Universidade Federal da Bahia
Departamento de Matemática
Laboratório de Ensino de Matemática
III Bienal da SBM
06 a 10 de novembro de 2006
Construção de Cones
Utilizando Isometrias do Plano
Elinalva Vergasta de Vasconcelos
Graça Luzia Dominguez Santos
Maria Christina Fernandes Cardoso
Verlane Andrade Cabral
ÍNDICE
Introdução ..........................................................................................................................................
3
I - Isometrias do plano com cone circular ..........................................................................................
4
II - Modelo de seção plana - elipse ....................................................................................................
9
III - Modelo do cone com cilindro .....................................................................................................
15
Apêndice 1 – Alguns conceitos e resultados de Geometria Diferencial ............................................
22
Bibliografia ........................................................................................................................................
24
2
INTRODUÇÃO
A construção da superfície cônica circular (cone) pode ser obtida a partir do setor circular
desenhado em um material considerado plano como papel, cartolina, acetato ou outro material similar.
Essa oficina apresenta a isometria do plano com o cone circular, o que permite planejar a altura, a medida
da geratriz ou o ângulo da geratriz com eixo do cone. Além disso, para modelos que envolvem mais de
uma superfície, mesmo tendo a facilidade de construção do cone, é importante conhecer as equações das
curvas de interseção e as suas parametrizações. Desse modo, utilizando isometria, é possível fazer cortes
no material considerado plano que após modelagem, proporcionam encaixes perfeitos para montagem de
modelos concretos no espaço físico tridimensional.
Nessa oficina será apresentado o método de construção de dois modelos:
•
Cone secionado por um plano determinando uma elipse.
•
Cone e cilindro circular com uma geratriz coincidente com o eixo do cone.
Será utilizado o conhecimento de parametrizações de curvas e de superfícies, da função
comprimento de arco e de isometrias. Maiores detalhes podem ser encontrados em [1] ou [2].
Essas notas, direcionadas aos participantes da Oficina "Construção de Cones Utilizando Isometrias
do Plano", fazem parte do texto "Isometrias do Plano e Construção de Modelos Concretos com Superfícies
Cilíndricas e Cônicas" que vem sendo elaborado no Laboratório de Ensino de Matemática da UFBA com o
objetivo de apresentar um método de construção de modelos concretos dessas superfícies. Para atingir,
mais rapidamente os objetivos dessa oficina, omitimos os detalhes sobre as isometrias do plano com
cilindro, utilizadas nos capítulos II e III dessas notas.
Quando nos referirmos a superfície tanto pode significar superfície parametrizada quanto o seu
traço.
3
I - ISOMETRIAS DO PLANO COM O CONE CIRCULAR
Para que duas superfícies parametrizadas Y e Y sejam isométricas, devemos ter Y e Y definidas
em um aberto U do R2, injetivas, de modo que os coeficientes da primeira forma quadrática de Y e Y
coincidam. A aplicação φ = Yo Y
−1
é chamada isometria entre Y e Y .
Um modelo concreto que represente uma superfície isométrica ao plano é obtido modelando um
material considerado plano como, por exemplo, um pedaço de papel, o que implica que o domínio da
parametrização tenha que ser um conjunto V limitado e fechado. Sendo U o aberto onde foram definidas
inicialmente as parametrizações, o conjunto V deve ser o fecho de um conjunto limitado W, onde W é um
subconjunto do aberto U. A inclusão dos pontos de fronteira de W faz com que as parametrizações deixem
de ser regulares ou injetivas mas, é necessária pois esses pontos vão corresponder às bordas do modelo
concreto ou serão necessários para representar os pontos identificados no processo da colagem do material.
Vamos considerar a parametrização do plano Y tal que Y (r, θ) = (r.cosθ, r.sen(θ), 0) e encontrar
uma parametrização Y do cone de altura h, raio da base a e geratriz g, tal que Y e Y sejam isométricas.
Usando que a razão do comprimento de arco 2πa com o ângulo θs do setor é igual à razão do
comprimento 2πg da circunferência com 2π, obtemos que
θs = 2π
a
= 2π.sen(θo),
g
sendo θo o ângulo formado pela geratriz e o eixo do cone (Figura 1.1).
a
2πa
θs
g
g
θs = 2π.senθo
θo
h
senθo =
a
g
Relação entre ângulo do setor e ângulo do cone com seu eixo.
Figura 1.1
Consideremos o cone circular S com vértice na origem e eixo coincidente com eixo Oz, z > 0.
Vamos mostrar que a aplicação Y: U → R3, U ={(r, θ) ∈ R2 / r > 0 e 0 < θ < 2πsen(θo)}, tal que
4
Y(r,θ) =
 θ 
 θ  
r
 a. cos


