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SISTEMAS ESTRUTURAIS
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Apostila 1: Sistemas Estruturais: Aplicações
Prof. Engº Civil Ederaldo da Silva Azevedo
Macapá, Setembro de 2013
Sistemas Estruturais/Apost. 01 – Prof. Eng.º Civil e de Seg. do Trabalho Ederaldo Azevedo
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1. VIGAS ISOSTÁTICA
1.1.
Cálculo das Reações
Como já vimos, as reações de apoio se opõe à tendência de
movimento devido às cargas aplicadas, resultando um estado de equilíbrio
estável.
Nas estruturas isostáticas constituídas por uma única chapa, o
número de equações de equilíbrio disponíveis é igual ao número de
incógnitas, possibilitando o cálculo das reações de forma muito simples.
Assim, relembrando o dado na apostila 1, supondo a estrutura no
plano xy, as condições de equilíbrio é dado pelas equações:
y
∑
∑
∑
(0,0)a
x
∑
∑
∑
∑
Onde Fx e Fy são as componentes das forças aplicadas em relação
aos eixos x e y, respectivamente e;
M o módulo do momento das forças em relação a um ponto
qualquer do plano.
Poderão ser usadas, nos problemas práticos, também como
condições de equilíbrio, três equações de momentos, desde que relativas a
pontos não pertencente à mesma reta(pontos não colineares):
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∑
Equações de momentos ∑
∑
Onde a, b e c são não colineares.
1.2.
Exemplos de Aplicação
a) Determinação das reações de apoio:
As Incógnitas (reações de apoio) são determinadas pelas equações de
equilíbrio e como são três equações normalmente são suficientes.
A técnica para cálculo de reações consiste em “isolar”, inicialmente, a
estrutura da terra, mediante a retirada dos apoios, aplicando-se na direção
dos movimentos restringidos os esforços incógnitos(encontrar o valor)
correspondentes.
O método para determinação das reações de apoio adotado segue
um roteiro de 04 passos:
1º identificar e destacar dos sistemas os elementos estruturais que
serão analisados. Desenhar o modelo estrutural (ME);
2º traçar o diagrama de corpo livre (DCL) do elemento a ser
analizado;
O DCL consiste em isolar a estrutura da terra, mediante a
retirada dos apoios, aplicando-se na direção dos
movimentos
restringidos
os
esforços incógnitos
correspondentes.
3º determinar um sistema de referência (SR) para a análise(xy);
4º estabelecer as equações de equilíbrio da estática (EE);
∑
∑
∑
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Exemplo 1: Viga isostática com carga distribuída simétrica.
Modelo Estrutural (ME)
Diagrama de Corpo Livre (DCL)
q= 1 KN/m
Rh
A
B
Rv1
Rv2
Sistema de Referência (SR)
+
Equações de Equilíbrio (EE)
∑
∑
∑
∑
RH=0
∑
RV1 + RV2 – q.L = 0
∑
(Para se fazer um somatório de momentos, é necessário
escolher um ponto fixo, que deverá estar localizado dentro do sistema de
referência adotado. Para maior facilidade é necessário conveniente que esse
ponto coincida com um ponto localizado sobre o modelo estrutural onde houver
maior número de incógnitas. No exemplo em análise o ponto a ser escolhido é o
ponto A. A escolha do ponto para determinação dos momentos é um passo muito
importante, pois dependendo do ponto escolhido, a resolução do problema pode
ser simplificada ou muito complicada.)
Assim,
∑
(RH1.0) + (RV1.0) – (RV2.L) + (q.L.L/2)=0
q.L²/2- RV2.L=0 (multiplicando 1/L)
q.L/2 – RV2=0
RV2= qL/2
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∑
Substituindo RV2 na equação
∑
RV1 + qL/2 – qL =0
RV1 = qL/2
Respostas:
RV1=qL/2;
RV2=qL/2;
RH=0
Exemplo 2: Viga isostática com carga concentrada no centro da viga.
Modelo Estrutural (ME)
P
Diagrama de Corpo Livre (DCL)
P= kN
Rh
A
B
Rv1
Rv2
Sistema de Referência (SR)
+
Equações de Equilíbrio (EE)
∑
∑
∑
∑
RH=0
∑
RV1 + RV2 – P = 0
∑
(RH1 . 0) + (RV1.0) – (RV2.L) + (P.L/2) = 0
RV1 = P – RV2
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P.L/2 – RV2.L=0
Multiplicando 1/L para simplificar RV2=P/2
∑
Substituindo RV2 na equação
∑
RV1=P – RV2 RV1=P/2
Respostas:
RV1= P/2;
RV2= P/2;
RH=0
Exemplo 3: Viga isostática com carga distribuída e uma concentrada no
centro da viga.
