PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO
RIO GRANDE DO SUL
FACULDADE DE MATEMÁTICA
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Material elaborado pelo Prof. Francisco Leal Moreira
SUMÁRIO
FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL .................................................................................................................... 1
1.
2.
3.
4.
INTRODUÇÃO ......................................................................................................................................... 1
FUNÇÃO PAR E FUNÇÃO ÍMPAR......................................................................................................... 4
ZEROS DE UMA FUNÇÃO ..................................................................................................................... 4
TRANSLAÇÕES E REFLEXÕES DE GRÁFICOS DE FUNÇÕES......................................................... 5
4.1. Translações Verticais ......................................................................................................................... 5
4.2. Translações Horizontais..................................................................................................................... 5
4.3. Reflexões............................................................................................................................................. 5
5. FUNÇÃO POLINOMIAL......................................................................................................................... 6
5.1. Função constante................................................................................................................................ 6
5.2. Função polinomial de 1o grau ............................................................................................................ 6
5.3. Função polinomial de 2o grau(função quadrática) ............................................................................ 8
5.4. Função potência ................................................................................................................................. 9
6. FUNÇÃO RACIONAL .............................................................................................................................. 9
7. FUNÇÃO RAIZ N-ÉSIMA ...................................................................................................................... 10
8. FUNÇÕES DEFINIDAS POR MAIS DE UMA LEI................................................................................ 10
9. FUNÇÃO VALOR ABSOLUTO ............................................................................................................. 11
9.1. Interpretação geométrica ................................................................................................................. 11
9.2. Propriedades do valor absoluto ....................................................................................................... 11
10. OPERAÇÕES ARITMÉTICAS COM FUNÇÕES................................................................................. 12
11. COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES ............................................................................................................. 12
12. FUNÇÃO INVERSA.............................................................................................................................. 13
13. FUNÇÃO EXPONENCIAL ................................................................................................................... 14
13.1. Função Exponencial Natural........................................................................................................... 16
13.2. Crescimento e Decrescimento Exponencial .................................................................................... 16
14. FUNÇÃO LOGARITMO ...................................................................................................................... 17
14.1. Propriedades dos Logaritmos ......................................................................................................... 17
14.2. Função Logaritmo Natural............................................................................................................. 17
14.3. Mudança de Base ............................................................................................................................ 18
15. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ....................................................................................................... 21
15.1. Revisão de Trigonometria no Triângulo Retângulo ........................................................................ 21
15.2. Radiano ........................................................................................................................................... 23
15.3. Ciclo Trigonométrico ...................................................................................................................... 23
15.4. Funções Seno e Cosseno.................................................................................................................. 24
15.5. As Demais Funções Trigonométricas .............................................................................................. 25
15.6. Relações Importantes ...................................................................................................................... 25
15.7. Adição e Subtração de Arcos........................................................................................................... 25
16. RESPOSTAS .......................................................................................................................................... 26
LIMITES E CONTINUIDADE........................................................................................................................ 30
1. NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE.......................................................................................................... 30
2. LIMITES LATERAIS.............................................................................................................................. 31
3. FUNÇÃO CONTÍNUA NUM PONTO ................................................................................................... 33
4. FUNÇOES BÁSICAS CONTÍNUAS...................................................................................................... 33
5. PROPRIEDADES OPERATÓRIAS........................................................................................................ 34
6. LIMITES INFINITOS ............................................................................................................................. 34
7. ASSÍNTOTA VERTICAL....................................................................................................................... 35
8. LIMITES NO INFINITO ......................................................................................................................... 36
9. ASSÍNTOTA HORIZONTAL................................................................................................................. 37
10. RESPOSTAS .......................................................................................................................................... 37
DERIVADAS................................................................................................................................................... 38
1. TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO(TMV).................................................................................................. 38
2. DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO ................................................................................... 39
3. DERIVADA DE UMA FUNÇÃO OU FUNÇÃO DERIVADA .............................................................. 39
4. REGRAS DE DERIVAÇÃO ................................................................................................................... 39
4.1. Derivada da Função Constante...................................................................................................... 39
4.2. Derivada da Função Identidade..................................................................................................... 39
4.3. Derivada da Função Exponencial Natural..................................................................................... 39
4. 4. Derivada da Função Logaritmo natural ....................................................................................... 39
4. 5. Derivada da Função Seno ............................................................................................................. 39
4. 6. Derivada da Função Cosseno ....................................................................................................... 40
4.7. Derivada da Soma de duas Funções.............................................................................................. 40
4. 8. Derivada do Produto de uma constante por uma Função.............................................................. 40
4. 9. Derivada da Função Potência....................................................................................................... 40
4. 10. Derivada do Produto de duas Funções ......................................................................................... 40
4. 11. Derivada do Quociente de duas Funções ...................................................................................... 41
5. DERIVADA DE FUNÇÃO COMPOSTA................................................................................................ 41
5.1. Derivada da Composta da Função Potência com uma Função f ..................................................... 41
5.2. Derivada da Composta da Função Logaritmo Natural com uma Função f ...................................... 41
5.3. Derivada da Composta da Função Exponencial Natural com uma Função f .................................. 41
5.4. Derivada da Composta da Função Seno com uma Função f ........................................................... 42
5.5. Derivada da Composta da Função Cosseno com uma Função f...................................................... 42
6. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA ......................................................................... 43
7. TAXA DE VARIAÇÃO .......................................................................................................................... 44
8. DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR ................................................................................................. 44
9. REGRA DE L’HOPITAL ......................................................................................................................... 45
10. ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DE UMA FUNÇÃO.................................................................. 45
10.1. Ponto Crítico .................................................................................................................................. 45
10.2. Função Crescente e Função Decrescente ...................................................................................... 45
10.3. Determinação dos Intervalos de Crescimento e Decrescimento .................................................... 46
10.4. Determinação dos Extremos Relativos de uma Função ................................................................. 46
10.5. Concavidade e Inflexão .................................................................................................................. 47
10.6. Taxa de Variação de uma Taxa de Variação .................................................................................. 49
11. RESPOSTAS ......................................................................................................................................... 50
FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
1. INTRODUÇÃO
Exemplo: Quando dizemos que o volume ocupado por uma massa constante de um gás, em condições de
pressão constante, depende unicamente da temperatura do gás, queremos dizer que conhecida a medida da
temperatura T , podemos determinar o seu volume V, através da expressão V = kT .
A equação V = kT , onde k é uma constante, define V como função de T , pois dado o valor da variável
independente T , existe, em correspondência, um único valor para a variável dependente V.
Uma relação deste tipo é denominada de função de uma variável.
Uma grandeza y é uma função de outra grandeza x, se a cada valor de x estiver associado um único valor
de y. Dizemos que y é o valor da função ou a variável dependente, e x a variável independente. Escrevemos
y = f(x), onde f é o nome da função.
O domínio da função é um conjunto de possíveis valores da variável independente e a imagem é o conjunto
correspondente de valores da variável dependente.
As funções de uma variável podem ser representadas por meio de tabelas, gráficos e fórmulas. Observe o
exemplo a seguir.
A tabela abaixo, construída experimentalmente, apresenta a relação entre pressão e volume de um gás ideal
numa certa temperatura.
P(atm)
1
2
4
5
8
10
V(L)
40
20
10
8
5
4
Observe que a cada valor de V esta associado um único valor de P e vice versa. Portanto, podemos pensar
numa função de V em P ou numa função de P em V. Na físico-química, considera-se P com função de V,
sendo então V a variável independente e P a variável dependente.
Nota: As tabelas são importantes porque com freqüência é a forma como as funções aparecem
1
Esta mesma função de V em P, poderia ser dada através do gráfico abaixo.
P(atm)
10
8
5
4
2
1
0
4 5
8 10
20
40 V(L)
Notas:
a) A variável independente V não é uma variável discreta e sim uma variável continua, pois assume
valores numéricos num intervalo e não valores isolados.
b) Através do gráfico podemos perceber propriedades globais rapidamente, por exemplo: domínio,
imagem, velocidades de crescimento e decrescimento, etc...
Outra forma de apresentar esta função de V em P é através de uma fórmula.
Da tabela, P.V = 40 e portanto a função pode ser dada pela equação P =
40
.
V
Nota: As fórmulas são exatas e sujeitas à análise.
E1) Qual o significado de f(x) = x2 , x2 ≤ 4 , x2= 4 ?
E2) Esboce os gráficos de f(x) =
x3 − x
2
, g(x) = x4 – 2x2 e h(x) = x2+ 2x – 3, mostrando as
x −x
intersecções com os eixos coordenados.
E3) Qual a solução da inequação , x2 ≤ 4 ?
E4) Qual o significado de x2 + y2 =4 ? A equação define uma função do tipo y = f(x)?
E5) Interprete as equações y = f(x) = x2 , v = f(t) = t2 , v = f(x) = t2.
E6) Você tem um orçamento fixo de R$ 50,00 para gastar com refrigerantes e óleo de bronzear, que custam
R$1,00 e R$20,00 por litro, respectivamente.
a) Obtenha uma equação expressando a relação entre o número de litros de refrigerante e o número de
litros de óleo de bronzear que você pode comprar caso use todo o seu orçamento. (Esta equação é sua
restrição orçamentária.)
2
b)Esboce o gráfico da restrição orçamentária supondo que você possa comprar frações de litro. Indique
as intersecções com os eixos vertical e horizontal.
c) Suponha que seu orçamento de repente é dobrado. Esboce o gráfico da nova restrição orçamentária
usando os mesmos eixos.
d) Com um orçamento de R$50,00, o preço do óleo de bronzear dobra repentinamente. Esboce o gráfico
da nova restrição orçamentária usando os mesmos eixos.
E7) Em um carro que comporta até cinco passageiros, a despesa com a gasolina será dividida entre o número
de pessoas que efetuará uma viagem. Se a despesa com gasolina é R$ 45,00, organize uma tabela que
relacione o número de passageiros do carro e o valor a ser pago por cada um. Expresse uma lei que
relacione essas variáveis.
E8) Achar o domínio das seguintes funções:
1
1
b) f(x) =
a) f(x) =
x −3
5x + 7
e) f(x) = 3+
x
f) f(x) =
3
x
c) f(x) =
g) f(x) =
6 − 3x
1
3+ x
d) f(x) =
h) f(x) =
x2 − 4
x2 −4
x−2
E9) Com uma folha de cartolina de 20cm por 20 cm, queremos construir uma caixa retirando de cada canto
quadrados de lado x.
a)Escrever a lei que expressa o volume da caixa.
b)Esta lei define uma função ? Em caso afirmativo determine o domínio.
E10) Expressar a diferença entre a idade de seu pai e a sua em função do tempo.
E11) A tarifa de uma corrida de táxi em determinada cidade é composta de duas partes: uma parte fixa
chamada bandeirada e uma parte variável que corresponde ao número de quilômetros que o táxi
percorre. Sabe-se que a bandeirada custa R$ 2,80 e o preço por quilômetro rodado é de R$ 0,80.
Expresse o preço a pagar y em função do número de quilômetros rodados x.
E12) Um botijão de gás contém 13 kg de gás. Em média, é consumido, por dia, 0,5 kg.
a) Expresse a massa m de gás no botijão, em função de t (dias de consumo).
b) Esboce o gráfico dessa função.
c) Determine o domínio dessa função.
3
E13) Um professor pediu para sua turma uma tarefa a ser realizada em grupo. Os grupos variam de dois a
no máximo 5 componentes. A despesa de cada grupo que será de R$ 60,00 será dividida entre seus
elementos. Encontre uma expressão que especifique o valor a ser pago por um aluno de um possível
grupo.
E14) Uma caixa aberta deve ser construída de uma folha retangular de metal de 8 cm por 15 cm cortando
fora quadrados com lados de comprimento x de cada canto, dobrando os lados. Expresse o volume V
da caixa em função de x. Quais os valores que poderão ser assumidos pela variável independente?
E15) Hoje a população de um país é de 100 milhões de habitantes e sua taxa de crescimento é de 2% ao ano.
Supondo que essa taxa se mantenha, qual a fórmula que dá a população, em milhões, daqui a n anos ?