, h  =
,
a
.
sen

g 
 a/g 
a/g  






 r.sen(θo ). cos θ , r.sen(θo ).sen θ , r. cos θo 






 sen(θo ) 
 sen(θo ) 


é uma parametrização de S menos uma geratriz. O importante é que Y é isométrica ao plano Y : U → R3.
De fato, os coeficientes da primeira forma quadrática de Y e Y são respectivamente,
E = 1 , F = 0 e G = r2
e
E = 1,
F =0
e
2
G =r .
Como S é a família de semi-retas que passam pela origem e pelos pontos (a.cos(t), a.sen(t), h)
(Figura 1.2), temos que uma parametrização de S menos uma geratriz é dada por
X(λ,t) = λ(a.cos(t), a.sen(t), h), λ > 0, t∈(0, 2π).
δλ
φ
•
γt
r
(a.cos(t), a.sen(t), h)
• (r.cosθ, r.senθ, 0)
θ
Cone gerado por retas passando pela origem.
Figura 1.2
Utilizando coordenadas polares (r,θ), vamos reparametrizar X de modo a obter Y isométrica a Y .
Para cada t constante, temos a curva
γt(λ) = λ(a.cos(t), a.sen(t), h), λ > 0,
cujo comprimento de arco de 0 a λ deve ser igual a r. Assim,
λ
∫0
γ 't (u ) du =
λ
∫0
a 2 + h 2 du = a 2 + h 2 λ = r,
ou seja,
λ=
r
a2 + h2
=
r
, sendo r > 0.
g
Para λ constante, temos a curva
5
δλ(t) = λ(a.cos(t), a.sen(t), h), t∈(0, 2π),
cujo comprimento de arco 0 a t deve ser igual a r.θ. Desse modo, obtemos
t
∫0
δ λ' (u ) du =
λ
∫ 0 λ.a.du = λ.a.t = r.θ,
ou seja,
t=
θ
θ
r.θ
.
=
=
λ.a a / g sen θ o
Como t ∈ (0, 2π), então 0 < θ < 2πsen(θo).
Com as considerações anteriores, concluímos que
X(λ,t) = λ(a.cos(t), a.sen(t), h) =
 θ 
 θ  
r
 a. cos
, a.sen
, h  =

g
a
/
g
a
/
g



 






 r.sen(θo ). cos θ , r.sen(θo ).sen θ , r. cos θo  = Y(r,θ).
 sen(θ ) 
 sen(θ ) 


o 
o 




Observemos que
−1
φ(r.cos(θ),r.sen(θ),0) = Yo Y ( r. cos(θ), r.sen (θ),0) = Y ( r , θ) ,
o que significa que é suficiente aplicar Y a pontos (r,θ) para obter a imagem da isometria φ. Além disso,
podemos identificar pontos (u, v, 0) com (u,v) e dizer que aplicamos a isometria φ a pontos
(r.cos(θ),r.sen(θ)) do plano R2, para obter o cone S.
Para os modelos que construiremos nesta oficina, vamos considerar o cone circular S de equação
z2 = x2 + y2, limitado pelos planos z = h e z = -h, para algum h > 0. Assim, o eixo de rotação coincide com
o eixo Oz, a geratriz faz um ângulo de
π
com o eixo Oz, g =
4
( )
2h e
( )
 2
2
2 
Y(r, θ) = 
r cos 2θ ,
r sen 2θ ,
r 
2
2
2


