Laboratório de Matemática
Disciplina do Curso de Matemática
Agostinho Iaqchan Ryokiti Homa
13
2
A disciplina Laboratório de Matemática revisa e amplia os conceitos
fundamentais da Matemática apresentados no Ensino Básico objetivando subsidiar os
estudantes com os conhecimentos necessários à disciplina de Cálculo diferencial e
integral.
3
Sumário
SIMBOLOGIA MATEMÁTICA ..................................................................................... 7
MÓDULO 1...................................................................................................................... 8
1
CONJUNTOS ........................................................................................................... 8
1.1
Conjunto ........................................................................................................... 8
1.2
Relação de pertinência ..................................................................................... 8
1.3
Representação dos conjuntos ........................................................................... 9
1.4
Conjunto universo .......................................................................................... 10
1.5
Conjunto unitário ........................................................................................... 10
1.6
Conjunto vazio ............................................................................................... 10
1.7
Subconjunto ................................................................................................... 10
1.8
Relação de Inclusão ....................................................................................... 10
1.9
Operações com conjuntos .............................................................................. 11
MÓDULO 2.................................................................................................................... 14
2
CONJUNTOS NUMÉRICOS ................................................................................ 14
Exercícios: .................................................................................................................. 16
2.1
Representação dos Reais ................................................................................ 17
2.2
Intervalos e desigualdades ............................................................................. 18
2.3
Operações entre intervalos ............................................................................. 19
Exercícios: .................................................................................................................. 21
MÓDULO 3.................................................................................................................... 23
3
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO ...................................................................... 23
3.1
Potenciação .................................................................................................... 23
3.2
Potências de binômios.................................................................................... 23
3.3
Triângulo de Pascal ........................................................................................ 24
3.4
Radiciação ...................................................................................................... 25
3.5
Operações com radicais ................................................................................. 26
Exercícios ................................................................................................................... 28
4
4
MONÔMIOS .......................................................................................................... 30
4.1
5
Operações com Monômios ............................................................................ 30
POLINÔMIOS ....................................................................................................... 32
5.1
Operações com Polinômios............................................................................ 32
Exercícios ................................................................................................................... 33
Exercícios ................................................................................................................... 35
6
FATORAÇÃO ........................................................................................................ 36
Exercícios ................................................................................................................... 37
MÓDULO 4.................................................................................................................... 38
7
EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DO 1º GRAU ..................................................... 38
7.1
Resolução de Equações do 1º grau ou Equações lineares .............................. 38
7.2
Inequações do 1º grau ou Inequações lineares ............................................... 40
Exercícios ................................................................................................................... 41
8
EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DO 2º GRAU ..................................................... 42
8.1
Resolução de equações do 2º grau ................................................................. 42
Exercícios ................................................................................................................... 43
8.2
Inequação do 2º grau ...................................................................................... 44
Exercícios ................................................................................................................... 45
MÓDULO 5.................................................................................................................... 46
9
RELAÇÃO ............................................................................................................. 46
9.1
Par ordenado .................................................................................................. 46
9.2
Produto cartesiano .......................................................................................... 46
9.3
Relação Binária .............................................................................................. 47
9.4
Gráfico de uma relação .................................................................................. 48
9.5
Domínio e Imagem ........................................................................................ 49
Exercícios ................................................................................................................... 51
MÓDULO 6.................................................................................................................... 52
10
FUNÇÕES .............................................................................................................. 52
10.1
Características das funções ............................................................................ 55
10.2
Intervalo para função crescente e decrescente ............................................... 55
5
10.2.1
Raiz da função......................................................................................... 56
10.2.2
Intervalo para função positiva e negativa (sinais da função) .................. 57
Exercícios ................................................................................................................... 59
MÓDULO 7.................................................................................................................... 61
11
FUNÇÃO CONSTANTE ....................................................................................... 61
12
FUNÇÃO DE 1° GRAU ........................................................................................ 62
12.1
Função identidade .......................................................................................... 62
12.2
Função linear .................................................................................................. 63
12.3
Função afim ................................................................................................... 64
MÓDULO 8.................................................................................................................... 68
13
FUNÇÃO QUADRÁTICA .................................................................................... 68
Exercícios ................................................................................................................... 73
MÓDULO 9 .................................................................................................................... 74
14
EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS ............................................... 74
14.1
Equação exponencial...................................................................................... 74
14.2
Inequação exponencial ................................................................................... 75
15
FUNÇÕES EXPONENCIAIS ................................................................................ 77
Exercícios ................................................................................................................... 78
16
LOGARITMO ........................................................................................................ 79
17
EQUAÇÃO LOGARÍTMICA................................................................................ 80
Exercícios ................................................................................................................... 80
18
FUNÇÃO LOGARÍTMICA ................................................................................... 82
Exercícios ................................................................................................................... 83
MÓDULO 10.................................................................................................................. 84
19
Trigonometria no Triângulo Retângulo .................................................................. 84
Exercícios ................................................................................................................... 89
20
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ....................................................................... 90
20.1
Função seno ................................................................................................... 92
20.2
Função cosseno .............................................................................................. 93
21
Função tangente ...................................................................................................... 94
21.1
Função secante ............................................................................................... 95
6
21.2
Função cossecante .......................................................................................... 96
21.3
Função cotangente ......................................................................................... 97
REFERÊNCIAS ............................................................................................................. 98
7
SIMBOLOGIA MATEMÁTICA
Símbolo
Significado
Símbolo
Significado
igual a
pertence
diferente de
não pertence
menor que
intersecção
maior que
união
menor igual
está contido
maior igual
contém
existe
idêntico a
não existe
qualquer
existe um e somente um
aproximadamente igual a
infinito
tal que
e
equivale
ou
implica
8
MÓDULO 1
1
CONJUNTOS
Boa parte da linguagem utilizada nos vários ramos da Matemática foi
influenciada, durante o século XX, pela Teoria dos Conjuntos, criada por Georg
Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918), notável matemático russo que, antes
dos 30 anos, publicou seu primeiro trabalho sobre a Teoria dos Conjuntos.
Neste capítulo serão revisados alguns conceitos básicos, em particular dos
conjuntos numéricos e suas relações de pertinência e operações.
1.1
Conjunto
Conjunto é um agrupamento de elementos, por exemplo, o conjunto das
estações do ano é {verão, outono, inverno, primavera}, o conjunto dos dias da semana é
{domingo, segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira, sábado}, o
conjunto dos números inteiros pares entre 1 e 9 é
.
Elemento é todo objeto, número, letra, etc, que faz parte na formação de um
conjunto. No conjunto
, o número 6 é elemento desse conjunto.
Notação: Os conjuntos são representados por letras maiúsculas e seus
elementos, entre chaves, por letras minúsculas. Exemplo: Dado o conjunto A formado
pelos elementos a, b, c, d, representa-se por: A = {a, b, c, d}.
Os conjuntos podem ser finitos, com um número determinado de elementos ou
infinitos, com um número infinito de elementos.
Exemplo de conjunto finito: conjunto dos números inteiros entre o número 2 e
o número 5; conjunto dos números inteiros entre o número -50 e o número 50.
Exemplo de conjunto infinito: conjunto dos números inteiros pares; conjunto
dos números inteiros ímpares.
1.2
Relação de pertinência
Quando um determinado elemento
“pertence a”
faz parte de um conjunto , temos que g
, estabelecendo, deste modo, uma relação de pertinência entre
e
é
representada por
Os símbolos pertence
elementos e conjuntos.
e não pertence
são utilizados para relacionar
9
Exemplos;

