POT~NCIAATIVA E REATIVA INSTANTÂNEAS EM SISTEMAS ELÉTRICOS
COM FONTES E CARGAS GENÉRICAS
Edson Watanabe e Richard Stephan
COPPE/UFRJ
CP 68504 - 21945 - Rio de Janeiro - RJ
Resumo - Este trabalho esclarece os conceitos de potência ativa e
reativa instantâneas introduzidas por Akagi, Kanagawa e Nabae.
Para tanto, relacionam-se definições tradicionais de potência ativa e
reativa com estes novos conceitos. Finalmente, mostra-se como pode
ser feita a compensação das potências reativa e harmónica através de
filtros ativos, baseando-se nesta nova formulação.
Abstract - This work clarifies the concepts of instantaneous active
and reactive power introduced by Akagi, Kanagawa and Nabae. The
relationship between the usual definitions of active/reactive power
and these new concepts is established. Finally, it is shown how this
new formulation can be applied to compensate for reactive and harmonic powers using active filters.
1.
INTRODUÇÃO
A conceituação de potência ativa e reativa está bem estabelecida
para circuitos êt~tricos com alimentação senoidal e cargas lineares,
e.g. Elgerd (1970). Nos casos de carga não-linear e alimentação nãosenoidal o conceito ainda não foi suficientemente explorado. Com o
aumento dos circuitos chaveados de eletrÓnica de potência, os sistemas elétricos passaram a absorver uma quantidade significativa
deste tipo de carga. Assim sendo, atualmente, a compensação de
potência reativa passou a ser um problema mais complexo devido à
"potência harmÓnica" present~ no sistema.
Este trabalho tem por objetivo apresentar uma análise detalhada
do problema, visando o esclarecimento e melhor compreensão dos
fenÓmenos físicos que ocorrem em sistemas elétricos alimentados
por fontes genéricas (contendo harm~nicos) e cargas genéricas
(chaveadas ou simplesmente não-lineares). Este problema já foi
tratado em uma série de publicações e.g. Slonin e Van Wyk (1988),
Bystron (1979) e Emanuel (1988). Porém, os autores acreditam que
somente com os trabalhos de. Akagi, Kanagawa e Nabae (1983 e
1984) aparece realmente uma teoria mais completa e consistente
sobre o assunto. Mais recentemente, Furushashi et aI. (1990)
também apresentaram um estudo sobre a teoria da potência reativa
instantânea.
Desta forma, este trabalho, baseado na definição de potência
ativa e reativa apresentada de forma compacta em Akagi et aI.
(1983, 1984), pretende estabelecer uma melhor conceituação física
destas grandezas tanto a nível de regime permanente quanto
transitório, o que não está muito claro na literatura mencionada. A
partir do entendimento do fenÓmeno físico, mostra-se que é possível
se conceber estratégias de correção de fator de potência. É impor-
tante ressaltar que neste trabalho a correção de fator de potência
tem um significado muito mais genérico, não se traduzindo apenas
na correção da potência reativa convencional, mas também da
"potência harmónica".
2.
CONCEITOS TRADICIONAIS DE POTtNCIA ATIVA
E ltEATIVA
Para um melhor entendimento do problema das potências ativa e
reativaj será primeiramente apresentada a aplicação destes conceitos
em um sistema elétrico monofásico, com fonte de tensão senoidal,
carga linear e em regime permanente. Em seguida, será analisado o
mesmo caso estendido para cargas contendo harmÓnicos múltiplos
da freqUência da ~ede ro. Será também apresentado o estudo de uma
fonie de tensão senoidal alimentando uma carga com componentes
harmónicos de corrente não-múltiplas de ro. Por fim, será apresentado o caso de fonte de tensão contendo harmónicos alimentando
uma carga linear.
2.1. Fonte Senoidal em Regime Estacionário e Cargas
Lineares
Seja:
va(t) =
f i V sen rot,
(1)
ia(t) =
Y2 I sen (rot -<jJ).
(2)
A potência instantânea é dada por:
p(t)
=va ia =VI[cos<jJ - cos (2mt - <jJ)] =
I
= VI cos </>(1- cos 2aJ1) I
1 '
-
IVI ...o</>. sen :ZaJt·1
(3)
2
Esta decomposição mostra que a potência instantânea pode ser
separada em duas parcelas:
a parcela "1" pulsa em torno do valor médio (VIcos <jJ) com
o dobro da freqüência da rede de alimentação, porém nunca
fica negativa, ou seja, é uma potência "cc" Slonin e Van Wyk
(1988);
SBA: Controle & Automação
253
a parcela "2" tem o valor médio nulo, valor de pico igual a
(VI sen tP) e também oscila com o dobro da freqüência da
rede.
as parcelas oscilantes das três fases. (parcela depenclente de
Q) estão defasadas de 1WO em cada fase e, portanto, somam
zero. No entanto, define-se tradicionalmente potência
reativa trifásica como:
(ii)
Dentro da conceituação tradicional (e.g., Elgerd, 1970) define·se:
l!
