PREVISÃO DE PREÇOS FUTUROS DE CAFÉ UTILIZANDO MODELOS DE
SÉRIES TEMPORAIS ARIMA E ARFIMA–GARCH
[email protected]
APRESENTACAO ORAL-Comercialização, Mercados e Preços
CASSIANO BRAGAGNOLO; ALEXANDRE HATTNHER MENEGÁRIO; VITOR
AUGUSTO OZAKI.
ESALQ/USP, PIRACICABA - SP - BRASIL.
PREVISÃO DE PREÇOS FUTUROS DE CAFÉ UTILIZANDO MODELOS DE
SÉRIES TEMPORAIS ARIMA E ARFIMA–GARCH
(PREDICTION OF COFFEE FUTURES PRICES USING TIME SERIES MODELS
ARIMA AND ARFIMA–GARCH)
Grupo de Pesquisa: Comercialização, mercados e preços
Resumo
Valendo-se dos dados da BM&F para contratos futuros de café para o período compreendido
entre dezembro de 1999 e maio de 2004, utilizados anteriormente por Lima et al (2007), este
artigo teve por objetivo estimar modelos de previsão de séries temporais ARIMA e ARFIMA–
GARCH, com lambda determinado de forma conjunta e separada e buscando comparar os
resultados obtidos com os alcançados pelos autores mencionados. Os resultados obtidos neste
trabalho divergiram bastante dos encontrados por Lima et al. (2007), principalmente no que
tange aos modelos estimados. O modelo mais bem ajustado, segundo o critério de menor Erro
Quadrático Médio foi, também, bastante diferente do artigo original. A principal divergência
entre as conclusões alcançadas neste trabalho e as de Lima et al. (2007) foi a de que neste não
houve diferença entre os modelos ARIMA–GARCH e ARFIMA–GARCH, enquanto Lima et al.
(2007) encontraram qualidade de previsão significativamente melhor para os modelos com
diferenciação fracionária.
Palavras-chaves: Modelos de previsão, Séries Temporais, Mercados Futuros, Café
Abstract
Making use of data from the BM&F futures contracts for coffee in the period between
December 1999 and May 2004, used previously by Lima et al (2007), this paper aimed at
estimating models for forecasting time series models ARIMA and ARFIMA–GARCH, with
lambda determined jointly and separately. The results obtained in this study differed widely
from those found in Lima et al. (2007), mainly regarding to the estimated models. The main
difference between the conclusions reached in this work and those of Lima et al. (2007) was
the fact that, in the first, there was no significant difference between the predictions made by
ARIMA–GARCH and ARFIMA–GARCH, while Lima et al. (2007) found significantly better
prediction for the models with fractional differentiation.
Key-words: Prediction models, Time Series, Future markets, Coffee
1. Introdução
Uma série de trabalhos tem sido publicada envolvendo previsão de preços futuros
de commodities agrícolas com a utilização de modelos de séries temporais, como é o caso do
artigo de Bressan (2004). Lima et al. (2007), no entanto, foram um dos poucos a comparar
estimativas de previsão de preços futuros agrícolas, mediante a aplicação de modelos de séries
temporais com diferenciações inteira e fracionária.
Para tanto, Lima et al. (2007) partiram das séries de dados originais de contratos
futuros de açúcar, boi gordo, café, milho e soja, aplicando transformação logarítmica e,
depois, uma diferença, para chegar às séries de retornos e, então, estimar modelos ARMA
(auto-regressivos de médias móveis), como termo de comparação com os modelos ARFIMA
(auto-regressivos fracionários integrados de médias móveis). Em ambos os casos, os erros
foram modelados com uma estrutura GARCH (heteroscedasticidade condicional autoregressiva generalizada). O poder de previsão de cada modelo foi comparado pelo critério do
Erro Quadrático Médio (EQM). A estimação do termo de diferenciação fracionária (d)
também foi utilizada para examinar as características de longa dependência das séries em
questão.
Os resultados mostraram indícios de que a dependência temporal entre as
observações das séries de retorno de preços futuros pode ser função do tipo de ativo
examinado, no caso, commodities agrícolas. Isso significa que, para os ativos em que a
resposta da oferta é mais rápida, as características de longa dependência tenderiam a ser de
natureza antipersistente, do contrário, haveria uma maior dependência entre as observações
não contemporâneas.
O modelo ARFIMA foi o que apresentou o melhor poder de previsão, segundo o
critério do Erro Quadrático Médio, em comparação ao modelo ARMA, à exceção da série de
soja. O valor do d fracionário da série de açúcar indicou um comportamento de
antipersistência a choques, enquanto que esses valores para as demais commodities
apresentaram comportamento persistente.
A quantidade de ordenadas harmônicas de baixa freqüência, representada pelo
valor da estatística d, não mudou a classificação de dependência das séries, assim como não
houve alteração significativa na eficiência do modelo ARFIMA no que se refere a seu poder de
previsão, devido ao mesmo motivo.
Este artigo tem por objetivo estimar modelos de previsão de séries temporais
ARIMA e ARFIMA–GARCH, com lambda determinado de forma conjunta e separada,
utilizando-se as mesmas séries de dados da BM&F para café de Lima et al. (2007) e buscando
comparar os resultados obtidos com os alcançados por aqueles autores. Além disso, ao invés
de utilizar única e exclusivamente o critério de menor erro quadrado médio, optou-se por
fazer uma análise conjunta do Critério de Informação de Akaike (AIC), Erro Quadrático
Médio (EQM) e significância dos parâmetros estimados (estatística t dos parâmetros).
O presente trabalho está estruturado da seguinte forma: a seção 2 discutirá os
modelos utilizados, com destaque para o ARFIMA e a modelagem de erros com estrutura
GARCH; a seção 3 apresentará com mais detalhes os processos de identificação e estimação,
além dos testes realizados; a seção 4 mostrará os resultados obtidos, sua interpretação,
2
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discussão e, principalmente, a comparação com aqueles obtidos no artigo de Lima et al.
(2007); por fim, a seção 5 apresentará as conclusões.
2. Modelos de Séries Temporais com Diferenciações Inteira e Fracionária
2.1. Os modelos ARIMA(p,d,q) e ARMA(p,q)
Os modelos de séries temporais do tipo ARIMA, auto-regressivos integrados de
médias móveis, são usados nos casos em que se supõem graus de diferenciação inteiros,
baseado na formulação descrita a seguir, extraída de Morettin e Toloi (2006):
∅1 − − = ,
~ 0, (1)
em que é a série temporal, é a média da série, é o termo aleatório, com média zero e
variância constante , 1 − é o operador de diferença, ∅ = 1 − ∅ −. . . −∅ e = 1 − −. . . − . Escreve-se ARIMA(p,d,q), onde p e q são as ordens de ∅
e , respectivamente. Nesse modelo, todas as raízes de ∅ estão fora do círculo
unitário.
