DESCONTO SIMPLES
Roteiro
Roteiro
Introdução
Introdução
Introdução
Valor Nominal
N
Desconto
Valor Atual
D
A
Taxa de Desconto
d
Tempo de antecipação
0
1
2
3
t
Fonte: PENIDO, Eduardo. Matemática Financeira Essencial. São Paulo: Atlas, 2008.
Introdução
Desconto
Valor
Nominal
Valor
Atual
Introdução
Valor Nominal
Valor Atual
Valor acumulado
Valor presente
Valor de face
Valor descontado
Valor do título
Valor líquido
Valor futuro
Valor recebido
Valor de resgate
Valor antecipado
Títulos de Crédito
Títulos de Crédito
Títulos de Crédito
Títulos de Crédito
Fonte: FolhaOnline. Disponível em:
http://www1.folha.uol.com.br/folha/dinheiro/ult91u311431.shtml. Acesso em: 28 jun 10.
Modalidades de Desconto
Desconto Racional (Dr)
É a modalidade de desconto simples calculado sobre o
valor atual do título, em uma taxa fixada e durante o
tempo correspondente, da mesma maneira como são
calculados os juros simples.
Não é normalmente utilizado em operações de
mercado, mas é usado como um método para
determinar o preço em transações com ativos
financeiros ou em recompra de títulos de crédito.
No Brasil, o desconto racional simples não é muito
praticado por um motivo muito simples: esta
modalidade é desfavorável para aquele que possui os
recursos financeiros e que terá de conceder um
desconto em função de uma negociação.
Esta modalidade será sempre mais interessante para
quem solicita o desconto, mas como na maioria dos
casos, quem tem a posse dos recursos financeiros,
normalmente, é quem determina a metodologia de
cálculo da operação, torna-se uma prática pouco usada.
Desconto Racional (Dr)
Dr = A. d . t
N .d .t
Dr 
(1  d .t )
N
Ar 
(1  d .t )
Desconto Racional (Dr)
(TCDF 1994) Um título com valor nominal de R$
10.000,00 foi resgatado dois meses antes do
vencimento, sendo-lhe por isso concedido um
desconto racional simples, à taxa de 5% ao mês.
Nesse caso, de quanto foi o valor pago pelo título?
N
A
(1  d .t )
N = R$ 10.000,00
t = 2 meses
d = 5% ao mês
Desconto Racional (Dr)
(TCDF 1994) Um título com valor nominal de R$
10.000,00 foi resgatado dois meses antes do
vencimento, sendo-lhe por isso concedido um
desconto racional simples, à taxa de 5% ao mês.
Nesse caso, de quanto foi o valor pago pelo título?
N
A
(1  d .t )
10.000,00
A
(1  0,05.2)
A = R$ 9.090,91
Desconto Racional (Dr)
(BNB 2004 ACEP) Em uma operação de
desconto racional com antecipação de 5
meses, o valor descontado foi de R$ 8.000,00 e
a taxa de desconto foi 5% ao mês. Qual o
valor de face desse título?
a) R$ 10.000,00
b) R$ 10.666,67
c) R$ 32.000,00
d) R$ 40.000,00
e) R$ 160.000,00
N
A
(1  d .t )
Desconto Racional (Dr)
(BNB 2004 ACEP) Em uma operação de
desconto racional com antecipação de 5
meses, o valor descontado foi de R$ 8.000,00 e
a taxa de desconto foi 5% ao mês. Qual o
valor de face desse título?
