Exercícios de Aprofundamento – Mat – Polinômios e Matrizes
a 0 
1. (Unicamp 2015) Considere a matriz A  
 , onde a e b são números reais. Se
b 1
A 2  A e A é invertível, então
a) a  1 e b  1.
b) a  1 e b  0.
c) a  0 e b  0.
d) a  0 e b  1.
2. (Espcex (Aman) 2015) O polinômio f(x)  x5  x3  x2  1, quando dividido por
q(x)  x3  3x  2 deixa resto r(x).
Sabendo disso, o valor numérico de r( 1) é
a) 10.
b) 4.
c) 0.
d) 4.
e) 10.
3. (Unicamp 2015) Seja (a,b,c,d) uma progressão geométrica (PG) de números reais, com
razão q  0 e a  0.
1
é uma raiz do polinômio cúbico p(x)  a  bx  cx2  dx3 .
q
b) Sejam e e f números reais quaisquer e considere o sistema linear nas variáveis x e y,
a) Mostre que x  
 a c  x   e 

     . Determine para que valores da razão q esse tem solução única.
 d b  y   f 
4. (Espcex (Aman) 2014) O elemento da segunda linha e terceira coluna da matriz inversa da
 1 0 1


matriz  2 1 0  é:
 0 1 1


2
a)
3
3
b)
2
c) 0
d) 2
1
e) 
3
5. (Unesp 2014) Considere a equação matricial A + BX = X + 2C, cuja incógnita é a matriz X e
todas as matrizes são quadradas de ordem n. A condição necessária e suficiente para que esta
equação tenha solução única é que:
a) B  I  O, onde I é a matriz identidade de ordem n e O é a matriz nula de ordem n.
b) B seja invertível.
c) B  O, onde O é a matriz nula de ordem n.
d) B  I seja invertível, onde I é a matriz identidade de ordem n.
e) A e C sejam invertíveis.
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Exercícios de Aprofundamento – Mat – Polinômios e Matrizes
 1 a 1


6. (Unicamp 2014) Considere a matriz M   b 1 a  , onde a e b são números reais distintos.
 1 b 1


Podemos afirmar que
a) a matriz M não é invertível.
b) o determinante de M é positivo.
c) o determinante de M é igual a a2  b2 .
d) a matriz M é igual à sua transposta.
 a 1 1


7. (Unicamp 2014) Considere a matriz A   1 0 b  , onde a, b e c são números reais.
 c 2 0 


a) Encontre os valores de a, b e c de modo que AT  A.
 x   1
   
b) Dados a  1 e b  1, para que os valores de c e d o sistema linear A  y    1  tem infinitas
 z   d
   
