C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:06 Página I
Curso Extensivo – A
a
3. série – Ensino Médio
FÍSICA A 3.a S
Física
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FÍSICA A 3.a S
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MÓDULO
1
Cinemática Escalar
1. Uma bala perdida com velocidade de módulo 4,0 . 102m/s atinge
uma árvore e penetra-lhe, em linha reta, uma distância de 10cm até
parar.
Considere constante a aceleração escalar da bala.
Determine
a) o tempo que a bala gastou para parar;
b) o módulo da aceleração escalar da bala.
RESOLUÇÃO:
Δs
V0 + V
a) ––– = ––––––
(MUV)
Δt
2
2. (UNIFAP-2012) – Um caminhão e um carro se deslocam sobre
um caminho retilíneo de tal forma que no instante de tempo t = 0 a
distância entre os veículos é de 91,3 metros (ver figura abaixo, que não
está em escala). O caminhão possui uma velocidade escalar constante
de 90,0km/h e o carro, que parte do repouso, aumenta sua velocidade
escalar numa taxa de 9,0km/h a cada segundo, até alcançar sua velocidade escalar máxima de 108km/h. Calcule os instantes de tempo, em
segundos, em que a parte traseira do caminhão coincide com a parte
dianteira do carro. Adote 5 = 2,2.
0,10
4,0 . 102 + 0
–––– = –––––––––––
T
2
T . 2,0 . 102 = 0,1
T = 5,0 . 10–4s
RESOLUÇÃO:
b)
V2
= V0 + 2␥ ⌬s (MUV)
2
0 = 16,0 . 104 + 2 (–a) . 0,10
0,20a = 16,0 . 104
a = 8,0 . 105m/s2
Respostas: a) 5,0 . 10–4s
b) 8,0 . 105m/s2
1) Montagem das equações horárias:
ΔV 9,0 / 3,6
Carro: ␥D = ––– = ––––––– (m/s2) = 2,5m/s2
Δt
1,0
D
FÍSICA A 3.a S
s0 = 100m : V0 = 0
D
␥
s = s0 + V0t + ––– t2 (MUV)
2
sD = 100 + 1,25 t2 (SI)
Caminhão: s = s0 + Vt
90,0
sT = –––– t = 25,0t (SI)
3,6
2) Condição de encontro:
sD = sT
100 + 1,25t2 = 25,0t
1,25 t2 – 25,0t + 100 = 0
1,0t2 – 20,0t + 80,0 = 0
20,0 ⫾ 400
– 320
t = ––––––––––––––––– (s)
2
20,0 ⫾ 80
t = –––––––––– (s)
2
20,0 ⫾ 4
5
t = ––––––––––– (s)
2
t1 = (10,0 – 2
5 ) s = (10,0 – 2 . 2,2) s
⇒
t1 = 5,6s
t2 = (10,0 + 2
5 ) s = (10,0 + 2 . 2,2) s
⇒
t2 =14,4s
Respostas: 5,6s e 14,4s
–1
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3. Um carro percorre uma distância L, em linha reta, com velocidade
constante de módulo V e em seguida freia com aceleração constante de
módulo a até o repouso. Determine em função de a e L
a) o tempo mínimo Tmín para que ocorra o evento descrito;
b) o valor de V na condição de tempo mínimo;
c) a distância total percorrida D na condição de tempo mínimo.
4. Um vaso de flores cai, a partir do repouso, no instante t = 0, do
peitoril de uma janela (posição A) e passa por uma outra janela, mais
abaixo, gastando um intervalo de tempo de 0,20s para passar por esta
janela (BC) cuja altura é de 2,00m.
A aceleração da gravidade tem módulo g = 10,0m/s2 e despreza-se o
efeito do ar.
RESOLUÇÃO:
a) 1) Na etapa de MU:
L
L = Vt1 ⇒ t1 = –––
V
2)
Na etapa de freada:
Vf = V + t
0 = V – at2 ⇒
3)
V
t2 = ––
a
L
V
T = t1 + t2 = ––– + –––
V
a
La + V2
T = ––––––––– ⇒ V2 + aL = VaT
Va
Determine
a) o valor de h0 indicado na figura;
b) os módulos das velocidades escalares VB e VC nas posições B e C
indicadas na figura.
V2 – VaT + a L = 0
Para que a equação tenha solução real:
RESOLUÇÃO:
0 ⇒ a2T2 – 4 aL 0 ⇒ aT2 4L ⇒ T 2
L
–––
a
a) s = V0t + ––– t2 ↓ (+)
2
h0 = 5,0 t12 (1)
Tmín = 2
L
–––
a
e
h0 + 2,00 = 5,0 (t1 + 0,20)2
h0 + 2,00 = 5,0t12 + 2,0 t1 + 0,20 (2)
(2) – (1): 2,00 = 2,0t1 + 0,20 ⇒ 2,0t1 = 1,80 ⇒
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aT b) V = –––––––––––
2
Em (1): h0 = 5,0 (0,90)2(m) ⇒ h0 = 4,05m
a Tmín
= 0 ⇒ V = –––––– = a
2
L
–––
a
Vf2 = V2 + 2 s
0 = aL + 2 (–a)df ⇒
2)
= 2
b) V = a
L
3L
c) D = –––
2
2–
L
df = ––
2
L
3L
D = L + ––– ⇒ D = –––
2
2
Respostas: a) Tmín
VB = 10,0 . 0,90(m/s) ⇒ VB = 9,0m/s
VC = 10,0 . 1,10(m/s) ⇒ VB = 11,0m/s
V = a
L
c) 1)
b) V = V0 + t
L
–––
a
Respostas: a) h0 = 4,05m
b) VB = 9,0m/s e VC = 11,0m/s
t1 = 0,90s
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5. Uma pedra é lançada verticalmente para cima de uma altura H0
relativa ao solo. O efeito do ar é desprezível e adota-se g = 10,0m/s2.
O gráfico a seguir representa a velocidade escalar da pedra desde o seu
lançamento (t = 0) até o seu retorno ao solo (t = 5,0s).
Determine
a) a velocidade escalar Vf com que a pedra atinge o solo;
b) a altura máxima H atingida pela pedra, em relação ao solo;
c) o valor de H0;
d) o gráfico de altura h da pedra, relativa ao solo, em função do tempo,
no intervalo de 0 a 5,0s.
RESOLUÇÃO:
a) V = V0 + t ⇒ Vf = 20,0 – 10,0 . 5,0(m/s) ⇒ Vf = –30,0m/s
3,0 . 30,0
b) s = área(V x T) ⇒ H = ––––––– (m) ⇒
2
H = 45,0m
2,0 . 20,0
c) Na subida: h = ––––––– (m) = 20,0m
2
H = h + H0 ⇒ 45,0 = 20,0 + H0 ⇒
H0 = 25,0m
FÍSICA A 3.a S
d)
Respostas: a)
b)
c)
d)
–30,0m/s
45,0m
25,0m
vide gráfico
–3
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MÓDULO
2
Cinemática Vetorial
1. Uma partícula desloca-se no plano (xy) com aceleração constante
→
→
→
a = 3,0 i + 6,0 j (SI). No instante t = 0, a partícula está na posição
x0 = 2,0m e y0 = 3,0m e sua velocidade vetorial é dada por
→
→
→
V = 2,0 i – 8,0 j (SI).
2. (UFTM-MG-2012) – Um caminhão de carga tem rodas dianteiras
de raio Rd = 50cm e rodas traseiras de raio Rt = 80cm. Em determinado
trecho do trajeto horizontal e retílineo, percorrido sem deslizar e com
velocidade escalar constante, a frequência da roda dianteira é igual a
10Hz e efetua 6,75 voltas a mais que a traseira.
Considerando-se π 3, determine
a) a velocidade escalar do caminhão, em km/h;
b) a distância percorrida por ele nesse trecho do trajeto.
RESOLUÇÃO:
2πRd
s
a) V = ––– = –––––
Td
t
→
→
Nota: i é o versor do eixo x; j é o versor do eixo y.
Determine no instante t1 = 2,0s
a) a velocidade vetorial da partícula;
b) as coordenadas de posição x1 e y1.
V = 2 . 3 . 10 . 0,50(m/s)
V = 30m/s = 108km/h
b) 1)
RESOLUÇÃO:
a) 1)
V = 2π fdRd
Na direção x: V0x = 2,0m/s; ax =
3,0m/s2
2π fdRd = 2πftRt
Vx = V0x + axt = 2,0 + 3,0t (SI)
V1x = 2,0 + 3,0 . 2,0(m/s) ⇒
2)
fdRd = ftRt
V1x = 8,0m/s
10 . 50 = ft . 80
Na direção y: V0y = –8,0m/s; ay = 6,0m/s2
50
ft = ––– Hz
8
Vy = V0y + ay t = –8,0 + 6,0t (SI)
V1y = –8,0 + 6,0 . 2,0(m/s) ⇒
FÍSICA A 3.a S
3)
b) 1)
V1y = 4,0m/s
2)
→
→
V1 = V1x i + V1y j ⇒
→
→
→
→
V1 = 8,0 i + 4,0 j (SI)
Na direção x:
ax
x = x0 + V0x t + ––– t2
2
3,0
x1 = 2,0 + 2,0 . 2,0 + ––– (2,0)2(m) ⇒
2
V d = Vt
nd
fd = –––
t
nt
ft = –––
t
nd = fd . t
x1 = 12,0m
nt = ft . t
nd – nt = (fd – ft) t
2)
Na direção y:
50
ay
y = y0 + V0y t + ––– t2
2
6,75 =
6,0
y1 = 3,0 – 8,0 . 2,0 + ––– (2,0)2(m) ⇒
2
y1 = –1,0m
10 – –––8 t
30
6,75 = ––– t ⇒
8
t = 1,8s
3) s = Vt
→
→
→
Respostas: a) V1 = 8,0 i + 4,0 j (SI)
s = 30 . 1,8(m) ⇒
b) x1 = 12,0m e y1 = –1,0m
Respostas: a) 108km/h
b) 54m
4–
s = 54m
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3. Um atleta vai realizar um salto em distância. Quando o atleta se
destaca do chão, o seu centro de massa está a 80cm do solo e sofre uma
elevação máxima de 45cm. Ao atingir o solo, o seu centro de massa
está praticamente em nível do solo. Adote g = 10m/s2 e despreze o
→
efeito do ar. Ao se destacar do solo, o atleta tem uma velocidade V0
cujo componente horizontal tem módulo 10,5m/s.
Calcule
→
a) o módulo do componente vertical de V0;
b) o intervalo de tempo desde que o atleta se destaca do solo até o
instante em que o seu centro de massa atinge o solo;
c) a marca conseguida pelo atleta, isto é, a distância horizontal
percorrida.
4. Um carro está descrevendo uma trajetória retilínea e horizontal.
Uma pequena pedra se engasta no pneu que está rolando sem
escorregar, isto é, o pneu não derrapa. O carro tem velocidade escalar
constante de 100km/h.
RESOLUÇÃO:
a) Calcule o módulo da velocidade da pedra relativa ao solo, ao passar
pelas posições A, B, D e E indicadas na figura.
b) A trajetória da pedra, relativa ao solo, tem a forma de uma cicloide
D
indicada na figura abaixo. Determine a razão –– .
H
2
a) Vy2 = V0y
+ 2 y sy
2
0 = V0y
+ 2 (–10) 0,45
2
V0y
= 9,0 ⇒ V0y = 3,0m/s
y
b) sy = V0y t + ––– t2
2
RESOLUÇÃO:
–0,80 = 3,0t – 5,0t2
FÍSICA A 3.a S
5,0t2 – 3,0t – 0,80 = 0
3,0 9,0 + 16,0
3,0 5,0
t = ––––––––––––––––– (s) = –––––––– (s)
10,0
10,0
T = 0,80s
c) sx = V0x T
D = 10,5 . 0,80(m) ⇒
Respostas: a) 3,0m/s
b) 0,80s
c) 8,4m
D = 8,4m
a) 1)
2)
3)
4)
V1 = velocidade no movimento de arrastamento.
V2 = velocidade no movimento relativo.
Para não derrapar: V2 = V1 = 100km/h.
VA = 0; VB = VE = 100
2 km/h; VD = 200km/h.
b) H = 2R
D = 2πR
D
2πR
––– = –––––
H
2R
⇒
D
––– = π
H
Respostas: a) VA = 0; VD = 200km/h; VB = VE = 100 2 km/h
D
b) ––– = π
H
–5
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5. Considere um rio com leito retilíneo e horizontal e margens paralelas com largura L = 200m. A velocidade da correnteza é variável com
a distância às margens.
Junto às margens, a velocidade é nula e no meio do rio, a velocidade é
máxima. Para uma distância d do ponto considerado até uma das
margens, a velocidade tem módulo VC = 0,04d (SI).
Um barco motorizado tem velocidade relativa às águas com módulo
constante VB = 5,0m/s e, para atravessar o rio em tempo mínimo, esta
velocidade é direcionada perpendicularmente à correnteza.
a) Calcule o tempo T gasto pelo barco para atravessar o rio.
b) Faça um gráfico do módulo da velocidade da correnteza VC em
função do tempo de movimento do barco.
c) Sabendo-se que o barco atinge a margem oposta no ponto C, calcule
a distância BC.
RESOLUÇÃO:
a) De acordo com o Princípio de Galileu, o tempo de travessia pode ser
calculado pelo movimento relativo.
srel = Vrel t (MU)
200 = 5,0T ⇒
FÍSICA A 3.a S
b) 1)
2)
T = 40s
O movimento relativo é uniforme: d = Vrel t = 5,0t (SI)
De acordo com o texto:
VC = 0,04 d = 0,04 . 5,0t
VC = 0,20 t (SI)
3)
c) BC = área (VC x t)
40 . 4,0
BC = –––––– (m) ⇒
2
Respostas: a) T = 40s
b) ver figura
c) BC = 80m
6–
BC = 80m
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MÓDULO
3
Leis de Newton
1. O sistema mecânico representado na figura é constituído por três
blocos, A, B e C, de massas, respectivamente, iguais a mA = 0,3kg,
mB = 0,2kg e mC = 1,5kg.
Despreze o efeito do ar e todos os atritos.
Adote g = 10m/s2.
→
Uma força horizontal constante F é aplicada ao bloco C, de modo que
B e A fiquem em repouso em relação a C, isto é, que os três blocos
tenham a mesma aceleração.
Determine
a) a intensidade da força que traciona o fio ideal que liga A com B;
b) o módulo da aceleração dos blocos;
→
c) a intensidade da força F.
2. Dois blocos, A e B, de massas mA = 1,0kg e mB = 2,0kg estão
conectados por um fio ideal que envolve uma polia de massa
desprezível e submetida a uma força vertical para cima e de intensidade
F = 30,0N.
A aceleração da gravidade tem módulo g = 10,0m/s2 e despreza-se o
efeito do ar.
Determine
a) os módulos aA e aB das acelerações de A e B;
b) o módulo aP da aceleração da polia.
RESOLUÇÃO:
a)
RESOLUÇÃO:
a) Para que o bloco A não se movimente verticalmente, temos:
T = 3,0N
b) A força aplicada pelo fio é a resultante que acelera o bloco B.
1)
PFD (B): T = mB a
F
2T = F ⇒ T = ––– = 15,0N
2
mA g = mB a
mA
0,3
a = –––– g = –––– . 10(m/s2)
0,2
mB
Como a polia tem massa desprezível, a força resultante na polia é
nula e teremos:
2)
a = 15m/s2
→
c) A força F é a resultante que acelera todo o sistema (A + B + C):
PFD (A + B + C): F = (mA + mB + mC)a
F = (0,3 + 0,2 + 1,5) 15 (N)
F = 30N
PFD(A): T – PA = mAaA
15,0 – 10,0 = 1,0aA
Respostas: a) 3,0N
b) 15m/s2
c) 30N
aA = 5,0m/s2
3)
–7
FÍSICA A 3.a S
T = PA = mA g = 0,3 . 10(N) ⇒
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PFD(B): PB – T – = mBaB
b)
20,0 – 15,0 = 2,0aB
aB = 2,5m/s2
b) As acelerações dos blocos, em relação à polia, têm módulos iguais a:
.aAP . = aA – aP
.aBP. = aB + aP
.aAP. = .aBP.
aA – aP = aP + aB
aA – aB
aP = –––––– = 1,25m/s2
2
Respostas: a) aA = 5,0m/s2; aB = 2,5m/s2
b) aP = 1,25m/s2
PFD (esfera):
NA . cos 37º = Ma
NA . 0,80 = 1,0 . 20,0
NA = 25,0N
c) Na direção vertical:
NB = P + NA . cos 53º
NB = 10,0 + 25,0 . 0,60 (N)
NB = 25,0N
Respostas: a) 20,0m//s2
b) 25,0N
c) 25,0N
FÍSICA A 3.a S
3. Considere um recipiente de massa m = 0,5kg com o formato
indicado na figura contendo em seu interior uma esfera de massa
M = 1,0kg. Não há atrito entre o recipiente e a esfera nem entre o
recipiente e o apoio horizontal. Uma força horizontal constante de
intensidade F = 30,0N é aplicada ao recipiente. Despreze o efeito do ar
e adote g = 10,0m/s2.
Dados: sen 53° = 0,80
cos 53° = 0,60
Calcule
a) o módulo da aceleração do sistema;
b) a intensidade da força normal que o recipiente aplica na esfera no
ponto A;
c) a intensidade da força normal que o recipiente aplica na esfera no
ponto B.
RESOLUÇÃO:
a) PFD (recipiente + esfera): F = (m + M) a
30,0 = 1,5a ⇒ a = 20,0m/s2
8–
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4. Um elevador se desloca verticalmente com aceleração dirigida
para cima e de módulo a = 2,5m/s2. No chão do elevador, temos um
bloco A de massa 8,0kg e sobre ele um outro bloco, B, de massa 2,0kg.
→
Uma força horizontal F de módulo 29,0N é aplicada em A, conforme
ilustra a figura. O coeficiente de atrito cinético entre A e B vale 1/5 e
não há atrito entre A e o piso do elevador.
5. Um corpo de massa 10,0kg está suspenso de uma mola elástica
cuja constante é k = 1,0 . 103N/m. A mola, por sua vez, está pendurada
no teto de um elevador, que desce com velocidade constante de módulo
4,0m/s.
Ao frear para parar em um dos pisos, um passageiro nota que a escala
da mola acusa um aumento do seu alongamento de 2,0cm.
Com este dado e adotando-se g = 10,0m . s–2, o passageiro consegue
determinar o módulo da aceleração do elevador durante a sua freada.
a) Qual o módulo da aceleração de freada do elevador?
b) Qual a distância percorrida pelo elevador durante a freada?
c) Se um fio de comprimento L = 48cm for pendurado no teto do
elevador e oscilar formando um pêndulo simples (pequena abertura
angular), qual seria o seu período durante a freada do elevador?
Note e adote:
1) O período T de um pêndulo simples de comprimento L em
um local onde a aceleração da gravidade tem módulo g é
dado por
RESOLUÇÃO:
a) ↑→
a ⇔ gap = g + a = 10,0 + 2,5 (m/s2)
gap = 12,5m/s2
b)
PFD (B): Fat = mBaB
C mB gap = mBaB
1
aB = C gap = ––– . 12,5 (m/s2)
5
T=2π
RESOLUÇÃO:
a) 1) Com velocidade constante:
Fmola = P
kx1 = mg (I)
→ →
2) Com aceleração dirigida para cima (descendo e freando, ↓ V ↑ a ):
Fmola = Pap
kx2 = m (g + a) (II)
Fazendo-se (II) – (I), vem:
k (x2 – x1) = ma
1,0 . 103 . 2,0 . 10–2 = 10,0a ⇒ a = 2,0 m/s2
b) V2 = V02 + 2 Δs (MUV)
0 = (4,0)2 + 2 (– 2,0) Δs
4,0 Δs = 16,0 ⇒ Δs = 4,0m
c) T = 2π
c)
T=2.3.
