2.1
Fundamentos Básicos
Recordemos que uma aplicação (ou transformação) entre espaços vetoriais T : V ! W é linear
quando:
(a) T (u + v) = T (u) + T (v) ;
(b) T (
u) =
T (u) ;
u; v 2 V:
u2V e
2 F:
Podemos condensar essas duas condições em uma só e a…rmar que T : V ! W é linear quando
T(
u + v) =
T (u) + T (v) ;
2 F;
u; v 2 V:
É oportuno ressaltar que se T : V ! W é linear, então T (0) = 0 (os vetores nulos de V e W estão
representados pelo mesmo símbolo 0). Assim, se T (0) 6= 0, a aplicação T não é linear.
Exemplo A aplicação T : R2 ! R3 , de…nida por T (x; y) = (x; y; 1) não é linear, porque
T (0; 0) = (0; 0; 1) não é 0.
Exemplo A transformação T : R3 ! R2 , de…nida por T (x; y; z) = (x; yz) não é linear,
embora T (0; 0; 0) = (0; 0). Se u = (0; 0; 1) e v = (0; 1; 0), temos que
T (u + v) 6= T u + T v:
Exemplo A transformação T : P2 ! R de…nida por T (p) = 1 + p (0) não é linear, porque
T (0) = 1 6= 0:
Exemplo As translações T (x; y) = (x + a; y + b) não são lineares, exceto no caso em que a
e b são ambos nulos.
Exemplo A projeção P : R3 ! R3 ; no plano xy, de…nida por P (x; y; z) = (x; y; 0) é linear.
Também é linear a projeção no eixo y dada por P (x; y; z) = (0; y; 0) :
TRANSFORMAÇÕES ELEMENTARES DO PLANO
Uma transformação linear T : R2 ! R2 além de
descrever o tipo mais simples de dependência entre duas variáveis, goza de uma propriedade geométrica interessante: ela transforma retas em retas e circunferências em circunferências. Vejamos
algumas transformações especiais.
COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS
1.
APLICAÇÃO LINEAR
CONTRAÇÕES & DILATAÇÕES
47
Dado um número real positivo , as transformações T :
R2 ! R2 , de…nidas por T (v) = v, isto é, T (x; y) = ( x; y), recebem o nome de contração ou
dilatação, conforme seja
menor ou maior do que 1.
Figura 2.1: Contração & Dilatação
2.
REFLEXÕES
As transformações Rx ; Ry e R0 de R2 ! R2 , de…nidas por Rx (x; y) =
(x; y) ; Ry (x; y) = ( x; y) e R0 (x; y) = ( x; y), recebem os nomes de re‡exão no eixo x,
re‡exão no eixo y e re‡exão na origem, respectivamente. Veja a ilustração na Figura 2.2.
Figura 2.2: Re‡exões.
3.
ROTAÇÃO
A transformação linear R : R2 ! R2 , de…nida por
R (x; y) = (x cos
y sen ; x sen + y cos )
é conhecida por rotação de um ângulo . Veja a Seção 1.6.
4.
CISALHAMENTOS
Por cisalhamento horizontal, entendemos qualquer transformação C :
R2 ! R2 , do tipo C (x; y) = (x + y; y) ; sendo
um cisalhamento em que
uma constante real. Na Figura 2.3 ilustramos
> 1. Como seria um cisalhamento vertical ?
48
ÁLGEBRA LINEAR
MARIVALDO P. MATOS
Figura 2.3: Cisalhamento Horizontal.
Exemplo Seja S o quadrado de vértices O (0; 0) ; A (1; 0) ; B (1; 1) e C (0; 1). Vamos encontrar a imagem de S pela transformação linear T (x; y) = (x
y; x + 2y). A imagem T (S) é o
quadrilátero ilustrado na Figura 2.4, de vértices
T (0) = (0; 0) ;
T (A) = (1; 1) ;
T (B) = (0; 3)
e
T (C) = ( 1; 2)
Figura 2.4: Imagem de um Quadrado.
2.1A
Veri…que quais das aplicações T : Rm ! Rn abaixo são lineares.
(a) T : R2 ! R2 , T (x; y) = (x
(b) T : R2 ! R3 , T (x; y) = (x; y; x + y)
y; 0)
(c) T : R ! R, T (x) = ax
(d) T : R4 ! R2 , T (x; y; z; t) = (y
(e) T : R ! R2 , T (x) = (x; cos x)
(f) T : R3 ! R2 , T (x; y; z) = (x
(g) T : R ! R4 , T (x) = x; x; x2 ; 0
(h) T : R3 ! R2 , T (x; y; z) = (x; z
2.1B Seja A uma matriz quadrada 2
2 e de…na TA : M2
2
! M2
2
x; t
z)
1; y + z)
y)
por TA (X) = AX. É a
aplicação T linear?
2.1C
Mostre que a aplicação T : M3
2
! M2
3
de…nida por T (X) = X t é linear.
2.1D Construa duas matrizes A e B, de ordem 2 2, tais que det (A) = det (B) = 0 e det (A + B) 6=
0. A partir daí conclua que a aplicação T : M2
2
! R, de…nida por T (X) = det (X) ; não é linear.
COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS
APLICAÇÃO LINEAR
49
Veri…que que as aplicações abaixo são lineares.
h
i
(a) T : R ! M1 2 , T (x) = x ax :
2.1E
(b) T : M3
! R, T (A) = tr (A) :
2 3 2
x
x
(c) T : M2 1 ! M2 2 , T 4 5 = 4
y
0
2
3
h
x y
5=
(d) T : M2 2 ! M1 2 , T 4
z t
2
3
x y
5 = (x
(d) T : M2 2 ! P2 , T 4
z w
2.1F
3
0
y
3
5:
x
y z
i
t
:
y) t2 + zt + w:
Funcionais Lineares As aplicações lineares T : V ! F, em que o espaço de chegada é o
corpo F (em geral F = R é o corpo dos números reais), são conhecidos na literatura como funcionais
lineares. Veri…que se os funcionais abaixo são lineares ou não.
Z 1
(a) T : P2 ! R, T (p) =
p (x) dx
(b) T : P2 ! R, T (p) =
0
p0 (0)
2.1G Veri…que se a transformação T : P1 ! P2 ; de…nida por T (p) (x) = x + xp (x) é linear. E se
fosse S : P2 ! P2 ; de…nida por S (p) (x) = p (x) + x2 p0 (x), seria S linear?
2.1H O Espaço das transformações lineares Representemos por L (V; W ) o conjunto das
aplicações lineares T : V ! W: A soma e o produto por escalar em L (V; W ) são de…nidas de
maneira natural:
(S + T ) (v) = S (v) + T (v) ;
( T ) (v) =
T (v) ;
v 2 V;
v 2 V;
S; T 2 L (V; W ) :
T 2 L (V; W ) :
(a) Seria a aplicação identicamente nula um vetor de L (V; W )?
(b)
Se T e S estão em L (V; W ), mostre que T + S 2 L (V; W ), seja qual for o escalar :
Com essas operações L (V; W ) é um espaço vetorial
2.1I Composição de transformações lineares Sejam U; V e W três espaços vetoriais sobre
um corpo F e considere duas aplicações lineares T : U ! V e S : V ! W . De…na uma nova
aplicação S
T : U ! W por
(S
T ) (u) = S (T (u)) ;
u 2 U:
50
ÁLGEBRA LINEAR
Mostre que S
MARIVALDO P. MATOS
T é linear.
Figura 2.5: Composição.
NOTAÇÃO
As aplicações lineares de V ! V são denominadas operadores lineares (ou simples-
mente operadores) de V e o espaço vetorial L (V; V ) será indicado por L (V ). Se S; T 2 L (V ),
então S + T e ST também pertencem a L (V ). É claro que I (a identidade de V ) pertence a L (V ) :
2.1J
Invertendo uma transformação linear Dado um espaço vetorial V sobre um corpo F
(o corpo R dos números reais, por exemplo), é simples veri…car qua a aplicação identidade I (v) = v
é linear, isto é, I 2 L (V; V ). Se T e S são aplicações lineares de V ! V e S
T = I, isto é, a
composição de S com T é a identidade de V , diremos que S é a inversa de T e anotamos S = T
Determine a inversa da aplicação T : R2 ! R2 , de…nida por T (x; y) = (x
REGRA PRÁTICA
1:
y; y) :
Sejam V e W espaços vetoriais de dimensão n e considere
= fv1 ; v2 ;
; vn g
uma base de V . Como veremos adiante, uma aplicação linear invertível T : V ! W transforma a
base
de V em uma base de W e podemos usar a base
S=T
1.
