Álgebra Geométrica
Lucimeire de Lourdes Adorno Ferreira1
Clélia Maria Ignatius Nogueira2
INTRODUÇÃO
Ao iniciar minha carreira profissional, deparei-me com situações no ensino
da Matemática em que os alunos me questionavam sobre o porquê de estarem
aprendendo aquele determinado conteúdo. Paralelamente a esta situação, entre
os educadores intensificavam-se as discussões sobre “dar significado aos
conteúdos matemáticos” em muitos cursos, palestras e grupos de estudo. Nos
pequenos grupos formados pelos professores de Matemática dentro das escolas
em que trabalhei, havia, e há até hoje, uma divisão clara entre aqueles que
preferiam continuar a atuar da forma tradicional, conteudista e aqueles poucos
que adotaram metodologias alternativas. Os professores que optavam por atuar
utilizando materiais manipuláveis e jogos, que sem dúvida atraíam a atenção dos
alunos para a Matemática, eram questionados sobre os resultados obtidos com a
aprendizagem. Ao longo dos anos fui percebendo que quando utilizava algum
material manipulável para introduzir conteúdos ou um jogo para a consolidação
da aprendizagem, os alunos se interessavam mais pelas aulas e o aproveitamento
era melhor.
Estreitando esta análise para alunos de 7ª série, cuja faixa etária é de doze
a quinze anos, em média, na qual o conteúdo de Álgebra ocupa grande parte do
programa curricular e requer um maior grau de abstração, sempre procurei
materiais didáticos que auxiliassem essa compreensão, de forma a não deixar as
aulas de matemática como ensino de regras ou “siga o modelo”. Foram várias
tentativas, ano após ano, algumas com sucesso na aprendizagem e outras não,
pois ensinar/aprender é um processo que sofre influências externas, como o
empenho da turma, a continuidade do aprendizado na série seguinte e o
desempenho das diversas equipes que trabalham na escola.
Ao
realizar
uma
atividade
que
envolve
a
utilização
de
materiais
manipuláveis, o que se percebe é uma agitação, um envolvimento, uma turma
1
Professora da Rede Pública de Ensino do Estado do Paraná
E-mail: [email protected]
2 2
Professora orientadora Universidade Estadual de Maringá
E-mail: [email protected]
motivada ao trabalho, porém, quando se sistematiza o conteúdo, os alunos perdem
o “pique” e voltam ao marasmo.
Na Álgebra, em especial, existem dificuldades relativas ao trabalho com a
linguagem algébrica em situações de resoluções de problemas e em cálculos
algébricos
realizados,
quando
os
alunos
não
compreendem
os
conceitos
associados. No sentido de favorecer a construção da linguagem algébrica, com
seus símbolos e regras específicas que constituem o cálculo algébrico e,
particularmente de possibilitar a compreensão dos conceitos matemáticos
envolvidos é que esse trabalho se torna significativo. Em síntese, pretende-se,
entre outras ações, estabelecer situações de aprendizagem para que o aluno
perceba que a transformação de uma expressão algébrica em outra equivalente,
mais simples, facilita encontrar a solução de um problema.
Acreditando que a estratégia pedagógica de exploração de situações que
levem os alunos a construir noções algébricas pela observação de regularidades e
o estabelecimento de relações se sobressai à de desenvolver o estudo da Álgebra
apenas enfatizando os cálculos com expressões, de forma mecânica, é que este
trabalho se justifica, e tem como principal objetivo estabelecer estratégias para a
generalização e a abstração dos conceitos envolvidos nas situações algébricas
apresentadas mediante a utilização de material manipulável.
MATERIAIS MANIPULÁVEIS
Há muitas discussões em torno da utilização de materiais manipuláveis. Os
livros didáticos atuais incentivam a sua utilização o que vem sendo incorporado
pelo
professor,
porém
alguns
especialistas
pouco
valorizam
o
seu
uso,
considerando perda de tempo. Diante disso vem a questão: é relevante a
utilização de materiais manipuláveis em sala de aula?
Segundo
Nogueira
(2005)
ao
optar
pela
utilização
de
materiais
manipuláveis o professor pode ter diferentes propósitos, entre eles, facilitar a
compreensão de um determinado conceito ou como motivação em problemas que
exigem conceitos matemáticos avançados. Esses materiais podem efetivamente
ser “concretos”, como o material dourado ou uma representação de um material.
