Ministério da Educação
Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica
Instituto Federal Catarinense – Campus Avançado Sombrio
Curso de Licenciatura em Matemática
PLANO DE AULA DA MACROAULA
PLANO DE AULA
Dados de identificação
1-INSTITUTO FEDERAL CATARINENSE – CAMPUS AVANÇADO SOMBRIO
Município: Sombrio (SC)
Disciplina: Matemática
Série: 2º
Nível: Ensino Médio
Turma: única
Professora: Edna da Silva albino
Tempo previsto: 3h.a.
2-Tema: Cone
Subtemas: Cone Circular Reto e Oblíquo, Tronco de Cone
3) Justificativa
Observando as formas apresentadas na natureza o homem inspirou-se e fez
diversas invenções. Uma destas foi a invenção da roda, a qual impulsionou muitas
outras criações dando a possibilidade de produzir formas arredondadas, dentre elas os
cones.
O estudo dos cones se faz necessário, visto são aplicados, por exemplo na
engenharia para a construção dos silos de armazenamento de grãos, na meteorologia
para o estudo dos tornados,na indústria para a confecção de embalagens, em fim, são
aplicados em diversas áreas do conhecimento sendo úteis no desenvolvimento das
tecnologias.
4) Objetivos
 Compartilhar a história da geometria espacial;
 Relacionar o estudo de cone com situações cotidianas a partir da
problematização;
 Reconhecer os elementos de um cone;
 Planificar o cone e calcular suas medidas.;
 Resolver problemas que envolvam cone;
 Identificar tronco de cone e seus elementos;
 Realizar cálculos referentes à área lateral, total e volume de troncos de cones e
cones.
5) Conteúdos envolvidos (conteúdos pré-requisitos para o desenvolvimento da
aula).
Adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação, radiciação, teorema de
Pitágoras.
6) Estratégia:
6.1- recursos; Quadro, pincel, material impresso, computador.
6.2- técnicas; Aula expositiva e dialogada, atividades em sala de aula.
7) Procedimentos:
7.1- Problematização:
Uma fábrica de doces e balas irá produzir chocolates na forma de guarda-chuva,
com as seguintes medidas: 8 cm de altura e 3 cm de raio de acordo com a ilustração.
Qual a quantidade de chocolate utilizada na produção de 2000 peças?
Cada chocolate possui 75,36 cm³ de volume. A fábrica quer produzir 2000 peças, então:
2000.75,36=150720cm³
Lembrando que 1 cm³ = 1 ml, temos 150 720 ml de chocolate que corresponde a 150,72
litros.
7. 2- Historicização;
Os relatos históricos nos mostram que os babilônicos calculavam o volume do
tronco de cone, erradamente, como sendo o produto da altura pela semi- soma das
bases, porém, esses mesmos relatos indicam que esse mesmo povo já se preocupava
com o cone há mais de 2000 anos a.C. Também encontramos relatos tais como:
A métrica de Herão que viveu provavelmente, no primeiro século de nossa era.
Esse material se resume em três livros que trazem os estudos geométricos de Herão e
dentre esses estudos um é sobre a superfície do cone que, infelizmente, ficou escondido
quase dois mil anos, pois, esse só foi encontrado no ano de 1896.
No caminho trilhado pelos geômetras de todas as épocas também apresentavam
momentos de confusão, por exemplo, o relato de Plutarco dizendo que Demócrito numa
certa ocasião “[...] considerou a possibilidade de um cone ser
formado de uma infinidade de seções planas paralelas à base [...]” (BOYER, 1974)
isso não era verdade, mas “[...] se duas seções “adjacentes” fossem do mesmo
tamanho o sólido seria um cilindro e não um cone”. (BOYER, 1974).
Ainda, nestas trilhas, apresentaram defeitos, tal como, medidas com
aproximações bruscas feitas pelos egípcios, por exemplo, para fazer o cálculo do
volume do tronco de cone somavam a área das bases e dividiam por dois e o resultado
multiplicava pela altura do tronco. Porém, foram muitos os acertos, como a descoberta
da relação entre o cone e o cilindro de mesma base e mesma altura, que o próprio
Arquimedes atribuiu a Eudoxo essa descoberta, juntamente com o método da exaustão.