PFD (A): F – Fat = mAaA
L
–––
g
2) Considere π = 3
aB = 2,5m/s2
Fat = mBaB = 5,0N
L
–––––
g+a
0,48
––––– (s) ⇒
12,0
T = 1,2s
Respostas: a) 2,0m/s2
b) 4,0m
c) 1,2s
29,0 – 5,0 = 8,0 . aA
aA = 3,0m/s2
Respostas: a) gap = 12,5m/s2
b) aB = 2,5m/s2
c) aA = 3,0m/s2
–9
FÍSICA A 3.a S
A aceleração da gravidade tem módulo g = 10,0m/s2 e não se considera
o efeito do ar. Sabe-se que o bloco B vai escorregar sobre o bloco A.
Para um referencial fixo no elevador, determine
a) o módulo gap da gravidade aparente dentro do elevador;
b) o módulo aB da aceleração do bloco B;
c) o módulo aA da aceleração do bloco A.
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4
MÓDULO
Força de Atrito e Plano Inclinado
1. Considere um bloco B de massa mB = 1,0kg sobre um bloco A de
massa mA = 5,0kg. Os coeficientes de atrito estático e dinâmico entre
A e B valem respectivamente E = 0,50 e d = 0,40. Uma força hori→
→
zontal F é aplicada em B. A força F tem direção e sentido constantes e
sua intensidade é dada por:
F = 2,0t (SI)
→
em que t é o tempo de ação da força F.
A aceleração da gravidade tem módulo g = 10,0m/s2 e não considere o
efeito do ar.
Determine
a) o módulo a das acelerações de A e B enquanto B não escorregar
sobre A;
b) o instante T a partir do qual B escorrega sobre A;
c) os módulos das acelerações aA e aB de A e B após o instante T
enquanto B ainda estiver em cima de A;
d) o gráfico de aA e aB em função do tempo enquanto B estiver em
cima de A.
RESOLUÇÃO:
a) PFD (A + B): F = (mA + mB) a
1
2,0t = 6,0a ⇒ a = –– t (SI)
3
FÍSICA A 3.a S
b) O bloco B estará na iminência de escorregar (t = T) quando a força de
atrito entre A e B for a máxima possível:
PFD(A): Fat
máx
= mAa1
EmBg = mAa1
0,50 . 1,0 . 10,0 = 5,0 . a1 ⇒
a1 = 1,0m/s2
1
T
Sendo a = ––– t, vem: 1,0 = ––– ⇒
3
3
c) 1)
PFD(A): Fat
din
T = 3,0s
= mAaA
dmB g = mAaA
0,40 . 1,0 . 10,0 = 5,0aA ⇒
2) PFD(B): F – Fat
din
aA = 0,8m/s2
= mBaB
2,0t – 4,0 = 1,0aB ⇒ aB = 2,0t – 4,0 (SI)
10 –
d)
1
Respostas: a) –– t (SI)
3
b) 3,0s
c) aA = 0,8m/s2; aB = 2,0t – 4,0 (SI)
d) vide gráfico
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:06 Página 11
2. Dois blocos, A e B, de massas mA = 4,0kg e mB = 6,0kg estão
conectados por um fio de massa desprezível que envolve uma polia
sem atrito, conforme esquematizado na figura.
Considere g = 10,0m/s2 e despreze o efeito do ar. O coeficiente de atrito
entre A e o apoio horizontal vale 0,40.
Determine
a) a intensidade Fat da força de atrito entre o bloco A e o plano de
apoio;
b) o módulo a da aceleração dos blocos;
c) a massa mC de um terceiro bloco, C, que deve ser colocado em
cima de A para que o movimento do sistema passe a ser uniforme.
3. Dois blocos, A e B, de mesma massa m são conectados por um fio
ideal apoiado em duas polias de atrito e inércia desprezíveis e sendo A
apoiado em um plano inclinado sem atrito fixo no solo.
A aceleração da gravidade tem módulo g.
Determine
a) o módulo a da aceleração dos blocos A e B em função de g;
b) a intensidade T da força da tração no fio em função de m e g.
RESOLUÇÃO:
RESOLUÇÃO:
a) Fat = FN = PA
Fat = 0,40 . 40,0N ⇒ Fat = 16,0N
b) PFD (A + B): PB – Fat = (mA + mB) a
60,0 – 16,0 = 10,0a
44,0 = 10,0a
c) Para o movimento ser uniforme:
PB = Fat
mB g = (mA + mC) g
mB = (mA + mC)
6,0 = 0,40 (4,0 + C)
15,0 = 4,0 + C
mC = 11,0kg
Resposta:
a) Fat = 16,0N
b) a = 4,4m/s2
c) mC = 11,0kg
a) PFD (A): Pt + T = ma
PFD (B): PB – T = ma
PFD (A + B): Pt + PB = 2ma
FÍSICA A 3.a S
a = 4,4m/s2
mg
–––– + mg = 2ma
2
3g
a = –––
4
b) PB – T = ma
3
mg – T = m ––– g
4
mg
T = –––
4
3
Respostas: a) a = ––– g
4
mg
b) T = –––
4
– 11
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:06 Página 12
4. Considere um plano inclinado de = 37º. Um bloco de massa
m = 1,0kg é colocado sobre o plano inclinado. O coeficiente de atrito
entre o bloco e o plano inclinado vale 0,75 (o estático é igual ao
→
dinâmico). Uma força F paralela ao plano, dirigida para cima, é
→
aplicada ao bloco. A intensidade de F varia com o tempo t segundo a
relação F = 2,0t (SI).
Fat = 6,0 – 2,0t (SI)
2)
Para 3,0s t 6,0s
F = Pt + Fat
2,0t = 6,0 + Fat
Dados: sen = 0,60
cos = 0,80
g = 10,0m/s2
Determine
a) a intensidade da força de atrito no instante t = 0;
b) a intensidade da força de atrito no instante t = 3,0s;
c) a intensidade da força de atrito no instante t = 6,0s;
d) o gráfico da intensidade da força de atrito em função do tempo.
Fat = 2,0t – 6,0(SI)
t = 6,0s ⇔ Fat
máx
= 6,0N
RESOLUÇÃO:
a) 1) Pt = m g sen = 6,0N
3
= mg cos = –––– . 10,0 . 0,80 (N) = 6,0N
4
2)
Fat
3)
No instante t = 0, temos F = 0 e Fat = Pt = 6,0N.
máx
b) No instante t = 3,0s, temos: F = 6,0N. Como Pt = 6,0N, a força de atrito
se anula.
FÍSICA A 3.a S
c) No instante t = 6,0s, temos: F = 12,0N
Como Pt = 6,0N e Fat
máx
F = Pt + Fat
12,0 = 6,0 + Fat
Fat = 6,0N
d) 1)
Para 0 t 3,0s
F + Fat = Pt
12 –
= 6,0N, não haverá movimento:
Respostas: a)
b)
c)
d)
6,0N
zero
6,0N
vide gráfico
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:06 Página 13
MÓDULO
5
Força Centrípeta e Trabalho
1. (VUNESP-FMCA) – Uma ambulância, de 1500kg de massa, em
atendimento, percorre uma trajetória horizontal que, em determinado
local, faz uma curva circular de 90º, como mostra a figura. O veículo
entra na curva com uma velocidade escalar de 144km/h e diminui
gradualmente sua velocidade escalar para sair da curva com 72km/h.
A curva é descrita em 5,0 s. Use π = 3.
2. Considere uma roda gigante com velocidade angular constante.
Uma pessoa de peso P está sentada num dos bancos. Quando a cadeira
passa pelo ponto A, mais baixo da trajetória, a cadeira aplica sobre a
pessoa uma força normal (peso aparente) de intensidade NA = 825N.
Quando a cadeira passa pelo ponto B, mais alto da trajetória, a cadeira
aplica sobre a pessoa uma força normal de intensidade NB = 675N.
Determine a intensidade da força
a) tangencial sobre a ambulância, suposta constante, durante a curva;
b) centrípeta sobre a ambulância, no instante em que sua velocidade
escalar é de 108 km/h.
O raio da circunferência descrita pela pessoa vale R = 4,0m e a
aceleração da gravidade tem módulo g = 10,0 m/s2.
O efeito do ar é desprezível.
Determine
a) o peso da pessoa;
b) a velocidade angular .
RESOLUÇÃO:
RESOLUÇÃO:
a)
(40 – 20)
Ft = 1500 . –––––––– (N) ⇒ Ft = 6,0 . 103N = 6,0 kN
5,0
b) 1)
NA – P = FCP (1)
V 0 + Vf
s
–––– = ––––––
2
t
FÍSICA A 3.a S
v
a) Ft = mat = m = m ––––
t
P – NB = FCP (2)
πR/2
20 + 40
––––– = ––––––
5,0
2
(1) = (2):
3R
–––– = 150
2
NA – P = P – NB
N A + NB
NA + NB = 2P ⇒ P = ––––––––
⇒ P = 750 N
2
R = 100 m
b) (1) + (2):
2)
mV2
Fcp = macp = ––––
R
NA – NB = 2 FCP
NA – NB = 2 mω2 R
(30)2
1500 .
Fcp = ––––––––––– (N)
100
825 – 675 = 2 . 75 . ω2 . 4,0
150 = 150 . 4,0 . ω2
Fcp = 13,5 .
103N
Respostas: a) 6,0kN
b) 13,5kN
= 13,5 kN
1
ω2 = ––– ⇒ ω = 0,50 rad/s
4,0
Respostas: a) P = 750N
b) ω = 0,50 rad/s
– 13
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 12:30 Página 14
3. Uma partícula de massa m = 6,0kg parte do repouso da
coordenada x1 = 1,0m movendo-se ao longo do eixo x sob ação de uma
força resultante F dada por:
F = 1,0x (SI)
Calcule
a) o trabalho realizado pela força entre as posições x1 = 1,0m e
x2 = 5,0m;
b) a velocidade escalar da partícula na posição x2 = 5,0m.
4. (CEDERJ) – Um bloco é abandonado de uma altura h sobre um
plano inclinado muito liso e desliza sobre ele até atingir a base do
plano. A partir daí, ele continua deslizando sobre uma superfície
horizontal áspera até parar, depois de percorrer uma distância D no
plano horizontal. Considere que o valor do coeficiente de atrito cinético
entre o bloco e a superfície horizontal áspera é igual a ␮C, que o atrito
entre o bloco e a superfície do plano inclinado liso é desprezível, e que
a aceleração da gravidade no local tem módulo g.
RESOLUÇÃO:
a)
Calcule, em função de h, ␮C e g,
a) o módulo V da velocidade do bloco ao atingir a base do plano inclinado;
b) o valor da distância D que o bloco percorre sobre a superfície
horizontal até parar.
τF = área (F x d)
4,0
τF = (5,0 + 1,0) . –––
(J)
2
τF = 12,0J
RESOLUÇÃO:
a) TEC: τP = ⌬Ecin
mV2
mgh = ––––
⇒
2
b) TEC:
b) TEC: τF = ⌬Ecin
FÍSICA A 3.a S
V22
= 4,0 ⇒ V2 = 2,0m/s
Respostas: a) 12,0J
b) 2,0m/s
14 –
τtotal = ΔEcin
τP + τat = 0
mgh + ␮Cmg D (–1) = 0
m
2
τF = ––– (V2 – V12 )
2
6,0
12,0 = –––– (V22 – 0)
2
V = 兹苶苶
2gh
h
h = ␮C D ⇒ D = –––
␮C
Resposta:
a) V = 兹苶苶
2gh
h
b) D = –––
␮C
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:06 Página 15
5. Considere um bloco A de massa 630kg em repouso em um plano
horizontal sem atrito e preso a uma corda de massa desprezível que passa
por uma polia ideal. Despreze o efeito do ar e adote g = 10,0m/s2.
Um atleta de massa 60,0kg vai subir ao longo da corda, partindo do
repouso, no instante t0 = 0, com aceleração vertical constante de
módulo a = 0,50m/s2.
Determine
a) a intensidade da força que o atleta aplicou na corda;
b) o módulo da aceleração do bloco A;
c) os módulos das velocidades do atleta e do bloco A, no instante
t1 = 4,0s;
d) o trabalho interno das forças musculares do atleta entre os instantes
t0 = 0 e t1 = 4,0s.
RESOLUÇÃO:
a) PFD (atleta): F – P = m a1
F – 600 = 60,0 . 0,50 ⇒ F = 630N
b) PFD (bloco): F = M a2
a2 = 1,0m/s2
FÍSICA A 3.a S
630 = 630 a2 ⇒
c) V = V0 + t
V1 = 0,50 . 4,0 (m/s) ⇒ V1 = 2,0m/s
V2 = 1,0 . 4,0 (m/s) ⇒ V2 = 4,0m/s
d) τi = Emecânica
m V12
M V22
τi = m g h + ––––––
+ ––––––
2
2
h = h0 + V0 t + –– t 2
2
0,50
h = ––––– (4,0)2 (m) ⇒
2
h = 4,0m
60,0
630
τi = 600 . 4,0 + ––––– . 4,0 + ––––– . 16,0 (J)
2
2
τi = 2400 + 120 + 5040 (J)
τi = 7,56 . 103 J
Respostas: a) 630N
b) 1,0m/s2
c) 2,0m/s e 4,0m/s
d) 7,56kJ
– 15
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:06 Página 16
MÓDULO
6
Potência
1. (UFTM-MG-2012) – Um motor ideal é usado para acionar uma
bomba de rendimento igual a 40%, cuja função é elevar 300 litros de
água por minuto a uma altura de 20m. Esse motor consome óleo
combustível de poder calorífico igual a 4,0 x 107J/kg. Considerandose g = 10m/s2 e dágua = 1,0kg/, responda:
a) Qual é a potência do motor utilizado nessa tarefa?
b) Qual foi o consumo de óleo, em kg, utilizado pelo motor, em uma
hora de trabalho?
2. Uma partícula de massa m = 2,0kg parte do repouso e descreve
uma trajetória retilínea sob ação de uma força resultante constante de
módulo F.
→
O gráfico a seguir representa a potência instantânea de F em função do
tempo de movimento da partícula.
RESOLUÇÃO:
τ
mgH
Potu = ––– = –––––
t
t
a) 1)
300. 10 . 20
Potu = –––––––––– (W) ⇒
60
Potu = 1000W
Potu
η = –––––
Pot
2)
1000
Potu
Pot = –––––
= ––––– W ⇒
0,40
b) 1)
E = Pot . t
Pot = 2,5 .
103W
= 2,5kW
a) Deduza uma expressão relacionando a potência Pot em função do
tempo t usando F e m como parâmetros.
b) Calcule o valor de F.
RESOLUÇÃO:
a) 1) Como F é constante, o movimento é uniformemente variado:
E = 2,5 . 103 . 3600(J)
V = V0 + t ⇒ V = t
E = 90 . 105J = 9,0 .106J
2)
1,0kg ................ 4,0 .
m
107J
................ 9,0 . 106J
FÍSICA A 3.a S
9,0 . 106
m = –––––––––
(kg)
4,0 . 107
2)
F
F
t
PFD: F = m ⇒ = ––– e V = –––
m
m
3)
Pot = F V cos F
Pot = F . ––– t . cos 0º ⇒
m
F2
Pot = ––– t
m
b) Para t = 10,0s ⇔ Pot = 320W
m = 2,25 . 10–1kg
Respostas: a) 2,5 . 103W ou 2,5kW
b) 2,25 . 10–1kg
F2
2
320 = ––– . 10,0 ⇒ F = 64,0 ⇒
2,0
F2
Respostas: a) Pot = ––– t
m
b) F = 8,0N
16 –
F = 8,0N
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:06 Página 17
3. Um ciclista se move em linha reta com velocidade constante de
módulo 5,0m/s em um plano horizontal. A potência desenvolvida por
suas forças musculares vale 75,0W e a força de resistência do ar tem
módulo Fr dado por Fr = kV, em que V é o módulo da velocidade.
1
Em seguida, o ciclista desce um plano inclinado de θ tal que sen = –––
40
com velocidade constante de módulo V, em linha reta, de modo que a
potência de suas forças musculares passa a ser de 32,0W. O peso do
ciclista com sua bicicleta é de 800N. Dado: 784 = 28
Determine
a) o valor de k;
b) o valor de V.
4. (OBF-2011) – Ana puxa um balde cheio de água de um poço cuja
altura é h = 7,0m com uma velocidade constante de módulo
V = 17,5cm/s. O balde possui uma capacidade de 10,0 e possui um
furo que permite que a água vaze a uma taxa constante de 50,0g/s.
Sabendo-se que a gravidade local tem módulo g = 10,0m/s2, determine
a) o trabalho total realizado pela força que Ana aplica ao balde;
b) a potência média que Ana desenvolve durante a subida total do
balde.
(expresse seu resultado com, no máximo, três algarismos significativos)
Não considere o peso do balde.
RESOLUÇÃO:
RESOLUÇÃO:
a) 1) Pot = FV
a)
75,0 = F . 5,0 ⇒ F = 15,0N
2)
F = Fr = kV
15,0 = k . 5,0 ⇒ k = 3,0 (SI)
b)
1)
m = m0 – rt
m = 10,0 – 0,050t (SI)
P = mg = 100 – 0,50t (SI)
Pot
Psen + ––– = kV
V
2)
F = P = 100 – 0,50t (SI)
3)
d
d
d
V = ––– ⇒ t = ––– = –––––
t
V
0,175
d
F = 100 – 0,50 . –––––
0,175
1
32,0
800 ––– + ––– = 3,0V
40
V
0,50 . 7,0
Para d1 = h = 7,0m ⇒ F1 = 100 – –––––––– (N)
0,175
20,0V + 32,0 = 3,0V2
F1 = 100 – 20,0 (N) ⇒ F1 = 80,0N
3,0V2 – 20,0V – 32,0 = 0
20,0 400 + 384
V = ––––––––––––––––––– (m/s) ⇒ V = 8,0m/s
6,0
FÍSICA A 3.a S
Pt + F = Fr
4)
Respostas: a) k = 3,0(SI)
b) V = 8,0m/s
Nota:
A unidade de k no SI, é dada por:
[F] = [k] [V]
MLT –2 = [k] LT –1
[k] = MT –1
u(k) = kg . s –1
τ = área (F x d)
kg
u(k) = ––––
s
b) 1)
2)
7,0
τ = (100 + 80,0) ––– (J) ⇒ τ = 630J
2
d
7,0
t = ––––– = –––– s = 40,0s
0,175
0,175
τ
630J
Potm = ––– = –––––
t
40,0s
Potm 15,8W
Respostas: a) τ = 630J
b) Potm 15,8W
– 17
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:06 Página 18
MÓDULO
7
Energia Mecânica
1. (Olimpíada Brasileira de Física 2012-Adaptado) – Armas de
tiro podem ser feitas com molas. O atirador empurra o projétil no cano
comprimindo a mola e trava o projétil. Ao puxar o gatilho, a trava é liberada e a mola transmite a energia acumulada para a bala.
Considere a constante elástica da mola igual a 6,0 . 102N/m e seu
comprimento natural igual a 15,0cm. A mola é deformada assumindo
o comprimento de 10,0cm antes de ser travada.
Determine
a) a intensidade da força que a mola exerce na trava;
b) a energia elástica armazenada na mola;
c) o módulo da velocidade de lançamento de um projétil de massa
15,0g assumindo que toda a energia elástica da mola é transformada
em energia cinética do projétil.
2. Uma esfera é conectada a um fio ideal fixo em suporte preso ao teto.
A esfera é abandonada, a partir do repouso, com o fio esticado e horizontal. Despreze o efeito do ar e considere a aceleração da gravidade
com módulo g.
RESOLUÇÃO:
a) Lei de Hooke: F = kx
F = 600 . 0,050(N) ⇒
Em função de g e , determine
a) o módulo da aceleração tangencial;
b) o módulo da aceleração centrípeta.
F = 30,0N
kx2
b) Ee = –––
2
600
–2 2
–2
Ee = ––– . (5,0 . 10 ) (J) ⇒ Ee = 75 . 10 J ⇒
2
Ee = 0,75J
RESOLUÇÃO:
c) Ee = Ec
kx2
mv2
––– = –––
2
2
FÍSICA A 3.a S
V=
k
––– . x =
m
600
–––––––––
15,0 . 10–3
. 5,0 . 10–2(m/s)
V = 2,0 . 102 . 5,0 .10–2(m/s)
V = 10,0m/s
Respostas: a) 30,0N
b) 0,75J
c) 10,0m/s
a) Pt = mat
mgcos = mat
at = gcos b)
EB = EA
(ref. em B)
mVB2
––––––
= mgh
2
VB2 = 2gh (1)
h
Da figura: sen = ––– ⇒ h = R sen (2)
R
(2) em (1): VB2 = 2g Rsen VB2
acp = –––
⇒
R
acp = 2gsen Respostas: a) at = gcos b) acp = 2gsen 18 –
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:06 Página 19
3. (IJSO) – Um garoto provido de patins desce a pista inclinada
esquematizada na figura e descreve, a seguir, um arco de circunferência
de raio R = 5,0m, situado num plano vertical.
VB2 = VC2 + gR ⇒ VC2 = VB2 – gR = 64,0 – 50,0
VC2 = 14,0 (SI)
2)
mVC2
FC – PN = FCP ⇒ FC – Pcos 60º = ––––––
C
R
14,0
FC – 250 = 50,0 . ––––– ⇒ F = 390N
C
5,0
Respostas: a) FB = 1140N
b) FC = 390N
Ao passar pela posição A, a 3,0m de altura em relação ao solo, sua
velocidade tem intensidade de 2,0m/s. Despreze os atritos e admita a
massa total do conjunto (garoto e patins) igual a 50,0kg. Para efeito de
cálculos, considere que o garoto e seus patins tenham dimensões
desprezíveis.
Adote g = 10,0m/s2 e despreze o efeito do ar.
a) Determine a intensidade FB da força que a pista exerce nos patins
no instante em que o garoto atinge a posição B.
b) Determine a intensidade FC da força que a pista exerce nos patins
no instante em que o garoto atinge a posição C.
RESOLUÇÃO:
a) 1)
EB = EA
(ref. em B)
mVB2
mVA2
––––––
= mgh + ––––––
2
2
VB = 2gh + VA2 = 2 . 10,0 . 3,0 + 4,0 (m/s) ⇒ VB = 8,0m/s
FB – P = FCP
FÍSICA A 3.a S
2)
B
mVB2
FB – mg = ––––––
R
FB = 50,0
64,0
(N)
10,0 + ––––
5,0 FB = 1140N
b)
1)
EB = EC
(ref. em B)
mVB2
mVC2
R
––––––
= ––––––
+ mg –––
2
2
2
– 19
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:06 Página 20
4. Uma corda homogênea de massa M = 1,0kg está apoiada em um
plano horizontal sem atrito com parte de seu comprimento pendente.
O comprimento total da corda vale L = 10,0cm e a parte pendente tem
comprimento L0 = 6,0cm.
A aceleração da gravidade tem módulo g = 10,0m/s2 e o efeito do ar é
desprezível.
A corda é abandonada do repouso na situação descrita no texto e
ilustrada na figura.
Determine
a) o gráfico do módulo a da aceleração da corda em função do comprimento pendente y até o instante em que a corda abandona o plano;
b) o módulo V da velocidade com que a corda abandona o plano.
RESOLUÇÃO:
a) O peso da parte pendente é a força resultante que acelera a corda:
y
ky . g = k L a ⇒ a = ––– g
L
FÍSICA A 3.a S
10,0
a = ––––– . y = 100y (SI)
0,10
b) Conservação da energia mecânica (referência no plano):
MV2
L0
Efinal = Einicial ⇒ ––––– + MgHCM = –M0g ––––
2
2
1,0V2
––––– + 1,0 . 10,0 (–0,050) = –0,60 . 10,0 . 0,030
2
V2
––– = 0,50 – 0,18 = 0,32 ⇒ V2 = 0,64 ⇒ V = 0,80m/s
2
Respostas: a) vide gráfico
b) V = 0,80m/s
20 –
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:06 Página 21
MÓDULO
8
Quantidade de Movimento
1. Uma partícula de massa m = 2,0kg parte do repouso no instante
t0 = 0 e descreve uma trajetória retilínea sob ação de uma força
resultante cuja intensidade F varia com o tempo conforme a relação
F = 2,0t (SI).
Determine
a) o módulo da velocidade da partícula no instante t1 = 4,0s;
b) o trabalho da força resutante no intervalo de tempo entre t0 = 0 e
t1 = 4,0s.
2. Uma esfera de barro de massa 2,0kg está a uma altura de 0,60m
do solo e a uma distância horizontal de 1,20m do centro de um carrinho
que tem 6,0kg de massa, 0,15m de altura e se encontra parado. Então,
a esfera é lançada horizontalmente, cai no centro do carrinho (figura
abaixo) e juntos iniciam um movimento.
Considere a aceleração da gravidade com módulo igual a 10,0m/s2 e
despreze o efeito do ar e o atrito entre o carrinho e o chão.
RESOLUÇÃO:
a)
1)
I = área (F x t)
4,0 . 8,0
I = ––––––– N.s = 16,0N.s
2
Calcule
a) o tempo de queda T da esfera;
b) o módulo V0 da velocidade de lançamento da esfera;
c) o módulo Vf da velocidade do carrinho com a esfera após a colisão;
d) a energia mecânica Ed dissipada na colisão.
TI: I = ΔQ = mV1 – mV0
16,0 = 2,0V1
V1 = 8,0m/s
m V02
m V12
b) TEC: τF = ΔEcin = –––––––
– –––––––
2
2
γy
10,0
a) Δsy = V0y t + –––– t2 ↓ 䊝 ⇒ 0,45 = 0 + –––– T2 ⇒
2
2
T = 0,30s
b) Δsx = V0 T ⇒ 1,20 = V0 . 0,30 ⇒ V0 = 4,0m/s
c) Na direção horizontal, o sistema é isolado:
Qfh = Q0h
(M + m) Vf = mV0 ⇒ 8,0 Vf = 2,0 . 4,0 ⇒ Vf = 1,0m/s
2,0
τF = –––– (8,0)2 (J)
2
τF = 64,0J
Respostas: a) 8,0m/s
b) 64,0J
d) Para um referencial na altura de 0,15m acima do solo:
2,0
mV 2
E0 = mg H0 + ––––0 = 2,0 . 10,0 . 0,45 + –––– . 16,0 (J) = 25,0J
2
2
(M + m)
8,0
Ef = –––––– Vf2 = –––– . (1,0)2 (J) = 4,0J
2
2
Ed = E0 – Ef ⇒
Ed = 21,0J
Respostas: a) T = 0,30s
c) Vf = 1,0m/s
b) V0 = 4,0m/s
d) Ed = 21,0J
– 21
FÍSICA A 3.a S
RESOLUÇÃO:
2)
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:06 Página 22
3. (UFS) – Dois automóveis, de massas MA = 1200kg e MB = 1800kg,
movendo-se em estradas retilíneas e horizontais, colidem de modo
perfeitamente inelástico. A figura a seguir ilustra uma vista de cima da
colisão. Conhecem-se o módulo da velocidade VA = 20,0m/s do automóvel A imediatamente antes da colisão e o ângulo θ = 60°. Desprezamse os atritos entre cada automóvel e o solo, a resistência do ar e as perdas
4. Uma bola de bilhar colide com a lateral da mesa. Despreze o atrito
entre a bola e a mesa e também entre a bola e a lateral da mesa onde
ocorre a colisão.
3
de massa com a colisão. Considere sen (60°) = –––– e cos (60°) = 1/2.
2
→
A bola incide com velocidade V1 que forma um ângulo θ1 com a
→
normal à lateral da mesa e é rebatida com velocidade V2 que forma um
ângulo θ2 com a normal à lateral da mesa.
a) Determine, em função de θ1 e θ2, o coeficiente de restituição e nesta
colisão.
b) Compare θ1 e θ2.
c) Em que condições θ1 = θ2?
Determine
a) o módulo V da velocidade do sistema formado pelos automóveis A
e B imediatamente após a colisão;
b) o módulo VB da velocidade do carro B imediatamente antes da
colisão.
RESOLUÇÃO:
RESOLUÇÃO:
a) 1) Como não há atrito entre a bola e a lateral da mesa, a força
trocada entre a bola e a lateral é perpendicular à lateral e somente
nesta direção ocorre a colisão.
Vap = V1 cos θ1
Vaf = V2 cos θ2
V2 cos θ2
Vaf
e = –––
= ––––––––
(1)
V1 cos θ1
Vap
FÍSICA A 3.a S
sen θ1
V2
2) Na direção x: V1 sen θ1 = V2 sen θ2 ⇒ ––– = ––––––– (2)
sen θ2
V1
sen θ1
cos θ2
(2) em (1): e = ––––––– . ––––––– ⇒
sen θ2
cos θ1
a) Conservação da quantidade de movimento do sistema na direção x:
(MA + MB) V cos θ = MAVA
tg θ1
Respostas: a) e = –––––––
tg θ2
1
3000 V ––– = 1200 . 20,0
2
b) θ1 θ2
c) colisão elástica
V = 16,0m/s
b) Conservação da quantidade de movimento do sistema na direção y:
Qfy = Qiy
(MA + MB) V sen θ = MBVB
3
3000 . 16,0 . –––– = 1800VB
2
Respostas: a) V = 16,0m/s
22 –
θ1 θ2
c) θ1 = θ2 quando e = 1, isto é, a colisão é elástica.
Qfx = Qix
240 3
VB = ––––––– m/s ⇒
18
b) Como e 1, resulta tg θ1 tg θ2 ⇔
tg θ1
e = –––––––
tg θ2
40 3
VB = ––––––– m/s
3
40 3
b) VB = ––––––– m/s
3
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:06 Página 23
5. As esferas A e B, indicadas na figura, realizam uma colisão
unidimensional, elástica e suposta instantânea.
A esfera A tem massa mA = 3,0kg, a esfera B tem massa mB = 6,0kg e
a esfera C tem massa mC = 3,0kg.
O coeficiente de restituição na colisão vale 0,50 e a constante elástica
da mola vale 8,0 . 102N/m
Não há atrito entre as esferas e o solo horizontal.
Determine
a) os módulos das velocidades de A e B imediatamente após a colisão;
b) os módulos das velocidades de B e C no instante em que a deformação da mola é máxima.
RESOLUÇÃO:
a)
1) Qapós = Qantes
3,0V’A + 6,0V’B = 3,0 . 4,0
V’A + 2,0V’B = 4,0 (1)
2) Vaf = e Vap
V’B – V’A = 0,50 . 4,0
(1) + (2): 3,0 V’B = 6,0 ⇒
V’B = 2,0m/s
Em (1): V’A + 4,0 = 4,0 ⇒
V’A = 0
FÍSICA A 3.a S
V’B – V’A = 2,0 (2)
b) A deformação é máxima quando as velocidades de B e C se igualarem:
Qf = Qi
(mB + mC) V = mB V’B
12,0
9,0V = 6,0 . 2,0 ⇒ V = –––– m/s ⇒
9,0
4,0
V = ––– m/s
3,0
Respostas: a) V’A = 0 e V’B = 2,0m/s
4,0
b) VB = VC = –––– m/s 1,3m/s
3,0
– 23
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:06 Página 24
MÓDULO
9
Gravitação
1. (UNESP) – Para demonstrar que a intensidade da aceleração da
gravidade na superfície de Marte é menor do que na superfície terrestre,
um jipe-robô lança um pequeno corpo verticalmente para cima, a partir
do solo marciano. Em experimento idêntico na Terra, onde g = 10,0m/s2,
utilizando-se o mesmo corpo e a mesma velocidade inicial de
lançamento, a altura atingida foi 12,0m. Adotando-se o raio de Marte
igual à metade do raio da Terra e sua massa um décimo da massa da
Terra, calcule, desprezando-se a atmosfera e a rotação dos planetas,
a) a intensidade da aceleração da gravidade na superfície de Marte;
b) a altura máxima atingida pelo corpo no experimento em Marte.
Determine
a) o módulo V da velocidade com que o corpo chega à superfície
terrestre;
b) o módulo I do impulso da força gravitacional que a Terra aplica no
corpo, desde sua partida até chegar à Terra;
c) o trabalho τ da força gravitacional que a Terra aplica no corpo,
desde sua partida até chegar à Terra.
RESOLUÇÃO:
a) Conservação da energia mecânica:
RESOLUÇÃO:
GM
a) Sendo g = ––––– , vem:
R2
gM
MM
–––– = ––––
gT
MT
RT
––––
RM
gM
1
–––– = –––– (2)2 ⇒
10,0
10
2
EB = EA
2
mVB
GMm
GMm
––––– – ––––– = – –––––
2
R
4R
gM = 4,0 m/s2
b) Cálculo da altura máxima atingida em função da velocidade inicial:
2
2
VB = VA + 2γ Δs
0=
2
V0
3GM
2
VB = ––––– ⇒
2R
+ 2(–g) H
2
FÍSICA A 3.a S
V0
H = ––––
2g
HM
10,0
HM
gT
–––– = –––– ⇒ ––––– = –––– ⇒
12,0
4,0
HT
gM
3GM
–––––
2R
I=m
HM = 30,0m
mVB2
c) TEC: τ = ΔEcin = –––––
2
b) 30,0m
m
3GM
2
2R
τ = ––– . ––––– ⇒
2. Considere um corpo de massa m abandonado do repouso a uma
altitude h acima da superfície terrestre.
Sendo R o raio da Terra, a altitude h vale 3R.
A energia potencial gravitacional Ep entre o corpo e a Terra é dada pela
expressão:
GMm
Ep = – ––––––
d
G = constante de gravitação universal
M = massa da Terra
d = distância do corpo ao centro da Terra
Despreze a força de resistência do ar.
24 –
3GM
–––––
2R
VB =
b) TI: I = ΔQ = mVB
Portanto, H é inversamente proporcional a g.
Respostas: a) 4,0m/s2
2
VB
GM
GM
4GM – GM
3GM
––––– = ––––– – ––––– = –––––––––– = –––––
2
R
4R
4R
4R
Aplicando-se a Equação de Torricelli:
Respostas: a)
3GM
–––––
2R
b) m
3GM
–––––
2R
3
c) –––
4
GMm
–––––
R
τ
3 GMm
= ––– ––––––
4
R
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:06 Página 25
3. Uma estrela tripla é formada por três estrelas, A, B e C, de mesma
massa M que gravitam em torno do centro de massa O do sistema com
um mesmo período de translação T.
O raio da circunferência descrita pelas estrelas vale R.
Seja G a constante de gravitação universal.
4. Um cometa de massa m descreve uma órbita elíptica em torno do
Sol. A distância do periélio ao centro do Sol vale d e a distância do
afélio ao centro do Sol vale 2d.
No periélio, a velocidade do cometa tem módulo VP e no afélio, VA.
Durante o movimento orbital, a quantidade de movimento angular do
→
cometa L permanece constante.
→
→
Determine, em função de G, M e R.
a) a intensidade F da força gravitacional entre duas das estrelas;
b) a intensidade FR da força resultante em cada estrela;
c) o período de translação T.
RESOLUÇÃO:
a) 1) Cálculo da distância d entre as estrelas:
3
d = 2Rcos 30° = 2R . ––––– ⇒
2
VP
a razão –––––
VA
b) Usando o fato de que nos pontos A e P a força gravitacional é a
d = R 3
VP
resultante centrípeta, calcule a razão –––––
VA
GM2
F = –––––
3R2
GMm
GMM
F = ––––– = ––––– ⇒
2
d
3R2
2)
O vetor posição r e a velocidade V do cometa formam um ângulo θ.
→
O módulo de L é dado pela expressão:
→
→ →
. L. = m . V. . r . sen θ
a) Usando a conservação da quantidade de movimento angular, calcule
RESOLUÇÃO:
a) LP = LA ⇒ mVP . rP sen 90° = mVA . rA. sen 90°
b) FR2 = F2 + F2 + 2FF cos 60°
=
3F2
⇒ FR = 3F ⇒
VP . d = VA . 2d
3 GM2
FR = –––– –––––
3
R2
FR = Fcp = M ω2 R
GM2
––––– = Mω2 R
R2
3
ω2 = –––––
3
T = 2π
GMm
mVA2
––––– = ––––– ⇒ VA2 . rA2 = GMρ (2)
2
ρ
rA
GM
–––––
R3
3
–––––
3
ω=
VP
––––– = 2
VA
GMm
mVP2
⇒ VP2 . rP2 = GMρ (1)
b) FG = Fcp ⇒ ––––– = –––––
2
ρ
rP
c) A força resultante é centrípeta:
3
–––––
3
⇒
FÍSICA A 3.a S
FR2
(1) = (2) ⇒ VP2 rP2 = VA2 rA2
VP
rA
2d
–––– = –––– = –––– ⇒
VA
rP
d
GM
2π
––––– = ––––
3
R
T
VP
–––– = 2
VA
Respostas: a) 2
b) 2
3R3
––––––––
3 GM
3R
––––––––
3 GM
T = 2πR
T = 2πR
3R
–––––––
GM
3
b) FR = –––––
3
GM2
Respostas: a) F = –––––
3R2
c) T = 2πR
GM2
–––––
R2
3R
––––––––
GM
– 25
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:06 Página 26
MÓDULO
10
Física Moderna – Dimensões
1. (UFRN-2012) – Descoberto independentemente pelo russo Alexandre Stoletov, em 1872, e pelo alemão Heirich Hertz, em 1887, o
efeito fotoelétrico tem atualmente várias aplicações tecnológicas
principalmente na automação eletromecânica, tais como: portas
automáticas, dispositivos de segurança de máquinas e controle de
iluminação.
Fundamentalmente, o efeito fotoelétrico consiste na emissão de
elétrons por superfícies metálicas quando iluminadas por radiação
eletromagnética.
Entre as principais características observadas experimentalmente,
destacamos:
1. Por menor que seja a intensidade da radiação causadora do
fenômeno, o intervalo de tempo entre a incidência da radiação e
o aparecimento da corrente gerada pelos elétrons emitidos é
totalmente desprezível, isto é, o efeito é praticamente instantâneo.
2. Para cada superfície metálica específica, existe uma frequência
mínima, chamada “frequência de corte”, a partir da qual se
verifica o fenômeno.
3. Se a frequência da radiação incidente está abaixo da frequência de
corte, mesmo aumentando sua intensidade, não se verifica o
fenômeno. Por outro lado, para frequências da radiação incidente
acima da frequência de corte, o fenômeno se verifica para
qualquer intensidade.