Se wk = T (vk ), então a inversa S : W ! V é caracterizada por S(wk ) = vk , isto é,
T (vk ) = wk
se, e somente se, S(wk ) = vk
e dado w 2 W , temos w = y1 T (v1 ) + y2 T (v2 ) +
(S = T
+ yn T (vn ) e, portanto,
S(w) = y1 v1 + y2 v2 +
2.1K
para encontrar a transformação inversa
+ yn vn :
Encontre a transformação linear T : R2 !R2 , tal que T (1; 2) = (1; 1) e T (0; 1) = (1; 0) :
1
)
COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS
2.1L Seja V = Mn
n
APLICAÇÃO LINEAR
51
o espaço das matrizes quadradas de ordem n. Fixada uma matriz A em
V , decida sobre a linearidade das transformações
(a) T (X) = A + X
2.1M
(b) T (X) = AX
XA:
Identi…que e esboce o grá…co da imagem do retângulo R = [0; 1]
T (x; y) = (x
[1; 2] pela transformação
y; x + 2y) :
2.1N Sejam a; b; c e d números reais positivos e considere o operador T : R2 ! R2 ; de…nido por
T (x; y) = (ax + by; cx + dy). Determine as duas raízes
1
e
2
da equação det [T
I2 ] = 0:
2.1O Identi…que a transformação linear T : P1 ! P2 , que satisfaz a T (x + 1) = x2
1 e
1) = x2 + x:
T (x
2.1P Qual o operador T : P2 ! P2 que satisfaz às condições T (1) = x; T (x) = 1
x2 e
T x2 = x + 2x2 ?
2.1Q Encontre as transformações T : R2 ! R3 e T : R3 ! R2 , tais que:
T (1; 1) = (3; 2; 1) ; T (0; 2) = (0; 1; 0) ; S (3; 2; 1) = (1; 1) ; S (0; 0; 1) = (0; 0) e S (0; 1; 0) = (0; 2) :
Calcule T (1; 0) e T (0; 1) e encontre S
T:
Encontre a transformação T : R2 ! R2 que representa uma rotação de =4 rad, seguida de
p
dilatação de 2:
2.1R
2.1S Descreva a transformação T : R2 ! R2 que representa uma re‡exão em torno da reta y = x:
2.2
Núcleo e Imagem
Dada uma transformação linear T : V ! W , destacamos dois subespaços vetoriais:
(i) Núcleo ou Kernel de T , denotado por N (T ) (ou ker (T )) e de…nido por
N (T ) = fv 2 V : T (v) = 0g
(subespaço vetorial de V )
(ii) Imagem de T , representado por Im (T ) (ou T (V )) e de…nido por
Im (T ) = fw 2 W : w = T (v) ; para algum v 2 V g
(subespaço vetorial de W ).
Na Figura 2.6 ilustramos geometricamente o núcleo e a imagem de uma aplicação linear T : V ! W:
52
ÁLGEBRA LINEAR
MARIVALDO P. MATOS
Figura 2.6: Núcleo & Imagem.
É oportuno ressaltar que se
= fv1 ; v2 ; : : : ; vn g é uma base de V , então o subespaço Im (T ) é gerado
pelos vetores T v1 ; T v2 ; : : : ; T vn e dentre esses geradores podemos extrair uma base de Im (T ) : Por
outro lado, o núcleo de T pode ser visto, em muitos casos, como o espaço solução de um sistema
linear homogêneo, cuja dimensão é igual ao grau de liberdadde, e uma base do núcleo pode ser
construída usando as variáveis livres do sistema. Um resultado que relaciona as dimensões de V ,
N (T ) e Im (T ) é o Teorema do Núcleo e da Imagem que apresentamos a seguir:
TEOREMA DO NÚCLEO E DA IMAGEM
Se V e W têm dimensão …nita e T : V ! W é uma
transformação linear, então
dim V = dim N (T ) + dim Im (T )
Exemplo Como ilustração, vamos encontrar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem
do operador T : R3 ! R3 , de…nido por T (x; y; z) = (z; x
(x; y; z) 2 N (T ) , (z; x
y; z). Inicialmente, observamos que
y; z) = (0; 0; 0) , z = 0 e
x
y = 0:
Assim, o núcleo de T é o subespaço N (T ) = f(x; x; 0) : x 2 Rg, uma base N (T ) é
= f(1; 1; 0)g
e dim N (T ) = 1: Quanto à imagem, esta é gerada pelos vetores T (e1 ) ; T (e2 ) e T (e3 ), isto é,
Im (T ) = [T (1; 0; 0) ; T (0; 1; 0) ; T (0; 0; 1)] = [(0; 1; 0) ; (0; 1; 0) ; (1; 0; 1)] :
Escalonando a matriz geradora de Im (T ), encontramos:
2
3 2
0 1
0
1 0
6
7 6
6
7 6
6 0
1 0 7 6 0 1
4
5 4
1 0
1
0 0
1
3
7
7
0 7
5
0
de onde resulta que os vetores w1 = (1; 0; 1) e w2 = (0; 1; 0) formam uma base de Im (T ) e, por
conseguinte, dim (Im (T )) = 2: Temos que
w 2 Im (T ) , w = xw1 + yw2 , w = (x; y; x) ;
x; y 2 R;
COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS
APLICAÇÃO LINEAR
53
e, sendo assim,
Im (T ) = (x; y; z) 2 R3 : z =
2.2A
x :
Encontre a transformação linear T : R2 ! R3 , cujo núcleo contém o vetor (0; 2), e é tal que
T ( 1; 1) = (1; 2; 0).
2.2B Em cada caso, encontre uma base do núcleo e da imagem da transformação linear.
(a) T : R2 ! R2 ;
T (x; y) = (2x
(b) T : R3 ! R3 ;
T (x; y; z) = (x + 2y; y
(c) T : R2 ! R2 ;
T (x; y) = (x + y; x + y) :
(d) T : R3 ! R2 ;
T (x; y; z) = (x + 2y; z) :
2.2D Seja TA : M2
2
! M2
bases de N (TA ) e de Im (TA ).
2.2E
2,
y; 0) :
z; x + 2z) :
2
de…nida por TA (X) = AX, sendo A = 4
1
2
1
2
3
5 : Determine
Mostre que a transformação T : P2 ! P3 , de…nida por T (p (x)) = p (x) + x2 p0 (x) é linear
e determine dim ker (T ) e dim Im (T ). Encontre uma base de Im (T ) e veri…que se o polinômio
p (x) = 1 + x + 2x2 + 3x3 está na imagem de T .
2.2F
Repita o exercício precedente com o operador T : P2 ! P2 , de…nido por T (p (x)) = x2 p00 (x) :
2.2G Encontre um operador linear T : R3 ! R3 , tal que Im (T ) = [(1; 2; 3) ; (4; 0; 5)]. Uma tal
transformação pode ser um isomor…smo? Por quê?
2.2H Encontre uma transformação linear T : R3 ! R3 , tal que N (T ) = [(1; 1; 0)]. Uma tal
transformação pode ser um isomor…smo? Por quê?
2.2I Se T1 ; T2 : V ! V são operadores lineares, tais que dim N (T1 ) = dim N (T2 ) = 0, mostre
que dim N (T1 T2 ) = 0:
Dada uma transformação linear T : V ! W; use o Teorema do Núcleo e da Imagem e prove
2.2J
as seguintes a…rmações:
(a) Se dim V < dim W , então T não pode ser sobrejetora.
(b)
Se dim V > dim W , então T não pode ser injetora.
(T) Se T é um isomor…smo, então dim V = dim W .
2.2K
Estabeleça um isomor…smo entre os seguintes pares de espaços vetoriais:
54
ÁLGEBRA LINEAR
MARIVALDO P. MATOS
(a) R2 e o subespaço W = (x; y; 0) 2 R3
(b) R3 e P2
(c) R4 e M2
2:
2.2L Encontre uma transformação linear T : R2 ! R3 , cujo núcleo seja a reta y = 2x:
Seja T : V ! W uma aplicação linear e v1 ; v2 ; : : : ; vn vetores LI de V: Se dim N (T ) = 0,
2.2M
mostre que T v1 ; T v2 ; : : : ; T vn são LI.
