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Matemática III
2. 11. Multiplicação entre Matrizes
Os exemplos abaixo servirão para compreendermos a definição de
multiplicação, porque não é óbvia como as operações anteriores. Esses
exemplos poderiam ser resolvidos sem o uso da multiplicação entre
matrizes, o objetivo de trabalhar com eles é visualizarmos o padrão
utilizado que será chamado de multiplicação entre matrizes.
Situação 1. Durante a primeira fase da copa do mundo de futebol de
2014, o grupo A é formado pelos países: Brasil, Croácia, México e
Camarões.
País
Vitórias Empates Derrotas
Brasil
2
1
0
Croácia
1
0
2
México
2
1
0
Camarões
0
0
3
Pelo regulamento da copa, e dos campeonatos de futebol, em geral,
cada resultado tem pontuação correspondente a mostrada na tabela 2.
Resultado Pontos
Vitória
3
Empate
1
Derrota
0
Determinamos a seguir, uma tabela que mostra a pontuação
correspondente de cada país. Tabela 3.
País
Pontuação
País
Pontuação
Brasil
Brasil
Croácia
Croácia
México
México
Camarões
Camarões
Se nos concentrarmos apenas nas informações numéricas, teremos três
matrizes.
2
1
0
3
A = 1
0
2
B =

C=
=
1
2
1
0
0
0
0
3
Podemos observar que:
A 1ª linha de A foi operada com a 1ª (única) coluna de B, gerando o
elemento da 1ª linha e da 1ª coluna de C. c11 = a11.b11 + a12.b21 + a13.b31
A 2ª linha de A foi operada com a 1ª coluna de B, gerando o elemento
da 2ª linha e 1ª coluna de C. c21 = a21.b11 + a22.b21 + a23.b31
A 3ª linha de A foi operada com a 1ª coluna de B, gerando o elemento
da 3ª linha e da 1ª coluna de C. c31 = a31.b11 + a32.b21 + a33.b31
A 4ª linha de A foi operada com a 1ª coluna de B, gerando o elemento
da 4ª linha e da 1ª coluna de C. c41 = a41.b11 + a42.b21 + a43.b31
Essa operação é feita pelo somatório da multiplicação do 1º elemento
da linha pelo 1º elemento da coluna, 2º elemento da linha pelo 2º elemento
da coluna, 3º elemento da linha pelo 3º elemento da coluna.
Situação 2. Para fabricação de caminhões, uma indústria montadora
precisa de eixos e rodas para seus três modelos de
caminhões, com a
seguinte especificação:
Componentes
Modelo A Modelo B Modelo C
Eixos
2
3
4
Rodas
4
6
8
Nos dois primeiros meses do ano foram encomendadas as seguintes
quantidades por modelo:
Modelo Janeiro Fevereiro
30
20
A
25
18
B
20
15
C
53
Matrizes
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Quantos eixos e rodas foram necessários para os meses de janeiro e
de fevereiro?
Componentes
Janeiro
Fevereiro
Eixos
Rodas
Concentramo-nos nas informações numéricas.
A
=
2
4
3
6
4
8
30
25
20
B=
20
18
15
C=
C =
Podemos observar que:
A 1ª linha de A foi operada com a 1ª coluna de B, gerando o elemento
da 1ª linha e da 1ª coluna de C. c11 = a11.b11 + a12.b21 + a13.b31
A 2ª linha de A foi operada com a 1ª coluna de B, gerando o elemento
da 2ª linha e 1ª coluna de C. c21 = a21.b11 + a22.b21 + a23.b31
A 1ª linha de A foi operada com a 2ª coluna de B, gerando o elemento
da 1ª linha e da 2ª coluna de C. c12 = a11.b12 + a12.b22 + a13.b32
A 2ª linha de A foi operada com a 2ª coluna de B, gerando o elemento
da 2ª linha e da 2ª coluna de C. c22 = a21b12 + a22b22 + a23.b32
Essa operação é feita pelo somatório da multiplicação do 1º elemento
da linha pelo 1º elemento da coluna, 2º elemento da linha pelo dever da
2º elemento da coluna, 3º elemento da linha pelo 3º elemento da coluna.
Observação: 1.A matriz C terá tantas linhas a matriz A possui e tantas
colunas quanto B possui.
2. Essa operação entre matrizes A e B chamamos de multiplicação de A por
B (nessa ordem).
3. Mostramos problemas entre tabelas (matrizes) onde há sentido fazer a
multiplicação entre matrizes, operação descrita acima. Só existe esse
sentido se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B.
Definição: Dada uma matriz A =(aij) do tipo mxn e uma matriz B =(bij) do
tipo nxp, o produto da matriz A pela matriz B é a matriz C = (cij) do tipo
mxp tal que o elemento cij é calculado multiplicando-se ordenadamente os
elementos da linha i, da matriz A, pelos elementos da coluna j da matriz
B, e somando-se os produtos obtidos.
Para dizer que a matriz C é o produto de A por B, vamos indicá-la
por AB.
Exemplo: Considere as matrizes:
 2
1
3
0
5
A =
B = 