Observemos que, se θ = 0 ou θ = θs = 2π.sen
π
=
4
(I)
2π , de (I) obtemos
 2
z = x
2 
Y(r,0) = 
. Para a confecção dos
r,0,
r  = Y(r, 2π) e a colagem do cone corresponde à reta 
y
=
0
2
2



modelos, em lugar de θ variar entre 0 e
2π , vamos escolher θ entre −
2π
3 2π
e
. Desse modo, a
4
4
z = − y
colagem do cone vai corresponder à reta 
(Figura 1.3). Em resumo, como domínio fechado e
x = 0
limitado de Y, dado por (I), vamos escolher
6

2π
3 2π 
V = (r, θ) ∈ R 2 ; 0 ≤ r ≤ 2h e ≤θ≤
.
4
4


w
(II)
z
(1)
(1)
φ
(1)
v
y
x
u
Y
Y
θ
V
r
Isometria entre setor e cone com acréscimo de pontos de fronteira no domínio para a colagem no cone.
Figura 1.3
As curvas que limitam o setor (Figura 1.4) são dadas por:
A(θ) = Y( 2h , θ) = ( 2hcos(θ), 2hsen(θ),0), -
2π
3 2π
≤θ≤
4
4



2π  
2π 
2π  
,0 ,
, r sen −
 = r cos −
R1 (r ) = Y r,−
 


 

4
4
4
 


 


0 ≤ r ≤
2h
;
 3 2π  
 3 2π 
 3 2π  
 
, r sen
 =  r cos
R 2 (r ) = Y r,
 4 ,0  , 0 ≤ r ≤ 2h .
 
 4 
4
 


 


Como podemos identificar pontos (u, v, 0) com (u,v) basta aplicarmos a isometria φ aos pontos
(r.cos(θ),r.sen(θ)) do plano R2, para obter o cone S. Assim, para confecção do modelo temos o setor
limitado pelas curvas:
7
A
A(θ) =
(
)
2hcos(θ), 2hsen(θ) , -
2π
3 2π
≤θ≤
4
4
R2
R1



2π 
2π  
 , 0 ≤ r ≤ 2h ;
, r sen −
R 1 (r ) =  r cos −




4
4






 3 2π  
 3 2π 

, r sen
R 2 (r ) =  r cos

 4   , 0 ≤ r ≤ 2h .

4





Curvas que limitam o setor
Figura 1.4
8
II - MODELO DE SEÇÃO PLANA – ELIPSE
Vamos apresentar a construção do modelo do cone S: z2 = x2 + y2 com um plano Π que não passa
na origem, cujo ângulo δ com o eixo de rotação Oz está entre os valores 0 e π
4
. Desse modo, a interseção
é uma elipse E.
Escolhendo o plano Π de vetor normal (0,1,4) e passando pelo ponto P(0, -3h/4, 3h/4), temos que
sua equação é y + 4z +d = 0, com d = -9h/4 (Figura 2.1). Observemos que, nesse caso, π/4 < δ< π/2 pois
δ = arcsen ( 4 17 / 17 ) ≅ 1,32. A elipse E está contida no semi-espaço z ≥ 0 e tem equação
z 2 = x 2 + y 2
E: 
.
 y + 4z + d = 0
S
z
(0,-3h/4,3h/4)
∏
>
y
Projeção do cone S e do plano Π no plano yOz. Interseção do cone S e do plano Π, determinando uma elipse.
Figura 2.1
Da expressão anterior obtemos,
z = (-d-y)/4
e
y2 + 2dy + d2 = 16 x2 + 16 y2 e,
conseqüentemente,
d 2