E16) Qual dos gráficos melhor se ajusta a cada função?
t
1
2
3
4
5
6
G(t)
23
24
26
29
33
38
H(t)
10
20
29
37
44
50
K(t)
2,2
2,5
2,8
3,1
3,4
3,7
(a)
(b)
(c)
(d)
2. FUNÇÃO PAR E FUNÇÃO ÍMPAR
a) Uma função f é par quando para todo x no domínio de f têm-se f(-x) = f(x).
b) Uma função f é ímpar quando para todo x no domínio de f têm-se f(-x) = -f(x).
E17) Identifique as funções que são pares ou ímpares.
a) f(x) =x2
b) f(x) =x3
c) f(x) = 3x3 - x2
d) f(x) = 5x4 + 2
e) f(x) = 2x5 - 3x3
Observação: O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo das ordenadas e o gráfico de uma
função ímpar é simétrico em relação à origem.
3. ZEROS DE UMA FUNÇÃO
Zeros ou raízes de uma função f são os valores de x para os quais f(x) = 0. Geometricamente, são
os pontos de interseção da curva, gráfico de f , com o eixo dos x.
E18) Encontre os zeros das funções:
a) f(x) = 2x – 4
b) f(x) = x2 – 2x – 3
4
c) f(x) = x4 – x2
4. TRANSLAÇÕES E REFLEXÕES DE GRÁFICOS DE FUNÇÕES
Para facilitar o traçado de um gráfico, é bastante útil saber o que acontece com o gráfico de uma função
y = f(x) quando f(x) é substituído por f(–x) ou – f(x) ou f(x+k) ou f(x – k ) ou f(x) + k ou f(x) – k, onde k é
uma constante positiva.
4.1. Translações Verticais
a) O gráfico da função definida por y = f(x) + k tem o mesmo formato do gráfico de f, porém deslocado k
unidades para cima.
b) O gráfico da função definida por y = f(x) – k tem o mesmo formato do gráfico de f, porém deslocado k
unidades para baixo.
4.2. Translações Horizontais
a) O gráfico da função definida por y = f(x + k) tem o mesmo formato do gráfico de f, porém deslocado k
unidades para a esquerda.
b) O gráfico da função definida por y = f(x – k) tem o mesmo formato do gráfico de f, porém deslocado k
unidades para a direita.
4.3. Reflexões
a) O gráfico da função definida por y = – f(x) tem o mesmo formato do gráfico de f, porém simétrico ao
gráfico de f em relação ao eixo x.
b) O gráfico da função definida por y = f(–x) tem o mesmo formato do gráfico de f, porém simétrico ao
gráfico de f em relação ao eixo y.
E19) Dados os gráficos das funções abaixo, faça por reflexões e translações os gráficos das funções dadas:
y
y
y
y
y
0
x
y=|x|
0
x
y = x2
0
x
0
y=x
y=
x
1
x
y=
a) y = | x – 2 |
b) y = | x | + 1
c) y = – | x |
d) y = x2 – 2
f) y =–x2 – 1
g) y = –x
h) y =x+1
i) y = –x – 2
k) y =
1
+1
x
l) y =
1
x−2
m) y =
5
1
( x + 2)
2
n) y =
0
1
x2
–2
x
1
x2
e) y = (x+2)2
1
j) y = –
x
5. FUNÇÃO POLINOMIAL
É uma função definida por uma equação da forma f(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 +...+ an-1x +an , onde
a0, a1, a2 ... an-1 e an são números reais chamados coeficientes e n é um número inteiro não-negativo.
Se a0 ≠ 0 dizemos que esta função polinomial é de grau n.
Exemplos:
a) f(x) = 2x3 – 5x2 + 4x – 1 é polinomial do grau 3
b) f(x) = 2 – 5x2 é polinomial do grau 2
c) f(x) = 3x + 1 é polinomial do grau 1
d) f(x) = – 5 é polinomial do grau 0
e) f(x) = 0 é polinomial e não se atribui grau
5.1. Função constante
É uma função polinomial da forma f(x) = c, onde c ∈ lR.
O gráfico cartesiano de uma função constante é sempre uma reta paralela ao eixo dos x e que
intercepta o eixo dos y no ponto (0, c).
y
Dom f = lR
c
Im f = { c }
x
0
5.2. Função polinomial de 1o grau
É uma função polinomial da forma f(x) = ax + b, com a e b ∈ lR e a ≠ 0.
O gráfico cartesiano de uma função polinomial do 1o grau é sempre uma reta de equação
y = ax + b, onde a é o coeficiente angular ou declividade e b é o coeficiente linear.
y
f2
b2
α2
o
f1
Como 0 o < α 1 < 90 o , a1 = tg α 1 > 0 e portanto f1 é crescente.
x
Como 90 o < α 2 < 180 o , a2 = tg α 2 < 0 e portanto f2 é decrescente.
α1
b1
E20) Numa função polinomial do 1o grau o coeficiente angular “a” não pode ser zero, por quê ?
6
E21) Um caso particular da função polinomial do 1o grau é a função Identidade, definida por f(x) = x.
Esboce o seu gráfico.
E22) Construa os gráficos das seguintes funções:
b) f(x) = 3x + 2 , x ∈ [-2,1)
a) f(x) =–x + 1
c) f(x) = –2, x ∈ (-1,3]
Importante: Numa função polinomial do 1o grau, a razão de variação de y em relação a x é constante e igual ao
coeficiente angular a, isto é,
y
y2
Δy
Δx
= a.
y
y1
Δy
y1
y2
Δx
x2
0 x1
Δy
Δx
Δy
x
0
Δx
x1
x2
Δy
=a>0
Δx
x
=a<0
E23) Valores correspondentes a p e q são dados na tabela abaixo.
a)Determine se a tabela define q como uma função linear de p.
b)Determine se a tabela define p como um função linear de q.
p
q
1
950
2
900
3
850
4
800
E24) Ao longo dos anos iniciais dos Jogos Olímpicos, a marca vencedora do salto com vara teve um
crescimento dado pela tabela:
Ano
1900
1904
1908
1912
Altura (m)
3,33
3,53
3,73
3,93
a) Ache uma lei que represente a altura atingida no salto em função do tempo em anos, desde 1900.
b) Esboce o gráfico da equação obtida em a.
E25) Uma equação linear foi usada para gerar os valores da tabela abaixo. Encontre esta equação.
x
y
5,2
27,8
5,3
29,2
5,4
30,6
5,5
32
5,6
33,4
E26) Às 9h20min da manhã, uma sonda lunar está a 1.000 pés acima da superfície da lua e começa uma
descida vertical atingindo o solo lunar às 10h 13min da manhã. Supondo que a sonda mantenha uma
velocidade constante, ache uma função D tal que D(t) expresse aproximadamente a altitude da sonda
acima da lua como uma função de t.
7
E27) Uma empresa de aluguel de automóveis oferece carros a R$40,00 por dia e 15 centavos o quilômetro.
Os carros do seu concorrente estão a R$ 50,00 por dia e 10 centavos o quilômetro.
a)Para cada empresa, obtenha uma fórmula que dê o custo de alugar um carro por dia em função da
distância percorrida.
b) Nos mesmos eixos, esboce o gráfico de ambas as funções.
c) Como decidir que empresa está com o aluguel mais barato?
E28) Para pequenas variações de temperatura, a fórmula para a dilatação de uma barra de metal submetida a
mudanças de temperatura é l − l 0 = al 0 (t − t 0 ) , onde l é o comprimento do objeto quando a
temperatura é t ,l 0 é o comprimento inicial na temperatura t 0 , e a é uma constante que depende do tipo
de metal.
a) Expresse l como função linear de t . Encontre a inclinação e a intersecção vertical.
b) Suponha que você tenha uma barra que, inicialmente, mede 100cm a uma temperatura de 10ºC, e
feita de um metal com a igual a 10 −5 . Obtenha a equação que dá o comprimento da barra em função
da temperatura t.
c) O que diz o sinal da inclinação a respeito da dilatação de um metal sob uma variação de t ?
5.3. Função polinomial de 2o grau(função quadrática)
É uma função polinomial da forma f(x) = ax2 + bx + c, com a, b e c ∈ lR
e a ≠ 0.
Seu gráfico é uma parábola :
a) com eixo de simetria paralelo ao eixo das ordenadas;
b) de vértice V(xV , yV), onde: xV =
−b
−Δ
e yV = f(xV) ou yV =
, com Δ = b2 – 4ac;
4a
2a
c) com a concavidade voltada para cima se a > 0 e com a concavidade voltada para baixo se a < 0.
Y
c1
o V1
c2
y = a1x2 + b1x + c1 (a1 > 0 , Δ = 0 , c1 > 0)
V2
x
y = a2x2 + b2x + c2(a2 < 0 , Δ > 0 , c2 < 0)
8
E29) Construa os gráficos de:
a) f, quadrática, tal que x1 = x2 = 1, c = -1 e V(1,0)
b) f, quadrática, tal que x1 = 0, x2 = 4, c = 0 e V(2,-4)
d) f(x) = x2 – 4
c) f, quadrática, tal que x1, x2 ∉ ℜ , c = -4 e V(1,-3)
f) f(x) = x2 – 2x + 1
e) f(x) = -x2 + 2x
g) f(x) = –x2 – 2 , x ∈ [-2,1)
E30) Na figura, ABCD é um quadrado de lado igual a 4. Os pontos M e N, deslocam-se sobre os lados AB e AD de
modo que se tenha AM = 2.AN. Se AN = x, determine:
a) a área S(x) do quadrilátero MCDN, em função de x.
b) o valor de x para que a área desse quadrilátero seja máxima.
c) o valor máximo da área citada em b.
C
B
M
4
D
N
A
5.4. Função potência
É uma função polinomial da forma f(x) = xn , onde n é um número inteiro positivo.
E31) Trace os gráficos das funções dadas por y = x2 e y = x4 , no mesmo sistema de eixos e compare-os.
E32) Trace os gráficos das funções dadas por y = x, y = x3 e y = x5 , no mesmo sistema de eixos e compare-os.
6. FUNÇÃO RACIONAL
p(x)
onde p(x) e q(x) são funções polinomiais e q(x) ≠ 0 .
q(x)
Seu gráfico pode apresentar retas denominadas assíntotas verticais nos pontos onde o denominador se anula
É uma função da forma f(x) =
e retas denominadas assíntotas horizontais se f(x) se aproxima de um valor finito quando x cresce ou decresce
sem limites.
y
Exemplo:
2
f(x) =
x
x 2 −1
1
-1
1
Assíntotas verticais: x = -1 e x = 1
x
Assíntota horizontal: y = 1
9
1
1
e y = − , compare-os e determine os domínios.
x
x
1
1
1
e y = + 2 , compare-os com o gráfico de y =
E34) Trace os gráficos das funções dadas por y =
x −1
x
x
E33) Trace os gráficos das funções dadas por y =
e determine os domínios.
E35) Trace os gráficos das funções dadas por y =
1
x
1
x2
e y =−
1
E36) Trace os gráficos das funções dadas por y =
y=
2
( x + 1)
2
1
x2
e y=
, compare-os e determine os domínios.
1
x2
– 2 , compare-os com o gráfico de
e determine os domínios.
E37) Trace o gráfico da função dada por y =
x2 −1
e determine o domínio.
x −1
7. FUNÇÃO RAIZ N-ÉSIMA
É uma função da forma f ( x ) = n x , onde n é um número inteiro maior que um.
E38) Trace os gráficos das funções dadas por y = x e y = 3 x , compare-os e determine os domínios.
x − 1 , y = x + 1 , y =– x e y = − x e compare-os com
E39) Trace os gráficos das funções dadas por y =
o gráfico de y = x .
E40) Trace os gráficos das funções dadas por y =
3
3
x + 1 , y = 3 x - 1 , y =– 3 x e y = − x e compare-os com
o gráfico de y = 3 x .
