Geometria Analítica e Álgebra Linear
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2. Matrizes
Introdução
As matrizes estão presentes no nosso cotidiano das formas mais variadas. No entanto,
em geral não percebemos a presença delas, pois estão envolvidas em certos aparelhos
que utilizamos tanto, que não nos importamos com o seu funcionamento. As matrizes
também estão envolvidas numa série de cálculos matemáticos e na idéia de elaboração
de alguns jogos.

Softwares – As matrizes estão presentes na programação da maioria dos softwares
e, inclusive, na interface de alguns como as planilhas eletrônicas. Nestes programas
a tela é dividida em campos que são dispostos em linhas e colunas e são
referenciados como elementos de uma matriz (aij).
As agendas eletrônicas também são organizadas matricialmente, onde alguns
elementos de uma matriz são matrizes ou correspondem a um elemento de outra
matriz. Estando também presentes em alguns jogos.

Aparelhos Eletrônicos – Vários aparelhos eletrônicos possuem matrizes evidentes
ou nem tanto para o seu funcionamento. Entre eles se destacam os monitores (TV e
computador), o computador em si (CPU) e algumas impressoras.

Matemática – Na matemática, as matrizes são usadas para resolver problemas
direta ou indiretamente. Usando as operações com matrizes resolvem-se diversos
problemas práticos. Além disso as matrizes são usadas na solução de sistemas
lineares de equações e de produtos vetoriais e mistos.

Engenharia – A geração dos movimentos e deformações que vemos nos efeitos
especiais do cinema, da TV, dos games de computadores e nas visualizações das
simulações científicas está baseada na multiplicação de matrizes 4x4 no caso
espacial e 3x3 no caso plano. Sendo que nessas aplicações o problema
computacional não reside no tamanho das matrizes mas quantidade delas e na
velocidade que precisamos fazer as multiplicações.
Em muitas outras aplicações, temos uma situação quase que oposta: uma única
matriz mas cujo tamanho pode ir a ordem de centenas e mesmo milhares de linhas e
colunas. Isso é o que ocorre comumente em problemas que envolvem o estudo de
campos elétricos, magnéticos, de tensões elásticas, térmicos, etc, os quais - por um
processo de discretização - são reduzidos a um sistema de equações lineares, cuja
matriz tem grande tamanho. Esse tipo de problema é um dos mais comuns em vários
campos da Engenharia.
Outra situação que nos leva a nos envolvermos com matrizes enormes são as
associadas a redes estaduais de distribuição de energia elétrica, grandes redes de
comunicações, redes de transporte, etc.
01 de fevereiro de 2010
Alex N. Brasil
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Geometria Analítica e Álgebra Linear
Matrizes: Definição, Conceitos e Operações Básicas
Operando com matrizes estamos utilizando uma forma compacta de fazermos operações
com vários números simultaneamente.
Conceito Matriz é um conjunto ou arranjo de números (ou quaisquer outras entidades
simbólicas), chamados de elementos da matriz, ordenados em linhas e colunas.
A matriz abaixo possui m linhas e n colunas, e diz-se que ela é uma matriz m  n:
 
A  a ij
 a11
a
  21
 

a m1
a12
a 22

am2
 a1n 
Matriz com m linhas e n colunas
 a 2 n  
i = 1,2,, m
   
 j = 1,2, , n
 a mn  
(2.1)
A i-ésima linha de A é
ai1
a i 2  a in 
1 
j  n ,
para i = 1,..., m e a j-ésima coluna de A é
 a1 j 
a 
 2j
  
 
a mj 
1  i  m  ,
para j = 1,..., n.
Note que matrizes serão representadas simbolicamente por letras maiúsculas A, B,..., ou
pela notação [aij], que caracteriza um elemento geral, aij. Sendo os elementos do corpo
K representados por letras minúsculas a, b, ...
Os vetores, entretanto, serão designados por letras minúsculas e um único índice, como,
por exemplo,
a = [a1, a2, a3]
Cada elemento da matriz A está afetado de dois índices: aij. O primeiro índice indica a
linha e o segundo a coluna a que o elemento pertence. Usamos também a notação
A = (aij)m x n. Dizemos que aij ou [A]ij é o elemento ou a entrada de posição i j da
matriz A.
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Geometria Analítica e Álgebra Linear
Ex.: 2.1
Dizemos que a matriz A é de ordem m por n (m  n):
1 2
A
,
3 4
D  1 3  2 ,
 2 1
B
,
 0 3
1 3 0 
C
,
2 4  2
1
E   4  ,
 3
F  3.
As matrizes A e B são 2 x 2. A matriz C é 2 x 3, D é 1 x 3, E é 3 x 1 e F é 1 x 1. De
acordo com a notação que introduzimos, exemplos de elementos de algumas das
matrizes dadas acima são a12 = 2, c23 = - 2, e21 = 4, [A]22 = 4, [D]12 = 3.
 a1 
a 
A   2