Algumas generalizações importantes foram feitas, como a prova de Apolônio em que
mostra que para ser cone não necessariamente tem que ser reto, mas o cone poderia ter
inclinações, ou seja, Apolônio provou que o cone pode ser obliquo ou até mesmo
escaleno e ainda, foi ele quem definiu o cone com o conceito que usamos até os dias de
hoje, ou seja: “Se fizeramos uma reta de comprimento indefinido e passando sempre por
um ponto fixo, move-se ao longo da circunferência de um círculo que não está num
mesmo plano com o ponto de modo a passar sucessivamente por cada um dos pontos
dessa circunferência, a reta móvel descreverá a superfície de um cone duplo”
(BOYER,1974).
Figura 3.16 - Arquimedes
Fonte: <http://sonhistoria.
com/A/Arquimedes.gif>Arquimedes
Arquimedes é considerado o mais brilhante cientista da Antiguidade. Seus
achados são utilizados ainda nos dias de hoje, seja nas integrais, seja na descoberta de
novos postulados e axiomas. Há uma série de fatos curiosos da vida dele que nos
mostram inúmeras facetas da personalidade e da geniosidade desse sábio. Nascido em
Siracusa, situada na ilha da Sicília, por volta de 287 a.C., Arquimedes, filho do
astrônomo Fídias, viveu muitos anos em Alexandria, onde foi um dos maiores
discípulos da Universidade e teve como professor Cônon, seguidor de Euclides. Ao
completar seus estudos, retornou a sua cidade natal, mas continuou comunicando suas
descobertas e trocando conhecimentos. Foi guerreiro e ajudou a defender Siracusa
contra o ataque dos romanos, utilizando as engenhosas máquinas de guerra, como
catapultas para lançar pedras, cordas, polias e ganchos para levantar e espatifar os
navios romanos, todas inventadas por ele. Morreu assassinado por engano por um
soldado, durante o saque de Siracusa em 212 a.C. O comandante romano Marcelo ficou
consternado com a morte do ilustre matemático e ordenou que fosse construído um
túmulo entalhado com uma esfera inscrita em um cilindro, tal como Arquimedes
desejara. Arquimedes morreu quando já havia estendido as fronteiras da Matemática
muito além do que recebera de Euclides, conquistando a reputação de o maior gênio da
Antiguidade. Os trabalhos científicos de Arquimedes estando a reputação de o maior
gênio da Antiguidade. Os trabalhos científicos de Arquimedes causam admiração até
hoje, sobretudo pela precisão dos cálculos. Ele criou métodos para resolver problemas
de áreas e volumes, destacando-se entre os grandes matemáticos da época. Seus
principais trabalhos foram:na Geometria plana, a medida de um círculo, a quadratura da
parábola e sobre as espirais; na Geometria espacial, sobre a esfera e o cilindro e sobre os
cones e os esferóides; na Matemática aplicada, sobre o equilíbrio de figuras planas - Lei
das alavancas - e sobre os corpos flutuantes – Lei da hidrostática; na aritmética, o
problema dos bois e o arenário; outros, Stomachion e bomba de água em parafuso.
Dentre as obras de Arquimedes, descreveremos três: A medida de um círculo, Sobre o
equilíbrio de figuras planas e sobre os corpos flutuantes (CARDOSO,DARELA, ROSA.
2008 p.140 e 141).
7.3- Operacionalização da aula;
A aula será iniciada com o seguinte problema:
Uma fábrica de doces e balas irá produzir chocolates na forma de guarda-chuva,
com as seguintes medidas: 8 cm de altura e 3 cm de raio de acordo com a ilustração.
Qual a quantidade de chocolate utilizada na produção de 2000 peças?
Cada chocolate possui 75,36 cm³ de volume. A fábrica quer produzir 2000 peças, então:
2000.75,36=150720cm³
Lembrando que 1 cm³ = 1 ml, temos 150 720 ml de chocolate que corresponde a 150,72
litros.