A figura representa um dispositivo para o estudo do efeito fotoelétrico.
Nela, elétrons são arrancados da superfície emissora, devido à radiação
incidente, e acelerados em direção à placa coletora pelo campo elétrico,
gerando uma corrente elétrica que é medida pelo amperímetro, A.
FÍSICA A 3.a S
Diante do exposto, responda às questões abaixo:
a) Como se explica o comportamento observado no item 1 do texto?
Justifique sua resposta.
b) Como se explica o comportamento observado no item 2 do texto?
Justifique sua resposta.
c) Como se explica o comportamento observado no item 3 do texto?
Justifique sua resposta.
RESOLUÇÃO:
a) A emissão do elétron é praticamente instantânea porque o elétron
absorve o fóton de luz e se projeta para fora do metal. Isto atesta o
comportamento corpuscular da luz. Se a luz se comportasse como onda,
a recepção da energia luminosa seria feita de modo contínuo e a emissão
só ocorreria quando a energia absorvida superasse a energia de ligação
26 –
entre o elétron e o núcleo do átomo. Nesse caso, a emissão não seria instantânea.
b) Só ocorrerá efeito fotoelétrico quando a energia do fóton for maior que
a função trabalho do metal:
hf > τ ⇒
τ
f > –––
h
c) Aumentar a intensidade da luz significa aumentar a quantidade de
fótons que atingem o metal, porém, se hf < τ, não haverá efeito fotoelétrico por mais intensa que seja a luz.
Por outro lado, se hf > τ, sempre ocorrerá efeito fotoelétrico. Se a luz for
mais intensa, mais elétrons serão emitidos, aumentando a intensidade
da corrente fotoelétrica.
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 13:28 Página 27
2. (IMT-2012) – No dia 11 de março de 2011, o Japão foi atingido
por um terremoto de magnitude de 8,9 na escala Ritcher. O tsunami
subsequente provocou ondas de até 14m que atingiram a central nuclear
Fukushima Daiichi. A água usada para resfriamento tornou-se contaminada por elementos radioativos, entre eles, o 131I , vazando para o
mar. Existem 30 isótopos do iodo, sendo estável o127I. O 131I decai para
um elemento estável por meio da radiação β, que corresponde à emissão
de um elétron do interior do núcleo atômico, devido ao decaimento de
um nêutron em um próton. Define-se a meia-vida do elemento como o
tempo necessário para que sua quantidade inicial se reduza à metade.
3. (UFJF-MG-2012) – Um telefone celular emite ondas eletromagnéticas monocromáticas (radiação) através de sua antena, com uma
potência de 9,9mW. Sabendo-se que essa antena representa um ponto
material e que o telefone celular emite radiação com frequência de
1,0 . 109 Hz (tecnologia GSM), determine
a) o comprimento de onda dessa radiação;
b) a energia de um fóton emitido por essa antena de celular em
elétrons-volt;
c) o número de fótons emitidos por essa antena de celular por segundo.
Dados: módulo da velocidade da luz no ar c = 3,0 . 108 m/s; Constante
de Planck h = 6,6 . 10–34 J.s; 1eV = 1,6 . 10–19 J
RESOLUÇÃO:
a) V = λ f
3,0 . 108 = λ . 1,0 . 109 ⇒
λ = 0,30m
hc
b) E1 = hf = ––––
λ
E1 = 6,6 . 10–34 . 1,0 . 109 (J)
E1 = 6,6 . 10–25 J
6,6 . 10–25
E1 = ––––––––– eV ⇒
1,6 . 10–19
E1 艑 4,1 . 10–6eV
E
c) Pot = ––––
Δt
E = Pot . Δt = 9,9 . 10–3 . 1,0 (J) = 9,9 . 10–3J
E = n E1
9,9 . 10–3 = n . 6,6 . 10–25
FÍSICA A 3.a S
n = 1,5 . 1022
Respostas: a) 0,30m
b) 4,1 . 10–6eV
c) 1,5 . 1022 fótons/s
A figura 1 exibe a variação da quantidade de 131I numa amostra contendo inicialmente 20mg do elemento. A figura 2 mostra uma parte da
tabela periódica com os elementos vizinhos ao iodo.
Considere uma amostra contendo inicialmente 20mg de 131I e a variação de sua quantidade em função do tempo, mostrada pela figura 1.
a) Determine a meia-vida do 131I , com base na figura 1.
b) Calcule a quantidade de 131I após 16 dias com o resultado do item
a, sem o uso da figura 1.
c) Calcule o tempo necessário para que a amostra contenha 2,5 mg de
131I.
RESOLUÇÃO:
a) A meia-vida é o tempo necessário para que a massa radioativa se reduza
à metade: T = 8d
b) Após 16d (duas meias-vidas), a massa 131I se reduziu a um quarto do
m0
valor original: m = –––– = 5mg
4
20
m0
20
c) m = –––– ⇒ 2,5 = –––– ⇒ 2n = –––– = 8
n
n
2,5
2
2
n = 3 (n.o de meias vidas)
Δt = nt = 3 . 8 d ⇒
Respostas: a) 8 dias
Δt = 24d
b) 5mg
c) 24 dias
– 27
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:06 Página 28
4. A Equação de Van der Waal’s para um mol de um gás real estabelece que:
(V – b) = R θ
p + ––––
V a
2
p = pressão do gás
V = volume do gás
a = constante característica do gás
b = constante característica do gás
R = constante universal dos gases perfeitos
θ = temperatura absoluta do gás
Em relação às grandezas fundamentais: massa M, comprimento L e
tempo T, determine
a) a equação dimensional de a;
b) a equação dimensional de b.
RESOLUÇÃO:
[F]
MLT–2
1) [p] = –––– = –––––––
= ML–1T–2
[A]
L2
[M]
2) [μ] = –––– = ML–3
[V]
3) [E] = ML2T–2
RESOLUÇÃO:
= [p]
–––
V a
a)
5. (IIT-JEE-ÍNDIA) – Uma bolha de gás proveniente de uma explosão sob a água oscila com um período T dado pela relação:
T = k pa μb Ec, em que
k é uma constante adimensional
p é a pressão hidrostática
μ é a densidade da água
E é a energia liberada na explosão
Determine os valores de a, b e c
4) T = (ML–1T–2)a (ML–3)b (ML2T–2)c
2
T = Ma + b + c L–a – 3b + 2c T –2a – 2c
[a] = [V2] [p]
[a] = L6 ML–1T–2 ⇒
[a] = ML5 T–2
a+b+c=0
(1)
–a – 3b + 2c = 0 (2)
b) [b] = [V] ⇒
[b] = L3 = M0 L3 T0
Respostas: a) ML5 T–2
b) M0L3T0
–2a – 2c = 1
(3)
–1
De (3): a + c = ––
2
(1): a + c + b = 0
(1) – (3):
1
b = ––
2
FÍSICA A 3.a S
(2) + (3):
–3a – 3b = 1
3
–3a – –– = 1
2
3
5
3a = – –– – 1 = – ––
2
2
a = –5/6
5
Em (3): –– – 2c = 1 ⇒
3
5
1
Respostas: a = – –– , b = ––
6
2
28 –
1
c = ––
3
1
e c = ––
3
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:06 Página 29
MÓDULO
11
Termologia I
1. (PUC-2012) – Qual o valor de calor específico de uma substância
de massa 270g que, ao receber 10,8kJ de calor de uma fonte térmica de
potência constante, tem sua temperatura aumentada de 18°F, em um
local cuja pressão é de 1atm?
Adote 1 cal = 4J
RESOLUÇÃO:
1) Conversão de temperaturas:
18
ΔC
ΔF
ΔC
–––– = –––– ⇒ –––– = ––––
9
5
9
5
Δc = 10°C
2) Cálculo do calor específico sensível:
Q = m c Δ
103
10,8 .
––––––––– = 270 . c . 10
4
2. (UNISA-2012) – Luísa, uma garota muito esperta e prestativa,
tem, entre suas tarefas em casa, encher as forminhas de gelo com água
e colocá-las no congelador. Em determinado dia, a menina usou 250 g
de água, à temperatura de 20ºC para congelar. Seu congelador utiliza
potência constante de 5,0 cal/s para formar o gelo, cujo calor latente de
solidificação é igual a 80 cal/g. Sendo o calor específico da água igual
a 1,0 cal/g.ºC.
Determine:
a) a quantidade de calor necessária e suficiente a ser retirada da água
para formar 250 g de gelo.
b) o tempo mínimo para Luísa encontrar a água colocada nas
forminhas totalmente convertida em gelo, ao abrir a geladeira.
RESOLUÇÃO:
a) Qtotal = Qfusão + Qágua
Qtotal = (mL)solidificação + (mcΔθ)água
cal
Qtotal = (250g) . –80 ––––
g
. (0°C – 20°C)
+ (250g) . 1,0 ––––
g°C cal
c = 1,00cal/g°C
Qtotal = (–20 000 cal) + (–5000 cal)
Resposta: c = 1,00 cal/g°C
Qtotal = –25 000cal
25000cal
.Qtotal.
.Qtotal.
b) Pot = –––––––
⇒ Δt = –––––––
⇒ Δt = ––––––––––
cal
Δt
Pot
5,0 –––
s
FÍSICA A 3.a S
Δt = 5000s
– 29
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:06 Página 30
3. (UNIFESP-2012) – Um calorímetro de capacidade térmica
10cal/°C, contendo 500g de água a 20°C, é utilizado para determinação
do calor específico de uma barra de liga metálica de 200g, a ser
utilizada como fundo de panelas para cozimento. A barra é inicialmente
aquecida a 80°C e imediatamente colocada dentro do calorímetro,
isolado termicamente. Considerando o calor específico da água
1,0cal/(g . °C) e que a temperatura de equilíbrio térmico atingida no
calorímetro foi 30°C, determine:
a) a quantidade de calor absorvido pelo calorímetro e a quantidade de
calor absorvido pela água.
b) a temperatura final e o calor específico da barra.
RESOLUÇÃO:
a) Para o calorímetro:
4. (UPE-2012) – Sabendo-se que a temperatura crítica da água é
TC = 374°C e a pressão crítica da água é pC = 218 atm, analise as
afirmativas a seguir:
I. O par de valores temperatura e pressão (374°C; 218 atm) corresponde ao ponto crítico da água, no qual existe o equilíbrio entre
as três fases: sólida, líquida e gasosa.
II. Em temperaturas superiores a 374°C, a água sempre se encontra
sob forma de gás.
III. Em pressões superiores a 218 atm, a água sempre se encontra sob
forma de gás.
IV. Em temperaturas superiores a 374°C, uma massa de água pode
ser liquefeita por compressão isotérmica.
Julgue cada afirmativa como correta ou incorreta e justifique suas
respostas.
Qcal = C
Qcal = 10. (30 – 20) (cal)
Qcal = 1,0 . 102 cal
Para a água:
Qágua = mc
Qágua = 500 . 1,0 . (30 – 20) (cal)
Qágua = 5,0 . 103 cal
b) No equilíbrio térmico, a barra terá a mesma temperatura final f do
sistema:
f = 30°C
Estando o sistema isolado termicamente, temos
Qágua + Qcal + Qbarra = 0
5000 + 100 + 200 . cbarra (30 – 80) = 0
FÍSICA A 3.a S
5100 – 10000 cbarra = 0
cbarra = 0,51 cal/g°C
Respostas: a) Qcal = 1,0 . 102 cal
Qágua = 5,0 . 103 cal
b) f = 30°C
cbarra = 0,51 cal/ g°C
30 –
RESOLUÇÃO:
I. Incorreta. O equilíbrio entre as fases: sólida, líquida e gasosa ocorre no
ponto triplo.
II. Correta. Acima da temperatura crítica a substância encontra-se sempre
na forma de gás.
III.Incorreta. Abaixo da temperatura crítica a água pode encontrar-se no
estado líquido ou sólido na pressão citada.
IV. Incorreta. Acima da temperatura crítica é impossível liquefazer o gás
por meio de simples compressão isotérmica.
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:06 Página 31
MÓDULO
12
Termologia II
1. (ETEC-2012-modificada) – Uma outra técnica utilizada é a
secagem de alimentos em estufas. Nesse processo, a umidade é retirada
gradativamente devido ao fluxo de ar quente. De um modo caseiro,
todos podem construir uma estufa para secagem de alimentos tal qual
a desenhada a seguir.
2. (FATEC-2012) – Dentro de um balão volumétrico, tem-se um gás
perfeito a uma temperatura de 0°C ocupando um volume de 22,4 litros
sob pressão de 1 atm. Esse gás sofre uma transformação gasosa
obtendo temperatura final de 27°C a uma pressão de 1 atm.
a) Cite o nome da transformação sofrida pela massa de gás.
b) Determine o volume final do gás em litros.
RESOLUÇÃO:
Sendo a pressão suposta constante (1 atm), a transformação será isobárica
p1 V1
p2 V2
––––– = –––––
T1
T2
V1
V2
p1 = p2 ⇔ ––– = –––
T1
T2
22,4
V2
––––– = –––––
273
300
V2 24,6 litros
Imagem seccionada de uma estufa, mostrando o interior da câmara
de aquecimento e o interior da câmara de secagem onde são colocados
os alimentos.
Respostas: a) Isobárica
b) 24,6 litros
FÍSICA A 3.a S
a) Determine a quantidade de calor, em joules, que atravessa a placa
de vidro de 2,0m2 de área e 4,0cm de espessura , por minuto, num
local com diferença de 20°C entre o interior e o exterior da estufa.
b) Estime o valor da insolação útil do local da estufa em W/m2.
c) Complete as lacunas de acordo com os conceitos da transmissão de
calor e da mudança de estado físico.
Nessa estufa, o ar frio é aquecido na câmara de aquecimento e é
levado até os alimentos por __________, extraindo a água por
__________ .
NOTE E ADOTE
Condutividade térmica do vidro = 0,20 cal/s.m . °C
Equivalente mecânico do calor = 4,0 J/cal
RESOLUÇÃO:
cal
0,20 ––––––– 2,0m2 . 20°C
Q
kAΔθ
Q
s.m.°C
a) –––– = –––––– ⇒ –––– = –––––––––––––––––––––––––––
0,04m
Δt
e
60s
1200 . 0,40
J
Q = –––––––––– cal = 12 000cal . 4,0 –––
0,04
cal
Q = 48 000J
48 000J
b) E = IAΔt ⇒ 48 000J = I . 2,0m2 . 60s ⇒ I = –––––––
120m2s
W
I = 400 –––
m2
c) Convecção e evaporação.
– 31
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:06 Página 32
3. (UDESC-2012-Modificada) – Em um dia muito frio, quando os
termômetros marcam –10°C, um motorista enche os pneus de seu carro
até uma pressão manométrica de 200 kPa. Quando o carro chega ao
destino, a pressão manométrica dos pneus aumenta para 260 kPa.
Supondo que os pneus se expandiram de modo que o volume do ar
contido neles tenha aumentado 10%, e que o ar possa ser tratado como
um gás ideal, determine:
a) a quantidade de matéria, em mols, no interior do pneu de 0,03 m3
de volume.
b) a temperatura final dos pneus.
NOTE E ADOTE
Constante universal dos gases perfeitos: R = 8,3J/mol K
RESOLUÇÃO:
J
a) PV = nRT ⇒ 200 . 103Pa . 0,03m3 = n . 8,3 –––––– (–10 + 273)K
mol K
6000
n = –––––– mols ⇒ n = 2,75mols
2182,9
p1V1
p2V2
b) –––––– = ––––––
T1
T2
200kPa. V1
260kPa.1,10V1
⇒ ––––––––––– = –––––––––––––
(–10 + 273)K
T2
260 . 1,10 . 263
75 218
T2 = –––––––––––––– (K) = ––––––– (K) ⇒ T2 = 376,09K
200
200
T2 = (376,09 – 273)°C
T2 = 103,09°C
FÍSICA A 3.a S
32 –
4. (UPE-2012) – Um recipiente indilatável contém n mols de um
gás perfeito à temperatura T1. Um manômetro acoplado ao recipiente
acusa certa pressão. Determine o número de mols que deve escapar
para que o manômetro não acuse variação de pressão, quando o sistema
for aquecido até a temperatura T2.
RESOLUÇÃO:
De acordo com a equação de estado dos gases perfeitos(Clapeyron), temos:
PV
PV = nRT ⇒ R = ––––
nT
Comparando a situação inicial, vem:
PV
T1
PV
––––– = ––––– ⇒ n2 = n –––
nT1
T2
n2T2
O número de mols que escapa ne é dado por:
n e = n – n2
T1
ne = n 1 – –––
T2
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:06 Página 33
MÓDULO
13
Termologia III
1. (UPE-2012) – Um certo gás ideal realiza o ciclo representado no
diagrama PV abaixo. Sabe-se que P0 = 3,0 kPa e V0 = 2,0 m³.
2. (ENADE) – A segunda lei da termodinâmica pode ser usada para
avaliar propostas de construção de equipamentos e verificar se o
projeto é factível, ou seja, se é realmente possível de ser construído.
Considere a situação em que um inventor alega ter desenvolvido um
equipamento que trabalha segundo o ciclo termodinâmico de potência
mostrado na figura. O equipamento retira 800 kJ de energia, na forma
de calor, de um dado local que se encontra na temperatura de 1000 K,
desenvolve uma dada quantidade líquida de trabalho para a elevação de
um peso e descarta 300 kJ de energia, na forma de calor, para outro
local que se encontra a 500 K de temperatura. A eficiência térmica do
ciclo é dada pela equação fornecida.
Determine:
a) o trabalho do gás, em kJ, para um ciclo completo.
b) o ponto de maior valor de temperatura e o de menor valor de
temperatura do ciclo.
RESOLUÇÃO
a) O trabalho do ciclo termodinâmico é numericamente igual à área do
diagrama pressão em função do volume.
τciclo = área do retângulo de base 3V0 e altura 2P0
τciclo = 3V0 2P0 = 6 . 3,0 kPa . 2,0m3 ⇒ τciclo = 36kJ
O maior valor de temperatura ocorre no ponto em que o produto PV é
maior: ponto c.
O menor valor de temperatura ocorre no ponto em que o produto PV
é menor: ponto d.
MORAN, M. J., SHAPIRO, H. N. Princípios de Termodinâmica para
Engenharia. Rio de Janeiro: LTC S.A., 6. ed., 2009
a) Determine o rendimento da máquina proposta pelo inventor em
função das quantidades apresentadas.
b) Calcule a eficiência teórica máxima da máquina.
c) Com base nos resultados dos itens anteriores, avalie se o projeto é
factível ou não.
RESOLUÇÃO:
QC
a) η = 1 – ––––
QH
300J
⇒ η = 1 – ––––– ⇒ η = 1 – 0,375 ⇒ η = 0,625
800J
η = 62,5%
TC
b) ηmáx = 1 – ––––
TH
500K
⇒ ηmáx = 1 – –––––– = 1 – 0,50 ⇒ ηmáx = 0,50
1000K
η = 50%
c) O projeto não é factível, pois o rendimento proposto é maior que a
eficiência teórica máxima.
– 33
FÍSICA A 3.a S
Wciclo
QC
η = ––––––
= 1 – ––––
QH
QH
b) Pela equação de estado dos gases perfeitos, tem-se:
PV
PV = nRT ⇒ T = ––––
nR
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:06 Página 34
3. (IJSO) – A figura 1 mostra um disco metálico com um buraco no
centro.
a) Qual das figuras de 2 a 5 mostra esquematicamente a aparência do
disco após ser aquecido uniformemente?