2.2N Seja T : P2 ! P2 o operador de…nido por
T ax2 + bx + c = (a + 2b) x + (b + c) :
(a) O operador T é injetor? É sobrejetor?
(b)
Dê uma base e a dimensão do núcleo e da imagem de T:
(c) p (x) =
4x2 + 2x
2 pertence a N (T )? E q (x) = 2x + 1 pertence a Im (T )?
2.2O Um operador T : R3 ! R3 tem núcleo N (T ) = (x; y; z) 2 R3 : x + y + z = 0 e é tal que
T (0; 0; 1) = (1; 1; 1). Encontre um tal operador.
2.2P Considere o operador derivação @1 : Pn ! Pn , de…nido por @1 (p (x)) = p0 (x) : Determine o
núcleo e a imagem do operador @1 . Qual o núcleo do operador @2 (p (x)) = p00 (x)?
2.2Q Encontre uma transformação lnear T : R2 ! R3 com as seguintes propriedades: (i)
T (1; 1) = (1; 2; 0) e (ii) (1; 0) 2 N (T ) :
2.3
Representação Matricial
Nesta seção há dois problemas a serem tratados e os exemplos que seguem à formulação de
cada um deles ilustram como resolvê-los.
APLICAÇÃO LINEAR ASSOCIADA A UMA MATRIZ
Se
= fv1 ; v2 ; : : : ; vm g e
0
= fw1 ; w2 ; : : : ; wn g
são bases de Rm e Rn , respectivamente, e A = [aij ] é uma matriz de ordem n
m, encontrar a
aplicação linear T : Rm ! Rn , determinada pela relação
[T (v)]
0
= A [v] :
(2.1)
COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS
onde [v] e [T (v)]
0
APLICAÇÃO LINEAR
são as matrizes coordenadas de v e de T (v) nas bases
temos
2
v = x1 v1 + x2 v2 +
6
6
6
[v] = 6
6
6
4
+ xm vm , isto é,
x1
x2
..
.
xm
e
0
55
: Dado v 2 Rm ,
3
7
7
7
7
7
7
5
e consideremos os escalares y1 ; y2 ; : : : ; yn ; que satisfazem à relação (2.1), ou seja
2
3
x1
6
6
6
A 6
6
6
4
2
7 6
7 6
x2 7 6
7 6
.. 7 = 6
6
. 7
5 4
xm
y1
y2
..
.
yn
3
7
7
7
7:
7
7
5
A aplicação linear T vem dada por T (v) = y1 w1 + y2 w2 + : : : + yn wn :
Exemplo Sejam
0
= f(1; 0) ; (0; 1)g e
= f(1; 1; 0) ; (0; 1; 1) ; (1; 0; 2)g bases de R2 e R3 ,
respectivamente, e consideremos a matriz
2
1
0
6
6
A=6 1
4
1
3
7
7
2 7:
5
3
Dado v = (x; y) um vetor do R2 , temos que
2
v = x (1; 0) + y (0; 1) ) [v] = 4
3
x
5
y
e usando a relação (2.1), encontramos
[T (v)]
0
2
1
6
6
=6 1
4
1
0
3
2
3
2
x
7
6
7 4 x 5 6
= 6 x + 2y
2 7
5
4
y
3
x 3y
3
7
7
7
5
y1
y2
y3
e, sendo assim,
T (x; y) = x (1; 1; 0) + (x + 2y) (0; 1; 1) + (x
= (2x
3y; 2x + 2y; x
8y)
3y) (1; 0; 2)
56
ÁLGEBRA LINEAR
MARIVALDO P. MATOS
é a aplicação linear procurada.
Exemplo Se
0
e
são as bases canônicas de Rm e Rn , respectivamente, então a transfor-
mação T que satisfaz (2.1) é dada por
2
T (x1 ; x2 ; : : : ; xm ) = (y1 ; y2 ; : : : ; yn ) ;
6
6
6
6
6
6
4
onde
y1
y2
..
.
yn
3
7
7
7
7=A
7
7
5
2
6
6
6
6
6
6
4
x1
3
7
7
x2 7
7
.. 7 :
. 7
5
xm
Por exemplo, com relação às bases canônicas a aplicação linear T : R4 ! R3 associada à matriz
2
1
6
6
A=6
4
1 2
0
7
7
1 7
5
1
2 1 3
0
3
1 2
é precisamente
2
6
6
T (x; y; z; t) = 6
4
1
1 2
2 1 3
0
1 2
3
0
7
7
1 7
5
1
2
x
3
6 7
6 7
6 y 7
6 7 = (x = y + 2z; 2x + y + 3z + t; y + 2z
6 7
6 z 7
4 5
t
t) :
Seja T : V ! W uma transformação linear
MATRIZ ASSOCIADA A UMA APLICAÇÃO LINEAR
entre espaços vetoriais de dimensão …nita e considere
= fv1 ; v2 ; : : : ; vm g e
0
= fw1 ; w2 ; : : : ; wn g
bases de V e W , respectivamente. Associada à transformação linear T consideramos a n m matriz
[T ] 0 ; cuja j-ésima coluna é [T (vj )]
0
A matriz [T ]
cada vetor T (vj ) como combinação linear da base
0
0
é construída da seguinte forma: escrevemos
e formamos a j-ésima coluna da matriz.
T (v1 ) = a11 w1 + a21 w2 +
+ an1 wn
T (v2 ) = a12 w1 + a22 w2 +
+ an2 wn
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
T (vj ) = a1j w1 + a2j w2 +
+ anj wn
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
T (vm ) = a1m w1 + a2m w2 +
+ anm wn
COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS
APLICAÇÃO LINEAR
Assim, a matriz associada à aplicação T é:
2
6 a11
6
6 a21
6
6 .
6 ..
6
[T ] 0 = 6
6 a
6 j1
6 .
6 .
6 .
4
an1
NOTAÇÃO
2.3A
Quando
=
0
, a matriz [T ]
0
a12
3
a1j
a22
..
.
..
aj2
..
.
..
.
a2j
..
.
.
ajj
..
.
an2
57
a1m 7
7
a2m 7
7
.. 7
..
.
. 7
7
7
ajm 7
7
.. 7
..
7
.
. 7
5
v anm
anj
será indicada simplesmente por [T ] .
Seja I : V ! V o operador identidade de V , isto é, I (v) = v; 8v: Se
0
uma base de V , determine a matriz [I] : Se
= fv1 ; v2 ; : : : ; vn g é
é outra base de V , quem é [I] 0 ?
2.3B Qual é a transformação linear T : P1 ! P2 , cuja representação matricial em relação às
2
3
1 0
6
7
6
7
bases canônicas é 6 0 1 7?
4
5
0 0
2.3C
Seja T : R3 ! R2 a transformação de…nida por T (x; y; z) = (x
y + 2z; x
y
z) e
considere as bases
= f(1; 0) ; (0; 1)g
e
0
= f(1; 1; 0) ; (1; 1; 1) ; (1; 2; 1)g :
0
Determine a matriz [T ] :
2.3D Sejam
= f( 1; 0) ; (0; 1)g e
0
vamente, e seja T : R3 ! R2 , tal que
[T ]
0
= f(0; 1; 1) ; (1; 0; 0) ; (1; 0; 1)g bases de R2 e R3 , respecti2
=4
1
0
1
1 1
1
3
5:
(a) Determine bases para N (T ) e Im (T ). É a transformação T injetora?
(b)
2.3E
Determine T (x; y; z) :
Em relação às bases ordenadas
= fx; 1g e
0
= x2 ; x
1; x + 1 de P1 e P2 , respectiva-
mente, qual a matriz da transformação linear T : P1 ! P2 , de…nida por T (p (x)) = xp (x)?
58
ÁLGEBRA LINEAR
2.3F
Sejam
MARIVALDO P. MATOS
= f(1; 1) ; (0; 2)g e
0
= f(1; 0; 1) ; (0; 1; 2) ; (1; 2; 0)g bases de R2 e R3 , respecti-
vamente, e seja T : R2 ! R3 , tal que
[T ]
0
2
0
3
1 0
3
1
6
6
=6 1
4
0
7
7
1 7:
5
1
(a) Determine T (x; y) :
(b)
00
Encontre uma base
do R3 , tal que
[T ]
2.3G Seja T : M2
e seja
2
6
7
6
7
= 6 0 0 7:
4
5
0 1
! R2 a transformação linear, de…nida por
2
3
x y
5 = (x + z; y + t)
T4
z t
a base canônica de M2
(a) Determine [T ] 0 , onde
(b)
00
2
Se S : R2 ! M2
2
2.