 ( y − 15 )
x2
+
=1

d2
 16d 2
E: 
2
15
 15

d+y
z = −
4

Portanto, uma parametrização da elipse é
9
d

cos( t )
x =
15

d

E:  y = (1 + 4 sen( t ) ) .
15

d

z = − 15 (4 + sen( t ) )

(III)
Para determinar a curva (r(t),θ(t)), tal que Y(r(t),θ(t)) é a elipse E no cone S (Figura 2.2),
igualamos a parametrização de E com Y(r(t),θ(t)).
z
w
Y (a 1 ( t ))
E
φ
Y (a 2 ( t ))
v
u
y
x
Y
Y
θ
a2(t)
a1(t) r
Curva plana que é levada na elipse contida no cone.
Figura 2.2
Das equações (I) e (III), obtemos
 2

d
d
2
2  d

 =
 .
r(t)cos(
2
θ(t)),
r(t)sen(
2
θ(t)),
r(t)
(
)
(
)
cos(t),
1
+
cos(t)
,4
+
sen(
t
)

 2

2
2
15
15
15




Logo,
2
d
r(t)cos( 2θ(t)) =
cos(t) ,
2
15
d(1 + 4sen(t))
2
r(t)sen( 2θ(t)) =
2
15
e
r(t) = −
2
d (4 + sen( t ) )
15
10
Do domínio da parametrização do cone S, equação (II), temos −
Se −
2π
2π
3 2π
2π
π
π
e −
então −
. Assim,
≤θ≤
≤θ≤
≤ 2θ ≤
2
2
4
4
4
4
θ(t) =
Se
2π
3 2π
.
≤θ≤
4
4
 1 + 4 sen(t ) 
2
π
π
 , − ≤ t ≤ .
arcsen −
2
2
2
 4 + sen( t ) 
2π
3 2π
π
3π
e −
então
≤θ≤
≤ 2θ ≤
2
2
4
4
θ(t) =
2π
3 2π
. Temos,
≤θ≤
4
4

 1 + 4sen(t)  
2  
, − π ≤ t ≤ π .

 − arcsen 
+
π





2
2
2 
 4 + sen(t )  

 π π
As imagens por Y das curvas planas parametrizadas a1: − ,  → R 2 e a2 :
 2 2
 π π
2
− 2 , 2  → R ,


tais que

 1 + 4 sen(t )  
2
2
 
d(4 + sen(t),
arcsen −
a1(t) = (r(t), θ(t)) =  −

15
2
4
+
sen(
t
)



e


 1 + 4 sen(t )  
2
2
.

 − arcsen −

+
a2(t) = (r(t), θ(t)) =  −
d(4 + sen(t),
π


 15

2
4
+
sen(
t
)





representam E no cone S .
Assim, Y(a1 ( t )) e Y(a 2 ( t )) são as curvas no setor circular que são levadas pela isometria φ em E
(Figura 2.2).
Vamos agora obter a representação da curva no plano que é levada em E contida em
Π: y + 4z +d = 0, d = −
9h
. Encontrando-se os coeficientes da primeira forma quadrática, verifica-se que a
4
parametrização X : U → R 3 de Π dada por

4
1
d
X(u, v) =  v,
u,−
u − 
4
17
17

(IV)
é isométrica ao plano X : U → R3, tal que X(u, v) = (u,v,0) (Figura 2.3).
Utilizamos as equações (III) e (IV), obtemos

u(t) d 
4
 v(t),
u(t),−  =
17
17 4 


 d
d
d

cos(t), (1 + 4sen(t)),- (4 + sen( t ) )
15
15

 15
11
z
w
E
φX
X (b(t))
Π
v
u
y
x
X
X
u
b(t)
r
Curva plana que é levada na elipse contida no plano.
Figura 2.3
Assim,
v(t) =
d
15
cos(t) e u(t) =
17  d(1 + 4 sen( t ) 

