MAT1154
Prova 3
09/06/2010
Nome:
Matrícula:
Turma: 33
Cabeçalho mal-preenchido implica perda de meio ponto! Consulta, calculadora e celular são
proibidos. Justifique as questões de forma clara. Escreva a resolução de cada questão na folha
correspondente; você
as folhas da prova.
pode usar o verso. Proibido destacar Escreva as respostas finais a caneta.
Questão
Valor:
1
2
3
4
5
Total
21/2
21/2
11/2
2
11/2
10
Nota:
1. [21/2 pt] Resolva o problema de valor inicial
0
x = −x − y
y 0 = 9x − y
x(0) = 1
y(0) = 0
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2.
Prova 3
Folha 2 de 5
x(t)
pt] Seja X(t) =
. Considere as matrizes seguintes:
y(t)
1 2
1
3
A=
E=
0 −2
−2 −1
3 0
1 1
B=
F =
0
3
2 2
−2 2
2 3
C=
G=
−2
−1
1 5 −2 2
1 −2
D=
H=
−2 −7
2 1
[21/2
Abaixo estão os retratos de fase dos sistemas X 0 = A · X, . . . , X 0 = H · X (em outra ordem).
Ao lado de cada desenho, escreva A CANETA qual é a (letra da) matriz correspondente
(A ou B ou . . . ou H). Esta questão não precisa ser justificada.
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Prova 3
Folha 3 de 5
3. [11/2 pt] Sabe-se que o sistema de EDO’s
0
x = ax + by
y 0 = cx + dy
tem uma solução particular (x(t), y(t)) = (f (t), g(t)), e uma outra (x(t), y(t)) = (h(t), −h(t)),
onde as funções f (t), g(t), h(t), −h(t) têm os seguintes gráficos:
Desenhe o retrato de fase do sistema de EDO’s, da melhor maneira possível. (O seu desenho
deve incluir diversas trajetórias com flechinhas, como nas figuras da Questão 2.) Indique no
seu desenho quais são as duas soluções particulares apresentadas acima.
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Prova 3
Folha 4 de 5
4. [2 pt] Encontre todos os pontos de equilíbrio do sistema de EDO’s abaixo, e classifique cada
um desses pontos como atrator, ou repulsor, ou sela, se possível.
0
x = x2 − 3 cos y
y 0 = yex
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Prova 3
5. [11/2 pt] Considere o sistema
Folha 5 de 5
x0 = ey − e−y
y 0 = −x3
cujo retrato de fase é mostrado abaixo:
Encontre uma função F (x, y) cujas curvas de nível sejam exatamente as curvas fechadas que
aparecem na figura.