P =VI costP,
uma vez que existe este tipo de potência em cada uma das
fases, em tempos diferentes. É importante notar que esta
potência reativa só aparece por definição, já que a soma no
tempo é nula.
potência ativa média = valor médio de p(t);
l!
Q
=VI sen tP,
potência reativa.
2.2•. Extensão para Fonte Senoidal em· Regime Estacionário
e Cargas com Hannônicos de Corrente Múltiplas de w
Assim,
p(t)
=P(l - cos 2c.ot) - Q(sen 2wt).
(4)
Estas decomposiçoes estão colocadas graficamente na Figura 1.
Nota·se que Q, por definição, é igual ao valor· de pico da parcela
de potência que flui da fonte para a carga e vice·versa, resultando
num valor médio nulo (parcela 2).
No caso trifásico equilibrado (Elgerd, 1976), chega-se às seguintes conclusOes:
(i)
ia(t)
=V2 l 1sen(wt -tP
)
1
+ f i 12 sen(2wt -
tP2) + ...
'+
As seguintes relaçOes são conhecidas:
potência instantânea:
p(t) = Pa(t) + Pb(t) + pc(t)
Pa(t)
l!
= 3P = PjtP
A tensão, neste caso, é a mesma apresentada na eq. (1). A cor·
rente, porém, é expressa por:
'
=2VI] senwtsen(wt '"-tf>1) +
+ 2VI2 senwt sen(2wt ,- tP 2) + ...
ou seja, a potência trifásica instantânea é constante e, portanto, igual ao seu valor médio;
=VIl COS tP 1(1- cos 2wt) - VIl sen tP l sen 2wl
. + 2VI2 senwt.sen(2wt - ti> 2) + ...;
VIcos0
Potencio
totol p
,-,,
\
\
Figura 1. Tensão (v), corrente (i) e potência (p) num circuito monofásico linear Elgerd (1916).
2S4
SBA: Controle & Automação
(5)
o fator de deslocamento aparece na literatura em inglês como
"displacement factor" e corresponde ao fator de potência convencional de sistemas onde nao existe harmónicos. Este fator de deslocamento pode ser chamado de fator de potência fundamental, pois
só depende da componente fundamental. Por outro lado, o fator de
potência, conforme definido acima, pode ser também chamado de
fator de potência total, pois inclui, além da componente fundamental, todos os harmónicos.
potência ativa média:
P = valor médio de Pa(t) = VIl cos t/J 1;
corrente eficaz:
=I 11 2 + 122 + 132 + ... =
=1(1!f) +JOT ia2 dt ,
Para o caso trifásico equilibrado todas as grandezas sao consideradas em triplo.
.onde T é o período de ia(t);
potência aparente:
A partir da Figura 2, as seguintes observaçOes podem ser feitas:
S = VI.
2
Obs. 1: O transporte de P (= VIl cos t/J 1(l - cos wt» e de
O( = VII sen t/J 1 sen 2wt) é feito somente por parte das componentes
de corrente na freqüência w.
Daf, tem-se que:
(7)
Define-se:
â
O
=VII sen t/J
(8)
1
potência reativa;
H
~ V 11
2
2
+
1 + ... = VI II _(1/1)2,
2
3
(9)
potência harmÓnica.
A relação (7) pode agora ser reescri~ como:
S2
=p
2
2
+0 +
2
H .
(10)
Este resultado costuma ser apresentado graficamente através do
tetraedro de potências da Figura 2, Bystron (1979) e Caldeira e
Watanabe (1988).
Obs. 2: O transporte de H é feito pelas componentes de corrente em
freqüências diferentes de w (harmÓnicos).
Obs. 3: A parcela VII sen t/J 1 sen 2wt = Q sen 2wt tem valor médio
zero e pode ser eliminada utilizando-se um capacitar ou um indutor
conveniente. Isto pode ser entendido pela observação da Figura 3. A
colocação de um componente L ou C em parelelo com a fonte de
alimentação permite a geração de uma corrente de freqUência (J)
capaz de fornecer a potência O solicitada pela carga. Nota-se que
com este procedimento é impossfvel gerar ou absorver a potência H
solicitada, uma vez quê H depende de correntes com freqQências
diferentes de Q) (harmÓnicos).
()bs. 4: As parcelas da Eq. (6) com freqüências diferentes de w, isto
é, aquelas que produzem H, têm valor médio zero e nao podem ser
eliminadas com um único capacitar ou indutor. Sua eliminação
depende de filtros, que funcionam como curto-circuitos para as cor·
rentes harmÓnicas geradas na carga.
P
-t>
As seguintes definições sao normalmente empregadas:
fator de'deslocamento ou fator de potência fundamental =
-H+H I
-7f+H
I
=eostP 1 '
/p2 +02
fator de distorção = - - - -
s
1
1
= -= cosy,
J2v senwt
I
fator de potência ou fator de potência total
= P/S =cos t/J1 •
CDS
--
I
-.,..I
_.L_
:,rQ
C
A
R
G
A
r =cos qJ.
Figura 3. Compensação da potência reativa.
2.3. Extensão para Fonte Senoidal em Regime Estacionário
com Carga com Harmônicos de Corrente em Qualquer
Freqüência
H
Este caso ocorre quando a carga é chaveada em uma freqüência
nao sincronizada com a freqUência da rede w. Assim sendo, a corrente passa a ser dada por.
p
00
Figura 2. Tetraedro de potências.
+
L V2It sen(wltt -t/JIt)
(11)
k=2
SBA: Controle & Automação
255
onde,
=V2 11 cos 4>1 senrot + -1"'212cos 4'~n 2cut + ...
ic(t) =V2 11sen 4>1 cos wt + ~I2 sen 4'2 cos 2cut +
is(t)
lo' componente contínua da corrente;
f f h sen(wt + 4>1): componente com a mesma freqUência da
"0
rede (w).
potência instantânea:
de freqUência nao-múltiplas de w, maiores que w (superharmónicos) e menores que w (sub-harmÓnicos), dependendo
apenas do modo e freqUência de chaveamento (Gyugyi e Pelly,
1988) da carga.
Pa(t) = va(t) il(t) + va(t) ic(t) ;
potência ativa média:
P = V,l t cos4>t + Vi2 cos 4>2 + ... ,
Neste caso, da mesma forma que no caso anterior, pode-se
definir todas as variáveis para a construção do tetraedro da potência
da Figura 2. É importante observar, no entanto, que em H estará
contida a potência devido a lo, bem como os harmõnicos menores e
maiores que w.
tensao eficaz:
=/V,2 + V 22 + .u,
V
potência aparente:
Seja:
S
=f i v t senwt + fiv 2 sen(2wt + À2 )+
+ ..r2 v) sen (3wt+ ÀJ +
=VI.
Para a definição da potência reativa, Emanuel (1988) sugere:
(12)
"0
IJ.
0= VtI, sen4>t + V212sen4>2 +
a
(16)
corrente eficaz:
2.4. Extensão para Fonte de Tensão Contendo Harmõnicos
e Cargas com Correntes Múltiplas de w em Regime
Estacionário
1 (t)
(15)
As seguintes relaçOes sao conhecidas:
O somatório de harmónicos em (11) pode conter componentes
va(t)
(14)
(17)
"0
ou
= f i I, sen (wt - 4>t) +
+ f f 12 sen (2wt + À2 - 4>2) +
+ ..(21) sen (3wt+ À) - 4>~ +
O l;etraedro de potência, neste caso, fica também estabelecido
por:
(13)
0'0
S2
2
2
=p +0 +H
2
(18)
,
2.4.1. Decomposição da Corrente em Parte Senoidal e Parte
Cossenoidal
onde H =S - P - Q é um termo comphcado em função de sen ;,
ecos 4>j sem significado físico aparente.
Para estes casos, Emanuel (1988) sugere a decomposição da corrente em uma parte senoidal e outra cossenoidal, ou seja:
A compensação da parcela O poderia ser conseguida, caso a
fonte de alimentação fosse composta de fontes harmónicas em série,
através da colocação de capacitores ou indutores em paralelo com as
fontes, conforme sugere a Figura 4. Como esta nao é um~ situação
real, a metodologia sugerida fica apenas no nível teórico e serve para
o entendimento do significado das parcelas 0i (i = 1,2, 3, ... ).
2
onde,
2
2
2
.
12V1 senwt
J2V2 sen(2wt+ À2)
C
A
R
fi V3 sen(3wt +).3 )
i
I
I
I
I
... ----1
I
•
I
I
•
G
A
•
Figura 4. Compensação da potência reativa no caso de fonte de tensão com componentes harmônicos.
2S6
SBA: Controle & Automação
2.4.2. Decomposição da Corrente em Partes em Fase com a
Tensão e Parte Ortogonal à Tensão
Como a potência reativa Q definida em (17) pode no total ser
nula, negativa ou positiva, dependendo de tPi ,Emanuel (1988)
sugere uma outra decomposição da corrente. Ou seja, sugere a
decomposição da corrente em partes em fase com a tensão e parte
ortogonal à mesma.
Admite-se inicialinente que a carga é constituída por uma
resistência em paralelo com uma indutância ou capacitância, e que
seus valores nao dependem da freqUência. Chamando-se ip a COrrente que circula na resistência e iq a que circula no elemento indutivo/capacitivo, tem-se:
ia(t)
= 1p(t)
+ iq(t) ,
(19)
onde:
= G [fiV t senrot +
ip(t)
+ f i V2 sen (2wt + À. 2) + ...],
(20)
(27)
Outras relações seriam obtidas caso a carga fosse constituída por
elementos em série.