4. (FGV-2012) – As linhas de metrô são construídas tanto sob o solo
quanto sobre este. Pensando nas variações de temperatura máxima no
verão e mínima no inverno, ambas na parte de cima do solo, os
projetistas devem deixar folgas de dilatação entre os trilhos, feitos de
aço de coeficiente de dilatação linear 1,5 · 10–5 °C–1. Em determinada
cidade britânica, a temperatura máxima costuma ser de 104 °F e a
mínima de – 4 °F. Cada trilho mede 50,0m e sua instalação ocorre nos
dias mais frios.
Determine:
a) a variação de temperatura, em graus Celsius sofrida pelo trilho entre
o dia mais frio e o mais quente .
b) a folga mínima, em centímetros, que se deve deixar entre dois trilhos consecutivos, para que eles não se sobreponham nos dias mais
quentes.
RESOLUÇÃO:
5
Δc
ΔF
a) ––––
= ––––
⇒ Δc = ––– = 108ºC = 60ºC
9
5
9
b) ΔL = L0 Δ
b)
Determine a dilatação do diâmetro de 20cm do buraco da figura
1 para uma variação de 100°C na temperatura do disco de metal
de coeficiente de dilatação térmica igual a 3,0 . 10–5 °C –1.
RESOLUÇÃO:
a) Figura 4, pois o buraco dilata-se como se estivesse preenchido com o
metal.
b) ΔL = L0αΔθ ⇒ ΔL = 20cm . 3,0 . 10–5 °C–1 . 100°C
ΔL = 6,0 . 10–2cm
FÍSICA A 3.a S
34 –
ΔL = 50,0 . 102 . 1,5 . 105 . 60 (cm)
ΔL = 4,5cm
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:06 Página 35
MÓDULO
14
Óptica (I)
1. (OLIMPÍADA BRASILEIRA DE FÍSICA-Adaptado) – A figura a seguir ilustra uma pessoa de altura H posicionada diante de um espelho
plano fixado numa parede inclinada de um ângulo em relação ao solo.
RESOLUÇÃO:
a) Na figura a seguir, a pessoa está se vendo de corpo inteiro no espelho plano considerado. É importante notar a simetria entre o objeto e sua imagem em
relação ao espelho.
– 35
FÍSICA A 3.a S
Supondo-se conhecida a distância d entre o topo da cabeça da pessoa e o espelho e desprezando-se a distância entre seus olhos e o topo de sua cabeça,
pede-se determinar:
a) o comprimento mínimo L do espelho para que a pessoa possa se ver de corpo inteiro;
b) o valor de L para o caso particular em que = 90°;
c) a distância Y entre a borda inferior do espelho e o solo na situação do item b.
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:06 Página 36
Os triângulos ACE e ADB’ são semelhantes, logo:
L
––– =
d
Da qual:
H sen –––––––––––
2d + H cos d H sen L = –––––––––––
2d + H cos b) Fazendo-se = 90° (parede perpendicular ao solo), vem:
L=
d H sen 90°
–––––––––––––
2d + H cos 90°
Da qual:
dH
⇒ L = –––––
2d
H
L = ––––
2
Nota: Neste caso particular, L independe de d.
c)
Assim:
f1
f2
A1 = – A2 ⇒ –––––––
= – –––––––
f1 – p 1
f2 – p 2
(– 36)
36
––––––– = – –––––––––––––– ⇒ – 36 – 200 + p1 = 36 – p1
36 – p1
– 36 – (200 – p1)
2p1 = 272 ⇒
p1 = 136cm
Resposta: 136cm
Os triângulos CDB’ e ABB’ são semelhantes, logo:
Y
d
––––– = ––––– ⇒
H
2d
Respostas: a) L =
H
Y = ––––
2
d H sen –––––––––––
2d + H cos FÍSICA A 3.a S
H
b) L = –––
2
H
c) Y = –––
2
3. (UERJ-2011) – Um raio de luz vindo do ar, denominado meio A,
incide no ponto O da superfície de separação entre esse meio e o meio
B, com um ângulo de incidência igual a 7° (sen 7° 0,12).
No interior do meio B, o raio incide em um espelho côncavo E que
obedece às condições de Gauss, passando pelo foco principal F.
O centro de curvatura C do espelho, cuja distância focal é igual a 1,0m,
encontra-se a 1,0m da superfície de separação dos meios A e B.
Observe o esquema:
2. (Olimpíada Brasileira de Física) – Dois espelhos esféricos, um
côncavo e outro convexo, de mesma distância focal igual a 36cm, são
colocados um em frente ao outro, com seus vértices separados por uma
distância de 2,0m e com seus eixos principais coincidentes. A que
distância do espelho côncavo e sobre o eixo principal deve ser colocado
um objeto para que a primeira imagem formada pelo espelho convexo
tenha o mesmo tamanho da primeira imagem formada pelo espelho
côncavo?
RESOLUÇÃO:
A imagem produzida pelo espelho convexo (E2) é menor que o objeto (O).
Logo, isso deve ocorrer também com a imagem produzida pelo espelho
côncavo (E1). A imagem de E2, no entanto, é direita, enquanto a de E1 é
invertida, conforme ilustra a figura.
36 –
Considere os seguintes índices de refração:
nA = 1,0 (meio A)
nB = 1,2 (meio B)
Sabendo-se que para ângulos pequenos, até 10°, é razoável a aproximação tg α sen α, determine a que distância do ponto O o raio
emerge, após a reflexão no espelho.
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 15/10/12 11:21 Página 37
RESOLUÇÃO:
O caminho óptico do raio luminoso até sua emergência do meio B está
esboçado na figura a seguir.
a) Mostre que as distâncias a e b indicadas na figura valem, respectivamente
n1
L sen α1
a = ––––
; b = L tan α1
––––––––––––––––––––
n2
2
n1
1 – ––– sen α1
n2
冢
冣
b) Obtenha a distância D de separação entre os pontos P e Q se
兹苶
3
3, α1 = 60º e L = 2兹苶
3 cm, sabendo que sen 60º = ––––
n1 = 1, n2 = 兹苶
2
1
e cos 60º = –––– . Sugere-se trabalhar com frações e raízes, e não
2
com números decimais.
(I) Lei de Snell:
RESOLUÇÃO:
a) (I) Lei de Snell: n2 sen α2 = n1 sen α1
nB sen r = nA sen i
1,2 sen r = 1,0 sen7° ⇒ 1,2 sen r = 0,12
sen r = 0,10 ⇒
tg r 艑 0,10
Da qual:
n1
sen α2 = –––– sen α1
n2
(II)No triângulo OPQ:
––––
––––
QO
QO
tg r = –––––
⇒ 0,10 = –––––
––––
3,0
PQ
––––
QO = 0,30m
Resposta: 0,30m
sen α 冣 + cos α = 1
冢––––
n
2
n1
(II) sen2 α2 + cos2 α2 = 1 ⇒
2
1
2
2
Da qual:
cos α2 =
冢
冣
n1
1 – ––– sen α1
n2
2
(III) Triângulo OMP:
a
sen α2
tg α2 = ––– ⇒ a = L–––––––
L
cos α2
4. (UFPR-2011) – O fenômeno da refração da luz está associado a
situações corriqueiras de nossa vida. Uma dessas situações envolve a
colocação de uma colher em um copo com água, de modo que a colher
parece estar “quebrada” na região da superfície da água. Para
demonstrar experimentalmente a refração, um estudante propôs uma
montagem conforme figura abaixo. Uma fonte de luz monocromática
F situada no ar emite um feixe de luz com raios paralelos que incide na
superfície de um líquido de índice de refração n2. Considere o índice
de refração do ar igual a n1. O ângulo de incidência é α1, e o de refração
é α2. Por causa da refração, a luz atinge o fundo do recipiente no ponto
P e não no ponto Q, que seria atingido se a luz se propagasse sem que
houvesse refração.
n1
L sen α1
a = ––– . ––––––––––––––––––––
n2
2
n1
1 – ––– sen α1
n2
冢
FÍSICA A 3.a S
Logo:
冣
(IV) Triângulo OMQ:
b
tg α1 = ––– ⇒
L
b = L tg α1
sen 60°
n1
L sen 60°
b) D = b – a ⇒ D = L ––––––– – ––– . ––––––––––––––––––––––
cos 60°
n2
2
n1
1 – ––– sen 60°
n2
冢
冣
兹苶
3
兹苶
3
3 . ––––
–––––
2 兹苶
1
2
2
D = 2 兹苶
3 . ––––––––– – ––––– . –––––––––––––––––––––––––– (cm)
1
兹苶
3
–––
兹苶
1
3 2
2
1 – ––––– . –––––
兹苶
3
2
冢
冣
兹苶
3
D = 6 – ––––––––– (cm) ⇒ D = (6 – 2) cm
兹苶
3
–––––
2
D = 4cm
Respostas: a) Ver demonstração
b) D = 4cm
– 37
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:06 Página 38
5. Daniel, um curioso aluno do curso de óptica geométrica, revestiu
a superfície externa de uma esfera maciça de cristal, de centro C, raio
3 cm e índice de refração absoluto n = 2, com uma película
R = 10 espelhada de modo que a face refletora dessa película ficou voltada
para o interior da esfera. Ele deixou sem revestimento apenas uma
pequena área circular na qual fez incidir um estreito feixe cilíndrico de
luz monocromática, que penetrou no cristal. Ele então notou que o
feixe luminoso sofria duas reflexões nas paredes da esfera e emergia
pelo mesmo local da penetração, simetricamente em relação ao feixe
incidente, como representa a figura abaixo.
b)
Lei de Snell: nar sen = n sen 1,0 sen = 2 sen 30°
2
sen = –––– ⇒
2
c) (I)
= 45°
Cálculo da velocidade de propagação da luz no interior da
esfera (V):
FÍSICA A 3.a S
nar
V
1,0
V
––– = ––– ⇒ ––––––––– = –––––
8
n
3,0 . 10
Var
2
Sabendo-se que a esfera estava envolvida pelo ar (índice de refração
absoluto igual a 1,0) e que a luz se propaga nesse meio com velocidade
de intensidade 3,0 . 108 m/s, pede-se:
a) esboçar a trajetória da luz no interior da esfera, indicando os valores
dos ângulos relevantes à compreensão do esquema;
b) determinar o ângulo que viabiliza a situação proposta;
c) calcular, nas condições apresentadas, quanto tempo um pulso
luminoso permanece ‘confinado’ no interior da esfera.
RESOLUÇÃO:
a) Considerando-se que na reflexão os ângulos de reflexão e de incidência são iguais e levando-se em conta a simetria existente entre os
raios emergente e incidente, a trajetória da luz no interior da esfera
é a que esboçamos a seguir. É importante notar que o triângulo
descrito pela luz é equilátero, o que nos libera a afirmar que = 30°.
3,0 2
V = –––––––– . 108m/s 2,1 . 108m/s
2
(II) Cálculo da distância percorrida pela luz no interior da esfera
(D):
Na figura do item a, temos:
x
x/2
3
cos 30° = –––– ⇒ –––– = ––––––––––
R
2
3
2 . 10
Da qual:
x = 30cm = 0,30m
D = 3x = 3 . 0,30m ⇒
D = 0,90m
(III) Cálculo do intervalo de tempo (T):
D
0,90
V = ––– ⇒ 2,1 . 108 = –––
T
T
T 4,3 . 10–9s = 4,3ns
Respostas:
38 –
a) Ver figura
b) = 45°
c) 4,3ns
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:06 Página 39
MÓDULO
15
Óptica (II)
1. (UFBA-2012) – As fibras ópticas são longos fios finos, fabricados
com vidro ou materiais poliméricos, com diâmetros da ordem de
micrômetros até vários milímetros, que têm a capacidade de transmitir
informações digitais, na forma de pulsos de luz, ao longo de grandes
distâncias, até mesmo ligando os continentes através dos oceanos. Um
modo de transmissão da luz através da fibra ocorre pela incidência de
um feixe de luz, em uma das extremidades da fibra, que a percorre por
meio de sucessivas reflexões. As aplicações das fibras ópticas são
bastante amplas nas telecomunicações e em outras áreas, como a
medicina, por exemplo. Uma vantagem importante da fibra óptica, em
relação aos fios de cobre, é que nela não ocorre interferência
eletromagnética.
(II) sen2 α + cos2 α = 1
2
–––
3
Da qual:
2
2
+ cos α = 1 ⇒ cos α = 1 – –––3
2
2
1
cos α = –––––
3
(III) Lei de Snell à refração de entrada da luz:
nar sen i = n sen r
nar sen i = n sen (90° – α)
nar sen i = n cos α ⇒ 1 . sen i =
1
3
––– . ––––
2
3
1
1
3
2
sen i = –––– . –––– ⇒ sen i = –––– = ––––
2
2
3
2
Da qual:
i = 45°
Supondo-se que uma fibra óptica encontra-se imersa no ar (nar = 1) e
3
––– , calcule o
2
maior ângulo de incidência de um raio de luz em relação ao eixo da
fibra, para que ele seja totalmente refletido pela parede cilíndrica.
que o índice de refração da fibra óptica é igual a
RESOLUÇÃO:
(I) Na situação limítrofe, ocorre emergência rasante e reflexão (não total)
na interface fibra-ar, como representa o esquema abaixo, em que α é
o ângulo-limite do dioptro.
2. (URCA) – Um raio luminoso monocromático incide no ponto A1,
sob um ângulo θ1, sobre uma lâmina de vidro de faces paralelas de
espessura e e índice de refração n. Sabendo-se que o raio emergente
tem a mesma direção que o raio incidente, determine a distância d,
indicada na figura, entre os raios incidente e emergente em função de
e, θ1 e n. Adote o índice de refração do ar igual a 1.
Lei de Snell:
n sen α = nar sen 90°
3
––– sen α = 1
2
sen α =
2
––––
3
– 39
FÍSICA A 3.a S
Resposta: 45°
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:06 Página 40
RESOLUÇÃO:
I) O deslocamento lateral d em função de e, θ1 e n fica determinado
fazendo-se:
Lei de Snell:
n sen θ2 = nar sen θ1
3. (UNESP-2012) – Para observar detalhes de um selo, um filatelista
utiliza uma lente esférica convergente funcionando como lupa. Com
ela, consegue obter uma imagem nítida e direita do selo, com as
dimensões relativas mostradas na figura.
n sen θ2 = 1 . sen θ1
sen θ1
sen θ2 = ––––––––
n
a
II) sen2 θ2 + cos2 θ2 = 1
sen2 θ1
–––––––
+ cos2 θ2 = 1
n2
1
cos θ2 = ––– n2 – sen2 θ1
n
b
Considerando-se que o plano que contém o selo é paralelo ao da lente
e sabendo-se que a distância focal da lente é igual a 20cm, calcule os
módulos das distâncias do selo à lente e da imagem do selo à lente.
III) Triângulo retângulo A1BA2:
e
e
cos θ2 = ––––– ⇒ A1 A2 = –––––––
A1 A2
cos θ2
c
RESOLUÇÃO
1) De acordo com a figura:
Aumento linear transversal: A = 2
IV) Triângulo retângulo A1 CA2:
20
f
2) A = –––– ⇒ 2 = –––––
20 – p
f–p
d
sen (θ1 – θ2) = ––––––
A1 A 2
d = A1 A2 sen (θ1 – θ2)
40 – 2p = 20 ⇒ 2p = 20 ⇒
d = A1 A2 (sen θ1 cos θ2 – sen θ2 cos θ1)
d
V) Substituindo-se a e c em d, vem:
e
d = –––––
cos θ2
FÍSICA A 3.a S
sen θ1 cos θ1
sen θ1 cos θ2 – ––––––––––––
n
cos θ1
d = e sen θ1 1 – –––––––
n cos θ2
Da qual:
Resposta:
40 –
cos θ1
1 – ––––––––––––––––––
1
n . ––– n2 – sen2 θ1
n
d = e sen θ1
d = e sen θ1
cos θ1
1 – ––––––––––––––
n2 – sen2 θ1
cos θ1
1 – ––––––––––––––
n2 – sen2 θ1
p’
p’
3) A = – ––– ⇒ 2 = – ––– ⇒ p’ = –20cm
p
10
Respostas: distância do objeto à lente: 10cm;
distância da imagem à lente: 20cm
Substituindo-se, finalmente, o valor de cos θ2, dado pela expressão b,
segue-se que:
d = e sen θ1
p = 10cm
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:06 Página 41
4. (OLIMPÍADA PAULISTA DE FÍSICA) – Um certo instrumento óptico consta de duas lentes com distâncias focais iguais em
módulo. Uma das lentes é convergente e a outra é divergente. As lentes
são montadas sobre um eixo comum, a uma determinada distância d
uma da outra. Sabe-se que se trocarmos a ordem das lentes, mantendo
a mesma distância entre elas, a imagem real da Lua, projetada pelo sistema, se desloca de 20cm. Determine a distância focal de cada uma
das lentes.
Assim:
• Lente L1 (convergente):
•
Lente L2 (divergente):
Resposta:
f1 = 10cm
f2 = –10cm
Lente convergente: 10cm
Lente divergente: –10cm
FÍSICA A 3.a S
RESOLUÇÃO:
1º caso: Em relação à lente divergente L2, temos:
1
1
1
1
1
1
– ––– = – ––––– + ––– ⇒ ––– = ––––– – –––
f
f–d
p’
p’
f–d
f
1
f–f+d
f (f – d)
––– = –––––––– ⇒ p’ = ––––––– 햲
p’
f (f – d)
d
2º caso: Em relação à lente convergente L1, temos:
1
1
1
1
1
1
––– = ––––– + ––––––– ⇒ ––– – ––––– = –––––––
f
f+d
p’ + 20
f
f+d
p’ + 20
f+d–f
1
f (f + d)
–––––––– = ––––––– ⇒ p’ + 20 = ––––––– 햳
f (f + d)
p’ + 20
d
Substituindo-se 햲 em 햳, vem:
f (f – d)
f (f + d)
––––––– + 20 = –––––––
d
d
f 2 – fd + 20d = f 2 + fd ⇒ 2fd = 20d ⇒
f = 10cm
– 41
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:06 Página 42
MÓDULO
16
Ondas
1. (UFG-GO-2012) – A figura (1) a seguir ilustra um sistema
constituído por dois pêndulos de comprimentos L1 e L2, que podem
oscilar livremente. O gráfico abaixo (figura 2) representa a componente
x da posição de cada pêndulo durante seu movimento de oscilação.
FÍSICA A 3.a S
Considerando-se o exposto, determine:
a) o período do sistema constituído pelos dois pêndulos;
b) a razão L2 / L1 entre os comprimentos dos pêndulos.
RESOLUÇÃO:
a) Pela análise dos gráficos, verifica-se que um ciclo do sistema constituído
pelos dois pêndulos é completado a cada 6,0s. Logo:
2. (UNICAMP-2012) – Nos últimos anos, o Brasil vem implantando em diversas cidades o sinal de televisão digital. O sinal de televisão
é transmitido através de antenas e cabos, por ondas eletromagnéticas
cuja velocidade no ar é aproximadamente igual à da luz no vácuo.
a) Um tipo de antena usada na recepção do sinal é a log-periódica,
representada na figura abaixo, na qual o comprimento das hastes
metálicas de uma extremidade à outra, L, é variável. A maior
eficiência de recepção é obtida quando L é cerca de meio comprimento de onda da onda eletromagnética que transmite o sinal no
ar (L ~ λ / 2). Encontre a menor frequência que a antena ilustrada
na figura consegue sintonizar de forma eficiente, e marque na figura
a haste correspondente.