soluções?
8. (Fuvest 2014) Os coeficientes a, b e c do polinômio p(x)  x3  ax2  bx  c são reais.
Sabendo que 1 e 1  αi, com α  0, são raízes da equação p(x)  0 e que o resto da divisão
de p(x) por (x  1) é 8, determine
a) o valor de α;
b) o quociente de p(x) por (x  1).
i é a unidade imaginária, i2  1.
9. (Unesp 2014) O polinômio P(x)  a  x3  2  x  b é divisível por x – 2 e, quando divisível por
x + 3, deixa resto –45. Nessas condições, os valores de a e b, respectivamente, são
a) 1 e 4.
b) 1 e 12.
c) –1 e 12.
d) 2 e 16.
e) 1 e –12.
10. (Espcex (Aman) 2014) Sabendo que 2 é uma raiz do polinômio P(x)  2x3  5x2  x  2,
então o conjunto de todos os números reais x para os quais a expressão
é:
a) {x  / 1  x  2}
b) {x 
c) {x 
d) {x 
e) {x 
P(x) está definida
1
/x }
2
1
/   x  1 ou x  2}
2
/ x  2}
/ x  2 e x  1}
11. (Unesp 2014) Sabe-se que, na equação x3  4x2  x  6  0, uma das raízes é igual à
soma das outras duas. O conjunto solução (S) desta equação é
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Exercícios de Aprofundamento – Mat – Polinômios e Matrizes
a) S = {– 3, – 2, – 1}
b) S = {– 3, – 2, + 1}
c) S = {+ 1, + 2, + 3}
d) S = {– 1, + 2, + 3}
e) S = {– 2, + 1, + 3}
 3 1
12. (Fgv 2013) Sabendo que a inversa de uma matriz A é A 1  
 , e que a matriz X
 5 2 
é solução da equação matricial X  A  B, em que B  8 3, podemos afirmar que a soma dos
elementos da matriz X é
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 11
13. (Fgv 2013) Um determinado produto deve ser distribuído a partir de 3 fábricas para 4 lojas
consumidoras. Seja C  (cij )34 a matriz do custo unitário de transporte da fábrica i para a loja
j, com cij  (2i  3j)2. Seja B  (bij )34 a matriz que representa a quantidade de produtos
transportados da fábrica i para a loja j, em milhares de unidades, com bij  i  j.
a) Determine as matrizes C  (cij )34 e Bt sendo que Bt é a transposta da matriz B  (bij )34 .
1
1
b) Sendo D   
e E  1 0 013 , determine as matrizes X  (xij )31 e Y  (yij )13 tais
1
 
1 41
que X  B  D e Y  E  (C  Bt ) . Em seguida, determine o significado econômico de xij e de
yij .
14. (Fuvest 2013) Sejam α e β números reais com  π 2  α  π 2 e 0  β  π. Se o sistema
de equações, dado em notação matricial,
3 6   tg α   0 
,
6 8  cos β  


  2 3 
for satisfeito, então α  β é igual a
π
3
π
b) 
6
c) 0
π
d)
6
π
e)
3
a) 
 1
15. (Unicamp 2013) Considere a matriz A α   1

 α
α
 que depende do parâmetro real
1

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Exercícios de Aprofundamento – Mat – Polinômios e Matrizes
α  0.

a) Calcule a matriz A α  A 2α

2
.
x
b) Um ponto no plano cartesiano com as coordenadas   é transformado pela matriz A α em
y 
um novo ponto da seguinte forma:
 x  αy 
 x '
x 
.

A

α   1
 y '
 
 y    x  y 
 α

 x   6 
Calcule o valor de α, sabendo que o sistema A α      admite solução.
y   2 
16. (Fgv 2013) O total de matrizes distintas que possuem apenas os números
1, 2, 3, 4, 5,..., 15, 16 como elementos, sem repetição, é igual a
4
a) (4!)
b) 16.4!
c) 5.16!
d) (16!)5
e) 1616
3 5 
 x y  4
17. (Espcex (Aman) 2013) Considere as matrizes A  
e B
.

3 
1 x
y
Se x e y são valores para os quais B é a transposta da Inversa da matriz A, então o valor de
xy é
a) –1
b) –2
c) –3
d) –4
e) –5
3 0 
0 3 
18. (Insper 2013) Considere as matrizes A  
 , B  8 0  , X 
0
1




