SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL
Ministério da Educação
Universidade Federal do Rio Grande
Universidade Aberta do Brasil
Administração – Bacharelado
Matemática para Ciências Sociais Aplicadas I
Rodrigo Barbosa Soares
2
1. Matrizes:
1.1. Introdução:
As matrizes são tabelas de números reais utilizadas em quase todos os ramos da
ciência. São utilizadas na Estatística, na Economia, na Administração, na Física, na
Matemática, na Engenharia, etc. A teoria de matrizes foi introduzida em meados do
século XIX, sendo o matemático inglês Arthur Cayley (1821- 1895) um dos pioneiros
neste estudo. Em muitas situações da economia, ou da física, ou de outro ramo da
ciência, as idéias costumam ser expressas por um número grande de equações, as
quais envolvem muitas variáveis. A representação com matrizes constitui uma
forma adequada de representá-las e de resolvê-las. Vejamos, então, um exemplo
(1) de matriz.
Considere a tabela abaixo, que indica o número de vendas efetuadas por uma
concessionária de automóveis, durante o segundo trimestre de 2007.
Modelo
Abril
Maio
Junho
Fox
3
5
6
Fit
3
4
2
Palio
5
11
9
Se quisermos saber a quantidade de automóveis do modelo Fit, vendidos no mês
de maio, iremos procurar o número que está na terceira linha e segunda coluna da
tabela.
No quadro, os números colocados nas disposições horizontais formam o que
denominamos de linha e os números colocados nas disposições verticais
chamamos de coluna.
3 5 6
O conjunto ordenado dos números 3 4 2 que formam a tabela é denominado
5 11 9
matriz e cada número é chamado de elemento da matriz. Nesse exemplo, temos
uma matriz do tipo 3 x 3 (lê-se: três por três), isto é, uma matriz formada por 3
linhas e 3 colunas.
3
Cada elemento presente em uma matriz é indicado por uma letra minúscula, que
possui como índice um par ordenado (ij) (i=1,2,3,...,m
e j=1,2,3,...,n), o qual
representa o número da linha e o da coluna, ou seja, o elemento é representado por
aij . Costuma-se representar o total de linhas de uma matriz pela letra m e o
número total de colunas por n. Os valores de m e de n são as dimensões da matriz.
Ou seja, podemos dizer que a matriz tem ordem m x n ou é uma matriz do tipo m x
n.
Vejamos agora um outro exemplo (2): vamos supor que o responsável pelo
almoxarifado de um posto de gasolina
resolva organizar o estoque de óleo
lubrificante para motores de automóveis. Para cada tipo de óleo lubrificante,
contido no almoxarifado, e para cada mês do ano, ele deve destacar a quantidade
do produto em estoque. Ele resolve organizar o estoque da seguinte maneira: Óleo
mineral (23, 10 ,32, 17); Óleo sintético (42, 13, 27, 33); Óleo semi-sintético (12, 15,
8, 20), sendo que os números em parênteses representam a quantidade de óleo em
estoque nos meses de janeiro, fevereiro, março e abril. A solução mais utilizada
para este tipo de problema é a construção de uma tabela, onde as linhas podem
representar os lubrificantes e as colunas, os meses.
23 10 32 17
42 13 27 33
12 15
8
20
Dessa forma, se quisermos saber a quantidade, em estoque, do produto óleo
sintético no mês de março, basta procurarmos o número que está na segunda linha
e na terceira coluna: 27.
Assim, os
produtos estão organizados, na forma de
matriz, que é um conjunto ordenado de elementos dispostos em linhas e colunas.
1.2. Definição:
Uma matriz A é dada por A = (ai j ) com 1≤ i ≤ m e 1≤ j ≤ n, onde o elemento ai j é
o elemento da linha i e da coluna j. A representação genérica de uma matriz pode
ser observada abaixo:
4
Vamos ver, a seguir,
alguns
conceitos importantes utilizados no estudo das
matrizes :
Posição de um elemento: Na tabela acima, a posição de cada elemento
ai j é indicada pelo par ordenado (i,j), onde i corresponde à linha e j à coluna em
que se encontra o elemento.
Notação para a matriz: Indicamos uma matriz A pelos seus elementos, na
forma: A = (ai j ) ou A = [ai j ]
A
Ordem de uma matriz refere-se ao seu número de linhas e colunas. É
apresentada na notação m x n, onde m é o número de linhas e n o de colunas. Lê
se matriz "m por n".
Assim, a matriz A do segundo exemplo é de ordem 3 x 4.
1 0
3 5
Exemplo 3: 
8
é matriz do tipo 2 x 3,
− 2

−1 2
 4 7

 é matriz do tipo 3 x 2,


1
8


1
4

0
é matriz do tipo 2 x 2.
9

 i + j, se i = j
.
3i − j, se i ≠ j
Exemplo 4: Monte uma matriz A de ordem 3 x 2 onde aij = 
5
 a11 a12 2 1

 

Solução: A =  a21 a22 = 5 4 . A matriz foi montada, seguindo uma lei de
 a31 a32 8 7
formação para os seus elementos. Então, por exemplo, se i≠j o elemento a21= (3x2)1=5 e se i=j o elemento a22=2+2=4.
1.3. Tipos especiais de matrizes:
1.3.1. Matriz Linha é a matriz que possui apenas uma linha, isto é m=1.
[
Exemplo 5: 1
0 2 3]1x4
1.3.2. Matriz Coluna é a matriz que possui apenas uma coluna, isto é n=1.
1
0
Exemplo 6:  
2
 
34x1
1.3.3. Matriz quadrada
é a matriz que tem o número de linhas igual ao
número de colunas. Neste caso, podemos dizer que a ordem é m, ao invés de m x
m.
 a11 a12 a13


Exemplo 7:  a21 a22 a23
 a31 a32 a33
Diagonal
Secundária
 a11 a12
a a 
 21 22
Diagonal
Principal
Diagonal
Secundária
Diagonal
Principal
Em uma matriz quadrada, os elementos ai j , onde i =j são chamados elementos
da diagonal principal
( a11, a22, a33) , enquanto os elementos tais que i + j = n + 1
( em que n é a ordem da matriz) são chamados elementos da diagonal secundária
( a13, a22, a31) .
1.3.4. Igualdade de Matrizes:
6
Dadas as matrizes A = (aij )m×n e B = (bij )p×q , podemos afirmar que A e B são
iguais se, e somente se:
1) m = p e n = q (ou seja, elas têm a mesma ordem);
2) ai j = bi j para todo 1≤ i ≤ m e 1≤ j ≤ n.
Em outras palavras, duas matrizes são ditas iguais, se tiverem a mesma ordem e
se os seus elementos forem idênticos.
 2 0
x
e B=

− 1 3
z
Exemplo 8: Dadas as matrizes A = 
y
de mesma ordem (2 x
t

2). Para que A seja igual a B devemos ter x = 2, y = 0, z = -1 e t = 3, ou seja, seus
elementos devem ser iguais.
1.3.5. Matriz diagonal
é toda aquela cujo elemento ai j = 0 se i≠j. Isto é,
possui todos os valores iguais à zero, exceto os elementos da diagonal principal.
Alguns elementos da diagonal principal podem ser nulos.
2 0

Exemplo 9: São diagonais as matrizes: A = 0 3

0 0
0
2 0
0
 e B = 0 0 .


4

1.3.6. Matriz nula é aquela que possui todos os elementos iguais a zero.
0 0 0
 é matriz nula tipo 2x3,
0 0 0
Exemplo 10: A = 
0 0
B=
 é matriz nula de ordem 2.
0 0
1.3.7. Matriz identidade:
Chamamos de matriz identidade toda matriz
quadrada, cujos elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os elementos fora
da diagonal principal são nulos. Ou seja, é toda aquela cujos elementos ai j = 0 se i
≠ j e ai j = 1 se i = j. Representamos por I n .
1 0 0


Exemplo 11: A = 0 1 0

0 0 1

7
1.3.8. Matriz simétrica:
é aquela matriz quadrada, na qual os elementos
dispostos simetricamente em relação à diagonal principal são iguais. Isto é, A é uma
matriz simétrica se ai j = aj i , para todo i e j.
1

Exemplo 12: A = − 2

3
−2
3
0 10
 , pode-se observar que os elementos dispostos
10 4 

simetricamente em relação à diagonal principal, os elementos a12 = a21 = −2 ,
a13 = a31 = 3 e a23 = a32 = 10 são iguais.
1.3.9. Matriz anti-simétrica:
é a matriz quadrada, na qual, são nulos os
elementos da diagonal principal, e opostos os elementos dispostos simetricamente
em relação a ela.
0 2

Exemplo 13: A = − 2 0

9 4
− 9
− 4

0 

1.3.10. Matriz transposta: Se A é uma matriz de ordem m x n, chamamos
a transposta de A e indicamos por A t a matriz de ordem n x m, obtida pela troca
ordenada das linhas pelas colunas.
2 3
1
− 1 − 5 8
A
=
Exemplo 14:


3 2
0
4
− 7

10

3x4
1

2
At = 
3

4
−1
0

−5 3 
8
2

− 7 104x3
Observe que:
A 1a linha de A é igual à 1a coluna de At,
A 2a linha de A é igual à 2a coluna de At,
A 3a linha de A é igual à 3a coluna de At
1.4. Operações com matrizes:
1.4.1. Adição:
Esta operação só pode ser realizada quando as matrizes envolvidas, na operação,
têm o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas (mesma ordem), ou
8
seja, são do mesmo tipo. Sejam duas matrizes Am×n e Bm×n , então, a matriz C
= A + B é uma matriz m x n tal que cada elemento de C é dado por: cij = aij +
bij .
10 6

Exemplo 15: Sendo A = − 2 5

1 0
7
0 6

− 7 e B = 
2 3

− 1

1 3
1 
− 7
 , determine a
1 

matriz C= A + B.
10 6

C = A + B = − 2 5

1 0
7  0

− 7
 + 2
−1
 
1
6
3
3
1  10 12
8 


− 7 =  0
8 −14



1 
2
3
0
 

aij + bij
7 +1 
10 + 0 6 + 6
− 2 + 2 5 + 3 − 7 + −7


 1 + 1 0 + 3 − 1 + 1 
1.4.2. Matriz Oposta:
Dada a matriz A, de ordem m x n e elemento aij , chamamos a matriz oposta de A
(indicada por – A ou A’) a matriz de ordem m x n e elemento – aij .
1

Exemplo 16: Sendo A = 4
0

−1
−A = 
− 4

 0
−1 4 
3 − 5
 , a matriz oposta de A é dada por
−1 1 

− 4
−3 5 
.
1
− 1

1
1.4.3. Propriedades da Adição de matrizes:
4 
 1 − 3
 2 − 3
−1
 , B = 
 e C = 


 de mesma
4 2 
7 0 
 0 − 10
Sejam as matrizes A = 

ordem ou tipo m x n. A operação de adição possui as seguintes propriedades:
9
1. Comutativa⇒ A+B = B+A.
1

4

− 3 2
+ 

2 
 7
− 3
2

= 

7
0 

− 3 1
+

0 
 4
A+B
− 3

2 

B+A
 3 − 6

11 2 



 3 − 6

11 2 



=
2. Associativa ⇒ (A+B) +C = A + (B+C).
  1 − 3  2 − 3 
 

 4 2  +  7 0   +
 


4 
 −1
1

 0 −10
 = 
4



A+ B
C
  3 − 6 
 

 11 2  


+
4  1
 −1

 0 −10
 =


 4
4 
− 3   2 − 3  − 1
+  

 + 



2    7 0   0 − 10 
A
− 3

2 

Obtemos a igualdade (A+B) +C=A+ (B+C).
 2 − 2
 2 − 2

11 − 8
 = 
11 − 8





3. Elemento Neutro ⇒ A+0=A (0 é a matriz nula).
1

4

− 3 0
+ 

2 
 0
0  1
=

0
 4
− 3

2 

4. Elemento oposto ⇒ A+(-A)=0 (0 é a matriz nula).
1

4

− 3  − 1
+ 

2 
 − 4
3  0
=

− 2
 0
5. (A+B)t = At+Bt.
0

0

B+C
+
1
1 
 

 7 −10 


10
3
Se ( A + B) = 
11

 3
t
t
então A + B = 
− 6
− 6
 3 11
 1 4
 2 7
 , ( A + B) t = 
 , At = 
 e Bt = 
 ,
2 
− 6 2 
 − 3 2
 − 3 0
11
 = ( A + B) t .
2 
1.4.4. Subtração de matrizes:
1 − 3
− 3 6 
 e B = 
 , a diferença D entre as
6 8 
 2 − 4
Considere as matrizes: A = 

matrizes A e B é obtida pela soma da matriz A com a matriz oposta de B, ou seja,
D= A-B= A+ (-B).
1 − 3  − 3 6 

D=
6 8 
 - 

=

  2 − 4
1

6

− 3  3 − 6  4
+


=

8 
 − 2 4  4
− 9

12 

1.4.5. Multiplicação de número por matriz:
Dada a matriz A e o número k, o produto de k pela matriz A é a matriz que se
obtém multiplicando todos os elementos da matriz pelo número k. Então, a matriz
B= k.A.
 3 ×1 3 × (−3)   3 − 9
1 − 3
 e k=3, então, k.A = 

=

=
3 × 6
3× 8 
6 8 

 18 24 
Sendo A = 

 1 − 3  1 − 3  1 − 3

 + 
 + 

6 8  6 8  6 8 
1.4.6. Multiplicação de matrizes:
Sejam as matrizes Am×p e Ap×n (observe que o número de colunas de A é igual
ao número de linhas de B), com elementos genéricos ai k e bk j . Chama-se o
produto da matriz A pela matriz B (indica-se o produto AB) a matriz do tipo m x n,
cujo elemento genérico ci j é dado por ci j = ai1.b1j + ai2.b2j + ai3.b3j + ... + aip.bpj .
Isto é, o elemento ci j é obtido multiplicando-se a linha i de A pela coluna j de B
ordenadamente, elemento por elemento, somando-se os produtos em seguida.
11
ai1.b1j
b1j
ai2.b2j
aip.bpj
ai1 ai2 ... aip
A
b2j
B
bpj
cij
cij = ai1.b1j + ai2.b2j ....aip.bpj
AB
4
Exemplo 17: Dadas as matrizes A = 
1
1 3
0 5


e B = 2 0
o produto A.B é

3 22×3


1
2

3×2
 c11 c12 
9 22
onde o elemento:
 = 9 7 
2×2
c21 c22 2× 2 
a matriz C = 
c11 = 4.1 + 0.2 + 5.1 = 9 , é a soma obtida da multiplicação da primeira linha de A
pela primeira coluna de B ordenadamente, elemento por elemento;
c12 = 4.3 + 0.0 + 5.2 = 22, é a soma obtida da multiplicação da primeira linha de A
pela segunda coluna de B ordenadamente, elemento por elemento;
c21 = 1.1 + 3.2 + 2.1 = 9 , é a soma obtida da multiplicação da segunda linha de A
pela primeira coluna de B ordenadamente, elemento por elemento;
c22 = 1.3 + 3.0 + 2.2 = 7 é a soma obtida da multiplicação da segunda linha de A
pela segunda coluna de B ordenadamente, elemento por elemento.
Observamos que, de acordo com a definição, exigia-se que o número de colunas de
A fosse igual ao número de linhas de B, ou seja:
12
A
B
mxp
pxn
iguais
Vamos visualizar esta operação por meio do exemplo 18, prático
e simples: Uma doceria produz dois tipos de doces A e B. Para a
produção desses doces, são utilizados os ingredientes X, Y e Z,
conforme a tabela.
DOCES
A
B
X
3
4
Y
6
6
Z
8
2
3 4
6 6
A
=
A tabela dada será representada pela matriz

 . Suponha que sejam


8
2


fabricados, por dia, 50 doces do tipo A e 20 doces do tipo B. Essa quantidade de
doces pode ser representada pela matriz coluna:
50
B =   . Se quisermos
20
determinar a quantidade de ingredientes X, Y e Z utilizada por dia, devemos
proceder da seguinte forma:
Ingrediente X: 3 ⋅ 50 + 4 ⋅ 20 = 230
Ingrediente Y: 6 ⋅ 50 + 6 ⋅ 20 = 420
Ingrediente Z: 8 ⋅ 50 + 2 ⋅ 20 = 440
13
230


Essas quantidades podem ser representadas pela matriz c = 420 . Então, a matriz
440
C, denominada produto de A por B pode ser obtida da seguinte forma:
3 4
230
50


A ⋅ B = C = 6 6
⋅ 
= 420
20
  2×1 440
8 2

 3×1
3×2
1.4.7. Propriedades da multiplicação de matrizes:
A multiplicação de matrizes possui as seguintes propriedades, caso existam os
produtos envolvidos:
1.Associativa ⇒ ( AB) ⋅ C = A ⋅ (BC) .
2. Distributiva pela esquerda ⇒ A ⋅ (B + C) = AB + AC.
3. Distributiva pela direita ⇒ (B + C) ⋅ A = BA + CA.
4. Se K é um número real, então: (kA) ⋅ B = A ⋅ (kB) = k ⋅ ( AB) .
5. ( AB) t = Bt ⋅ At .
Observações:
1. A multiplicação de matrizes não é comutativa, isto é, pode ocorrer que
A ⋅ B ≠ B ⋅ A . Caso A ⋅ B = B ⋅ A , dizemos que as matrizes comutam.
1 2
6 2
e B=

 comutam:
3 0
3 5
Exemplo 19: Verificar se as matrizes A = 
1 × 6 + 2 × 3 1 × 2 + 2 × 5 12 12
C = AB = 
=

