezando-se a espessura das paredes para o cálculo, a
altura do ponto B ao chão é:
(21 − 7)
m.
2
(19 − 7 )
b)
m.
2
a)
Página 6
(17 − 7 )
m.
2
(8 + 7 )
d)
m.
2
c)
a) 70.
b) 60.
c) 45.
d) 40.
e) 30.
e) 8 m.
7. (Ufjf 2006) Testes efetuados em um pneu de corrida
constataram que, a partir de 185.600 voltas, ele passa a se
deteriorar, podendo causar riscos à segurança do piloto.
Sabendo que o diâmetro do pneu é de 0,5 m, ele poderá
percorrer, sem riscos para o piloto, aproximadamente:
a) 93 km.
b) 196 km.
c) 366 km.
d) 592 km.
e) 291 km.
9. (Ufjf 2002) Uma janela foi construída com a parte
inferior retangular e a parte superior no formato de um
semicírculo, como mostra a figura a seguir. Se a base da
janela mede 1,2 metros e a altura total 1,5 metros, dentre
os valores adiante, o que melhor aproxima a área total da
janela, em metros quadrados, é:
8. (Ufjf 2002) Na figura a seguir, as retas r e s são
perpendiculares e as retas m e n são paralelas. Então, a
medida do ângulo α, em graus, é igual a:
a) 1,40.
b) 1,65.
c) 1,85.
d) 2,21.
e) 2,62.
Parte IV
1. (Uerj 2013) Para confeccionar uma bandeirinha de festa
junina, utilizou-se um pedaço de papel com 10 cm de
largura e 15 cm de comprimento, obedecendo-se às
instruções abaixo.
1. Dobrar o papel ao meio, para marcar o segmento MN, e
abri-lo novamente:
3. Desfazer a dobra e recortar o triângulo ABP.
2
2. Dobrar a ponta do vértice B no segmento AB’, de modo
que B coincida com o ponto P do segmento MN:
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A área construída da bandeirinha APBCD, em cm , é igual a:
(
a) 25 4 − 3
)
Página 7
(
)
c) 50 ( 2 − 3 )
d) 50 ( 3 − 3 )
a) 3,1
b) 3,3
c) 3,5
d) 3,6
b) 25 6 − 3
2. (Uerj 2012) Para construir a pipa representada na figura
abaixo pelo quadrilátero ABCD, foram utilizadas duas
varetas, linha e papel.
As varetas estão representadas pelos segmentos AC e
BD. A linha utilizada liga as extremidades A, B, C e D das
varetas, e o papel reveste a área total da pipa.
Os segmentos AC e BD são perpendiculares em E, e os
ˆ e ADC
ˆ são retos.
ângulos ABC
Se os segmentos AE e EC medem, respectivamente, 18
cm e 32 cm, determine o comprimento total da linha,
representada por AB + BC + CD + DA.
3. (Uerj 2012) A figura abaixo representa um círculo de
centro O e uma régua retangular, graduada em milímetros.
Os pontos A, E e O pertencem à régua e os pontos B, C e D
pertencem, simultaneamente, à régua e à circunferência.
4. (Uerj 2010) Observe a figura a seguir, que representa um
quadrado ABCD, de papel, no qual M e N são os pontos
médios de dois de seus lados. Esse quadrado foi dividido
em quatro partes para formar um jogo.
O jogo consiste em montar, com todas essas partes, um
retângulo cuja base seja maior que a altura. O retângulo
PQRS, mostrado a seguir, resolve o problema proposto no
jogo.
Calcule a razão
PS
PQ
.
5. (Uerj 2008) Considere um setor circular AOC, cujo
ângulo central è é medido em radianos. A reta que
tangencia o círculo no
extremo P do diâmetro CP encontra o prolongamento do
diâmetro AB em um ponto Q, como ilustra a figura.
