Universidade da Beira Interior
Matemática (Marketing)
2º TESTE
Duração: 1h 40m
–
2011-01-17
Escreva o seu nome, número e versão de teste em cada folha que entregar.
– Não é permitido o uso de calculadora nem de qualquer formulário.
– Apresente todos os cálculos que efectuar.
VERSÃO A
1.
[2*1,0]
Determine o conjunto solução das equações seguintes:
b) e 5−3 x = 10
a) x ln x − ln x 2 = 0
2.
[4*1,0]
Aplicando as regras de derivação, calcule a primeira derivada das funções seguintes:
x4
+ 4x 2 − x + 7
5
a)
f ( x) =
b)
f ( x) = x 3 x
c) f ( x) = ln (e 3 x + x 2 )
d) f ( x) = 2(1 − 2 x 4 ) 5
3. Seja:
⇐ x ≤ −4
x + 2
 2
f ( x) =  x − 16
⇐ x > −4

 x+4
a)
[0,5]
Calcule f (0).
b)
[1,0]
Estude a continuidade de f (x) para x = – 4.
4. A partir de 1998, o custo de um anúncio de 10 segundos na TV, no horário nobre, tem
aumentado de forma exponencial. Um estudo mostrou que o custo de um anúncio de 10
segundos era de 50€, em 2000, e de 500€, em 2010.
a) [1,5] Determine a função exponencial que estima o custo de um anúncio de 10 segundos,
no horário nobre, ao longo do tempo.
(Sugestão: considere a função exponencial C = f (t) = a.ebt, onde C é igual ao custo de um
anúncio de 10 segundos (em €), t é o tempo medido desde 1998 (em anos) e a e b são as
constantes a determinar.)
b)
[0,5]
Determinada a função exponencial da a), se pretendêssemos estimar o custo de um
anúncio de 10 segundos, em 2014, qual seria o valor a considerar para t ?
1
5. A função procura de um dado produto é dada pela função seguinte:
q = f (p) = 100 – 4p
onde q é dado em unidades e p é dado em euros.
a)
[0,5]
Quantas unidades serão procuradas ao preço de 10 euros?
b)
[1,0]
Qual é o domínio e o contra-domínio restritos da função procura?
c)
[1,0]
Determine qual é a função receita total R = g (p) (onde R é uma função de p).
d)
[1,0]
Qual é o preço (em €) que torna a receita total máxima?
6. Considere a função seguinte:
f ( x) =
1− x
x2
Determine:
7.
a)
[0,5] O
b)
[1,0] As
c)
[1,0]
Os intervalos onde f (x) é crescente; os intervalos onde f (x) é decrescente.
d)
[0,5]
Os eventuais pontos máximos e mínimos relativos de f (x).
e)
[1,0]
Os intervalos do sentido da concavidade de f (x).
f)
[0,5]
Os eventuais pontos de inflexão de f (x).
g)
[0,5]
Esboce o gráfico de f (x).
[2,0]
domínio e os pontos de intersecção com os eixos de f (x).
equações das assímptotas do gráfico de f (x).
Se f (x) é uma função diferenciável e g(x) = x f (x), use a definição de derivada para
mostrar que g’(x) = x f ’(x) + f (x).
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Universidade da Beira Interior
Matemática (Marketing)
2º TESTE
Duração: 1h 40m
–
2011-01-17
Escreva o seu nome, número e versão de teste em cada folha que entregar.
– Não é permitido o uso de calculadora nem de qualquer formulário.
– Apresente todos os cálculos que efectuar.
VERSÃO B
1.
[2*1,0]
Determine o conjunto solução das equações seguintes:
b) e 5− 2 x = 10
a) x ln x − ln x 3 = 0
2.
[4*1,0]
Aplicando as regras de derivação, calcule a primeira derivada das funções seguintes:
x6
+ 4x 2 − x + 7
5
c)
f ( x) =
d)
f ( x) = x 4 x
c) f ( x) = ln (e 4 x + x 2 )
d) f ( x) = 2(1 − 2 x 4 ) 4
3. Seja:
⇐ x ≤ −4
x + 2
 2
f ( x) =  x − 16
⇐ x > −4