Então será realizado os seguintes questionamentos:
O que é um cone?
Onde encontramos um objeto na forma de um cone?
Como calcular sua área, volume e sua altura?
Definição: Considere um plano α, um círculo de centro O e raio R contido em α e um
ponto V fora dele:
Chamamos cone circular o sólido determinado pela reunião de todos os
segmentos com uma extremidade em V e outra no círculo. Todo segmento que passa
por V e tem extremidade na circunferência da base é denominado geratriz do cone, e o
segmento que une o vértice V ao centro O da base é chamado eixo do cone. A distância
(de forma perpendicular) de V ao plano α é a altura h do cone.
O cone é um sólido geométrico classificado em cone reto, cone oblíquo e cone
retangular. É possível calcular a área total, área lateral e a área da base de um cone.
Dado um círculo de centro O e raio R no plano B, e um ponto P fora do plano. O cone
será formado por segmentos. Outra forma de construir o cone é através da revolução do
triângulo retângulo sobre um eixo vertical. O cone circular reto também é conhecido por
cone de revolução, pois pode ser obtido por uma revolução (rotação) de 360º, em torno
de um dos catetos, de uma região limitada por um triangulo retângulo. Por isso o cone
reto também é chamado de cone de revolução.
Elementos do cone
C
g: geratriz do cone
h: altura do cone
R: raio da base
v: vértice
 O círculo C e o ponto V são chamados, respectivamente, de base e de vértice do
cone.
 O reta OV é chamada de eixo de cone.
 O raio do círculo C é chamada de raio da base do cone.
 A distância do vértice ao plano da base é chamada de altura do cone.
 Todo segmento de reta cujas extremos são o ponto V e um ponto da
circunferência da base é chamada de geratriz do cone.
 A área lateral
do cone é a área da área da superfície obtido pela reunião de
todas as geratriz.
 A área total
do cone é soma da área lateral com a área da base.
Cone
Cone oblíquo
Denomina-se oblíquo quando não é um cone reto, ou seja, quando o eixo não é
perpendicular ao plano da base. De acordo com o ângulo que o eixo faz com o
plano α(alfa) teremos um.
Cone Reto (α=90º) ou Oblíquo (α≠90º).
Secção meridiana do cone reto
Chamamos secção meridiana do cone circular a interseção do cone circular com
um plano que passa pelo vértice e pelo centro da base .
Em um cone circular reto, todas as secções meridianas são regiões triangulares
isósceles e congruentes entre si.
Cone Equilátero
Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma
região triangular equilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do
diâmetro da base.
Exemplo: Quando a geratriz de um cone reto é igual a 2R, a secção meridiana é
um triângulo de lado 2R e esse cone é denominado cone equilátero.
No cone reto podemos aplicar a relação de Pitágoras para o cálculo da geratriz
(g), do raio da base (r) e da altura (h), pois vimos que o cone pode ser formado através
da revolução do triângulo retângulo. Comparando os elementos do cone aos do
triângulo retângulo temos:
Geratriz no cone, hipotenusa no triângulo.
Altura no cone, cateto no triângulo.
Raio da base no cone, cateto no triângulo.
O TEOREMA DE PITÁGORAS E O CONE CIRCULAR RETO
Consideremos uma secção meridiana de um cone circular reto tal que o raio da
base, a geratriz e a altura meçam r, g e h, respectivamente. Uma importante relação no
cone é dada por: g² = r² + h², observe a figura:
AREA LATERAL E AREA TOTAL DE UM CONE CIRCULAR RETO
A superfície de um cone circular reto com raio da base de medida r e geratriz g é
equivalente a reunião de um círculo de raio r com um setor circular de raio g cujo arco
mede 2 r.
Area da lateral do setor equivalente a superfície do cone é a area lateral do cone ou
seja:
Comprimento do
area do setor
arco do setor
2 g -----------------------2 r ------------------=
=
=
Área total
do cone é a soma da área lateral com a área da base ou seja:
=
+
=
+r)
Área da base
Por ser uma circunferência, a área da base de um cone é dada pela seguinte expressão:
Ab =
Volume do cone
O volume do cone circular é igual a do produto da área da base,
por sua altura, h.