8. FUNÇÕES DEFINIDAS POR MAIS DE UMA LEI
E41) Um imposto é cobrado em função da renda mensal do contribuinte da seguinte maneira: até 10 sm (salários
mínimos), inclusive, o contribuinte está isento; entre 10 sm e 20 sm paga 10%; 20 sm ou mais, paga 25%.
Dê a lei dessa função e esboce o seu gráfico.
E42) Esboce o gráfico da função abaixo, determinando o domínio e imagem.
⎧2x + 5,
⎪
f(x) = ⎨x 2 ,
⎪2,
⎩
se
− 5 ≤ x < −2
se
−2 ≤ x <1
x ≥1
se
E43) Defina uma função que forneça a distância de um ponto da reta à origem.
10
9. FUNÇÃO VALOR ABSOLUTO
É a função definida por f(x) = x
Observação:
onde
⎧ x , se x ≥ 0
.
x =⎨
⎩− x , se x < 0
x2 = x
E44) Esboce o gráfico da função valor absoluto, determinando o domínio e imagem.
E45) Resolva as equações:
a) x − 4 = 3
b) x + 1 = 5
c) x − 1 = x − 3
9.1. Interpretação geométrica
Se x ∈ ℜ , x representa na reta a distância do ponto x à origem.
9.2. Propriedades do valor absoluto
Se x ∈ lR , y ∈ lR e a ∈ lR + , temos:
1. − x = x
3.
x
x
=
y
y
2. xy = x ⋅ y
, y ≠0
4. x + y ≤ x + y
5. x = a ⇔ x = a ∨ x = −a
6. x ≤ a ⇔ − a ≤ x ≤ a
7. x ≥ a ⇔ x ≤ − a ∨ x ≥ a
8. x
2
= x2
E46) Resolva as inequações:
a) x + 2 < 1
b) x − 4 > 3
c) x − 2 ≤ 1
d) x + 4 ≥ 3
d) f(x) =
E47) Esboce os gráficos das funções definidas abaixo :
a) f(x) = x − 1
b) f(x) = x + 2
c) f(x) = x 2 − 4
e) f(x) = x + 2
f)f(x)= x − 2
g) f(x) = - x
E48) No exercício E47, defina as funções como funções definidas por mais de uma lei.
11
x
x
10. OPERAÇÕES ARITMÉTICAS COM FUNÇÕES
Assim como podemos adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir números reais, obtendo novos números
reais, podemos operar com funções, produzindo novas funções.
Duas funções f e g podem ser adicionadas, subtraídas, multiplicadas ou divididas para formar as funções
f
f + g, f − g, f .g e , ditas, respectivamente, função soma, função diferença, função produto e função
g
quociente, assim definidas:
(f + g)( x ) = f ( x ) + g( x )
(f − g )( x ) = f ( x ) − g ( x )
(f .g )( x ) = f ( x ).g ( x )
⎛f ⎞
f (x)
⎜⎜ ⎟⎟( x ) =
g
g
(x)
⎝ ⎠
Sendo:
Dom(f + g) = Dom(f − g) = Dom(f .g) = Domf I Domg
⎛f ⎞
Dom⎜⎜ ⎟⎟ = Domf I Domg − {x ∈ IR / g ( x ) = 0}
⎝g⎠
E49) Usando f(x) = x2 e g( x) =
x , achar as funções: f+g,f–g,f.g, f/g, explicitando os domínios.
11. COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES
fog
•x
g
f
g(x)
f(g(x))
dom g
dom f
Dadas as funções f e g, a composta de f e g denotada por fog, é a função definida por (fog)(x)=f(g(x)).
Dom fog = {x ∈dom g / g(x) ∈ dom f}
12
E50) Em certa fábrica, durante o horário de trabalho, o custo de fabricação de q unidades é dado por
C(q) = q2 + q + 900 reais. Num dia normal de trabalho, durante as t primeiras horas de produção, são
fabricadas q(t) = 25 t unidades.
a) Determine o custo total em função de t.
b) Quanto terá sido gasto na produção, no final da 3a hora ?
E51) Dadas as funções f e g, determine as compostas fog , gof, fof, gog e respectivos domínios.
a) f(x) = x2 – 16 e g(x) =
b) f(x) = x2 e g( x) = x − 3
x
c) f(x) = 2x2–x e g(x) = 3x+2
d) f(x) =
1
e g(x) = x3+2x
x
E52) A queda de uma pedra num lago cria ondas circulares que se espalham a uma velocidade de 60cm/s.
a) Expresse o raio desse círculo como função do tempo t (em segundos).
b) Se A é a área do círculo como função do raio, encontre Aor e interprete-a.
E53) Se f(x) = (2x +1)3 , encontre duas funções g e h , tais que f = goh.
E54) Se f(x) = 3x+5 e h(x) = 3x2+3x+2, encontre uma função g tal que fog = h.
12. FUNÇÃO INVERSA
E55) Se invertermos os pares da função f de A em B abaixo, teremos uma função g de B em A ?
A
a)
B
A
f
b)
B
f
1
1
4
2
5
3
6
4
2
5
3
E56) Se invertermos os pares das funções dadas por y = 2x e y = x2 teremos novas funções?
A
B
f
x
y
f -1
y = f(x) ⇔ f -1(y) = x
Dom f = Im f –1 e Dom f –1 = Im f
13
E57) A função dada por f(x) = 2x+3 é inversível? Em caso afirmativo qual a lei da inversa, o domínio e a
imagem? Represente graficamente a f e a inversa de f no mesmo sistema de eixos. Quem é a composta
da f com a inversa?
E58) A função dada por g(x) = x2 é inversível? Em caso afirmativo, repita o exercício E57 e em caso
contrário, determine uma restrição do domínio onde g seja inversível, com os respectivos domínios,
imagens e gráficos no mesmo sistema de eixos. Neste caso, encontrar a composta de g com a inversa.
E59) Encontre, caso exista, a inversa da função f.
a) f(x) = 2x – 3
b) f(x) = x2 – 1
c) f(x) = x2 – 1, x ≥ 0
d) f(x) = x3 + 1
e) f(x) =
x −1
2−x
IMPORTANTE:
a) Toda função crescente (decrescente) é inversível.
b) Uma função f é inversível se e somente se cada y ∈ Im f é imagem de um único x ∈ Dom f.
Geometricamente: Uma função f é inversível se e somente se o gráfico de f for cortado, no máximo,
uma vez por qualquer reta horizontal.
c) Os gráficos de f e f -1 são simétricos em relação à reta y = x.
d) f –1(f(x)) = x , ∀x ∈ A e f(f –1(x)) = x , ∀x ∈ B
13. FUNÇÃO EXPONENCIAL
E60) Suponha que exista inicialmente 1 bactéria em certa cultura. Sabendo que a cada hora o número de
bactérias duplica, escreva a lei da função que relaciona o número de bactérias com o tempo em horas.
.
E61) A pressão que a camada de ar exerce sobre um corpo, ao nível do mar, é de 1 atm(atmosfera). Para cada
metro de altitude acima do nível do mar, essa pressão cai em 10 %. Construa uma tabela que forneça a
pressão, em atmosferas, em função da altitude, em metros. Escreva a lei que relaciona a pressão com a
altitude.
14
A Função Exponencial é uma função definida por f(x) = ax, onde a ∈ lR , a > 0 e a ≠ 1.
O gráfico de f(x) = ax depende do valor da base a.
y
y
y = ax
x
y=a
1
1
x
0
0
a>1
função crescente
x
0<a<1
função decrescente
A fórmula f(x)= fo ax gera uma família de funções exponenciais com parâmetro f0 e base a. A base tem
a mesma importância para uma função exponencial do que a declividade tem para uma função linear. O
crescimento ou decaimento exponencial é descrito com freqüência em forma de porcentagem. Por exemplo,
20
= 1 + 0,20 = 1,2. De modo
100
20
= 0,8.
análogo, se uma população está diminuindo 20%; o fator de decaimento é a = 1 100
se uma população está aumentando 20% , o fator de crescimento é a = 1 +
Observação: No E60, o número de bactérias está aumentando exponencialmente 100% a cada hora, logo o
fator de crescimento é a = 2. No E61, a pressão está diminuindo exponencialmente 10% a cada
metro de altitude, logo o fator de decrescimento é a = 1 – 0,10 = 0,9.
E62) A tabela abaixo nos dá a população do México no período de 1980-1986:
Ano
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
População ( em milhões)
67,38
69,13
70,93
72,77
74,66
76,60
78,59
Escreva a lei da função que relaciona a população do México em função do tempo.
E63) Suponha que Q= f(t) é uma função exponencial de t. Se f(4) = 8.100 e f(7) = 218.700:
a) Encontre a base.
b) Encontre a taxa de crescimento percentual.
c) Calcule f(0).
d) Calcule f(10).
15
E64) Uma droga é injetada na corrente sangüínea de um paciente ao longo de um intervalo de cinco minutos.
Durante esse tempo, a quantidade de droga no sangue cresce linearmente. Após os cinco minutos a
injeção é interrompida, e, então, a quantidade de droga decai exponencialmente. Esboce um gráfico da
quantidade versus tempo.
1
E65) Investigar o valor de (1 + ) x para valores de x cada vez maiores.
x
13.1. Função Exponencial Natural
Se a = e (Número de Euler), a função exponencial é chamada função exponencial natural e é notada
por f(x) = ex .
13.2. Crescimento e Decrescimento Exponencial
Uma função f cresce exponencialmente se f (x) = foekx e decresce exponencialmente se f(x) = foe-kx onde
fo é o valor f(0).
E66) Estima-se que, daqui a t anos, a população de um certo país será de P(t) = 50e0,02t milhões de
habitantes.
a) Qual é a população atual do país?
b) Qual será a população, daqui a 30 anos?
E67) Uma certa máquina desvaloriza de tal forma que, após t anos, seu valor é dado pela função
Q(t) = Qoe-0,04t . Após 20 anos, a máquina vale R$ 8.986,58. Qual era seu valor original ?
E68) Suponha que existam inicialmente 2000 bactérias em certa cultura e que existirão 6000 bactérias
20 minutos depois. Sabendo que o número de bactérias cresce exponencialmente, determine o
número de bactérias que existirão, após uma hora.
E69) A função exponencial de base a é inversível? Em caso afirmativo, determine a lei da inversa, o domínio,
a imagem e o gráfico?
16
14. FUNÇÃO LOGARITMO
A Função logarítmica é a função definida por f(x) = loga x , onde a ∈ lR, a > 0 e a ≠ 1.
A função logarítmica de base a é a inversa da função exponencial de base a.
Assim temos
y = logax ⇔ ay = x
y
y
y = loga x
0
x
1
0
x
1
y = loga x
a>1
função crescente
0<a<1
função decrescente
E70) Calcule:
a) log 2 8
b) log 9
1
3
c) log 5 5
d) log 6 1
E71) Se f(x) = 2x e g(x) = log2x , ache fog(x), gof(x), fog( 1), fog( 2) e fog(1/2).
14.1. Propriedades dos Logaritmos
1. log b 1 = 0
4. log b
2. log b b = 1
A
= log b A − log b B
B
3. log b AB = log b A + log b B
5. log b A m = m log b A
E72)Resolva as equações:
a)2x = 16
b)3x = 5
c)2t = 7
14.2. Função Logaritmo Natural
Se a = e (Número de Euler), a função Logaritmo é chamada função logarítmica natural e é notada por:
f(x) = ln x ou f(x) = L(x)
Como a função logarítmica natural é a inversa da função exponencial, temos:
y = ln x ⇔ ey = x
E73) Calcule os valores exatos de:
a) 3.lne + ln (1/e)
b)lne2 + e –lne
17
c)3.ln(e lne) + ln( lne)
E74) Determinar o domínio e representar geometricamente o gráfico das funções abaixo:
a)f(x) = ln(x+2)
b) f(x) = ln(x–2)
c) f(x) = ln x
d) g(x) = ln x
E75) No exercício E74, cada função f é uma composta de duas funções g e h. Determine g e h para cada f.
E76) Se f(x) = ex e g(x) = lnx , ache as composta fog e gof e determine os respectivos domínio.
