OPERAÇÃO COM MATRIZES
Adição de matrizes
Dadas duas matrizes de mesmo tipo, A = (aij)m × n e B = (bij)m × n, a
matriz soma A + B é a matriz C = (cij)m × n, na qual cij = aij + bij para todo
i e todo j.
Exemplo
Considere as matrizes A e B: A =
eB=
Para obter a matriz C = A + B, basta somar os elementos correspondentes de
A e B:
C=
+
=
=
Matriz oposta
Dada uma matriz A do tipo m × n, chama-se matriz oposta de A, e
indica-se por –A, a matriz que somada com A resulta na matriz
nula de mesmo tipo, ou seja: A + (–A) = 0m × n
Exemplo
Se A =
, então –A =
+
=
, pois:
Propriedades da adição de matrizes
Dadas as matrizes A, B, C e a matriz nula 0m × n, todas de mesmo
tipo, valem as seguintes propriedades:
 Comutativa: A + B = B + A
 Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)
 Existência do elemento neutro:
A + 0m × n = 0 m × n + A = A
 Existência do elemento oposto:
A + (–A) = (–A) + A = 0m × n
 Cancelamento: A + C = B + C  A = B
Subtração de matrizes
A diferença entre duas matrizes A e B, de mesmo tipo, é a soma da
matriz A com a oposta de B, isto é:
A – B = A + (–B).
Exemplo
Sejam: A =
eB=
A – B = A + (–B) =
=
+
–
=
=
EXEMPLOS
1. Dadas as matrizes A =
eB=
, obter uma matriz X2 × 2
tal que A + X = B.
Resolução
Representando a matriz X por:
+
=
⇒
, temos:
=
Então:
 2 + a = –1 ⇒ a = –3
1+b=2⇒b=1
0+c=5⇒c=5
 3 + d = 0 ⇒ d = –3
Logo: X =
Resolução
Também podemos determinar a matriz X usando as
propriedades da adição de matrizes:
A + X = B ⇒ (–A) + A + X = (–A) + B ⇒ 02 × 2 + X = B – A
⇒X = B – A
Assim: X =
+
⇒X=
Multiplicação de um número real por uma matriz
Sejam a matriz A = (aij)m × n e k um número real, então k ∙ A
é uma matriz do tipo m × n obtida pela multiplicação de k por
todos os elementos de A, ou seja, kA = (kaij).
Exemplo
Se A =
e k = 3,
então:
k∙A=3⋅
=
=
2. Determinar a matriz X na equação:
Resolução
Aplicando a definição de igualdade, temos:
 2 + 2a = 4 ⇒ a = 1
 5 + 2b = –1 ⇒ b = –3
 –1 + 2c = –5 ⇒ c = –2
 7 + 2d = 9 ⇒ d = 1
Logo: X =
3. Determinar a matriz X na equação matricial 2X + A = X
+ B sabendo que: A =
eB=
.
Resolução
Inicialmente, aplicamos as propriedades da adição à
equação matricial:
2X + A = X + B
2X + (–X) + A + (–A) = X + (–X) + B + (–A)
2X – X = B – A ⇒ X = B – A
Então: X =
Logo: X =
–
=
4. Determinar as matrizes X e Y tais que
em que A =
eB=
Resolução
Como X + Y = A + 3B, segue:
A + 2B + Y = A + 3B ⇒ Y = B
Assim, temos:
.
Multiplicação de matrizes
Dadas as matrizes A = (aij)m × n e B = (bij)n × p,
o produto de A por B é a matriz C = (cij)m × p, na qual cada elemento cij é
a soma dos produtos obtidos multiplicando-se ordenadamente os
elementos da linha i de A pelos elementos da coluna j de B.
O produto das matrizes A e B, indicado por A ∙ B, só é definido se o
número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. Esse produto
terá o mesmo número de linhas da matriz A e o mesmo número de
colunas da matriz B.
Am  n ∙ Bn  p = C m  p
iguais
Multiplicação de matrizes
Exemplo
Dadas as matrizes A =
eB=
, vamos determinar
A ∙ B.
Como a matriz A é do tipo 2 × 3 e a matriz B é do tipo 3 × 2, existe o
produto A ∙ B (pois o número de colunas da matriz A é igual ao número de
linhas da matriz B).
