VESTIBULAR UFPE – UFRPE / 1999
2ª ETAPA
NOME DO ALUNO: _______________________________________________________
ESCOLA: _______________________________________________________________
SÉRIE:
TURMA:
MATEMÁTICA 2
01. O triângulo da ilustração abaixo é isósceles
(AB = AC) e BD = DE = EC (isto é, D, E
trissectam BC):
A
B
D
E
C
Analise as afirmações:
0-0) Os ângulos BAD, DAE e EAC
congruentes.
1-1) Os triângulos ABD e ACE
congruentes.
2-2) AD = AE
3-3) Os ângulos AED e ADE
congruentes.
4-4) Os triângulos ABD, ADE e AEC
mesma área.
são
são
são
têm
02. Na ilustração abaixo, os segmentos DC, DE,
EA têm mesma medida. O ângulo CDB
mede 23º. Qual a soma dos dígitos da
medida em minutos do ângulo EAD?
A
D
B
23o
E
C
03. Qual o termo independente de x na
expansão de
5
 x+ 1

3x

8

 ?


04. Uma senhora deseja substituir o tampo da
mesa de sua sala de jantar por um tampo
de vidro circular. Entretanto a porta de
acesso à sala de jantar é retangular de
largura 90 cm e altura 205 cm. Seja d o
maior diâmetro, medido em cm, do tampo
circular que passa pela porta. Indique o
inteiro mais próximo de d .
4
05. Considerando as regiões sombreadas nas
figuras (A), (B), (C), (D) e (E), podemos
afirmar que
(A)
(B)
(C)
(1)
(D)
(4)
(2)
(3)
0-0)
1-1)
2-2)
3-3)
4-4)
(1) e (2) têm
(3) e (4) têm
(1) e (3) têm
(2) e (5) têm
(3) e (5) têm
a mesma área.
a mesma área.
a mesma área.
a mesma área.
a mesma área.
06. Os preços por unidade de maçãs, pêras e
mangas são R$0,30, R$0,70 e R$0,50,
respectivamente. Júnior comprou um total
de 20 unidades destas frutas e gastou
R$12,00. Em quanto o número de pêras
excede o de maçãs?
07. A figura abaixo contém seis círculos. Um
designer pretende colorir as regiões em que
fica dividido o círculo maior de forma que
regiões tendo um mesmo arco de
circunferência
como
fronteira
sejam
coloridas com cores diferentes. Assinale o
número mínimo de cores a serem utilizadas.
(E)
(5)
08. Seja V o volume, em m3, de uma piscina
cujas formas e medidas são ilustradas nas
figuras abaixo, indique o inteiro mais
próximo de V.
VISTA SUPERIOR
4m
Arco de
circunferência
com centro em P
4m
4m
π
4m
4m
P
4m
3m
3m
1m
4m
1m
4m
CORTE VERTICAL SEGUNDO
π
09. Na ilustração abaixo ABCD é um losango
de lado 2, EFGH é um quadrado e AEF é
um triângulo equilátero.
B
F
G
A
C
E
H
D
0-0) O lado de EFGH mede 3 − 3
1-1) AEF tem área 3 3 − 9/2.
2-2) ABCD tem área 2 3 .
3-3) BFG tem área 9/2 − 2 3 .
4-4) A diagonal de EFGH mede 2.
10. Se an é uma progressão geométrica de
números reais positivos de razão 625 então
log5an é uma progressão aritmética de
razão r. Indique r.
11. Um cubo com lados medindo 2 m é
interceptado por um plano que corta 3 de
suas arestas adjacentes à distância a cm de
um dos seus vértices (veja ilustração
abaixo). Sabendo que o volume do tetraedro
1
do volume do cubo,
48
a
indique o inteiro mais próximo de
2
assim obtido é de
a
a
a
12. Seja ABC um triângulo retângulo em B com
AB = 16 cm e BC = 14 cm. Seja DEBF o
retângulo inscrito em ABC com lados
paralelos aos catetos (como ilustrado
abaixo) e com maior área possível. Qual o
inteiro que melhor aproxima esta área, em
2
cm ?
C
D
A
13. Suponha que
E
F
B
3
1 + 3 é raiz da cúbica x +
2
2
ax + b = 0 com a, b inteiros. Indique a + b .
14. A figura abaixo ilustra dois retângulos,
ABCD e EFGH onde AE mede 3 cm e B é
o ponto médio de FG. Qual é a área do
retângulo ABCD, em cm2 ?
A
E
F
D
45
O
B
C
H
G
15. Seja P um ponto interior do tetraedro regular
de aresta 2 6 . Qual a soma das distâncias
de P às faces do tetraedro?
16. Qual o volume de um tronco de pirâmide
sabendo que suas bases são quadrados de
lados 4 e 6 situados em planos paralelos
cuja distância é 3?
17. Analise as afirmações:
0-0) Existe um quadrilátero convexo com
lados medindo 3, 4, 5 e 13.
1-1) Dois triângulos possuindo um lado
medindo 3, outro medindo 4 e um
ângulo de 30º são congruentes.
2-2) Triângulos com um ângulo medindo 15º
e outro medindo 75º são semelhantes.
3-3) Um quadrilátero convexo com dois
ângulos internos opostos medindo 100º
e 80º é inscritível numa circunferência.
4-4) Triângulos retângulos tendo hipotenusa
medindo 10 e um cateto medindo 6 são
congruentes.