O modelo acima também pode ser escrito da seguinte forma:
− = (2)
em que é um operador auto-regressivo, não-estacionário, de ordem p + d, com d raízes
iguais a um (sobre o círculo unitário) e as restantes p fora do círculo unitário.
Assim, o modelo descrito por meio da equação (1) supõe que a d-ésima diferença
da série Zt pode ser representada por um modelo ARMA(p,q), estacionário e invertível.
Morettin e Toloi (2006) afirmam que, usualmente, o grau de diferenciação d dos modelos
ARIMA é um ou dois, fato esse corroborado por outros autores, como Pindyck e Rubinfeld
(1991).
2.2. O modelo ARFIMA(p,d,q)
De acordo com Morettin e Toloi (2006), um processo de memória longa é um
processo estacionário cuja função de autocorrelação decresce hiperbolicamente. As
autocorrelações da série original indicam estacionariedade, enquanto a série diferençada pode
parecer ser super-diferençada.
Procurando respeitar as características de uma série de memória longa, houve, no
decorrer do tempo, a definição de dois modelos importantes: primeiro, foi introduzido o ruído
gaussiano fracionário por Mandelbrot e Van Ness (1968); mais tarde, Granger e Joyeux
(1980) e Hosking (1981) introduziram o modelo ARIMA fracionário (ou ARFIMA), que é uma
generalização do modelo ARIMA.
Há estudos recentes incorporando memória longa a processos GARCH, nos
processos denominados FIGARCH (heteroscedasticidade condicional auto-regressiva
generalizada, integrada fracionariamente), introduzidos por Baillie at al. (1996).
Para qualquer número real d > –1, define-se o operador de diferença fracionária a
partir da seguinte relação:
"
1 − d = ∑∞
k=0 ! − = 1 − +
!
− 1 −
%!
− 1 − 2 % +. . .
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(3)
3
Dizemos que uma série temporal Zt é um processo auto-regressivo fracionário
integrado de médias móveis, ou ARFIMA(p,d,q) com d ∈ (-½,½), se Zt for estacionário e
satisfizer a relação abaixo, que é uma simplificação do modelo descrito na equação (1):
∅1 − ( = (4)
em que ( = − , at é ruído branco e ∅ e são polinômios em B, de graus p e q,
respectivamente.
A razão da escolha dessa família de processos, para fins de modelagem das séries
com comportamento de memória longa, é que o efeito do parâmetro d em observações
distantes decai hiperbolicamente conforme a distância aumenta, enquanto os efeitos dos
parâmetros de B decaem exponencialmente. Então, d deve ser escolhido com o objetivo de
explicar a estrutura de correlação de ordens altas da série enquanto os parâmetros ∅ e explicariam a estrutura de correlação de ordens baixas.
Hosking (1981) demonstrou que o processo ARFIMA(p,d,q), dado por (4) é:
i) estacionário se d < ½ e todas as raízes de ∅ = 0 estiverem fora do círculo
unitário;
ii) invertível se d > –½ e todas as raízes de θb = 0 estiverem fora do círculo
unitário.
A função de autocorrelação (fac) do processo decai mais lentamente do que
geometricamente para qualquer d diferente de zero. Ainda de acordo com Hosking (1981),
quando –0,5 < d <0,5, a série é estacionária e invertível. Se d = 0, então o processo é um ruído
branco estacionário com memória curta. Quando d = 1, o processo tem raiz unitária com
variância infinita. Se d = 0,5, então a série é invertível, mas não-estacionária. Se d = –0,5,
então a série é estacionária, mas não invertível. Se 0 < d < 0,5, então as autocorrelações são
positivas e a função de autocorrelação (fac) diminui monotonicamente e hiperbolicamente em
direção a zero. A correlação entre observações distantes pode ser relativamente alta, o que
implica que existe memória de longo prazo. Se 0,5 ≤ d < 1, o processo ainda tem memória
longa, mas com variância indefinida. Se –0,5 < d < 0, então o processo tem memória curta e é
antipersistente. Por fim, processos com –1 < d ≤ –0,5 são atípicos em dados econômicos.
De acordo com Baillie et al(1996), existem dois métodos para estimar o parâmetro
d: estimação por máxima verossimilhança e semi-paramétrica no domínio da freqüência ou
estimação por métodos semi-paramétricos no domínio do tempo.
A função de verossimilhança de = , … , , proveniente de um processo
ARFIMA(p,d,q) pode ser expressa da seguinte forma:
η, =
.,
2- / 01 … 0,. . /
2
3.
89 .8:9
?
∑9@=7
>A
6
;9<=
45
Os estimadores de máxima verossimilhança dos parâmetros são dados por:
BC
= D. EηF BC em que EĜ IJ = ∑,KM K − LK /0K. e ηF BC é o valor de η que minimiza ℓG =
NDEG|D + D. ∑,KM ND 0K.
Entretanto, o cálculo de ℓG é bastante lento. Um procedimento alternativo seria
considerar uma aproximação para ℓG dada por:
4
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,
ℓG ≅ ℓ∗ G R
KM
S, TK 2-UTK ; G
em que:
,
1
S, TK = WR 2 .XY9 W
D
M
é o periodograma dos dados, e:
Z1 − θ 2 .XY9 − ⋯ − θ\ 2 .XY9 Z
.
UTK ; η =
Z1 − 2 .XY9 Z
2π Z1 − ∅ 2 .XY9 − ⋯ − ∅ 2 .XY9 Z
]
é a função densidade espectral do processo e ^K é a soma sobre todas as freqüências de
Fourier, TK = 2-_⁄D ∈ −-, -].