V=
Logo após apresentar sua definição, será perguntado se alguém já sabe como
resolver o problema da professora. E então iniciará a resolução:
Logo após a resolução do problema será entregue a turma um cone planificado,
em que cada aluno fará seu cone, e vai calcular sua altura, área, geratriz. Os alunos farão
grupos de no máximo quatro alunos e será entregue uma outra figura geométrica em
forma de um cilindro junto com um saco de areia, para eles colocarem dentro do cone
para que eles analisem e comparem o volume do cilindro e do cone de mesma altura e
base. Após essa experiência será aplicado o conceito de tronco do cone.
TRONCO DE CONE CIRCULAR DE BASES PARALELAS
Se um cone sofrer a intersecção de um plano paralelo à sua base circular, a uma
determinada altura, teremos a constituição de uma nova figura geométrica espacial
denominada Tronco de Cone.
Elementos do tronco de cone:
Base do tronco (B) → é a maior base do tronco
Altura (h) → distância entre as duas bases
Raio da base (R) → é o raio da maior base
Geratriz (g)
As fórmulas referentes ao cálculo da área lateral total e do volume são as seguintes:
Área lateral
Al =
=
Área total
É a soma das áreas das bases com a área lateral
At= Ab+AB+Al
+r)
O volume do tronco de cone de bases paralelas é dado fazendo a diferença entre
os volumes dos dois cones obtidos após a secção transversal. Colocando o volume em
função dos raios das bases e da altura do cone, obtemos a abaixo uma demonstração da
fórmula de cálculo do Tronco de Cone.
Dado o Cone:
Seccionado paralelamente a uma altura H de sua base.
Por semelhança de triângulos, temos:
Por semelhança, temos:
Daí temos:
Temos que:
Substituindo (1) em (2), obtemos:
V=
Note que o volume
do tronco é igual á diferença entre os volumes
cones C e C’, respectivamente, isto é :
dos
Exemplo:
Um tronco de cone possui a medida dos raios igual a 5 m e 8 m. Sabendo que a medida
da altura é igual a 4, determine a área lateral desse sólido.
Para determinarmos a área lateral devemos calcular a geratriz desse tronco de cone.
Observe o cálculo realizado:
Utilizando o Teorema de Pitágoras temos:
g² = 4² + 3²
g² = 16 + 9
g² = 25
√g² = √25
g=5
Calculando a área lateral
=
=
=
=
=
7.3- Conclusão da aula (atividades e sugestão de atividade).
Questionar os alunos em relação ao conteúdo, verificando se os objetivos da aula
foram alcançados buscando a comprovação através da resolução dos exercícios.
EXERCÍCIOS PROPOSTO
1) Um cone possui diâmetro da base medindo 24 cm, geratriz 20 cm e altura igual
a 16 cm. Determine sua área total e seu volume.
Resolução:
Area total
A = π . r . (g + r)
A = 3,14 . 12 . (20 + 12)
A = 3,14 . 12 . 32
A = 1 205,76 cm²
Volume
2) No cone reto a seguir, a geratriz (g) mede 20 cm e a altura mede 16 cm.
Determine seu volume.
Precisamos calcular a medida do raio da base, e para isso utilizaremos o teorema
de Pitágoras:
3) Uma rolha de cortiça tem forma de um tronco de cone circular reto de bases
paralelas com a sua altura 1,2cm, sua base menor mede 1 cm, sua base maior
mede 1,4 cm. Calcule o volume dessa rola. R:0, 436 cm3 .
4) Ana comprou um sorvete de casquinha de forma cônica cujo diâmetro é 5 cm e
altura é 10 cm. Qual o volume de sorvete Ana comprou?
h=5
r = 10
O volume da casquinha é de 261,66 cm³, que corresponde a, aproximadamente, 261 ml.
8) Avaliação:
8.1 Critérios
Observação na participação dos alunos em sala de aula, interesse,
comportamento e uma avaliação.