 , 0 ≤ t ≤ 2π .
4 
15

 17  d(1 + 4sen(t)  d

Logo, b: [0,2π] → R2, tal que b(t) = (u(t), v(t)) = 
cos(t)  , é levada pela

,
15
 15
 4 

X em E.
Para a construção do modelo concreto, vamos limitar o plano Π pelos planos x = - h, x = h, y = - h e
 17

y = h. Isso significa que Π é a imagem do retângulos de vértices 
h , h  ,
 4

 17


,
h
,
−h
 4





17
−

h
,
−
h


4




17
e  −
h , h  (Figura 2.3).
4


As figuras 2.4 e 2.5 mostram, respectivamente, os moldes do setor com os traços das curvas Y o a 1 ,
Y o a 2 e do retângulo com o traço da curva Xob (coincidindo com o traço de b), correspondentes ao
modelo da Figura 2.1. Para estes moldes, foi considerado h =1 e a uma unidade de comprimento foi
12
escolhida apenas para que as figuras atendessem às dimensões da página dessas notas. Seguem os
comandos (software MAPLE V) para a obtenção dessas curvas.
Comandos correspondentes ao cone:
Comandos correspondentes ao plano:
with(plots):
with(plots):
h:=1; dd:=-9*h/4; A:=sqrt(2); g:=A*h;
h:=1; dd:=-9*h/4; a:=sqrt(15); Ro:=sqrt(17)/4;
t0:=-A*Pi/4; t1:=3*A*Pi/4;
Elipseplano:=plot([ R0*(dd/15)*(1+4*sin(t)), dd*cos(t)/a,
rt:=-(A*dd/15)*(4+sin(t));
t=0..2*Pi]):
theta1t:=(A/2)*arcsen(-(1+4*sin(t)) / (4+sin(t)));
Retangulo:=poygonplot([ [Ro,1], [Ro,-1], [-Ro,-1], [-Ro,1] ] ):
theta2t:=- theta1t + (A/2)*Pi;
Elipse1cone:=plot([rt*cos(theta1t),rt*sin(theta1t),
display([Elipseplano, Retangulo],scaling=constrained);
t=-Pi/2..Pi/2]):
Elipse2cone:=plot([rt*cos(theta2t),rt*sin(theta2t),
t=-Pi/2..Pi/2]):
Arco:=plot([g*cos(t),g*sin(t),t=t0...t1]):
Reta1:=plot(r*cos(t0),r*sin(t0), r=0...g]):
Reta2:=plot(r*cos(t1),r*sin(t1), r=0...g]):
display([Elipse1cone, Elipse2cone, Arco, Reta1, Reta2],
scaling=constrained);
13
Figura 2.4
Figura 2.5
14
III - MODELO DO CONE COM CILINDRO
Consideremos o cone S: z2 = x2 +y2 e o cilindro S1 de equação (x-1)2 + y2 = 1 (Figura 3.1).
Cone e cilindro
Figura 3.1
( x − 1) 2 + y 2 = 1
.
A interseção de S com S1 é a curva C: 
z 2 = x 2 + y 2
Podemos, então, escrever
x = cos(t) + 1, y = sen(t), z = ± (1 + cos(t))2 + (sen(t))2 = ± 2 + 2cos(t) = ±2cos(t/2).
e representar C através das parametrizações
x = cos(t) + 1

, t ∈ [-π, π]
C1:  y = sen(t)
z = 2cos(t/2)

x = cos(t) + 1

, t ∈ [-π, π] .
C2:  y = sen(t)
z = −2cos(t/2)