a) R$ 10.000,00
b) R$ 10.666,67
c) R$ 32.000,00
N
8.000,00 
(1  0,05.5)
d) R$ 40.000,00
e) R$ 160.000,00
N = R$ 10.000,00
Desconto Racional (Dr)
(TTN 89 ESAF) Utilizando o desconto
racional, o valor que devo pagar por um
título com vencimento daqui a 6 meses, se o
seu valor nominal for de $ 29.500,00 e eu
desejo ganhar 36% ao ano, é de:
a) $ 24.000,00
b) $ 25.000,00
c) $ 27.500,00
d) $ 18.800,00
e) $ 6.240,00
N
A
(1  d .t )
Desconto Racional (Dr)
(TTN 89 ESAF) Utilizando o desconto
racional, o valor que devo pagar por um
título com vencimento daqui a 6 meses, se o
seu valor nominal for de $ 29.500,00 e eu
desejo ganhar 36% ao ano, é de:
a) $ 24.000,00
b) $ 25.000,00
c) $ 27.500,00
29500,00
A
(1  0,36.0,5)
A
d) $ 18.800,00
29500,00
1,18
e) $ 6.240,00
A  R$25.000,00
Desconto Comercial (Dc)
É o juro do valor nominal do título, à taxa
estipulada pelo banco, durante o tempo que
decorre da data da transação ao vencimento
do mesmo.
É a modalidade utilizada pelos bancos para cálculo
de remuneração do capital; representa os juros
simples calculados sobre o valor nominal do título
de crédito (por fora).
Esta modalidade de desconto é muito utilizada nas
operações comerciais e principalmente nas operações
bancárias, tendo em vista que para as instituições
financeiras este tipo de operação é muito mais interessante
do ponto de vista financeiro do que a operação de
desconto racional simples. (ALMEIDA, 2008, p. 89).
Desconto Comercial (Dc)
No Brasil, como na maioria dos países, tomase para desconto comercial o juro simples
ordinário do valor nominal, sendo freqüente
calculá-lo segundo a regra dos banqueiros.
A = N (1 – d. t)
Dc = N . d . t
Desconto Comercial (Dc)
(Auditor Fiscal de Fortaleza 1998 ESAF) Qual o
valor hoje de um título de valor nominal de R$
24.000,00, vencível ao fim de 6 meses, a uma
taxa de 40% ao ano, considerando um desconto
simples comercial?
a) R$ 19.200,00
b) R$ 20.000,00
c) R$ 20.400,00
d) R$ 21.000,00
e) R$ 21.600,00
A = N (1 – d. t)
Desconto Comercial (Dc)
(Auditor Fiscal de Fortaleza 1998 ESAF) Qual o
valor hoje de um título de valor nominal de R$
24.000,00, vencível ao fim de 6 meses, a uma
taxa de 40% ao ano, considerando um desconto
simples comercial?
a) R$ 19.200,00
b) R$ 20.000,00
c) R$ 20.400,00
d) R$ 21.000,00
e) R$ 21.600,00
A = N (1 – d. t)
A = 24000 (1 – 0,4 . 0,5)
A = 24000 (1 – 0,2)
A = 24000 . 0,8
A = R$ 19.200,00
Desconto Comercial (Dc)
(ATE/MS 2001 ESAF) Uma nota promissória no
valor nominal de R$ 5.000,00 sofre um desconto
comercial simples a uma taxa de desconto de 4%
ao mês. Qual o valor do desconto, dado que a nota
foi resgatada três meses antes do seu vencimento?
a) R$ 416,70
b) R$ 524,32
c) R$ 535,71
d) R$ 555,00
e) R$ 600,00
Dc = N . d . t
Desconto Comercial (Dc)
(ATE/MS 2001 ESAF) Uma nota promissória no
valor nominal de R$ 5.000,00 sofre um desconto
comercial simples a uma taxa de desconto de 4% ao
mês. Qual o valor do desconto, dado que a nota foi
resgatada três meses antes do seu vencimento?
a) R$ 416,70
b) R$ 524,32
c) R$ 535,71
d) R$ 555,00
e) R$ 600,00
Dc = N . d . t
Dc = 5000,00 . 0,04 . 3
Dc = R$ 600,00
[f] [REG] [f] [2]
5000 [CHS] [PV]
48 [i] 90 [n]
[f] [INT]
Desconto Comercial (Dc)
(Fiscal de Fortaleza 2003 ESAF) Um título no
valor nominal de R$ 20.000,00 sofre um
desconto comercial simples de R$ 1.800,00
três meses antes de seu vencimento. Calcule a
taxa mensal de desconto aplicada.
a) 6%
b) 5%
c) 4%
d) 3,3%
e) 3%
Dc = N . d . t
Desconto Comercial (Dc)
(Fiscal de Fortaleza 2003 ESAF) Um título no
valor nominal de R$ 20.000,00 sofre um desconto
comercial simples de R$ 1.800,00 três meses
antes de seu vencimento. Calcule a taxa mensal
de desconto aplicada.
a) 6%
b) 5%
c) 4%
d) 3,3%
e) 3%
Dc = N . d . t
1800 = 20000 . d . 3
1800 = 60000 . d
d = 3% a.m.