0
= f(1; 1) ; (1; 2)g :
é tal que
[S]
0
2
2
6
6
6 1
=6
6
6 1
4
0
2
determine, caso exista, um vetor v; tal que Sv = 4
1
3
1 0
3
7
7
1 7
7
7
0 7
5
1
0 1
5:
2.3H Seja T : R2 ! R2 o operador linear, cuja matriz em relação à base canônica
2
3
1
2
5:
[T ] = 4
0
1
(a) Determine, caso exista, vetores u e v tais que T u = u e T v =
(b)
Determine dim N (T ) e dim Im (T ) :
v:
é
COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS
APLICAÇÃO LINEAR
59
1 (x; y) :
(c) T é um isomor…smo? Se for, encontre T
2.3I Seja T : P3 ! R o funcional linear de…nido por
Z 1
p (x) dx:
T (p (x)) =
0
Determine a matriz de T em relação às bases canônicas.
2.3J
x) p0 (x). Determine a
Seja T : P1 ! P1 o operador linear de…nido por T (p (x)) = (1
matriz de T em relação à base canônica de P1 :
SOBRE A MATRIZ DA APLICAÇÃO COMPOSTA
e T :
0
W;
!
U;
00
Dadas as aplicações lineares T : fV; g ! W;
a matriz da aplicação composta S
T : fV; g !
U;
00
0
pode ser
determinada pela regra:
[S
Quando T : fV; g ! W;
inversa T
1
: W;
0
0
T]
0
[T ] 0 :
00
for um isomor…smo, então dim V = dim W e a matriz da aplicação
! fV; g será dada por
T
2.3K
= [S]
00
1
0
= [T ]
1
0
:
Mostre que o operador T : R3 ! R3 de…nido por T (x; y; z) = (x
isomor…smo e encontre as matrizes [T ] e T
2.3L Sejam T1 e T2 operadores
2
1
6
6
[T1 ] = 6 2
4
0
1
, em relação á base canônica :
do R3 , com representação matricial
3
2
0 1
2 1
7
6
7
6
e
[T2 ] = 6 3
1 1 7
1
5
4
1 1
1
2
1
Considere as matrizes
2
0 1
3
7
6
7
6
A=6 0 2 7
4
5
0 1
e
2
0
0 0
6
6
B=6 1 2 1
4
1 0 0
3
7
7
2 7:
5
0
Encontre o operador T , sabendo que T1 = T2 T:
2.3M
y; y; y + z) é um
3
7
7
7
5
e sejam TA e TB as transformações canônicas de…nidas pelas matrizes A e B, respectivamente.
Encontre bases dos subespaços
N (TA ) ; N (TB ) ; N (TB
TA ) ; Im (TA ) ; Im (TB ) e Im (TB
TA ) :
60
ÁLGEBRA LINEAR
MARIVALDO P. MATOS
2.3N Em R3 e R4 , respectivamente, considere as bases
= f(1; 0; 0) ; ( 1; 0; 1) ; (1; 1; 0)g
e seja A a matriz 3
0
e
4
= f(1; 0; 0; 1) ; ( 1; 0; 1; 0) ; (1; 1; 0; 0) ; ( 1; 2; 0; 1)g
2
1
6
6
A=6 2
4
0
0
1 1
3
7
7
1 1 0 7:
5
1 1 1
Encontre a transformação linear T : R4 ! R3 , tal que [T (v)] = A [v] 0 : Essa é a transformação
associada à matriz A e às bases
T (v) = A v;
0
e
. Quando
0
e
são as bases canônicas,
2
2
3
x
6
1 0 1 1
6
6
7 6 y
6
7
isto é, T (x; y; z; t) = 6 2 1 1 0 7 6
4
5 6
6 z
4
0
1 1 1
t
teremos:
3
7
7
7
7:
7
7
5
2.3O Sejam T : R3 ! R2 e S : R2 ! R4 as transformações lineares de…nidas por
T (x; y; z) = (x + 2y; x
z)
e
S (x; y) = (x; x
y; 2y; 2x + y) :
e considere as bases
= f(1; 0) ; (1; 1)g
(base do R2 )
0
= f(1; 0; 0) ; (1; 1; 1) ; (0; 1; 1)g
(base do R3 )
00
= f(1; 0; 0; 0) ; (0; 0; 1; 1) ; (0; 0; 1; 0) ; (1; 1; 0; 0)g
(base do R4 )
(a) Encontre as matrizes [T ]
(b)
Determine (S
(c)
Encontre a matriz [S
2.3P Sejam
0
e [S]
00
e calcule o produto [S]
00
0
[T ] .
T ) (x; y; z) :
T]
0
00
:
= f(1; 1; 0) ; ( 1; 0; 1) ; ( 1; 1; 1)g e
0
= f(1; 0; 0) ; (0; 1; 0) ; (0; 0; 1)g bases do R3 e
considere o operador linear T : R3 ! R3 , de…nido por
T (x; y; z) = (x + y
2z; x
y; x + z) :
(a) Mostre que T é um isomor…smo e encontre a matriz [T ] 0 .
COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS
(b)
(c)
2.4
APLICAÇÃO LINEAR
Encontre a transformação inversa T 1 : R3 ! R3 e a matriz T
h
i
Escalone a matriz ampliada [T ] 0 ; I3 :
1
0
61
:
Autovalor e Autovetor
UM BREVE COMENTÁRIO
Dada uma transformação linear T : V ! V , um problema típico de
álgebra linear consiste em encontrar um escalar
e um vetor v, tais que T (v) = v. É claro que
v = 0 satisfaz à equação T (v) = v, seja qual for o escalar , e o problema torna-se interessante
quando o vetor procurado v for não nulo. Um tal escalar
denomina-se autovalor (ou valor
característico) da transformação T e o vetor não nulo v um autovetor (ou vetor característico) de
T , associado ao autovalor . Se v é um autovetor de T , associado ao autovalor , então qualquer
múltiplo escalar de v também o é; se
é um autovalor de T , representamos por V o subespaço
vetorial de V constituído pelos vetores v, tais que T (v) = v. Esse subespaço recebe o nome de
auto-espaço associado a . O auto-espaço V é constituídos dos autovetores associados ao autovalor
; mais o vetor nulo.
Dada uma base
são as soluções
de V , se representarmos por A a matriz de T na base , os autovalores de T
da equação matricial A [v] =
[v] , isto é, as soluções da equação (A
I) [v] =
0. No caso em que V = Rn , esta equação nos conduz a um sistema linear homogêneo, o qual
terá solução não nula quando det (A
p ( ) = det (A
I) = 0, ou seja, quando
for uma raiz do polinômio
I), denominado polinômio característico de T:
Exemplo Se
= fv1 ; v2 ; : : : ; vn g é uma base de V , contendo apenas autovetores de T , então
a matriz [T ] é uma matriz diagonal. Para comprovar esse fato, basta observar que
T (vj ) =
j vj
= 0 v1 + 0 v2 +
+ 0 vj
1
+
j
vj + 0 vj+1 +
+ 0 vn :
e os escalares destacados formam a j-ésima coluna da matriz.
2.4A
Em cada caso, determine o polinômio característico do operador, seus autovalores e autove-
tores correspondentes. Por …m, encontre uma base dos auto-espaços associados.
(a) T : R2 ! R2 ;
T (x; y) = (2y; x) :
(b) T : R2 ! R2 ;
T (x; y) = (x + y; 2x + y) :
(c) T : R3 ! R3 ;
T (x; y; z) = (x + y + z; 2y + z; 3z) :
62
ÁLGEBRA LINEAR
MARIVALDO P. MATOS
(d) T : R3 ! R3 ;
T (x; y; z) = (x + y; x
(e) T : R4 ! R4 ;
T (x; y; z; t) = (x; x + y; x + y + z; x + y + z + t) :
(f) T : R4 ! R4 ;
T (x; y; z; t) = (2x + y; 2y; 2z; 3t) :
(g) T : M2
2
! M2
y + z; 2x + y
T (A) = At :
2;
(At é transposta de A)
(h) T : P1 ! P1 ;
T (ax + b) = 2ax
(i) T : P2 ! P2 ;
T (p (x)) = p0 (x) :
(j) T : P2 ! P2 ;
T ax2 + bx + c = ax2 + cx + b:
(k)
T (p (x)) = p (x + 1) :
T : P2 ! P2 ;
(l) T : P3 ! P3 ;
z) :
b:
x2 p00 (x)
T (p (x)) = 1
2xp0 (x) :
2.4B Mostre que um operador T : V ! V , com um autovalor nulo, não pode ser injetor.
2.4C
No espaço R2 ; considere as bases
0
= f(1; 0) ; (0; 1)g e
= f( 1; 0) ; (1; 2)g. Determine o
polinômio característico do operador T (x; y) = (x; x + y), usando as matrizes [T ] e [T ] 0 .
2.4D Seja R (x; y) = (x cos
y sen ; x sen + y cos ) o operador de rotação. Se
mostre que os autovalores de R são
2.4E
=
= k ; k 2 Z,
1:
Identi…que o operador de R2 , com autovalores
1
=
2e
2
= 3, e respectivos autovetores
v1 = (3; 1) e v2 = ( 2; 1) :
2.4F
Se T é um isomor…smo e
inverso T
é um autovalor de T , mostre que
1
é um autovalor do operador
1.
2.4G Mostre que autovetores (não nulos) associados a autovalores distintos são LI.
2.4.1
Operadores Diagonalizáveis
Por diagonalizar um operador T : V ! V , entendemos associá-lo a uma matriz diagonal. Isso
consiste em encontrar, caso exista, uma base de V em relação à qual a matriz de T é diagonal.
Uma tal base de V deve ser constituída de autovetores de T:
REGRA DE DIAGONALIZAÇÃO
Suponhamos dim V = n e que
distintos do operador T : V ! V: Se V
dim V
1
j
1;
2;
;
r
sejam os autovalores
são os auto-espaços correspondentes e
+ dim V
2
+
+ dim V
r
=n
COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS
APLICAÇÃO LINEAR
então o operador T é diagonalizável e se
é uma base do auto-espaço V j , então
j
=
63
1
[
2
[
[
r
é uma base de V que diagonaliza T , isto é, a matriz [T ]
é diagonal. Na diagonal principal
da matriz [T ] …guram os autovalores de T e o número de vezes que cada autovalor aparece na
diagonal corresponde à sua multiplicidade como raiz do polinômio característico.
Exemplo Um operador T : R2 ! R2 que possui dois autovalores distintos é diagonalizável.
Neste caso, os dois autoespaços têm dimensão igual a 1. De forma mais geral, se dim V = n e o
operador T : V ! V possui n autovalores distintos, um tal operador T é diagonalizável.
Exemplo Seja T o operador do R3 , de…nido por T (x; x; z) = (3x
autovalores de T são
1
= 3 (de multiplicidade 2) e
3)2 ( 1
característico p ( ) = (
de autovetores
Note que
1
1
=
1, que são as raízes do polinômio
), e os auto-espaços correspondentes são:
V3 = f(x; y; 0) : x; y 2 Rg
Vemos que dim V3 + dim V
2
4z; 3y + 5z; z). Os
e
V
1
= f(4z; 5z; 4z) : z 2 Rg :
= 2 + 1 = dim R3 e, portanto, T é diagonalizável. Em relação à base
= f(1; 0; 0) ; (0; 1; 0) ; (4; 5; 4)g
2
3
6
6
A=6 0
4
0
= f(1; 0; 0) ; (0; 1; 0)g e
2
a matriz de T é
3
0 0
7
7
3 0 7:
5
0
1
= f(4; 5; 4)g são bases dos auto-espaços V3 e V
1,
respec-
tivamente.
Exemplo Seja T o operador do R3 , de…nido por T (x; x; z) = (4x + 2y; x + y; y + 2z). Os
autovalores de T são
1
=2e
2
= 3, que são as raízes do polinômio característico
p( ) =
3
+7
2
16 + 12;
e os auto-espaços correspondentes são:
V2 = f(0; 0; z) : z 2 Rg
e
V3 = f( 2y; y; y) : z 2 Rg :
Vemos que dim V2 + dim V3 = 1 + 1 6= dim R3 e, portanto, T não é diagonalizável.
64
ÁLGEBRA LINEAR
2.5A
MARIVALDO P. MATOS
Em cada caso, encontre uma base de V que diagonaliza o operador T : V ! V:
(a) T : R2 ! R2 ;
T (x; y) = (2x; x
(b) T : R3 ! R3 ;
T (x; y; z) = (x + y; 2y; z) :
(c) T : R3 ! R3 ;
T (x; y; z) = ( 2x; x
(d) T : R3 ! R3 ;
T (x; y; z) = (x; 2x + 2y; 12x
y).
y; 4x + 3y) :
3z) :
2.5B Se a matriz do operador T : R2 ! R2 em relação à base canônica é simétrica, mostre que
T é diagonalizável.
2.5C
Determine, caso exista algum, os valores de a que tornam os operadores T (x; y) = (x + y; ay)
e S (x; y) = (x + ay; y) diagonalizáveis.
EXERCÍCIOS ADICIONAIS
1. Sejam W1 e W2 subespaços vetorias de V , tais que W1 \W2 = f0g. Mostre que T (u; v) = u+v
de…ne um isomor…smo de W1
W2 sobre W1
W2 :
2. Se duas transformações lineares S; T : V ! W são iguais nos vetores v1 ; v2 ; : : : ; vn de uma
base de V , mostre que S (v) = T (v) ; 8v 2 V:
3. Se T : V ! W é um isomor…smo, mostre que a aplicação inversa T
1
: W ! V também o é.
4. Se T : V ! W é um isomor…smo linear, mostre que dim V = dim W e T transforma uma
base de V em uma base de W:
5. Seja P : R4 ! R4 o operador de…nido por P (x; y; z; t) = (x; y; 0; 0). Mostre que:
(a) P 2 = P
(P 2 = P
(b) R4 = Im (P )
P ).
N (P ) :
(c) Encontre uma base
do R4 , tal que
2
[P ] = 4
I2 0
0
0
3
5
:
4 4
6. Dado um isomor…smo T : V ! V , com dim V < 1, qual a relação entre as matrizes [T ]
T
1
0
?
0
e
COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS
APLICAÇÃO LINEAR
65
7. Mostre que um operador linear T : R2 ! R2 transforma retas em retas.
8. Qual a imagem da circunferência x2 + y 2 = a2 pelo operador T : R2 ! R2 , dado por
T (x; y) = (ax + by; bx + ay), sendo a 6= b:
9. Encontre a expressão do operador T : R3 ! R3 , que representa uma rotação de =3 rad em
torno da reta que passa pela origem e tem a direção do vetor v = (1; 1; 0) :
10. Seja T : R2 ! R2 o operador que representa uma re‡exão através da reta y = 3x: Encontre
do R2 , tal que
T (x; y) e uma base
2
[T ] = 4
1
0
0
1
3
5:
11. Sejam T e R os operadores do R3 que representam, respectivamente, a projeção e a re‡exão
no plano
: 3x + 2y + z = 0.
(a) Encontre T (x; y; z) e R (x; y; z).
(b) Encontre bases
0
do R3 , tais
2
1 0
6
6
[T ] = 6 0 0
4
0 0
e
que
3
0
7
7
0 7
5
1
e
[R]
0
2
1 0
6
6
=6 0 1
4
0 0
0
3
7
7
0 7:
5
1
(tais bases devem conter dois vetores v1 e v2 do plano e um vetor v3 perpendicular ao
plano )
12. Se dim V = n e T : V ! V é um operador diagonalizável, com polinômio característico
p( ) = (
a)n , mostre que [T ] = aI, seja qual for a base
de V .
13. Repita o Exercício 2.4A(k), com o operador T : P3 ! P3 , dado por T (p (x)) = p (x + 1) :
Considere a base
= 1; x; x2 ; x3
66
ÁLGEBRA LINEAR
MARIVALDO P. MATOS
RESPOSTAS & SUGESTÕES
2.1
FUNDAMENTOS BÁSICOS
2.1A
São lineares as aplicações (a), (b), (c), (d) e (h). Nos casos (e) e (f), temos T (0) 6= 0
e, portanto, T não é linear. Para veri…car que a aplicação (g) não é linear, basta observar que
T ( 1) 6=
2.1B
T (1) :
Sim. Usando as propriedades do produto matricial, temos
TA ( X + Y ) = A ( X + Y ) = AX + AY = TA (X) + TB (Y ) ;
2.1C
X; Y 2 M2
2;
2 R:
Usando as propriedades da transposição de matrizes, temos
T ( X + Y ) = ( X + Y )t = X t + Y t = T (X) + T (Y ) ; X; Y 2 M2 3 ; 2 R:
2
3
2
3
1 0
0 0
5eB=4
5, então det A = det B = 0 e det(A + B) = det I2 = 1.
2.1D Se A = 4
0 0
0 1
Para essas matrizes, temos T (A + B) 6= T (A) + T (B) e isso mostra que T não é linear.
2.1F
Em (a), usamos a linearidade da integral e obtemos
Z 1
Z 1
Z
T ( p + q) =
( p (x) + q (x)) dx =
p (x) dx +
0
0
1
q (x) dx = T (p) + T (q) :
0
Em (b), usamos a lienearidade da derivada. Temos
T ( p + q) = [ p (x) + q (x)]0 = p0 (0) + q 0 (0) = T (p) + T (q) ;
para
2 R; p; q 2 P2 :
2.1S
T (x; y) = (y; x)
2.2
NÚCLEO & IMAGEM
2.2A
Considere a base
= f(0; 2) ; ( 1; 1)g do R2 e observe que (x; y) =
1
2
(y
x) (0; 2)+x ( 1; 1),
de modo que:
T (x; y) =
2.2B
1
(y
2
x) T (0; 2) + x T ( 1; 1) = x (1; 2; 0) = (x; 2x; 0) :
Em cada caso, identi…que o núcleo e a imagem da aplicação linear.
COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS
APLICAÇÃO LINEAR
(a) N (T ) = f(x; 2x) : x 2 Rg e uma base do núcleo é
eixo x e uma base de Im (T ) é
2.2G
0
67
= f(1; 2)g : A imagem do operador T é o
= f(1; 0)g :
= f(1; 0; 0) ; (0; 1; 0) ; (0; 0; 1)g do R3 e de…na o operador T : R3 ! R3
Considere a base
por:
T (1; 0; 0) = (1; 2; 3) ;
T (1; 0; 0) = (4; 0; 5)
e
T (1; 0; 0) = (0; 0; 0) :
Um tal operador não pode ser um isomor…smo, porque dim Im (T ) = 2:
2.3
REPRESENTAÇÃO MATRICIAL
2.3A
Em qualquer base
2.3B
Um vetor (polinômio) genérico de P1 é p (t) = a + bt e a aplicação é T (a + bt) = a + bt:
2.3C
A matriz de [T ]
0
do espaço V a matriz [I] é a matriz identidade n
é:
[T ]
0
2.3D
2
=4
0
2
0
1
1 4
n:
3
5:
(a) Considerando v1 = (0; 1; 1) ; v2 = (1; 0; 0) e v3 = (1; 0; 1), então a imagem de T é gerada
pelos vetores T (v1 ) ; T (v2 ) e T (v3 ) : Como T (v3 ) = (0; 0) e T (v1 ) e T (v2 ) são LI, segue
que fT (v1 ) ; T (v2 )g é uma base de Im (T ). O núcleo de T tem dimensão 1 e, portanto
N (T ) = [v3 ] :
(b) T (x; y; z) = ( 2y + z; x + y) :
2.3E
Considerando as bases ordenadas
[T ]
2.3F
e
0
0
, encontramos:
2
1 1=2
6
7
6
7
= 6 0 1=2 7 :
4
5
0 0
0
O ponto de oartida é a relação [T ] = [T ] [v] 0 :
(a) T (x; y) =
1
2
(x
y; x
y; 4x + 2y) :
3
68
ÁLGEBRA LINEAR
(b) Considere a base
MARIVALDO P. MATOS
00
= fw1 ; w2 ; w3 g, sendo
w1 = T (1; 1) = (1; 1; 1)
e
w3 = T (0; 2) = ( 1; 1; 1)
e escolha w2 LI com w1 e w3 . Por exemplo, w2 = (0; 0; 1) :
2.3G
(a) A matriz [T ]
0
é a matriz 2
4
2
4
2=3
1=3
1=3
2=3
1=3
1=3 1=3
1=3
3
5
(b) Dado v = (x; y), temos que [v] 0 = 31 (2x y; x + y) e, portanto
2
3
5x 3y
6
7
2
3
6
7
6
7
5x
3y
x
2y
x
2y
7 , Sv = 1 4
5:
[Sv] = 13 6
3
6
7
6 2x y 7
2x y x + y
4
5
x+y
Logo,
2
Sv = 4
1 0
0 1
3
5,
5x
3y = 3
x
2y = 0
2x
y=0
x+y =3
e, como o sistema não tem solução, um tal vetor v não existe.
2.3H
A aplicação T é dada por T (x; y) = ( x
2y; y) :
(a) Os vetores do tipo u = ( 3x; x) satisfazem a T u = u, enquanto os vetroes v = (x; 0) satisfazem
a Tv =
v:
(b) Temos que N (T ) = f0g, de modo que dim N (T ) = 0: On the other hand,
dim Im (T ) = dim R2
dim N (T ) = 2
(c) Sendo T iinjetora e sobrejetora, concluímos que T é um isomor…smo. Se S = T
(u; v), então
(x; y) = T S (x; y) = T (u; v) = ( u
2v; v)
1
e S (x; y) =
COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS
e daí resulta que u =
2.3I
x
APLICAÇÃO LINEAR
2y e v = y. Logo, S (x; y) = ( x
69
2y; y) :
As bases canônicas de P3 e R são, respectivamente:
= 1; t; t2 ; t3
0
e
= f1g :
Um cálculo direto nos conduz a:
T (1) = 1; T (t) = 1=2; T t2 = 1=3 e
Assim,
2
[T ]
2.3J
A base canônica de P1 é
0
3
1
6
7
6
7
6 1=2 7
6
7:
=6
7
6 1=3 7
4
5
1=4
= f1; xg e temos que
T (1) = 0 = 0 1 + 0 x e
e, portanto,
2.3K
T t3 = 1=4:
T (x) = 1
2
[T ] = 4
0
1
0
1
x = 1 1 + ( 1) x
3
5:
Um operador T : R3 ! R3 será um isomor…smo se, e somente se, for injetor. (veja as
dimensões). Temos que
T (x; y; z)
=
(0; 0; 0) , (x
y; y; y + z) = (0; 0; 0)
, x = y = z = 0:
Logo, N (T ) = f(0; 0; 0)g e T é um
2
1
6
6
[T ] = 6 0
4
0
2.3L
Desde que T1 = T2
isomor…smo. As matrizes de T
3
2
1
1 0
6
7
6
7
T 1 =6 0
1 0 7 e
5
4
0
1 1
T , então T = T2
1
eT
1
1 0
na base canônica
3
7
7
1 0 7:
5
1 1
são:
T1 e o operador T é representado, com relação à
base canônica, pela matriz A [T1 ], onde a matriz A é a inversa da matriz [T2 ]. Assim,
[T ] = [T2 ]
1
[T1 ] :