2.4.3. Cone de Potências
As decomposições sugeridas nos ítens 2.4.1. e 2.4.2. levam a
tetraedros de potência distintos. As arestas Q e H de cada
decomposição são totalmente diferentes. E.xistem, na verdade,
inúmeras formas de se definir O e H. No entanto, P, S e o êngulo
(t/» entre P e S são sempre os mesmos, independente de como sao
escolhidos Q e H. Desta forma, como mostra a Figura 5, tomando«
o eixo P como referência e dependendo da escolbade Q e H, a
ponta do vetar S estará for~samente sobre um círculo, ebegando«
assim a um cone de potências.
É importante lembrar que uma escolha arbitrária de Q e H leva a
definições sem significado tIsico e alguns autores sugerem definiç6e&
de sua preferência (e.g. Emanuel (1988».
= ia(t) - ip(t) = ic(t) + (is(t) - ip(t» =
iq(t)
= f i l t sen tP t coswt + f i I 2 sentP2 cos2wt + ...
+ ..ri: (11 COStP1 - GV t ) senrot +
+ fi(12 eostP2 - GV 2) ~n (2wt +À. 2) + ... ,
(21)
e G é a condutância da carga.
As seguintes relações são verdadeiras:
=p(t) = v (t) (ip (t) + iq (t» =
P
= v(t)ip(t) = G(V12+ V22+ V3 2 + ...) =
=GV=VIp ,
(22)
Figura 5. Cone de potência: P, S e o ângulo (tIJ) entre
P e S tem sempre o mesmo valor.
onde 1p é o valor eficaz de ip
Aqui, Emanuel (1988) sugere a seguinte definição para potência
reativa:
Q
~
=V [(lt sen tP t )
22m
+ (12 sen tP 2) + ...]
Nota-se que com esta definição O
~
(23)
o.
O tetraedro de potência fica estabelecido pela introdução do
termo R:
Ii = S2 _ p 2 _ 0 2.
(24)
Neste caso,
R2
=V (Ip2 + Iq2) _ G 2 V4 _ 0 2,
(25)
onde Iq é o valor eficaz de iq . Mas,
Iq
2
2
2
0
OS NOVOS CONCEITOS DE POmNCIA ATlVA E
REATIVA
As análises apresentadas na seção anterior levam c1aramebte ao
entendimento da existência de um tetraedro de potências e que as
possfveis formas de se corrigir o fator de potência são diferentes
quando existem harmÓnicos ou nao. As análises apresentadas são
válidas somente para o regime permanente, o que atualmente nllo
tem muito sentido, uma vez que na maioria das indl1striasas cargas
funcionam de forma muito dinâmica, sendo o conteúdo harmónico
variável no tempo.
.
Por este motivo, Akagi et aI. (1983, 1984) apresentaram uma
teoria geral de potência ativa e reativa, que todavia ainda .nllo ~tá
perfeitamente entendida e difundida entre· os engenheiros de sistemas de potência.
No item seguinte será apresentada esta teoria generalizada e, a
partir daí, pretende.se discutir e explicar melhor o significado de
cada termo defmido.
2
= [11 sen t/>1 + 12 sen t/>2 + ... + (11 cos t/>1 -GV1)
3.
2 2 m
+ (I2 cost/>2-GV2) + ...] =
2
= [T + (11 COSt/>I- GV t )
2
m
+ (l2COStP2-GV2) + ...]
2
3.1. Potência Ativa e Reativa Generalizada
+
(26)
Sabe-se que a potência instantânea de um sistema trifásico é dada
por:
SBA: Controle & Automação
257
=vaia + vbib + vA =vaia + vf3if3 + voio
=Pa + Pb + Pc =Pa + Pf3 + Po ,
p(t)
onde foram definidas as seguintes componentes de corrente:
V
(28)
iap =
2
a
2
p,
(33)
q ,
(34)
,
(35)
v a +vf3
onde:
vo
va
1/ff
= ,; 2/3
vf3
O
va
1r/"2
vb
=,; 2/3
vc
1/V2
1/Y2
va
-1/2
-1/2
vb
"3/2
-,; 3/2
vc
1
O
vo
1/V2
-la
V3ii
Va
11V2
-1/2
-,; 3/2
vf3
. ia q =
(29)
if3p
if3q
(30)
-VtJ
2
2
v a +vf3
vtJ
=
2
2
va
=
2
2
(36)
Então, para as potências nas fases a e f3, tem-se:
RelaÇÕeS idênticas valem para as correntes.
vaiap
Vaia
=
~
q
v a +vf3
Pa
Esta decomposição em componentes (a, f3, O) deve ser entendida
como uma mudança de variáveis, não estando relacionada com a
transformada de Park ou componentes simétricas. A conveniência
desta mudança de variáveis sobressai nos casos freqUentes em que
va + vb + Vc = O ou ia + ~ + ic = O. Nestas situações, a variável
vo ou io vale zero e, portanto, duas componentes (a, f3) são suficientes para representar o sistema.