Admita que a velocidade da luz no ar valha c = 3,0 . 108m/s.
b) Cabos coaxiais são constituídos por dois condutores separados por
um isolante de índice de refração n e constante dielétrica K,
relacionados por K = n2. A velocidade de uma onda eletromagnética
no interior do cabo é dada por v = c /n. Qual é o comprimento de
onda de uma onda de frequência 400 MHz que se propaga num
cabo cujo isolante é o polietileno (K = 2,25)?
RESOLUÇÃO:
a) Para uma velocidade de propagação constante, a menor frequência
corresponde ao maior comprimento de onda .
Tsist. = 6,0s
Do enunciado:
b) T2 = 2
T1 = 2
L2
––– ⇒ 3 = 2
g
L2
––– a
g
L1
––– ⇒ 2 = 2
g
L1
––– b
g
L = –– ⇒ = 2L
2
O maior será obtido para a maior haste: L = 6 . 5cm
L = 30cm = 0,30m
Assim: = 2 . 0,30 (m)
3
a b: ––– =
2
Respostas: a) 6,0s;
L2
––– ⇒
L1
L2
9
––– = –––
L1
4
L2
9
b) ––– = –––
L1
4
= 0,60m
Da equação fundamental da ondulatória, temos:
V=f
3,0 . 108 = 0,60 f
f = 5,0 . 108 Hz
42 –
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:06 Página 43
3. (UFBA-2012-Modificada) – Em 11 de março de 2011, após um
abalo de magnitude 8,9 na escala Richter, ondas com amplitudes
gigantes atingiram a costa do Japão. Tsunamis podem ser causados por
deslocamento de uma falha no assoalho oceânico, por uma erupção
vulcânica ou pela queda de um meteoro. Os tsunamis, em alto mar, têm
amplitude pequena, mas, mesmo assim, transportam muita energia.
Sabe-se que a velocidade de propagação da onda, na superfície da água
é dada por V = gh
, em que g é o módulo da aceleração da gravidade
e h é a profundidade oceânica local. Sabe-se também que o comprimento de onda diminui com a redução da profundidade e que a energia
que se propaga na superfície da água é simplificadamente dada por
E = kvA2, em que k é uma constante, V é a velocidade de propagação
da onda na superfície da água, e A é a amplitude da onda.
b) Do enunciado, temos:
K = n2
2,25 = n2
n = 1,5
c
V = ––
n
3 . 108
V = –––––– (m/s)
1,5
V = 2 . 108 m/s
Da análise da figura e supondo-se que a onda se propaga sem nenhuma
perda de energia, calcule:
a) a velocidade da onda em hi = 4000,0m de profundidade e em
hf = 10,0m de profundidade, supondo-se que o módulo da aceleração da gravidade é igual a 10,0m/s2;
b) a amplitude da onda, Af, em 10,0m de profundidade, sabendo-se
que a amplitude da onda, Ai, em 4000,0m de profundidade, é
1,8m.
Utilizando a equação fundamental da ondulatória, vem:
RESOLUÇÃO:
V=f
a) Vi = g hi ⇒ Vi = 10,0
. 4000,0 (m/s)
2 . 108 = . 400 . 106
= 0,50m
Respostas: a) 5,0 . 108 Hz
b) 0,50m
FÍSICA A 3.a S
Temos ainda:
Vi = 200,0m/s
Vf = g hf ⇒ Vf = 10,0 . 10,0 (m/s)
Vf = 10,0m/s
b) Ef = Ei ⇒ k Vf A2f = kvi A2i
10,0 A2f = 200,0 (1,8)2
Da qual:
Af 8,0m
Respostas: a) 200,0m/s e 10,0m/s, respectivamente.
b) Aproximadamente 8,0m.
– 43
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:06 Página 44
4. (UNESP) – Duas fontes, F1 e F2, estão emitindo sons de mesma
frequência. Elas estão posicionadas conforme ilustrado na figura, na
qual se apresenta um reticulado cuja unidade de comprimento é dada
por u = 6,0m.
5. (UFG) – No experimento de ressonância em cordas representado
na figura, dois fios de diferentes densidades lineares de massa estão
tracionados, através de roldanas ideais, por um bloco homogêneo que
pende deles dois. As extremidades esquerdas de ambos os fios estão
ligadas a uma fonte que produz pequenas vibrações com frequência
conhecida. A distância entre a fonte e as roldanas é . Verifica-se que,
quando a frequência da fonte atinge o valor f, ambos os fios entram
em ressonância submetidos a trações de intensidades iguais, o mais
denso no terceiro harmônico e o outro, na frequência fundamental.
No ponto P, ocorre interferência construtiva entre as ondas e é um
ponto onde ocorre um máximo de intensidade. Considerando-se que a
velocidade do som no ar é 340 m/s e que as ondas são emitidas sempre
em fase pelas fontes F1 e F2 , calcule
a) o maior comprimento de onda dentre os que interferem construtivamente em P.
b) as duas menores frequências para as quais ocorre interferência
construtiva em P.
RESOLUÇÃO:
O comprimento F2P pode ser calculado pelo Teorema de Pitágoras:
(F2P) 2 = (18) 2 + (24) 2 ⇒
F2P = 30m
A diferença de percursos (Δx) entre os sons que atingem o ponto P é dada
por:
Δx = F1P – F2P ⇒ Δx = 36 – 30 (m)
T
–– : velocidade dos pulsos progressivos na corda;
Dados: V =
g: intensidade da aceleração da gravidade
Conhecendo-se a densidade linear de massa do fio mais denso, 1,
determine
a) a densidade linear de massa do outro fio, 2;
b) a massa M do bloco responsável pela tração T em cada corda.
Responda em função de , f, 1 e g.
RESOLUÇÃO:
V
a) f = n –––
2 e V =
Δx = 6,0m
T
––
FÍSICA A 3.a S
a) Interferência construtiva em P:
2Δx
Δx = p ––– (p = 2, 4, 6…) ⇒ = –––––
p
2
2 . 6,0
para p = 2, tem-se: máx = –––––– (m)
2
Logo:
•
•
2Δx
V
pV
2Δx
b) = ––––– ⇒ ––– = ––––– ⇒ f = –––––
p
f
2 Δx
p
2 . 340
Para p1 = 2: f1 = –––––––––
2 . 6,0
(Hz) ⇒
f1 56,7Hz
4 . 340
Para p2 = 4: f2 = –––––––––
2 . 6,0
(Hz) ⇒
f2 113,3Hz
Respostas: a) 6,0m
b) 56,7Hz e 113,3Hz
170
340
ou –––– Hz e –––– Hz
3
3
T
–––
T
–––
1
햲
Corda de menor densidade linear de massa:
1
f = –––
2
T
–––
2
햳
Comparando-se 햲 e 햳, vem:
3
–––
2
1
T
––– = –––
2
1
T
––– ⇒
2
1
2 = –––
9
b) A intensidade da força de tração em cada corda é dada por:
Mg
T = –––
2
3
f = –––
2
Da qual:
T
–––
1
9
Mg
. –––––
⇒ f2 = ––––
2
4
21
8
2 f2 M = –––– . –––––––1
9
g
1
Respostas: a) 2 = –––
9
44 –
(Equação de Lagrange-Helmholtz)
Corda de maior densidade linear de massa:
3
f = –––
2
máx = 6,0m
n
f = –––
2
8
2 f2 1
b) M = –––– . –––––––
9
g
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:06 Página 45
MÓDULO
17
Estática
1. Uma barra homogênea de comprimento L está em equilíbrio
encostada em uma parede vertical sem atrito.
O coeficiente de atrito estático entre a barra e o solo horizontal vale e a barra está na iminência de escorregar.
2. (CEFET-AL) – Um bloco de 20,0kg está pendurado na ponta de
uma trave de madeira de 2,0m de comprimento e 4,0kg de massa. Um
fio ideal prende a ponta da trave a um ponto que fica 1,0m acima do
ponto de apoio com a parede.
Dado: g = 10,0m/s2
a) Faça um esquema das forças atuantes na barra.
b) Determine o ângulo em função de .
RESOLUÇÃO:
Determine
a) a componente vertical Fy da força que a parede aplica na trave, no
ponto C;
b) a componente horizontal Fx da força que a parede aplica na trave,
no ponto C.
FÍSICA A 3.a S
RESOLUÇÃO:
→
a) H: força aplicada pela parede
→
P: peso da barra
→
FN: força normal aplicada pelo chão
→
Fat: força de atrito aplicada pelo chão
b) 1)
Para o equilíbrio:
a) Somatório dos torques em relação ao ponto A deve ser nulo:
Fy · dF = PT · dT
Fy · 2,0 = 40,0 · 1,0
Fy = 20,0N
Fat = H
FN = P
2)
Na iminência da escorregar: Fat = FN = P
3)
Somatório dos torques nulo em relação a B:
b) 1)
Ty = 220N
d
L cos H · h = P · ––– ⇒ P · L sen = P · –––––––
2
2
1
tg = –––
2
Respostas: a) vide figura
1
b) tg = –––
2
Na direção vertical:
Ty + Fy = PT + P
Ty + 20,0 = 240
2)
Ty
1,0
tg = –––– = –––– ⇒ Tx = 2Ty
2,0
Tx
Tx = 440N
3)
Na direção horizontal:
Fx = Tx = 440N
Respostas: a) 20,0N
b) 440N
– 45
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:06 Página 46
3. Uma barra homogênea está em equilíbrio na iminência de
escorregar, na posição indicada na figura.
b)
A linha de ação da força que o solo aplica na barra em A deve
passar pelo ponto X, de encontro da linha de ação do peso da
barra com o segmento BC, pois o somatório dos torques em
relação a esse ponto deve ser nulo.
Considere: sen 37° = 0,60
cos 37° = 0,80
a) Determine o coeficiente de atrito estático entre a barra e o solo.
b) Indique na figura o ponto do segmento BC por onde passa a linha
de ação da força que o apoio aplica na barra em A.
b) ponto de encontro da linha de ação do peso da barra com
o segmento BC
RESOLUÇÃO:
FÍSICA A 3.a S
a) 1)
Somatório dos torques em relação ao ponto A deve ser nulo:
L
T · L = P · ––– sen 37°
2
P
T = ––– · 0,60 = 0,30P
2
2)
Resultante nula na direção x:
T cos 37° = Fat
Fat = 0,30P · 0,80 = 0,24P
3)
Resultante nula na direção vertical:
FN + T sen 37° = P
FN + 0,30P · 0,60 = P ⇒ FN = 0,82P
4)
Iminência de escorregar: Fat = EFN
0,24
24
0,24P = E0,82P ⇒ E = –––– = –––– ⇒
0,82
82
46 –
12
Respostas: a) ––––
41
12
E = ––––
41
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:06 Página 47
4. Um bloco de peso P está em repouso sobre uma barra AB fixa em
A e em equilíbrio.
O bloco está preso a um fio ideal que passa por duas polias sem atrito
e está fixo na extremidade B da barra.
Determine em função de P, L e d
a) a intensidade T da força que traciona o fio;
b) a intensidade FN da força normal trocada entre o bloco e a barra;
c) a intensidade FA da força que o pino A exerce na barra.
5. (UFG-2012) – No sistema auditivo humano, as ondas sonoras são
coletadas pela membrana timpânica e transferidas para a janela oval,
por meio dos ossículos (martelo, bigorna e estribo), conforme modelo
simplificado apresentado na figura a seguir.
Nesse modelo, as forças médias provocadas pela membrana timpânica
e pela janela oval sobre os ossículos são, respectivamente, FT e Fj. As
áreas da membrana timpânica e da janela oval são, respectivamente,
56mm2 e 3,2mm2 e D = 1,3d.
Considerando-se o exposto, calcule
a) o aumento porcentual da força transmitida para a janela oval;
b) a razão entre a pressão na parede oval e a pressão na parede timpânica.
RESOLUÇÃO:
RESOLUÇÃO:
a) A força transmitida tem o mesmo módulo da força que equilibra o
a)
braço de alavanca:
FT · D = Fj · d
FT · 1,3d = Fj · d
Fj = 1,3FT.
b) A razão entre as pressões é dada por:
Somatório dos torques nulo em relação ao ponto A:
TL = (P – T)d ⇒ TL = Pd – Td ⇒ T(L + d) = Pd ⇒
PL + Pd – Pd
Pd
b) FN = P – T = P – ––––– = ––––––––––––
L+d
L+d
PL
FN = –––––
L+d
FÍSICA A 3.a S
Portanto, o aumento porcentual da força na janela oval foi de 30%.
Pd
T = –––––
L+d
1,3FT
Fj
–––
–––––
pj
1,3 · 56
pj
Aj
3,2
––– = –––––– = –––––––– = –––––––– ⇒ –––– = 22,75
pT
p
FT
FT
3,2
T
–––
–––
AT
56
Respostas: a) 30%
b) 22,75
c) FA + T = FN
PL
Pd
FA = FN – T = ––––– – –––––
L+d
L+d
P(L – d)
FA = –––––––
L+d
Resposta:
Pd
a) T = –––––
L+d
PL
b) FN = –––––
L+d
P(L – d)
c) FA = ––––––––
L+d
– 47
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:06 Página 48
MÓDULO
18
Hidrostática
FÍSICA A 3.a S
1. A pressão sanguínea está relacionada à força exercida pelo sangue
circulante nas paredes dos vasos sanguíneos e constitui um dos
principais sinais vitais. O termo pressão sanguínea geralmente referese à pressão arterial, isto é, à pressão nas artérias principais (os vasos
sanguíneos que levam sangue do coração para o resto do corpo).
Durante o ciclo cardíaco, a pressão atinge um valor máximo e mínimo
e essas pressões são chamadas sistólica e diastólica e, para um coração
sadio, valem aproximadamente 120mmHg (sistólica) e 80mmHg (diastólica), medidas no nível do coração.
Considere um astronauta em uma nave espacial que vai acelerar
verticalmente, a partir da superfície terrestre.
Seja a o módulo da aceleração da nave e g o módulo da aceleração da
gravidade local, suposto constante.
A gravidade aparente no interior da nave tem módulo gap dado por
gap = g + a.
A pressão hidrostática do sangue p é dada pela expressão:
p = gap H = (g + a) H
= densidade do sangue = 1,0 · 103kg/m3
H = altura da coluna de sangue
g = 10m/s2
Considere que o cérebro está posicionado a uma altura H = 40cm acima
do nível do coração.
Quando a pressão hidrostática do sangue, para o astronauta em posição
vertical, igualar a pressão sistólica com que o sangue é bombeado no
coração, o suprimento de sangue para o cérebro do astronauta é
totalmente interrompido.
Sabendo-se que a pressão de 120mm de Hg equivale a 1,6 · 104Pa,
determine a mínima aceleração da nave para interromper o suprimento
de sangue para o cérebro.
2. (OBF) – Num macaco hidráulico, os êmbolos apresentam áreas
iguais a 10cm2 e 60cm2. Uma força de intensidade 40N é aplicada no
êmbolo menor, deslocando-o de 30cm, em um tempo t = 10s.
RESOLUÇÃO:
b) Conservação do trabalho:
a) Qual a intensidade da força transmitida para o êmbolo maior?
b) Nesse intervalo de tempo, qual o deslocamento sofrido pelo êmbolo
maior?
c) Qual a potência da força aplicada no êmbolo maior?
RESOLUÇÃO:
a) Lei de Pascal:
Δp1 = Δp2
f
F
––– = –––
a
A
A
60
F = f . ––– ⇒ F = 40 . ––– (N)
a
10
F = 240N
p = gap H
τf = τF
1,6 · 104 = 1,0 · 103 (g + a)0,4
f df = F dF
g + a = 40
40 . 30 = 240 . dF ⇒ dF = 5,0cm
10 + a = 40
a = 30m/s2 = 3g
τf
f . df
40 . 0,30
c) Pot = ––– = –––––– = ––––––– (W)
Δt
10
Δt
Resposta: 30m/s2
Pot = 1,2W
Respostas: a) 240N
48 –
b) 5,0cm
c) 1,2W
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:06 Página 49
Calcule
a) a intensidade do empuxo que o líquido exerce no bloco;
b) a indicação do dinamômetro;
c) a indicação da balança de mola.
RESOLUÇÃO:
a) E = L Vi g = 1,0 · 103 · 1,0 · 10–3 · 10,0(N) = 10,0N
b)
4. Um tanque cilíndrico tem base com área A = 4,0m2 e recebe uma
quantidade de água até uma altura H0 = 2,0m.
Em seguida, um objeto cilíndrico homogêneo com área de base de
2,0m2 e altura h = 1,0m suspenso por um fio é mergulhado na água do
tanque de modo que a sua base inferior fique a uma altura h0 = 1,0m
do fundo do tanque.
Dados:
1) densidade da água: 1,0 · 103kg/m3
2) densidade do objeto cilíndrico: 2,0 · 103kg/m3
3) pressão atmosférica: 1,00 · 105Pa
4) módulo da aceleração da gravidade: 10,0m/s2
Determine
a) o valor de H (ver figura);
b) a pressão na face superior do objeto cilíndrico;
c) a intensidade do empuxo que a água aplica no objeto cilíndrico;
d) a intensidade da força que traciona o fio.
RESOLUÇÃO:
a) Vtotal = Vágua + Vcilindro
AH = A H0 + ah
4,0H = 4,0 · 2,0 + 2,0 · 1,0
Fdin + E = P
Fdin = P – E = 20,0N – 10,0N
FÍSICA A 3.a S
3. Um dinamômetro A indica 20,0N quando um bloco é pendurado
em sua extremidade.
Uma balança de mola B indica 50,0N quando um recipiente contendo
um líquido é colocado sobre ela.
A aceleração da gravidade tem módulo g = 10,0m/s2.
A densidade do líquido vale 1,0 · 103kg/m3 e o volume do corpo é
v = 1,0 · 10–3m3.
O sistema é arranjado conforme indicado na figura.
H = 2,5m
b) p = patm = g (H – h – h0) = 1,00 · 105 + 1,0 · 1,03 · 10,0 · 0,50(Pa)
p = 1,05 · 105Pa
Fdin = 10,0N
c) E = avi g = 1,0 · 103 · 2,0 · 10,0(N)
E = 2,0 · 104N
T + E = P = cVg
T + 2,0 · 104 = 2,0 · 103 · 2,0 · 10,0
d)
c) O bloco aplica no líquido uma força com a mesma intensidade do
empuxo, que é transmitida para o fundo do recipiente.
T = 2,0 · 104N
Fbalança = (PL + Pr) + E
Fbalança = 50,0N + 10,0N
Fbalança = 60,0N
Respostas: a) 10,0N
b) 10,0N
c) 60,0N
Respostas: a) H = 2,5m
b) p = 1,05 · 105Pa
c) E = 2,0 · 104N
d) T = 2,0 · 104N
– 49
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:06 Página 50
MÓDULO
19
Eletrodinâmica I
1. (UNICAMP) – Um raio entre uma nuvem e o solo ocorre
devido ao acúmulo de carga elétrica na base da nuvem, induzindo
uma carga de sinal contrário na região do solo abaixo da nuvem. A
base da nuvem está a uma altura de 2km e sua área é de 200km2.
Considere uma área idêntica no solo abaixo da nuvem. A descarga
elétrica de um único raio ocorre em 10–3s e apresenta uma corrente
de 50kA. Considerando ε0 = 9 x 10–12 F/m, responda:
a) Qual é a carga armazenada na base da nuvem no instante anterior ao
raio?
b) Qual é a capacitância do sistema nuvem-solo nesse instante?
c) Qual é a diferença de potencial entre a nuvem e o solo
imediatamente antes do raio?