70
ÁLGEBRA LINEAR
2.3M
MARIVALDO P. MATOS
As aplicações TA e TB são dadas por:
TA (x; y) = (y; 2y; y)
e, portanto, TB
e
TB (x; y; z) = (0; x + 2y + z; x)
TA (x; y) = (0; 6y; y). Temos:
N (TA ) = f(x; 0) : x 2 Rg
Base:
= f(1; 0)g ;
N (TB ) = f(0; y; 2y) : y 2 Rg
Base:
= f(0; 1; 2)g ;
N (TB
Base:
= f(1; 0)g ;
TA ) = f(x; 0) : x 2 Rg
dim N (TA ) = 1:
dim N (TB ) = 1:
dim N (TB
TA ) = 1:
As colunas da matriz que representa a aplicação linear geram a imagem de tal aplicação. Observando
as matrizes das aplicações TA ; TB e TB
2.3N
TA , deduzimos que
Im (TA ) = [(1; 2; 1)]
Base:
= f(1; 2; 1)g ;
Im (TB ) = f(0; y; 2y) : y 2 Rg
Base:
= f(0; 1; 0) ; (0; 1; 1)g ;
Im (TB
Base:
= f(0; 6; 1)g ;
TA ) = f(x; 0) : x 2 Rg
dim Im (TA ) = 1:
dim N (TB ) = 2:
dim Im (TB
TA ) = 1:
Dado v = (x; y; z; t) do R4 , um cálculo direto nos dá
2
[v]
0
x
y + z + 3t
6
6
4z
1 6
6
=
6
4 6 2x + 2y + 2z 2t
4
x+y z+t
3
7
7
7
7
7
7
5
3 1
e, por conseguinte,
[T (v)] = A [v]
0
=
1
4
2
1
6
6
6 2
4
0
3
2
x
y + z + 3t
6
76
4z
76
1 1 0 76
6
5 6 2x + 2y + 2z 2t
1 1 1 4
x+y z+t
0
1 1
3
2
7
2x + 2y + 2z + 2t
7
7 1 6
6
7=
4x + 8z + 4t
7 4 6
4
7
5
x + 3y 3z t
3
7
7
7:
5
Logo,
T (v) =
=
2.3O
1
(2x + 2y + 2z + 2t) (1; 0; 0) + (4x + 8z + 4t) ( 1; 0; 1) + (x + 3y
4
1
( x 3y z t; x + 3y 3z t; 4x + 8z + 4t) :
4
Ponto de partida: T (x; y; z) = (x + 2y; x
z) e S (x; y) = (x; x
3z
y; 2y; 2x + y) :
t) (1; 1; 0)
COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS
APLICAÇÃO LINEAR
71
(a) Temos:
T (1; 0; 0) = (1; 1) = 0 (1; 0) + 1 (1; 1) ;
T (1; 1; 1) = (3; 0) = 3 (1; 0) + 0 (1; 1) ;
T (0; 1; 1) = (2; 1) = 1 (1; 0) + 1 (1; 1)
e
S (1; 0) = (1; 1; 0; 2) = 2 (1; 0; 0; 0) + 2 (0; 0; 1; 1) + ( 2) (0; 0; 1; 0) + ( 1) (1; 1; 0; 0) ,
S (1; 1) = (1; 0; 2; 3) = 1 (1; 0; 0; 0) + 2 (0; 0; 1; 1) + ( 1) (0; 0; 1; 0) + 0 (1; 1; 0; 0) :
Logo:
[T ]
0
0
=@
0 3 1
1 0 1
0
1
A
e
e, portanto,
[S]
(b) A aplicação composta S
[S
[T ]
0
0
1
B
B
=B 2
@
0
T]
0
00
6
coincide com o produto [S]
00
B
B
B 2
=B
B
B 2
@
1
3
6
3
T : R3 ! R4 vem dada por:
T ] (x; y; z) = S (T (x; y; z)) = S (x + 2y; x
(c) A matriz [S
2.3P
00
[S]
2
1
1
C
C
2 C
C
C
1 C
A
0
1
C
C
4 C:
A
1
z) = (x + 2y; 2y + z; 2x
00
[T ]
0
2z; 3x + 4y
z) :
encontrado em (b).
Recorde-se que um operador T : R3 ! R3 será um isomor…smo se, e somente se, for injetor.
(a) Mostremos que N (T ) = f0g. De fato,
x+y
T (x; y; z) = 0 ,
x
2z = 0
y=0
, x = y = z = 0:
x+z =0
Assim, T é injetor e, consequentemente um isomor…smo.
0
2
3
B
B
[T ] 0 = B 0
1
@
1 0
A matriz de T é:
1
2
C
C
2 C:
A
0
72
ÁLGEBRA LINEAR
MARIVALDO P. MATOS
1 (x; y; z)
(b) A inversa é dada por T
=
1
4
vem dada por:
T
(c) Se A é uma matriz n
In ; A
2.4
1
1
0
(x + y + 2z; x
0
B
B
=B
@
0
1=2
3y + 2z; x
0
1
1=2
1
1=4
3=4
y + 2z) e a matriz [T ]
0
1
1=2
C
C
C:
A
n invertível, ao escalonar a matriz ampliada [A; In ] chegamos à matriz
: No caso, temos:
0
2
3
2 1 0 0
B
B
B 0
1
2 0 1 0
@
1 0
0 0 0 1
1
C
C
C
A
0
1 0 0
0
B
B
B 0 1 0
@
0 0 1
1=2
1=4
0
1
1=2
1
3=4
1
1=2
C
C
C:
A
AUTOVALOR & AUTOVETOR
2.4A
Em cada caso, considere a matriz de T com relação às bases canônicas.
(a) Considerando a base canônica do R2 ; temos:
p
2e
2
=
p
1) (
2) (
A=
1
2
2:
2; com auto-espaços correspondentes V
(b) Neste caso, o polinômio característico é p ( ) = 2
p
e 2=1
2. Os auto-espaços são:
h
p i
V 1 = 1; 2
e V
(c) Temos p ( ) = (
1
2
I) = det @
p ( ) = det ([T ]
Os autovalores são 1 =
p
eV 2=
2; 1 :
0
2
2
=
1
1 e os autovalores são
h
p
1;
3) e os autovalores são
1
2
i
=
p
1
=1+
2; 1
p
2
:
=2e
2
= 3. Os auto-espaços
correspondentes são:
V
1
= [(1; 0; 0)] ;
V
2
= [(1; 1; 0)]
e
V
3
= [(1; 1; 1)] :
2
(d) O polinômio característico é p ( ) = ( + 1) 3
e os autovalores são
p
e 3=
3: Os auto-espaços correspondentes são:
h
i
h
p
V 1 = [(1; 2; 1)] ; V 2 = 1; 3 1; 1 ; e V 3 = 1; 1
1
=
p
3; 1
1;
i
2
:
=
p
3
COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS
73
APLICAÇÃO LINEAR
)4 e
(e) O polinômio característico é p ( ) = (1
1
= 1 é o autovalor de ordem 4. O auto-espaço
correspondentes é:
V
1
= [(1; 0; 0; 0) ; (0; 0; 0; 1)]
e os auto-vetores são do tipo v = (x; 0; 0; t) ; x; t 2 R.
(f ) Temos p ( ) = (3
)3 e os autovalores são
) (2
=3e
1
2
=
3
=
4
= 2: Os auto-espaços
são:
V
1
= [(0; 0; 0; 1)]
(g) No espaço M2
2,
e
V
= [(1; 0; 0; 0) ; (0; 0; 1; 0)]
(dim V
1
=1 e
consideramos a base canônica
80
1 0
1 0
1 0
19
< 1 0
0 1
0 0
0 0 =
A;@
A;@
A;@
A
= @
: 0 0
0 0
1 0
0 1 ;
e encontramos p ( ) = (1
=
2
)3 ( + 1). Os autovalores são, portanto,
1: Os auto-espaços correspondentes são:
20
1 0
1 0
13
1 0
1 0
0 0
A;@
A;@
A5
V 1 = 4@
0 0
0 1
0 1
(h) O único autovalor é
e
V
2
20
= 4@
dim V
2
= 2):
= 1, de ordem 3 e
0
1
1 0
13
A5 :
= 0 e qualquer polinômio constante e não nulo é um vetor próprio
associado. O auto-espaço é V = R.
(i) No espaço P2 , consideramos a base canônica
único autovalor é
=
1; x; x2
e encontramos p ( ) =
3
: O
= 0 e V = R.