14.3. Mudança de Base
As calculadoras científicas, geralmente, fornecem teclas para calcular logaritmos decimais e logaritmos
log x
ln x
ou log x =
.
naturais. Para calcular o log x utiliza-se uma seguintes fórmulas log x =
b
b
b
ln b
log b
E77) Calcule:
a) log 5
3
b) log
2
c) log 4
6
9
E78) Em uma cultura o número de bactérias é dado por f(t)= 1.000.30,5t (t é o tempo em horas). Quando o
número de bactérias for 9.000, qual será o valor de t ?
E79) Após t horas, a quantidade de bactérias de uma dada espécie é dada por Q(t) = 100. ekt , onde k é uma
constante. Se a quantia inicial dobrar em 1h, quanto tempo levará para se ter 1.120.000 de bactérias.
E80) Segundo uma pesquisa, após x meses de constatação da existência de uma epidemia, o número de
20. 000
. Daqui a quanto tempo, aproximadamente, o número de
pessoas atingidas por ela é f(x) =
2 + 16.4 − 2 x
pessoas atingidas por essa epidemia será de 2.000?
E81) Encontre a função inversa de f(t) = 50 e0,1t.
1
E82) Definimos f(x) =
.
1 + e −x
a) A f é crescente ou decrescente?
b) Explique por que a f é inversível e encontre uma fórmula para f −1 ( x ) .Qual o domínio da f −1 ?
E83) O ar em uma fábrica está sendo filtrado de modo que a quantidade P de um poluente (medido em
mg/litro) está diminuindo de acordo com a equação P= Po e-kt, onde t representa o tempo em horas. Se
10% do poluente são removidos nas primeiras cinco horas:
a) Que percentagem do poluente ainda permanece após 10 horas?
b) Quanto tempo levará até que o poluente esteja reduzido em 50%?
c) Faça um gráfico da poluição versus tempo. Mostre os resultados de seus cálculos no gráfico.
E84) A população P da Nicarágua, em milhões de habitantes, era de 3,6 milhões em 1990 e estava crescendo
a uma taxa de 3,4% ao ano. Seja t o tempo, em anos, desde 1990:
a) Expresse P como função da forma P=Po at b) Expresse P como função exponencial usando a base e
18
DATAÇÃO POR CARBONO
“O dióxido de carbono existente no ar contém, além do isótopo estável 12C (“carbono 12”), o isótopo
radioativo 14C (“carbono 14”). As plantas vivas absorvem dióxido de carbono do ar, o que significa que a
razão entre as massas de
12
C e 14C em uma planta viva (ou em um animal que se alimenta de plantas) é a
mesma que no ar. Quando uma planta ou animal morre, deixa de absorver dióxido de carbono. A massa de
12
C continua a mesma após a morte do organismo, mas a massa de
14
C diminui exponencialmente por causa
do decaimento radioativo, o que faz com que a razão entre as massas de
exponencialmente. É razoável imaginar que a razão R0 entre as massas de
12
C e 14C também diminua
12
C e 14C na atmosfera tenha se
mantido praticamente constante nos últimos milhares de anos, caso em que podemos supor que a razão entre
as massas de
12
C e 14C em uma atmosfera ( isso é, um fóssil ou artefato) é dada por uma função da forma
Q(t) = Q0e-kt. A meia–vida do 14C é 5730 anos. Comparando Q(t) com Q0, os arqueólogos podem estimar a
idade da amostra”(trecho extraido do livro de Cálculo,Um Curso Moderno e Suas Aplicações de Hoffmann e
Bradley, ed. LTC,2002).
Ao estudar fósseis, os cientistas encontram neles elementos radioativos, ou seja, elementos químicos que
emitem radiação. A unidade de medida da radiação é a meia-vida: intervalo de tempo necessário para que a
massa de uma amostra radioativa se reduza à metade através de desintegração, como mostra o gráfico a seguir.
Em geral, se uma substância tem meia-vida de h anos, minutos ou segundos, então a quantidade restante, Q,
⎛1⎞
de substância após t unidades de tempo, se havia uma quantidade inicial Q0 da substância, é Q(t) = Q0 ⎜ ⎟
⎝2⎠
Q
Q0
t/h
Q0/2
Q0/4
Q0/8
Q0/16
t0
t0+h
t0+2h t0+3h t0+4h
t
E85) Suponha que uma substância radioativa se desintegre, de modo que partindo de uma quantidade Qo, a
quantidade existente após t anos seja dada por Q(t) = Q0 e-0,05 t. Calcule a meia – vida da substância.
19
E86) Um quadro de Vermeer (1632-1675) ainda contém 99,5% do seu carbono-14 . A partir dessa informação,
você pode determinar se o quadro é ou não falsificado?
E87) O elemento rádio decai exponencialmente, com uma meia–vida de 1690 anos. Quanto tempo uma
amostra de 50 g de rádio leva para se reduzir a 5 gramas?
E88) Um arqueólogo encontrou um fóssil no qual 1/3 do 14C existente na atmosfera continua presente. Qual a
idade aproximada do fóssil?
E89) Testes realizados em um artefato descoberto no sítio arqueológico de Debert, na Nova Escócia, revelam
que 28% do 14C original ainda está presente. Qual é a idade aproximada do artefato ?
E90) Os Pergaminhos do Mar Morto foram escritos por volta do ano 100 a.C. Que porcentagem do
14
C
original ainda existia nos pergaminhos em 1947, quando foram descobertos ?
E91) Um quadro supostamente pintado por Rembrandt em 1640 conserva 99,7% do 14C original. Há quanto
tempo foi pintado o quadro? Qual seria a porcentagem de 14C se o quadro fosse legítimo?
E92) O iodo radioativo,
133
I, tem uma meia–vida de 20,9 horas. Quando injetado na corrente sanguínea, o
iodo tende a se acumular na glândula tireóide.
a) Depois de 24 horas, um técnico examina a glândula tireóide do paciente para verificar se está
funcionando normalmente. Se a tireóide absorveu todo o iodo injetado, que porcentagem da massa
inicial de iodo radioativo deve ser detectada ?
b) Um paciente volta à clínica 25 horas depois de receber uma injeção de 133I. O técnico examina a
glândula tireóide e detecta a presença de 41,3% da massa de iodo que foi injetada. Qual a
porcentagem da massa inicial que foi eliminada do corpo do paciente?
E93) Durante o início dos anos 60, a substância radioativa estrôncio-90 foi liberada durante testes de armas
nucleares na atmosfera e se acumulou nos ossos das pessoas. Se a meia–vida do estrôncio–90 é de
29 anos, que porcentagem do estrôncio–90 absorvido em 1960 permanece nos ossos das pessoas em
1990?
E94) Uma certa substância radioativa decai exponencialmente de tal modo que, após 10 anos, ainda restam
70% da quantidade inicial. Obtenha uma expressão para a quantidade que ainda resta após um número
t qualquer de anos. Que quantidade ainda restará após 50 anos? Qual é a meia– vida? Quanto tempo é
preciso para que reste somente 20% da quantidade inicial? E para que reste somente 10%?
20
E95) Imagine que o preço médio P de uma residência subiu de R$50.000,00 em 1970, para R$ 100.000,00
em 1990. Seja t o número de anos desde 1970:
a) Suponha que a variação de preço de residências tenha sido linear. Encontre uma equação para a reta
que representa o preço P em função de t. Use esta equação para completar a coluna (a) da tabela.
Trabalhe com o preço em unidades de R$1.000,00
b) Se, ao contrário, os preços de residências tivessem subido exponencialmente, determine uma
equação da forma P = P0 a t que representaria a variação do preço de residências de 1970 a 1990 e
complete a coluna (b)
c) No mesmo sistema de eixos, esboce os gráficos das funções representadas nas colunas (a) e (b).
t
0
10
20
30
40
(a) crescimento linear dos preços
em unidades de R$1000,00
50
(b) crescimento exponencial dos preços
em unidades de R$1000,00
50
100
100
15. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
15.1. Revisão de Trigonometria no Triângulo Retângulo
α + β = 900
α
a
a2 = b2 + c2
b
c
β
sen α = cos β =
tg α =
c
b
c
a
sen β = cos α =
tg β =
b
a
b
c
E96) Uma pessoa está distante 80 metros da base de um prédio e vê um ponto mais alto do prédio sob um
ângulo de 16° em relação à horizontal. Qual é a altura do prédio?
E97) Um avião levanta vôo em B e sobe fazendo um ângulo constante de 15° com a horizontal. A que altura
estará e qual a distância percorrida quando passar pela vertical que passa por uma igreja situada a 2 km
do ponto de partida?
21
E98) Uma torre vertical de altura 12 metros é vista sob um ângulo de 30° por uma pessoa que se encontra a
uma distância x da sua base e cujos olhos estão no mesmo plano horizontal dessa base. Determinar a
distância x.
E99) Dois observadores A e B vêem um balão, respectivamente, sob ângulos visuais de 20° e 40°. Sabendo
que a distância entre A e B é de 200 metros, calcule a altura do balão.
E100) Num exercício de tiro, o alvo se encontra numa parede cuja base está situada a 82m do atirador. Sabendo
que o atirador vê o alvo sob um ângulo de 12° em relação à horizontal, calcule a altura do alvo.
E101) A partir de um ponto, observa-se o topo de um prédio sob um ângulo de 30°.Caminhando 23m em direção
ao prédio, atingimos outro ponto, onde se vê o topo do prédio segundo um ângulo de 60°. Desprezando a
altura do observador, calcule, em metros, a altura do prédio.
E102) Um móvel parte de A e segue numa direção que forma com a reta AC um ângulo de 30°. Sabe-se que o
móvel se desloca com uma velocidade constante de 50 km/h. Determine a que distância o móvel se
encontra da reta AC após 3 horas de percurso.
E103) Queremos encostar uma escada de 8m de comprimento numa parede, de modo que forme um ângulo de
60 0 com o solo . A que distância da parede devemos apoiar a escada no solo?
E104) Um avião levanta vôo sob um ângulo de 300. Quando tiver percorrido meio quilômetro a que altura
estará do solo?
E105) Um observador em A vê uma torre vertical CD sob um ângulo de 300 e caminhado 40m em direção a
torre passa a vê-la sob 400. Sabendo que a altura do observador é 1,70m, calcule a altura da torre e a
distância inicial entre o observador e a torre.
E106) Um mergulhador percorreu uma distância de 40m, entre a superfície e o fundo do mar, segundo uma
trajetória retilínea que forma um ângulo de 500 com a superfície.
a) Qual é, aproximadamente, a profundidade do local alcançado pelo mergulhador?
b) Subindo verticalmente para a superfície, a que distância do ponto em que mergulhou ele sairá
aproximadamente?
Dados : tg 12° = 0,21 ; sen15°=0,26 ; tg 15° = 0,27; tg 16° = 0,28 ; tg 20°= 0,36 ; tg 30°= 0,58 ; sen 400=0.64 ;
cos 400= 0.76 ; tg 40° = 0,84; tg 60° = 1,73.