RESOLUÇÃO:
a) A intensidade média da corrente elétrica é dada por:
Q
im = ––––
Δt
2. (UNICAMP-2012) – Em 1963, Hodgkin e Huxley receberam o
prêmio Nobel de Fisiologia por suas descobertas sobre a geração de
potenciais elétricos em neurônios. Membranas celulares separam o
meio intracelular do meio externo à célula, sendo polarizadas em
decorrência do fluxo de íons. O acúmulo de cargas opostas nas
superfícies interna e externa faz com que a membrana possa ser tratada,
de forma aproximada, como um capacitor.
a) Considere uma célula em que íons, de carga unitária
e = 1,6 × 10–19C, cruzam a membrana e dão origem a uma diferença
de potencial elétrico de 80 mV. Quantos íons atravessaram a
membrana, cuja área é A = 5 × 10– 5 cm2, se sua capacitância por
unidade de área é Cárea = 0,8 × 10–6 F/cm2?
b) Se uma membrana, inicialmente polarizada, é despolarizada por uma
corrente de íons, qual a potência elétrica entregue ao conjunto de íons
no momento em que a diferença de potencial for 20 mV e a corrente
for 5 × 108 íons/s, sendo a carga de cada íon e = 1,6 × 10– 19 C?
RESOLUÇÃO:
a) A capacitância C da membrana pode ser calculada por:
Considerando-se im = 50kA = 50 . 103A e
Δt = 10–3s, vem:
C = Cárea . A
Q
50 . 10 3 = –––– ⇒
10 –3
F
C = 0,8 . 10–6 ––––– . 5 . 10–5cm2
cm2
Q = 50C
C = 4 . 10– 11 F
FÍSICA A 3.a S
b) A capacitância do sistema nuvem-solo, considerando-o um capacitor
A
plano, é dada por C = ε0 . –––– .
d
F
Sendo ε0 = 9 . 10–12 ––– , A = 200km 2 = 200 . 10 6m 2
m
Q = 3,2 . 10 –12 C
3,2 . 10 –12 = n . 1,6 . 10 –19
C=9.
U 5,6 . 10 7V
Respostas: a) 50C
b) 9 . 10–7F
c) 5,6 . 107V
Q = 4 . 10 – 11 . 80 . 10 –3 (C)
Q=n.e
Q
c) Sendo C = ––– , vem:
U
50
9 . 10–7 = ––– ⇒
U
Q=CU
Sendo 1,6 . 10 –19C a carga de cada íon, temos:
e d = 2km = 2 . 10 3m, temos:
200 . 10 6
F⇒
C = 9 . 10 –12 –––––––––
2 . 10 3
A carga no capacitor será dada por:
10 –7F
ou
900nF
n = 2 . 10 7 íons
b) A intensidade média da corrente elétrica formada pelos íons pode ser
calculada por:
Q
i = ––––
Δt
ne
i = ––––
Δt
5 . 108 . 1,6 . 10–19
i = –––––––––––––––––– (A)
1,0
i = 8 . 10 –11 A
No momento em que a ddp é de 20mV, a potência elétrica entregue ao
conjunto de íons pode ser determinada por:
P=iU
P = 8 . 10 –11 . 20 . 10 – 3 (W)
P = 1,6 . 10 – 12 W
Respostas: a) 2 . 10 7 íons
b) 1,6 . 10– 12 W
50 –
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:06 Página 51
3. (MACK-2012) – No trecho de circuito elétrico ilustrado, a tensão
elétrica entre os pontos C e D mede 240 V. Nessas condições, os
instrumentos, voltímetro (V) e amperímetro (A), considerados ideais,
acusam, respectivamente, que medidas?
4. (UNIFICADO-RJ) – Está associada em série certa quantidade
de resistores cujas resistências elétricas formam uma progressão
aritmética de razão 0,3Ω. Essa associação é submetida a uma d.d.p. de
12,4V. A menor das resitências vale 0,2Ω, cujo resistor é atravessado
por uma corrente de 0,8A.
a) Qual o valor da resistência elétrica total dessa associação?
b) Qual o número total de resistores usados nessa associação?
RESOLUÇÃO:
RESOLUÇÃO:
a) Com os dados fornecidos podemos calcular a resistência elétrica total do
circuito.
U = Rtotal i
12,4 = Rtotal . 0,8
Rtotal = 15,5
b) Rtotal equivale à soma dos N termos da progressão aritmética de razão
r = 0,3.
240V
1) i2 = ––––– ⇒
160Ω
i2 = 1,50A
⇒
IA = 1,50A
(a1 + an) n
Sn = –––––––––
e an = a1 + (n – 1) r
2
Assim:
a1
an


4
i1 = ––– A
3
4
3) UV = R i1 = 60 . –– (V) ⇒
3
(0,2 + 0,2 + (n – 1) . 0,3) n
15,5 = –––––––––––––––––––––––
2
UV = 80V
FÍSICA A 3.a S
240V
2) i1 = ––––– ⇒
180Ω
31 = (0,1 + 0,3n) n
31 = 0,1n + 0,3n2
3n2 + n – 310 = 0
n = 10
Respostas: a) 15,5Ω
b) 10
– 51
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:06 Página 52
MÓDULO
1.
20
Eletrodinâmica II
(CEFET-MG-2012) – Considere o circuito abaixo representado.
Determine:
a) a ddp entre os pontos A e B.
b) a ddp entre os pontos C e D.
RESOLUÇÃO:
a) UAB = E = 12V
b)
2. (UFRJ) – Um estudante dispunha de duas baterias comerciais de
mesma resistência interna de 0,10Ω, mas verificou, por meio de um
voltímetro ideal, que uma delas tinha força eletromotriz de 12 Volts e a
outra, de 11 Volts. A fim de avaliar se deveria conectar em paralelo as
baterias para montar uma fonte de tensão, ele desenhou o circuito indicado
na figura a seguir e calculou a corrente i que passaria pelas baterias desse
circuito.
a) Calcule o valor encontrado pelo estudante para a corrente i.
b) Calcule a diferença de potencial VA – VB entre os pontos A e B
indicados no circuito.
RESOLUÇÃO:
a) Na situação proposta, a bateria de 11V irá atuar como receptor, assim:
E – E’
i = –––––––
ΣR
12 – 11
i = ––––––––– (A)
0,10 + 0,10
FÍSICA A 3.a S
1,0
i = –––– (A)
0,20
i = 5,0A
b) Pelo gerador:
UAB = E – r i
UAB = E + r i
UAB = 12 – 0,10 (5,0)
UAB = 11 + 0,10 (5,0)
UAB = 11,5V
Como RAC . RAB = RAD . RCB, temos uma ponte de Wheatstone em equilíbrio, assim:
UCD = 0
52 –
Pelo receptor:
UAB = 11,5V
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:06 Página 53
3. No gráfico a seguir estão representadas as características de um
gerador, de força eletromotriz igual a e resistência interna r, e um
receptor ativo de força contraeletromotriz ’ e resistência interna r’.
Sabendo que os dois estão interligados, determine a resistência interna
e o rendimento para o gerador e para o receptor.
G = 60%
• receptor:
ε’
rec = ––– ⇒ rec =
U
40V
–––––
60V
2
= –––
3
rec 67%
Respostas: gerador: r = 20; G = 60%
receptor: r’ = 10; rec = 67%
RESOLUÇÃO
1 – Leitura do gráfico:
• gerador: ε = 100V
• receptor: ε’ = 40V
2 – Cálculo das resistências internas:
• gerador:
100 – 20
r = ––––––––– () ⇒
4
r = 20
• receptor:
60 – 40
r’ = –––––––– () ⇒
2
r’ = 10
FÍSICA A 3.a S
3 – O circuito elétrico é mostrado na figura abaixo:
Lei de Pouillet:
i=
ε – ε’
––––––
r – r’
⇒ i=
100 – 40
––––––––
20 + 10
(A)
i = 2A
4 – Cálculo da ddp comum ao gerador e ao receptor:
U=ε–ri
U = 100 – 20 . 2 (V)
U = 60V
5 – Cálculo dos rendimentos:
• gerador:
U
G = ––– ⇒ G =
ε
60V
––––––
100V
= 0,60
– 53
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:06 Página 54
4. (UNICAMP) – Telas de visualização sensíveis ao toque são muito
práticas e cada vez mais utilizadas em aparelhos celulares, computadores e caixas eletrônicos. Uma tecnologia frequentemente usada é a
das telas resistivas, em que duas camadas condutoras transparentes são
separadas por pontos isolantes que impedem o contato elétrico.
a) O contato elétrico entre as camadas é estabelecido quando o dedo
→
exerce uma força F sobre a tela, conforme mostra a figura abaixo. A
área de contato da ponta de um dedo é igual a A = 0,25 cm2. Baseado
na sua experiência cotidiana, estime o módulo da força exercida por
um dedo em uma tela ou teclado convencional, e em seguida calcule
a pressão exercida pelo dedo. Caso julgue necessário, use o peso de
objetos conhecidos como guia para a sua estimativa.
R
3R
Req = ––– + R = ––––
2
2
12
6
U
i = –––– = ––––– = ––––
3R
3R
Req
–––
2
A ddp entre C e D é dada por:
R
UCD = ––– . i
2
R
12
UCD = ––– . –––– (V)
2
3R
UCD = 2,0V
Respostas: a) 4,0 . 104 N/m2
b) 2,0V
b) O circuito simplificado da figura no espaço de resposta ilustra como
é feita a detecção da posição do toque em telas resistivas. Uma
bateria fornece uma diferença de potencial U = 6 V ao circuito de
resistores idênticos de R =2 k. Se o contato elétrico for
estabelecido apenas na posição representada pela chave A, calcule
a diferença de potencial entre C e D do circuito.
FÍSICA A 3.a S
RESOLUÇÃO
→
a) Fazendo uma estimativa para o módulo da força F exercida na tela:
F = 1,0 N
F
p = ––– ⇒ p =
A
1,0 N
––––––––––––
0,25 . 10–4 m2
p = 4,0 . 104 N/m2
b) O circuito, com a chave fechada em A e aberta em B, fica:
54 –
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:06 Página 55
21
MÓDULO
Eletrodinâmica III
1. O diagrama adiante representa um circuito simplificado de uma
torradeira elétrica que funciona com uma tensão U = 120 V. Um
conjunto de resistores RT = 20 Ω é responsável pelo aquecimento das
torradas e um cronômetro determina o tempo durante o qual a torradeira permanece ligada.
2. (UNESP-2012) – Considere o circuito elétrico que esquematiza
dois modos de ligação de duas lâmpadas elétricas iguais, com valores
nominais de tensão e potência elétrica 60V e 60W, respectivamente.
b) Sabendo-se que essa torradeira leva 50 segundos para preparar uma
torrada, qual é a energia elétrica total consumida no preparo dessa
torrada?
c) O preparo da torrada só depende da energia elétrica total dissipada
nos resistores. Se a torradeira funcionasse com dois resistores RT de
cada lado da torrada, qual seria o novo tempo de preparo da torrada?
RESOLUÇÃO
U
U
a) i = –––– = ––––––
Req
3RT
––––
2
120
120
i = ––––––– (A) = –––– (A)
3 . 20
30
–––––
2
i = 4,0A
i
⇒ iT = –– ⇒
2
Modo A – ambiente totalmente iluminado: a chave Ch, ligada no ponto
A, mantém as lâmpadas L1 e L2 acesas.
Modo B – ambiente levemente iluminado: a chave Ch, ligada no ponto
B, mantém apenas a lâmpada L1 acesa, com potência menor do que a
nominal, devido ao resistor R de resistência ôhmica constante estar
ligado em série com L1.
Considerando que as lâmpadas tenham resistência elétrica constante,
que os fios tenham resistência elétrica desprezível e que a diferença de
potencial de 120 V que alimenta o circuito seja constante, calcule a
energia elétrica consumida, em kWh, quando as lâmpadas permanecem
acesas por 4 h, ligadas no modo A – ambiente totalmente iluminado.
Determine a resistência elétrica do resistor R, para que, quando ligada
no modo B, a lâmpada L1 dissipe uma potência de 15 W.
RESOLUÇÃO:
No modo A, as duas lâmpadas estão em série e, portanto, submetidas a uma
tensão elétrica de 60V cada uma. Nessa situação, estão operando com seus
dados nominais, assim:
iT = 2,0A
Ee
= Ptotal Δttotal
Ee
= 0,12kW . 4,0h
total
b) Ee = Pot . Δt
Ee = U . i . Δt
Ee = 120 . 4,0 . 50 (J)
total
Ee
total
= 0,48kWh
Ee = 2,4 . 10 4J
Modo B:
Cálculo da resistência elétrica da lâmpada:
U2
c) Ee = –––– . Δt’
R’eq
U2
Ee = ––––– . Δt’
2RT
––––
2
U2 ⇒ 60 = (602)
P = –––
––––
RL
RL
(120) 2
24 000 = ––––––– . Δt’
20
RL = 60
Cálculo da intensidade de corrente elétrica real que percorre o circuito:
4000
Δt’ = ––––– (s) ⇒
120
Respostas: a)2,0A;
Δt’ = 33,3s
b) 2,4 . 10 4J ou 24kJ;
P = RL i2
c) 33,3s
15 = 60i2 ⇒
i = 0,50A
– 55
FÍSICA A 3.a S
a) Qual é a corrente que circula em cada resistor RT quando a
torradeira está em funcionamento?
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:06 Página 56
Cálculo da resistência elétrica R:
E
i = ––––
∑R
RESOLUÇÃO:
Com a chave na posição 1, há dois resistores em série. Com a chave na
posição 2, há 3 resistores em série.
120
0,50 = –––––––
60 + R
1)
R = 180
Cálculo da tensão U do gerador ideal:
P1
360W
P1 = i1 . U ⇒ U = ––– = ––––––
i1
2,4A
2)
Respostas: I) 0,48kWh
II) R = 180
⇒
Cálculo da resistência R:
U = 2R . i1
150 = 2R . 2,4 ⇒ R = 31,25Ω
3)
Cálculo da intensidade da corrente i2 com a chave na posição 2:
U
U = 3R . i2 ⇒ i2 = –––
3R
150V
i2 = ––––––––– (A) ⇒
3 . 31,25Ω
Respostas: 150V; 1,6A
FÍSICA A 3.a S
3. (UNESP-2012) – A figura mostra o esquema de ligação de um
aquecedor elétrico construído com quatro resistores ôhmicos iguais de
resistência R. Os fios e a chave CH têm resistências desprezíveis. A
chave pode ser ligada no ponto 1 ou no ponto 2 e o aparelho é sempre
ligado a uma diferença de potencial constante U. Quando a chave CH
é ligada no ponto 1, o amperímetro ideal mostrado na figura indica
uma corrente de intensidade 2,4 A e os resistores dissipam, no total,
360 W.
Calcule a diferença de potencial U. Calcule a intensidade da corrente
elétrica indicada pelo amperímetro quando a chave CH for ligada no
ponto 2.
56 –
U = 150V
i2 = 1,6A
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:06 Página 57
22
Eletrodinâmica IV
1. (FUVEST-SP) – Em uma ilha distante, um equipamento eletrônico
de monitoramento ambiental, que opera em 12V e consome 240W, é
mantido ligado 20h por dia. A energia é fornecida por um conjunto de
N baterias ideais de 12V. Essas baterias são carregadas por um gerador
a diesel, G, através de uma resistência R de 0,2Ω. Para evitar
interferência no monitoramento, o gerador é ligado durante 4h por dia,
no perí́odo em que o equipamento permanece desligado.
Determine
a) a corrente I, em ampères, que alimenta o equipamento eletrônico C.
b) o número mínimo N, de baterias, necessário para manter o sistema,
supondo que as baterias armazenem carga de 50# A.h cada uma.
c) a tensão V, em volts, que deve ser fornecida pelo gerador, para
carregar as baterias em 4h.
NOTE E ADOTE
(1 ampère x 1 segundo = 1 coulomb)
O parâmetro usado para caracterizar a carga de uma bateria, produto
da corrente pelo tempo, é o ampère . hora (A . h).
Suponha que a tensão da bateria permaneça constante até o final de
sua carga.
V = 0,2 . 100 + 12 (SI)
V = 32 volts
Respostas: a) 20A
b) 8 baterias
c) 32V
2. (FAMECA-2012) – Numa instalação elétrica, os fusíveis têm o
importante papel de proteger os equipamentos de possíveis sobrecargas
de energia, capazes de danificá-los. A figura mostra o esquema
simplificado de uma instalação, cujos equipamentos são descritos a
seguir com suas respectivas características nominais e protegidos por
um fusível de 25 A.
FÍSICA A 3.a S
MÓDULO
RESOLUÇÃO:
a) No equipamento:
P= i . U
240 = i . 12 ∴ i = 20A
b) No equipamento:
Q
i = –––
Δt
Q
20 = ––– ∴ QT = 400Ah
20
Na associação de baterias:
1 bateria –––– 50 A . h
N baterias –––– 400 A . h
N = 8 baterias, no mínimo
c) Na associação de baterias:
Q
iTOT = ––
Δt
400
iTOT = ––– (A)∴ iTOT = 100A
4
A tensão nos terminais do gerador (V) será dada por:
V = R . iTOT + Ebat
Chuveiro: 200V – 4000W
Lâmpada: 100V – 100W
Torneira elétrica: 200V – 1200W
As chaves, os fios de ligação, o gerador e o fusível são ideais. A respeito desse circuito, são feitas as seguintes afirmações:
I. Se fecharmos simultaneamente as chaves Ch1 e Ch2, o fusível
queimará.
II. A resistência elétrica de cada lâmpada vale 100Ω.
III. O chuveiro pode ser ligado simultaneamente com a torneira
elétrica sem danificar o fusível.
IV. Se substituírmos o fusível do circuito por outro de 30A, poderemos ligar simultaneamente as chaves Ch1, Ch2 e Ch3 sem
danificar o fusível.
Analise as afirmativas como verdadeiras ou falsas.
RESOLUÇÃO:
I) FALSA.
Se fecharmos Ch1 e Ch2, temos:
Ptotal = Pchuv + 2 Plamp
– 57
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:06 Página 58
Ptotal = 4000 + 200
Ptotal = 4200W
Ptotal = itotal + Utotal
4200 = itotal Utotal
4200 = itotal . 200
itotal = 21A
21A < 25A (fusível não queima)
3. (ITA-2012) – Conforme a figura, um circuito elétrico dispõe de
uma fonte de tensão de 100 V e de dois resistores, cada qual de 0,50.
Um resistor encontra-se imerso no recipiente contendo 2,0kg de água
com temperatura inicial de 20°C, calor específico 4,18 kJ /kg.°C e calor
latente de vaporização 2230kJ /kg. Com a chave S fechada, a corrente
elétrica do circuito faz com que o resistor imerso dissipe calor, que é
integralmente absorvido pela água. Durante o processo, o sistema é
isolado termicamente e a temperatura da água permanece sempre
homogênea.
II. VERDADEIRA
U2
P = –––
R
(100)2
100 = ––––– ⇒
R
R = 100
III.FALSA
Se fecharmos Ch2 e Ch3
Ptotal = Pchuv + Ptorneira
Mantido o resistor imerso durante todo o processo, determine o tempo
necessário para vaporizar 1,0kg de água.