Hannan (1973) e Fox e Taqqu (1986) mostraram que:
i) o estimador Ĝ IJ é consistente;
b
ii) se d > 0, Ĝ IJ → dG, D. e. G);
em que eG é uma matriz de ordem (p+q+1) x (p+q+1) com o (j,k)-ésimo elemento dado
por:
eK" G =
1 j hNDUi; G hNDUi; G
g
i
4- .j
hGK
hG"
iii) a variância é estimada por:
BC
= D. R
m
S, TK 2πfwm ; η
Um método para estimação do parâmetro de memória longa foi proposto por
Geweke e Porter-Hudak (1983) e se baseia na equação que exibe a relação entre a função
densidade espectral de um processo ARFIMA(p,d,q) e de um processo ARMA(p,q). Tal
equação foi reescrita para que se assemelhasse a uma equação de regressão linear, onde o
coeficiente de inclinação é dado por b = –d. De uma maneira simplificada, o processo de
formação desse método é relatado a seguir:
Considera-se a função densidade espectral do processo , que é um
ARFIMA(p,d,q):
Un i = Z1 − 2 .Xo Z
.
Up i
(5)
5
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em que Up i =
6
456 Zθq <rs Z
é a função densidade espectral do processo t = 1 − π Zϕq <rs Z6
que é um ARMA(p,q). Multiplicando ambos os lados de (5) por Up 0 e aplicando o logaritmo,
obtém-se:
u o
NDUn i = NDUp 0 − NDZ1 − 2 .Xo Z + ND uv 1!
(6)
v
Substituindo i por iK = 2-_⁄D e adicionando NDSn iK , em que Sn iK =
2-D. Z∑,M w 2xy −ziK {Z , em ambos os lados de (6), tem-se:
o9
NDSn i = NDUp 0 − ND |4}2D !~ + ND uv o9 uv 1
! + ND |
€ o9 u€ o9 ~
(7)
em que, novamente, Sn i é o periodograma dos dados e, além de ser um estimador de
uv o9 Un iK . O termo ND u
v 1
! pode ser desprezado quando se considerar apenas as freqüências iK
próximas de zero. Assim, pode-se reescrever (7) como um modelo de regressão linear,
conforme abaixo:
em que:
K = NDSn i
K = − wK + ‚K ,
_ = 1, … , ƒ
(8)
o
wK = ND |4}2D 9 !~
€ o9 ‚K = ND |u o ~
€
9
= NDUp 0
m = n† , 0 < α < 1
A relação linear (8) sugere a utilização de um estimador de mínimos quadrados
para d, conforme a equação (9) a seguir:
∑ Š .Š‹ Œ .Œ‹ LI‰ = − r@=∑ rŠ .Š‹ r 6

r@=
(9)
r
A partir da estimação de d por meio de (9) pode-se, agora, identificar e estimar os
parâmetros do processo livre de componente de longa memória, t = 1 − . Para isso
utiliza-se o seguinte procedimento:
i) primeiro, calcula-se a transformada discreta de Fourier da série original :
,
8 iX = R 2 .or ,
M
iX =
2-X
,
D
z = 0, … , D − 1
ii) segundo, calcula-se:
Ž iX = 1 − 2 .Xor .: 8 iX ,
z = 0, … , D − 1
6
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Brockwell e Davis (1991) demonstraram que Ž iX é, aproximadamente, a
transformada de Fourier da série filtrada t = 1 − : .
iii) calcula-se, então, a transformada inversa de Fourier:
,.
1
‘ = R 2 XY9 Ž iK t
D
KM1
‘ é uma estimativa da série livre da componente de longa memória, t
em que t
‘ para identificar os parâmetros p e q;
iv) utilizam-se as fac e facp de t
v) por
fim,
estimam-se
os
parâmetros
’, … , ’ , , … , , “ 2 ,
conjuntamente, utilizando o método de máxima verossimilhança.
A vantagem da utilização desse procedimento é a possibilidade de se estimar d
sem conhecer os valores de p e q. À série t , pode-se aplicar as ferramentas de identificação
adequadas aos processos ARMA(p,q) e, finalmente, utilizar o método de máxima
verossimilhança para estimar todos os parâmetros do modelo ARFIMA(p,d,q).
2.3. Modelagem da volatilidade do erro – modelos ARCH(r) e GARCH(r,s)
De acordo com Lima et al. (2007), os modelos de séries temporais do tipo ARIMA
ou ARMA assumem que a variância da série Zt é constante. Essa suposição, no entanto, pode
ser restritiva, especialmente no caso de séries de preços do mercado financeiro
Corroborando essa idéia, Hamilton e Susmel (1994) afirmam que a volatilidade é
uma característica dos mercados financeiros, ainda que não esteja presente o tempo todo.
Descrever como essa volatilidade varia no tempo é importante por duas razões: i) primeiro, o
risco de um ativo financeiro é um importante determinante de seu preço; ii) segundo, uma
inferência econométrica eficiente sobre a média condicional de uma variável requer uma
correta especificação de sua variância condicional.
Engle (1982) propôs considerar, no processo de estimação, uma modelagem do
erro com estrutura denominada ARCH (heteroscedasticidade condicional auto-regressiva),
para o caso de haver uma relação entre erro quadrado do modelo e seus valores defasados.
Denomina-se ARCH(r) e sua especificação encontra-se descrita abaixo:
ℎ = •1 + ∑;XM •X .X
(10)
em que:
= ‚ –ℎ
em que •1 e • são os parâmetros e εt é o termo aleatório.
Bollerslev (1986) foi o responsável por introduzir a especificação GARCH, uma
generalização do modelo proposto por Engle (1982), e que permite uma estrutura de
defasagem flexível, ao contrário do modelo ARCH. Um dos benefícios desse modelo GARCH
é traduzir de forma mais parcimoniosa que no modelo ARCH a dependência temporal da
variância condicional, já que esse último apresentava, em muitos casos, a necessidade de se
introduzir grandes valores para r, a fim de evitar o aparecimento de variâncias negativas.
Assim, a especificação do modelo GARCH ficaria conforme demonstrado a seguir:
7
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ℎ = •1 +
;
R •X .X
XM
˜
+ R —K ℎ.K
KM
é o termo ARCH (valores defasados do erro quadrado), já descrito em (10) e
em que .X
ℎ.K é o termo GARCH (valores defasados da variância) e cuja denominação seria
apresentada como GARCH(r,s).
2.4. O Modelo ARFIMA(p,d,q)–GARCH(r,s)
Considerando os modelos ARFIMA e GARCH descritos nas seções anteriores, um
modelo ARFIMA–GARCH utiliza modelagem GARCH para medir a volatilidade condicional e
um modelo ARFIMA para a média condicional. Um processo ARFIMA (p,d,q)–GARCH (r,s)
pode ser representado conforme abaixo:
∅1 − ( = = ‚ –ℎ
ℎ = •1 + ∑;XM •X .X
+ ∑˜KM —K ℎ.K
~™0, ,
‚ ~z. z. . 0,1, •1 > 0, •X ≥ 0, —K ≥ 0, ∑XM•X +
—z<1, œ=ƒx},0, ’ 2 são polinômios em B, de graus p e q, respectivamente, no
qual B representa o operador de translação.
Nesta pesquisa estes parâmetros serão estimados de duas formas distintas.
Inicialmente, modelar-se-á o valor d fracionário do processo ARFIMA, de acordo com a
regressão espectral, para diferentes valores de α e, consequentemente, diferentes ordens
harmônicas. Em seguida obter-se-á o processo ARMA–GARCH por meio da série diferenciada
fracionariamente para cada um dos valores α. Esta análise tem como objetivo testar a
sensibilidade de d com relação ao número de ordenadas harmônicas. Neste trabalho, a
exemplo do contido em Lima et al. (2007), α assumirá os valores 0,500, 0,555 e 0,600.
A segunda forma de estimação utilizada ocorrerá por meio da obtenção conjunta
dos parâmetros do modelo ARFIMA–GARCH, seguindo, de acordo com Bayer (2008), a
tendência de estudos recentes que demonstram as vantagens desta estimação simultânea dos
coeficientes do modelo.
em que:
3. Estratégia Empírica
3.1. Base de dados e aplicativo computacional utilizado
A fim de permitir a comparação com o artigo original de Lima et al., 2007, foram
utilizados os mesmos dados de contratos futuros negociados na Bolsa de Mercadorias e
Futuros (BM&F) para o café, considerando os mesmos períodos daquele trabalho, conforme
descrito na tabela 1.
Tabela 1. Contratos futuros analisados.
Commodity
Período considerado
Início
Fim
8
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Café
08/12/1999
24/05/2004
As previsões também foram realizadas para o mesmo período do artigo original,
de 25/05/2004 a 07/06/2004.
Os dados foram analisados e os resultados estimados por meio do aplicativo
computacional “R” (R FOUNDATION FOR STATISTICAL COMPUTING, 2009).
3.2. Processo de identificação/estimação dos modelos ARMA(p,q)–GARCH(r,s)
A partir das séries originais foram obtidas as séries de retorno. Segundo Enders
(2003), as séries de retorno (rt) são construídas a partir da seguinte relação:
rt = ln[(Série original)t / (Série original)t-1]
Tal construção equivale também a transformar a série original, mediante aplicação
de logaritmo, tomando em seguida uma diferença, tendo, por objetivo, torná-la estacionária.
Para comprovar referida estacionariedade, foi realizado, da mesma maneira que no artigo
original – Lima et al., 2007, o teste estatístico Dickey-Fuller Aumentado (ADF), cuja regra de
decisão é:
H0 : estacionariedade;
H1 : não-estacionariedade.
A finalidade do teste ADF é definir o nível de diferenciação inteira (d) do modelo
ARIMA(p,d,q). No caso de d = 0, o modelo será estimado como um ARMA(p,q), como no
presente estudo.
O passo seguinte é a identificação do modelo ARMA, definindo suas ordens,
quanto à memória auto-regressiva (p) e de média móvel (q). Para tanto, selecionam-se os
modelos de melhor ajuste usando-se estatísticas como o Critério de Informação de Akaike
(AIC), Critério Bayesiano de Schwartz (SBC) e a estatísticas Q de Box-Pierce-Ljung. No
presente estudo, decidiu-se pela utilização do Critério de Informação de Akaike (AIC), um
dos mais utilizados em estudos empíricos que tratam do assunto e cujos resultados são
fornecidos automaticamente pelo aplicativo computacional “R”, lembrando que quanto menor
o valor de AIC, melhor o ajuste do modelo. Além do AIC, levou-se em consideração o Erro
Quadrático Médio (EQM) e a significância dos parâmetros (estatística t dos parâmetros).
Identificado o modelo ARMA com o melhor ajuste, partiu-se para a identificação
do modelo ARMA–GARCH, da mesma maneira descrita para o modelo ARMA, estimando-se
os respectivos parâmetros e verificando sua significância.
Com relação aos testes estatísticos, foram realizados três deles, conforme descrito
abaixo:
i) o primeiro, conhecido como teste de Shapiro e Wilk, citado em Shapiro et al.
(1968), permite testar se os resíduos da série seguem uma distribuição normal;
ii) o segundo deles, o teste do Multiplicador de Lagrange (LM), descrito por
Engle (1982), é utilizado para testar a hipótese nula de que a variância dos
erros é constante, = •1 , contra a hipótese alternativa de que os erros
seguem um processo ARCH:
H0 : • = • =. . . = •; = 0
H1 : •X ≠ 0, para pelo menos algum z = 1, … , 0;
iii) o terceiro é o Q-teste de Ljung-Box, descrito em Enders (1995), que tem por
objetivo testar a hipótese nula de que os erros seguem uma estrutura ARCH,
contra a hipótese alternativa de que os erros são do tipo GARCH:
9
Campo Grande, 25 a 28 de julho de 2009,
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H0 : — = — =. . . = —˜ = 0
H1 : —K ≠ 0, para pelo menos algum _ = 1, … , }.
3.3. Processo de identificação/estimação dos modelos ARFIMA(p,d,q)–GARCH(r,s)
No caso dos modelos ARFIMA, partiu-se das séries de retorno direto para a
identificação do modelo, definindo o grau de diferenciação fracionária e suas ordens, quanto à
memória auto-regressiva (p) e de média móvel (q). Da mesma maneira que nos modelos
ARMA, selecionou-se os modelos de melhor ajuste usando-se o Critério de Informação de
Akaike (AIC).
Identificado o modelo ARFIMA com o melhor ajuste, partiu-se para a
identificação do modelo ARFIMA–GARCH, da mesma maneira descrita para o modelo
ARMA–GARCH, estimando-se os respectivos parâmetros e verificando sua significância.
Com relação aos testes estatísticos, da mesma maneira que no modelo ARMA–
GARCH, foram realizados três deles, conforme descrito abaixo:
i) o primeiro, conhecido como teste de Shapiro e Wilk, citado em Shapiro et al.
(1968), permite testar se os resíduos da série seguem uma distribuição normal;
ii) o segundo deles, o teste do Multiplicador de Lagrange (LM), descrito por
Engle (1982), é utilizado para testar a hipótese nula de que a variância dos
erros é constante, = •1 , contra a hipótese alternativa de que os erros
seguem um processo ARCH:
H0 : • = • =. . . = •; = 0
H1 : •X ≠ 0, para pelo menos algum z = 1, … , 0;
iii) o terceiro é o Q-teste de Ljung-Box, descrito em Enders (1995), tem por
objetivo testar a hipótese nula de que os erros seguem uma estrutura ARCH,
contra a hipótese alternativa de que os erros são do tipo GARCH:
H0 : — = — =. . . = —˜ = 0
H1 : —K ≠ 0, para pelo menos algum _ = 1, … , }.
3.4. Verificação do poder de previsão dos modelos ARMA(p,q)–GARCH(r,s) e
ARFIMA(p,q)–GARCH(r,s)
Conforme já mencionado no item 3.1, as previsões foram realizadas para o
período de 25/05/2004 a 07/06/2004.
Para se comparar os modelos ARMA(p,q)–GARCH(r,s) e ARFIMA(p,q)–
GARCH(r,s) identificados, quanto a seu poder de previsão, utilizou-se o critério do Erro
Quadrático Médio (EQM), calculado da seguinte forma:
,
1
žŸ = R¡¢£ − L ℎ¤
D
£M
em que h representa o período de previsão além do tempo t e n o número de observações da
previsão. Em sendo uma previsão “out-of-sample”, ¢£ seria o conjunto de observações da
série, além do tempo t, e L ℎ os valores previstos do modelo referente a essa mesma série,
calculado conforme abaixo, segundo Morettin e Toloi (2006):
L ℎ = ¥¢£. ]+. . . +¢ ¡¢£.. ¤ − ¥¢£. ]−. . . − ¡¢£. ¤ + ¥¢£ ]
10
Campo Grande, 25 a 28 de julho de 2009,
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Assim, o melhor modelo, quanto ao poder de previsão, será aquele que apresentar
o menor EQM da previsão, o menor AIC e apresentar parâmetros significativos.
4. Resultados e discussão
Como forma de possibilitar a comparação dos resultados com o trabalho original –
Lima et al. (2007), e demonstrar que a origem dos dados é a mesma, paresenta-se abaixo o
gráfico da série original, assim como o da série de retorno de café arábica, commodity que
servirá de base para discussão dos resultados e apresentação das conclusões.
120
100
80
40
60
preço futuro do café arábica
140
160
Gráfico 1. Série original de preços futuros de café arábica.
0
200
400
600
800
1000
tempo
Fonte: BOLSA DE MERCADORIAS E FUTUROS (2009).
Gráfico 2. Série de retorno de preços futuros de café arábica.
11
Campo Grande, 25 a 28 de julho de 2009,
Sociedade Brasileira de Economia, Administração e Sociologia Rural
0.2
0.1
0.0
-0.1
retorno do contrato de café arábica
-0.2
0
200
400
600
800
1000
tempo
Fonte: BOLSA DE MERCADORIAS E FUTUROS (2009).
Depreende-se dos gráficos acima que a origem dos dados é exatamente a mesma,
o que permitirá a comparação dos resultados obtidos no presente estudo com aqueles oriundos
do trabalho original – Lima et al. (2007).
A Tabela 2 apresenta as estatísticas do teste Dickey-Fuller Aumentado (ADF),
tanto do presente estudo, como do trabalho original. Apesar da diferença encontrada, ambos
os resultados mostram a ausência de raiz unitária, comprovando que a série de retorno de café
arábica é estacionária.
Tabela 2. Teste Dickey-Fuller Aumentado (ADF).
Commodity
Café arábica
1
ADF calculado
Trabalho original
Presente estudo
–26,48
–33,47 1
p = 0,99 (H0 = estacionariedade).
Na Tabela 3 estão os resultados do Critério de Informação de Akaike, para vários
modelos ARMA, lembrando que o modelo de melhor ajuste é aquele com menor valor, no caso
o ARMA(25[1,2,6,9,25];1), seguido, na ordem, pelos seguintes modelos: ARMA(9[1,2,6,9];2),
ARMA(2,2), ARMA(1,2) e ARMA(2,1).
Tabela 3. Critério de Informação de Akaike (AIC) para os modelos ARMA.
Modelo
Critério de Informação de Akaike (AIC)
ARMA(0,1)
–5.038,792
ARMA(1,0)
–5.041,417
12
Campo Grande, 25 a 28 de julho de 2009,
Sociedade Brasileira de Economia, Administração e Sociologia Rural
ARMA(1,1)
–5.043,867
ARMA(1,2)
–5.056,907
ARMA(2,1)
–5.056,667
ARMA(2,2)
–5.059,560
ARIMA(1,1,2)
–5.030,456
ARIMA(2,1,1)
–5.044,634
ARIMA(2,1,2)
–5.043,802
ARMA(9[1,2,6,9],2)
–5.070,530
ARMA(25[1,2,6,9,25],1)
–5.078,590 *
* Menor valor.
A Tabela 4 mostra os valores do Critério de Informação de Akaike (AIC) e Erro
Quadrático Médio (EQM) da previsão (“out-of-sample”), para vários modelos ARMA–
GARCH, partindo dos modelos ARMA com o melhor ajuste, segundo o Critério de Informação
de Akaike (AIC), conforme citado no parágrafo anterior. Cabe ressaltar que o Erro Quadrático
Médio (EQM) também foi usado como critério para escolha dos modelos no trabalho original
– Lima et al. (2007).
Tabela 4. AIC e EQM para os modelos ARMA–GARCH.
Modelo
AIC
EQM previsão
ARMA(1,2)–GARCH(1,1)
–4,812999
4,133699x10-4
ARMA(2,1)–GARCH(1,0)
–4,698720
4,318816x10-4
ARMA(2,1)–GARCH(1,1)
–4.813301
4,110933x10-4
ARMA(2,1)–GARCH(1,2)
–4,811957
4,113367x10-4
ARMA(2,1)–GARCH(2,0)
–4,751753
4,834078x10-4
ARMA(2,1)–GARCH(2,1)
–4,812382
3,891910x10-4 *
ARMA(2,1)–GARCH(2,2)
–4,810573
4,112797x10-4
ARMA(2,2)–GARCH(1,0)
–4,731385
4,372525x10-4
ARMA(2,2)–GARCH(1,1)
–4,816909
3,901391x10-4
ARMA(2,2)–GARCH(1,2)
–4,814415
3,900704x10-4
ARMA(2,2)–GARCH(2,0)
–4,751492
4,318816x10-4
ARMA(2,2)–GARCH(2,1)
–4,815424
3,891910x10-4 *
13
Campo Grande, 25 a 28 de julho de 2009,
Sociedade Brasileira de Economia, Administração e Sociologia Rural
ARMA(2,2)–GARCH(2,2)
–4,813616
4,110933x10-4
ARMA(9[1,2,6,9];2)–GARCH(1,1)
–4,885362
4,278599x10-4
ARMA(25[1,2,6,9,25];1)–GARCH(1,1)
–4,957614 *
4,439817x10-4
* Menor valor.