Seja o conjunto
que,
o conjunto das estações do ano, então pode-se afirmar
e que




1.3
Representação dos conjuntos
Os conjuntos são representados por extensão, por compreensão e
geometricamente.
Por extensão, os conjuntos são representados por letras maiúsculas e seus
elementos, entre chaves, por letras minúsculas separadas por vírgulas. Ex: Dado o
conjunto A, formado pelos elementos a, b, c, d, representa-se por: A = {a, b, c, d};
para , formado pelas estações do ano,
.
Por compreensão, os conjuntos são representados por meio de uma
propriedade que caracteriza os seus elementos. Ex: Para
naturais pares,
o conjunto dos números
. Para o correto entendimento e
representação dos conjuntos por compreensão é necessário o conhecimento da
simbologia matemática1.
Geometricamente, um conjunto pode ser representado geometricamente por
uma linha fechada denominada diagrama de Venn.
Verificando as relações de pertinência, no diagrama de Venn, temos
1
Para outros símbolos matemáticos veja o glossário no início do material.
10
1.4
Conjunto universo
Para solucionar um problema matemático que envolva conjuntos, é necessário
admitir a existência de um conjunto denominado conjunto universo, representado por U.
Ex: Seja
o conjunto solução da equação
, considerando U os
números Inteiros positivos, temos que
1.5
, logo
Conjunto unitário
Define-se como conjunto unitário todo conjunto que tem somente um
elemento.
Ex: Considere
1.6
e
o conjunto solução da equação
Conjunto vazio
Define-se como conjunto vazio o conjunto que não tem elementos sendo
representado por { } ou
.
Ex: Seja A o conjunto dos números Inteiros maiores que 10 e menores que 9,
temos que
1.7
ou
Subconjunto
Denomina-se que o conjunto A é subconjunto de B se todos os elementos de A
pertencem também a B.
Ex:
Seja
1.8
, A é subconjunto de B.
Relação de Inclusão
Quando A é um subconjunto de B, temos que
contido
; não está contido
; contém
e não contém
. Os símbolos, está
são utilizados para as
relações entre conjuntos.
Ex: Para
, temos que:

, lê-se A está contido em B, pois todos os elementos de A estão em B

, lê-se B contém A, pois B contém todos os elementos de A

, lê-se A está contido em C,

, lê-se B não está contido em C, pois
, para que um conjunto
esteja contido em outro é necessário que todos os seus elementos
pertençam ao outro conjunto.

conjunto vazio está contido em todo e qualquer conjunto. Então:
,
.
,
11

Todo e qualquer conjunto está contido nele mesmo, assim como todo e
qualquer conjunto contém ele mesmo. Então:
1.9
,
.
Operações com conjuntos
União – A união entre dois conjuntos A e B, é o conjunto formado pelos
elementos pertencentes a A ou a B.
Ex:

e
,

e

e
,
,
Propriedades da união: Para quaisquer A, B e C, temos que:
Se
Intersecção – A intersecção entre dois conjuntos A e B, é o conjunto formado
pelos elementos pertencentes a A e a B.
Ex:
e
,
e
e
,
,
Propriedades da intersecção: Para quaisquer A, B e C, temos que:
Se
Diferença – A diferença entre dois conjuntos A e B,
formado pelos elementos pertencentes a A e que não pertencem a B.
é o conjunto
12
OBS:
, então
.
Ex:

e
,
e,

e
,
e

e
e

e
,
e
Propriedades: Para quaisquer A, B e C, temos que:
Se
Se
, todo e qualquer elemento pertencente a A também pertence a B
OBS: Para
todo e qualquer elemento pertencente a A não pertence a B; denomina-se
Para
então que A e B são conjuntos disjuntos.
Complementar – Para dois conjuntos A e B, o complementar de A em B, para
, é o conjunto formado pela diferença
.
Ex:
 Para
e
, temos
 Para
e
, temos
seja,
, ou
13
OBS: Quando a indicação do complementar é em relação ao conjunto Universo, utilizase o símbolo
ou .
Temos que
ou
Dados os conjunto
1. determine
a.
b.
c.
d.
2. Classificar em V ou F
a.
b.
c.
d.
C}
14
MÓDULO 2
2
CONJUNTOS NUMÉRICOS
O conjunto dos números Naturais, cuja notação é , é representado como
.
, conjunto dos números Naturais sem o zero.
O conjunto dos números Inteiros, cuja notação é
, é representado como
, e compreende os números inteiros negativos,
o número zero e os números inteiros positivos.
, conjunto dos números Inteiros não negativos;
, conjunto dos números Inteiros não positivos;
, conjunto dos números Inteiros sem o zero.
O conjunto dos números Racionais, cuja notação é
, contém qualquer
número que possa ser escrito como a razão de dois números inteiros, na forma , onde
, e representado por compreensão como
, leia-se:
.
O racional
pode ser escrito na notação decimal como 0,5 , ou seja, apesar de
não estar na notação
, 0,5 é um número racional, assim como a dízima periódica
0,33333333... que representa .
Um número na forma decimal que apresenta uma dízima periódica na sua parte
decimal, isto é, uma sequência que se repete infinitamente, é número Racional, e para
escrevê-lo em sua forma fracionária usa-se o método da função geratriz.
OBS: o racional
representa o inteiro 2, logo qualquer número Inteiro pode ser
representado na forma de um número Racional. Dessa maneira podemos estabelecer
algumas relações entre os conjuntos numéricos, tais como:
15
Os números Irracionais, cuja notação é
, são aqueles que não podem ser
representados na forma fracionária, ou seja, sua notação decimal não tem uma dízima
periódica, ou seja, a parte decimal não tem uma sequência de números que se repete.
Ex:
São infinitos os números Irracionais, e a união dos Racionais e dos Irracionais
forma o conjunto dos números Reais, cuja notação é
, logo as relações entre os
conjuntos são:
Representando os conjuntos numéricos em diagramas de Venn, temos:
OBS:
O conjunto dos números Complexos, cuja notação é
números escritos na forma retangular
relativo à parte real e
e
, sendo
relativo a parte imaginária, é representado como
Ex:
 Para
, para
, é formado pelos
, temos:
16
Logo, para a parte real , temos que
 Para
Para
e para a parte imaginária
, temos
, Logo
um número Real qualquer tal que,
número Complexo com a parte real
Exercícios:
3. Para os conjuntos
Determine
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
4. Efetue as operações com os conjuntos numéricos
a.
b.
c.
d.
.
e
,e
e a parte imaginária
temos que
, temos que
.
é um
17
e.
f.
g.
h.
i.
j.
5. Enumere os números inteiros entre – 2 e 8.
6. Enumere os números inteiros positivos de – 2 a 8.
7. Enumere todos os números inteiros negativos maiores que -5.
8. Enumere todos os números inteiros positivos menores que 7.
9. Classifique em racional (Q) ou irracional (I) os números Reais dados:
a. 6,020000
b. 1,666666
c. 0,01001000100001
d. 0,93875679383431
e.
f.
g.
2.1
Representação dos Reais
O conjunto dos Reais é graficamente representado por uma reta de maneira
que, considerando a reta real e os números representados por
esquerda de
então
, com
a direita de
então
e
temos que, se
está
.
Considerando a reta real e a marcação do número real zero com o valor 0,
temos para o número real
para um número real
a esquerda de 0, ou seja,
a direita de 0, ou seja,
que
que
é um real negativo e,
é um número real positivo.
18
Notação:
 Intervalo fechado
ou
 Intervalo aberto
ou
 Intervalo fechado a esquerda e aberto a direita
ou
 Intervalo aberto a esquerda e fechado a direita
ou
OBS: Usa-se o parênteses “(“ , “)” quando o intervalo não inclui o extremo
quando o extremo é
ou
ou
, e os colchetes “[“ , ”]” quando o intervalo inclui o valor
do extremo.
2.2
Intervalos e desigualdades
As desigualdades podem ser usadas para descrever subconjuntos de números
Reais, denominados intervalos, ou seja, para o intervalo dos números Reais:
menores que , temos
ou
menores ou igual , temos
maiores que , temos
ou
ou
maiores ou igual , temos
Para o caso de tomarmos o segmento
que o intervalo dos números Reais:
entre
e , temos
ou ou
como o subconjunto de números Reais, temos
ou
19
entre
inclusive e , temos
ou
entre
e
ou
de
2.3
até
inclusive, temos
, temos
ou
Operações entre intervalos
Considerando os intervalos
Para a operação de união, temos que todos os elementos dos conjuntos fazem
parte do conjunto solução, logo:
a união de A e B,
ou
A
B
a união de B e C,
=
ou
.
B
C
OBS: 4 não pertence a nenhum dos intervalos, logo não pertence à solução, atenção ao
conectivo ou, pois x pertence ao intervalo [2,4) ou ao intervalo (4,5).
20
a união de A e C,
ou
A
C
Para a operação de intersecção, temos que os elementos em comum aos
conjuntos fazem parte do conjunto solução, logo:
a intersecção de A e B,
ou
A
B
a intersecção B e C,
ou
OBS não há elementos em comum entre os dois intervalos, logo a solução é vazio
B
C
a intersecção A e C,
ou
A
C
Para a diferença entre os conjuntos, a solução é dada pelos elementos do
primeiro conjunto menos os elementos em comum aos dois
21
a diferença entre A e B,
ou
A
B
a diferença entre B e C,
ou
B
C
a diferença entre A e C,
A
C
Exercícios:
1. Represente na reta Real os intervalos em :
a.
b.
c.
d.
e.
f.
2. Escreva por compreensão os intervalos:
a.
b.
c.
d.
ou
22
e.
f.
g.
3. Para os intervalos
escreva por compreensão as operações:
a.
=
b.
=
c.
=
d.
e.
=
=
, determine e
23
MÓDULO 3
3
3.1
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
Potenciação
Definição: Sendo
para
um número real
temos o produto do fator
Para:
e
multiplicado por ele mesmo
base
expoente
potência
Observação:
para
para
Propriedades das potências





