IF/UFRJ – Física III – 2011/1 – Raimundo
Turmas IFA/OV1/ BCMT/MAI/IGM/MAA
4a Lista de Problemas – Potencial Elétrico
1. Um par de cargas puntiformes +2q e −q estão separadas por uma distância ℓ. Mostre
que a superfície equipotencial V=0 é uma esfera, e determine seu centro e seu raio.
2. Considere uma esfera de raio R, uniformemente carregada com carga total q. (a)
Tomando V = 0 em r = 0, determine o potencial, V(r), dentro da esfera. (b) Tomando
V = 0 em r = ∞, determine o potencial, V(r), dentro da esfera. Este resultado difere
do obtido em (a)? Por quê? (c) Qual a diferença de potencial (DDP) entre um ponto
na superfície e outro no centro da esfera? Esta DDP depende da escolha da origem
dos potenciais? (d) Obtenha V(r) para pontos externos à esfera, para a origem de
potenciais do item (b); esboce um gráfico de V como função da distância ao centro.
(e) Tome q = − e, e suponha que haja também uma carga puntiforme +e no centro da
esfera – este é um modelo rudimentar para o átomo de hidrogênio; qual é a
expressão para o potencial em todo o espaço, neste caso?
3. Uma casca hemisférica de raio R está uniformemente carregada
com carga positiva de densidade superficial σ. (a) Determine o
potencial V no ponto central; veja a figura. (b) Uma partícula
de massa m e carga q é colocada no ponto O e largada a partir
do repouso. A que velocidade a partícula tenderá, quando se
afastar muito de O?
4. Obtenha o trabalho necessário para um agente externo reunir as
quatro cargas na configuração indicada na figura. O lado do
quadrado tem comprimento a.
5. Em um relâmpago típico, a diferença de potencial entre os pontos extremos da
descarga é de cerca de 1,0 x 109 V e a quantidade de carga transferida é de cerca de
30 C. (a) Quanta energia é liberada? (b) Se toda essa energia pudesse ser usada para
acelerar um automóvel de 1.200 kg, a partir do repouso, qual seria sua velocidade
final? (c) Se a energia pudesse ser usada para derreter gelo, quanto gelo seria
derretido a 0o C?
6. Três cargas de + 122 mC cada uma são colocadas nos vértices de um triângulo
eqüilátero de 1,72 m de lado. Se for fornecida energia à razão de 831 W, quantos
dias serão necessários para mover uma das cargas para o meio da linha que liga as
outras duas?
7. Duas cargas q = + 2,13 µC estão fixas no espaço à
distância d = 1,96 cm uma da outra, como indica a
figura. (a) Qual o potencial elétrico no ponto C?
(b) Você traz lentamente uma terceira carga Q = +
1,91 µC desde o infinito até C. Quanto trabalho
você precisa realizar? (c) Qual a energia potencial
U da configuração, quando a terceira carga for
colocada?
8. Para a configuração de cargas da figura ao lado, mostre que V(r),
para pontos no eixo vertical, considerando r >> d, é dado por
.
9. Uma quantidade total de carga positiva Q é espalhada sobre um anel circular plano
de raio interno a e raio externo b. A carga é distribuída de modo que a densidade de
carga (carga por unidade de área) é dada por σ = k/r3, onde r é a distância desde o
centro do anel a qualquer ponto deste. Mostre que o potencial no centro do anel é
dado por
.
10. Duas linhas de cargas são paralelas ao eixo z. Uma, com carga por unidade de
comprimento +λ, está à distância a, à direita do eixo. A outra, com carga por
unidade de comprimento −λ , é simétrica da anterior, em relação ao eixo (as linhas e
o eixo z pertencem ao mesmo plano). Esboce algumas superfícies eqüipotenciais.
11. Uma carga por unidade de comprimento λ é distribuída uniformemente
ao longo de um segmento linear de comprimento L. (a) Determine o
potencial no ponto P, à distância y de uma extremidade do segmento
carregado e na mesma linha que ele (veja a figura), considerando a
origem do potencial no infinito. (b) Verifique se seu resultado reproduz
corretamente o limite L<<y. (c) Use o resultado de (a) para calcular a
componente ao longo de y do campo elétrico em P. (d) Determine a
componente do campo elétrico em P na direção perpendicular ao segmento.
12. Um bastão fino, de comprimento L, está sobre o eixo x, com uma extremidade na
origem (x = 0), como na figura ao lado. A carga
no bastão é distribuída de acordo com a densidade
linear (i.e., carga por unidade de comprimento) λ
= kx, sendo k uma constante. (a) Tomando a
origem dos potenciais no infinito, determine V no
ponto P do eixo y. (b) Determine a componente
vertical, Ey, do campo elétrico em P, utilizando o
resultado de (a) e também por cálculo direto. (c)
Por que a componente horizontal, Ex, do campo
elétrico em P não pode encontrada usando o resultado de (a)? (d) A que distância do
bastão, ao longo do eixo y, o potencial é igual à metade do seu valor na extremidade
esquerda do bastão?