 
a n 
Definição Uma matriz de ordem n  1 é denominada matriz-coluna:
A matriz-coluna de ordem n  1 pode representar as componentes a1 , a 2 , a3,  , a n  de

um vetor V do espaço vetorial E de dimensão n. Por esse motivo a matriz é denominada
vetor-coluna.
Definição Uma matriz de ordem 1  n é uma matriz-linha:
Obs.:
A  a1
a2  an 
Então, uma matriz com m linhas e n colunas é dita ser de ordem m  n; uma matriz (de
ordem) 1  n é chamada matriz (vetor) linha; uma matriz m  1 é chamada matriz
(vetor) coluna.
Definição Uma matriz quadrada é uma matriz que possui o número de linhas igual ao de colunas;
na Eq. (2.1), se m = n, então A é uma matriz quadrada.
A matriz ao lado é um exemplo de matriz
quadrada 3 x 3 ou, simplesmente, matriz
quadrada de ordem 3.
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 a11
A  aij  a 21
a 31
 
a12
a 22
a32
a13 

23 
a 33 
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 
Definição Numa matriz quadrada A  a ij , os elementos a ij , em que i  j , constituem a diagonal
principal. Ou seja, é a maior diagonal que contem os elementos em diagonal da
esquerda para a direita na matriz. Assim, a diagonal formada pelos elementos:
a11 , a 22 , a33 , , a nn é a diagonal principal.
 a11
a
A   21
 a31

a 41
a12
a 22
a32
a 42
a13
a 23
a33
a 43
a14 
a 24 
a34 

a 44 
Diagonal Secundária
Diagonal Principal
 
Numa matriz quadrada A  a ij , os elementos a ij , em que i  j  n  1 , constituem a
diagonal secundária. Ou seja, é a maior diagonal que contem os elementos em diagonal
da direita para a esquerda na matriz. Sendo ela, formada pelos elementos
a n1 , a n 1...2 , a n 2...3 , , a1n .
 
Definição Uma matriz quadrada A  a ij , cujos coeficientes fora da diagonal são todos nulos, ou
seja, a ij  0 se i  j , é chamada matriz diagonal.
 3 0 0
H   0  2 0
 0
0 4
4 0 
G

0  2
 
Definição Uma matriz diagonal A  a ij , cujos termos sobre a diagonal principal são iguais, ou
seja, a ij  C para i  j e a ij  0 para i  j ,
é chamada uma matriz escalar.
 2 0 
J 
,
 0  2
Ex.: 2.2.
A seguinte matriz fornece as distâncias
aéreas entre as cidades indicadas (em
milhas).
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1 0 0
I 3  0 1 0
0 0 1
Londres Madri N .Y . Tóquio
Londres  0
785 3469 5959 

Madri  785
0
3593 6706
N .Y . 3469 3593
0
6757 


Tóquio 5959 6706 6757
0 
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Definição Uma matriz escalar de qualquer ordem que tem os elementos a ij  1 para i  j , é uma
matriz identidade (ou matriz unidade).
1 0
I2  
,
0 1 
1 0 0
I 3  0 1 0 .
0 0 1
Indica-se a matriz unidade por In ou
simplesmente por I.
 
Definição Uma matriz quadrada A  a ij que tem os elementos
a ij  0 para i  j , é uma matriz triangular superior.
Definição Uma matriz quadrada A  [a ij ] que tem os elementos
a ij  0 para i  j , é uma matriz triangular inferior.
Definição Uma matriz zero é a matriz cujos elementos a ij são
todos nulos.
5
0
A
0

0
4 7 9
3  8 4
0  2 3

0 0 6
0
5
2
7
A
 3 4

 6 2
0
0
3
8
0
0
0

9
0 0 0 
0

0 0 0 
Igualdade de Matrizes
Duas matrizes são iguais se e somente se forem de mesma ordem e se todos os seus
elementos correspondentes forem iguais. Em outras palavras, A = B, se e somente se
aij = bij, ou seja, o elemento genérico de A é igual ao elemento genérico de B.
Ex.:
2 4 2 4
3 1   3 1 

 