Desconto Comercial (Dc)
Desconto Comercial Bancário (DB)
É importante registrar que em operações de
desconto com bancos comerciais são geralmente
cobradas taxas adicionais de desconto a pretexto de
cobrir
certas
despesas
administrativas
e
operacionais incorridas pela instituição financeira.
Estas taxas são geralmente prefixadas e incidem
sobre o valor nominal do título uma única vez no
momento do desconto. (ALMEIDA, 2008, p. 92)
Desconto Comercial (Dc)
Desconto Comercial Bancário (DB), é por
definição, o desconto comercial simples acrescido
de uma taxa prefixada, calculada pelo banco sobre
o valor nominal, que independe do número de
períodos de antecipação do título a ser
descontado. (Penido, 2007, p. 43).
DB = N (d . t + a)
AB = N [1 - (d . t + a)]
a representa a taxa de despesa administrativa
ou taxa de serviço cobrada pelos bancos em
suas operações de desconto.
Desconto Comercial (Dc)
(COMPAGÁS PR 2002) Determinada empresa
encaminhou ao banco um lote de duplicatas para serem
descontadas no valor de R$ 40.000,00, com vencimento
em um mês. Foi cobrada uma taxa de desconto de 5% ao
mês referente aos juros da operação e despesas
bancárias no valor de R$ 400,00. O valor recebido pela
empresa foi de:
a) R$ 40.000,00
b) R$ 39.200,00
c) R$ 37.600,00
d) R$ 39.600,00
e) R$ 38.000,00
AB = N [1 - (d . t + a)]
Desconto Comercial (Dc)
(COMPAGÁS PR 2002) Determinada empresa
encaminhou ao banco um lote de duplicatas para serem
descontadas no valor de R$ 40.000,00, com vencimento
em um mês. Foi cobrada uma taxa de desconto de 5% ao
mês referente aos juros da operação e despesas
bancárias no valor de R$ 400,00. O valor recebido pela
empresa foi de:
a) R$ 40.000,00
b) R$ 39.200,00
c) R$ 37.600,00
d) R$ 39.600,00
e) R$ 38.000,00
AB = N [1 - (d . t + a)]
AB = 40000 [1 - (0,05 . 1 + 0,01)]
AB = 40000 (1 – 0,06)
AB = 37.600,00
Relação entre as Modalidades de Desconto
Comparando os descontos (Comercial e
Racional), pode-se concluir que o desconto
comercial é sempre maior que o desconto
racional. (CASTANHEIRA e SERENATO,
2007, p. 44).
Dc = Dr (1 + d . t)
Relação entre as Modalidades de Desconto
(ACE MICT 1998 ESAF) O desconto simples
racional de um título descontado à taxa de 24%
ao ano, três meses antes de seu vencimento, é de
R$ 720,00. Calcular o valor do desconto
correspondente caso fosse um desconto simples
comercial.
a) R$ 43,20
b) R$ 676,80
c) R$ 720,00
d) R$ 763,20
e) R$ 12.000,00
Dc = Dr (1 + d . t)
Relação entre as Modalidades de Desconto
(ACE MICT 1998 ESAF) O desconto simples
racional de um título descontado à taxa de 24% ao
ano, três meses antes de seu vencimento, é de R$
720,00. Calcular o valor do desconto correspondente
caso fosse um desconto simples comercial.
a) R$ 43,20
b) R$ 676,80
c) R$ 720,00
d) R$ 763,20
e) R$ 12.000,00
Dc = 720 (1 + 0,02 . 3)
Dc = 720 (1,06)
Dc = R$ 763,20
Relação entre as Modalidades de Desconto
Dc = Dr (1 + d . t)
(ESAF AFRF 1998) O desconto comercial simples de um
título quatro meses antes do seu vencimento é de R$
600,00. considerando uma taxa de 5% ao mês, obtenha o
valor correspondente no caso de um desconto racional
simples.