8.2 Instrumentos
O processo avaliativo será operacionalizado durante o decorrer das aulas e ao
concluir o conteúdo será aplicada uma avaliação.
9) Referências
Mathclassy. Matematica, Disponível em:
<http://pt.scribd.com/doc/2972207/Matematica-Exercicios-Resolvidos-GeometriaCones>. Acesso em 04.agos.2014
ENEM 2010. Disponível em:< http://www.infoenem.com.br/apostila-enem-2014questao-exemplo-de-matematica/>. Acesso dia 04 de agos.2014
NOÉ. MARCOS, Disponível em:<http://exercicios.brasilescola.com/exerciciosmatematica/exercicios-sobre-cone.htm#resposta-546> Acesso em: 22de set.2014
NOÉ. MARCOS, Brasil Escola, Disponível em:
<http://www.brasilescola.com/matematica/cone.htm>. Acesso em: 25 de agos. 2014
PAIVA. Manoel, Matemática, volume único, São Paulo, Moderna, 2005.
PAIVA. Manoel, Matemática, volume único, São Paulo, Moderna, 2009
RIBEIRO. Thyago, Disponível em: <http://www.infoescola.com/geometriaespacial/cone/> Acesso em:13 de set. 2014
RIGONATTO. Marcelo, Mundo Educação. Disponível
em:<http://www.mundoeducacao.com/matematica/volume-tronco-cone.htm> Acesso
em: 15de Set. 2014.
INSTITUTO FEDERAL CATARINENSE – CÂMPUS AVANÇADO SOMBRIO
Prof. Orientadora: Marleide Coan Cardoso / Margarete Farias de Medeiros
Prof. Edna da Silva Albino
Aluno:
Data:
PROVA DE MATEMÁTICA
1) Assinale a resposta certa com V para verdadeira e F para falsa.
Um cone circular reto também é conhecido como cone de revolução, quando:
a ( ) É obtido por uma revolução(rotação) de 360º, em torno de um dos catetos,
de uma região limitada por um triangulo escaleno.
b ( ) Ele tem um revolução (rotação ) de 180º em torno de um dos catetos, de uma
região limitada por um triangulo retângulo.
c ( ) Seu o eixo não é perpendicular à base.
d ( ) Pode ser obtido pela rotação de um triângulo em torno de um de seus catetos
2) Some as resposta corretas.
( 1) Unijui-RS) Um líquido que está num recipiente em forma de cone será despejado
em outro recipiente que possui forma cilíndrica.
cilindro
cone
Se o raio da base dos dois recipientes for 25 cm e a altura dos dois for 1m, altura
atingirá
m de líquido no cilindro.
(4) A classificação dos cones é cone reto, cone obliquo, cone equilátero.
(8) Os elementos do cone são as diagonais, geratriz, raio.
(16) Os elementos do tronco é a base do tronco, altura, raio da base, geratriz.
3) Um arquiteto está fazendo um projeto de iluminação de ambiente e necessita saber a
altura que deverá instalar a luminária ilustrada na figura:
Sabendo-se que a luminária deverá iluminar uma área circular de 28,26m2 ,
considerando π = 3,14 , a altura h será igual a:
a) 3 m.
b) 4 m.
c) 5 m.
d) 9 m.
e) 16 m.
RESOLUÇÃO:
Sabe-se que área circular da base a ser iluminada é de 28,26m2, ou seja,
4) As áreas das bases de um cone circular reto e de um prisma quadrangular reto são
iguais. O prisma tem altura 12 cm e volume igual ao dobro do volume do cone.
Determinar a altura do cone.
H prisma = 12
A base do prisma = A base do cone = A
V prisma = 2 V cone
A h prisma = 2(A h) / 3
12 = 2.h/3
h=18 cm
5) Calcule o volume de um tronco de cone de bases paralelas de altura 10 cm, raio da
base maior medindo 8 cm e raio da base menor com 4 cm de comprimento.
Solução:
h = 10 cm
R = 8 cm
r = 4 cm
V=?
Substituindo os valores na fórmula do volume, obtemos: