X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
UMA EXPERIÊNCIA COM MODELOS DA TRIGONOMETRIA ASSOCIADOS
A SITUAÇÕES PRÁTICAS
Marlizete Franco da Silva1
Escola Estadual Frei Marcelino de Milão
[email protected]
Maria Clara Rezende Frota2
Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais - PUC-MINAS
[email protected]
Resumo: Este artigo relata uma experiência em ensino de trigonometria, desenvolvida
com o objetivo de envolver os alunos na busca de associações de alguns modelos
matemáticos a situações práticas. A experiência foi realizada com alunos de 2ª série do
Ensino Médio, em uma escola estadual do interior de Minas Gerais. Os alunos
realizaram entrevistas com profissionais membros da comunidade local, acerca de
algumas situações da prática desses profissionais e foram incentivados a utilizar
modelos matemáticos da trigonometria, para descrever e explicar as informações
coletadas. Cada grupo apresentou para a turma os resultados encontrados, e nesse
processo de socialização, ficaram evidentes a motivação que o trabalho proporcionou e
as descobertas dos alunos acerca das aplicações da trigonometria.
Palavras-chave: Ensino de trigonometria; Modelagem e modelos matemáticos;
Abordagem investigativa.
Introdução
Este trabalho relata uma experiência conduzida com alunos do Ensino Médio, no
sentido de promover uma associação dos conhecimentos trigonométricos trabalhados
em sala, com possíveis modelos matemáticos explicativos de situações práticas
vivenciadas por profissionais da construção civil e técnicos em eletrônica e
telecomunicações.
Anos de prática docente permitem identificar algumas dificuldades que os
alunos apresentam na aprendizagem de trigonometria, entre elas: perceber a utilidade
das razões trigonométricas, além das situações escolares; aplicar os conhecimentos
trigonométricos teóricos na resolução de problemas; mobilizar conhecimentos prévios
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Aluna do Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática – PUC-MINAS
Professora do Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática – PUC-MINAS
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em trigonometria em momentos posteriores ao que o conteúdo é trabalhado em sala,
para resolver problemas aplicados.
Essas dificuldades podem estar relacionadas à forma como os conhecimentos
trigonométricos são apresentados e ensinados aos alunos. Algumas abordagens podem
oferecer, à aprendizagem trigonométrica, benefícios a curto prazo e outras, a longo
prazo, mas se não forem corretamente exploradas podem acabar se tornando obstáculos
didáticos à construção desse conhecimento pelos alunos. (COSTA, 1997; KENDAL E
STACEY, 1998).
Reflexões acerca das dificuldades encontradas pelos alunos nos levam a levantar
a hipótese que, por vezes, as dificuldades podem decorrer da conexão exigida entre os
estudos de trigonometria e de geometria; a defasagem na aprendizagem de geometria
pode, por vezes, influenciar negativamente a aprendizagem da trigonometria,
provocando uma certa aversão ao seu estudo. De modo geral a resolução de problemas
de trigonometria exige um esboço gráfico, identificando a geometria do problema, o que
pode dificultar a aprendizagem, afetando a segurança do estudante quanto a sua
capacidade de compreender o novo conteúdo.
Essas reflexões geraram um conjunto de indagações que impulsionaram a
condução da atividade aqui relatada.
Os alunos seriam capazes de aplicar
conhecimentos trigonométricos, como as razões trigonométricas no triângulo retângulo
ou o teorema de Pitágoras? Seriam capazes de identificar modelos da trigonometria
adequados para descrever as situações da prática, relatadas por pedreiros, carpinteiros,
técnicos em eletrônica?
O presente artigo apresenta algumas respostas a estas indagações, como
resultados de uma experiência em que alguns modelos matemáticos foram utilizados
pelos alunos para descrever e explicar os dados coletados junto a esses profissionais.
Modelos e modelagem no ensino de matemática
Os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio de Matemática
apontam, como uma das metas a serem perseguidas durante a educação básica, o
desenvolvimento da competência para investigar e compreender. Para isso os alunos
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devem ser capazes de reconhecer, utilizar, interpretar e propor modelos para situaçõesproblema. Dessa forma, devem ser incentivados o uso e a elaboração de modelos e das
várias formas de representação em matemática para analisar situações reais. (BRASIL,
1999).
Entre os educadores há uma preocupação com o baixo desempenho escolar de
alunos em Matemática que tem suscitado a transferência de procedimentos da
matemática aplicada para a matemática escolar. Essa preocupação vem se configurando
na forma de propostas metodológicas conhecidas com o nome de “Modelagem”
(BEAN, 2001).
As ações em prol da Educação Matemática no Brasil têm influenciado
reformulações curriculares e a implantação de novas propostas pedagógicas. Dentre
estas novas tendências de ensino, destaques são feitos à modelagem e ao uso de
modelos matemáticos, como formas de compreender a matemática e relacioná-la a
outras áreas de conhecimento e a situações reais (BIEMBENGUT, 2009).
Enquanto uma estratégia de ensino a intenção em utilizar a modelagem é de
aproximar o ensino da Matemática da área de interesse do aluno, aumentando seu
envolvimento com a própria aprendizagem (MIRANDA, 2009).
Mais ainda, podemos pensar a sala de aula como um ambiente de modelagem,
ou seja, “um ambiente de aprendizagem onde os alunos podem problematizar e
investigar, por meio da matemática, situações com referência na realidade” (BARBOSA,
2004, p.3).
No processo de modelagem matemática expressam-se situações–problema
através da linguagem matemática, visando a uma análise mais aprofundada de partes do
problema, sua compreensão, levantamento de possíveis causas do problema e hipóteses
para solucioná-lo (BIEMBENGUT, HEIN, 2007).
No ensino-aprendizagem de trigonometria o que observamos, às vezes, é uma
grande preocupação com cálculos algébricos e pouco espaço para aplicações da
trigonometria em situações práticas. Embora os livros didáticos proponham muitos
problemas que exigem aplicações dos conhecimentos trigonométricos, os alunos, por
vezes, parecem demonstrar uma maior preocupação com os cálculos algébricos. Esse
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fato pode decorrer do incentivo que, por vezes, os professores dão a esse aspecto e não à
resolução de problemas.
O uso da modelagem no ensino de trigonometria pode ser uma oportunidade de
aproximar este conteúdo do “mundo real”, enfatizando o uso de modelos matemáticos,
que empregam a linguagem da álgebra e da geometria para descrever e explicar
situações com referência na realidade.
No entanto, devemos lembrar que a elaboração e o uso de modelos dependem do
conhecimento matemático que possuímos. Quanto maiores forem estes conhecimentos,
maiores serão as possibilidades na resolução de problemas mais complexos
(BIEMBENGUT, HEIN, 2007).
Com relação aos conhecimentos trigonométricos, é preciso que o aluno saiba
transitar desde o Teorema de Pitágoras, das razões trigonométricas no triângulo
retângulo até interpretações no ciclo trigonométrico. Os vários modelos matemáticos
podem então ser compreendidos de forma integrada: noções estudadas no Ensino
Fundamental são retomadas e ampliadas no Ensino Médio, utilizando as diversas
formas de representação em matemática.
Desenvolvimento da atividade
A experiência desenvolvida objetivou que os alunos investigassem a
possibilidade de utilização de conceitos trigonométricos para descrever e explicar
situações encontradas no cotidiano de alguns profissionais. Pretendíamos investigar se
os alunos aplicariam modelos matemáticos trigonométricos na interpretação de
informações coletados junto a esses profissionais.
Participaram da experiência 76 alunos de duas turmas de 2ª série do Ensino
Médio de uma escola estadual do interior de Minas Gerais. Estas turmas serão aqui
denominadas turma A (41 alunos) e B (35 alunos). O trabalho foi desenvolvido
utilizando duas aulas de 40 minutos, além de uma tarefa extraclasse, consistindo em
uma entrevista conduzida pelos alunos com profissionais da construção civil, radialistas
e técnicos em instalação de internet via rádio, pertencentes à comunidade.
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Os instrumentos de coleta de dados utilizados foram: os trabalhos escritos pelos
alunos, cartazes utilizados para expor os resultados e os protocolos de observação feitos
pela professora da turma, e uma das autoras desse artigo.
Uma primeira aula foi utilizada para explicar às turmas como o trabalho seria
realizado. Os alunos de cada turma foram divididos em 05 grupos, num total de 10
grupos. A cada grupo foi proposta uma tarefa consistindo em uma entrevista com um
tipo de profissional e uma análise das informações obtidas, no sentido de identificar em
que medida os conhecimentos de trigonometria poderiam ser aplicados.
Cada um dos grupos de cada turma ocupou-se de uma das cinco tarefas:
1ª:Trigonometria da construção de uma escada: Realizar uma entrevista com um
pedreiro indagando acerca de como ele constrói uma escada. Analisar e identificar qual
a trigonometria envolvida na construção da escada;
2ª: Trigonometria do esquadro do chão de um cômodo: Realizar uma entrevista com um
pedreiro indagando como ele tira os esquadros do chão de um cômodo. Analisar e
identificar qual a trigonometria envolvida no estabelecimento do esquadro do chão.
3ª: Trigonometria do esquadro da parede de um cômodo: Realizar uma entrevista com
um pedreiro perguntando como ele tira os esquadros das paredes de um cômodo e
analisar qual a trigonometria envolvida nesse processo;
4ª: Trigonometria na transmissão de rádio: Realizar uma entrevista com um
profissional que trabalhe com transmissão de ondas de rádio (rádio AM e/ou FM).
Analisar qual a trigonometria envolvida nessa transmissão;
5ª: Trigonometria na transmissão de Internet a rádio: Realizar uma entrevista com um
profissional que trabalhe com transmissão de ondas de rádio (para internet) e analisar
qual a trigonometria envolvida nessa transmissão.
As três primeiras tarefas tinham o intuito de perceber os conhecimentos
trigonométricos, relativos ao triângulo retângulo, que os alunos associariam aos dados
coletados. Pretendíamos verificar se esses seriam capazes de relacionar as informações
obtidas com as razões trigonométricas: seno, cosseno e tangente de ângulos agudos,
com o teorema de Pitágoras e/ou com o teorema da soma dos ângulos internos de um
triângulo, temas já estudados em sala de aula. As duas últimas tarefas pretendiam
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analisar se os alunos associariam os dados obtidos a conhecimentos da Física: o
movimento harmônico simples e ondas, e às funções trigonométricas seno e cosseno.
Os alunos tiveram um prazo de quinze dias para realizarem as entrevistas bem
como as pesquisas que achassem necessárias, no sentido de estabelecer relações entre as
informações coletadas e os conhecimentos trigonométricos estudados. A segunda aula
foi utilizada para a socialização dos resultados obtidos pelos grupos, que fizeram
apresentações orais, utilizando cartazes ou quadro e giz para expor e explicar os
resultados obtidos.
Descobertas dos alunos
Apenas oito dos 10 grupos de trabalho iniciais realizaram a atividade.
Os dois grupos que realizaram a primeira tarefa - A trigonometria na construção
de uma escada - atingiram os objetivos propostos inicialmente. Conseguiram relacionar
as informações coletadas com o teorema de Pitágoras, utilizando a razão trigonométrica
tangente para encontrar o ângulo de inclinação da escada. Com este dado, utilizaram o
teorema da soma dos ângulos internos de um triângulo, para determinar o segundo
ângulo agudo. Na apresentação dos resultados os grupos utilizaram a linguagem escrita,
explicitaram os cálculos, ilustrando com desenhos.
O Grupo 1 da 2a série A apresentou uma explicação escrita:
“Numa escada normal temos a altura de 3m e o comprimento de 4 m (...). O
comprimento da rampa vai ser 5m, porque usando o teorema de Pitágoras
encontramos esse valor. O ângulo da escada em relação ao solo será 37°,
porque usamos a expressão da tg e encontramos o valor 0,75. Esse valor
corresponde, na tabela de razões trigonométricas ao valor de 37°. O ângulo da
escada em relação à parede é 53°, porque a soma dos valores dos ângulos de
um triângulo é igual a 180°, então, aqui temos 90° , neste temos 37°, então o
que falta para 180° é 53°.” (GRUPO 1, 2ª série A)
O grupo 1, da 2ª série B, além de uma breve explicação escrita que discutia as
dimensões e o número dos degraus, ilustrou a situação com um desenho esquemático. Apesar
de o desenho fornecer dados para a utilização do Teorema de Pitágoras, com valores
exatos e dos cálculos matematicamente corretos, quanto ao tamanho da escada e dos
ângulos presentes no desenho, os valores adotados chamam a atenção. Os alunos não
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perceberam a incoerência dos valores considerados frente a questões práticas de
construção de uma escada.
Figura 1: grupo 1, 2ª B
Dos grupos que assumiram a 2ª tarefa - A trigonometria do esquadro do chão de
um cômodo- apenas um fez a atividade e conseguiu identificar, como trigonometria
usada, o teorema de Pitágoras, a partir da análise de duas entrevistas feitas com
pedreiros diferentes. As figuras 2 e 3 foram apresentadas pelo grupo 2, da 2ª série A.
Destacamos este resultado devido à forma de atuação do grupo, que comparou
informações de duas fontes diferentes para assegurar a correção dos dados e métodos
obtidos.
As figuras 2 e 3 foram apresentadas pelo grupo 2, da 2ª série A. Destacamos este
resultado devido à forma de atuação do grupo, que comparou informações de duas
fontes diferentes para assegurar a correção dos dados e métodos obtidos.
Figura 2: grupo 2, 2ª A
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Figura 3: grupo 2, 2ª A
Os dois grupos que fizeram a 3ª tarefa sobre - A trigonometria do esquadro de
uma parede – relacionaram as informações obtidas com o teorema de Pitágoras,
apresentando como justificativa, explicações, não tão detalhadas quanto às do grupo 1,
2ª A, mas próximas às apresentadas por este grupo.
Dos dois grupos incumbidos de realizar a 4ª tarefa, sobre a Trigonometria na
transmissão de rádio, um dos grupos realizou a entrevista, mas não conseguiu
relacionar os dados a modelos da trigonometria. O outro grupo não realizou uma
entrevista, mas pesquisou sobre a trigonometria na difusão de ondas de rádio,
apresentando um trabalho escrito sobre o tema, mas não sabendo explicar em que
aspectos a pesquisa feita se relacionava com os conhecimentos vistos durante as aulas.
Dos grupos incumbidos de realizar a 5ª tarefa sobre a Trigonometria na
transmissão de Internet a rádio apenas um fez a entrevista e, mesmo assim, não
conseguiu identificar a trigonometria relacionada com as informações coletadas.
Considerando os resultados acima expostos, percebemos que cinco grupos se
envolveram de forma a realizar a tarefa proposta atingindo os objetivos pretendidos,
identificando modelos matemáticos trabalhados em sala de aula, explicativos das
situações concretas, no caso, informadas pelos pedreiros entrevistados.
Os quatro grupos envolvidos com as tarefas 4 e 5, relacionadas à Trigonometria
da transmissão de rádio e da Internet via rádio, não conseguiram relacionar os
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conhecimentos trigonométricos estudados com as pesquisas feitas. Esperava-se que eles
fossem capazes de relacionar as informações sobre ondas com as funções seno e
cosseno, o que não ocorreu. Alguns alunos alegaram que a atividade foi mais difícil.
Analisando as duas tarefas propostas, reconhecemos que realmente o nível de
complexidade das mesmas era grande, considerando, principalmente que os técnicos em
eletrônica e telecomunicações consultados, não necessariamente se expressaram
fazendo referências a modelos abstratos de ondas e sua propagação. Esse fato pode,
inclusive ter desmotivado os grupos de alunos envolvidos nessas tarefas.
Considerações Finais
A princípio, interpretamos que os alunos não haviam compreendido bem as
razões trigonométricas no triângulo retângulo, já que apenas dois grupos utilizaram esse
conhecimento para matematizar os dados coletados. Mas, após uma análise mais
detalhada dos registros entregues pelos alunos, foi possível perceber que parte disso foi
conseqüência da natureza dos dados que eles obtiveram em suas entrevistas.
Os cinco primeiros grupos conseguiram associar aos dados um modelo
matemático conhecido. A maioria abordou o Teorema de Pitágoras no triângulo
retângulo, pois, foi o que puderam extrair dos dados coletados com as entrevistas feitas
com pedreiros, acostumados a desenvolver seu trabalho de maneira empírica, tendo
expressado seus conhecimentos de forma prática e simplificada.
Ao longo da atividade, foi possível perceber, em conversas com os grupos, o
quão difícil eles consideraram a atividade, mesmo aqueles que conseguiram desenvolvêla por completo. Isso evidencia que não estavam acostumados a este tipo de tarefas e
abordagem de ensino. Por outro lado, considerando a forma de apresentação das
respostas dos alunos, foi possível constatar que a atividade promoveu uma melhoria na
forma de se expressarem através da linguagem natural e da linguagem matemática, na
forma de argumentarem oralmente em defesa de suas conclusões e de tratarem
matematicamente as informações.
A experiência conduzida evidenciou a necessidade de uma maior ênfase no
estudo das relações trigonométricas e do ciclo trigonométrico, para além do triângulo
retângulo. Da mesma forma é necessário propor mais atividades numa abordagem
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investigativa que, além de possibilitar a construção de conhecimentos matemáticos,
pode contribuir para a aprendizagem da Matemática e estimular o gosto pela mesma.
Apesar de não serem muitas as aulas destinadas ao ensino da trigonometria nos
currículos escolares, o uso de atividades que abordem modelos matemáticos, sua
identificação e aplicação, pode ampliar as possibilidades de uma aprendizagem mais
duradoura, além de motivar e despertar o interesse dos alunos acerca do tema.
Referências
BARBOSA, Jonei Cerqueira. Modelagem matemática: o que é? Por quê? E como?
Veritati, n.4, p.73-80, 2004.
BEAN, Dale. O que é modelagem matemática? Educação Matemática em Revista,
São Paulo, v. 8, n. 9/10, p. 49-57, 2001.
BIEMBENGUT, Maria Salett. 30 anos de modelagem matemática na educação
brasileira: das propostas primeiras às propostas atuais. Alexandria, Revista de
Educação em Ciência e Tecnologia, v.2, n.2, p.7-32, jul. 2009.
BIEMBENGUT, Maria Salett; HEIN, Nelson. Modelagem matemática no ensino.
4.ed. São Paulo: Contexto, 2007. 127p.
BRASIL, Parâmetros Curriculares Nacionais: ensino médio. Ministério da Educação
- Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Brasília: MEC, 1999.
COSTA, Nielce Meneguelo Lobo da. Funções Seno e Cosseno: Uma sequência de
ensino a partir dos contextos do “mundo experimental” e do computador. 1997. 250f.
Dissertação (mestrado em Ensino da Matemática)- Pontifícia Universidade Católica de
São
Paulo,
São
Paulo.Disponível
em:
<http://www.sapientia.pucsp.br//tde_busca/arquivo.php?codArquivo=4550>
Acesso
em:01 jan. 2010.
KENDAL, Margaret; STACEY, Kaye. Teaching trigonometry. Australian
Mathematics Teacher, University of Melbourne, Australia, v.54, n.1, p.34-39, Mar
1998.
MIRANDA, Dimas Felipe de. Modelagem direcionada em aulas de matemática. In:
ENCONTRO DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 4, 2009, Ouro Preto, Anais..., Ouro
Preto, UFOP, p 89-108, abr. 2009.
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