a) R$ 400,00
b) R$ 500,00
c) R$ 600,00
d) R$ 700,00
e) R$ 800,00
Relação entre as Modalidades de Desconto
Dc = Dr (1 + d . t)
(ESAF AFRF 1998) O desconto comercial simples de um
título quatro meses antes do seu vencimento é de R$
600,00. considerando uma taxa de 5% ao mês, obtenha o
valor correspondente no caso de um desconto racional
simples.
a) R$ 400,00
b) R$ 500,00
c) R$ 600,00
d) R$ 700,00
e) R$ 800,00
Relação entre as Modalidades de Desconto
Dc .Dr
N
Dc  Dr
(TTN ESAF) O desconto simples comercial de um
título é de $ 860,00, a uma taxa de 60% ao ano. O
valor do desconto simples racional do mesmo
título é de $ 781,82, mantendo-se a taxa de juros e o
tempo. Nessas condições, o valor nominal do título
é de:
a) $ 8.400,00
b) $ 8.500,00
c) $ 8.600,00
d) $ 8.700,00
e) $ 8.900,00
Relação entre as Modalidades de Desconto
Dc .Dr
N
Dc  Dr
(TTN ESAF) O desconto simples comercial de um
título é de $ 860,00, a uma taxa de 60% ao ano. O
valor do desconto simples racional do mesmo
título é de $ 781,82, mantendo-se a taxa de juros e o
tempo. Nessas condições, o valor nominal do título
é de:
a) $ 8.400,00
b) $ 8.500,00
c) $ 8.600,00
d) $ 8.700,00
e) $ 8.900,00
N
860  781,82
860  781,82
Relação entre as taxas de desconto
A taxa de juros efetiva (desconto racional)
de qualquer operação financeira é aquela que
é aplicada sobre o capital (Valor Atual) e
resulta no montante (Valor Nominal).
(Penido, 2007, p. 41).
A taxa de juros no desconto comercial
simples é aplicada sobre o valor nominal e,
portanto, não representa a taxa efetiva da
operação financeira. (Penido, 2007, p. 42).
No regime de juros simples, a taxa de desconto d
(“por fora”, ou comercial) é comumente utilizada
apenas com o nome de taxa de desconto. A taxa de
juros i (taxa de desconto “por dentro”, ou racional)
é mais conhecida como taxa de rentabilidade.
(Puccini, 2004, p. 36).
Relação entre as taxas de desconto
A taxa efetiva de uma operação de desconto comercial será
sempre superior à taxa de desconto comercial divulgada, em
função de esta última incidir sobre o valor futuro ou nominal da
operação. (BRUNI e FAMÁ, 2003, p. 70).
d
d ef 
(1  dt )
dc 
d ef
(1  d ef .t )
Relação entre as taxas de desconto
(CEF) Um determinado banco realiza operações
de desconto utilizando a taxa de desconto simples
de 2,8% a.m. A taxa efetiva mensal cobrada numa
operação com prazo de 45 dias é de,
aproximadamente:
a) 4,05%
b) 3,80%
c) 2,90%
d) 2,88%
e) 2,69%
d
d ef 
(1  dt )
Relação entre as taxas de desconto
(CEF) Um determinado banco realiza operações
de desconto utilizando a taxa de desconto simples
de 2,8% a.m. A taxa efetiva mensal cobrada numa
operação com prazo de 45 dias é de,
aproximadamente:
a) 4,05%
b) 3,80%
c) 2,90%
d) 2,88%
e) 2,69%
0,028
d ef 
(1  0,028.1,5)
0,028
d ef 
0,958
Relação entre as taxas de desconto
(Fiscal de Rendas MS) Uma empresa descontou
em um banco uma duplicata de R$ 2.000,00, 2,5
meses antes de seu vencimento, a uma taxa de
desconto comercial de 4% a.m. A taxa efetiva de
juros da operação foi de:
a) 10%
b) 10,44%
c) 10,77%
d) 11,11%
Relação entre as taxas de desconto
(Fiscal de Rendas MS) Uma empresa descontou
em um banco uma duplicata de R$ 2.000,00, 2,5
meses antes de seu vencimento, a uma taxa de
desconto comercial de 4% a.m. A taxa efetiva de
juros da operação foi de:
a) 10%
b) 10,44%
c) 10,77%
d) 11,11%
0,04
d ef 
(1  0,04.2,5)
0,04
d ef 
0,9
Relação entre as taxas de desconto
(ESAF Auditor Fiscal da Receita Federal 2005) Um
banco deseja operar a uma taxa efetiva de juros simples
de 24% ao trimestre, para operações de cinco meses.