Em razão da diferença na escolha do modelo de melhor ajuste pelos critérios
apresentados na Tabela 4, optou-se por escolher um modelo ARMA–GARCH que não apenas
apresentasse resultados satisfatórios por ambos os critérios, mas que também tivesse, após a
estimação, todos seus parâmetros significativos, pelo menos a 5%.
Assim, decidiu-se pelo modelo ARMA(2,2)–GARCH(1,1), que apresentou o
terceiro menor valor do Critério de Informação de Akaike (AIC) e o quarto menor Erro
Quadrático Médio (EQM), de um total de 15 modelos analisados. Apenas a título de
informação, o modelo com menor valor de AIC (ARMA(25[1,2,6,7,9,25];1)–GARCH(1,1))
tem o segundo maior EQM, enquanto que os dois modelos com menor EQM (ARMA(2,1)–
GARCH(2,1) e ARMA(2,2)–GARCH(2,1)) têm, respectivamente, o quarto e nono menor valor
de AIC.
Na tabela 5, encontra-se o resultado da estimação para o modelo escolhido,
ARMA(2,2)–GARCH(1,1). O modelo ARMA (2,2), ajustado inicialmente, possuía uma
constante, que não apresentou significância, sendo então retirada do modelo. Conforme se
pode observar, os demais parâmetros estimados apresentaram elevado grau de significância.
Diferentemente do presente trabalho, Lima et al. (2007) encontraram melhor
ajuste para um modelo ARMA(2,1)–GARCH(1,1) incluindo uma constante na parte ARMA do
modelo, que apresentou valor t não significativo. Os parâmetros ARMA estimados para o
trabalho de Lima et al. (2007) são bastante diferentes dos encontrados na tabela 5. A parte
GARCH do modelo é similar, porém havendo inversão entre os valores dos parâmetros ARCH
(α) e GARCH (β).
O EQM do trabalho de Lima et al. (2007) foi consideravelmente inferior ao do
encontrado na tabela 5, sendo estimado um valor de 3,274 x10-4 no primeiro e 3,901x10-4 no
segundo. Cabe ressaltar que nenhum dos modelos ARMA–GARCH ajustados, conforme pode
ser visto na tabela 4, apresentou EQM parecido com o apresentado por Lima et al. (2007).
Tabela 5. Resultados da estimação para o modelo ARMA(2,2)–GARCH(1,1).
ar1
Valor
Estimado
–9,224e–01
Desvio
padrão
3,075e–01
Valor da
estatística t
–2,999
Probabilidade
(>|t|)
0,00271 **
ar2
–6,329e–01
9,122e–02
–6,938
3,97e–12 ***
ma1
1,000e+00
3,062e–01
3,266
0,00109 **
ma2
6,480e–01
1,028e–01
6,301
2,96e–10 ***
alfa0
6,908e–05
1,632e–05
4,233
2,31e–05 ***
alfa1
1,099e–01
1,955e–02
5,620
1,91e–08 ***
beta1
7,528e–01
4,125e–02
18,251
< 2e–16 ***
Parâmetro
Códigos de significância: 0 = ‘***’; 0,001 = ‘**’; 0,01 = ‘*’; 0,05 = ‘.’; 0,1 = ‘ ’ 1.
EQM (previsão) = 3,901391x10-4.
14
Campo Grande, 25 a 28 de julho de 2009,
Sociedade Brasileira de Economia, Administração e Sociologia Rural
A tabela 6 mostra os resultados para os testes realizados, conforme citado no item
3.2.
Tabela 6. Testes realizados para o modelo ARMA(2,2)–GARCH(1,1).
Teste
Estatística
Valor de p
Shapiro-Wilk
R
W
0,95383
0
Ljung-Box
R
Q(10)
16,06281
0,0978484
Ljung-Box
R
Q(15)
18,92888
0,2169748
Ljung-Box
R
Q(20)
24,04457
0,2404508
Ljung-Box
R^2
Q(10)
9,37363
0,4970491
Ljung-Box
R^2
Q(15)
10,51174
0,7863763
Ljung-Box
R^2
Q(20)
13,30889
0,8637408
R
TR^2
10,61674
0,5620177
LM
Conforme se pode observar na tabela 6, o teste de normalidade de Shapiro-Wilk
demonstra que não existe normalidade nos erros do modelo ARMA(2,2)–GARCH(1,1), sendo
então rejeitada a hipótese nula de distribuição normal dos erros. Embora tenha havido rejeição
da normalidade dos erros, ajustou-se um modelo GARCH com distribuição normal, a fim de
refazer o trabalho de Lima et al. (2007), embora fosse necessário testar outros tipos de
distribuição para os erros.
O teste do multiplicador de Lagrange (LM) para o modelo ARMA(2,2)–
GARCH(1,1) apresentou valores que levam à rejeição da hipótese nula de que a variância dos
erros é constante. Portanto, o teste confirmou a necessidade do uso de um ARCH nos erros do
modelo ARMA.
Tendo em vista a necessidade de ajustamento de um modelo ARCH nos erros,
indicada pelo teste LM, cabe então avaliar a necessidade de ajuste de um modelo GARCH.
Ressalta-se que os dois modelos se equivalem, porém os GARCH, em geral, representam os
modelos ARCH de forma mais parcimoniosa. Os altos valores p encontrados nos testes Q e Q²
de Ljung-Box demonstram que a opção de um modelo GARCH para os erros sobrepuja a do
ajuste de um modelo ARCH, tendo sido escolhida, então, a primeira opção.
A identificação e estimação do modelo ARFIMA–GARCH seguiu o mesmo
processo adotado para o modelo ARMA–GARCH, com uma diferença: a necessidade de
estimação de três modelos, em vista da adoção de três alfas distintos (0,500, 0,555 e 0,600),
tal qual no artigo original, para permitir a comparação dos resultados.
Dessa maneira, as tabelas de número 7 e 8 mostram os resultados para a estimação
dos três modelos ARFIMA–GARCH melhor identificados, um para cada alfa.