0 2 0 2
Vamos, agora, introduzir as operações matriciais.
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Quadro 2.1 – Operações com Matrizes
Notação
simbólica
Notação indicial
(de elementos)
C=AB
cij = aij  bij
Multiplicação
de Matrizes
C = AB
cij   aik bkj  aik bkj
Multiplicação
de matrizes por
escalares
C = kA
Operação
Adição e
Subtração:
n
k 1
Condições necessárias e suficientes
para que a operação possa ser
efetuada:
As matrizes A e B devem ter o mesmo
número de linhas e colunas; C terá o
mesmo número de linhas e colunas
que A e B.
O número de colunas de A deve ser
igual ao número de linhas de B; assim,
se a matriz A for de ordem m x n, B
deverá ser de ordem n x p; a matriz C
será de ordem m x p.
A matriz C terá a mesma ordem que a
matriz A
cij = kaij
Quadro 2.1
Adição de Matrizes
A soma de duas matrizes de mesmo tamanho A = (aij)m x n e B = (bij)m x n é definida
como sendo a matriz C = (cij)m x n obtida somando-se os elementos correspondentes de
A e B, ou seja,
cij = aij + bij ,
para i = 1,..., m e j = 1,..., n. Escrevemos C = A + B e [A + B]ij = aij + bij.
Ex.: 2.3.
Considere as matrizes:
1 2  3
A
,
3 4 0 
 2 1 5 
B

 0 3  4
Se chamamos de C a soma das duas matrizes A e B, então
1  (2) 2  1  3  5   1 3 2 
C  A B  

4  3 0  (4)  3 7  4
 3 0
Produto de uma Matriz por um Escalar
A multiplicação de uma matriz A = (aij)m x n por um escalar (número)  é definida
pela matriz B = (bij)m x n obtida multiplicando-se cada elemento da matriz pelo escalar,
ou seja,
bij = aij ,
para i = 1,..., m e j = 1,..., n. Escrevemos B = A e [A]ij = aij.
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Ex.: 2.4.
 2 1 
O produto da matriz A   0
3  pelo escalar -3 é dado por
 5  4
 3
(3)  1   6
(3)  (2)



 3  A   (3)  0
 9
(3)  3    0
 (3)  5
(3)  (4)  15 12 
Produto de Matrizes
O produto de duas matrizes, tais que o número de colunas da primeira matriz é igual
ao número de linhas da segunda, A = (aij)m x p e B = (bij)p x n é definido pela matriz
C = (cij)m x n obtida da seguinte forma:
cij  a i1b1 j  a i 2 b2 j    aip b pj
(2.2)
p
  aik bkj
(2.3)
k 1
p
para i = 1,..., m e j = 1,..., n. Escrevemos C = AB e  AB ij   aik bkj .
k 1
A equação (2.2) está dizendo que o elemento i j do produto é igual a soma dos produtos
dos elementos da i-ésima linha de A pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna
de B.
 a11
 

 ai1

 
a m1

a12
ai 2
am2
 a1 p 
b
    11
b
 aip    21
  
   
b
 a mp   p1
 b1 j
 b2 j
 
 b pj
 b1n 
 c1n 
c
 b2 n   11
  cij
 
   
 c mn 
 c
 b pn   m1
Na equação (2.3) estamos usando a notação de somatório para escrever a equação (2.2)
p
de forma compacta. O símbolo

significa que estamos fazendo uma soma em que o
k 1
índice k está variando de k = 1 até k = p.
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Geometria Analítica e Álgebra Linear
4 1 4 3
B  0  1 3 1
2 7 5 2
1 2 4 
A
,
2 6 0
Ex.: 2.5. Considere as matrizes:
Desde que A seja uma matriz 2  3 e B uma matriz 3 4 , o produto AB é uma matriz
2  4 . Para determinar, por exemplo, o elemento na linha 2 e coluna 3 de AB , nós
primeiramente pegamos a linha 2 de A e a coluna 3 de B. Então, como ilustrado abaixo,
nós multiplicamos os elementos correspondentes e somamos estes produtos.



1 2 4
2 6 0

 

 

4
1

  [] [] [] []
 [] [] 26 []

 
4 3
0 1 3 1
2 7 5 2
2  4  6  3  0  5  26
O elemento na linha 1 e coluna 4 de AB é calculado como se segue.