18. Considere uma caixa em forma de cubo
cujos lados medem l cm onde pode-se
colocar:
•
•
•
...
•
1 bola de raio l / 2 ou
8 bolas de raio l / 4 ou
64 bolas de raio l / 8 ou
8r bolas de raio l / 2r+1, onde r é natural.
Seja Vr o volume da região da caixa não
ocupada após colocarmos as 8r bolas de
raio l / 2r+1 . Podemos afirmar que:
0-0)
1-1)
2-2)
3-3)
4-4)
V0 > Vr para todo r ≥ 1
V5 < Vr para todo r ≠ 5
V1 = V2
Vr independe de r
Vr < Vr + 1 para todo r
19. Com vértices em 10 pontos escolhidos
numa circunferência constroem-se todos os
polígonos convexos possíveis. Indique a
soma dos dígitos do número de tais
polígonos.
20. Seja N= { 0, 1, 2, 3, ...} o conjunto dos
naturais e
f:NxN → N
m
(m, n) → 2 (2n+1)
Analise as afirmações:
f é injetora
f é sobrejetora
f é bijetora
A imagem de f consiste dos números
pares
4-4) A imagem de f não contém primos.
0-0)
1-1)
2-2)
3-3)
21. Seja ABCD um quadrado de lado 10 e KLM
um triângulo inscrito no quadrado (ou seja,
K, L, M são pontos não colineares do
quadrado). Analise as afirmações:
0-0) Se K, L, M são vértices do quadrado
então a área de KLM é 50.
1-1) Se L, M são vértices do quadrado
então a área de KLM é ≤ 50.
2-2) Se L, M são vértices do mesmo lado do
quadrado e K está no lado oposto do
quadrado então a área de KLM é 50.
3-3) Se K está em AB, L em BC e M em AD
então a área de KLM é 5KN onde N é a
interseção entre o lado LM e a
perpendicular a DC passando por K.
4-4) A área de KLM é no máximo 50.
22. Seja BD a bissetriz do ângulo interno B do
triângulo ABC. Sabendo que BC = 6 e os
ângulos ACB e ABD medem 36º, assinale
5 (AB / 3 + 1) .
23. Sejam A, B, C, D quatro pontos no espaço
tais que não existam três deles numa
mesma reta. Sejam M, N, P, Q os pontos
médios
de
AB,
BC,
CD,
DA
respectivamente. Analise as afirmações:
0-0) O segmento MN é paralelo ao
segmento AC.
1-1) O segmento MN é paralelo ao
segmento PQ.
2-2) M, N, P, Q podem não ser coplanares.
3-3) MNPQ é um paralelogramo.
4-4) NP e QM têm a mesma medida.
24. Considere dois quadrados idênticos, cujos
lados medem 16 cm, de modo que um
vértice de um deles está situado no centro
do outro. Seja A a área da região comum
aos dois quadrados medida em cm2. Qual é
o maior valor possível de A ?
25. Dentre as circunferências contendo um
setor circular de perímetro 16, qual o raio da
que contém este setor com área máxima ?
26. Calcule
a
soma
dos
raios
das
circunferências com centro no ponto (1, 3)
que são tangentes à circunferência com
centro (7, 11) e raio 1.
27. Se r é o raio da circunferência inscrita no
triângulo de lados medindo 4, 5, 7 assinale
r 6.
28. Um triângulo ABC tem lados medindo AB =
12, BC = 15 e
AC = 18. Sejam M, N
nos lados AB, AC respectivamente, tais que
AM = 3, NA = 12. Seja P a interseção da
reta por M, N com reta por B, C. Determine
BP.
29. A figura abaixo ilustra um quadrilátero
inscritível ABCD. Sabendo que AB = 6, BC
= 8, CD = 7 e o ângulo ABC mede 120º,
qual o inteiro mais próximo da área de
ABCD ?
B
120O
6
8
A
C
7
D
30. Sobre os lados de um triângulo ABC
constroem-se triângulos equiláteros de
lados AB, BC, AC e as circunferências
circunscritas a estes como ilustrado na
figura abaixo. Sejam P e Q escolhidos nas
circunferências da figura que passam por A,
B e A, C respectivamente e tais que P, Q e
A são colineares. Seja R a interseção de PB
e QC. Analise as afirmações:
C
Q
A
B
P
0-0) R é interno à circunferência contendo
B, C.
1-1) R está na circunferência por B, C.
2-2) O triângulo PQR é equilátero.
3-3) O ângulo BPA mede 60º.
4-4) QR = PR.
31. Na ilustração a seguir ABCD é um
quadrado de lado 10, a circunferência tem
raio 5 e centro no ponto médio M de AB e
CT é tangente à circunferência em T.
Calcule o inteiro mais próximo da área do
triângulo hachurado TED.
B
C
M
T
A
E
D
32. Dado um triângulo ABC, considere o
triângulo DEF onde B é ponto médio de AD,
A é ponto médio de CF e C é ponto médio
de BE (veja ilustração abaixo).
F
A
B
C
E
Podemos afirmar que:
0-0) ABC é semelhante a DEF.
1-1) Se ABC é retângulo então DEF é
retângulo.
2-2) A área de DEF é o quádruplo da de
ABC.
3-3) Os baricentros de ABC e DEF
coincidem.
4-4) Se ABC é equilátero então DEF é
equilátero.
D