e
(V)
Vamos determinar, inicialmente, a curva no plano que é levada em C no cilindro S1.
( x − 1) 2 + y 2 = 1
que pode ser parametrizada pelo
z = 0
Uma diretriz do cilindro S1 é a circunferência 
comprimento de arco por α(u) = (cos(u) +1, sen(u), 0), u ∈ (-π, π). Assim, obtemos a parametrização de
S1:
Z(u,v) = (cos(u) + 1, sen(u), v),
(VI)
(u,v) ∈ (-π, π)×R, que é isométrica ao plano X : U → R3, tal que X (u,v) = (u,v,0), (u,v) ∈ (-π, π)×R.
Podemos identificar os pontos (u,v,0) com os pontos (u,v) e considerar Z como a isometria entre o
plano e S1.
Para o modelo concreto, vamos considerar u ∈ [-π, π] e, como temos que limitar o cilindro, vamos
15
considerar v ∈ [a, b], para constantes a e b a serem determinadas, convenientemente. Observemos que a
escolha do intervalo [-π, π] implica que a colagem do modelo coincide com o eixo Oz (Figura 3.2).
(1)
(1)
b
(1)
π
-π
Z
y
x
a
Colagem do cilindro coincidindo com o eixo Oz.
Figura 3.2
Vamos determinar a curva (u(t),v(t)), tal que Z(u(t),v(t)) é a curva C no cilindro S1. De (V) e (VI)
obtemos
cos(u(t)) = cos(t), sen(u(t)) = sen(t), v(t) = 2cos(t/2)
e
cos(u(t)) = cos(t), sen(u(t)) = sen(t), v(t) = -2cos(t/2).
Daí,
u(t) = t, v(t) = 2cos(t/2), t ∈ [-π, π]
e
u(t) = t, v(t) = -2cos(t/2), t ∈ [-π, π].
Logo, temos as curvas planas a1: [-π, π] → R2 e a2: [-π, π] → R2 tais que a1(t) = (u(t),v(t)) =
(t,2cos(t/2) e a2(t) = (u(t),v(t)) = (t,-2cos(t/2) que são levadas em C por Z, respectivamente (Figura 3.3).
a1
Z
a2
C
x
y
C
Curva plana que é levada na curva C contida no cilindro.
Figura 3.3
16
Como vimos no Capítulo I, uma parametrização do cone S: z2 = x2 + y2, z > 0, isométrica ao
plano Y(r, θ) = (rcos(θ), rsen(θ),0) , é a aplicação Y dada pela equação (I), definida no domínio V (equação
(II)). A constante g será determinada de acordo com as constantes a e b relativas ao cilindro S1.
Pela simetria do modelo, podemos construir duas vezes a parte correspondente a z ≥ 0. Portanto, é
suficiente determinar a curva (r(t),(θ(t)), tal que Y(r(t),(θ(t)) é a curva C1.
Igualando as parametrizações do cone S e de C1, obtemos:
( )
2
rcos 2θ = cos(t) + 1 ,
2
( )
2
rsen 2θ = sen(t) ,
2
t
r = 2 2 cos .
2
Se t ≠ π e t ≠ -π, então r(t) ≠ 0 e
( )
cos 2θ =
cos(t) + 1
.
2 cos( t / 2)
Da expressão anterior, considerando que
-
2π
3 2π
≤θ≤
, para
4
4
0 ≤ 2θ( t ) ≤ π
e
- π < 2θ( t ) ≤ 0 , temos respectivamente,
θ(t) =
 cos(t) + 1 
 cos(t) + 1 
2
2
 e θ(t) = −
 , sendo t ∈ [0, π).
arccos
arccos
2
2
 2cos(t/2) 
 2cos(t/2) 
Logo, temos as curvas b1: [0, π] → R2 e b2: [0, π] → R2 tais que

 cos(t) + 1  
2
 , se t ∈ [0, π)
arccos
 2 2 cos(t / 2),

2
 2cos(t/2)  

b1 ( t ) = 
2π 

, se t = π
0,


4


e

 cos(t) + 1  
2
 , se t ∈ [0, π)
arccos
 2 2 cos(t / 2),−

2
2cos(t/2)