1 2 4
2 6 0

 

 

4
1

  [] [] [] 13
 [] [] [] [] 

 
4 3
0 1 3 1
2 7 5 2
1  3  2  1  4  2  13
Os cálculos restantes são:
1  4   2  0  4  2  12
1  1  2  1  4  7   27
1  4  2  3  4  5  30
2  4  6  0   0  2  8
2  1  6  1  0  7   4
2  3  6  1  0  2  12
Obs.:
12 27 30 13
AB  

 8  4 26 12
A definição de produto de matrizes exige que o número de colunas da primeira matriz A
seja igual ao número de linhas da segunda B, para formar o produto AB . Se esta
condição não é satisfeita, o produto não é definido. A matriz resultante AB terá o
número de linhas de A e o número de colunas de B, como mostra a figura abaixo.
A
B
2  3
3 
4

AB
2

4
dentro
fora
Fig. 2.1
Na figura 2.1, os membros de dentro são iguais, então o produto é definido. Os
membros de fora dão a ordem da matriz produto.
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Ex.: 2.6.
Considere as matrizes:
1 2  3
A
,
3 4 0 
  2 1 0
B   0
3 0
 5  4 0
Se chamamos de C o produto das duas matrizes A e B, então
1(2)  2  0  (3)5 1  1  2  3  (3)(4) 0  17 19 0
C  AB  
.

3  1  4  3  0(4) 0   6 15 0
 3(2)  4  0  0  5
Observe que neste exemplo o produto BA não está definido. Entretanto, mesmo quando
está definido, BA pode não ser igual a AB, como mostra o exemplo seguinte.
Ex.: 2.7.
Sejam
1 2
A
 e
3 4
 2 1
B

 0 3
Então
 2 7 
AB  
 e
 6 15
1 0 
BA  

9 12
Apresentaremos agora alguns exemplos a fim de que a simbologia e definições
apresentadas acima possam ser assimiladas.
Exemplos
Ex.: 2.8.
Dê exemplos de matrizes de ordem 3 x 2, 2 x 3 e 3 x 3:
1 0 
 1  3 2
 2 3  ,  2  2 1 e  0
2 1 ,


 0,3

2 5
1  4 
 1 5 3
são, respectivamente, exemplos de matrizes de ordem 3 x 2, 2 x 3 e de uma matriz
quadrada de ordem 3.
Ex.: 2.9.
Vetor e matriz. Quais as diferenças entre vetores e matrizes?
Resp.: Todo vetor é uma matriz linha ou coluna. Entretanto, o vetor, com seu sentido
geométrico e, eventualmente, físico, ainda goza da lei de produto vetorial que não é
definido para matrizes em geral. Assim, todo vetor linha ou coluna é uma matriz, mas
nem toda matriz linha ou coluna é um vetor. É comum confundirem-se os termos vetores
com vetores linhas e colunas
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Geometria Analítica e Álgebra Linear
Ex.: 2.10. Vetores como componentes de matrizes. Mostre como uma matriz pode ser considerada
como sendo composta de vetores.
 1 2 3 1
A = a ij  0,1 3 2 2


 3 5 1 1 
 
a)
pode ser considerada como sendo constituída pelos seguintes vetores linha
(todos 1 x 4):
a1 = [1 2 3 -1],
a2 = [0,1 3 2 -2]
e a3 = [3 5 1 1],
e ser escrita na forma:
a1 
 
A = a 2 
a 
 3
b)
ou como sendo constituída pelos vetores coluna (todos 3 x 1):
a1
1
2 
 3




 0,1 , a 2  3 , a 3  2 
 
 
 
 3 
5
1
e a4
 1
  2  ,
 
 1 
e ser escrita na forma:
A = [a1 a2 a3 a4]
Ex.: 2.11. Adição de matrizes. Obtenha a matriz C, soma das matrizes A e B, dadas abaixo, e
indique qual o valor do elemento c24:
1
2
1 3

A = 0 1 1 / 2 1 


2 4
5 1
4
3 
 -1 2

B = 62 2 1 / 2 1 / 2 


 0 2
4
6 
Resp.: A matriz C é dada por:
3+2
1+4
23   0 5 5
5 
1 + (-1)



C = A + B = 0  62 1  (2 ) 1 / 2  1 / 2 1  1 / 2 = 62 3 1 3 / 2 

 

 2  0
42
5 4
1  6   2 6 9
5 
O elemento c24 = 3/2.
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Ex.: 2.12 Multiplicação de matrizes. Qual é a matriz produto D das matrizes A e B do exemplo
2.11?
Resp.: A matriz produto envolve o produto das matrizes A e B, ou seja, o produto de
matrizes de ordem 3x4 X 3x4. Uma vez que o número de colunas de A é 4, e, portanto,
diferente do número de linhas (ou filas) de B, 3, não é possível efetuar a multiplicação.
Ex.: 2.13 Multiplicação de matrizes. Qual é a matriz D , produto das matrizes A e B dadas
abaixo?
1
2
1 3