3 × 6 + 0 × 3 3 × 2 + 0 × 5 18 6 
6 × 1 + 2 × 3 6 × 2 + 2 × 0 12 12
D = BA = 
=
 , então as matrizes C e D são iguais,
3 × 1 + 5 × 3 3 × 2 + 0 × 5 18 6 
logo A e B comutam.
14
1 2 
4 2
e B=

 comutam:
3 − 1
3 0
Exemplo 20: Verificar se as matrizes A = 
(1 × 2) + (2 × 0)  10 2
 (1 × 4) + (2 × 3)
C = AB = 
=

(3 × 4) + (−1 × 3) (3 × 2) + (−1 × 0)  9 6
(4 × 1) + (2 × 3) (4 × 2) + (2 × −1) 10 6
D = BA = 
=
 , as matrizes C e D são
(3 × 1) + (0 × 3) (3 × 2) + (0 × −1)   3 6
diferentes, logo A e B não comutam.
2. Ao contrário do produto de matrizes, a multiplicação de números reais possui a
propriedade comutativa. Existem outras propriedades que a multiplicação de
números reais possui que não valem para matrizes. Por exemplo, se a e b
pertencem ao conjunto dos números reais, então, a.b=0 se, e somente se, a=0 ou
b=0. Isso não ocorre com matrizes, como mostra o exemplo a seguir:
2 0
0 0
e B=

 , calcule A ⋅ B .
1 0
3 0
Exemplo 20: Dadas as matrizes A = 
2 × 0 + 0 × 3 2 × 0 + 0 × 0 0 0
A.B = 
=
 , desta forma o produto de duas matrizes
1 × 0 + 0 × 3 1 × 0 + 0 × 0 0 0
pode ser uma matriz nula, mesmo que nenhuma delas o seja.
1.4.8. Exercícios gerais:
 x+y
m− n 
 8
6
 e B = 
 , achar os valores
1. Sendo as matrizes A = 
 x − 2y 3m + n
 − 1 10
de x, y, m e n para que se tenha A=B.
 2x + 5y 
 9
 = 

2. Determine x e y, sabendo que as matrizes 

 são iguais.
 x − y   −1
 x + y a + b 5
 =
a − b 
1
3. Se 
x − y
− 1
 , determine x, y, a e b.
3 

2
5 
 x−y
4. Sendo as matrizes A = 
12 − 1 e B =  2y − 5



modo que A = Bt .
x + y
 , calcule x e y de
− 1 
4
−2 
4 − 2
x + y
 5




2z
3 
2
3 
 3
 3
5. Sejam as matrizes A = 
e B=
. Se
0
4
x − y
0
4 − 1




 −6 z−t
− 6 − 3 1 
1 



t
t , determine x, y, z e t.
A =B
15
6. Sejam as matrizes A e B, de mesma ordem mxn. Demonstre que:
( A − B) t = At − Bt .
 2 − 6
 3 2
− 3 6 
 , B = 
 e C = 
 , calcular:
10 
 − 1 0
 2 4
7. Dadas as matrizes A = 
8
a) A + B + C
b) A − B − C
 x − 2 4  1 2z − 3
+
=
3  − 3
1 
8. Determinar x, y e z sabendo que: 
y +1

3

2

z
.
4

− 2 5 


1 2 − 1
9. Sejam as matrizes A = 
3 1 4 
 e B =  4 − 3 , determine o produto


 2
1 


AxB.
1 1
 0 0
 e B = 
 , calcule as matrizes produtos:

 0 1
1 1

10. Sejam as matrizes A = 
11. a) A.B
b) B.A
c) A.B=B.A ?
V ou F.
1 − 1

 , determine a matriz X tal que A.X = I 2 .
1 2 
12. Se A = 

3
13. Determine o número b ∈ R, para que a matriz A =  2
b
[ ] 4x4 , para a qual
14. Seja a matriz A = aij
At.
2b
 seja simétrica.
b 
 aii = 0

. Determine A e
 aij = aji

 aij = i + j, se1 ≤ i < j ≤ 4