Modelo Estrutural (ME)
P
q= 1 KN/m
Diagrama de Corpo Livre (DCL)
P= kN
Rh
A
B
Rv1
Rv2
Sistema de Referência (SR)
+
A
Equações de Equilíbrio (EE)
∑
∑
∑
∑
RH=0
∑
RV1 + RV2 – q.L - P = 0
RV1 + RV2= P + qL
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∑
(RH1 . 0) + (RV1.0) – (RV2.L) + (q.L.L/2) + (P.L/2) = 0
P.L/2 + q.L²/2 – RV2.L =0 multiplicando 1/L para simplificar
P/2 + q.L/2 – RV2 =0
RV2 = P/2 + qL/2
Substituindo RV2 na equação
∑
∑
RV1 + RV2 = P + qL
RV1=P/2 + qL/2
Respostas:
RV1= P/2 + ql/2;
RV2= P/2+ qL/2;
RH=0
Análise dos resultados obtidos nos três exemplos anteriores:
1. A reação de apoio horizontal em todos os casos é igual a zero, porque não
existe, no modelo em análise, nenhuma força horizontal ativa;
2. Quando uma viga está submetida a uma carga uniformemente distribuída,
as reações de apoio são iguais;
RV1=RV2=q.L/2
3. Quando a viga está submetida a uma carga concentrada no meio do seu
vão, as reações de apoio também são iguais;
RV1=RV2=P/2
4. Quando a viga estiver submetida a uma carga uniformemente distribuída e
a uma carga concentrada no meio do seu vão, as reações de apoio são
iguais ao somatório das reações dos dois casos anteriores.
RV1=RV2= qL/2 + P/2
Isso acontece devido ao princípio da superposição de efeitos. Esse princípio
diz que, quando existir linearidade entre as forças que atuam no sistema,
quer dizer, quando as ações de uma carga não afetam as reações da outra,
as cargas que atuam no sistema se somam, e seus efeitos também.
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5. As cargas uniformemente distribuídas são concentradas a um determinado
ponto. Esse ponto deve ser o baricentro da área de atuação da carga. No
caso de cargas uniformemente distribuídas de seção constante, o
baricentro é exatamente o centro do espaço de atuação da carga.(abaixo)
6. Em cargas triangulares, o baricentro está localizado a 1/3 do lado
maior.(abaixo)
q= KN/m
P= q.L
=
q2= KN/m
q1= KN/m
P1= q1.L P2= q2.L
=
q
P= q.L/2
=
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Exercícios Resolvidos:
1. Calcule as reações de apoio para a viga de 6m de vão submetida ao
carregamento de carga concentrada de 60KN aplicada no seu centro.
Modelo Estrutural (ME)
60 kN
RESOLUÇÃO:
Diagrama de Corpo Livre (DCL)
P= 60 kN
Rh
A
B
Rv1
Rv2
Sistema de Referência (SR)
+
+ -
Equações de Equilíbrio (EE)
∑
∑
∑
∑
RH=0
∑
RV1 + RV2 – 60 = 0
∑
RV1 + RV2= 60
(RH1 . 0) + (RV1.0) + 60.3 - RV2.6 = 0
0+0+180 - RV2.6 =0
6RV2=180
RV2=180/6
RV2=30 kN
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Substituindo RV2 na equação RV1 + RV2= 60
∑
RV1 + 30 = 60
RV1 = 30 kN
Respostas:
RV1= 30 kN;
RV2= 30 KN;
RH=0
Diagrama com as Cargas Ativas e Reativas
P= 60 kN
Rh=0
A Rv1=30 kN
B Rv2=30 kN
2. Calcule as reações de apoio para uma viga de 6m de comprimento
submetida ao carregamento de carga uniformemente distribuída, de
8KN/m por todo o vão.
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Modelo Estrutural (ME)
q= 8 KN/m
RESOLUÇÃO:
Diagrama de Corpo Livre (DCL)
q= 8 KN/m
Rh
A
B
Rv1
Rv2
Sistema de Referência (SR)
+
+
-
Equações de Equilíbrio (EE)
∑
∑
∑
∑
RH=0
∑
RV1 + RV2 – (8.6) = 0
∑
RV1 + RV2= 48
(RH1 . 0) + (RV1.0) + 48.3 - RV2.6 = 0
0+0+144 - RV2.6 =0
6RV2=144
RV2=144/6
RV2= 24 kN
Substituindo RV2 na equação RV1 + RV2= 48
∑
RV1 + 24 = 48
RV1 = 24 kN
Respostas:
RV1= 24 kN;
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RV2= 24 KN;
RH=0
Diagrama com as Cargas Ativas e Reativas
q= 8 KN/m
Rh=0
Rv1=24 kN
Rv2=24 kN
3. Calcule as reações de apoio para uma viga de 6m de comprimento
submetida ao carregamento de carga parcialmente distribuída, de 6KN/m
a partir do primeiro terço do vão.