 x2 
x
 y  e Y   2  . Se x e y
 y 
 
0 
são as soluções não nulas da equação A  Y  B  X    , então x  y é igual a
0 
a) 6.
b) 7.
c) 8.
d) 9.
e) 10.
19. (Espcex (Aman) 2013) Um polinômio q(x), do 2º grau, é definido por q  x   ax2  bx  c,
com a, b e c reais, a  0. Dentre os polinômios a seguir, aquele que verifica a igualdade
q  x   q 1  x , para todo x real, é
a) q  x   a  x2  x   c
b) q  x   a  x2 – x   c
c) q  x   a2  x2 – x   c
d) q  x   a2  x2  x   c
e) q  x   a2 x  c
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Exercícios de Aprofundamento – Mat – Polinômios e Matrizes
Gabarito:
Resposta da questão 1:
[B]
Sabendo que A  I2  A e A  A 1  I2 , com I2 sendo a matriz identidade de segunda ordem,
temos
A2  A  A  A  A
 A  A  A 1  A  A 1
 A  I2  I2
 A  I2 .
Por conseguinte, segue que a  1 e b  0.
Resposta da questão 2:
[A]
x5  0x 4  x3  x 2  0x  1 x3  0x 2  3x  2
 x5  0x 4  3x3  2x 2
x2  2
 2x3  x 2  0x  1
 2x3  0x 2  6x  4
 x 2  6x  3
Portanto, r(x)   x2  6x  3 e r(1)   (1)2  6(1)  3  10.
Resposta da questão 3:
a) Tem-se que b  aq, c  aq2 e d  aq3 . Logo, vem
2
3
 1
 1
 1
 1
p     a  aq     aq2     aq3   
 q
 q
 q
 q
 aaaa
 0.
Por conseguinte, x  
1
é uma raiz do polinômio p(x).
q
b) De (a), obtemos
 a
 a c  x   e 

       3
 d b  y   f 
 aq
aq2   x   e 
     .
aq   y   f 
Sabendo que a  0, q  0 e q  , o sistema terá solução única se, e somente se,
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Exercícios de Aprofundamento – Mat – Polinômios e Matrizes
aq2
a
3
aq
 0  a2q  a2q5  0
aq
 a2q(1  q2 )(1  q2 )  0.
Portanto, além de q  0, deve-se ter q  1.
Resposta da questão 4:
[A]
 1 0 1


Considere a matriz B a inversa da matriz A   2 1 0  , logo b23 será dado por:
 0 1 1


1 0 1
Det(A)  2 1 0  3
0 1 1
1
1
2
3 2 1 1
 A 32    1

1 0 1
2 0 3
3
2 1 0
b23 
0 1 1
Resposta da questão 5:
[D]
A + BX = X + 2C,
BX = X + 2C – A
BX – X = 2C – A
X(B – I) = 2C – A (I é a matriz identidade de ordem n)
X = (2C – A).(B – I)-1
Portanto, será necessário que B  I seja invertível, onde I é a matriz identidade de ordem n.
Resposta da questão 6:
[B]
Temos
1 a 1
detM  b 1 a
1 b 1
 1  a2  b2  1  ab  ab
 (a  b)2 .
Logo, sabendo que a  b (o que implica em M não ser simétrica), tem-se (a  b)2  0 para
quaisquer a e b reais distintos, ou seja, o determinante de M é positivo. Em consequência, M
é invertível.
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Exercícios de Aprofundamento – Mat – Polinômios e Matrizes
Resposta da questão 7:
a) Se A t  A, então A é antissimétrica. Logo, deve-se ter a  0, b  2 e c  1.
1 1
 x   1
 1 1
   


b) Se a  1 e b  1, a matriz ampliada do sistema A  y    1  é  1 0 1 1 . Logo,
 c 2
 z   d
0 d

   
efetuando as operações elementares sobre essa matriz, obtemos a matriz equivalente
1
1 1 1



0
1
0
2

.
 0 0 c c  d  4 


Por conseguinte, o sistema possui infinitas soluções se c  0 e d  4.
Resposta da questão 8:
a) Como os coeficientes de p(x) são números reais, segue-se que suas raízes são 1, 1  αi
e 1  αi. Logo,
p(x)  (x  ( 1))(x  (1  αi))(x  (1  αi))
 (x  1)(x2  2x  α 2  1).
Sabendo que o resto da divisão de p(x) por (x  1) é 8 e α  0, pelo Teorema do Resto,
vem
p(1)  8  (1  1)(12  2  1  α 2  1)  8
 α2  4
 α  2.
b) Utilizando os resultados obtidos em (a), segue que o quociente de p(x) por x  1 é
p(x) (x  1)(x2  2x  5)