Ptotal = 4000 + 1200 (W)
Ptotal = 5200W
Assim: Ptotal = itotal Utotal
5200 = itotal . 200
RESOLUÇÃO:
ε
100V
i = ––– ⇒ i = –––––––– ⇒ i = 100 A
2R
2.0,50
P = R . i2 ⇒ P = 0,50 . (100)2W ⇒ P = 5,0 . 103W
itotal = 26A
26A > 25A ⇒ “fusível queima”
IV. VERDADEIRA
FÍSICA A 3.a S
Se ligarmos Ch1, Ch2 e Ch3, temos
Ptotal = Pchuv + 2Plamp + Ptorneira
Ptotal = 4000 + 200 + 1200 (W)
Ptotal = 5400W
Ptotal = itotal Utotal
Quantidade de calor total absorvida pela água
5400 = itotal 200
Q = m . c . + m . Lvap
itotal = 27A
Q = 2,0 . 4,18 . 80 + 1,0 . 2230 (J)
Q = 2898,80kJ
27A < 30A (fusível não queima)
Resposta: B
Sendo
Q = P . t
2898,80 . 103 = 5,0 . 103 . t
t 580s
58 –
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:06 Página 59
4. (UFTM) – A companhia de eletricidade de uma cidade cobra a
energia consumida (kWh) nas residências de duas diferentes maneiras:
preço fixo ou preço fixo acrescentado de um valor, dependendo da
quantidade de energia consumida. O quadro resume os preços praticados pela companhia.
Até 100 kWh
R$ 8,00
Acima de 100 kWh
R$ 8,00 pelos primeiros 100 kWh,
acrescentadosde R$ 0,50 por kWh que
exceder os 100 kWh.
Considere que f(x) designa o preço total do consumo de x kWh de
energia elétrica. Suponha ainda que x varie no conjunto dos números
reais.
a) Expresse f(x) algebricamente.
b) Construa o gráfico dessa função
c) Qual é o valor a ser pago por um consumo de 250 kWh?
RESOLUÇÃO:
8; se 0 x 100kWh
a) f(x) =
8 + (x – 100) . 0,50; se x 100kWh
FÍSICA A 3.a S
b)
c) f(x) = 8 + (x – 100) . 0,50
para x = 250kWh, vem:
f(x) = 8 + (250 – 100) . 0,50
f(x) = 8 + 150 . 0,50
f(x) = 83,00
∴
R$83,00
– 59
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:19 Página 60
MÓDULO
23
Eletromagnetismo
1. Uma carga elétrica puntiforme q = 2,0 ␮C de massa m = 1,0 . 10–7kg
penetra, com velocidade v = 20 m/s, num campo magnético uniforme de
indução B = 4,0 T, através de um orifício O existente num anteparo.
2. Uma haste metálica MN está suspensa por dois fios elétricos que
a conectam a uma pilha apoiada num suporte horizontal, como mostra
a figura. Devido à presença da pilha, circula uma corrente elétrica de
intensidade i pelo circuito fechado: pilha-haste MN. A tração nos dois
fios que sustentam a haste é nula.
a) Esquematize a trajetória descrita pela partícula no campo até incidir
pela primeira vez no anteparo.
b) Determine a que distância do ponto O a partícula incide no
anteparo.
Note e adote:
Massa da haste MN: m = 2,0g
Comprimento da haste MN : L = 0,50 m
Gravidade local: g= 10 m/s²
Intensidade de corrente : i = 8,0 A
RESOLUÇÃO:
a) desenhe as forças que atuam na haste. As forças nulas não precisam
ser desenhadas.
b) determine o sentido da corrente que passa na haste MN.
c) determine a intensidade do campo magnético.
FÍSICA A 3.a S
→
v com B igual a 90°, concluímos que a partícula
a) Sendo o ângulo ␪ de →
descreve uma trajetória circular. Esta tem centro no anteparo, e,
––––
portanto, a trajetória é uma semicircunferência de diâmetro OC .
––––
b) A distância OC é o dobro do raio:
––––
m.V
OC = 2 . R = 2 . –––––––
冟q冏 . B
RESOLUÇÃO:
a) As forças de tração são nulas e portanto não há que desenhá-las.
→
→
Restam apenas duas forças: o peso P e a força magnética Fmag.
Sendo m = 1,0 . 10–7 kg, v = 20 m/s, q = 2,0 ␮C = 2,0 . 10–6C e B = 4,0 T,
vem:
––––
1,0 . 10–7 . 20
––––
OC = 2 . ––––––––––––
OC = 0,50 m
2,0 . 10–6 . 4,0
Respostas: a) arco de circunferência, orientada no sentido horário.
b) 0,50m
• Convém explicar aos alunos o seguinte: que a pilha fornece uma
corrente elétrica e, estando a haste MN imersa no campo magnético,
surge a força magnética.
• O sentido desta força é necessariamente oposto ao do peso para que
eles se cancelem e a haste fique em equilíbrio sem a necessária ajuda
das duas trações dos fios.
b) O sentido da corrente é obtido pela regra da mão esquerda aplicada
sobre a haste MN.
Somente poderíamos obter o sentido da corrente depois de determinado
o sentido da força magnética.
Usando a regra da mão esquerda: o sentido da corrente é de M para N.
60 –
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:20 Página 61
d) Por causa da corrente induzida i, que percorre o condutor móvel CD,
→
este está sob a ação de uma força magnética Fm, cujo módulo é:
Fm = B i c) Para que haja o equilíbrio, o peso e a força magnética deverão ter a
mesma intensidade,
Fm = P
Sendo Fm = B . i . . sen e P = m . g,
resulta: B . i . . sen = m . g
→
Substituindo-se i = 8,0 A,
= 0,50 m, sen 90° = 1,
m = 2,0 . 10–3 kg e
g = 10 m/s2, vem:
B . 8,0 . 0,50 = 2,0 . 10–3 . 10
O operador exerce sobre CD uma força F1. Supondo que não haja atrito
ou outras forças atuando no fio, e lembrando que a velocidade é
constante, concluímos que:
F1 = Fm
Portanto:
F1 = Fm = B i = 4,0 . 1,2 . 0,50
F1 = 2,4 N
B = 5,0 . 10–3 T
Observação: como sabemos da Mecânica, a potência da força F1 é dada
por P = F1 . v.
Assim:
P = F1 . v = 2,4 . 3,0
P = 7,2 W
Observemos então que a potência fornecida pelo operador é igual à
potência dissipada no circuito.
Respostas: a) 6,0V;
b) 1,2A;
c) 7,2W;
d) 2,4N
a)
b)
c)
d)
FÍSICA A 3.a S
3. Um condutor retilíneo CD, de resistência R = 5,0 , está em
contato com um condutor de resistência desprezível e dobrado em U,
como indica a figura. O conjunto está imerso em um campo de indução
→
→
magnética B, uniforme, de intensidade B = 4,0 T, de modo que B é
perpendicular ao plano do circuito. Um operador puxa o condutor CD
de modo que este se move com velocidade constante →
v, como indica a
figura, sendo v = 3,0 m/s.
Calcule a força eletromotriz induzida no circuito.
Determine a intensidade da corrente induzida no circuito.
Calcule a potência dissipada no circuito.
Supondo que não haja atrito, calcule o módulo da força que o
operador exerce sobre o condutor CD.
RESOLUÇÃO:
a) A força eletromotriz induzida é dada por:
E = B v = 4,0 . 0,50 . 3,0
E = 6,0 V
b) A resistência do circuito resume-se na resistência do condutor CD, pois
o condutor em forma de U tem resistência desprezível. Temos, então:
E=R.i
6,0 = 5,0 . i
i = 1,2 A
c) A potência dissipada é dada por P = R . i2, assim:
P = 5,0 . (1,2)2
P = 7,2 W
– 61
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:06 Página 62
4. (FUVEST) – A figura abaixo mostra o esquema de um instrumento (espectrômetro de massa), constituído de duas partes. Na
→
primeira parte, há um campo elétrico E, paralelo a esta folha de papel,
→
apontando para baixo, e também um campo magnético B1
perpendicular a esta folha, entrando nela. Na segunda, há um campo
→
→
magnético B2 , de mesma direção que B1 , mas em sentido oposto. Íons
positivos, provenientes de uma fonte, penetram na primeira parte e,
→
devido ao par de fendas F1 e F2 , apenas partículas com velocidade v,
→ →
na direção perpendicular aos vetores E e B1, atingem a segunda parte
do equipamento, onde os íons de massa m e carga q têm uma trajetória
circular com raio R.
→
a) Obtenha a expressão do módulo da velocidade v em função de E e
de B1.
b) Determine a razão m/q dos íons em função dos parâmetros E, B1, B2
e R.
NOTE E ADOTE:
→
Felétrica = q E (ela tem a direção do campo elétrico E).
→
→
Fmagnética = q . V . B sen θ (ela é perpendicular a V e a B).
RESOLUÇÃO
a) Para que o íon não sofra desvio, ao atravessar a 1a. parte, as forças
elétrica e magnética devem equilibrar-se. Assim, vem:
FÍSICA A 3.a S
Felétrica = Fmagnética
q . E = q . v . B1
E
v = –––
B1
b) Na 2a. parte, a força magnética atua como força centrípeta:
Fmagnética = Fcentrípeta
v2
q . v . B2 = m . –––
R
q . B2 . R = m . v
m
B2 . R
––– = ––––––
q
v
m
B2 . R
––– = ––––––
q
E
–––
B1
62 –
m
B1 . B2 . R
––– = ––––––––––
q
E
E
Respostas: a) v = –––
B1
m
B1 . B2 . R
b) ––– = ––––––––––
q
E
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:06 Página 63
24
Eletrostática
1. Na figura temos quatro partículas fixas no plano desta folha. Suas
cargas elétricas são:
Q1 = Q2 = Q3 = + 2,0 nC
q = – 2,0 nC
O meio é o vácuo, para o qual a constante de Coulomb é:
K0 = 9,0 . 109 N . m2/C2
Determine:
a) A intensidade das forças com que as partículas 1, 2 e 3 atraem a
carga q.
b) A intensidade da força elétrica resultante em q. Faça uma figura
mostrando a sua direção e sentido.
RESOLUÇÃO:
a) Q1 = Q2 = Q3 = + 2,0 . 10–9C
q = – 2,0 . 10–9C
As partículas 1, 2 e 3 são equidistantes de q;
logo: as forças de atração têm a mesma intensidade.
2. Em um campo elétrico uniforme, cujas linhas de força estão
representadas na figura, um operador desloca lentamente uma pequena
esfera eletrizada pela trajetória A, B, C, D. Sendo conhecida a carga
elétrica da esferinha: q = + 20 C e sabendo que o trabalho do operador
foi de –120 J, determine:
a) a ddp entre A e D.
b) a intensidade do campo elétrico.
Note e adote:
Admita que não houve variação da energia cinética da esferinha,
portanto o trabalho do operador e o trabalho da força elétrica são
iguais em valor absoluto.
RESOLUÇÃO:
a) .F. = .oper. ⇒ .F. = 120μJ ou ainda:
Q.q
F = K0 –––––––
d2
Feletr = + 120 J
(2,0 . 10–9) . (2,0 . 10–9)
F1 = F2 = F3 = 9,0 . 109 . –––––––––––––––––––– (N)
(3,0 . 10–2)2
mas:
Feletr = q (VA – VD)
FÍSICA A 3.a S
MÓDULO
120 J = (+ 20 C) . U ⇒ U = 6,0 V ou VA – VD = + 6,0 V
F1 = F2 = F3 = 4,0 . 10–5 N
b) A intensidade do campo elétrico é dada por
b)
U
E . d = U ⇒ E = ––
d
Muito cuidado com a medida da distância d.
Ela se refere à distância entre as duas equipotenciais: A e D
Não é Pitágoras.
U = VA – VD = 6,0 V
Na partícula (q) atuam as forças
→
resultante é F1.
Logo: Fres = F1 = 4,0 . 10–5N
→ →
→
F1, F2 e F3 ,
sendo que
→
→
F2 anula F3
6,0 V
E = ––––––––––––
3,0 . 10–1 m
d = 30 cm = 30 . 10–2 m = 3,0 . 10–1 m
E = 20 V/m
ea
Respostas: a) 6,0 V
b) 20 V/m
Direção e sentido indicados na figura.
– 63
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:06 Página 64
3. Na figura temos quatro partículas eletrizadas fixas nos vértices de
um quadrado, cuja diagonal mede 2d. As cargas das partículas 1, 2 e 3
são positivas e de valor +Q, ao passo que a do quarto vértice é
desconhecida. Determine a carga elétrica da quarta partícula nos
seguintes casos distintos:
a)
b)
O potencial elétrico resultante no centro O do quadrado é nulo.
O campo elétrico resultante no centro O do quadrado é nulo.
RESOLUÇÃO:
a) Para que se anule o potencial elétrico em O, o somatório dos quatro
potenciais parciais deve ser nulo.
(+Q)
V1,0 = V2,0 = V3,0 = K ––––––
d
KQ
Qx
V = + 3 –––– + K ––––
=0
(Qx)
d
d
V4,0 = K –––––
d
Logo: + 3Q + Qx = 0
Qx = – 3Q
b) Devemos desenhar o vetor campo elétrico gerado pelas três cargas fixas
em O. A seguir devemos desenhar o quarto vetor campo elétrico, gerado
pela quarta partícula, de tal modo que ele anule a resultante dos três
anteriores. Observe que se pode resolver a questão por simples simetria.
Assim:
FÍSICA A 3.a S
→
→
E1 = E4 ⇒ Qx = + Q
→
→
Observe que: E2 = E3 e se anulam.
Respostas: a) – 3Q
b) + Q
64 –
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:06 Página 65
MÓDULO
25
Eletrostática e Eletromagnetismo
1. Temos três partículas eletrizadas ocupando os vértices A, B e C de
um cubo, como mostra-nos a figura. Cada partícula possui carga
elétrica Q = 10 C, em módulo. É dada a constante eletrostática
K0 = 9,0 . 109 N . m2/C2. Determine a intensidade da força
→
→
f = projeção de F nas arestas
F 2
f = ––––––– (II)
2
Voltemos à figura tridimensional. Temos que superpor as forças, com o
objetivo de se determinar a resultante em C.
a) da força mútua entre cada um dos pares de carga, ou seja: (A com
B), (A com C) e (B com C).
b) resultante na partícula C.
RESOLUÇÃO:
a) seja d a diagonal de face.
2 + f2 + f2 = R = (2f)
6f2
10–2m
=
10–1
2m
Q.Q
(10 . 10–6)2
F = K0 ––––––– ⇒ F = 9,0 . 109 ––––––––––
2
d
(10–1
2)2
(I)
R = F12 + F22 + F32
F = 45 N
Observação: como as cargas são iguais e as distâncias também:
FAB = FBC = FAC = F
b) Na face lateral esquerda, que contém A e C temos
R = f 6
(III)
ou ainda, de (II) em (III)
F 2
F
12
R = ––––––– . 6 ⇒ R = ––––––– = F 3
2
2
FÍSICA A 3.a S
d = L
2 = 10
2 cm = 102 .
Temos os vetores em três eixos formando um sistema tri-ortogonal.
Da equação (I)
R = 45
3N
Observação:
Uma segunda solução depende de se “enxergar” o ângulo de 60° entre os
vetores das diagonais de face. Nesse caso a solução fica mais imediata:
2 + F2 + 2F2 . cos 60° ⇒ F
R = F
3
R = 45
3N
Respostas: a) 45N em cada par
b) 45 2N
→
→
f projeção de F nas arestas
F 2
f = F . cos 45° = –––––––
2
Na face da base:
– 65
C2_FIS_A_RGERAL_Alelex 24/09/12 11:06 Página 66
2. Na figura abaixo vemos um dínamo de bicicleta, acoplado ao garfo
da roda dianteira e alimentado mecanicamente pela rotação do pneu. O
dínamo fornece a energia aos componentes elétricos da bicicleta:
campainha elétrica, farolete, carregador de celular, etc. A lâmpada do
farolete tem potência nominal de 24 W e a resistência elétrica de seu
filamento é 6,0 Ω. Ele se comporta como um resistor ôhmico.
a) Qual é o fenômeno magnético que explica o funcionamento do
dínamo? Por que tem encostar a cabecinha dele no pneu?
b) Como se aplica nesse sistema o Princípio da Conservação da
Energia?
c) Acoplando um celular no carregador de bateria da bicicleta,
identifique quem é o gerador e quem é o receptor.
d) Determine a força eletromotriz induzida no dínamo, admitindo que
ele está se comportando como um gerador ideal.
3. Uma pequena esfera de tamanho desprezível, com massa
m = 2,02 . 10–10 kg e carga elétrica q = + 4,0 pC está amarrada por um
fio de náilon como mostra a figura. Na região há um campo elétrico
uniforme de intensidade E = 6,4 kV/m. Num dado instante o fio é
cortado e a esferinha escapa, passando por B com certa velocidade v.
Determine:
a) a energia cinética em A.
b) a energia cinética em B.
c) a velocidade v.
RESOLUÇÃO:
a) A energia cinética em A corresponde ao trabalho da força elétrica desde
sua partida até o ponto A.
Ecin – Ecin = AB
A
0
→
Ecin – 0 = AB ⇒ Ecin = q . E . dA
A
FÍSICA A 3.a S
RESOLUÇÃO:
a) O fenômeno magnético é a Indução Eletromagnética, que obedece às
Leis de Faraday:
A variação de fluxo magnético numa bobina induz uma corrente
elétrica em suas espiras.
Encostamos a cabecinha do dínamo no pneu da bicicleta para fazer
girar a bobina no interior de um campo magnético fixo. Este campo
pode ser criado por um ímã fixo ou por um eletroímã.
A
q = + 4,0 pC
→
E = 6,4 . 103 V/m
dA = 2,0 cm = 2,0 . 10–2 m
Ecin = 4,0 . 10–12 . 6,4 . 103 . 2,0 . 10–2
A
Ecin = 5,12 . 10–10 J
A
b) De A até B temos uma ddp:
U = VA – VB
U = 500 V – 400 V = 100 V = 1,0 . 102 V
Usando o Teorema da Energia Cinética, de A até B
Ecin – Ecin = AB
B
A
mas AB = q (VA – VB)
Ecin – 5,12 . 10–10 = 4,0 . 10–12 . 1,0 . 102
B
Ecin = 5,12 . 10–10 + 4,0 . 10–10
B
b) O Princípio da Conservação da Energia dá sustentação à indução
eletromagnética: uma energia mecânica é transformada em energia
elétrica. Vale o Princípio da Conservação da Energia.
A variação de fluxo é a outra condição necessária. Esse é o motivo de a
bobina girar dentro do campo magnético: variação do fluxo magnético
que a atravessa.
Não haveria indução de corrente se não existisse uma entrada externa
de energia mecânica. Não sai, na ponta da linha, 1 joule a mais do que
entrou em forma de energia mecânica, mesmo que o sistema seja ideal
e nada dissipe.
c) O gerador é o dínamo e o receptor é a bateria do telefone celular que
está se recarregando.
d) Como o dínamo é gerador ideal no exercício, então U = ε (fem).
U2
P = –––– ⇒ U2 = P . R ou ainda: ε2 = P . R
R
Substituindo P = 24 W e R = 6,0 Ω , obtemos:
ε2 = 24 . 6,0 (em unidades SI)
ε2 = 144 ⇒ ε = 12 V
66 –
Ecin = 9,1 . 10–10 J
B
m . V2
c) Ecin = ––––––
B
2
2 . Ecin
B
V2 = ––––––––
m
2 . 9,1 . 10–10
V2 = ––––––––––––– (unidades SI)
2,02 . 10–10
V2 9,0 ⇒ V 3,0 m/s