A = 0 1 1 / 2 1 


2 4
5 1
1
2
B=
2

6
2
0

4

5
Resp.: O produto envolve matrizes de ordem 3x4 X 4x2; portanto, a matriz resultante D
será de ordem 3x2. Usando a definição de produto de matrizes, dada no Quadro (2.1),
temos:
4
d11   a1l bl1  a1l b l1 = 1x1 + 3x2 +1x2 + 2x6 = 21 (note o produto da primeira linha
l 1
de A pela primeira coluna de B).
4
d 21   a 2 l b l1  a 2 l b l1 = 0x1 + -1x2 +1/2x2 + 1x6 = 5 (note o produto da segunda
l 1
linha de A pela primeira coluna de B).
4
d 31   a 3l b l1  a 3l b l1 = 2x1 + 4x2 +5x2 + -1x6 = 14 (note o produto da terceira linha
l 1
de A pela primeira coluna de B).
4
d 12   a 1l b l 2  a 1l b l 2 = 1x2 + 3x0 +1x4 + 2x5 = 16 (note o produto da primeira linha
l 1
de A pela segunda coluna de B).
4
d 22   a 2 l b l 2  a 2 l b l 2 = 0x2 + -1x0 +1/2x4 + 1x5 = 7 (note o produto da segunda
l 1
linha de A pela segunda coluna de B).
4
d 32   a 3l b l 2  a 3l b l 2
= 2x2 + 4x0 +5x4 + -1x5 = 19 (note o produto da terceira
l 1
linha de A pela segunda coluna de B).
Portanto:
01 de fevereiro de 2010
21 16
D = d ij   5 7 


14 19
 
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29
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Ex.: 2.14 Produto de vetores. Efetue o produto dos vetores a = [1 2 4] pelo vetor b = [ 2 5 7]
Resp.: Trata-se de um produto de vetores (matrizes) de ordem 1x3 X 1x3. Como tal,
esta operação não é possível, pois o número de colunas de a (=3), deveria ser igual ao
número de linhas de b (=1).
A operação de produto seria possível se as ordens de a, b e do produto fossem,
respectivamente: 1x3 X 3x1  1x1 (a operação resulta num escalar; neste caso o
produto dos vetores é equivalente a um produto escalar ou interno de vetores); 3x1 X
1x3  3x3 (a operação resulta numa matriz 3x3). Exemplificando:
2 
 
a  b  1 2 45  1  2 + 2  5 + 4  7 = 40
7
 
T
Por outro lado:
1 
 
a  b  2 2 5 7 
4 
 
T
1  2 1  5 1  7 
2  2 2  5 2  7  


4  2 4  5 4  7 
2 5 7 
4 10 14 


8 20 28
Note:
a. a simbologia utilizada para vetores transpostos ou transpostos de vetores, aT e bT;
b. para se efetuar um produto interno ou escalar deve-se multiplicar um vetor linha
por um vetor coluna; não se pode, por exemplo, efetuar produto de vetor linha
por vetor linha.
Ex.: 2.15 Produto de uma matriz por um escalar. As duas matrizes abaixo são equivalentes?
2 4 
A=

6 8 
1 2 
B = 2

3 4 
Resp.: Sim, pois ao se efetuar o produto de todos os elementos de B por 2, obtém-se os
elementos de A; além deste fato, deve-se notar que A e B são de mesma ordem.
Matrizes Especiais
Várias matrizes quadradas, com características especiais, aparecem no estudo de
fenômenos de transportes, de soluções de sistemas de equações lineares e na formulação
de métodos computacionais. Já vimos a definição de matriz quadrada, que é um caso
particular da definição de matrizes. Outras matrizes importantes são:
01 de fevereiro de 2010
Alex N. Brasil
30
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Quadro 2.2 – Matrizes Especiais
Matriz especial
Definição
Exemplo
A matriz identidade I é a matriz
quadrada definida por:
1 0 0 
I 3 = 0 1 0
0 0 1
I = [  ij ], em que:
Matriz identidade
1 se i = j
 ij  
0 se i  j
1 -2 3 

5,
Se A = 4 6


2 -1 -4 
T
Matriz transposta
A matriz transposta A é a
matriz obtida de A, trocando
suas linhas pelas suas colunas,
ou seja, dada a matriz A = [aij],
T
então A = [aji]
1 4 2


então, A = -2 6 -1


 3 5 -4
T
É a matriz que é igual à sua
transposta, ou seja:
1 4 2 
A = 4 6 -1 = A T