 x2  2x  5.
x 1
x 1
Resposta da questão 9:
[E]
De acordo com o Teorema do Resto e as informações do problema, temos que:
P(2) = 0 e P(–3) = – 45. Resolvendo o sistema abaixo, temos:
8a  4  b  0
27a 6  b  45
Multiplicando a primeira equação por –1 e somando com a segunda temos:
–35a = –35, ou seja, a = 1.
Substituindo a = 1 na primeira equação, temos:
8 + 4 + b = 0, ou seja, b = –12.
Resposta da questão 10:
[C]
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Exercícios de Aprofundamento – Mat – Polinômios e Matrizes
Já que 2 é raiz, podemos utilizar do dispositivo de Briot-Ruffini para determinar as outras raízes
e então fazer o estudo do sinal dessa função polinomial.
Logo, P(x)  ( x  2)  (2x2  x  1), fazendo 2x2  x  1  0, temos x = 1 ou x = -1/2, que são as
outras duas raízes.
Fazendo agora o estudo do sinal do polinômio P(x), temos:
A expressão

x 

/
P(x) estará definida para P(x)  0, ou seja,
1

 x  1 ou x  2
2

Resposta da questão 11:
[B]
Sejam r, s e t as raízes da equação x3  4x2  x  6  0 e considere que r = s + t.
Utilizando a relação de soma de Girard, temos:
r st  
4
1
r  r  4
r  2
Concluímos então que dois é uma de suas raízes.
Dividindo, agora x3  4x2  x  6 por (x  2)
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Exercícios de Aprofundamento – Mat – Polinômios e Matrizes
x3  4x 2  x  6  (x  2)  (x 2  2x  3)  0
x  2  0  x  2
x2  2x – 3  x  3 ou x  1
Logo, S = {– 3, – 2, + 1}.
Resposta da questão 12:
[A]
Sabendo que A  A 1  I, com I sendo a matriz identidade de ordem 2, temos
X  A  B  X  A  A 1  B  A 1
 X  I  B  A 1
 3 1
 X  8 3   

 5 2
 X   24  15 8  6
 X  9 2.
Por conseguinte, a soma pedida é igual a 9  (2)  7.
Resposta da questão 13:
a) Temos
(2  3)2 (2  6)2 (2  9)2 (2  12)2 


C  (4  3)2 (4  6)2 (4  9)2 (4  12)2 


(6  3)2 (6  6)2 (6  9)2 (6  12)2 
 1 16 49 100 


  1 4 25 64 
9 0 9 36 


e
1 1 1 2 1  3 1  4 


B  2  1 2  2 2  3 2  4 
3  1 3  2 3  3 3  4 


2 3 4 5


 3 4 5 6  .
4 5 6 7


Daí,
2

3
Bt  
4

5
3 4

4 5
.
5 6

6 7 
b) A matriz X é tal que
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Exercícios de Aprofundamento – Mat – Polinômios e Matrizes
1
2 3 4 5  
1
X  3 4 5 6   

 1
 4 5 6 7   
1
2  3  4  5
 3  4  5  6 
 4  5  6  7 
14 
 18  .
 22
Cada x ij indica o número total, em milhares de unidades, de produtos transportados da
fábrica i para todas as quatro lojas.
A matriz Y é dada por
2 3

 1 16 49 100   


3 4


Y   1 0 0    1 4 25 64    

4 5

9 0 9 36   



 5 6

2

3
 1 16 49 100   
4

5
4

5
6

7 
3 4

4 5
5 6

6 7 
 746 912 1078  .
y11 indica o custo total com transporte, da fábrica 1, para as quatro lojas; e y1k , com 2  k  3,
indica o custo total que a fábrica 1 teria para transportar a produção das fábricas 2 e 3 para
as quatro lojas.
Resposta da questão 14:
[B]
Efetuando o produto matricial, vem
3 tg   6cos   0
3 6   tg    0 