Modelo Estrutural (ME)
q= 6 KN/m
RESOLUÇÃO:
Diagrama de Corpo Livre (DCL)
q= 6 KN/m
Rh
A
B
Rv1
Rv2
Sistema de Referência (SR)
+
+
-
Equações de Equilíbrio (EE)
∑
∑
∑
∑
RH=0
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∑
RV1 + RV2 – (6.4) = 0
∑
RV1 + RV2= 24
(RH1 . 0) + (RV1.0) + 24.4 - RV2.6 = 0
0+0+96 - RV2.6 =0
6RV2=96
RV2=96/6
RV2= 16 kN
Substituindo RV2 na equação RV1 + RV2= 24
∑
RV1 + 16 = 24
RV1 = 8 kN
Respostas:
RV1= 8 kN;
RV2= 16 KN;
RH=0
Diagrama com as Cargas Ativas e Reativas
q= 6 KN/m
Rh=0
Rv1= 8 kN
Rv2= 16 kN
4. Calcule as reações de apoio para uma viga de 6m de comprimento
submetida ao carregamento de carga distribuída triangular, sobre todo o
vão com 6KN/m na extremidade direita.
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Modelo Estrutural (ME)
q= 6 kN/m
6,00 m
RESOLUÇÃO:
Diagrama de Corpo Livre (DCL)
R=área do triangulo
R= 6 X 6/2 = 18 kN
q= 6 kN/m
Rh
A Rv1
B Rv2
4,00 m
2,00 m
6,00 m
Sistema de Referência (SR)
+
+
-
Equações de Equilíbrio (EE)
∑
∑
∑
∑
RH=0
∑
RV1 + RV2 – (6.6/2) = 0
∑
RV1 + RV2= 18
(RH1 . 0) + (RV1.0) + 18.4 - RV2.6 = 0
0+0+72 - RV2.6 =0
6RV2=72
RV2=72/6
RV2= 12 kN
Substituindo RV2 na equação RV1 + RV2= 18
∑
RV1 + 12 = 18
RV1 = 6 kN
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Respostas:
RV1= 6 kN;
RV2= 12 KN;
RH=0
Diagrama com as Cargas Ativas e Reativas
R= 6 X 6/2 = 18 kN
Rh
A Rv1= 6 kN
4,00 m
B Rv2= 12 kN
2,00 m
6,00 m
5. Calcule as reações de apoio para uma viga de 6m de comprimento
submetida a um momento externo(carga momento) de 30 kNm no sentido
horário, aplicado a 2m da extremidade esquerda.
Modelo Estrutural (ME)
M= 30kN.m
+
RESOLUÇÃO:
Diagrama de Corpo Livre (DCL)
M= 30kN.m
Rh
A
+
B
Rv1
Rv2
Sistema de Referência (SR)
+
+
-
Equações de Equilíbrio (EE)
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∑
∑
∑
RH=0
∑
RV1 + RV2 = 0
∑
∑
RV1 = - RV2
(RH1 . 0) + (RV1.0) + 30 - RV2.6 = 0
0 + 0 + 30 - RV2.6 =0
6RV2=30
RV2=30/6
RV2= 5 kN
Substituindo RV2 na equação RV1 = - RV2
∑
RV1 = -5
RV1 = - 5 kN
Respostas:
RV1= - 5 kN;
RV2= 5 KN;
RH=0
Obs.: O sinal negativo de RV1 indica que o sentido correto da reação
é o oposto ao inicialmente arbitrado.
Uma solução mais refinada seria obtida observando-se que, para
equilibrar o momento aplicado na viga, as reações verticais teriam que ser
equivalentes a um binário, de mesma intensidade e sentido contrário, Fig.
abaixo.
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Diagrama de Cargas Ativas e Reativas
Rh=0
A
M= 30kN.m
+
5 kN
B
5 kN
6. Calcule as reações de apoio para uma viga em balanço de 4m de
comprimento submetida a uma carga concentrada de 20 kN na sua
extremidade.