(j) Temos T (1) = x; T (x) = 1 e T x2 = x2 e, portanto,
0
1
0 1 0
C
B
B
C
[T ] = B 1 0 0 C :
@
A
0 0 1
O polinômio característico é p ( ) = (1
2
=
)
2
1 , com raízes (autovalores)
1: Os autovetores associados ao autovalor
1
1
= 1 (dupla) e
são os polinômios do tipo ax2 + bx + b,
74
ÁLGEBRA LINEAR
MARIVALDO P. MATOS
enquanto os autovetores associados ao autovalor
2
são os polinômios do tipo bx
b: Os
auto-espaços são:
V
1
= x + 1; x2
e
V
2
= [x
1]
(dim V
1
=2 e
dim V
2
= 1):
(k) Dado p (x) = ax2 + bx + c, temos que T (p) = p (x + 1) = ax2 + (2a + b) x + a + b + c, de modo
que:
T (1) = 1;
T (x) = x + 1 e
= 1; x; x2 é, portanto:
0
A matriz de T na base
T x2 = x2 + 2x + 1:
1 1 1
B
B
[T ] = B 0 1 2
@
0 0 1
1
C
C
C
A
)3 : O autovalor é
e o polinômio característico é p ( ) = (1
= 1, de multiplicidade 3 e os
autovetores correspondentes são os polinômios q(x) = bx; b 2 R. O autoespaço é o subespaço
de dimensão n = 1, dado por
V
(l) Dado v = ax2 + bx + c, temos que T (v) =
T (1) = 0;
6ax2
T (x) =
3
O polinômio característico é p ( ) =
6
2
= [x] :
1
2 e
2bx
2a e, portanto:
T x2 =
6x2
2:
, com raízes (autovalores)
1
= 0 (dupla) e
2
=
6:
Os autoespaços são
V
Em outras palavras, V
1
1
=R e
V
2
= x; 1 + 3x2 :
é constituído pelos polinômios constantes, enquanto V
2
é o subespaço
constituído pelos polinômios do tipo 3ax2 + bx + a; a; b 2 R.
2.4B
Recorde-se que T é injetor se, e somente se, N (T ) = f0g. Se
= 0 é um atovalor de T ,
existe v 6= 0, tal que T (v) = 0 v = 0 e daí resulta que v 2 N (T ) e, portanto, N (T ) 6= f0g :
2.4C
As matrizes de T em relação às bases e 0 são, respectivamente:
0
1
0
1
1 0
1=2 1=2
A e [T ] 0 = @
A
[T ] = @
1 1
1=2 3=2
e temos:
COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS
(a) em relação à base
(b) em relação à base
APLICAÇÃO LINEAR
:
0
0
0
p ( ) = det @
Temos que R (x; y) = (x cos
2.4D
1
1=2
2
A = (1
1
1=2
1=2
1
1
p ( ) = det @
:
0
1
A=
3=2
75
)2
)2 :
2 + 1 = (1
y sen ; x sen + y cos ) e, considerando
= k , encon-
tramos
R (x; y) = ( 1)k x; ( 1)k y :
Com relação à base canônica, temos
0
[R ] = @
e o polinômio característico é p ( ) =
Com os autovalores
2.4E
1
=
2e
k
( 1)
k
0
( 1)
A
1, conforme seja k par ou ímpar.
2
= 3, construímos a base de autovetores
e teremos1
0
A = [T ] = @
Assim,
0
1
2 0
0
3
= f(3; 1) ; ( 2; 1)g
1
A:
T (x; y) = ( 6y; x + y) :
2.4F
Sendo T um isomor…smo, qualquer autovalor
T (v) =
2.4G
1
e
v,v=T
1
(
v) =
é não nulo e existe v 6= 0, tal que:
T
1
(v) , T
1
(v) =
1
v:
Sejam v1 e v2 autovetores de um operador T : V ! V , associados aos autovalores distintos
2.
Considere uma combinação linear nula
x v1 + y v2 = 0
(2.2)
e mostre que x = y = 0: De (2.2) deduza que
x
1
v1 + y
1
v2 = 0
x T (v1 ) + y T (v2 ) = 0
(I)
(II)
(2.3)
76
ÁLGEBRA LINEAR
MARIVALDO P. MATOS
e subtraindo (I) de (II), obtenha y = 0: De forma similar, mostre que x = 0: (a equação (I) é obtida
multiplicando (2.2) por
2.4
1
e a equação (II) é equivalente a x
1
v1 + y
2
v2 = 0)
OPERADORES DIAGONALIZÁVEIS
2.5A
2.6
EXERCÍCIOS ADICIONAIS
1. Para veri…car que T é linear, observe que
T ( (u1 ; v1 ) + (u2 ; v2 )) = T ( u1 + u2 ; v1 + v2 ) = u1 + u2 + v1 + v2
=
Dado u + v em W1
(u1 + v1 ) + u2 + v2 = T (u1 ; v1 ) + T (u2 ; v2 ) :
W2 , então T (u; v) = u + v e, portanto, T é sobrejetora. Por outro lado,
se (u; v) 2 ker (T ), então u + v = 0 em W1
W2 e como W1 \ W2 = f0g ; segue que u = v = 0.
Assim, ker (T ) = f0g e T é injetora.
2. Dado v em V , então v = x1 v1 + x2 v2 +
+ xn vn e, considerando que T (vj ) = S (vj ),
obtemos:
S (v) = x1 S (v1 ) + x2 S (v2 ) +
+ xn S (vn )
= x1 T (v1 ) + x2 T (v2 ) +
+ xn T (vn )
= T (x1 v1 + x2 v2 +
+ xn vn ) = T (v) :
3. Sendo T : V ! W um isomor…smo, então dim V = dim W , e T
1
será um isomor…smo se, e
somente se, for injetor. Ora,
T
Logo, T
1
1
(w1 ) = T
1
(w2 ) , T T
1
(w1 ) = T T
1
(w2 ) , w1 = w2 :
é injetor e, portanto, um isomor…smo.
4. Sendo T : V ! W um isomor…smo, então N (T ) = f0g e Im (T ) = W (T é injetor e
sobrejetor). Logo,
dim V = dim N (T ) + dim Im)T = 0 + dim W = dim W:
COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS
APLICAÇÃO LINEAR
Por outro lado, dada uma base
= fv1 ; v2 ;
; vn g, então T (v1 ) ; T (v2 ) ;
77
; T (vn ) são LI.
De fato:
x1 T (v1 ) + x2 T (v2 ) +
+ xn T (vn )
=
0 , T (x1 v1 + x2 v2 +
, x1 v1 + x2 v2 +
, x1 = x2 =
+ xn vn ) = 0
+ xn vn = 0
xn = 0:
5. Dado que P (x; y; z; t) = (x; y; 0; 0), temos:
(a) P 2 (x; y; z; t) = P (P (x; y; z; t)) = P (x; y; 0; 0) = (x; y; 0; 0) = P (x; y; z; t) :
(b) Dado v = (x; y; z; t) um vetor do R4 , então:
v = (x; y; z; t) = (x; y; 0; 0) + (0; 0; z; t) = P (x; y; z; t) + (0; 0; z; t) 2 Im (P ) + N (P ) :
Considerando que Im (P ) \ N (P ) = f0g, deduzimos que R4 = Im (P )
(c) Considere qualquer base do tipo
N (P ) :
= f(1; 0; 0; 0) ; (0; 1; 0; 0) ; (0; 0; ; 0) ; (0; 0; 0; )g, com
6= 0:
6. As matrizes T
1
0
e [T ]
0
são inversas uma da outra.
7. Uma transformação linear T : R2 ! R2 é do tipo T (x; y) = (ax + by; cx + dy) e a imagem da
reta L = f(At + B; Ct + D) ; t 2 Rg é a reta de equações paramétricas:
u = (aA + bC) t + aB + bD
v = (cA + dC) t + cB + dD:
8. H
9. I
10. J
11. Na …gura abaixo ilustramos os operadores T e R, onde Q é o ponto médio de P Q0 e vemos
78
ÁLGEBRA LINEAR
MARIVALDO P. MATOS
que T (P ) = Q e R (P ) = Q0 :
(a) Um ponto genérico da reta r que passa por P (x; y; z) e é perpendicular ao plano
X = (x + 3t; y + 2t; z + t) e no instante t0 =
1
14
é
(3x + 2y + z) o ponto X estará sobre
o plano . Logo
T (x; y; z) = Q =
1
14
(5x
6y
3z; 6x + 10y
2z; 3x
2y
13z) :
Por outro lado, considerando que Q é o ponto médio de P Q0 , temos
Q=
1
2
P + Q0 ) Q0 = 2Q
P =
1
7
( 2x
6y
3z; 6x + 3y
2z; 3x
2y + 6z) :
(b) É oportuno observar que se u é um vetor perpendicular ao plano , então R (u) =
ue
que
T (v) = 0 , v ?
A base
e
T (u) = u , u 2 :
= fv1 ; v2 ; v3 g deve ser tal que T (v1 ) = v1 ; T (v2 ) = 0 e T (v3 ) = v3 : Escolha
v1 e v3 LI, ambos no plano ; e v2 ortogonal ao plano.
FIM