Akagi et aI. (1983, 1984), sugerem a definição de uma variável q
dada por:
P
v a +vf3
=
+
vf3if3
Pf3
vaiaq
vf3 Y3q
vf3if3p
Pap
Paq
~
+
=
(37)
Pf3p
Pf3q
onde fQram definidas as seguintes componentes de potência:
- q(t) = va if3 - vf3ia .
2
A idéia básica desta definição é obter o produto da tensão pela
V
corrente adiantada de 90°. Note que a parcela 2 da Eq. (3) é obtiQa
pelo produto da tensão va pela parte da corrente em coswt.
a
--2-~-2- -
P,
(38)
v a +vf3
Portanto, quandovo = O ou io = O:
(39)
P
=
q
o que nos permite calcular as correntes nas fases a e f3 em função de
peq:
p
1
Pf3q = vf3i f3q =
= -2----2Va
q
+
2
=
=
O Paq + P{:Jq
O
Estas relações sugerem a seguinte nomenclatura:
~
}=
q
258
(41)
SBA: Controle & Automação
(42)
porque de (38) e (40) tem-se que:
O
+
2f:!.
+ v f3
=
p
2
q .
VQ
P = Pa + Pf3 = Pap + Paq + P{:Jp + P{:Jq
Pap + P{:Jp ,
1
v a +Vf3
(40)
É fácil verificar que com Po = O, P vale:
ou ainda, separando as parcelas em função de p e q, tem-se:
=
va
(31)
+ vf3
va
2
p,
(32)
Pap = potência ativa instantânea no eixo a,
P{:Jp = potência ativa instantânea no eixo {:J,
Paq = potência reativa instantânea no eixo a,
(43)
I
Pp, =potência reativa instantanea no eixo (J.
q(t)
=potência imaginária instantânea,
p(t)
=potência real instantânea.
Esta nova conceituação de potência leva a resultados idênticos
aos tradicionais e válidos para sistemas com alimentação senoidal e
cargas lineares.
Nota-se que:
Nota-se que ~tas grandezas sao instantâneas e, assim, valem
tanto para transitórios quanto para regimes estacionários, contendo
harmónicos ou não.
O conceito usual de potência reativa corresponde a uma parcela
da potência instantânea cujo valor médio é nulo (ver item 2.1.)
Agora, o conceito de potência reativa introduzido corresponde a parcelas da potência instantânea de um circuito trifásico cuja soma
O).
Instantânea é zero (Paq + Pf3q
=
Para permitir uma conexão com as conhecidas potência ativa
média (P) e potência reativa (O), será analisado o caso de uma carga
linear alimentada por uma fonte senoidal.
3.2. Particularização para Fonte Senoidal de Tensão em
Regime Estacionário com Cargas Uneares
2
Pa = V I cosif>(l- cos2wt) - V I sentP sen2wt,
3
-
2
pp = V I costP(1 + cos2wt) + V I sentP sen2wt,·
.
3
que é equivalente à expressão (3) obtida no item 2.1. para sistemas
monofásicos.
Em seguida será feita a mesma conexão para o caso de uma fonte
senoidal alimentando uma carga não-linear.
3.3. Particularização para Fonte Senoidal de Tensão em
Regime Estacionário com Cargas com Hannônicos de
Corrente Múltiplos de w
Seja um sistema trifásico com as tel1SOes conforme definidas em
Seja:
va
-
(44) e com correntes dadas por:
= V2
V senwt,
=fi V sen(wt + 120°),
v =V2 V sen(wt - 120°).
I sen(Wl - 4»,
I =V2
a
I sen(wl + 120° - tP),
I =fi
b
I sen(wt - lWO - 4».
I =fi
c
(44)
vb
=V2
Ia
(
11sen(wJ. -
tP 1) + f i
+fi 13sen(3wt (45)
=fi
Ib
12sen(2wt - 4>2) +
tP~ + ...
11sen(wt + 120° - 4>1) +
+ f i 12sen[2(wt + 120°) -
tP2]
+ ...
Logo:
= V3
= V3
Vo =O
V
a
vp
la
=..f3 I sen(wl - tI»,
1f3
=V3
11sen(wt -120° - 4>1) +
+ f l 12sen[2(wt - 120°) - 4>2] + ...
(46)
V coswt,
I COS(Wl -
=fl
ic
V senwt,
(50)
Logo,
tI»,
(47)
00
Portanto:
1
~
~
ia-
1=0
o
- - I sen(nwt -
V3
n=1
n
tP n) [1- cos(n1200) ] ,
(51)
para n = 3 k a contribuição é nula,
(48)
para n ;t: 3 k a contribuição é positiva.
00
(49)
if3 = L
2 Incos(nwt -tI>n) sen(nl200),
(52)
n=1
Mais ainda:
para n
Pa
= Pap + Paq
=3 k a contribuição é nula,
para n = (3k - 1) a contribuição é negatiVa,
,
para n = (3k + 1) a contribuição é positiva.