6 8  cos   


  2 3 
6 tg   8cos   2 3
 3 tg   6cos   0

3 tg   4cos   3
 2cos   3
 cos  

3
2

rad.
6
Desse modo,
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Exercícios de Aprofundamento – Mat – Polinômios e Matrizes
3 tg   6cos

 0  tg    3
6

    rad
3
e, portanto,
  
 

   rad.
3 6
6
Resposta da questão 15:
α  1
 1


a) A α  A 2α 
  1 1   1
 α
  2α
 A α  A 2α 
2
 2
 3

 2α
3α   2
 3
2   
  2α
2α   2
 3
1  
  2α
3α 

2 

 1

3α   
0 
 2

1
2  
  0  

2
b)
 1

 1
 α
α
 .  x    6 
   
1  y   2 

 x  αy 

   6 
  x  y   2 
 α

 x  α y  6

 x
 α  y  2

Multiplicando a segunda equação por α e somando com a primeira, temos:
0 + 0 = 2 α –6; portanto, para que a equação tenha solução, o valor de α deverá ser 3.
Resposta da questão 16:
[C]
Existem 5 matrizes com 16 elementos: 1 16, 2  8, 4  4, 8  2 e 16  1. Logo, como em cada
uma dessas matrizes podemos dispor os elementos, sem repetição, de P16  16! modos,
segue-se que o resultado é 5  16!.
Resposta da questão 17:
[C]
Considere a matriz M dada por
3 5 1 0
M
.
 1 x 0 1
Aplicando as operações elementares sobre a matriz M, obtemos
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Exercícios de Aprofundamento – Mat – Polinômios e Matrizes
L1  L2
 1 x 0 1
M'  

3 5 1 0
L2 ''  (3)  L1 ' L2 '
x
0 1
1
M''  

 0 3x  5 1 3 
L2 ''' 
1
 L2 ''
3x  5
0
1 x
M'''  
1
 0 1

3x  5
1 

3 

3x  5 
L1 ''''  (x)  L2 ''' L1 '''
x

 1 0 3x  5
M''''  
0 1  1


3x  5
Desse modo, A
1
x

 3x  5

 1

 3x  5
5 
3x  5 
.
3


3x  5 

5 
x

 3x  5
3x  5 
1 t
 e, portanto, (A )  
3

 5


 3x  5
3x  5 

1 
3x  5 
.
3


3x  5 

Se B é a transposta da inversa de A, então
x

 x y  4   3x  5


3  
5
y

 3x  5
1 
3

3  3x  5
3x  5 

3

y   5


3x  5 
3x  5

x  2

.
y  5
Portanto, x  y  2  5  7.
Resposta da questão 18:
[C]
Sabendo que x  0 e y  0, vem
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Exercícios de Aprofundamento – Mat – Polinômios e Matrizes
0 
3 0   x 2  0 3   x  0 
AY BX     
   2  
    
0 
0 1  y  8 0  y  0
3x 2  3y  0 
  

 y 2  8x  0 
3x 2  3y  0 
 

 y 2  8x  0
3x 2  3y  0

2
 y  8x  0
 y   x 2

3
 x(x  8)  0
 x  2

.
 y  4
Portanto, x  y  (2)  (4)  8.
Resposta da questão 19:
Questão anulada no gabarito oficial.
Se q(x)  q(1  x), então
ax2  bx  c  a(1  x)2  b(1  x)  c
 ax2  (2a  b)x  a2  b  c.
Assim, obtemos o sistema
b  2a  b
a  b
 2
 2
a  b  c  c
a  b
 a2  a  0
a  0 e b  0

  ou
a  1 e b  1

Dado que a  0, segue que a  1 e b  1. Portanto, q(x)  x2  x  c  a(x2  x)  c. Por outro
lado, como a2  a  1, vem que as alternativas [B] e [C] estão corretas.
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