13. Considere a Terra como um condutor esférico com 6.370 km de raio, inicialmente
descarregado. Uma esfera de metal, com raio de 13 cm e tendo uma carga de −6,2
nC, é aterrada, isto é, posta em contato elétrico com a Terra. Mostre que este
processo efetivamente descarrega a esfera; para isto, calcule a fração do excesso de
elétrons originalmente presentes na esfera e que permanecem depois dela ser
aterrada.
14. Considere uma esfera oca delgada, condutora e isolada, que esteja uniformemente
carregada com densidade de carga constante e igual a σ (C/m2). Quanto trabalho
seria realizado para mover uma pequena carga de prova positiva q0: (a) desde a
superfície da esfera até seu interior, através de um pequeno orifício; (b) desde um
ponto a outro da superfície, não importando o percurso; (c) desde um ponto a outro
dentro da esfera; e (d) desde qualquer ponto P fora da esfera, ao longo de qualquer
caminho, não importando se ele intercepte ou não a esfera, ao voltar para P; (e) para
as condições dadas, importa o fato da esfera ser condutora, ou não?
15. O objeto metálico da figura ao lado é uma superfície de
revolução em torno do eixo horizontal. Suponha que ele
esteja carregado negativamente e esboce algumas
equipotenciais e linhas de força. Baseie sua resposta em
raciocínio físico, ao invés de análise puramente
matemática.
16. Calcule a energia potencial de interação de dois dipolos elétricos, p1 e p2; chame de
r o vetor de posição de p2 com relação a p1, com |r| muito maior que as dimensões
dos dipolos. (a) Obtenha o resultado geral. (b) Particularize para dipolos alinhados
com r, paralelos ou antiparalelos. Que configuração relativa entre os dipolos tem
menor energia? (c) Particularize para dipolos perpendiculares a r, paralelos ou
antiparalelos. Que configuração relativa entre os dipolos tem menor energia? (d)
Para a situação de menor energia de todas as quatro, calcule a energia de interação
dipolar entre duas moléculas de água (p = 6,2 × 10 30 C·m) à distância de 5 Å uma
da outra. Compare-a com a energia térmica à temperatura ambiente.
−
17. Uma gota líquida de raio R, uniformemente carregada com carga Q, divide-se em
duas, de raios e cargas iguais, que se separam e se afastam até ficarem a uma grande
distância uma da outra. (a) Qual a variação da energia potencial eletrostática neste
processo? (b) Se adotássemos esse modelo para a fissão do U235, admitindo que ele
pudesse se fissionar desta forma, qual seria a energia, em MeV, liberada na fissão?
Calcule o raio do núcleo pela fórmula R ≈ 1,3 × A1/3 F, onde 1F (fermi) = 10 13 cm e
A é o número de massa (= número de prótons + número de nêutrons).
−
18. Duas cavidades esféricas, de raios a e b, são escavadas
no interior de uma esfera condutora neutra de raio R,
como indica a figura. No centro de cada cavidade, uma
a
R
carga pontual é colocada; chame-as de qa e qb. (a)
qa
Determine as densidades superficiais de carga σa, σb, e
b
σR, respectivamente nas superfícies das cavidades de
raios a e b, e da esfera de raio R. (b) Determine o
qb
campo elétrico fora do condutor. (c) Determine o
campo elétrico dentro de cada cavidade. (d) Determine
a força em qa e qb. Quais das respostas anteriores
seriam modificadas se uma terceira carga pontual, qc, fosse trazida para perto do
condutor? Por quê?
Respostas:
1. Centro em (4ℓ/3,0,0) e raio 2ℓ/3.
2. (a) V(r) = −(q/8πε0)(r2/R3); (b) V(r)=(q/8πε0)(3R2−r2)/ R3; (c) q/8πε0R;
(d) V(r) = q/4πε0r; (e) V(r) = (e/4πε0)[(1/r)−(3/2R)+(r2/2R3)], para r ≤ R, e V(r) = 0, para
r ≥ R.
3. (a) V(O)=(σR/2ε0); (b) v=(qσR/mε0)1/2.
4. U = −(q2/4πε0a)(4-√2).
5. (a) 30 GJ; (b) 7,1 km/s; (c) 9,0 × 104 kg.
6. 2,17 dias.
7. (a) 2,76 MV; (b) 5,28 J; (c) 7,36 J.
11. (a) V = (λ/4πε0) ln (1+L/y); (b) Ey= (λ/4πε0) [L/y(y+L)]; (c) Ex = 0.
12. (a)
; (b)
; (d) 3L/4.
13. 2,0 × 10 8.
14. (a) 0; (b) 0; (c) 0; (d) 0; (e) Não.
−
16. (a)
; (b)
; (c)
; (d)
34 meV; 25 meV.
17. (a) ΔU = (1−2 2/3) [(3Q2/5)/4πε0R]; (b) 337 MeV.
18. (a) σa = −qa/4πa2; σb = −qb/4πb2; σR = q/4πR2, com q = qa+qb; (b) E=(q/4πε0r2); (c)
E =q /4πε0r 2, com α=a, b, na direção radial, com centro nas respectivas cavidades. (d)
Fa=Fb=0; (e) σR e, conseqüentemente, Efora.
−
α
α
α