2
Pap
=
V
a
-2---2-
v a + vp
2
P = + 3 V I cos tP sen wt,
1
i = - - ( i +ib+i)=
o
V3
=
L Y6
a
c
00
k=1
13k sen (3kwt -
ti>3k)·
SBA: Controle & Automação
(53)
259
Nota-se que os harmOnicos múÍtiplos de 3 só aparecem em "io".
p
Obs.:
Extensão da nomenclatura
=vaia + vf3Y3 + voio = Pap +Pf3p
=3VI1 eo&:/J1 - 3VI2 cos(3wt -4J2 ) +
Baseando-se nas Eqs. (33) a (36) e considerando--se as
definições apresentadas nas Eqs. (56) e (57), fica evidente o
que representam as variáveis iap , iacj , if3p , i{3;; ,que se·
+ 3VI4.cos(3wt -;4) - 3VIscos(6wt-;s) +
rão empregadas mais adiante. Similarmente, com baSe nas
Equações (38) a (41), podem-se introduzir as novasquan-
+ 3VI7cos(6wt -;7 )
tidades Pap ' Paq ' Pf3p , Pf3q .
- 3VIs cos(9cot - ; s)+ 3 VI10 cos(9wt - ;
10 ) -
- 3VI11 cos(l2wt -;11) + ...
=va if3 -
q
(54)
4.
COMPENSAÇÃO DA POmNCIA REATIVA (Q) E
HARMÓNICA (H)
v/JÍa
=3VI1sen;l - 3VI2sen(3wt -;2)-
4.1. Conceitos Básicos
- 3VI4sen(3wt -;4) - 3VIs sen(6wt -;5)- 3VI7 sen(6wt -;7) - 3VIs sen(9aJt -;s)-
Po =vi
=0.
oo
Inicialmente será analisada a compensação das parcelas da potência
instantâneap(t) que dependem de q, isto é Paq e Pf3q (vide Eqs.
39,41 e 42). A Figura 7 ilustra o fluxo de potência nas fases a ef3.
Para. compensar as parcelas reativas paq e PIR
,.,q basta introduzir
fontes de corrente iac e if3c ,conforme indicado na Figura 7. Estas
fontes devem ser tais que:
Observando-se estas equaÇÕeS, pode-se escrever:
iac = iaq ,
(61)
ipc = ipq ,
(62)
- 3VI10 sen(9wt - ;
10 ) -
- 3VI 11 sen(l2wt -;11) + ..,
(55)
6p=p+p,
(56)
6_
q=q+q,
(57)
onde"-" indica valor médio e "-" valor oscilante.
Verifica-se que:
ii e qtem valor médio zero,
P=P3fj>'
(58)
q= Q3fj> ,
• (59)
(60)
onde P e Õ são os valores eficazes de ii e q.
As relações acima podem ser resumidas no desenho da Figura 6.
Aqui a parcela devido aos harmOnicos foi decompostá nas partes
ortogonais P e Õ. É fundamental notar que estes resultados são
idênticos aos do item 2.2., só que o significado físico está mais claro,
principalmente naquilo que diz respeito a H: Com esta definição da
"potência harmónica" H observa-se que:
com iaq e if3q dadas pelas Eqs. (34) e (36). Com isto, a fonte de corrente conectada em paralelo com a tensão va fornecerá .a potência
Paq = .Vaiaq (Eq. 39) e a fonte conectada à tensão vf3 fornecerá
Pf3q = vpipq (Eq. 41). Uma vez que a relaÇão (43) nos ensina
que, em todos os instantes de tempo, Paq + Pf3q = O ,não é
necessário elementoannazenador de energia para trocar esta parcela' de potência com a carga. A ,compensação é feita instantaneamente através da troca de potência entre as fases. A realização
destas fontes de corrente é possível através de filtros ativos de
potência, constituídos basicamente de inversores de tensão (VSI) ou
corrente (CS!) devidamente controlados para gerar iac e if3c
(Akagi et at, 1984).
Resta agora analisar as parcelas de potência instantãnea que dependem de p. Conforme apresentado na Equação (56), p pode ser
decomposto nas partes p e j). Pela. Eq. (58), P corresponde justamente ao valor da potência que é transformada em trabalho útil na
carga e, assim, não tem sentido falar em sua compensação. Por outro
lado, ii tem valor médio zero e, portanto, pode ser compensado sem
alterar o ~ornecimento de potência para a carga. A partir das Eqs.
(38) e (40) pode-se·escrever:
2
Va
(i)
(ü)
o seu valor médio também vale zero;
2
2
v a + v f3
a eliminação de H só épossfvel através de filtros, uma vez
que \1m único capacitar ou indutor não é capaz de fornecer/absorver correntes em freqüências diferentes de aJ.
Na seção 4 será explicado colrio H e Q podem ser compensados.
260
Pap=
SBA: Controle & Automação
P=vaiap
,
(63)
2
Vf3
Ppp=
2
2
v a +v f3
-
P = vp ipp
(64)
152 : p2+Q2 +H 2
H
H2 :
'P2+Q2
Figura 6. Tetraedro de potências extendido.