Deste modo, o valor mais próximo da taxa de desconto
comercial trimestral que o banco deverá cobrar em suas
operações de 5 meses deverá ser igual a:
a) 19%
b) 18,24%
c) 17,14%
d) 22%
e) 24%
Relação entre as taxas de desconto
(ESAF Auditor Fiscal da Receita Federal 2005) Um
banco deseja operar a uma taxa efetiva de juros simples
de 24% ao trimestre, para operações de cinco meses.
Deste modo, o valor mais próximo da taxa de desconto
comercial trimestral que o banco deverá cobrar em
suas operações de 5 meses deverá ser igual a:
a) 19%
b) 18,24%
c) 17,14%
d) 22%
e) 24%
dc 
d ef
(1  d ef .t )
0,08
dc 
(1  0,08.5)
Relação entre as taxas de desconto
(Fundação VUNESP Analista Câmara Municipal/SP
2007) A P.W.U. S.A. recebe uma proposta de desconto
comercial para seus títulos de crédito do Banco
Aventura S.A., o qual cobrará a taxa de juros efetiva de
26% a.a., para uma antecipação de 6 meses. Portanto, a
taxa anual de desconto comercial requerida pelo banco é
de:
a) 22,10%
b) 23,01%
c) 24,73%
d) 25,56%
e) 26,00%
dc 
d ef
(1  d ef .t )
Relação entre as taxas de desconto
(Fundação VUNESP Analista Câmara Municipal/SP
2007) A P.W.U. S.A. recebe uma proposta de desconto
comercial para seus títulos de crédito do Banco
Aventura S.A., o qual cobrará a taxa de juros efetiva de
26% a.a., para uma antecipação de 6 meses. Portanto, a
taxa anual de desconto comercial requerida pelo banco é
de:
a) 22,10%
b) 23,01%
c) 24,73%
d) 25,56%
e) 26,00%
dc 
d ef
(1  d ef .t )
0,26
dc 
(1  0,26.0,5)
Relação entre as taxas de desconto
1 1
 t
dc dr
(Fiscal de Rendas/MS 2000 FGV) Uma empresa
descontou em um banco uma duplicata de R$
2.000,00 dois meses e meio antes do seu
vencimento, a uma taxa de desconto comercial de
4% a.m. A taxa efetiva de juros da operação no
período foi:
a) 10%
b) 10,44%
c) 10,77%
d) 11,11%
Relação entre as taxas de desconto
1 1
 t
dc dr
(Fiscal de Rendas/MS 2000 FGV) Uma empresa
descontou em um banco uma duplicata de R$
2.000,00 dois meses e meio antes do seu
vencimento, a uma taxa de desconto comercial de
4% a.m. A taxa efetiva de juros da operação no
período foi:
a) 10%
b) 10,44%
c) 10,77%
d) 11,11%
1
1
  2,5
0,04 d r
Relação entre as taxas de desconto
(CVM 2003 FCC) Determinado título é
descontado 6 meses antes de seu vencimento à
taxa de desconto comercial simples de 6% a.m. A
taxa efetiva semestral correspondente a esta
operação é de:
a) 24%
b) 32%
c) 36%
d) 42,50%
e) 56,25%
1 1
 t
dc dr
Relação entre as taxas de desconto
(CVM 2003 FCC) Determinado título é
descontado 6 meses antes de seu vencimento à
taxa de desconto comercial simples de 6% a.m. A
taxa efetiva semestral correspondente a esta
operação é de:
a) 24%
b) 32%
c) 36%
d) 42,50%
e) 56,25%
1 1
 t
dc dr
Taxa média de desconto
(AFC STN 2005 ESAF) Considere três títulos de
valores nominais iguais a R$ 5.000,00, R$ 3.000,00 e R$
2.000,00. Os prazos e as taxas de desconto bancário
simples são, respectivamente, três meses a 6% ao mês,
quatro meses a 9% ao mês e dois meses a 60% ao ano.