22
15.2. Radiano
Um radiano (1 rd) é a medida de um ângulo central α que determina sobre uma circunferência de raio
r = 1, um arco t de comprimento igual a um.
t =1
α
α = 1 rd
r=1
Observações:
a) Se t = 2, α = 2 rd
b) Se t = 2 π r = 2 π , α = 2 π rd , isto é 2 π rd = 360o
c) 1 rd =
360 o
≅ 57 o
2π
15.3. Ciclo Trigonométrico
Seja a circunferência C = {( x, y) ∈ ℜ 2 / x 2 + y 2 = 1}
y
B(0, 1)
P(x,y)
A(1,0)
A’ (-1,0)
x
B’(0,-1)
Cada arco de comprimento t, representado a partir do ponto A(origem de todos os arcos) tem como
extremidade um ponto P(x,y) ∈ C . Podemos então, definir uma função f de ℜ em C que associa a
cada número real t, um único ponto P da circunferência, onde: para t >0, o arco t é representado no
sentido anti-horário e, para t < 0, o arco é representado A no sentido horário.
f: ℜ → C
t a P ( x , y)
E107) Considere a função f acima e determine:
a) f(0)
b) f(2 π )
c) f( π )
d) f(-2 π )
e)f(- π )
f) f( π /2)
g) f(- π /2)
h) f(3 π /2)
i) f(-3 π /2)
j) f(8 π )
k) f(7 π /2)
l) f(21 π )
e)f(-2)
f) f(-3)
E108) Encontre na circunferência C, a localização aproximada dos pontos:
a) f(1)
b) f(2)
c) f(3)
d) f(-1)
23
E109) Reduzir à primeira volta os seguintes arcos:
22π
rad
c)-2210°
a)3520°
b)
3
d)
73π
rad
6
f) −
e)-1860°
8π
rad
3
15.4. Funções Seno e Cosseno
Define-se o cosseno do número real t como sendo a abscissa do ponto P e o seno do real t como
sendo a ordenada do ponto P.
y
B
P(cos t , sen t)
sen t
0
A’
t
A
x
cos t
B’
sen: ℜ → ℜ
cos: ℜ → ℜ
t →sen t
t →cos t
E110) Encontre de forma exata ou aproximada ,conforme o caso, os valores de:
b) cos π
a) sen 0°
c) sen(-90°)
d) cos 900°
e)sen ( −
π
4
)
f)cos( −
2π
)
3
E111) Determine os domínios e as imagens das funções seno e cosseno.
E112) Conhecendo o seno de um arco t, é possível encontrar o cosseno de t? Justifique.
E113) Esboce os gráficos das funções seno e cosseno nos sistemas abaixo.
y
1
-π
−
π
2
0
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
3π
7π
2
x
π
3π
2
2π
5π
2
3π
7π
2
x
-1
y
1
-π
−
π
2
0
π
2
-1
Observação: As funções seno e cosseno são periódicas de período 2π , isto é, sen( t +2 π ) = sen t e
cos( t +2 π ) = cos t
24
E114) Fazer um esboço do gráfico das seguintes funções:
a) y = sen ( 2t)
b) y = sen( t/2)
c) y = cos ( 3t)
d) y = 2cos t
e) y = -3cos t
f) y= 2sen ( 2t)
g) y= –3sen( t/2)
h) y= 1+ 2 sen t
Nota: Seja f(t) = A sen ( Bt) ou g(t) = A cos ( Bt):
| A | é a amplitude: (metade da distância entre os valores máximo e mínimo)
2π
( tempo necessário para que a oscilação complete um ciclo)
Período :
|B|
E115) Verifique no ciclo trigonométrico que a função cos é par e a função seno é impar, isto é, que
∀t ∈ ℜ, cos(− t ) = cos t
e sen(− t ) = − sen t
15.5. As Demais Funções Trigonométricas
TANGENTE:
COTANGENTE:
sen t
π
, onde tg t =
e D= {t / t ≠ 2kπ ± , k ∈ Z}
f :D → ℜ
2
cos t
t → y= tg t
cos t
, onde cotg t =
e D= {t / t ≠ kπ , k ∈ Z}
f :D → ℜ
sen
t
t → y=cot g t
π
1
, onde sec t =
e D= {t / t ≠ 2kπ ± , k ∈ Z}
f :D → ℜ
2
cos t
t → y=sec t
SECANTE:
COSECANTE:
1
, onde cossec t =
e D= {t / t ≠ kπ , k ∈ Z}
f :D → ℜ
sen t
t → y=cos sec t
15.6. Relações Importantes
sen2t +cos2t = 1
cos2t =
1
1 + tg 2 t
1+tg2t = sec2t
sen2t =
1+cotg2t = cossec2t
tg 2 t
1 + tg 2 t
15.7. Adição e Subtração de Arcos
sen(a ± b) = sen a cos b ± sen b cos a
cos(a ± b) = cos a cos b m sen a sen b
tg (a ± b) =
tga ± tgb
1 m tga.tgb
25
16. RESPOSTAS
E3) [-2,2]
E6) a) x + 20y = 50
45
E7) y =
, x ∈ {1,2,3,4,5}
x
7
E8) a) ℜ − {3}
b) ℜ − {− }
c) (−∞,2]
d) (−∞,−2] ∪ [2,+∞)
5
h) [-2, +∞) – {2}
E9) a) V(x) = 4x3 – 80x2 + 400x
b) 0 < x < 10
e)[0, +∞)
f) (0, +∞)
g)[0, +∞)
E11) y = 0,8x + 2,8
E12) a) m = 13 – 0,5t
c) t ∈ [0,26]
60
E13) p(n ) =
, n ∈ {2,3,4,5}
n
E14) V(x) = 4x3 – 46x2 + 120x , 0 < x < 4
E15) P(n) = 100(1,02)n em milhões
E16) G-d, H-c, K-a
E17) a) par
E18) a) 2
b) impar
b) 3,-1
c)nanhuma
d) par
e) impar
c) 0,1,-1
E24) a) h = 0,05t + 3,33 , t ∈ {0,4,8,12}
E25) y = 14x – 45
1000 t
E26) D( t ) = −
+ 1000 , t em minutos, 0 ≤ t ≤ 53
53
E27) a) y = 0,15x + 40 , y = 0,10x + 50
E28) a) l = al0t + l0 – al0t0 , al0 , l0 – al0t0
E30) a) A(x) = -x2 + 4x + 8
b) x = 2
⎧
⎪0 , se r ≤ 10
⎪
⎪r
E41) I(r ) = ⎨ , se 10 < r < 20
⎪10
⎪r
⎪⎩ 4 , se r ≥ 20
B) {4,-6}
E45) A) {1,7}
E46) a) (-3,-1)
b) (−∞,1) ∪ (7,+∞)
b) l = 0,001t + 99,99
c) 12
C){2}
c) [1,3]
d) (−∞,−7] ∪ [−1,+∞)
⎛f ⎞
x2
E49) (f+g)(x)= x 2 + x , [0,+∞) , (f-g)(x)= x 2 − x , [0,+∞) , (f.g)(x)= x 2 . x , [0,+∞) , ⎜⎜ ⎟⎟( x ) =
, (0,+∞)
x
⎝g⎠
E50) a) C(t) = 625t2 + 25t + 900
b) R$ 6.600,00
E51) a)(fog)(x)= x - 16 , [0,+∞) , (gof)(x)= x 2 − 16 , (−∞,−4] ∪ [4,+∞) , (fof)(x)= x 4 − 32 x 2 + 240 , ℜ ,
26
(gog )( x ) = 4 x , [0,+∞)
b)(fog)(x)= x - 3 , [3,+∞) , (gof)(x)= x 2 − 3 , (−∞,− 3 ] ∪ [ 3 ,+∞) , (fof)(x)= x 4 , ℜ ,
(gog )( x ) =
x − 3 − 3 , [12,+∞)
c)(fog)(x)= 18x2 + 21x + 6 , ℜ , (gof)(x)= 6x2 – 3x + 2 , ℜ , (fof)(x)= 8x 4 − 8x 3 + x , ℜ ,
(gog)( x ) = 9x + 8, ℜ
d)(fog)(x)=
1
, ℜ − {0} , (gof)(x)=
3
x + 2x
1
x
3
+
2
, , ℜ − {0} , (fof)(x)= x , ℜ − {0} ,
x
(gog )( x ) = x 9 + 6x 7 + 12 x 5 + 10 x 3 + 4x , ℜ
e)(fog)(x)=
x +1
2−x
x −1
, ℜ − {−1} , (gof)(x)=
, , ℜ − {0,1} , (fof)(x)=
, ℜ − {1,2} ,
−2
x
2−x
(gog )( x ) = −
E52) a) r = 60t
1
, ℜ − {−1,0}
x
b) (Aor)(t) = 3600πt 2
E53) h(x) = 2x + 1 e g(x) = x3
E54) g(x) = x2 + x – 1
E55) a) Não
E57) y =
b) Sim
x −3
, ℜ , ℜ , (fof −1 )( x ) = x
2
E59) a) y =
x +3
2
b) Não
c) y = x + 1 , x ≥ −1
d) y = 3 x − 1
e) y =
2x + 1
x +1
E60) N(t) =2t
E61) P(h) =(0,9)h
E62) P(t) = 67,38(1,026)t
E63) a) 3
b) 200 %
c) 100
d) 5.904.900
1
E65) Quando x aumenta infinitamente, o valor da expressão (1 + ) x , transforma-se em um dos números mais
x
importante da Matemática. Esse número irracional, denominado número de Euler, é a base mais usada
nas funções exponenciais úteis na representação de muitos fenômenos nas ciências naturais e sociais.
e = 2,71828 ...
27
E66) a) 50 milhões
b) 91,11 milhões
E67) R$ 20.000,00
E68) 54.000
E70) a)3
1
2
b) −
c) 1
d) 0
E71) (fog)(x) = 2 log 2 x = x , (gof)(x) = log 2 2 x = x , 1 , 2 ,
E72) a) 4
b) log 3 5
c) log 2 7
E73) a) 2
b) 2 + e-1
c) 3
E74) a) (−2,+∞)
b) (2,+∞)
E75) a) g(x) = ln x , h(x) = x + 2
c) ℜ − {0}
1
4
d) (0,+∞)
b) g(x) = ln x , h(x) = x – 2
d) g(x) = |x|, h(x) = ln x
E76) (fog)(x) = x , Dom(fog)= (0,+∞) , (gof)(x) = x , Dom(gof)= ℜ
E77) a) 1,46
b) 2,59
c) 0,63
E78) 4
E79) 13,5 horas
E80) 7,5 dias
E81) f-1(t) = 10ln
t
50
E82) a) crescente
E83) a) 82%
b) y = ln
x
1− x
b)34,5 horas
E84) a) P(t) = 3,6(1,034)t
b) P(t) = 3,6e0,033t
E85) 13,86 anos
E86) Falso, t = 41,5 anos
E87) 5.633,33 anos
E88) 9.126,48 anos
E89) 10.571,15 anos
E90) 77,4%
28
c) g(x) = ln x , h(x) = |x|
E91) 24,95 anos , 95,9%
E92) a)45%
b) 2,3%
E93) 49%
t
⎛ 1 ⎞ 19, 2
E94) Q(t) = Q0 ⎜ ⎟
, 19,2 anos , 44,8 anos , 64 anos
⎝2⎠
E95) a) y =
5t
+ 50
2
b) P(t) =50.2t/20
E96) 22,4 m
E97) 0,54 km , 2,08 km
E98) 20,69 m
E99) 126 m ou 50,4 m
E100) 17,22 m
E101) 20,07 m
E102) 75 km
E103) 4 m
E104) 250 m
E105) 76,65 m , 129,23 m
E106) a) 30,4 m
E107) a) (1,0)
g) (0,-1)
E109) a) 280o
E110) a) 0
b) 25,6 m
b) (1,0)
c) (-1,0)
d) (1,0)
e) (-1,0)
f) (0,1)
h) (0,-1)
i) (0,1)
j) (1,0)
k) (0,-1)
l) (-1,0)
b)
b) –1
4π
rad
3
c) –1
c) – 50o
d) –1
d)
π
rad
6
e) −
E111) Dom f = ℜ , Im f = [-1,1]
E112) sen2t +cos2t = 1, ∀t ∈ ℜ
29
2
2
e) – 60o
f) −
1
2
f) −
2π
rad
3
LIMITES E CONTINUIDADE
1. NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE
Vamos fazer um estudo informal de limites, de modo a desenvolver intuitivamente idéias básicas que
irão alicerçar nossos estudos futuros.
Muitas vezes quando trabalhamos com funções, o que nos interessa são os valores f(x) de uma função
f, quando x assume valores próximos de um número a, em outras palavras, queremos saber se a f(x) se
aproxima de um número b quando x se aproxima de a. Em caso afirmativo, dizemos que o limite de f(x)
quando x tende para a, é igual a b e indicamos pela notação lim f ( x ) = b .
x →a
Seja a função f, dada por f ( x ) =
2
x −1
. Note que o domínio da f é ℜ − {1}.
x −1
A f(x) se aproxima de algum número quando x assume valores próximos de 1?
