Cálculo C (03220): Prova 2 Soluções
Prof.: Martin Weilandt
25 de outubro 2011
1. (a) Nós temos que a união S das superfícies S 1 , . . . ,S 4 é exatamente a
fronteira de E (com as orientações N1 , . . . ,N4 apontando para fora
de E). Agora observamos que
div F(x,y,z) = x2 2y − x2 y = x2 y = f (x,y,z).
Portanto, o Teorema do Divergente implica
ZZZ
ZZZ
ZZ
I1 =
f dV =
div F dV =
F dS = I2 .
E
E
S
(b)
2
Z
1
Z
1−y 2
Z
x2 y dz dy dx
I1 =
−1
0
2
Z
=
x
2
Z
0
1
2
Z
3
(y − y ) dy dx =
−1
0
x
2
0
y4
y2
−
2
4
1
y=−1
dx
=0
(c) S 1 é o gráfico da função g(u,v) = 1 − v 2 , com domínio D = [0,2] ×
[−1,1]. Observamos ∂g/∂u = 0, ∂g/∂v = −2v e obtemos (para
R(u,v) = ui + vj + (1 − v 2 )k)
ZZ
ZZ
F dS =
(−(F1 ◦ R)∂g/∂u − (F2 ◦ R)∂g/∂v + F3 ◦ R) dA
S1
Z
D
2Z 1
=
Z
2
u2
=
=
Z
1
(2v 3 + v − v 3 ) dv du
−1
4
0
Z
(−0 − u2 v 2 (−2v) + u2 v(1 − v 2 )) dv du
−1
0
2
2
u
0
v2
v
+
4
2
1
v=−1
dv = 0
Para S 2 observamos que para (x,y,0) ∈ S 2 temos hF(x,y,0),N2 (x,y,0)i =
hx2 y 2 j, − ki = 0 e, portanto,
ZZ
ZZ
F dS =
hF,N2 i dS = 0.
S2
S2
1
2
Observamos que N3 = i e N4 = −i são perpendiculares a F e concluimos
ZZ
ZZ
F dS =
F dS = 0.
S3
S4
Somando os resultados acima, obtemos I2 = 0
√
2. (a) S é o gráfico de g(u,v) = u2 + v 2 com domínio D = {(u,v) ∈
R2 |a2 ≤ u2 + v 2 ≤ b2 }. Portanto
s 2
ZZ
ZZ
2
∂g
∂g
A(S) =
dS =
+
+ 1 dA
∂u
∂v
S
D
ZZ √
ZZ r
v2
u2
+ 2
+ 1 dA =
2 dA
=
u2 + v 2
u + v2
D
√D
√
= 2[A(disco de raio b) − A(disco de raio a)] = 2π(b2 − a2 )
(b) Para a = 1, b = 2 obtemos A(S) =
√
√
2π(4 − 1) = 3 2π.
1
3. (a) Para y(x) = x + C−x
verificamos (para todo x diferente de C) que ao
lado esquerdo da EDO temos y 0 (x) = 1 − (−1)(C − x)−2 = 1 + (C −
1
x)−2 . O lado direito da EDO dá 1+(x−y(x))2 = 1+(x−x− C−x
)2 =
−2
−2
1 + (−C + x) ) = 1 + (C − x) . Em outras palavras a função
1
y(x) = x + C−x
satisfaz a EDO acima.
1
(b) 3 = y(1) = 1 + C−1
, e portanto C − 1 =
nosso PVI é y(x) = x + ( 32 − x)−1 .
1
2
e C = 32 . A solução do
(c) Escrevemos f (x,y) = 1+x2 −2xy +y 2 e observamos que f e ∂f /∂y =
−2x + 2y são funções contínuas. O Teorema de Picard implica que a
solução de (b) do PVI é única.
4. Separamos variáveis e obtemos y = ex−sen x .
5. Usando que a EDO é exata ou separando variáveis, obtemos y = − cos4 x .