 x+4
c)
[0,5]
Calcule f (4).
d)
[1,0]
Estude a continuidade de f (x) para x = – 4.
4. A partir de 1998, o custo de um anúncio de 10 segundos na TV, no horário nobre, tem
aumentado de forma exponencial. Um estudo mostrou que o custo de um anúncio de 10
segundos era de 50€, em 2000, e de 500€, em 2009.
a) [1,5] Determine a função exponencial que estima o custo de um anúncio de 10 segundos,
no horário nobre, ao longo do tempo.
(Sugestão: considere a função exponencial C = f (t) = a.ebt, onde C é igual ao custo de um
anúncio de 10 segundos (em €), t é o tempo medido desde 1998 (em anos) e a e b são as
constantes a determinar.)
b)
[0,5]
Determinada a função exponencial da a), se pretendêssemos estimar o custo de um
anúncio de 10 segundos, em 2012, qual seria o valor a considerar para t ?
3
5. A função procura de um dado produto é dada pela função seguinte:
q = f (p) = 100 – 5p
onde q é dado em unidades e p é dado em euros.
e)
[0,5]
Quantas unidades serão procuradas ao preço de 10 euros?
f)
[1,0]
Qual é o domínio e o contra-domínio restritos da função procura?
g)
[1,0]
Determine qual é a função receita total R = g (p) (onde R é uma função de p).
h)
[1,0]
Qual é o preço (em €) que torna a receita total máxima?
6. Considere a função seguinte:
f ( x) =
1− x
x2
Determine:
7.
h)
[0,5] O
i)
[1,0] As
j)
[1,0]
Os intervalos onde f (x) é crescente; os intervalos onde f (x) é decrescente.
k)
[0,5]
Os eventuais pontos máximos e mínimos relativos de f (x).
l)
[1,0]
Os intervalos do sentido da concavidade de f (x).
m)
[0,5]
Os eventuais pontos de inflexão de f (x).
n)
[0,5]
Esboce o gráfico de f (x).
[2,0]
domínio e os pontos de intersecção com os eixos de f (x).
equações das assímptotas do gráfico de f (x).
Se f (x) é uma função diferenciável e g(x) = x f (x), use a definição de derivada para
mostrar que g’(x) = x f ’(x) + f (x).
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Universidade da Beira Interior
Matemática (Marketing)
TESTE GLOBAL
Duração: 2h
–
2011-01-17
Escreva o seu nome, número e versão de teste em cada folha que entregar.
– Não é permitido o uso de calculadora nem de qualquer formulário.
– Apresente todos os cálculos que efectuar.
VERSÃO A
1.
[1,5] Por
análise gráfica, indique o conjunto solução do sistema de equações seguinte.
 − x + y = −1

− x + y = 1
2.
[2,0]
Pelo método de eliminação de Gauss, calcule o conjunto solução do sistema de
equações seguinte.
2 x − y + 3 z = 4

x + y + z = 6
4 x + 5 y − 10 z = 13

3. Considere as matrizes seguintes:
 3 − 2 2

A = 
 − 1 5 4
4.
a)
[1,0] Se
b)
[1,5]
[1,5] Pela
B = (1 3 2 )
possível, calcule o determinante de A. Se não for possível, justifique.
Calcule 2A.BT.
regra de Cramer, calcule o conjunto solução do sistema de equações seguinte.
3x + 2 y = 5