Pdp+ Pdp+ PC!q
•
I
,J.,
I
"
t'
"'r~
I
,1.,
~
tt }PJ3P+PJ3P+P~
'T~
lide
I"''t
:1f3e
I
C
A
R
G
A
Figura 7. Esquema de compensação de Q e H.
Estas equações mostram claramente que nao é possível compensar tais parcelas de potência através da troca de potências entre
fases, como ocorre com Paq e Pf3q . Somente através do armazenamento/fornecimento de energia, pode-se suprir as solicitações da
carga no que se refere a
p,
sem sobrecarregar a fonte de alimen-
(aquela que depende de
êi) e a parcela Q são compensadas por
filtros ativos de potência (Akagiet aL, 1984) que não necessitam de
componentes armazenadores de energia. A outra parte da parcela H
(aquela que depende de p) exige capacitores ou indutores para com-
tação. O elemento armazenador recebe a energia nos ciclos negati-
pensação.
vos de p e a devolve nos ciclos positivos de p.. Esta compensação ..
pode ser conseguida também por filtros ativos de potência
constituídos de inversores (VSI ou CSI) controlados para fornecer iap e if3p' dados pelas Eqs. (63) e (64). No entanto, sao necessários aqui elementos capazes de armazenar o valor máximo da
Quando grandes valores de potência estão em jogo, os elementos
armazenadores de energia acima mencionados são caros. Nestes
casos e com o barateamento dos componentes de eletrOnica de
potência, o emprego da nova filosofia de compensação de potências
reativas e harmOnicas torna-se atraente (Mohan e Wright, 1988).
energia trocada com a carga Mohan e Wright (1988).
s.
4.2. Discussão Sobre a Compensação de Q e H Utilizando
FUiros Ativos de Potência
A compensação aqui apresentada difere da usualmente
empregada. No procedimento convencional, compensa-se Q através
de elementos armazenadores de energia e o projeto é feito tratando
cada fase individualmente. A parcela H é compensada usando filtros
com capacitores e indutores,.ou seja, novamente elementos armazenadores de energia. Na nova metodologia, parte da parcela H
EXEMPLO
.Seja um sistema trifásico cujas tensõés são dadas pela Eq. (44) e
CUjas correntes estão representadas apenas pelos primeiros e segundos harmOnicos da Eq. (50).
A Eq. (46) fornece os valores de va ' vf3'
Vo .
Das Eqs. (51), (52), (53) obtem-se:
ia =
..f3 11 sen(rot -</>1) + V3 12 sen(2cot -</>2)'
if3 = V3 11cos(rot - </>1) - f i 12sen(2cot - </>2)'
i o =0.
SBA: C::Ontro1e & Automação
261
Das Eqs. (54) e (55) segue:
com as conhecidas potências P, Q e H. A compensação da potência
=3 V 11 COS;1 - 3 V 12 cos(3cot - ;2)'
q =3 V 11 sen;1 - 3 V 12 sen(3cot - ;2)·
reativa instantânea
p
(Paq ' P{3q) pode ser feita através de um filtro
ativo que direcione convenientemente as potências em cada fase,
uma vez que
Ponanto:
Paq = P{3q. As parcelas de potência harmOnica defini-
das por ii também podem ser compensadas, pois não afetam o valor
médio· da potência. No entanto, a compensação neste caso exige
p=- 3 V 12cos (3cot - ;2) ,
q =3 V 11 sen ;
elementos armazenadores de energia.
1'
A nova metodologia de compensação de potências reativa e
harmOnica torna-se economicamente interessante na medida em que
os valores de potência em jogo são elevados e o preço dos dispositivos semi-condutores de potência decrescem. Além disso, a
compensação proposta é instantânea valendo também em regimes
transitórios.
q=- 3 V 12sen(3 wt - ;2)'
Das Eqs. (33) a (34) vem:
v'3
=-3 V
la
p
senwt.p.
-V3
= - - cos wt.q,
la
3V
p
v'3
iR = - _ . cos wt.p ,
fJP
3V
iR
fJq
V3
=- 3V
A correção de H utilizando filtros ativos de potência será
inevitável em sistemas onde as freqüências harmónicas forem
variáveis no tempo. Isto acontece nos casos de sistemas de corrente
contínua com modulação de potência ou quando cicloconversores
são utilizados(Gyugyi e Pelly, 1976; Alcagi et aI., 1986).
sen wt.q
=Iap + iaq =iap + iap + iaq + iaci
la
7.