P= 20 kN
RESOLUÇÃO:
Diagrama de Corpo Livre (DCL)
Rh
A
20 kN
Ma
B
Rv1
Sistema de Referência (SR)
+
+
-
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Equações de Equilíbrio (EE)
∑
∑
∑
RH=0
∑
RV1 – 20 = 0
∑
∑
RV1 = 20 KN
(RH1 . 0) + (RV1.0) + Ma + 20.4 = 0
0 + 0 + Ma + 80 =0
Ma = - 80 kNm
Obs.: O sinal negativo de Ma indica que o sentido adotado deste
momento foi errado portanto o sentido correto é o anti-horário.
Diagrama com Cargas Ativas e Reativas
Rh=0
A
20 kN
Ma=80kNm
Rv1=20kN
B
7. Calcule as reações de apoio para uma viga bi-apoiada de 6m de vão,
submetida a uma carga distribuída de 8 kN/m, com um balanço de 2m na
extremidade esquerda submetida a um momento externo(carga momento)
de 20 kNm no sentido anti-horário localizado à cinco metros do apoio
esquerdo e uma carga concentrada de 10 kN na extremidade.
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Modelo Estrutural (ME)
M=20kNm
q= 8 KN/m
10 kN
+
RESOLUÇÃO:
Diagrama de Corpo Livre (DCL)
R=8.4=32kN
M=20kNm
A
10 kN
q= 8 KN/m
Rh
+
Rv1
B
Rv2
Sistema de Referência (SR)
+
∑
+
-
∑
∑
∑
RH=0
∑
RV1 + RV2 – 32 – 10 = 0
∑
RV1 + RV2 = 42
(RH . 0) + (RV1.0) + 32.2 - 20 - RV2.6 + 10.8= 0
0 + 0 + 64 – 20 - RV2.6 - 80 =0
6RV2=100 - 64
RV2=36/6
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RV2= 6 kN
Substituindo RV2 na equação RV1 + RV2= 42
∑
RV1 + 6 = 42
RV1 = 36 kN
Diagrama de carga ativa e reativa
q= 8 KN/m
Rh=0
A
M=20kNm
+
Rv1=36
B
10 kN
Rv2=6
Respostas:
RV1= 36 kN;
RV2= 6 KN;
RH=0
8. Calcule as reações de apoio para o modelo estrutural de pórtico abaixo:
4 KN/m
3 kN
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RESOLUÇÃO:
Diagrama de Corpo Livre (DCL)
R=4.4=16 KN
3 kN
Rh
A
B
Rv1
Rv2
Sistema de Referência (SR)
+
+
-
+
Equações de Equilíbrio (EE)
∑
∑
∑
∑
3 - RH=0
∑
RV1 – (4. 4,0)+ RV2 = 0
∑
RH= 3 KN
RV1+ RV2 = 16 KN
+ (RV1 . 9) + (3.1,5) - (16.7) + Rh.0 + Rv2.0) =0
9RV1 + 4,5 – 112 +0 + 0=0
9RV1=107,5
RV1=11,94 KN
Substituindo RV1 na equação RV1 + RV2= 16
∑
11,94 + RV2 = 16
RV2 = 4,06 kN
Respostas:
RV1= 11,94 kN;
RV2= 4,06 KN;
RH=3 KN
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9. Calcule as reações de apoio para o modelo estrutural de pórtico abaixo:
10 kN
5 kN
5 kN
Diagrama de Corpo Livre (DCL)
10 kN
5 kN
5 kN
Rh
A
B
Rv1
Rv2
Sistema de Referência (SR)
+
+
-
+
-
Equações de Equilíbrio (EE)
∑
∑
∑
∑
RH=0
∑
RV1 – 5 – 10 – 5 + RV2 = 0
∑
RH= 0
RV1+ RV2 = 20 KN
+ (RV1 . 16) - (5.12) - (10.8) –(5.4) + Rh.0 + Rv2.0=0
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16RV1 - 60 – 80 - 20 +0 + 0=0
16RV1=160
RV1=10 KN
Substituindo RV1 na equação RV1 + RV2= 20
∑
10 + RV2 = 20
RV2 = 10 kN
Respostas:
RV1= 10 kN;
RV2= 10 KN;
RH= 0 KN
REFERÊNCIAS:
ALMEIDA, Maria Cascão Ferreira de. Estruturas isostáticas. São Paulo:
Oficina de Textos, 2009.
MACHADO JÚNIOR, Eloy Ferraz. Introdução à isostática. São Carlos:
EESC/USP, 1999, 2007.
SUSSEKIND, José Carlos. Curso de análise estrutural: estruturas
isostáticas. 5.ed. Rio de Janeiro: Globo, 1981. V. 1.
VIERO, Edison Humberto. Isostática: passo a passo. 2. Ed. Caxias do
Sul, RS: Educs, 2008.
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