6 x + 4 y = 10
5.
[1,5]
Calcule a matriz inversa da matriz A seguinte,
3
 4

A = 
 − 2 − 1
5
6.
[2*1,0] Aplicando
as regras de derivação, calcule a primeira derivada das funções seguintes:
x
2
a) f ( x) = x 4 x
7.
[1,5]
b) f ( x) = (1 − x 3 + ) 4
A partir de 1998, o custo de um anúncio de 10 segundos na TV, no horário nobre, tem
aumentado de forma exponencial. Um estudo mostrou que o custo de um anúncio de 10
segundos era de 50€, em 2000, e de 500€, em 2010. Determine a função exponencial que
estima o custo de um anúncio de 10 segundos, no horário nobre, ao longo do tempo.
(Sugestão: considere a função exponencial C = f (t) = a.ebt, onde C é igual ao custo de um
anúncio de 10 segundos (em €), t é o tempo medido desde 1998 (em anos) e a e b são as
constantes a determinar.)
8. A função procura de um dado produto é dada pela função seguinte:
q = f (p) = 100 – 4p
onde q é dado em unidades e p é dado em euros.
i)
[0,5]
Quantas unidades serão procuradas ao preço de 10 euros?
j)
[1,0]
Determine qual é a função receita total R = g (p) (onde R é uma função de p).
k)
[1,0]
Qual é o preço (em €) que torna a receita total máxima?
9. Considere a função seguinte:
f ( x) =
1− x
x2
Determine:
o)
[0,5] O
domínio e os pontos de intersecção com os eixos de f (x).
p)
[1,0] As
q)
[1,0]
Os intervalos onde f (x) é crescente; os intervalos onde f (x) é decrescente.
r)
[0,5]
Os eventuais pontos máximos e mínimos relativos de f (x).
s)
[1,0]
Os intervalos do sentido da concavidade de f (x).
t)
[0,5]
Os eventuais pontos de inflexão de f (x).
u)
[0,5]
Esboce o gráfico de f (x).
equações das assímptotas do gráfico de f (x).
6
Universidade da Beira Interior
Matemática (Marketing)
TESTE GLOBAL
Duração: 2h
–
2011-01-17
Escreva o seu nome, número e versão de teste em cada folha que entregar.
– Não é permitido o uso de calculadora nem de qualquer formulário.
– Apresente todos os cálculos que efectuar.
VERSÃO B
1.
[1,5] Por
análise gráfica, indique o conjunto solução do sistema de equações seguinte.
 x + y = −1

x + y = 1
2.
[2,0]
Pelo método de eliminação de Gauss, calcule o conjunto solução do sistema de
equações seguinte.
2 x − y + 3 z = 4

x + y + z = 6
4 x + 5 y − 10 z = 13

3. Considere as matrizes seguintes:
 3 −2 2 

A = 
 − 1 5 − 4
4.
c)
[1,0] Se
d)
[1,5]
[1,5] Pela
B = (1 3 2 )
possível, calcule o determinante de A. Se não for possível, justifique.
Calcule 3A.BT.
regra de Cramer, calcule o conjunto solução do sistema de equações seguinte.
3x + 2 y = 5

6 x + 4 y = 10
5.
[1,5]
Calcule a matriz inversa da matriz A seguinte,
3
 4

A = 
 − 2 − 1
7
6.
[2*1,0]
Aplicando as regras de derivação, calcule a primeira derivada das funções seguintes:
x
2
a) f ( x) = x 3 x
7.
[1,5]
b) f ( x) = (1 − x 3 + ) 5
A partir de 1998, o custo de um anúncio de 10 segundos na TV, no horário nobre, tem
aumentado de forma exponencial. Um estudo mostrou que o custo de um anúncio de 10
segundos era de 50€, em 2000, e de 500€, em 2009. Determine a função exponencial que
estima o custo de um anúncio de 10 segundos, no horário nobre, ao longo do tempo.
(Sugestão: considere a função exponencial C = f (t) = a.ebt, onde C é igual ao custo de um
anúncio de 10 segundos (em €), t é o tempo medido desde 1998 (em anos) e a e b são as
constantes a determinar.)
8. A função procura de um dado produto é dada pela função seguinte:
q = f (p) = 100 – 5p
onde q é dado em unidades e p é dado em euros.
l)
[0,5]
Quantas unidades serão procuradas ao preço de 10 euros?
m)
[1,0]
Determine qual é a função receita total R = g (p) (onde R é uma função de p).
n)
[1,0]
Qual é o preço (em €) que torna a receita total máxima?
9. Considere a função seguinte:
f ( x) =
1− x
x2
Determine:
v)
[0,5] O
domínio e os pontos de intersecção com os eixos de f (x).
w)
[1,0] As
x)
[1,0]
Os intervalos onde f (x) é crescente; os intervalos onde f (x) é decrescente.
y)
[0,5]
Os eventuais pontos máximos e mínimos relativos de f (x).
z)
[1,0]
Os intervalos do sentido da concavidade de f (x).
aa)
[0,5]
Os eventuais pontos de inflexão de f (x).
equações das assímptotas do gráfico de f (x).
bb) [0,5] Esboce o gráfico de f (x).
8