b2 (t) = 
2π 


 0,- 4 , se t = π


que são levadas em C1 por Y e as curvas Y o b1 : [0, π] → R3 e Y o b 2 : [0, π] → R3 que são levadas em C1
pela isometria entre o plano e o cone S (Figura 3.4).
17
C
Y (b2(t))
φ
Y (b1(t))
x
y
Y
Y
b2
b1
Curva plana que é levada na curva C contida no cone.
Figura 3.4
Observemos que P(2,0,2) é o ponto de C que tem maior cota e Q(2,0,-2), o de menor cota. Para a
construção desse modelo, com relação ao domínio da parametrização Z(u,v) citado no início desse
capítulo, vamos considerar b = 2 +1/4 e a = -b (Figura 3.5). Desse modo a parte mais alta de S1 fica acima
de P e a parte mais baixa, abaixo de Q. Para que o cone tenha a mesma altura do cilindro S1, consideremos
a sua geratriz g =
b 2 + b 2 = b 2 . As figuras 3.5 e 3.6 representam, respectivamente, os moldes do
retângulo com os traços de a1 e a2 e do setor com os traços das curvas Y o b1 e Y o b 2 , correspondentes ao
modelo da Figura 3.1. Seguem os comandos para a obtenção dessas curvas.
Comandos correspondentes ao cilindro:
Comandos correspondentes ao cone:
with(plots):
with(plots):
rt:=2*sqrt(2)*cos(t/2);
a1:=plot([t,2cos(t/2),t=-Pi...Pi]):
thetat:=(sqrt(2)/2)*arccos((cos(t)+1)/(2*cos(t/2)));
a2:=plot([t,-2cos(t/2),t=-Pi...Pi]):
Co1:=plot([rt*cos(thetat),rt*sin(thetat),t=0...Pi]):
n1:=Pi,n2:=2+1/4;
Co2:=plot([rt*cos(-thetat),rt*sin(-thetat),t=0...Pi]):
Retangulo:=ploygonplot([[n1,n2], [-n1,n2], [-n1,-n2],
g:=sqrt(n2^2+n2^2); t1:=sqrt(2)*Pi/4;
[n1,-n2]):
Circunferencia:=plot([g*cos(t1),g*sin(t1),t=-t1...3*t1):
display([a1,a2,Retangulo],scaling=constrained);
Reta1:=plot([t*cos(-t1),rt*sin(-t1),t=0...g]):
Reta2:=plot([t*cos(3*t1),rt*sin(3*t1),t=0...g]):
display([Co1,Co2,Circunferência,Reta1,Reta2],scaling=
constrained);
18
Figura 3.5
Figura 3.6
19
Uma outra opção para construção de modelo é considerar, com relação ao cilindro, apenas a região
interior aos traçados das curvas a1 e a2 (Figura 3.7) e obter o modelo correspondente à Figura 3.8.
z
a2
Z
a1
x
y
Região entre as curvas planos a1 e a2 e sua imagem no cilindro obtida por isometria.
Figura 3.7
Outra opção de modelo de Cone e cilindro
Figura 3.8
20
Aplicação ao Cálculo
O volume do sólido D limitado pelo cone z2 = x2 +y2 e pelo cilindro (x-1)2 + y2 = 1 é dado por
Vol =
∫∫∫ dxdydz .
D
Utilizando coordenadas cilíndricas, temos
Vol =
π2
2cos(θ)
∫ −π 2 ∫0
π2
r
2cos(θ)
∫-rrdzdrdθ = ∫ −π 2 ∫0
2r 2drdθ =
=
π2
2cos( θ)
∫ −π 2 ∫0
2r 2drdθ =
π2
∫ −π 2
16
cos3 (θ)dθ =
3
80
.
9
Para calcular a área do cone z = x 2 + y 2 delimitada pelo cilindro (x-1)2 + y2 = 1, consideremos
U = {(u,v)∈R2 / (u-1)2 + v2 ≤ 1} e a parametrização do cone ϕ(x,y) = (x,y, z = x 2 + y 2 ), (x,y) ∈ U.
Assim,
Acone =
∫∫
U
∂ϕ ∂ϕ
x dxdy =
∂x ∂y
2
∫∫ dxdy =
2A( U) =
2π .
U
Para calcular a área do cilindro (x-1)2 + y2 = 1 delimitada pelo cone z = x 2 + y 2 , consideremos a