3.2
um número inteiro
Potências de binômios
Quadrado da soma de dois termos:
Quadrado da diferença de dois termos:
Produto da soma pela diferença de dois termos
vezes, ou seja:
,
24
Potências de um binômio de grau n. Para
e
, temos:
.
.
.
Ex:

3.3
Triângulo de Pascal
A construção do triângulo de Pascal é facilmente realizada tomando-se a
primeira e a última coluna de cada linha como “1”, e utilizando-se a relação de Stifel
para as demais colunas, ou seja, a soma de 2 termos consecutivos em uma mesma linha
é igual ao termo da linha seguinte da mesma coluna da segunda parcela.
N° da Linha
0
1
2
3
Observa-se que para desenvolver
termo
, dado pelo triângulo de Pascal, para
...
n-1
, podemos usar o coeficiente
a linha e
a coluna.
n
do
25
Ex:

3.4
Radiciação
Definição: Sendo
um número Natural
e
dois números pertencentes aos Reais
, denomina-se raiz enésima de
e
o número
que elevado a
resulta no número .
para:
radicando;
raiz;
índice;
radical
Ex:
,
,
Para
Para
radicando
radicando
raiz
raiz
índice
índice
Para todo radical temos:
OBS:
 Para um expoente par temos que
para –
para –
como
ou seja, para todo índice par temos as raizes
 Para um expoente ímpar
e
temos:
ou seja, se o índice é número ímpar a raiz é número negativo.
Ex:
26
 Para
Ex:
;
Propriedades dos radicais
Para
e
temos





Radicais semelhantes
Os radicais são semelhantes quando têm o mesmo índice e o mesmo radicando,
ou seja,
são semelhantes.
Ex:

são radicais semelhantes

3.5
não são radicais semelhantes
Operações com radicais
Adição e subtração de radicais
A operação da adição ou da subtração de radicais é definida somente para
radicais semelhantes, de modo que
Ex:

27
Multiplicação e Divisão de radicais
A operação da multiplicação ou da divisão é definida somente para radicais
com o mesmo índice, de modo que
Ex:
Simplificação de radicais




Racionalização de denominadores
Para uma fração cujo denominador é um número Irracional, na forma de um
radical, racionalizar o denominador é a operação de conversão do denominador
irracional em um denominador racional, através do produto do numerador e do
denominador por um fator tal que o denominador torne-se um número Racional.
Para denominador
o fator é
Ex:


Para os denominadores
o fatores são
28
Ex:
Exercícios
1. Determine as potências
a.
=
b.
=
c.
=
d.
=
e.
=
f.
=
g.
=
h.
=
2. Simplifique as expressões
a.
=
b.
=
3. Determine as raízes
a.
=
b.
=
c.
=
d.
=
e.
=
f.
g.
h.
i.
j.
k.
=
=
29
4. Racionalize e simplifique
a.
b.
c.
d.
=
=
=
=
30
4
MONÔMIOS
Denominamos monômio ou termo algébrico qualquer expressão algébrica
representada por um número e uma parte literal.
Para
coeficiente numérico e
Monômio
=parte literal
Coeficiente numérico
Parte literal
1
-1
-5
OBS:
 Monômios semelhantes são aqueles que possuem a mesma parte literal;
Ex:
são monômios semelhantes;
 Monômio nulo é o monômio cujo coeficiente numérico é igual a 0;
Ex: o termo algébrico
é igual a 0;
 Todo número Real é um monômio.
4.1
Operações com Monômios
Adição e subtração
A operação da adição ou da subtração de monômios é definida somente para
monômios semelhantes.
Ex:


Multiplicação e divisão
A operação da multiplicação e da divisão é realizada entre os coeficientes
numéricos, e entre as partes literais na qual se aplica as propriedades das potências.
Ex:


31


Potenciação
A operação da potenciação segue as propriedades das potências.
Ex:


Radiciação
A operação da radiciação segue as propriedades dos radicais
Ex:


32
5
POLINÔMIOS
Um monômio ou uma soma de monômios chama-se de polinômio.
Ex:
é um polinômio de um termo ou um monômio.
–
é um polinômio de dois termos ou um binômio.
é um polinômio de três termos ou um trinômio.
–
é
um
polinômio
de
quatro
termos
e
assim
sucessivamente.
5.1
Operações com Polinômios
Adição e subtração
A operação da adição e da subtração de polinômios é realizada operando
somente os termos semelhantes.
Ex:






–
–
–
–
–
–
–
–
–
Produto de monômio por polinômio
Dado um monômio
produto
Ex:



e um polinômio
, para
.
o
33
Situação exemplo:
A área de um retângulo é dado pelo produto da base pela altura, logo a área de
um retângulo de base
e altura
é dado por
.
Determine a área A e o perímetro 2P das figuras:
2P=
A=
Exercícios
1. Determine os produtos
a. –
–
b.
c. –
–
d.
e.
f.
–
g.
h.
–
2P=
A=
34
Produto de polinômio por polinômio
Dado os polinômio
e
,
, o
produto
=
Ex:



Divisão de polinômio por polinômio
A divisão de polinômios realiza-se através da divisão entre os coeficientes
numéricos e da divisão de potências de mesma base.
de maneira que:
Logo, para a divisão do polinômio A pelo polinômio B, com quociente Q e resto R,
temos:
Ex:
 Para
, temos:
Fazendo
Fazendo
35
 Para
, temos:
Fazendo
Fazendo
Exercícios
1. Efetue as operações com polinomios
a.
b.
c.
d.
e.
36
6
FATORAÇÃO
A fatoração de expressões algébricas consiste na representação de uma
expressão algébrica na forma de produto entre duas ou mais expressões algébricas.
Para a fatoração de expressões algébricas utilizam-se 4 métodos:
Fator comum
- Identifica-se o fator comum em todos os termos;
- Divide-se cada termo do polinômio pelo fator comum;
- Representa-se a expressão pelo produto do fator comum e o quociente da
divisão.
Ex:

Fatoração por agrupamento
- Separa-se em grupos de termos de modo que haja pelo menos um fator comum
em cada grupo;
- Aplica-se o método do fator comum em cada agrupamento de termos
Ex:


Diferença de dois quadrados
Quando o polinômio de apresenta na forma
polinômios quaisquer então
- Determinar a raiz quadrada do primeiro termo;
- Determinar a raiz quadrada do segundo termo;
- Representa-se a expressão pelo produto das raízes.
Ex:


–
, para P e Q dois
.
37
Trinômio quadrado perfeito
Quando o polinômio se apresenta na forma
, para P e Q dois
polinômios quaisquer então
- Determinar a raiz quadrada do primeiro termo;
- Determinar a raiz quadrada do terceiro termo;
- Para
epresenta-se a expressão pelo quadrado da soma das raízes;
- Para
epresenta-se a expressão pelo quadrado da diferença das
raízes.
Ex:




Exercícios
1. Fatore as expressões:
a. 7x² + 14y²=
b. 6x³ - 3x =
c. 7y + 4yx + y² =
d. 12abc – 6ab + 18ab² =
e. x² - 36 =
f. y² + 2y + 1 =
g. m² - 14bm + 49b² =
h. ac + 2bc + ad + 2bd =
i. 2 x  6 xy =
j. a( x  y)  b( x  y) =
k. ax  ay  bx  by 
2
l. x 16 
2
2
m. x  2 xy  y 
2
n. x  6 x  9 
38
MÓDULO 4
7
EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DO 1º GRAU
Toda equação do tipo
números Reais e
é uma equação do 1º grau onde:
são
.
Ex:


–
A solução de uma equação é o valor para o qual a equação é verdadeira.
Ao substituir .o valor da incógnita na equação encontra-se o valor numérico da
mesma.
Ex: Para provar que
substituir o valor
é uma solução da equação
, deve-se
na equação e encontrar como resultado zero. Então:
–
. Logo
é raiz da equação.
Para resolver uma equação do 1º grau devem-se utilizar os princípios aditivo e
multiplicativo.
- Princípio aditivo – quando se adiciona um mesmo número aos dois membros
de uma equação obtêm-se uma nova equação de mesmo valor que a primeira.
- Princípio multiplicativo – quando se multiplica um mesmo número aos dois
membros de uma equação obtêm-se uma nova equação de mesmo valor que a
primeira.
7.1
Resolução de Equações do 1º grau ou Equações lineares
- Considere o conjunto Universo os números Reais:
- Ache o conjunto verdade da equação ou o conjunto solução resolvendo a
equação utilizando os princípios aditivo e multiplicativo.
Ex:

Dado U = , resolva as equações:
Equação 1:
Subtrair 5
39
Equação 2:
Subtrair 6
Multiplicar por -1
Equação 3:
Dividir por 2
Equação 4:
Multiplicar por 3
Equação 5:
Juntar os termos semelhantes
Adicionar 1
Subtrair
Dividir por 4
Simplificar
40
7.2
Inequações do 1º grau ou Inequações lineares
Usamos desigualdade para descrever, por exemplo, a ordem dos números sobre
a reta dos números Reais. A definição de uma inequação linear em x pode ser escrita na
forma:
;
;
;
Propriedades das desigualdades:
 Princípio aditivo – Quando se adiciona um mesmo número aos dois
membros de uma desigualdade, obtêm-se uma nova desigualdade de
mesmo sentido que a primeira.
 Princípio multiplicativo – Quando se multiplica ou se divide os dois
membros de uma desigualdade por um mesmo número positivo, obtêm-se
uma nova desigualdade de mesmo sentido que a primeira.
 Quando se multiplica ou se divide os dois membros de uma desigualdade
por um mesmo número negativo, obtêm-se uma nova desigualdade com
sentido invertido.
Resolver uma inequação em
significa encontrar todos os valores de
quais a inequação é verdadeira. Uma solução de uma inequação em
para os
é um valor de
que satisfaz a desigualdade. O conjunto de todas as soluções de uma inequação é o que
chamamos de conjunto verdade ou conjunto solução. O conjunto das soluções de uma
inequação linear forma um intervalo de números Reais.
Ex: Dado U = , resolva as inequações:
Inequação 1:
Resolver os parênteses
Juntar os termos semelhantes
Adicionar 1
Subtrair 3x
Subtrair 7
Dividir por 2
41
Inequação 2:
Multiplicar por 3
Subtrair 5
Dividir por 2
Exercícios
1. Determine o valor de
a.
b.
c.
d.
e. –
para
42
8
8.1
EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DO 2º GRAU
Resolução de equações do 2º grau
Equação do 2º grau é toda equação na forma
coeficientes
com
para os
.
Ex:


equação completa do 2º grau
equação incompleta do 2º grau

equação incompleta do 2º grau

equação incompleta do 2º grau
Para resolver uma equação completa do 2º grau usa-se a fórmula de Baskara:
ou
Ex:
 Considerando
. Para a equação:
, temos:
, logo a solução é dada por
Para resolver equações incompletas não é necessário utilizar a fórmula de
Baskara.
43
Ex: Considerando
Equação do tipo
.
Equação do tipo
Equação do tipo
:
que Fatorando-se
sempre anula a equação é temos
A resposta em
a
equação Isolando-se
a
incógnita
temos
, logo
Ex:
Ex:
Ex:
OBS: toda equação do 2º grau, cujo U= , tal que o discriminante é menor que zero
(
), não tem solução pertencente ao conjunto dos números Reais.
Ex:
Considerando o U= , e resolvendo a equação
como
, temos:
não é definido no conjuntos dos números Reais,
Exercícios
2. Considere o U= , resolva as equações a seguir:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
, ou seja,
44
8.2
Inequação do 2º grau
São inequações as desigualdades envolvendo o trinômio do 2º grau escrita nas
formas:
.
O sinal de
, depende do discriminante (
e do sinal
do coeficiente :
mesmo
sinal de
Contrário
do
sinal de
para
mesmo
sinal de
mesmo
sinal de
a solução de
para
mesmo
sinal de
mesmo
sinal de
a solução de
Exercícios resolvidos
Resolver as inequações do 2º grau, considerando U= :
Resolver
Resolver
ou
++++
-----
++++
++++
++++
++++++++++++++
45
Exercícios
3. Resolva as Inequações considerando U= :
a.
b.
c.
d.
e.
f.
46
MÓDULO 5
9
RELAÇÃO
9.1
Par ordenado
Denomina-se par todo conjunto formado por 2 elementos. Temos então que
{1, 2}, {2, 1}, {3, 2}, {2, 3} são pares de modo que {1, 2}={2, 1} e {3, 2}={2, 3}, ou
seja a ordem dos elementos do conjunto não influência na definição do mesmo.
Determinadas situações necessitam que sejam consideradas a ordem dos
elementos. Quando dizemos que um terreno tem as dimensões de 10m de frente e 20m
de comprimento dizemos que o terreno mede 10x20, ou seja, a primeira informação é
referente a dimensão frontal do terreno e a segunda refere-se ao comprimento. A
informação 20x10 significa que o terreno tem 20m de frente e 10 de comprimento.
Na Matemática nas situações em que são utilizadas 2 informações em conjunto,
onde a ordem é importante, faz-se uso do par ordenado (a,b) para designar o elemento
que tem as informações a e b, e cuja ordem é relevante, de modo que
. Dessa maneira para
, temos que
Por exemplo:


, para x e y as coordenadas do ponto no
plano cartesiano .
9.2
Produto cartesiano
Sejam A e B conjuntos não vazios. O conjunto de pares ordenados (x,y) que
pode ser formado, tal que x pertence a A e y pertence a B, denomina-se produto
cartesiano de A e B.
Notação:
.
Note que todos os elementos de A estão relacionados com todos os elementos
de B.
Para
, o produto cartesiano de A em B é dado por:
47
O produto cartesiano de B em A é dado por:
Os produtos cartesianos de A em A e B em B são dados respectivamente por:
9.3
Relação Binária
Dados os conjuntos A, B denomina-se relação binária de A em B, todo
subconjunto R de
, de maneira que
composto dos pares ordenados
associados
entre
si
mediante
. De modo que R é o conjunto
tal que
um
critério
e
de
,
onde x e y estão
relacionamento
ou
seja,
.
Ex:
 Para
 Para
e
temos que:
, composto pelos pares ordenados de
, temos
tal que
.
, ou seja,
48
 Para
de
composto pelos pares ordenados tal que
para
9.4
, ou seja,
temos que:
Gráfico de uma relação
O plano cartesiano é representado por duas retas Reais orientadas (eixos),
perpendiculares entre si, com a sua intersecção denominada Origem. O eixo horizontal
é denominado eixos das abscissas e o eixo vertical é denominado eixo das ordenadas.
A representação gráfica de uma relação é realizada pela marcação dos pares
ordenados
no plano cartesiano, de modo que
coordenadas de um ponto no plano, para
corresponde às
representado nas abscissas e
ordenadas. A origem é representada pelo par ordenado
, ou seja,
e
nas
.
Exemplo
 Para a relação
,
temos a representação gráfica dada por:

y









x
           
 Para
a
relação
temos
representação gráfica dada por:
y








x











a
49
 Para
a
relação
temos
a
representação gráfica dada por:

y








x











OBS: Atenção à notação de aberto e fechado nos pontos (1, 1) e (4, 4). Caso tenha
dúvidas veja representação dos Reais.
9.5
Domínio e Imagem
Seja R uma relação em
, ou seja,
denomina-
se Domínio de R o conjunto de todos os valores de
dos pares ordenados da
relação R.
Seja R uma relação em
, ou seja,
denomina-
se Imagem de R o conjunto de todos os valores de
dos pares ordenados da
relação R.
Exemplo:
Para
e
 Para a relação W dada pelo gráfico temos:

y







x








ou
ou

50
 Para a relação H dada pelo gráfico temos que:

y




x













ou
ou
 Para a relação I dada pelo gráfico, temos que:
y






x






ou
ou

51
Exercícios
1. Dado os gráficos, determine o Domínio e a Imagem da relações:
a.
b.
y
y












x






x


D=
D=
Im=
Im=
c.
d.

y
























y

x










x


D=
D=
Im=
Im=










52
MÓDULO 6
10 FUNÇÕES
Em várias situações do cotidiano nos deparamos com a necessidade de
relacionarmos duas grandezas. Por exemplo, ao se colocar uma chaleira com água no
fogo e, se for feito o acompanhamento da temperatura da água, verifica-se que, com o
passar do tempo, a temperatura da água aumenta. Logo se tem uma relação entre a
temperatura da água e o tempo, ou seja, a temperatura da água pode ser determinada em
função do tempo.
Em uma viagem de carro a distância percorrida, ou os quilômetros rodados,
aumentam conforme passa o tempo da viagem, estabelece-se então a relação entre
quilômetros percorridos e o tempo, ou seja, a distância percorrida pode ser determinada
em função do tempo.
Um alpinista, ao subir uma montanha, verifica que a temperatura diminui
conforme a altura em que se encontra. Logo se pode estabelecer uma relação entre
altura e temperatura, ou seja, pode-se determinar a temperatura em função da altura.
Deste modo a noção intuitiva de função é a relação de duas grandezas, de
maneira que o valor de uma delas pode ser determinado em função do valor da outra.
Definição: Dados 2 conjuntos A e B não vazios, uma função é uma relação
de A em B, onde cada elemento de A tem um único elemento correspondente de B.
Para as relações
entre
, para
o critério de relacionamento
e , temos que:
é função pois para cada
é função pois para cada
não é função pois alguns
existe um
existe um
se relacionam com mais de um
. Note que para
. Veja que para
cada elemento de A se tem
somente uma seta de partindo do
mesmo.
tem
e
se tem
se
, e para
e
.
53
Para as relações
entre

, para
o critério de relacionamento
e , temos que:
y

y




























x
x











y








é função pois para cada
é função pois para cada
existe um
existe um


x












não é função pois para cada
se tem dois
.
ponto
. No
,
e
,
note que para todos os valores de
se tem dois valores em , logo
não é uma função.
O critério de relacionamento geralmente é uma sentença aberta
que
expressa a lei, ou regra, mediante a qual para um dado valor , determina-se um valor
de
tal que
, isto é, a relação
.
Notação: Para representarmos uma função , definida em A com imagem em
B de acordo com a lei de correspondência
, usamos:
ou
Ex:
Seja
e a função
Como o conjunto A tem poucos elementos, é possível representar por extensão
o conjunto dos pares ordenados que pertencem a função
de
. Logo
e a Imagem dados respectivamente por
em
, para
e
com o Domínio
e
.
54
A representação de
no plano cartesiano é dada pelo gráfico:
y








x

Para a mesma função


de

em




, para
intervalo fechado, dado por

e
com
, um
, temos que
Como o conjunto A é um subconjunto dos Reais, o mesmo tem infinitos
elementos, não sendo possível representar a função por extensão como no exemplo
anterior. No plano cartesiano a função é representada pelo gráfico:
y








x

Para função
respectivamente dados por








, temos que os conjuntos Domínio e Imagem são
e
.
55
10.1 Características das funções
A análise matemática das características das funções permite uma compreensão
do comportamento das grandezas representadas pelas mesmas.
Por exemplo, para uma chaleira com água no fogo por um determinado período
de tempo, podemos determinar uma função que relaciona a temperatura da água e o
tempo, de maneira que podemos realizar análises sobre o comportamento da
temperatura. No caso podemos afirmar, com base na experiência empírica do dia a dia,
que a temperatura aumentará com o passar do tempo.
Para um experimento onde se coloca um recipiente com água a 25ºC em um
congelador temos que, com o passar do tempo, a temperatura da água diminuirá até 0ºC,
a água mudará do estado líquido para o sólido, e depois a temperatura continuará
diminuindo até -5ºC (temperatura mínima média para um congelador residencial).
Desta maneira as características de uma função
de
em
,
, são determinadas pela análise dos valores de y
para um dado valor .
10.2 Intervalo para função crescente e decrescente
Considerando que para cada valor de
definido por
tem-se um valor correspondente para ,
. Adotando-se uma variação crescente de
em um dado intervalo
, temos a noção intuitiva de que a função é:
 crescente no intervalo
, se os valores de y também são crescentes
no dado intervalo;
 decrescente no intervalo
se os valores de y decrescem no dado
intervalo.
Definição :
 para
de
em
, definida por
no intervalo [
 para
de
em
para
, definida por
no intervalo [
,
para
é crescente quando
tal que
,
.
é decrescente quando
tal que
.
Exemplo: Dada a função
representada no gráfico da a seguir, temos que a
função é crescente no intervalo
e decrescente no intervalo
.
56
y




x












10.2.1 Raiz da função
Denomina-se raiz ou zero da função, todo número
, ou seja, o conjunto de valores de
para
para o qual
.
Para a função exemplo dada pelo gráfico anterior, os pontos
estão sobre o eixo das abscissas, temos os valores de
dadas pelo conjunto solução, ou conjunto verdade,
e (5 , 0) que
, logo as raízes da função são
.
Algebricamente o(s) valor(es) da(s) raiz(es), são determinados pela solução da
equação
.
Exemplos:
 Para
a raiz é determinada pela solução de
, ou seja,
Logo o conjunto verdade é
 Para
a raiz é determinada pela solução de
,
ou seja,
usando método de Baskara para solucionar uma
equação de 2º grau igual a zero, temos
.
Logo o conjunto solução, ou conjunto verdade é
.
57
10.2.2 Intervalo para função positiva e negativa (sinais da função)
Considerando que para cada valor de
definido por
tem-se um valor correspondente para ,
, o estudo dos sinais da função significa determinar se
ou se
em um dado intervalo
. Logo temos que a função é:
 Positiva (+) no intervalo
variando no intervalo
, se
, ou seja,
para
, se
, ou seja,
para
;
 Negativa (-) no intervalo
variando no intervalo
;
Exemplo:
Dada a função
representada pelo gráfico, temos que a função é positiva
para o intervalo
(Verifique na função qual o valor de
e
para
) e negativa para o intervalo
(Verifique na função qual o valor de
para
e
).
y