2 -1 -4 
T
Matriz simétrica ou
auto-adjunta1
A = [aij] = A = [aji]
ou ainda, é a matriz cujos
elementos são simétricos em
relação à sua diagonal principal,
isto é, aij = aji
Note: 1, 6 e -4 são os elementos da
diagonal principal de A
Se
Matriz inversa
Dada a matriz A, a sua matriz
-1
inversa, designada por A
é uma matriz tal que
-1
A A= I = A A
2 1
A=
 , então
1 3
A -1 =
-1
1  3 -1
5 -1 2 
-1
pois A A =
1 0
0 1 = I


A, abaixo, é ortogonal:
Uma matriz A é ortogonal se
Matriz ortogonal
T
A =A
-1
Se
A=
1  4 3  4 / 5 3 / 5 
,

5 -3 4  -3 / 5 4 / 5
T
-1
então A = A =
1 4 -3
5  3 4 
1
Matrizes Auto-adjuntas ou Hermitianas são matrizes iguais às suas matrizes transpostas conjugadas,
ou seja, iguais às transpostas das matrizes cujos elementos são números complexos conjugados da
original; se as matrizes forem reais, as matrizes Hermitianas ou auto-adjuntas são equivalentes a matrizes
simétricas.
01 de fevereiro de 2010
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31
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Forma típica:
Matriz antissimétrica
Uma matriz é antissimétrica se
seus elementos são tais que
a ij   a ji
 0
A = -A   a 12

  a 13
a 13 
a 23 

0 
a 12
T
0
 a 23
Matrizes Auto-adjuntas ou Hermitianas são matrizes iguais às suas matrizes transpostas conjugadas, ou seja,
iguais às transpostas das matrizes cujos elementos são números complexos conjugados da original; se as matrizes
forem reais, as matrizes Hermitianas ou auto-adjuntas são equivalentes a matrizes simétricas.
Matriz diagonal
Matriz diagonal é a matriz
quadrada
cujos
únicos
elementos não nulos são os
elementos da diagonal principal
a11 0

Ex.1. A = a ij  0 a 22

 0
0
 
0
0

a 33 
Ex.2. A matriz identidade I
Matriz tridiagonal
Matriz tridiagonal é a matriz
cujos
elementos
fora
da
diagonal principal e das duas
diagonais vizinhas são nulos.
a11 a12
a
a 22
21
A = a ij  
 0 a 32

0
0
 
a 33
a 43
a11 0
A = a ij  a 21 a 22

a 31 a 32
Matriz triangular inferior
Matriz triangular inferior é a
matriz
quadrada
cujos
elementos acima da diagonal
principal são nulos
Matriz triangular
estritamente inferior
Matriz triangular estritamente
inferior é a matriz quadrada
cujos elementos na e acima da
diagonal principal são nulos
Matriz triangular
superior
Matriz triangular superior é a
matriz
quadrada
cujos
elementos abaixo da diagonal
principal são nulos
a11 a12
A = a ij   0 a 22

 0
0
Matriz triangular
estritamente superior
Matriz triangular estritamente
superior é a matriz cujos
elementos na e abaixo da
diagonal principal são nulos
0 a12
A = a ij  0 0

0 0
01 de fevereiro de 2010
0
a 23
 
0
0

A = a ij  a 21 0

a 31 a 32
 
 
 
0
0

a 34 

a 44 
0
0

a 33 
0
0

0
a13 
a 23 

a 33 
a13 
a 23 

0 
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32
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Matriz escalar
Matriz escalar é a matriz
diagonal cujos elementos são
iguais.
Matriz não singular
Matriz não singular
matriz cuja matriz
existe.
é uma
inversa
 
A = a ij
 3 0 0 
  0 3 0 


 0 0 3
Ver exemplo de matriz inversa.
Quadro 2.2
Matriz Transposta
A transposta de uma matriz A = (aij)m x n é definida pela matriz B = (bij)n x m obtida
trocando-se as linhas pelas colunas, ou seja,
bij = aji ,
para i = 1,..., m e j = 1,..., n. Escrevemos B = AT e [AT]ij = aji.
Ex.: 2.16 As transpostas das matrizes
1 2
A
 ,
3 4
 2 1
B
 e
 0 3
1 3 0 
C