Para esta autora, deve-se ter em mente que o aluno não construirá o seu
conhecimento matemático apenas “manipulando” os objetos, cabe ao professor
formular questões adequadas, que permitam ao aluno observar os aspectos do
material relevantes para a construção do conceito em questão. Ao escolher um
determinado
material
devem-se
explorar
todas
as
possibilidades
com
antecedência, para que não ocorram surpresas e também evitar que o material
seja utilizado apenas como brinquedo.
Levando-se em conta a natureza abstrata dos conceitos matemáticos
Nogueira (2005) afirma que o uso inadequado de materiais também deve ser
evitado ao máximo, pois se as atividades não forem bem dirigidas aos alunos, os
resultados podem ser muito diferentes do que se deseja. As ações do professor
precisam ser muito bem elaboradas, a passagem das ações concretas para a
abstração dos conceitos deve ser cuidadosamente preparada e não pode deixar de
ser efetivada. Devem também ser dosada para que não transformem atividades de
construção de conhecimentos em uma aula expositiva e mecanizada. A observação
deve ser constante para que ocorra a verificação de que o aluno está fazendo as
abstrações necessárias e esperadas.
A ÁLGEBRA NA HISTÓRIA
O desenvolvimento das ciências como um todo e em especial a Matemática,
ao longo dos tempos, esteve ligado às necessidades da vida em sociedade. A
linguagem matemática ocupou papel fundamental no processo das relações
sociais, principalmente as que envolviam comércio e economia.
Na construção histórica evidenciam-se fragmentos que demonstram que o
desenvolvimento da Álgebra está ligado a diferentes aspectos culturais de
diversos
povos.
Os
primeiros
estudos
sobre
a
Álgebra
apareceram
simultaneamente no Egito e na Babilônia, posteriormente o pensamento algébrico
se espalhou, chegando à Grécia, à Índia, ao Império Árabe e à Europa. Esse
caminho foi marcado pelo início do tratamento de variáveis e cálculos com
incógnitas até a formalização atual da álgebra e durou de 1650 a.C. a 1700 d.C.,
aproximadamente 3000 anos. Os principais colaboradores na construção dessa
história foram Diofanto (250 d.C.), Al-Khowarizmi (aproximadamente 825 d.C.) e
Viète (1600 d.C.).
Para autores como Boyer (1974), o renascimento da Álgebra, na Itália,
aconteceu com o desenvolvimento do comércio. Segundo ele houve uma regressão
tanto em estilo como em conteúdo da Álgebra, ao ser introduzida na Europa. Mas
com o interesse em facilitar a manipulação de trabalhos com numerais indu-
arábicos, em função do ressurgimento da economia e da invenção da imprensa, a
Álgebra foi ganhando espaço rapidamente.
A linguagem algébrica, segundo Boyer (1974), passa por três estágios: o
primitivo
(RETÓRICO)
completamente
verbal
e
escrito
com
palavras,
o
intermediário (SINCOPADO) em que são adotados algumas abreviações, e o final
(SIMBÓLICO) em que o poder de síntese das expressões é levado aos símbolos.
Ele ainda afirma que esta é uma divisão arbitrária do desenvolvimento da Álgebra
e é uma simplificação excessiva, mas serve como uma aproximação dos fatos
ocorridos.
Foram três mil anos para se chegar à representação algébrica atual. Esse
desenvolvimento histórico nos faz perceber o quanto foi difícil a construção da
linguagem algébrica. Além dos fatos históricos, pesquisas recentes em Educação
Matemática, demonstram o quanto o ensino de Álgebra é complexo e tem
revelado dificuldades tanto de professores quanto de alunos. Destaca-se aqui que
as características da linguagem algébrica e as dificuldades observadas nos seus
diferentes estágios de sua construção histórica podem auxiliar a construção do
conhecimento algébrico pelo aluno.
Ao se fazer uma leitura histórica da construção da ciência, os cientistas
quando iniciam uma investigação, observam os fatos, levantam hipóteses,
conjecturam concepções, realizam experimentações e por fim se propõe à
definição mais precisa dos conceitos. É o método da descoberta, um método
analítico, diferente daquele apresentado na formação do professor, que parte das
definições, enuncia, apresenta leis e deduções, um método sintético.
Cabe ao
professor permitir que o aluno percorra a história, que a utilize juntamente com a
geometria como base do ensino da álgebra e não como simples ilustração.
(SERGIO3, 1954 apud MARTINS, 2002).
Quando se tenta responder à questão “por onde começar” há uma
diversificada discussão sobre como introduzir os conceitos algébricos. Falcão
(2003) afirma que
[...] contemplem aspectos relevantes do
campo conceitual algébrico e se baseiem em
atividades que possibilitem aos alunos um
nível de representação conceitual ao seu
alcance. Essa é, a tarefa básica do professor
António Sérgio, Paidéia (Sugestões e conselhos de há mais de trinta anos), Ensaios
Tomo VII (pp 290-293), Publicações Europa-América, Lisboa: 1954
3
de
Matemática
em
qualquer
nível:
responsabilizar-se por recortes de aspectos
que julga relevantes, estabelecer uma ordem
de apresentação e se munir de bom arsenais
de
exemplificação,
metaforizem
os
de
atividades
conceitos
a
que
serem
introduzidos (FALCÃO, 2003).
A proposta que segue é a aplicação de situações que levem os alunos a
construírem noções algébricas. Com o objetivo de dar significado e facilitar a
compreensão dos conceitos algébricos, este material apresenta uma seqüência de
atividades, planejadas para contribuir com a formação dos conceitos envolvidos
nas operações algébricas. Baseando-se em que o
raciocínio matemático na Grécia Antiga partia quase unicamente das formas
geométricas é costume falar-se na “Álgebra Geométrica dos Gregos”.
SEQUÊNCIA DE ATIVIDADES: “Álgebra Geométrica”
Objetivos
- Identificar monômios como generalizações das operações e propriedades dos
números já estudadas.
- Desenvolver habilidades de cálculos com monômios e polinômios por meio da
geometria.
Material necessário
- Papel quadriculado, caderno, tesoura, régua, cola.
Orientações
Para executar cada uma das atividades, os alunos deverão recortar o polígono
solicitado com suas respectivas medidas, em papel quadriculado e colá-lo abaixo
da atividade copiada, em seguida, representar as medidas dos lados e realizar os
cálculos indicados. Os desenhos representam o recorte que será feito pelo aluno.
O cálculo que se pretende que o aluno faça está ao lado de cada desenho. Nos
retângulos em destaque estão orientações específicas de cada atividade para o
professor.
Os alunos, em conjunto com o professor devem estabelecer as
unidades de medida, por exemplo, a medida do lado de um “quadradinho” é uma
unidade medida de comprimento e então, um “quadradinho” é uma unidade de
área.
Desenvolvimento
Atividade 1
Recorte e cole um quadrado com 4 unidades de medida de lado. Quantas unidades
de área são necessárias para recobrir o quadrado?
4
A=4x4
4
A = 16 unidades de área (
)
É fundamental que o professor destaque a importância de identificar as medidas
dos lados e o cálculo da área para facilitar as atividades seguintes.
Atividade 2
Recorte e cole um retângulo com 5 unidades de medida na base e 3 unidades de
medida de lado. Quantas unidades de área são necessárias para recobrir a
superfície do retângulo?
3
A=3x5
5
A = 15 unidades de área (
)
Aqui o professor pode relembrar as fórmulas para o cálculo da área do quadrado e
do retângulo.
Atividade 3
Recorte e cole um quadrado de lado x. Calcule a sua área.
x
A = x. x
x
A = x2
Nessa atividade e nas próximas é necessário destacar que x e as demais letras são
variáveis e podem assumir qualquer valor a ser escolhido
Atividade 4
Recorte e cole um retângulo cujas dimensões sejam x e y. Calcule sua área.
x
A=x.y
y
Sugerir que se escolha medidas diferentes para x e y. Aproveitar para discutir que
se x = y, então a figura é um quadrado e assim, todo quadrado é também um
retângulo.
Aqui o professor pode fazer a
generalização por meio de outros exemplos e a
apresentação da definição. As expressões algébricas x 2 e xy apresentam somente
multiplicações entre as letras, e as letras apresentam como expoentes apenas
números naturais. Essas expressões algébricas recebem o nome de monômios ou
termos algébricos. Em geral, um monômio é formado por uma parte numérica
(coeficiente) e uma parte literal.(DANTE, 2004)
Atividade 5
Continue recortando e colando as figuras na seqüência indicada.
a) Se um retângulo tem lados medindo 4 e a, qual é a sua área?
4
a
A=4.a
b)Se um retângulo tem lados medindo 2 e a, qual é a sua área?
A=2.a
2
a
c ) Recortando novamente dois retângulos congruentes aos anteriores e colandoos um ao lado do outro, de modo que os lados congruentes de cada retângulo se
justaponham que polígono você obtém?
4
Retângulo
2
a
d)Quais são as medidas dos lados do polígono assim obtido? Qual a área de sua
superfície?
Lados: 6 e a
A = 6.a
A cada nova resposta enfatizar o conceito de monômio, coeficiente e parte literal.
Atividade 6
a) Se um quadrado possui lado medindo a, qual é a sua área?
A=2.a
a
a
Observar junto com os alunos que o “tamanho” da figura vai depender do valor
escolhido para a e que, portanto, as letras podem representar valores numéricos
variáveis.
b) Se um retângulo possui lados medindo 3 e a, qual é o valor da sua área?
a
A = 3. a
3
c) Recortando novamente dois retângulos congruentes aos anteriores e colandoos um ao lado do outro, de modo que o lado congruente de cada retângulo se
justaponha que polígono você obtém?
Um retângulo
a
a
3
d) Quais são as medidas dos lados do polígono assim obtido? E qual é a área de
sua superfície?
Lados: a e ( a + 3)
A = a2 + 3ª
Mostrar que a área total pode ser representada pela soma das áreas das duas
figuras e também pela multiplicação, já explorando a propriedade distributiva da
multiplicação e introduzir o conceito de polinômio. Segundo DANTE (2004) a
expressão a2
+
3a indica uma adição de monômios. Toda expressão que indica
uma soma algébrica, ou seja, uma adição ou subtração de monômios, é chamada
de polinômio.
Atividade 7
a) Se um quadrado possui lado de medida a, qual é a área de sua superfície?
A=a.a
a
A = a2
a
b) Se um retângulo possui lados medindo a e b, qual é a área de sua superfície?
A=a.b
a
b
c) Recortando novamente dois retângulos congruentes aos anteriores e colandoos um ao lado do outro, justapondo os lados congruentes, que polígono você
obtém?
Um retângulo
a
a
b
d) Quais as medidas dos lados do polígono assim obtido? E qual é a área de sua
superfície?
Lados: a e (a + b)
A = a . (a + b)
A = a2 + ab
Atividade 8
Determine figuras geométricas com áreas que possam ser representadas pelas
seguintes expressões algébricas:
a) 3 . x
b) m . n
x
m
3
n
c) 4 . a
d) 2 m n
a
n
4
m
f) 3 a b
2
e) 3 x
m
b
x
x
x
x
a
a
a
Esta atividade representa o processo inverso das realizadas anteriormente. O
professor deve levar o aluno a compreender que o produto representa a área de
um retângulo.
Atividade 9
Utilizando papel quadriculado e tesoura, prove geometricamente que:
a) 3x  2x  5x
b) 5m 2m 3m
c) 3ab  2ab  ab
3
2
m
x
2
b
3
ab
ab
a
a
ab
a
Nesta atividade é possível mostrar que a subtração também pode ser
representada. No material manipulável o professor deve orientar o “corte” da
figura, a área restante é o resultado da subtração.
Atividade 10
Utilizando desenhos, determine geometricamente:
a) 2 a . 3 a = 6 a2
b) m . ( m + n ) = m2 + mn
c) ( x + 2 ) . ( x + 3) =
x2 + 5x + 6
a
a2
a2
a
a2
a2
a2
a2
a
a
a
Atividade 11
m
m2
mn
2
2x
x2
x
n
m
x
3x
3
Utilizando papel quadriculado determine geometricamente (a + 2)2
a) Recorte as seguintes peças no papel quadriculado:
- um quadrado de lado de medida a ( sugerir que seja a > 2)
- dois retângulos com lados medindo a e 2
- um quadrado de lado de medida 2
b) Colando as peças recortadas, monte um quadrado maior de modo que os
lados tenham como medida ( a + 2)
2a
a2
a
2a
2
2
a
c) Qual a área total da superfície do quadrado representado?
A=(a+2).(a+2)
A = ( a + 2 )2
A = a2 + 4a + 4
O professor pode aproveitar a atividade e explorar o cálculo algébrico que resulta
na potenciação e o cálculo da área total por soma das áreas parciais.
Atividade 12
Utilizando papel quadriculado, determine geometricamente:
a) ( a + 5)2 = a2 + 10 a + 25
5a
5
a2
a
a
5a
5
( x + 3)2 = x2 + 6x + 9
3
3x
x
x2
x
3x
3
Nesta atividade cabe ao professor:
- Incentivar a escolha de diferentes valores para as “variáveis”
- Conduzir as atividades para que o aluno perceba as regularidades
- Generalizar para o quadrado da soma de dois termos e apresente o conceito de
“Produtos Notáveis”
[...] Alguns produtos algébricos apresentam um padrão, uma regularidade. A
observação dessa regularidade serve para facilitar os cálculos. Por esse motivo
são denominados “produtos notáveis” (DANTE, 2004).
Atividade 13
Utilizando papel quadriculado, determine geometricamente (x-2)2:
a) Recorte um quadrado de lado x
x
x
b) Recorte de um dos lados desse quadrado (altura) um retângulo cuja área seja
2x.
x–2
2
2x
x
c) Recorte do outro lado desse quadrado (base) um retângulo cuja área seja 2x.
x–2
2
x–2
2
x
x–2
2x
2x
2
x
4
2x
2x
2
O professor deverá mostrar que não é possível recortar , pois “vai faltar” o pedaço
que já foi recortado mas que pode ser resolvido pela “compensação” de área, ou
seja, “acrescento” a área que falta e “recorto”. Logo o raciocínio algébrico é: área
x
inicial: x2, área acrescentada é 4, a área retirada ( 2. 2x). Então a área final é x2
– 4x + 4 e os lados
são ( x – 2).
d) Qual a área da superfície do quadrado cujo lado é representado por (x – 2)?
Assim ( x – 2 )2 = x2 – 4x + 4
x
Atividade 14
Utilizando papel quadriculado, determine geometricamente
a) ( x – 3 )2 = x2 – 6x + 9
3x
3x
x–3
x–3
b) ( a – 1 )2 = a2 – 2a + 1
x
x
x–
1
x–1
Professor,
- Incentivar a escolha de diferentes valores para as “variáveis”
- Conduzir as atividades para que o aluno perceba as regularidades
- Generalizar e apresentar o conceito do “Quadrado da diferença de dois termos”
[...] para obter a área da região quadrada de lado (a – b), determinamos a área de
a2 e dela subtraímos as áreas ab e ab. Ao subtrair essas duas últimas áreas,
subtraímos duas vezes a área b2. Por isso, precisamos somar de novo uma vez a
área de b2. Assim
(a – b) 2 = a2 – 2ab + b2 (DANTE, 2004).
Atividade 15
Utilizando
papel quadriculado, determine geometricamente (a + 2).(a – 2).
a) Recorte um quadrado cujo lado mede ª
a
a
b)
Acrescente a um dos lados (base) um retângulo cujos lados medem 2 e a
a
a
2
e) Retire da base do quadrado um retângulo cujos lados medem 2 e a e recorte o
excesso.
(a – 2)
(a + 2)
(a + 2)
Professor, enfatizar que é necessário que se tenha um polígono regular. Trabalhar
novamente a “compensação de área”, para anular o pedaço irregular é necessário
tirar 4 unidades de área. Logo o raciocínio algébrico é: à área inicial
acrescento a área 2a, tiro a área 2a e tiro 4.
Assim: (a + 2).(a – 2) = a2 +2a -2a - 4
(a + 2).(a – 2) = a2 - 4
Atividade 16
Utilizando papel quadriculado, determine geometricamente.
a) (b + 1) . ( b – 1)
(b - 1)
(b- 1)
(b + 1)
(b + 1)
b) (x + 5) . ( x – 5)
(x - 5)
(x + 5)
(x- 5)
(x + 5)
a 2,
Professor,
- Incentivar a escolha de diferentes valores para as “variáveis”
- Conduzir as atividades para que o aluno perceba as regularidades
- Generalizar e apresentar a definição do “Produto da soma pela diferença de dois
termos”
Estas são algumas das atividades que podem ser exploradas na construção
do pensamento algébrico e definição de monômios, polinômios, produtos notáveis
e fatoração, que podem ser mais ou menos enfatizadas conforme as dificuldades
apresentadas. Sugiro que para complementar as atividades o software encontrado
no site. Este software realiza as operações algébricas virtualmente do mesmo
modo apresentadas com material manipulável. Além de servir como motivação,
podem agilizar as atividades propostas.
REFERÊNCIAS
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