Considere os seguintes dados
Segmentos
AB
ED
EC
Medida
(cm)
1,6
2,0
4,5
Sabendo que o ângulo è satisfaz a igualdade tgè = 2è,
calcule a razão entre a área do setor AOC e a área do
triângulo OPQ.
O diâmetro do círculo é, em centímetros, igual a:
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Parte V
1. (Fuvest 2014) Uma circunferência de raio 3 cm está
inscrita no triângulo isósceles ABC, no qual AB = AC. A
altura relativa ao lado BC mede 8 cm. O comprimento de
BC é, portanto, igual a
a) 24 cm
b) 13 cm
c) 12 cm
d) 9 cm
e) 7 cm
4. (Fuvest 2013) Um teleférico transporta turistas entre os
picos A e B de dois morros. A altitude do pico A é de 500 m,
a altitude do pico B é de 800 m e a distância entre as retas
verticais que passam por A e B é de 900 m. Na figura, T
representa o teleférico em um momento de sua ascensão e
x e y representam, respectivamente, os deslocamentos
horizontal e vertical do teleférico, em metros, até este
momento.
2. (Fuvest 2014) O triângulo AOB é isósceles, com
OA = OB, e ABCD é um quadrado. Sendo θ a medida
ˆ pode-se garantir que a área do quadrado
do ângulo AOB,
é maior do que a área do triângulo se
Dados os valores aproximados:
tg 14° ≅ 0,2493 , tg 15° ≅ 0,2679
tg 20° ≅ 0,3640 , tg 28° ≅ 0,5317
a) 14° < θ < 28°
b) 15° < θ < 60°
c) 20° < θ < 90°
d) 25° < θ < 120°
e) 30° < θ < 150°
a) Qual é o deslocamento horizontal do teleférico quando o
seu deslocamento vertical é igual a 20 m?
b) Se o teleférico se desloca com velocidade constante de
1,5 m/s, quanto tempo o teleférico gasta para ir do pico
A ao pico B?
3. (Insper 2014) As disputas de MMA (Mixed Martial Arts)
ocorrem em ringues com a forma de octógonos regulares
com lados medindo um pouco menos de 4 metros,
conhecidos como “Octógonos”. Medindo o comprimento
exato de seus lados, pode-se calcular a área de um
“Octógono” decompondo-o, como mostra a figura a seguir,
em um quadrado, quatro retângulos e quatro triângulos
retângulos e isósceles.
5. (Unicamp 2013) Em um aparelho experimental, um feixe
laser emitido no ponto P reflete internamente três vezes e
chega ao ponto Q, percorrendo o trajeto PFGHQ. Na figura
abaixo, considere que o comprimento do segmento PB é de
6 cm, o do lado AB é de 3 cm, o polígono ABPQ é um
retângulo e os ângulos de incidência e reflexão são
congruentes, como se indica em cada ponto da reflexão
interna. Qual é a distância total percorrida pelo feixe
luminoso no trajeto PFGHQ?
A medida do lado do quadrado destacado no centro da
figura é igual à medida a do lado do “Octógono”. Se a área
desse quadrado é S, então a área do “Octógono” vale
a) S(2 2 + 1).
b) S( 2 + 2).
c) 2S( 2 + 1).
a) 12 cm.
b) 15 cm.
c) 16 cm.
d) 18 cm.
6. (Insper 2013) No triângulo ABC da figura, M é ponto
médio de AB e P e Q são pontos dos lados BC e AC,
respectivamente, tais que BP = AQ = a e PC = QC = 4a.
d) 2S( 2 + 2).
e) 4S( 2 + 1).
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Os segmentos AP, BQ e CM interceptam-se no ponto O
2
e a área do triângulo BOM é 5 cm . Dessa forma, a área do
triângulo BOP, assinalado na figura, é igual a
2
a) 5 cm .
2
b) 6 cm .
2
c) 8 cm .
2
d) 9 cm .
2
e) 10 cm .
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