Ao contrário do encontrado na tabela 6, Lima et al. (2007) encontraram melhor
ajuste para um modelo ARFIMA(1,1)–GARCH(1,1) incluindo uma constante na parte ARMA
do modelo, que à exemplo do ocorrido com o ARMA–GARCH, não apresentou valor t
significativo. Novamente, os parâmetros ARMA do trabalho de Lima et al. (2007) são muito
15
Campo Grande, 25 a 28 de julho de 2009,
Sociedade Brasileira de Economia, Administração e Sociologia Rural
diferentes dos encontrados na tabela 5. Igualmente ao caso do modelo ARMA–GARCH, houve
inversão nos valores dos parâmetros ARCH (α) e GARCH (β).
Tabela 7. Resumo dos resultados dos modelos ARMA–GARCH e ARFIMA–GARCH.
ARFIMA(2,d,2)– ARFIMA(2,d,2)– ARFIMA(2,d,2)–
GARCH(1,1)
GARCH(1,1)
GARCH(1,1)
Parâmetro
α = 0,500
d
–0,02102311
–0,03584390
–0,03994743
valor
–9,102e–01
–9,006e–01
–8,977e–01
–3,309 ***
–3,359 ***
3,356 ***
valor
–6,025e–01
–5,793e–01
–5,722e–01
t
–5,850 ***
–5,141 ***
–4,949 ***
valor
1,000e+00
1,000e+00
1,000e+00
t
3,675 ***
3,794 ***
3,810 ***
valor
6,255e–01
6,092e–01
6,042e–01
t
5,458 ***
4,919 ***
4,771 ***
valor
6,928e–05
6,904e–05
6,898e–05
t
4,245 ***
4,215 ***
4,205 ***
t
ar2
ma1
ma2
alfa0
ARFIMA(2,d,2)– ARFIMA(2,d,2)– ARFIMA(2,d,2)–
GARCH(1,1)
GARCH(1,1)
GARCH(1,1)
Parâmetro
α = 0,500
beta1
EQM
(previsão)
α = 0,600
valor
ar1
alfa1
α = 0,555
α = 0,555
α = 0,600
valor
1,084e–01
1,079e–01
1,077e–01
t
5,641 ***
5,640 ***
5,639 ***
valor
7,534e–01
7,544e–01
7,546e–01
t
18,231 ***
18,176 ***
18,157 ***
2,921437x10-4
2,910776x10-4
2,910776x10-4
Códigos de significância: 0 = ‘***’; 0,001 = ‘**’; 0,01 = ‘*’; 0,05 = ‘.’; 0,1 = ‘ ’ 1.
Devido à inexistência de significância, a constante dos modelos ARFIMA–
GARCH para os três valores de α foi retirada do modelo, à exemplo do que ocorreu no ajuste
do modelo ARMA–GARCH. Cabe ressaltar que no cálculo destes modelos não foi possível
calcular a significância dos parâmetros d fracionários. Conforme pode ser observado na tabela
7, os valores t apresentaram alta significância para todos os parâmetros dos três modelos.
Tabela 8. Resumo dos testes para os modelos ARMA–GARCH e ARFIMA–GARCH.
Teste
ARFIMA(2,d,2)– ARFIMA(2,d,2)– ARFIMA(2,d,2)–
16
Campo Grande, 25 a 28 de julho de 2009,
Sociedade Brasileira de Economia, Administração e Sociologia Rural
GARCH(1,1)
GARCH(1,1)
GARCH(1,1)
α = 0,500
α = 0,555
α = 0,600
Shapiro-Wilk estatística
valor p
0,95369
0.95383
0,95388
0
0
0
14,60432
13,91620
13,78122
0,147167
0,176848
0,183207
17,60541
17,10092
17,02630
0,283978
0,312867
0,317295
22,48285
21,81593
21,69272
Ljung-Box
estatística
Q(10)
valor p
Ljung-Box
estatística
Q(15)
valor p
Ljung-Box
estatística
Q(20)
valor p
0,314894
0,350582
0,357414
Ljung-Box
estatística
9,24637
9,00527
8,93247
R^2 – Q(10)
valor p
0,508893
0,531603
0,538524
Ljung-Box
estatística
10,30130
10,02131
9,93677
R^2 – Q(15)
valor p
0,800372
0,818398
0,823698
Ljung-Box
estatística
13,19542
12,92039
12,83659
R^2 – Q(20)
valor p
0,868843
0,880773
0,884285
LM
estatística
10,48420
10,30447
10,24839
0,573561
0,589269
0,594179
valor p
O teste de normalidade de Shapiro-Wilk, apresentado na tabela 8, aponta para
rejeição da hipótese nula de normalidade nos erros dos três modelos ARFIMA(2,d,2)–
GARCH(1,1). Seguindo o mesmo procedimento realizado para o ARMA–GARCH, embora
tenha havido rejeição da normalidade dos erros nos três ARFIMA–GARCH, ajustou-se uma
distribuição normal nos erros, novamente com o objetivo de refazer o trabalho de Lima et al.
(2007).
No que diz respeito ao teste do multiplicador de Lagrange (LM), os valores p
calculados para os três modelos da tabela 8 indicam rejeição da hipótese nula de que a
variância dos erros é constante. Portanto, o teste, a exemplo do modelo ARMA-GARCH,
confirma a necessidade de ajuste de um modelo ARCH nos erros dos ARFIMA.
Complementarmente, os altos valores p dos testes Q e Q² de Ljung-Box para os
três modelos ajustados demonstraram que não é possível rejeitar a hipótese de modelo ARCH,
sendo ajustado então um GARCH nos erros dos ARFIMA.
O presente trabalho contempla uma informação adicional, que é a estimação de
uma modelo ARFIMA–GARCH, estimando o melhor d fracionário, cujos resultados e testes
encontram-se, respectivamente, nas tabelas 9 e 10.
Tabela 9. Resultados da estimação para o modelo ARFIMA(2,d,2)–GARCH(1,1).
Parâmetro
Valor estimado
Desvio padrão
Valor da
estatística t
Probabilidade
(>|t|)
17
Campo Grande, 25 a 28 de julho de 2009,
Sociedade Brasileira de Economia, Administração e Sociologia Rural
d
–0,023517
0,038333
–0,6135
–0,539549
ar1
–0,908803
0,275399
–3,2999
0,000967
ar2
–0,602967
0,115357
–5,2270
0,000000
ma1
0,999999
0,273430
3,6572
0,000255
ma2
0,627340
0,117076
5,3584
0,000000
alfa0
0,000068
0,000016
4,2063
0,000026
alfa1
0,107930
0,019389
5,5667
0,000000
beta1
0,757328
0,040944
18,4966
0,000000
-4
AIC = –4,8447 / EQM (previsão) = 4,046193x10 .