 1 3
1 4 0
Matriz A do tipo 2x2 e a matriz B do tipo 2x3, a matriz resultado AB é
do tipo 2x3.
1º)Elemento c11:1ª linha de A x 1ª coluna de B
2º)Elemento c12:1ª linha
de A x 2ª coluna de B
2
-1
1
3
54
3
1
0
4
5
0
c11=
2
1
1
3
3
1
0
4
5
0
c12=
Matrizes
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3º)Elemento c13:1ª linha de A x 3ª coluna de B
de A x 1ª coluna de B
2
-1
1
3
3
1
0
4
5
0
2
-1
c13=
1
3
3
1
5º)Elemento c22:2ª linha de A x 2ª coluna de B
de Ax3ª coluna de B.
2
-1
1
3
3
1
0
4
5
0
2
-1
c22=
4º)Elemento c21:2ª linha
5 c21=
0
6º)Elemento c23:2ª linha
1
3
3
1
C = AB =
0
4
0
4
5
0
c23=
.
Observação: Assim como a notação da multiplicação com números reais usamos
A2 = AA, A3 = AAA, ...
Pense: 1. O produto entre matrizes pode ser comutativo, ou seja, AB = BA?
Existe a possibilidade de o produto ser igual?
2. Existe uma matriz
neutra para multiplicação entre matrizes? Ou seja, uma matriz multiplicada
por esta é a própria matriz? 3. Para que tipo de matriz podemos calcular
suas potências A2, A3, ...
2.12. Aplicação de operações entre matrizes.
Transformações lineares:
As imagens em uma tela de computador são na verdade formadas por
pequenos pontos (pixels) que são elementos de uma matriz. Uma imagem de
resolução 800x600 tem 480 mil pixels distribuídas em 800 colunas e 600
linhas (inverso da nossa ordem usual). Quando um programa gráfico altera
a posição da imagem, por um giro ou tamanho, na verdade está mudando a
posição dos pixels que a formam. Isso tudo é feito por operações com
matrizes.
2.12.1. Rotação.
Para fazer a rotação do triângulo, teríamos que fazer a rotação de cada
ponto pertencente a ele, ao menos seus vértices. Representaremos essa
rotação usando o ponto A, que após uma
y
rotação de um ângulo  em torno da origem no
sentido anti-horário, resultará em A’,
A’
considerando:
A= [x

A
y]
x
sen 
 cos 

 sen cos  
R= 
A' =[x'
y']
A’ = AR
Suponhamos que as coordenadas de A sejam
(5,1), podemos considerar como uma matriz linha, do tipo 1x2. Supomos
ainda que  = 90º.
 cos 90º
sen90º 
R = 
=
 sen90º cos 90º
A’ = [5
55
 0
1
1 ] 

 1 0
 0
 1

1
0

A’ =[
]
Matrizes
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Observação: A rotação pura do ponto A não pode alterar a distância do
ponto A' à origem, ou seja, |OA'| = |OA|.
2.12.2. Ampliação/redução. Podemos mudar a escala de um objeto, ou seja,
seu tamanho. Podemos modificar a escala horizontal e a escala vertical
por diferentes fatores.
Em geral, no plano, se A é um ponto de coordenadas A = [ x y ], obtémse uma mudança de escala em x pelo fator Sx e em y pelo fator Sy, gerando
A’, pelo produto:
y
A’ = A.E
Onde :
P’
S
E =  x
0
A’
A
P
x
0
Sy 