x












Algebricamente podemos determinar o intervalo no qual a função é positiva
solucionando a inequação
e negativa solucionando a inequação
Ex:
 Para
a função é positiva para
, ou seja,
58
Logo o conjunto verdade é
 Para
a função é negativa para
, ou seja,
Logo o conjunto verdade é
Exercício resolvido
Para a função dada pelo gráfico a seguir determine as características da função:
OBS: Note que a função segue até a “borda” da imagem, isto denota a ideia de que a
mesma continua para o infito, ou seja, a função continua para
e para
.
y




x













 Raízes - para
, logo
 crescente no intervalo  decrescente no intervalo  positivo no intervalo - para
 negativo no intervalo - para
 crescente e positivo no intervalo - determinado pela intersecção do
intervalo no qual a função é crescente e do intervalo no qual a função é
positiva,
.
59
 crescente e negativa no intervalo - é determinado pela intersecção do
intervalo no qual a função é crescente e do intervalo no qual a função é
negativa,
.
Exercícios
1. Classifique a relações dadas como (V) para funções ou (F) para não funções:
a.
b.
y
y
x
x
60
c.
d.
y
y
x
x
2. Para as funções dadas, determine:
a raiz e o intervalo para
crescente intervalo para
eo
intervalo para

y
e crescente
y






x
x



















intervalo para
as raízes e o intervalo para
eo
intervalo para
decrescente
y
y








x
x


















61
MÓDULO 7
11 FUNÇÃO CONSTANTE
A função , definida no conjunto dos Reais, tal que para todo e qualquer
tem associado um, e somente um, número Real constante , ou seja, para
temos que
com
, é denominada como função constante.
Como exemplo temos a função
se que para
onde, pela regra de relação, verifica-
;
qualquer valor de
se
temos que
;
, logo para
.
Analisando as características da função exemplo
para
(domínio dos Reais):
 para qualquer valor de
temos que
, logo
 raízes - como não se tem um ponto no qual
, temos que o
conjunto solução, ou conjunto verdade é vazio,
 crescente no intervalo - para qualquer intervalo de
,
não tem
variação crescente, então não existe intervalo onde a função seja
crescente, logo o conjunto verdade é vazio,
 decrescente; para qualquer intervalo de
,
não tem variação
decrescente, então não existe intervalo onde a função seja decrescente,
logo o conjunto verdade é vazio,

ou o intervalo no qual a função é positiva; para qualquer valor de
temos
, logo
função,

, ou seja, o conjunto verdade é o domínio da
;
ou o intervalo no qual a função é negativa; para qualquer valor
de
temos

, logo para
o conjunto verdade é vazio,
 y
y


x




x













Analisando as características da função exemplo,
dos Reais):





para
(domínio
62
 para qualquer valor de
temos que
, logo
 raízes - como não se tem um ponto no qual
, temos que o conjunto
solução, ou conjunto verdade é vazio,
 crescente no intervalo - para qualquer intervalo de
,
não tem
variação crescente, então não existe intervalo onde a função seja
crescente, logo o conjunto verdade é vazio,
 decrescente no intervalo - para qualquer intervalo de
,
não tem
variação decrescente, então não existe intervalo onde a função seja
decrescente, logo o conjunto verdade é vazio,

ou o intervalo no qual a função é positiva; para qualquer valor de
temos

, logo
, ou seja, o conjunto verdade é vazio,
ou o intervalo no qual a função é negativa; para qualquer valor de
temos
, logo
, ou seja, o conjunto verdade é o domínio
da função,
12 FUNÇÃO DE 1° GRAU
As funções na forma
são
denominadas funções polinomiais de grau .
Para
, temos
com
e denominada como
função polinomial do 1º grau.
12.1 Função identidade
A função polinomial de 1° grau
, para
é
denominada como função identidade.
A função identidade
de
associado o próprio , ou seja, para
graficamente a função,
;
em
, tal que para todo e qualquer
com
temos
se tem
, representando
, verifica-se que para
, logo para qualquer valor de
;
temos que
.
63
Analisando as características da função
para
(domínio dos
Reais):
y


x









 para qualquer valor de
temos que
, logo
 raízes - para as raízes determinadas quando
, ou seja,
e para
, logo temos que o conjunto solução, ou conjunto verdade é
 crescente no intervalo; pela definição, se
, com
intervalo
e
no intervalo
, temos que a função é crescente no
. Como a função é crescente em todo o Domínio, o
conjunto solução, ou conjunto verdade é
 decrescente no intervalo - pela definição, se
, com
intervalo
e
no intervalo
, temos que a função é decrescente no
. Como a função não diminui em nenhum intervalo, o
conjunto verdade é vazio, V= ;

ou o intervalo no qual a função é positiva, é determinado pela
solução da inequação
verdade é

, para
logo, o conjunto
;
ou o intervalo no qual a função é negativa, é determinado pela
solução da inequação
verdade é
, para
logo, o conjunto
.
12.2 Função linear
A função polinomial de 1° grau
denominada como função linear.
, para
é
64
12.3 Função afim
A função polinomial de 1° grau
, para
é
denominada como função afim.
Por convenção adotamos
e
como coeficiente angular da função e
Seja
, então
. Denomina-se
como coeficiente linear da função.
e
dois pontos da função
temos
que:
subtraindo membro a membro temos que:
Desse modo para

, se:
então

para a função crescente;
então
para
a
função
decrescente.
Graficamente a função de 1º grau em
intercepta o eixo da ordenadas no ponto
Para
de
dos números Reais,
é representada por uma reta que
ou seja, para
em , ou seja, com
tem-se como Imagem o conjunto
de modo que qualquer número Real
abscissas, tem um número Real y correspondente no eixo das ordenadas.
Exemplos:
Analisando as características da função
, no eixo das
65
 para qualquer valor de
logo
temos um
, ou seja,
correspondente tal que
,
;
raízes - para as raízes determinadas quando
, com
logo temos que o conjunto solução, ou conjunto verdade é
 crescente no intervalo - pela definição, se
, com
intervalo
e
. Para
no intervalo
, temos que a função é crescente no
,
, logo a função é crescente em todo o
Domínio, então o conjunto solução, ou conjunto verdade é o Domínio,
 decrescente no intervalo - pela definição, se
, com
intervalo
e
no intervalo
, temos que a função é decrescente no
. Como a função é crescente em todo o Domínio, então o
conjunto verdade é vazio, V= ;

ou o intervalo no qual a função é positiva, é determinado pela
solução da inequação
, com
logo, o conjunto verdade é

ou o intervalo no qual a função é negativa, é determinado pela
solução da inequação
, para
logo, o conjunto verdade é
66
y
y









x







x













Analisando as características da função
 para qualquer valor de
logo
temos um
, ou seja,
correspondente tal que
,
;
 raízes - para as raízes determinadas quando
, para
d
 logo temos que o conjunto solução, ou conjunto verdade é
 decrescente no intervalo - pela definição, se
, com
intervalo
e
. Para
no intervalo
, temos que a função é decrescente no
,
, logo a função é decrescente em todo
o Domínio, então o conjunto solução, ou conjunto verdade é o Domínio,
 crescente no intervalo - pela definição, se
intervalo
, com
e
aumenta no
, temos que a função é crescente
67
no intervalo
. Como a função é decrescente em todo o Domínio, o
conjunto verdade é vazio, V= ;

ou o intervalo no qual a função é positiva, é determinado pela
solução da inequação
, com
logo, o conjunto verdade é