Tabela 10. Testes realizados para o modelo ARFIMA(2,d,2)–GARCH(1,1).
Teste
Estatística
Valor de p
Shapiro-Wilk
R
W
0,8614
<2,2e–16
Ljung-Box
R
Q(10)
14,49
0,1518
Ljung-Box
R
Q(15)
17,57
0,2862
Ljung-Box
R
Q(20)
22,47
0,3156
Ljung-Box
R^2
Q(10)
9,064
0,5260
Ljung-Box
R^2
Q(15)
10,168
0,8090
Teste
Ljung-Box
LM
Estatística
Valor de p
R^2
Q(20)
12,997
0,8775
R
TR^2
9,906
0,4487
A exemplo do ocorrido para os modelos ARFIMA–GARCH para os três valores de
α da tabela 7 e para o ARMA–GARCH da tabela 5, a constante foi retirada devido à sua falta
de significância. Conforme pode ser observado na tabela 9, os valores t apresentaram alta
significância para os parâmetros, com exceção do d fracionário.
Os EQM do trabalho de Lima et al. (2007) para os três ARFIMA–GARCH
ajustados ficaram entre 7,205x10-5 e 7,330x10-5, enquanto que, neste trabalho, encontrou-se
um EQM muito maior, da ordem de 4,461x10-4, conforme tabela 7. A exemplo do ocorrido no
ARMA–GARCH, vale lembrar que nenhum dos modelos ARFIMA–GARCH ajustados
apresentou EQM parecido com o do modelo de Lima et al. (2007).
Os valores do teste Q e Q² de Ljung-Box demonstraram que se rejeita a hipótese
de ARCH e que, portanto, tem-se indicação da existência de um modelo GARCH nos erros do
ARFIMA de estimação conjunta, devido aos altos valores p encontrados.
Quanto ao teste do multiplicador de Lagrange (LM), os valores p indicaram
rejeição da hipótese nula, de que a variância dos erros é constante. Portanto, o teste aponta
18
Campo Grande, 25 a 28 de julho de 2009,
Sociedade Brasileira de Economia, Administração e Sociologia Rural
para a necessidade de um ARCH para modelar os erros do ARFIMA de estimação conjunta dos
parâmetros.
Os resultados obtidos para o teste de normalidade de Shapiro-Wilk indicam que se
rejeita a hipótese nula de normalidade nos erros do modelo de estimação conjunta dos
parâmetros ARFIMA(2,d,2)–GARCH(1,1). Seguindo o mesmo critério dos modelos
apresentados anteriormente, buscou-se refazer o trabalho de Lima et al. (2007), ajustando-se,
portanto, um modelo GARCH com erros de distribuição normal.
5. Conclusões
Os resultados obtidos neste trabalho divergiram bastante dos encontrados por
Lima et al. (2007), sendo que não foi possível obter as mesmas estimativas utilizando a base
de dados que os autores declararam ter utilizado.
A escolha dos modelos de previsão mais bem ajustados foi bastante diferente do
artigo original. Cabe lembrar, que no presente trabalho buscou-se o melhor modelo utilizando
o critério de EQM, da mesma forma que em Lima et al. (2007). Porém, levou-se em
consideração outros dois critérios relevantes: a significância dos parâmetros estimados e o
Critério de Informação de Akaike (AIC). Os melhores modelos obtidos não coincidiram com
os do artigo original. Enquanto em Lima et al. (2007) foram selecionados modelos
ARMA(2,1)–GARCH(1,1) e ARFIMA(1,d,1)-GARCH(1,1) – para os três valores de α
considerados no cálculo do número de ordenadas harmônicas, no presente trabalho os
modelos escolhidos foram ARMA(2,2)-GARCH(1,1) e ARFIMA(2,d,2)-GARCH(1,1), também,
considerando os mesmos três valores de α.
Faz-se necessário o comentário de que o trabalho de Lima et al. (2007) não revela
qual o tipo de distribuição utilizada para os modelos ARCH e GARCH. Dessa forma, parte-se
do princípio que o autor utilizou a distribuição normal, que é o padrão da maioria dos
programas estatísticos. Os resultados encontrados para outros tipos de distribuição também
não foram coerentes com os apresentados por Lima et al. (2007). Além disso, os autores não
apresentaram testes para verificação de normalidade das séries de erro do modelo ARMA
(teste de Shapiro-Wilk), nem qualquer outro teste equivalente, o que não permitiria o ajuste de
modelos ARCH ou GARCH, com distribuição normal ou qualquer outro tipo de distribuição.
Os erros médios de previsão (EQM) do presente trabalho foram
consideravelmente maiores que os encontrados pelos autores do artigo em questão. Porém, ao
recalcular os EQM do trabalho de Lima et al. (2007), utilizando os dados apresentados nos
gráficos 1 e 2, foram encontrados valores distintos dos daquele trabalho.
Quanto às propriedades de longa dependência das séries de retorno do café, os
resultados para o melhor valor de α mostram indícios de que a dependência temporal entre as
observações não é de longo prazo devido ao valor negativo para diferenciação fracionária
encontrado. Além disso, o valor t para o parâmetro não foi significativo.
No que tange ao EQM da previsão, comparando os modelos ARMA–GARCH e
ARFIMA–GARCH estimados, obteve-se uma diferença insignificante na qualidade de
previsão, sendo que o modelo ARMA–GARCH apresentou melhor resultado. Enquanto que no
modelo ARFIMA(2,d,2)–GARCH(1,1) obteve-se EQM de 4,046193 x10-4,
para o
ARMA(2,2)–GARCH(1,1) obteve-se 3,901391x10-4. Estes resultados também são divergentes
dos obtidos por Lima et al. (2007), que encontraram qualidade de previsão substancialmente
melhor para o modelo de diferenciação fracionária.
A principal diferença entre as conclusões obtidas neste trabalho e as de Lima et al.
(2007) foi a de que neste não houve diferença entre os ajustes ARMA–GARCH e ARFIMA–
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GARCH, enquanto Lima et al. encontraram qualidade de previsão significativamente melhor
para os modelos de diferenciação fracionária.
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