Observe o pentágono P ele foi duplicado na
altura e na largura, assim obteve-se o
pentágono P’. Teríamos que tomar cada ponto
da
figura
escolhida
e
alterá-lo,
à
semelhança da rotação.
Seja A um dos vértices do pentágono P. Suponha A = [ 3
2 ] . O
fator de multiplicação para x e para y , denotadas por Sx e Sy ,
respectivamente, é 2.
2
0
A’ = A.E, onde E = 

0 2
2
A’ = [ 3
0
2 ] 

0 2
A’ = [
]
2.12.3. Translação.
Translação é um movimento composto por um
deslocamento horizontal e um vertical. A
translação não pode deformar o objeto.
Tomando a translação de um ponto P = [x
y]
por um vetor V= [a
b] a operação é
simplesmente a adição das matrizes linha P e
V.
P' = P + V
Suponha que o ponto P tenha coordenadas
P = [1
2,3] e que o vetor seja V = [3,7
2]. As coordenadas de P',
ou seja, da translação do ponto P pelo vetor V é:
P' = [
]
2.13. Exercícios
1.
Sendo A2x2 , B2x4 e C4x1, determine o tipo das matrizes produto, se
existirem:
(a) AB
(b) BC
(c) BA
(d) AA
(e) CB
(f) CC
2. Determine AB, produto da matriz A por B, se:
(a) A =
56
2 5 8 

 e
1 4  3
 4 3 4


B =  3 6 1
 1 2 0


(b) A = ( 2
3
10)
5
 
B = 4
 2
 
Matrizes
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 3 1 2
 4 2 1
 B = 

(c) A = 
1 4 2
 3 0 1
 2 1


 2
6
4
 , C =   e D = (1 2), determine:
3. Dadas as matrizes A =  4 2 , B = 
  1 0
 3
 3 5

(a) AB

(c) BB = B2 (notação)
(b) BC
 1 2 3
1 1 


 1
 , B =  4 4 e C = 
4. Dadas as matrizes A = 
 0 6 1
 1
 2 2


(a) AB
(b) BA
(c) A.I3
(d) I2.A
3
1 
5. Dadas as matrizes A = 
 e B =
4  1
(a) Calcule AB
(b) Calcule
2 1
(d) CD
1
1
1 
 , determine:
 1
(e) BC
2 1
0 5 :


BA
 3
(c) Compare (a) e (b)
5
6. Dadas as matrizes A = 
 e B =  2 0 , calcule:
4 0


(a) AB (b) B2 (c) A2 (d) A2  B2 (e) (A+B)(AB) (f) (A+B)2 (g) A2+ 2AB+ B2
7. Determine a matriz X tal que:
X.[ 1
1  3
3] = 