Desse modo, o valor mais próximo da taxa média
mensal de desconto é igual a:
a) 7%
b) 6%
c) 6,67%
d) 7,5%
e) 8%
dm 
 N .d .t
 N .t
Taxa média de desconto
(AFC STN 2005 ESAF) Considere três títulos de
valores nominais iguais a R$ 5.000,00, R$ 3.000,00 e R$
2.000,00. Os prazos e as taxas de desconto bancário
simples são, respectivamente, três meses a 6% ao mês,
quatro meses a 9% ao mês e dois meses a 60% ao ano.
Desse modo, o valor mais próximo da taxa média
mensal de desconto é igual a:
a) 7%
b) 6%
c) 6,67%
d) 7,5%
e) 8%
dm 
5000.0,06.3  3000.0,09.4  2000.0,05.2
5000.3  3000.4  2000.2
Prazo médio de desconto
(Técnico Controle externo TCM/RJ 2004 FJG)
A empresa Topa-Tudo submete o seguinte
borderô de duplicatas à uma instituição financeira
para desconto:
tm
A taxa de desconto utilizada pela instituição financeira é
de 3,5% ao mês e independe dos prazos de vencimento
dos títulos. Assim, o prazo médio da operação de
desconto é, em dias, de:
a) 20
b) 18,73
c) 18,45
d) 17,43
N .d .t


 N .d
Prazo médio de desconto
(Técnico Controle externo TCM/RJ 2004 FJG)
A empresa Topa-Tudo submete o seguinte
borderô de duplicatas à uma instituição financeira
para desconto:
A taxa de desconto utilizada pela instituição financeira é
de 3,5% ao mês e independe dos prazos de vencimento
dos títulos. Assim, o prazo médio da operação de
desconto é, em dias, de:
a) 20
b) 18,73
c) 18,45
d) 17,43
[f] [REG]
13 [ENTER]
50000 [+]
22 [ENTER]
40000 [+]
25 [ENTER]
20000 [+]
[g] [Xw]
Equivalência de Capitais
Dois ou mais capitais nominais, supostos com
datas de vencimento determinadas, dizem-se
equivalentes quando, descontados para uma data
focal, à mesma taxa de juros, e em idênticas
condições, produzem valores iguais. (BRUNI e
FAMÁ, 2009, p. 129)
Deve-se especificar o tipo de desconto, pois o
resultado da operação de desconto em juros
simples depende da modalidade adotada.
Mediante a aplicação da mesma taxa de juros,
fluxos de capitais somados igualam-se na mesma
data focal.
Equivalência de Capitais
(TTN 1992) Um negociante tem duas dívidas a pagar,
uma de $ 3.000,00 com 45 dias de prazo, e outra de $
8.400,00 pagável em 60 dias. O negociante quer
substituir essas duas dívidas por uma única, com 30 dias
de prazo. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial é
de 12% a.a. e usando a data zero, o valor nominal dessa
dívida será:
a) $ 11.287,00
b) $ 8.232,00
c) $ 9.332,00
d) $ 11.300,00
e) $ 8.445,00
Equivalência de Capitais
(TTN 1992) Um negociante tem duas dívidas a pagar,
uma de $ 3.000,00 com 45 dias de prazo, e outra de $
8.400,00 pagável em 60 dias. O negociante quer
substituir essas duas dívidas por uma única, com 30 dias
de prazo. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial é
de 12% a.a. e usando a data zero, o valor nominal dessa
dívida será:
a) $ 11.287,00
b) $ 8.232,00
c) $ 9.332,00
d) $ 11.300,00
e) $ 8.445,00
A=?
0
30
R$ 3.000,00
R$ 8.400,00
45
60
prazo (dias)