Para responder esta pergunta, observe a tabela abaixo com valores de x próximos do número 1 e os
correspondentes valores de f(x).
x
f(x)
0
1
0,5
1,5
0.7
1,7
0,9
1,9
0,99
1,99
…
…
1
2
lado esquerdo
…
…
1,01
2,01
1,1
2,1
1,2
2,2
1,5
2,5
2
3
lado direito
Pela tabela, podemos concluir que, quando x se aproxima cada vez mais de 1, f(x) fica cada vez mais
próxima de 2.
Simbolicamente: lim f ( x ) = 2.
x →1
Note que, lim f ( x ) = 2 não significa que x vai assumir o valor 1 e nem que a f(x) vai assumir o valor 2.
x →1
Podemos responder a pergunta acima, observando o gráfico da função f ao invés da tabela.
Como x ≠ 1 , f ( x ) =
x 2 − 1 ( x − 1)( x + 1)
=
= x + 1 . Logo, a função f se comporta como a função g
x −1
x −1
dada por g ( x ) = x + 1 , isto é, f(x) = g(x) para todo x ≠ 1 . Como o gráfico cartesiano da g é uma reta, o
gráfico cartesiano da f é a mesma reta, excluindo o ponto (1,2) , pois x ≠ 1 .
30
y
2
O
x
1
2. LIMITES LATERAIS
a) Limite à esquerda: lim− f ( x ) = b é o limite de f(x) quando x se aproxima de a por valores menores
x →a
do que a.
b) Limite à direita: lim+ f ( x ) = b é o limite de f(x) quando x se aproxima de a por valores maiores
x →a
do que a.
E1) Considere a função f(x) = x + 1.
a) Qual é o domínio de f ?
b) Represente o gráfico de f.
c) Encontre lim f ( x ).
x →1
y
0
x
E2) Substitua a função do exemplo anterior por f(x) =
x2 − x
.
x −1
y
0
x
31
⎧ x 2 −1
⎪
E3)Repita para a função f(x) = ⎨ x − 1 , se x ≠ 1
⎪⎩ 4, se x = 1
y
0
x
⎧ x − 1, se x ≥ 1
E4) Repita para a função f(x) = ⎨
⎩2 − x, se x < 1
y
0
x
lim f ( x ) = L se e somente se lim f ( x ) = lim f ( x ) = L.
x →a +
x →a
x →a −
Se lim f ( x ) ≠ lim f ( x ) , então lim f ( x ) não existe.
x →a +
x →a −
x→a
E5) Seja f a função cujo gráfico aparece abaixo.
y
3
-10
-5
0
5
x
Determine:
1) Dom f
2) Im f
3) lim f(x)
4) lim f(x)
5) lim f(x)
6) lim f(x)
7) lim f(x)
8) lim f(x)
x → −5
x →0
x →−10
x → +∞
32
x →5
x → −∞
E6) Seja f a função cujo gráfico aparece abaixo.
y
6
-4
0
4
8
x
-3
Determine:
1) Dom f
2) Im f
3) lim f(x)
4) lim f(x)
5) lim f(x)
6) lim f(x)
7) lim f(x)
8) lim f(x)
x → −4
x →0
x →4
x →8
x → +∞
x → −∞
E7) Use limites laterais para verificar se existe lim f ( x ) para as funções:
x→1
⎧⎪4 − x 2 , se x ≥ 1
2) f(x) = ⎨
⎪⎩2 + x 2 , se x < 1
⎧2 x + 1, se x ≥ 1
1) f(x) = ⎨
⎩ x − 3, se x < 1
3. FUNÇÃO CONTÍNUA NUM PONTO
Uma função f é contínua no ponto a se forem satisfeitas as seguintes condições:
b) lim f ( x ) existe
a)f(a) existe
c) lim f ( x ) = f(a)
x →a
x →a
Observações:
a) Se uma ou mais destas três condições não for satisfeita, dizemos que a função f é descontínua em a.
b) Se uma função f é contínua em cada ponto de seu domínio, dizemos simplesmente que f é contínua.
4. FUNÇOES BÁSICAS CONTÍNUAS
a) Função polinomial f(x) = a0xn + a1xn-1 +a2xn-2 + ... + an .
b) Função racional f(x) =
c) Função raiz n-ésima
n
p( x )
.
q( x )
x , com x>0 para n par.
d) Função exponencial f(x) = ax , a>0 e a ≠ 1.
e) Função logaritmo f(x) = log a x , a>0 e a ≠ 1.
f) Função f(x) = sen x.
g) Função f(x) = cos x.
33
E8) Calcule os limites abaixo, se existirem:
1) lim ( 3x 3 − 2x 2 + 5x − 1 )
2) lim
x → −1
x →2
5) lim
x →2
6) lim ex
x
x −1
2
x +1
7) lim ln x
x → −1
x 2 − 2x
x−2
3) lim
x →2
8) lim cos x
x → −1
9) lim 5
x →− π
x →1
4) lim
x +1
x2 −1
10) lim sen x
x →0
x→
π
2
⎧x 2 − 2, se x < −1
⎪
E9) Se f(x) = ⎨2 x + 1 , se x > −1 encontre lim f ( x ). A função f é contínua em -1? Justifique.
x → −1
⎪ 1 , se x = -1
⎩
5. PROPRIEDADES OPERATÓRIAS
a) A soma de duas funções contínuas é uma função contínua.
b) O produto de duas funções contínuas é uma função contínua.
c) O quociente de duas funções contínuas é uma função contínua.
d) A composta de duas funções contínuas é uma função contínua.
E10) Calcule os limites abaixo, se existirem:
1) lim (ex + x2)
2) lim 3sen x
3) lim ( x 3 . ln x )
5) lim ex-2
6) lim ln(x+2)
7) lim sen(x-
x →1
x →0
x → −1
x→2
4) lim tg x
x →0
x →2
x →0
π
)
2
8) lim cos( π - x)
x →− π
6. LIMITES INFINITOS
Os limites lim f ( x ) = −∞ e lim f ( x ) = +∞ são denominados limites infinitos e simbolizam,
x →a
x →a
respectivamente, que f(x) decresce indefinidamente, quando x se aproxima de a e que f(x) cresce
indefinidamente, quando x se aproxima de a.
y
Exemplos:
a) Seja a função f, dada por f ( x ) =
1
x2
.
0
lim− f ( x ) = +∞
x →0
lim+ f ( x ) = +∞
x
lim f ( x ) = +∞
x →0
x →0
34
b) Seja a função f, dada por f ( x ) =
+
lim
x →3−
1
= −∞
x −3
lim
x →3 +
1
..
x −3
+
1
= +∞
x −3
0-
lim
x →3
1
NE(não é finito nem infinito)
x −3
0+
E11) Calcule:
1) lim
x →2
− x2
2−x
2) lim
x 3 +1
x →1
3) lim
x −1
x → −2
| x −1 |
4) lim
( x + 2) 2
x →0
x2 −2
x2
7. ASSÍNTOTA VERTICAL
A reta de equação x = a é uma assíntota vertical do gráfico de uma função f se lim− f ( x ) = ∞ ou
x →a
lim+ f ( x ) = ∞ , onde ∞ representa −∞ ou +∞ .
x →a
Exemplo:
Para a função dada por f(x) =
1
1
1
, lim−
= −∞ e lim+
= +∞ , logo a reta de equação x = 2
x
→
2
x
→
2
x−2
x−2
x−2
é uma assíntota vertical do gráfico de f.
y
0
2
x
35
8. LIMITES NO INFINITO
Os limites lim f ( x ) e lim f ( x ) são denominados limites no infinito e representam, respectivamente, o
x → −∞
x → +∞
limite de f(x) quando x decresce indefinidamente e o limite de f(x) quando x cresce indefinidamente.
Seja a função f, dada por f ( x ) =
1
. Note que o domínio da f é ℜ − {0}.
x
y
0
lim f ( x ) = 0
x
lim f ( x ) = 0
x → −∞
x → +∞
Observações:
a)
b)
c)
d)
e)
lim x n = +∞ , se n ∈ N*
x → +∞
lim
x → ±∞
1
xn
=0
⎧+ ∞, se n = 2, 4, 6, .....
lim x n = ⎨
⎩− ∞, se n = 1, 3, 5,......
x → −∞
lim (c n x n + c n −1 x n −1 + .... + c1 x + c 0 ) = lim c n x n
x → ±∞
lim
x → ±∞
x → ±∞
c n x n + c n −1 x n −1 + .... + c1 x + c 0
d n x n + d n −1 x n −1 + .... + d 1 x + d 0
= lim
cn x n
x → ±∞
dnxn
E12) Calcule:
1) lim
x → +∞
3x 2
3 − 4x 2
2) lim
x → −∞
x2 −2
3) lim (5x 2 + 2x 3 )
x 3 +1
x → −∞
36
4) lim
x → +∞
x2 −2
3− x2
9. ASSÍNTOTA HORIZONTAL
A reta de equação y = b é uma assíntota horizontal do gráfico de uma função f se lim f ( x ) = b ou
x → −∞
lim f ( x ) = b .
x → +∞
Exemplo:
Para a função dada por f(x) =
x+2
, lim f ( x ) = −1 e lim f ( x ) = −1 , logo a reta de equação y = -1
x → +∞
3 − x x →−∞
é uma assíntota horizontal do gráfico de f.
y
0
-1
3
x
E13) Determine, caso exista, a equação da assíntota horizontal do gráfico da função do exemplo acima.
10. RESPOSTAS
E5) 1) ℜ − {−5}
2) ℜ
3) 3
4) +∞
5) NE
6) 3
7) 3
8) −∞
E6) 1) ℜ − {−4,4}
2) (-3, +∞)
3) 6
4) –3
5) NE
6) 6
7) +∞
8) 6
9) 5
10) 1
E7) 1) NE
2) 3
E8) 1) 25
2) -1
4) −
3) 2
1
2
5)
2
6)
1
e
7) 0
8) –1
E9) NÃO, lim f ( x ) = -1 e f(-1) = 1
x → −1
E10) 1) e + 1
2) 0
3) 8ln 2
4) 0
E11) 1) NE
2) NE
3) +∞
4) −∞
2) 0
3) −∞
4) -1
E12) 1) −
3
4
5) 1
E13) x = 3
37
6) 0
7) –1
8) 1
DERIVADAS
1. TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO(TMV)
Seja f uma função cujo gráfico aparece abaixo.
y
f
f(x1+ Δx )
Δy
f(x1)
0
Δx
x1
x1+ Δx
x
Da figura acima, podemos observar que: atribuindo-se um acréscimo Δx para x1, obtemos em
correspondência uma variação para a função, dada por
Δy = f(x1+ Δx ) - f(x1)
Δy f ( x 1 + Δx ) − f ( x 1 )
=
é denominado Razão Incremental ou Taxa Média de
Δx
Δx
Variação(TMV) da função quando x passa de x1 para x1+ Δx . A TMV expressa a variação
O quociente
média da função entre os pontos x1 e x1+ Δx .
y
E1)
f
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
x
Observe o gráfico acima e determine a TMV entre:
1) 1 e 2
2) 2 e 3
3) 3 e 4
4) 1 e 3
38
5) 2 e 4
6) 1 e 4
2. DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO
f ’(x1) = lim
Δx →0
f ( x 1 + Δx ) − f ( x 1 )
Δy
= lim
x
0
Δ
→
Δx
Δx
E2) Encontre a derivada da função f, no ponto x1, sendo:
2) f(x) = x2 + 2 , x1 = 2
1) f(x) = 2x + 1 , x1 = 3
3. DERIVADA DE UMA FUNÇÃO OU FUNÇÃO DERIVADA
Δy
f ( x + Δx ) − f ( x )
= lim
Δx → 0 Δx Δx → 0
Δx
f ’(x) = lim
Notações:
f ’(x) , Dx f(x) ,
dy
d
, se y = f(x).