3  9
8. Classifique como verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo.
No caso de ser falsa, justifique:
(a) Se P e Q são matrizes quaisquer tais que existam os produtos
PQ e QP, então PQ = QP.
(b) Para quaisquer matrizes P e Q tais que existam os produtos
PQ e QP, tem-se: (P + Q)2 = P2 + 2PQ + Q2.
(c) Para P do tipo mxn e Q do tipo nxk, tem-se: (PQ)t = Qt.Pt.
(d) Se o produto de duas matrizes, P e Q, é igual à matriz nula, então
pelo menos uma das matrizes é nula.
(e) Se P é do tipo mxn PIm = P e InP = P.
9. Sabemos como é uma matriz que provoca uma rotação de um ângulo  de
um ponto no plano em torno da origem no sentido anti-horário, assim como
aplicar uma ampliação/redução na largura e na altura desse ponto. Podemos,
por extensão desse pensamento, fazer rotação e ampliação/redução de um
polígono fazendo o mesmo para todos os vértices. Façamos isso para um
triângulo ABC , de coordenadas A (xa, ya), B (xb, yb) e C(xc, yc). Para
minimizar trabalho como é possível produzir uma rotação e uma
ampliação/redução do triângulo ABC de uma vez só com apenas uma operação
entre matrizes? Dica considere onde M matriz relativa aos pontos e T a
matriz transformação linear que gera a rotação e a mudança de escala AO
MESMO TEMPO. Não invente um exemplo, indique apenas as matrizes e o que
fazer com elas a fim de termos o resultado descrito.
10. Para a construção de casas populares, um prefeito sugeriu dois tipos
de casa : M e G. As casas do tipo M têm 5 portas, 6 janelas e 6 caixas
de luz. As casas do tipo G têm 8 portas, 9 janelas e 10 caixas de luz.
Numa primeira etapa, deverão ser construídas 500 casas do tipo M e 200
casas do tipo G; numa segunda etapa, 600 do tipo M e 400 do tipo G.
(a) Determine A matriz material por tipo de casa e de B matriz número
de casas por etapas.
57
Matrizes
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(b) Qual operação necessária para obter C uma matriz material por etapas.
Calcule C.
0 1
11. Sendo A uma matriz quadrada A = 
 , qual o resultado de:
1 0
A + A2 + A3 + A4 + ... + A39 + A40?
12. Considere um vetor no espaço U = [a
b
c] e um vetor no plano
V =[r
s]. Como é calculado o módulo desses vetores? Associe esse cálculo
a uma operações entre matrizes de modo que a mesma operação sirva para o
vetor U e o vetor V. Dica: Considere o módulo ao quadrado para a raiz não
atrapalhar.
1 1
13. Considere a matriz P = 
.
0 1
Calcule: (a) P2; (b) P3 ; (c) P4. (d) Intuitivamente, qual é a expressão
de Pn, para n  ℕ?
14. Uma nutricionista recomendou aos atletas de um time de voleibol a
ingestão de uma quantidade mínima de certos alimentos (frutas, leite e
cereais) necessária para uma alimentação sadia. A matriz D fornece a
quantidade diária mínima (em gramas) daqueles alimentos. A matriz M mostra
a quantidade (em gramas) de proteínas, gorduras e carboidratos fornecida
por cada grama ingerido dos alimentos citados.
fruta leite cereais
0,006 0,033 0,108 proteínas
fruta


D =
leite
M = 0,001 0,035 0,018 gorduras
0,084 0,052 0,631 carboidratos
cereais
Determine a matriz que mostra a quantidade diária mínima (em gramas) de
proteínas gorduras e carboidratos fornecidas pela ingestão daqueles
alimentos.
200


300
600
15. Amanda, Bruna e Camila saíram para tomar chocolate quente, numa
cafeteria, tanto no sábado quanto no domingo. As matrizes a seguir resumem
quantos chocolates quentes cada um consumiu e como a despesa foi divida:
4 1 4
S = 0 2 0
3 1 5
5 5 3
D = 0 3 0
2 1 3
S refere-se às despesas de sábado e D às de domingo.
Cada elemento aij nos dá o número de chocolates quentes que i pagou para
j, sendo Amanda o número 1, Bruna o número 2 e Camila o número 3.
(a) Quem bebeu mais chocolates quentes no fim de semana?
(b) Quem pagou mais chocolates quentes no fim de semana?
(c) Quantos chocolates quentes Camila ficou devendo para Amanda?
2.14. Respostas dos exercícios 2.10.
1. a11 = 1 a23 = 2
a32 = 4
a43 =  3 a52 = 0
 1  4  7  10  13
 2  5  8  11
1 1 1


 3 1 1
3. B = 
4 5 1


 5 6 7


2. A = 
 1
4. (a) U$ 2.800,00
58
1 2 3
4
5
C = 

1 4 9 16 25
(b) U$ 10.580,00 (c) U$ 1.950,00
Matrizes
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6. x =  2 e y = 1
5. x = 1 e y = 4.
  1  3  7  13

7. 
  3  4  7  12
  4 14 


9. (a)  5 21 
 13  5


8. 10
  10
5
(b) 
 25  30
 20
10 
10 . (a) Verdadeiro. Mostre que se A+ At = (bij), então bij = bji.
(b) Verdadeiro. A – At é antissimétrica. Mostre que se A – At = (cij),
então  cij = cji.
11.
(a) W = [ 7
(b) 3U = [ 6
(c) B = [ 2
59
 1
 3
2
1 ]
9
 3
]
]
Matrizes