 2 4  2
são
1 3 
A 
 ,
 2 4
T
 2 0
B 
 e
 1 3
T
1 2 
C  3 4 
0  2
T
A seguir, mostraremos as propriedades que são válidas para a aritmética matricial. Elas
são muito semelhantes àquelas que são válidas para os números reais. Uma propriedade
importante que é válida para os números reais, mas não é válida para as matrizes é a
comutatividade do produto, como foi mostrado no exemplo 2.7. Por ser compacta,
usaremos a notação de somatório na demonstração de várias propriedades. Algumas
propriedades desta notação estão explicadas no Apêndice I.
Operações complementares e Propriedades
Os métodos de diferenças finitas, elementos finitos e volumes finitos e sua
implementação em computadores requerem o uso de uma série de produtos matriciais e
operações com matrizes. Portanto, as operações abaixo devem ser bem estudadas a fim
de que a exposição futura dos métodos seja suave.
01 de fevereiro de 2010
Alex N. Brasil
33
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Quadro 2.3 – Somas Matriciais
Propriedade
Notação Simbólica
Exemplo ou demonstração
Sejam A, B e C matrizes com tamanhos
apropriados,  e  escalares. São
válidas as seguintes propriedades para
as operações matriciais
A+B=B+A
a ij  bij  bij  aij
A + (B + C) = (A + B) + C
a ij  bij  cij   a ij  bij   cij
A+ 0 =A
para qualquer matriz A, m x n.
1 2 0 0 1 2
3 4  0 0  3 4

 
 

Existe uma única matriz
que
0 .m x n, tal
Para cada matriz A, existe uma única
matriz B, tal que
A+B=
0
1 2   1  2 0 0
3 4   3  4  0 0

 
 

Quadro 2.3
Quadro 2.4 – Produtos Matriciais
Propriedade
Não comutatividade, em geral, do
produto de duas matrizes
Notação Simbólica
Exemplo ou demonstração
AB  BA , em geral
Ver exemplo 2.7
Distributividade do produto de matrizes
D = (A+B)C = AC + BC
Associatividade do produto de matrizes
D = (AB)C = A(BC) = ABC
Comutatividade da multiplicação por
escalar
B = mA = Am
d ij   a ik  bik c ki 
= a ik c ki  bik c ki

d ij   a ik b km c mi  a ik b km c mj
= a ik b km c mj
b ij  ma ij  a ij m
Quadro 2.4
Nota: A justificativa para os produtos acima, Quadro 2.4, é que os elementos das
matrizes são números reais; os números reais gozam das propriedades de
distributividade, associatividade e comutatividade da multiplicação.
A seguir apresentaremos várias expressões que envolvem produtos de matrizes
transpostas. Note que é comum designar uma matriz transposta simplesmente pelo
termo transposta.
01 de fevereiro de 2010
Alex N. Brasil

34
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Quadro 2.5 – Operações mais comuns envolvendo matrizes transpostas
Operação
Notação simbólica
Transposta da
transposta de uma
matriz
Notação indicial
T T
T T
(A ) = A
(aik ) = aik
Demonstração
a 
T T
ik
2
Matriz transposta de
um produto de
matrizes
T
O produto B AB é
uma matriz simétrica,
desde que A seja
simétrica
A matriz produto de
uma matriz pela sua
transposta é uma
matriz simétrica
T
T
T
T
(AB) = B A
(aikbki) = bjk aki
a
ik
b kj

  a ki   a ik
T
T
 cijT  c ji 
b jk a ki
T
T
T
(B AB) = B AB
T
(bikakmbmj) = bikakmbmj
T
se A = A
T
T
T
T
(B B) = B B
(bikbkj) = bikbkj
T
T
T
T
T
T
T T
(B B) = B (B ) =
T
BB
Quadro 2.5
Nota: As justificativas para as demonstrações neste quadro encontram-se nas linhas
anteriores do próprio quadro ou nas definições básicas, Quadros 2.1 a 2.4.
APÊNDICE I: Notação de Somatório
São válidas algumas propriedades para a notação de somatório:
a)
índice do somatório é uma variável muda que pode ser substituída por qualquer
letra:
fi =
fj .
b) O somatório de duas parcelas pode ser quebrado em dois somatórios:
2
Lembre-se que k é um índice mudo.
01 de fevereiro de 2010
T T
(B AB) = (AB) (B )
T T
T
=B A B= B AB
Alex N. Brasil
35
Geometria Analítica e Álgebra Linear
(fi + gi) =
fi +
gi.
Pois,
(fi + gi) = (f1 + g1) +...+ (fn + gn) = (f1 +...+ fn) + (g1 +...+ gn) =
fi +
gi.
Aqui foram aplicadas as propriedades associativa e comutativa da soma de números.
c) Se no termo geral do somatório aparece um produto, em que um fator não depende
do índice do somatório, então este fator pode sair do somatório:
fi gk = gk
fi .
Pois,
fi .
fi gk = f1gk +...+ fngk = gk(f1 +...+ fn) = gk
Aqui foram aplicadas as propriedades distributiva e comutativa do produto em relação a
soma de números.
d) Num somatório duplo, a ordem dos somatórios pode ser trocada:
fij =
fij.
Pois,
fij =
+...+ (f1m +...+ fnm) =
(fi1 +...+ fim) = (f11 +...+ f1m) +...+ (fn1 +...+ fnm) = (f11 +...+ fn1)
(f1j +...+ fnj) =
fij.
Aqui foram aplicadas as propriedades comutativa e associativa da soma de números
reais.
01 de fevereiro de 2010
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36
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Exercícios Numéricos
1. Considere as seguintes matrizes
0 4 
 6 9  7
,
B
C