;
ou o intervalo no qual a função é negativa, é determinado pela
solução da inequação
, com
logo, o conjunto verdade é
.
68
MÓDULO 8
13 FUNÇÃO QUADRÁTICA
Para a função polinomial
, para
,
e
temos que
é
e
,
uma função polinomial do 2º grau.
Por convenção adota-se
para
e
, então
.
Graficamente a função de 2º grau em
é representada por uma curva
denominada de parábola.
 Para
a concavidade de parábola é voltada para cima com vértice
dado pelo ponto mínimo
 Para
temos que
a concavidade de parábola é voltada para baixo com vértice
dado pelo ponto máximo
temos que
Ex:
Para
temos
Para
cujo gráfico é dado pela curva
temos
cujo gráfico é dado pela curva
y
y




x

    












x
    

=





=





69
Raízes da função quadrática
Dado
 Se
, para
e
temos que
, a função tem duas raízes reais e distintas
y
y
x
 Se
x
, a função tem duas raízes reais e iguais
y
y
x
 Se
x
, a função não tem raízes reais
y
y
x
As raízes da função quadrática são determinadas em
e
x
para
e quando
. Logo
Ex:
 Determine as raízes da função
.
70
Logo a raiz da função é dada para
, isso significa que a parábola
tangencia o eixo x no ponto (1,0).
 Determine as raízes da função
Logo as raízes da função são
e
, isso significa que a parábola corta
o eixo x nos pontos (-1,0) e (3,0).
Vértice da parábola
Sendo o vértice representado pela intersecção do eixo de simetria com a
própria parábola, temos:
logo o vértice é dado pelo ponto
Pelos gráficos identifica-se que no vértice da parábola há a mudança de
comportamento da curva da função, entre decrescente e crescente, logo pela
concavidade da parábola e o vértice da função temos que as características de crescente
ou decrescente e Imagem são dadas para:

, a concavidade da função é voltada para cima, sendo o vértice o
ponto de mínimo da função, logo a função é decrescente para
e crescente para

, com
;
, a concavidade da função é voltada para baixo, sendo o vértice o
ponto de máximo da função, logo a função é crescente para
decrescente para
Sinal da função
Positivo
, com
.
e
71
 se
então
, para
as
raízes da função;
 se
então
, para
as raízes
, para
as raízes
da função;
 se
então
Negativo
 se
então
da função;
 se
então
, para
as
raízes da função;
 se
então
Simetria da parábola, o eixo de simetria da parábola é a reta paralela ao eixo y
(eixo das ordenadas) que passa pelo vértice, logo para todo ponto
a variação da função (
e
, tem-se um ponto
, tal que
tal que
ou seja, para

y

Para

,


 

x




O ponto (3,4) é simétrico ao ponto (-1,4)

Para
,
O ponto (0,1) é simétrico ao ponto (2,1)
72
Analisando as características da função
para
 Vértice da parábola para
 Imagem - para
;
 Raízes - para
 Para
, com
, logo a função tem duas raízes, resolvendo a equação
, temos que:


 crescente no intervalo - para
, logo temos que o intervalo
para função crescente é dada por
 decrescente no intervalo - para
, logo temos que o intervalo
para função decrescente é dada por
 como
então
para
, logo temos a solução para
função positiva no intervalo
 como
então
para
,logo temos a solução
para função negativa no intervalo
Analisando as características da função exemplo
para
 Vértice da parábola para
 Imagem – para
 raízes; para
, com
a função não tem raízes em , logo temos que
para
73
 crescente no intervalo - para
, logo temos que o intervalo
para função crescente é dada por
intervalo
 para
e decrescente no
, dado por
e
então
para todo
intervalo para função positiva é dada por
, logo temos que o
e o intervalo para função
negativa é dado por
Exercícios
1. Determine as características das funções quadráticas:
a.
b.
c.
d.
e.
74
MÓDULO 9
14 EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS
14.1 Equação exponencial
Equação exponencial é uma equação cuja incógnita encontra-se no expoente.
Ex:


A solução da equação exponencial pode ser realizada através da:
- Decomposição dos termos em uma mesma base
Ex:

decompondo-se2em bases iguais,
,
desconsideram-se as bases igualando somente os expoentes, então temos
, logo

Decompondo-se em bases iguais,
desconsideram-se as bases igualando somente os expoentes, então temos
, logo
- Substituição do termo
por
, para
a incógnita e
incógnita qualquer
Ex:

decompondo para obter os termos na forma
substituindo
2
, temos
Veja as propriedades das potências.
temos
a base e
uma
75
voltando à condição
, logo
14.2 Inequação exponencial
Inequação exponencial é uma desigualdade entre expressões cuja incógnita
encontra-se no expoente.
Ex:


A solução da inequação exponencial pode ser realizada através dos mesmos
métodos da equação exponencial.
Ex
Para
Para
Atenção ao sinal negativo na incógnita e a
inversão da desigualdade
Para
para
veja solução de inequações do 2º grau
voltando à condição
76
logo
Exercícios
1. Resolva x para as equações e inequações:
a.
b.
c.
d.
e.
, para
f.
g.
h.
i.
j.
k.
l.
m.
n.
o.
p.
q.
r.
, resolva usando
77
15 FUNÇÕES EXPONENCIAIS
Para a função
na forma
denomina-se a
, para
=base tal que
como uma função exponencial.
Ex:
Graficamente a função exponencial,
para
em
tem a forma
para
y
y
x
x
As características da função exponencial
 Raízes - a função exponencial na sua forma geral,
, não tem raiz.
 Imagem - na sua forma geral,
;
,
 Crescente no intervalo - para
Domínio, ou seja,
a função é crescente para todo o
;
 Decrescente no intervalo - para
todo o Domínio, ou seja,

na sua forma geral,
seja,

a função é decrescente para
;
,
para todo o Domínio, ou
;
na sua forma geral,
,
As características da função exponencial na forma
 Raízes - função exponencial tem raiz em
, logo
,
78
Ex
, logo para
,
 Crescente no intervalo - para
Domínio, ou seja,
, ou seja,
a função é crescente para todo o
;
 Decrescente no intervalo - para
todo o Domínio, ou seja,
a função é decrescente para
;
 Positiva no intervalo – para:
para
o
logo
para
o
;
logo
;
 Negativa no intervalo – para:
para
o
logo
para
o
;
logo
y
;
y
x
Exercícios
2. Esboce os gráficos e analise as características das funções:
a.
b.
c.
x
79
16 LOGARITMO
Denomina-se logaritmo de um número
o número
, para
, para
, tal que
em uma base ,
, se, e somente se,
, para
logaritmando ou antilogaritmo
base ou sistema
é o logaritmo.
OBS: quando a base não é especificada,
, temos que
, logo
.
Para uma base
, onde
, denominado como número de
Euler, temos que
Ex:

, logo 4 é logaritmo de 16 na base 2;

logo -2 é logaritmo de
na
logo
é
base 7;

logaritmo de
na base .
Propriedade dos logaritmos








80
Aplicando as propriedades
 Para
e
 Para
e
17 EQUAÇÃO LOGARÍTMICA
A equação logarítmica é a uma equação cuja incógnita encontra-se no
logaritmando ou na base.
Ex:
A solução da equação logarítmica, com a incógnita no logaritmando, é
realizada através da solução da equação exponencial equivalente à logarítmica.
OBS:
para
o
logaritmo
denomina-se
condição
de
existência
.
Ex:
Exercícios
1. Calcule os logaritmos
a.
=
b.
=
c.
=
d.
=
e.
f.
g.
h.
i.
j.
2. Para
logaritmos determine:
e usando das propriedades de
81
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
82
18 FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Para a função
na forma
denomina-se a
, para
=base tal que
como uma função logarítmica de base .
Ex:


Graficamente a função logarítmica,
em
para
para
y
y
tem a forma
x
x
As características da função logarítmica,
 Pela condição de existência
logo
,
;

 Raiz, a função logarítmica tem uma raiz para
 Imagem para qualquer
Reais, logo
;
no Domínio existe um y correspondente nos
;
 Crescente; para
a função é crescente para todo o Domínio, ou seja,
;
 Decrescente; para
ou seja,

a função é decrescente para todo o Domínio,
;
para
o
o
a função é crescente, logo a função é positiva para
;
a função é decrescente, logo a função é positiva para
;
83

para
a função é crescente, logo a função é negativa para
o
;
a função é decrescente, logo a função é negativa para
o
.
Analisando a característica da função
 Pela condição de existência
,
, logo

