Ondas de choque normais

Matéria:
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
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


Formação das ondas de choque normais
Formação das ondas de expansão
Equações das ondas de choque normais
Tabelas das ondas de choque normais
Características das ondas de choque normais
Exemplo.
Ondas de choque normais: formação
Aceleração do êmbolo
por sucessivos impulsos
de velocidade
a1  RT1 V  0, p1 , T1
T2 , p2
T2  dT
T1  dT
an  RT2  dT   a2  RT2  a1
T1  2dT
T1  3dT
a  RT1  dT   a1
a  RT1  2dT   a
a  RT1  2dT   a
Ao fim de algum tempo as ondas ficam todas
sobrepostas
Onda de Choque Normal
Compressão não infinitesimal numa frente sem espessura que se desloca a
uma velocidade superior à do som (e tanto maior quanto maior T2/T1 e p2/p1).
Onda de expansão: formação
Aceleração do êmbolo por
sucessivos impulsos de
velocidade (sentido contrário)
a1  RT1 V  0, p1 , T1
T2 , p2
T2  dT
an  RT2  dT   a2 RT2  a1
T1  dT
T1  2dT
T1  3dT
a  RT1  dT   a1
a  RT1  2dT   a
a  RT1  2dT   a
A frente de onda espalha-se com o tempo: não
pode ocorrer onda de choque de expansão
Equações da Onda de Choque Normal
(referencial solidário com a onda)
V.C.

V1
p1,T1
V2
p2,T2
Equação da continuidade:
1V1 A   2V2 A
1V1   2V2
O.C. sem espessura: A1=A2
1 2

Balanço q. movimento longitudinal:
p1  1V12  p2  2V22


 V2x  V1x
Fx  m
 p1  p2 A   V AV
V12
V22
Balanço de energia: T1 
 T2 
2c p
2c p
1 1
2

 V1 
Equações da Onda de Choque Normal
(referencial solidário com a onda)
V.C.
V1
p1,T1
V2
p2,T2

Equação da continuidade: 1V1   2V2

Balanço q. movimento longitudinal:
p1  1V12  p2  2V22
1 2


Eq. Gás Perfeito:
p1 1 T1

p2 2 T2

V12
V22
Balanço de energia: T1 
 T2 
2c p
2c p
V1
T1 M 1

Definição n.º Mach:
V2
T2 M 2
5 equações e 5 incógnitas: p2, T2, M2, V2, 2
Equações da onda de choque normal
V.C.
M 22 
M 12 
2
 1
2
M 12  1
 1
M 2  f M M1 
V1
p1,T1
V2
p2,T2
1 2
p2
2
 1
2

M1 
p1   1
 1

   1 2  2
2
M1 
M1  1
1 
2
T2 
   1


T1
  12 M 2
1
2  1
p2
 f p M 1 
p1
T2
 fT M 1 
T1
Equações da onda de choque normal
V.C.
2 p2 T1

1 p1 T2
2
 f  M1 
1
V1
p1,T1
V2
p2,T2
1 2
p0 2
p0 1
 1 2   1 2 
M 1 1 
M1 

2


 2

2
 1
M 12 
 1
 1




1  1
p02
p01
 f p0 M 1 
Ondas de choque normais
Equações da onda de choque normal

2RT0
2
Equação de Prandtl: V1V2 
V
 1
em que
V1  V 
V1  V

V   a   RT 
V2  V 
V2  V 
é a velocidade crítica
Escoamento passa de supersónico para
subsónico
Escoamento passa de subsónico para
supersónico
Impossível pela 2ª lei da termodinâmica
Ondas de choque normais: 2ª lei da
termodinâmica
Num escoamento adiabático com atrito:
(s2-s1)/cp

1
T2
p2
s2  s1  c p ln  R ln
0
T1
p1
Usando as expressões anteriores:

s2  s1
2
  1
 ln 


2


cp


1
M


1
1


0,5

0
0
1
2
3
4
5
M1
-0,5
Impossível pela 2ª lei
da termodinâmica
 2
  1
ln 
M 12 
    1
  1
1
Características da onda de choque
10
1
8
0,8
6
0,6
(s2-s1)/cp
4
0,4
p2/p1
p02/p01
2
0,2
0
0
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
M1
5
Características da onda de choque
10
1
8
0,8
M2
T2 / T1
6
0,6
2 / 1
4
0,4
2
0,2
0
0
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
M1
5
Onda de choque normal: velocidade de
propagação

Como a onda está estacionária, a sua velocidade é
idêntica, mas oposta à do escoamento de aproximação:
Vo.c.  V1

e
M o.c.  M1
Ondas de choque mais
intensas (p2/p1 mais elevado)
deslocam-se com maior n.º
de Mach (M1) – ver gráfico 1
V.C.
V1
p1,T1
V2
p2,T2
1 2
Características das ondas de choque
quando M1 1

Ondas de choque com M1
1 transformam-se em
ondas de pressão de amplitude infinitesimal, são
isentrópicas (ver gráfico 1) e deslocam-se à velocidade
do som.
p2
2
 1
2

M1 
p1   1
 1
M1
2 =1+
p2
2
 1

p1
 1
Ondas de choque normais: Exemplo

Um escoamento de ar à temperatura de 202 K e uma
pressão de 100 kPa tem uma velocidade de 427,8 m/s.
Qual a pressão que seria medida por um tubo de Pitot
colocado neste escoamento?
p?
Resposta:
M
p=100 kPa
T=202 K
V=427,8 m/s
V
V

 1,5
a
RT
Supersónico: não pode haver
desaceleração isentrópica até
V=0 na boca do Pitot!
Ocorre uma onda de choque à entrada
do Pitot, que é normal na vizinhança da
boca do Pitot.
Ondas de choque normais: Exemplo
p?
Resposta:
M1  1,5
M 2  0,71
Tabelas (ou equações
das O.C. Normais)
p2
 2,458
p1
p=100 kPa
T=202 K
V=427,8 m/s 1 2
p2  245,8kPa
02
Onda de choque
M1>1
M2<1
Evolução isentrópica entre 2 e O2 (boca do Pitot):

   1 2   1
 1 
M2 
p2 
2


p01    1 2   1
 1 
M1 
p1 
2

p02
p02  pPitot  341,25kPa
p01  367,1kPa
Queda de pressão isentrópica devido à irreversibilidade inerente à O.C.
Ondas de choque normais
Ondas de choque normais
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Matéria:
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Formação das ondas de choque normais
Formação das ondas de expansão
Equações das ondas de choque normais
Tabelas das ondas de choque normais
Características das ondas de choque normais
Exemplo.
Bibliografia
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Secção 9.6 do Fluid Flow (3ª edição) - Sabersky
Secções 9.5 do Fluid Mechanics (4ª ed.) – White
Secções 10.4.1, 10.4.2.1 e 10.4.2.2, Meânica dos Fluidos
(2ª ed.), L.A.O e A.G.L.