t
t
U = {(u,v)∈R2 / − 2 cos  ≤ v ≤ 2 cos  , -π ≤ u ≤ π} e a parametrização do cilindro ϕ(t,z) =
2
2
(cos(t)+1, sen(t), z), (t,v) ∈ U. Daí,
Acilindro =
∫∫
U
∂ϕ ∂ϕ
x dtdz =
∂t ∂z
π
2 cos (t 2 )
∫ −π ∫ -2 cos(t 2)
dtdz =
π
t
∫ −π8 cos 2 dt = 16 .
Na última integral acima, podemos observar que a área do cilindro coincide com a área da região
limitada pelos traços das curvas a1 e a2, apresentada na Figura 3.7, usando integral simples, o que era
esperado em consequência da parametrização escolhida e da isometria entre o cilindro e o plano.
21
APÊNDICE 1
Alguns conceitos e resultados de Geometria Diferencial
t
•
∫
Definição: A aplicação s( t ) = | α´(t ) | dt é denominada de função comprimento de arco da curva
to
α a partir de to.
•
Definição: Uma curva regular α: I → R3 regular (α´(t) ≠ 0, ∀ t ∈ I) é dita parametrizada pelo
comprimento de arco, se para cada t0, t1 ∈ I, t0 ≤ t1 o comprimento de arco da curva α de t0, a t1 é
igual a t1 – t0.
•
Teorema: Uma curva α: I → R3 está parametrizada pelo comprimento de arco, se e só se, ∀ t ∈ I,
|α´(t)| = 1
•
Proposição: Seja α: I → R3 uma curva regular e s: I → s(I) a função comprimento de arco de α a
partir de t0. Então, existe a função inversa s-1 de s, definida no intervalo J = s(I) e β = α o s-1 é uma
reparametrização de α, onde β está parametrizada pelo comprimento de arco.
•
Definição: Uma superfície parametrizada regular, ou simplesmente uma superfície é uma aplicação
X: U → R3, onde U é um aberto do R2, tal que:
a) X é diferenciável de classe C∞;
b) Para todo q = (u,v) ∈ U a diferencial de X em q, dXq:R2 → R2, é injetora.
•
Definição: O plano tangente a X em q = (u0,v0) é o conjunto de todos os vetores tangentes a X em
q, que denotamos por TqX..
•
Definição: Seja X: U ⊂ R2 → R3 uma superfície parametrizada regular, para qualquer q ∈ U a
aplicação Iq: TqX → R; Iq(w) = <w,w> = | w |2 é denominada a primeira forma quadrática de X em
q.
E(q) = <Xu,Xu>(q), F(q) = <Xu,Xv>(q), e G(q) = <Xv,Xv> são denominados coeficientes da
primeira forma quadrática.
22
•
Definição: Sejam X(u,v) e X (u,v), (u,v) ∈ U ⊂ R2 superfícies simples, isto é, X e X são injetivas.
Dizemos que X e X são isométricas, se para todo (u,v) ∈ U os coeficientes da primeira forma
quadrática de X e X coincidem.
Neste caso, X: U → X(U) = S e X : U → X (U) = S são bijetoras, e φ: X oX-1: S→ S é chamada
de isometria. Então φ preserva “distância” entre os pontos correspondentes nos traços das
superfícies.
23
BIBLIOGRAFIA
[1] Carmo, M. do – Differenhcial Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, 1976.
[2]Teneblat, Keti – Introdução à Geometria Diferencial, Editora UNB, 1990.
[3] ____________ - Isometrias do Plano e Construção de Modelos Concretos com Superfícies
Cilíndricas e Cônicas.
24