Trigonometria no Triângulo
Retângulo
Setembro de 2007
2ª Série - Ensino Médio
Prof. Cristiano Silva dos Santos
[email protected]
Introdução
Índice de Subida
Relacionando ângulo com o Índice de subida
Tangente
(Ex. Resolvido 1)
(Ex. Resolvido 2)
Seno
Co-seno
(Exercício Resolvido 3)
Resumo
Introdução
Observe uma pessoa que sobe dois tipos de rampa:
Dizemos que a segunda rampa é mais íngreme ou
tem aclive maior, pois seu ângulo de subida é
maior (55º > 30º)
Vejamos agora a seguinte situação problema: Sem
conhecer os ângulos de subida, como saber qual das
duas rampas é mais íngreme?
Para situações como essa, que envolvem lados e
ângulos de um triângulo retângulos, é que
buscaremos soluções a partir de agora.
Índice de Subida
Para cada ponto P de uma subida, temos uma altura,
um percurso e um afastamento.
Ponto
C
B
A
1m
2m
4m
Altura
Afastamento
A
1m
2m
B
2m
4m
C
4m
8m
Índice de Subida = Altura . = 1
Afastamento 2
2m
4m
8m
A razão entre altura e afastamento é sempre uma
constante, no exemplo anterior era 1/2 (Índice de
Subida)
Na figura abaixo, temos, por exemplo uma rampa
com índice de subida
igual a 2/3
Relacionando ângulo de subida e
índice de subida
Até agora verificamos quanto uma subida é íngreme
usando o ângulo de subida ou então o índice de
subida
A<B
h1 < h2
a1 a 2
Quanto maior o ângulo de subida, mais íngreme é a subida
Quanto maior o índice de subida, mais íngreme é a subida
Vejamos o problema Inicial:
Na 1ª Rampa: índice = 3/4 = 0,75
Na 2ª Rampa: índice = 5/7 = 0,714
Portanto a 1ª Rampa é mais íngreme do que a
segunda, pois 0,75 > 0,714
A Idéia de Tangente
O índice de subida, em uma rampa, chamaremos
de Tangente em um Triângulo Retângulo.
Tg x = Cat.Oposto
Cat. Adjacente
Exercício Resolvido 1
Determine o valor da tangente do ângulo
“x” indicado no triângulo abaixo. É
possível saber que ângulo é esse?
Tg x = Cat Opos = a =
Cat Adjac 2
2
= 2,82
a
62 = a2 + 22
Usando a tabela
36 - 4 = a2
tg x = 2,82
a=
então x = 71º
Exercício Resolvido 2
Para determinar a altura de uma torre, um topógrafo coloca um
teodolito a 100m de sua base e obtém um ângulo de 30º,
conforme ilustra a figura. Sabendo que a luneta do teodolito
está a 1,70m do chão, qual é a altura aproximada da torre?
Tg 30º = cat.opos
cat.adjac
0,58 = h
h = 58 m
100
Logo: 58 + 1,70 = 59,70m
Na tabela tg 30º = 0,58
Seno
Em qualquer subida, é a razão entre a
altura e o percurso, observe no triângulo
retângulo
sen x = Cat.Oposto
Hipotenusa
Co-Seno
Em qualquer subida, é a razão entre o
afastamento e o percurso, observe no
triângulo retângulo
cos x = Cateto Adjacente
Hipotenusa
Resumindo
Tg x = Cat.Oposto
Cat. Adjacente
sen x = Cat.Oposto
Hipotenusa
cos x = Cateto Adjacente
Hipotenusa
“ SOH CAH TOA”
Exercício Resolvido 3
Um avião levanta vôo e sobe fazendo um ângulo de 15º com a
horizontal. A que altura ele estará e qual a distância percorrida
quanto sobrevoar uma torre a 2 Km do ponto de partida?
Altura:
tg 15º = CO
CA
0,268 = x
2000
x = 536m
Distância: cos 15º =
CA
H
0,966 = 2000
d
d = 2070,39m
Bibliografia
DANTE, L.R. Matemática Contexto e Aplicações.
Volume único. 2ªEdição. 1ªImpressão. Ed.Ática 2004.
São Paulo - SP
SANTOS, C.S. dos. Trigonometria. 2003. POA-RS.
PAIVA, M. Matemática. Volume Único - Ens.Médio.
1ªEdição. Moderna. 2003.São Paulo - SP.
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