2  8
 7  3  2
  6 4 0
 6 9  9


D   1 1 4 ,
E    1 0  4
 6 0 6
 6 0  1
2 0
A
,
6 7 
Se for possível, calcule:
 24  20
R.: 
24 
 58
(a) AB - BA;
(b) 2C - D;
R.: Não é possível pois,
as dimensões das matrizes são diferentes.
T
T T
(c) (2D - 3E ) ;
 30  19 27
R.:  5
2
20
 6
0 15 
2
(d) D - DE;
 80 34  22
R.:  10  4 45 
 72 30  12 
2. Sejam
 3
  3   3
e
R.:     
B  2
 2  2
5
Verifique que AB = 3A1 + 2A2 + 5A3, onde Aj é a j-ésima coluna de A, para j = 1, 2, 3.
1  3 0 
A

0 4  2 
3. Encontre um valor de x tal que ABT = 0, onde
A  x 4  2 
e
B  2  3 5
R.: x  11
4. Sejam
3  9
4

A   9  2 2 
 4  5 5 
e
 9  3  7
B   4 8
4 
  5  2 1 
Encontre:
(a) a 1ª. linha de AB;
R.:  3 30  25
(c) a 2ª. linha de ATBT; R.: 14  48  16
01 de fevereiro de 2010
 25
(b) a 3ª. coluna de AB;
R.:  69
 13 
 40 
(d) a 2ª. coluna de ATBT. R.:  48
 72 
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37
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Exercícios usando o MATLAB
Uma vez inicializado o MATLAB, aparecerá na janela de comandos um prompt >> ou
EDU>>. O prompt significa que o MATLAB está esperando um comando. Todo
comando deve ser finalizado teclando-se Enter. Comandos que foram dados
anteriormente podem ser obtidos novamente usando as teclas  e . Enquanto se estiver
escrevendo um comando, este pode ser corrigido usando as teclas , , Delete e
Backspace. O MATLAB faz diferença entre letras maiúsculas e minúsculas. No
MATLAB, pode-se obter ajuda sobre qualquer comando ou função. O comando:
> > help
mostra uma listagem de todos os pacotes disponíveis. Ajuda sobre um pacote específico
ou sobre um comando ou função específica pode ser obtida com o comando:
> > help nome,
(sem a vírgula!) onde nome pode ser o nome de um pacote ou o nome de um comando
ou função. Além dos comandos e funções pré-definidas, escrevemos um pacote
chamado gaal com funções que são mais adequadas para este curso. O comando help
gaal dá informações sobre este pacote. Vamos descrever aqui alguns comandos que
podem ser usados para a manipulação de matrizes. Outros comandos serão introduzidos
a medida que forem necessários.
>> syms x y z
diz ao MATLAB que as variáveis x y e z são simbólicas.
>> A=[a11,a12,...,a1n;a21,a22,...; ...,amn] cria uma matriz, m por n, usando
os elementos a11, a12, ..., amn e a armazena numa variável de nome A. Por
1 2 3 
exemplo, >> A=[1,2,3;4,5,6] cria a matriz A  
;
 4 5 6
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
A+B é a soma de A e B,
A-B é a diferença A menos B,
A*B é o produto de A por B,
A.’ é a transposta de A,
num*A é o produto do escalar num por A,
A^k é a potência A elevado a k.
Aj=A(:,j) é a coluna j da matriz A,
Ai=A(i,:) é a linha i da matriz A.
>> format rat muda a exibição dos números para o formato racional. O comando
help format mostra outras possibilidades.
>> solve(expr) determina a solução da equação expr=0. Por exemplo,
>> solve(x2-4) determina as soluções da equação x2 - 4 = 0;
01 de fevereiro de 2010
Alex N. Brasil