REFERtNCIAS
AKAGI, H.; KANAGAWA, Y. e NABAE, A (1983), Generalized
Theory of the Instantaneous Reactive Power in Three . Phase
Circuits - Int. Conf..Power Electronics, Tokyo.
laq = -
v'3"
11 sen ; 1coswt,
AKAGI, H.; KANAGAWA, Y. e NABAE, A (1984), Instantaoeous Reactive Power Compensator Comprising Switching
Devices Without Energy Storage Compooents, IEEE Trans. on
Inçl. Applíc. Vol. IA-20, 003, MayjJune.
lf3q
AKAGI, H.; NABAE, A e ATOH, S. (1986), Control Strategy of
Active Power Filter Using Multiple Voltage - Source PWM Converters - IEEE Trans. on IA, Vol. IA-22, May-June.
=.f3 11 cosrp 1cos W t,
lf3p =- V3 12cos wt cos(3cot - ;2) =
-..[3
- _ .- 12 (cos(2wt - ;2) + cos(4wt 2
BYSTRON, K. (1979), Leistungselektronik, Band 2 - Hanser Verlag.
<'P )],
2
CALDEIRA, P.P.A e WATANABE, E.H. (1988), Power Factor
Compensatioo of Rectifiers Utilized in Oil Drilling Rigs, IEEE
Traos. 00 IA - March/April.
.
lf3q = Y3 11 sen <'P 1sen wt ,
if3q = -fi 12 sen wt sen(3wt - <'P 2) =
ELGERD, 0.1. (1976), Introdução à Teoria de Sistema de Energia
Elétrica - McGraw-Hill do Brasil.
EMANUEL AE. (1988), Harmonic Power Flow Effec on Energy
. and Power Meters Accuracy - Brasilcon'88 Harmónicos em Sistemas Elétricos - Dezembro.
Na Figura 8 estão apresentados os gráficos de algumas destas
funções.
É interessante observar que Paq
=- P{3q'
Paq
=- Ppq .
Além
disso, Pap e P[3P temvalor médio zero, porém seus valores instantâneos são diferentes em módulo. Já Pap e P{Jp tem valor médio
FURUHASHI, T.; OKUMA, S. e UCHIKAWA, Y. (1990), A
Study on the Theory of Instantaneous Reactive Power, IEEE
Trans. on Ind. Electronics, Vol. 37, N°1, Fev.
GYUGYI, L. e PELLY, B.R. (1976), Static Frequency Changer
John Wiley.
diferente de zero e representam a parcela de potência efetivamente
consumida pela carga.
6.
CONCLUSÕES
.Este trabalho introduziu novos conceitos de potência ativa e
reativa; Através de uma série de exemplos mostrou-sea conexão
262
MOHAN, N. e WRIGHT, S.E. (1988), Active Filters for HighVOI-tage Direct - Current (HVDC) Converter Terminais - EPRI
Research Project 2115·15 Final Report, University of Minnesota,
August.
SBA: Controle & Automação
SLONIN, M.A e VAN WYK, J.D. (1988), Power Components in a
System with Sinusoidal and Nonsinusoidal Voltages and/or Currents- Proc. IEE, Vol. 135, Part B, nOZ, March.
1
1
T
t
0.5
t
T
t
T
t
T
0.5
-0.5
O
T
t
0.5
0.5
lpq( t)
-0.5
-0.5
O
T
t
O
<'.5
0.5
i~t)
lpqft)
-0.5
O
T
t
-0.5
O
T
Figura 8. Decomposição das correntes em parcelas dependentes de ii , q, ti para o exemplo do item 5.
V
= 1,0
; 11 = 1/V3 ; 12
= 1/{2-13);
Nomenclatura
freqUência da rede.
p(t)
potência instantânea, ~tência real instantânea.
q(t)
potência imaginária instantânea.
Pm{t)
potência instantânea na fase m, me {a,b,c, a,p,o}.
Pap(t)
potência ativa instantânea na fase a.
P{Jp(t)
potência ativa instantânea na fase (J.
Paq{t)
potência reativa instantânea na fase a.
P{Jq{t)
potência reativa instantânea na fase (J.
(J)
p
q
valor médio de p{t).
p(t)
parcela oscilante de p(t), onde p(t) = ptt) + p(t).
q(t)
parcela oscilante de q(t), onde q(t) = «<:t) + q(t).
P
potência ativa média, P = PCt).
O
potência reativa, 0= q(t).
valor médio de q{t).
0 1 = 300 ; O2 = 00 .
P3f/>
03f/>
potência ativa média trifásica.
potência reativa trifásica.
vm(t)
tensao instantânea na fase m, me {a,b,c, a,/J,o}.
im(t)
corrente instantânea na fase m, m E
{a,b,c~ a,/J,o}.
valor eficaz da corrente i(t), I = Y (lm J j2 dt,
O
onde T é o período de i(t).
valor eficaz do k-ésimo harmónico de corrente.
valor eficaz da tensao v(t).
valor eficaz do k-ésimo harmónico de teDsao.
corrente com termos em seno (senkwt).
corrente com termos em cosseno (~kwt).
corrente em fase com a tensao.
corrente em quadratura com a tensão.
valor eficaz de ip(t).
valor eficaz de iq(t).
T
SBA: Controle & Automaçio
263