f ( x ) ou y’ , Dx y ,
dx
dx
E3) Determine as derivadas das funções abaixo, usando a definição:
1) f(x) = 5
2)f(x)=2x - 3
3) f(x)=x2 – 3x
4. REGRAS DE DERIVAÇÃO
4.1. Derivada da Função Constante
Dx c = 0
4.2. Derivada da Função Identidade
Dx x = 1
4.3. Derivada da Função Exponencial Natural
(ex)’= ex
4. 4. Derivada da Função Logaritmo natural
(ln x )’=
1
x
4. 5. Derivada da Função Seno
(sen x)’= cos x
39
4) f(x)= -x2 +4x - 6
4. 6. Derivada da Função Cosseno
(cos x)’= -sen x
4.7. Derivada da Soma de duas Funções
(f(x)+ g(x))’= f ’(x)+ g ’(x)
4. 8. Derivada do Produto de uma constante por uma Função
(c.f(x))’ = c.f ’(x)
E4) Encontre y’, sabendo que:
1) y = x – 3
2) y = ex + 5
3) y = 4 – ln x
5) y = 7 – 6x
6) y = 3ex + 8ln x –1
7) y =
9) y =
x ln x
+
+ 5
3
2
10) y = ln 4 – 3e + 2π -1
4) y = 2x + e
12 x − 9
3
12 x − 9
5
2 cos x − 3
12) y =
5
8) y =
11) y = 3sen x
4. 9. Derivada da Função Potência
(xp)’= pxp-1
E5) Encontre y’, sabendo que:
1) y = x4 – 3x2 + 2x – 3
2) y =
2x 2 − 3x
x
5) y =
4) y =
7) y = 2 x + 33 x
8) y =
x2
− 3 x+e
2
2 x 2 − 3x
x
3
3
x
2
+
2
3x
10) y = (x2-1)(2+x)
4. 10. Derivada do Produto de duas Funções
(f(x).g(x))’= f(x).g’(x) + g(x).f ’(x)
40
3) y = x 3 − 2e x − πx + e 2
6) y =
3
2x
2
−
9) y = x x −
1
x
x
3
x
4. 11. Derivada do Quociente de duas Funções
'
⎛ f ( x ) ⎞ g ( x ).f ' ( x ) − f ( x ).g ' ( x )
⎜⎜
⎟⎟ =
[g ( x )] 2
⎝ g( x ) ⎠
E6) Encontre y’, sabendo que:
1) y = x.ln x
2) y = 3x2ex
5) y = ex lnx
6) y =
ex
2x
10) y =
x 2 −1
x +1
9) y =
2
3 − 2x
2 − 3x
1− x
4) y =
x2 + 2
1 + 2x
7) y = 5x3ln x
8) y =
3( x 2 − 1)
x
3) y =
5. DERIVADA DE FUNÇÃO COMPOSTA
Regra da Cadeia: Se y = f(u) e se u é uma função de x, então y é também uma função de x e sua
derivada (em relação a x) é dada por:
y’= f’(u) . u’
dy dy du
=
.
dx du dx
ou
E7) Encontre y’, sabendo que:
1) y = u2 + 1 e u = 3x – 2
2) y = 2u2 – u + 5 e u = 1 – x2
3) y = eu e u = 1 + 2x
4) y = ln u e u = x2 + 1
E8) Calcule
u
dy
para x=1, sendo y =
e u = 3x2-1.
u +1
dx
5.1. Derivada da Composta da Função Potência com uma Função f
([f(x)]p)’ =p.[f(x)]p-1.f ’(x)
5.2. Derivada da Composta da Função Logaritmo Natural com uma Função f
(ln f(x) )’ =
f ' (x)
f (x)
5.3. Derivada da Composta da Função Exponencial Natural com uma Função f
(ef(x) )’= ef(x) .f ’(x)
41
5.4. Derivada da Composta da Função Seno com uma Função f
(sen [f(x)] )’ = cos [f(x)].f ’(x)
5.5. Derivada da Composta da Função Cosseno com uma Função f
(cos [f(x)] )’ = -sen [f(x)].f ’(x)
Observação:
1. log b 1 = 0
2. log b b = 1
3. log b AB = log b A + log b B
A
= log b A − log b B
B
4. log b
5. log b A m = m log b A
6. eln u = u e ln eu = u
E9) Encontre y’, sabendo que:
1) y = (2-x)6
5) y =
2) y =
3
2
2( x − 4 x )
9) y = 3 ln x 2
13) y = e − x
17) y = x .ln x
(2x + 3) 5
2
3 1− x
2
10) y = ln (5x+2)
2
2
2
6) y =
1
14) y = ln(4-5x)
3
18) y =
−e
−
x2
2
3) y = 4 x − 2
7) y = e x
2 −5
4) y =
8) y =
x2 + 5
1
ex
11) y = (x2+3x-1)2
12) y = e 3x + 2
15) y = e 2 x . ln 2 x
16) y =
19) y = e
ln 3 x
e 3x
1− x
20) y = ln e5x
21) y = x.sen x
22) y = e cos x
23) y = sen x3
24) y = xcos x2
25) y = tg x
26) y = cotg x
27) y = sec x
28) y = cosec x
29) y = sen4 x
30) y = cos3 x2
42
6. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA
A derivada f ’(x1), se existir, fornece a declividade da reta tangente ao gráfico de uma função f num
ponto P(x1 , f(x1)).
y
f
f(x1)
t
P
α
0
x1
x
f ’(x1) = at
Importante: Da Geometria Analítica, a equação de uma reta, não vertical, que passa pelo ponto P(x1,y1) e
tem declividade a é
y – y1 = a(x – x1)
E10) Seja a função definida por f(x) = x2.
1)Calcule a declividade da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 1.
2)Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 1.
3)Esboce os gráficos de f e da reta tangente, no mesmo sistema de eixos.
E11) Seja a função definida por f(x) = 4x – x2 no ponto P(1, 3).
1)Encontre a derivada da função f.
2)Calcule a declividade da reta tangente ao gráfico de f no ponto P.
3) Escreva a equação da reta tangente, no ponto P.
4)Esboce os gráficos de f e da reta tangente, no mesmo sistema de eixos.
E12) Calcule a declividade da reta tangente ao gráfico da função dada por y = 2x + x.ln x no ponto de
abscissa 1.
E13) Encontre a declividade da reta tangente ao gráfico da função dada por y = x.e-x no ponto de
abscissa -1.
E14) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função dada por f(x)=
3x − 1
no ponto P( -1,-2).
1− x
E15) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função dada por y = x 2 − 3 no ponto P( 2,1).
43
7. TAXA DE VARIAÇÃO
Δy
, podemos dizer que para pequenos valores de Δx , f ’(x1) é uma aproximação de
Δx
Como f ’(x1) = lim
Δx →0
Δy
Δy
, isto é, f ’(x1) ≅
. Portanto:
Δx
Δx
a) f ’(x1) nos fornece a taxa média de variação da função f nas proximidades de x1, de forma aproximada.
b) Δy ≅ f ’(x1). Δx , então, em pequenos intervalos contendo x1, f ’(x1). Δx é uma aproximação de Δy.
E16) Daqui a x meses , a população de uma certa cidade será P(x) = 200 + x2 em milhões
de habitantes.
1) Qual será a taxa de variação desta cidade daqui a 10 meses ?
2) Qual será a variação real da população durante o 11o mês ?
8. DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
De um modo geral, se f é uma função derivável então a derivada f ’, que é também uma função, pode
ser derivável, nesse caso, a derivada de f ’ é representada por f ’’ e é denominada derivada de segunda ordem
ou simplesmente de derivada segunda da função f . O processo pode ser continuado obtendo-se dessa forma
as derivadas terceira, quarta, etc.
dy
= Dx f(x) = f ’(x) então:
dx
Se y = f(x) tal que
(f ’(x))’= f ’’(x) =
d2y
dx 2
(f ’’(x))’= f ’’’(x) =
M
(f(n-1)(x))’= f(n)(x) =
E17) Se y = x3 -
1
x2
1) f ’(0)
d3y
dx 3
M
n
d y
dx
= D 3x y derivada terceira
n
= D nx y derivada n-ésima
, determine :
1) y ’
E18) Se f(x) =
= D 2x y derivada segunda
2) y ’’
2x − 1
1− x
3) y ’’’
4) y(4)
, determine :
2) f ’’(2)
3) f ’’’(0)
44
4) f(4)(2)
9. REGRA DE L’HOPITAL
f(x)
f(x)
0
∞
f ' (x)
Se lim
assume a forma indeterminada ou
e lim
= L ∈ ℜ então lim
=L
x →a g(x)
x →a g(x)
0
∞ x →a g ' (x)
E19) Calcule:
5) lim
x →0
e x -1
3) lim
x →0 x 2 - x
2x 3 - 5x 2
2) lim
x →0 3x 2 − x 3
x2 -4
1) lim
x →2 x - 2
sen x
x
6)
x
lim
+
x →0 1 - e 2
7)
x
e1/x - 1
lim
x →−∞ 1/x
ln x
4) lim
x →1 1 - x
8) lim
x →0
x - sen x
x3
10. ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DE UMA FUNÇÃO
10.1. Ponto Crítico
Um ponto c do domínio de uma função f é chamado de ponto crítico de f se f ’(c) = 0, ou
f ’(c) não existe, ou c não é ponto interior do domínio de f.
E20) Encontre os pontos críticos de f, sendo:
1)f(x)=x3 – 3x + 2
3) f(x)= 5 x + 3
2) f(x)=x4 – 2x2+3
4) f(x)=
3
x2 − 4
5)f(x)=x3 – 6x + 4, x ∈ [-2,5]
10.2. Função Crescente e Função Decrescente
Uma função f é dita crescente num intervalo I, se a medida que x cresce, o valor de f(x)
também cresce e, uma função f é dita decrescente num intervalo I, se a medida que x cresce,
o valor de f(x) decresce.
E21) Observe o gráfico abaixo e determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função f.
y
f é crescente em ......................................................
0
f é decrescente em ..................................................
x
E22) Represente algumas retas tangentes ao gráfico de f, visando relacionar as inclinações das retas com os
intervalos de crescimento e decrescimento de f .
45
10.3. Determinação dos Intervalos de Crescimento e Decrescimento
Seja f uma função continua em [a,b] e derivável em (a,b).
a) Se f ’(x)>0 para todo x ∈ (a,b) então f é crescente em [a,b]
b) Se f ’(x)< 0 para todo x ∈ (a,b) então f é decrescente em [a,b]
E23) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das funções dadas por:
1) f(x)=x3 –5
2) f(x)=x4- 8x2 - 5
3) f(x)= 2x – 1
4) f(x)= x4- 4x3
5) f(x)= x(5-x)4
E24) Observe o gráfico da função representada abaixo e localize os pontos no eixo x que você caracteriza
como pontos de máximo ou pontos de mínimo relativos(locais) da função e os correspondentes máximos
e mínimo relativos da função.
y
Pontos de máximo relativos:.......................................
Pontos de mínimo relativos:.......................................
0
x
Máximos relativos da função:....................................
Mínimos relativos da função:.....................................
10.4. Determinação dos Extremos Relativos de uma Função
10.4.1. Teste da Derivada Primeira(TDP)
Seja f uma função continua e derivável em (a,b), exceto possivelmente em c∈ (a,b)
a) Se f ’ passa de positiva para negativa em c então f(c) é máximo relativo de f
b) Se f ’ passa de negativa para positiva em c então f(c) é mínimo relativo de f
c) Se f ’ não muda de sinal em c então f(c) não é extremo relativo de f
E25) Encontre os máximos e mínimos relativos das funções dadas por:
1) f(x)= x4 – 8x2 + 1
2) f(x)= x3 + 3x2 - 5
3) f(x) = 3x4 + 4x3 – 12x2 + 16
46
4) f(x) = x3 – 12x
10.4.2. Teste da Derivada Segunda(TDS)
Seja f uma função derivável em (a,b) e c ∈ (a,b), tal que f ’(c)= 0
a) Se f ’’(c) > 0 então f(c) é mínimo relativo de f.
b) Se f ’’(c) < 0 então f(c) é máximo relativo de f.
c) Se f ’’(c) = 0, nada podemos concluir.