;
;
 Raiz;
,
logo
 Para
, logo a função é crescente para todo o
Domínio, então
; e não é decrescente para nenhum
intervalo de
 Como a função é crescente é positiva,
=
; e negativa, para
, para
, logo
, logo considerando o domínio
;
Exercícios
3. Utilizando a condição de existência determine o domínio das funções
a.
b.
c.
4. Analise a característica das funções
a.
b.
c.
5. Uma população de bactérias começa com 100 e dobra a cada três horas. Assim, o
t
número n de bactérias após t horas é dado pela função n(t)  100.2 3 . Nessas
condições, pode-se afirmar que a população será de 51.200 bactérias depois de:
a) 1 dia e 3 horas.
b) 1 dia e 9 horas.
84
c) 1 dia e 14 horas. d) 1 dia e 19 horas. (Resposta: A)
MÓDULO 10
19 Trigonometria no Triângulo Retângulo
A trigonometria é um ramo da Matemática que estuda as relações entre os
comprimentos dos lados e ângulos do triângulo retângulo.
As primeiras aplicações estavam ligadas à Topografia e Astronomia,
atualmente é utilizada nos mais diversos campos do conhecimento humano.
Razões trigonométricas
Considerando o ângulo
a partir dos pontos
entre 2 segmentos de reta, e traçando
as perpendiculares
Os triângulos
.
obtidos são triângulos retângulos e são
semelhantes entre si.
Dessas semelhanças estabelecemos as razões
Tais razões são denominadas razões
trigonométricas.
Considerando o triângulo retângulo ABC
85
Denomina-se como hipotenusa o segmento oposto ao ângulo de 90º, logo o
segmento
é a hipotenusa do triângulo ABC.
Denomina-se como cateto oposto o segmento oposto ao ângulo de referência,
logo o segmento
é o cateto oposto em relação a
e o segmento
éo
cateto oposto em relação a .
Denomina-se como cateto adjacente o segmento adjacente ao ângulo de
referência, e que não é a hipotenusa, logo o segmento
relação a
e o segmento
é o cateto adjacente em
é o cateto adjacente em relação a .
Desse modo temos as relações
 Seno
e
Deste
modo
para
um
qualquer
e
,
temos
que
um
qualquer
e
,
temos
que
um
qualquer
e
,
temos
que
 Cosseno
e
Deste
modo
para
 Tangente
e
Deste
OBS
modo
para
dividindo o numerador e o denominador por
Ex:
86
Para
Para
Unidade de ângulo
Grau é a medida do ângulo para
da circunferência, ou seja,
do ângulo reto.
Radiano é a medida do ângulo central correspondente a um arco de
circunferência de comprimento igual ao raio.
Relações trigonométricas de um triângulo qualquer
Para um triângulo ABC qualquer são estabelecidas as relações:
87
 Lei dos senos
As medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos
88
 Lei dos cossenos
O quadrado da medida de um lado é igual a soma dos quadrados dos demais
lados, menos duas vezes o produto destes lados pelo cosseno do ângulo formado por
eles.
OBS: para o triângulo retângulo com
temos:
como
Ex:
Exercícios resolvidos
OBS: verifique que a calculadora usada esteja em graus antes de executar os cálculos
Dado o triângulo retângulo ABC, determine
:
89
Dado o triângulo ABC, determine
e :
Exercícios
1. Calcular
2. Num triângulo retângulo a hipotenusa mede 10 cm e um dos seus ângulos
agudos mede 30°. Determine a área desse triângulo.
3. Uma árvore projeta uma sombra de 8m no solo quando o sol está a 34°
acima da linha do horizonte. Qual a altura da árvore?
4. Uma escada de 5 m é encostada em uma parede, formando com ela um ângulo
de 60°. A que altura da parede a escada se apoia?
5. Utilizando a Lei dos cossenos encontre o valor de x
6. Determine o valor de x:
90
7. Em um triângulo os lados de medida 6
cm e 8 cm formam um ângulo de 30º.
Determine a medida do terceiro lado.
20 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Circunferência orientada - é qualquer circunferência na qual se adota um
sentido de percurso para os arcos, a partir de um ponto de referência, denominado
origem dos arcos.
OBS: Na Matemática adotou-se o sentido antihorário como positivo.
Ciclo trigonométrico - é uma circunferência orientada, de raio unitário. Para o
centro da circunferência coincidindo com a origem do sistema cartesiano ortogonal, são
obtidas quatro regiões denominadas quadrantes.
Relações trigonométricas - são as relações definidas no ciclo trigonométrico
para um arco x.
91
Relações trigonométricas:
92
20.1 Função seno
É a função real que associa a cada
o valor de
ou o intervalo
y

x

 










 


Características da
 Raízes –
em
em
temos
;
 Intervalo crescente – no intervalo
peridiocidade em
temos
considerando a
;
considerando a peridiocidade
;
 Intervalo negativo – no intervalo
peridiocidade em
;
temos
 Intervalo positivo – no intervalo
em
considerando a
temos
 Intervalo decrescente – no intervalo
peridiocidade em
considerando a peridiocidade
temos
considerando a
.
93
20.2 Função cosseno
É a função real que associa a cada
o valor de
ou o intervalo
y

x

 










 


Características da
 Raízes –
peridiocidade em
em
temos
 Intervalo crescente – no intervalo
peridiocidade em
temos
 Intervalo negativo – no intervalo
em
temos
considerando a
;
considerando a
temos
 Intervalo positivo – no intervalo –
em
;
temos
 Intervalo decrescente – no intervalo
peridiocidade em
considerando a
;
considerando a peridiocidade
;
considerando a peridiocidade
.
94
21 Função tangente
É a função real que associa a cada









, o valor de










ou



Características da
 Raízes –
em
em
considerando a peridiocidade
temos
;
 Intervalo crescente – em todo o domínio, logo
ou
;
 Intervalo decrescente – a função tangente não é decrescente para o
Domínio logo
;
 Intervalo positivo – no intervalo
em
considerando a peridiocidade
emos
 Intervalo negativo – no intervalo
peridiocidade em
temos
considerando a
.
95
21.1 Função secante
É a função real que associa a cada



















o valor de
ou





Características da
 Raízes – não tem raízes
 Intervalo crescente – no intervalo
peridiocidade em
, considerando a
emos
;
 Intervalo decrescente – no intervalo
peridiocidade em
, considerando a
emos
;
 Intervalo positivo – no intervalo
em
emos
 Intervalo negativo – no intervalo
em
considerando a peridiocidade
temos
considerando a peridiocidade
.
96
21.2 Função cossecante
É a função real que associa a cada



















,
o valor de
ou





Características da
 Raízes – não tem raízes
 Intervalo crescente – no intervalo
peridiocidade em
temos
 Intervalo decrescente – no intervalo
peridiocidade em
emos
, considerando a peridiocidade
;
 Intervalo negativo – no intervalo
peridiocidade em
considerando a
emos
 Intervalo positivo – no intervalo
em
considerando a
emos
, considerando a
.
97
21.3 Função cotangente
É a função real que associa a cada









,o
valor de
ou











Características da
 Raízes –
em
em
considerando a peridiocidade
temos
;
 Intervalo crescente – a função cotangente não é crescente para o Domínio
logo
;
 Intervalo decrescente – em todo o domínio, logo
ou
;
 Intervalo positivo – no intervalo
em
temos
 Intervalo negativo – no intervalo
em
emos
considerando a peridiocidade
;
considerando a peridiocidade
98
REFERÊNCIAS
BAYER, Arno, et al. Matemática Tópicos Básicos. Canoas: ULBRA, 1999.
DEMANA, Franklin d. et al. Pré-Cálculo. São Paulo: Pearson, 2009.
FERNANDEZ, Vicente Paz e YOUSSEF, Antonio Nicolau. Matemática para o 2º grau.
São Paulo:Scipione, 1992.
GIOVANI, José Ruy e BONJORNO, José Roberto. Matemática Completa. São Paulo:
FTD, 2005.
MACHADO, Antonio dos Santos. Matemática – Temas e Metas; Conjuntos Numéricos
e Funções. São Paulo: Atual, 1986.