Então: A ∙ B = C, sendo C = (cij)2 × 2
Multiplicação de matrizes
Exemplo
Os elementos da matriz C são obtidos do seguinte modo:
 c11: multiplicamos, ordenadamente, a 1a linha de A pela
1a coluna de B;
 c12: multiplicamos, ordenadamente, a 1a linha de A pela
2a coluna de B;
 c21: multiplicamos, ordenadamente, a 2a linha de A pela
1a coluna de B;
 c22: multiplicamos, ordenadamente, a 2a linha de A pela
2a coluna de B.
Multiplicação de matrizes
Exemplo
Assim, temos:
A∙B=
C=
Logo: C =
=
Propriedades da multiplicação de matrizes
Dadas as matrizes A, B e C, valem as seguintes propriedades:
 Associativa: (A ∙ B) ∙ C = A ∙ (B ∙ C)
 Distributiva à direita: (A + B) ∙ C = A ∙ C + B ∙ C
 Distributiva à esquerda: C ∙ (A + B) = C ∙ A + C ∙
Propriedades da multiplicação de matrizes
Observe a seguir que nem sempre temos A ∙ B = B ∙ A.
Logo, não vale a propriedade comutativa na multiplicação de
matrizes.
Dadas as matrizes A =
seguintes produtos:
A∙B=
eB∙A=
Observe que A ∙ B ≠ B ∙ A.
eB=
, obtemos os
Propriedades da multiplicação de matrizes
Mesmo quando A é uma matriz não nula, não podemos
concluir, com base em A ∙ B = A ∙ C, que B = C, isto é,
não vale a lei do cancelamento. Observe o exemplo.
Dadas as matrizes A =
,B=
obtemos:
A∙B=
eA∙C=
Observe que A ∙ B = A ∙ C, mas B ≠ C.
eC=
,
Propriedades da multiplicação de matrizes
Temos ainda que um produto de matrizes não nulas pode
ser uma matriz nula. Veja:
Dadas as matrizes A =
eB=
o produto:
A∙B=
, que é a matriz nula.
Observe que A ≠ 0 e B ≠ 0.
, obtemos
5. Resolver a equação matricial: X ∙
=
Resolução
Para que essa multiplicação exista, é preciso que:
 a matriz X tenha 2 colunas, pois a matriz multiplicada
tem 2 linhas;
 a matriz X tenha 2 linhas, pois o produto das matrizes
tem 2 linhas.
Observe o esquema:
Xm × n
∙
=
iguais
=
Assim:
=
Igualando as matrizes, temos os sistemas:
e
Resolvendo os sistemas, obtemos: a =
Logo: X =
,b=
,c=
ed=
Matriz inversa
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Se existir uma matriz
B, quadrada de mesma ordem, tal que
A ∙ B = B ∙ A = In, então B será a matriz inversa de A, indicada
por A–1.
Quando uma matriz tem inversa, dizemos que ela é invertível ou
não singular.
Matriz inversa
Exemplo
A inversa da matriz A =
é matriz A–1 =
A ∙ A–1 =
=
A–1 ∙ A=
=
, pois:
e
Sendo A e B matrizes quadradas, pode-se demonstrar que, se
A ∙ B = I, então B ∙ A = I.
6. Determinar, se existir, a inversa das matrizes:
a)
b)
Resolução
a) Se existir, a matriz A–1, inversa de A, é quadrada de
ordem 2, tal que A ∙ A–1 = I2.
Seja A–1 =
. Pela definição, temos:
=
=
Com base na igualdade de matrizes, construímos os sistemas:
a = 3 e c = –2
Portanto: A–1 =
=
b = –4 e d = 3
Resolução
b) Se existir, a matriz B–1, inversa de B, é quadrada de ordem 2,
tal que B ∙ B–1 = I2.
Seja B–1 =
. Pela definição, temos:
=
Com base na igualdade de matrizes, construímos os sistemas:
e
b) Resolvendo o primeiro sistema:
0 = –3 (falsa)
Portanto, não há valores de a e de c que satisfaçam ambas as
equações do sistema e, portanto, que tornem as matrizes
e
iguais.
Logo, a matriz B não admite inversa.