E26) Encontre os máximos e mínimos relativos das funções dadas por:
1) f(x)= x3-12x+4
2) f(x)=x3-3x2+5
3) f(x)= x4 – 8x2 + 6
4) f(x)= 3x5- 5x3
10.5. Concavidade e Inflexão
10.5.1. Teste da Concavidade
Se f ’’(x) existe em um intervalo (a,b) então o gráfico de f é
a) côncavo para baixo (CPB) se f ’’(x) < 0, ∀ x ∈ (a, b).
b) côncavo para cima (CPC) se f ’’(x) > 0, ∀ x ∈ (a, b).
10.5.2. Ponto de Inflexão
Um ponto c pertencente ao domínio da f é um ponto de inflexão de f se o gráfico de f
muda a concavidade em c. Neste caso, (c,f(c)) é um ponto de inflexão do gráfico de f.
E27) Encontre os intervalos de CPC e CPB das funções dadas por:
1) f(x)= x3-3x
2) f(x) = 2x4-12x2
3) f(x)= 3x4 – 12x3 + 26
4) f(x)=x3+ 3x2 – 9x -5
E28) Faça um estudo completo do comportamento das funções abaixo.
1)f(x)= 3x4-8x3+6x2
2 ) f(x)=2x3 - 3x2 – 12x + 10
4) f(x) = x2 – 4x + 6
5) f(x) =
x3 3 2
− x + 2x + 1
3 2
47
3) f(x) =
x3
− 2x 2 + 3x + 10
3
6) f(x) = x3 – 6x2+ 12x - 4
E29) Deseja-se cercar um terreno retangular de área 60 m2, de modo que o custo para cercar as laterais seja
R$ 300,00 por metro linear e o custo para cercar a frente e o fundo seja de R$ 500,00 por metro linear.
Determine as dimensões do terreno de modo que o custo para cercá-lo seja o menor possível. Neste
caso, qual o custo mínimo ?
E30) Por várias semanas, o serviço de transito vem pesquisando a velocidade do tráfego numa auto-estrada.
Verificou-se que, num dia normal de semana, à tarde, entre 1 e 6 horas a velocidade do tráfego é de,
aproximadamente v(t) =2t3-21t2+60t+40 km/h, onde t é o número de horas transcorridas após o meiodia. A que horas, dentro do intervalo de tempo mencionado, o tráfego se move mais rapidamente e a
que horas se move mais lentamente ?
E31) De uma folha laminada quadrada de 2 dm de lado, foram cortados quadrados iguais nos quatro cantos e
com o restante da folha foi construída uma caixa sem tampa. Determine as dimensões do quadrado
retirado para que o volume da caixa seja máximo.
E32) Seja P = – x3 + 300x a função que dá a quantidade produzida de certo produto agrícola em função
da quantidade de fertilizante.
1) Determine a quantidade de fertilizante necessária para que se tenha a produção máxima.
2) Determine os intervalos de CPC e CPB do gráfico da função Produção.
3) Faça um esboço do gráfico de P, observando os resultados obtidos nos ítens anteriores
E33) Seja R(q) = - q3 + 15q2 , a função Receita.
1) Para que valores de q a função Receita tem sentido ?
2) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento da função Receita.
3) Determine, se houver, os intervalos de CPC e CPB.
4) Qual é a receita máxima e a receita mínima ?
5)Faça o gráfico da função, assinalando os resultados obtidos no itens anteriores.
6) Determine a Receita Marginal para q = 5 e interprete o resultado obtido.
E34) Se L(x)=-x2+6x-5 é a função lucro na venda de x unidades de um certo produto, determine o lucro
máximo.
48
10.6. Taxa de Variação de uma Taxa de Variação
Podemos ouvir de um economista que, embora a taxa de inflação esteja crescendo, a taxa
segundo a qual ela cresce está decrescendo. Isto significa que os preços ainda continuam a subir, mas não
tão rapidamente quanto antes. Observe os gráficos abaixo:
y
f
y
f
0 a
c
b
x
0 a
c
b
x
No primeiro gráfico observa-se que:
a) em (a,c), f é crescente (y ’ > 0) e y ’’ > 0 (f ’ é crescente), portanto f cresce a taxas crescentes.
b) em (c,b), f é crescente (y ’ > 0) e y ’’ < 0(f ’ é decrescente), portanto f cresce a taxas decrescentes.
No segundo gráfico observa-se que:
a) em (a,c), f é decrescente (y ’ < 0) e y ’’ < 0 (f ’ é decrescente), portanto f decresce a taxas decrescentes.
b) em (c,b), f é decrescente (y ’ < 0) e y ’’ > 0 (f ’ é crescente), portanto f decresce a taxas crescentes.
E35) Aumentando seu gasto x com propaganda(em milhares de reais), uma empresa constata que pode
aumentar as vendas y (em milhares de reais) de um produto de acordo com o modelo
y=
1
(300 x 2 − x 3 ), 0 ≤ x ≤ 200.
10.000
Ache o ponto de diminuição de resultados para este produto(ponto de retorno decrescente).
E36) Um índice de preços ao consumidor(IPC) é descrito pela função
I = -0,2t3 + 3t2 + 100,
0≤t≤9
onde t = 0 corresponde ao ano de 1991. Encontre o ponto de inflexão da função I e discuta o
seu significado.
49
11. RESPOSTAS
E1) 1) 3
2) –1
E2) 1) 2
3) 2
4) 1
5) 1/2
6) 4/3
2) 4
E3) 1) f’(x) = 0
2) f’(x) = 2
2) y’= ex
E4) 1) y’= 1
7) y’= 4
8) y’=
E5) 1) y’= 4x3 – 6x + 2
6) y’=-
3
x
3
+
1
x
3) f’(x) = 2x – 3
3) y’= −
12
5
9) y’=
4) y’= 2
1 1
+
3 2x
1
x
+
10) y’= 0
1
3
x
12) y’= −
11) y’= 3cos x
8) y’ = −
2
6) y’= 3ex +
5) y’= -6
3) y’= 3x2 –2ex - π
2) y’= x - 3
7) y’=
2
1
x
4) f’(x) = -2x + 4
4) y’= 2
1
3
x
4
−
2
3x
5) y’=
2 sen x
5
3
x2
3 x
2
−
3
2
3 x
9)
2
8
x
10) y’= 3x2+ 4x – 1
2) y’3xex(2+x)
E6) 1) y’= 1 + ln x
6) y’=
e x ( x − 1)
2x
−1
(1 − x )
7) y’= 5x2(1+3ln x)
2
2) y’= 8x3 – 6x
E7) 1) y’= 18x – 12
E8)
3) y’
4) y’=
2
8) y’=
3x 2 + 3
x
3) y’= 2e1+2x
2x 2 + 2x − 4
(1 + 2 x )
9) y’=
2
4) y’=
5) y’=ex(
2
4
1
+ ln x)
x
10) y’= 1
(3 − 2 x ) 2
2x
x 2 +1
dy 2
=
dx 3
E9) 1) y’= -6(2-x)5
5) y’=
2) y’=
−6 x + 12
2
(x − 4x )
3
6) y’=
−10
(2 x + 3)
3) y’=
6
2x
3 (1 − x 2 ) 3
2
4) y’=
4x − 2
7) y’=2x e x
2 −5
5
5x + 2
11) y’=(4x+6)(x2+3x-1)
14) y’=
−5
4 − 5x
1
15) y’= e 2 x ( + 2 ln 2x )
x
16) y’=
19) y’= 3
21) y’= xcos x + sen x
18) y’= xe
x2
2
12) y’=3e3x+2
20) y’= 5
50
x2 +5
8) y’=-e-x
10) y’=
−
x
9) y’=
13) y’= − 2xe − x
e 3 x ( 4 − 3x )
(1 − x ) 2
6
x
2
17) y’= 2xln x3+3x
22) y’= -sen x .ecos x
23) y’= 3x2.cos x3
24) y’= -2x2sen x + cos x2
25) y’= sec2 x
27) y’= sec x.tg x
28) y’= -cosec x.cotg x
29) y’= 4sen3 x. cosx
E10) 1) 2
26) y’= -cosec2 x
30) y’= -6xcos2 x2.sen x2
2) y = 2x - 1
E11) 1) f’(x) = 4 – 2x
2) 2
3) y = 2x + 1
E12) 3
E13) 2e
E14) y =
x 3
−
2 2
E15) y = 2x – 3
E16) 1) 20 milhões de habitantes por mês
E17) 1) y’= 3x2 +
2
x
3
E18) 1) 1
2) –2
E19) 1) 4
2) −
E20) 1) –1 ; 1
E23) 1) C
2) y’’ = 6x -
5
3
2) 21 milhões de habitantes
6
x
4
3) 6
4) -24
3) –1
4) –1
2) –1 ; 0 ; 1
3) y ’’’= 6 +
5) 1
24
x
4) y(4) = -
5
6) −
3) –3
1
2
E25) 1) Máx. Relativo: f(0) = 1
3) C
5) C: (−∞,1] ∪ [5,+∞) , D:[1,5]
Mín. relativo : f(-2) = f(2) = -15
2) Máx. Relativo: f(-2) = -1
Mín. relativo : f(0) = -5
3) Máx. Relativo: f(0) = 16
Mín. relativo : f(-2) = -16 e f(1) = 11
4) Máx. Relativo: f(-2) = 16
Mín. relativo : f(2) = -16
E26) 1) Máx. Relativo: f(-2) = 20
Mín. relativo : f(2) = -12
2) Máx. Relativo: f(0) = 5
Mín. relativo : f(2) =1
3) Máx. Relativo: f(0) = 6
Mín. relativo : f(-2) = f(2) = -10
4) Máx. Relativo: f(-1) = 2
7) 1
4) -2 ; 0 ; 2
2) C:[-2,0] ∪ [2,+∞) , D: (−∞,−2] ∪ [0,2]
4) C: [3,+∞) , D: (−∞,3]
120
Mín. relativo : f(1) = -2
E27) 1) CPB: (−∞,0) , CPC: (0,+∞)
2) CPB: (−1,1) , CPC: (−∞,−1) ∪ (1,+∞)
51
x6
8)
1
6
5) –2; 0; 2; 5
3) CPB: (0,2) , CPC: (−∞,0) ∪ (2,+∞)
4) CPB: (−∞,−1) , CPC: (−1,+∞)
1
E28) 1) C: [0,+∞) , D: (−∞,0] , Máx. Relativo: NE , Mín. relativo : f(0) = 0 , CPB: ( ,1) ,
3
1
1
CPC: (−∞, ) ∪ (1,+∞) , PI : e 1
3
3
1
2) C: (−∞,−1] ∪ [2,+∞) , D:[-1,2] , Máx. Relativo: f(-1) = 17 , Mín. relativo : f(2) = -10 , CPB: (−∞, ) ,
2
1
1
CPC: ( ,+∞) , PI :
2
2
3) C: (−∞,1] ∪ [3,+∞) , D:[-1,2] , Máx. Relativo: f(1) =
34
, Mín. relativo : f(3) = 10 , CPB: (−∞,2) ,
3
CPC: (2,+∞) , PI : 2
4) C: (−∞,2] , D: [2,+∞) , Máx. Relativo:NE , Mín. relativo : f(2) = 2 , CPC: (−∞,+∞) , PI : NE
5) C: (−∞,1] ∪ [2,+∞) , D:[1,2] , Máx. Relativo: f(1) =
3
11
5
, Mín. relativo : f(2) = , CPB: (−∞, ) ,
6
3
2
3
3
CPC: ( ,+∞) , PI :
2
2
6) C: (−∞,+∞) , Máx. Relativo: NE , Mín. relativo : NE , CPB: (−∞,2) , CPC: (2,+∞) , PI : 2
E29) 10 m, 6 m e R$ 12000,00
E30) 2. horas e 5 horas
E31)
1
dm
3
E32) 1) x = 10
E33) 1) [0,15]
2) CPB: (0,+∞)
2) C: [0,10] , D: [10,15]
3) CPC: [0,5] , CPB: [5,15]
E34) 1) Lmáx = 4
E35) 100
E36) 5
52
4) Rmáx = 500 , Rmín = 0
6) 75