Aula 00
Curso: Raciocínio Lógico e Matemática
Professor: Custódio Nascimento
Curso: Raciocínio Lógico e Matemática p/ AFRFB
Teoria e Questões comentadas
Prof. Custódio Nascimento - Aula 00
APRESENTAÇÃO
Caros alunos e alunas,
Bem vindos ao curso online preparatório para o cargo de Auditor-Fiscal
da Receita Federal do Brasil.
Primeiramente, segue uma breve apresentação. Meu nome é Custódio
Nascimento, sou Engenheiro de Fortificação e Construção pelo Instituto
Militar de Engenharia, com Mestrado em Engenharia de Transportes pela
mesma escola. Fui militar por mais de 15 anos no Exército Brasileiro, antes de
resolver estudar para um concurso público no meio civil.
No mundo dos concursos, minhas principais conquistas até o momento
foram:
•
Em 2013, fui aprovado na prova escrita do concurso para Perito
da Polícia Federal, na área de Engenharia Civil, com menos de 3
meses de estudo, e convocado para as demais etapas do concurso,
das quais optei por não participar, por motivos de cunho pessoal;
•
Também em 2013, fui aprovado em 2º lugar no concurso para
Especialista em Regulação da Agência Nacional de Transportes
Terrestres, na área de Engenharia Civil, com cerca de 4 meses de
estudo;
•
Fui aprovado, ainda, nos concursos para Analista do Ministério
Público da União, na área de Perícia/Engenharia Civil, e para
Engenheiro Civil do Ministério da Saúde.
Vale ressaltar que consegui tais conquistas em tão pouco tempo,
mesmo tendo que conciliar o trabalho (40 horas semanais), a família (esposa
e 2 filhos) e o lazer sempre necessário.
Para quem se interessar, meu depoimento está disponível no site do
Exponencial Concursos.
No meu entendimento, isso serve de estímulo para todos. Se você
trabalha, tem família e (ou) pouco tempo para estudar, saiba que há maneiras
de você aproveitar sua experiência de vida e, com uma preparação objetiva,
baseada em um material de qualidade, conseguir a sua aprovação no tão
sonhado concurso público.
Por outro lado, se você é jovem, recém-formado e (ou) conta com o
apoio dos seus pais para poder estudar muitas horas por dia, aproveite bem o
seu tempo com uma preparação de excelência, para não se perder no excesso
de conteúdo que qualquer edital é capaz de ter. Caso não saiba por onde
começar, ou qual caminho trilhar, nós estamos aqui para ajudar.
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E é justamente por isso que a equipe do Exponencial Concursos está
aqui, para fornecer o “atalho” que todo concurseiro deseja para atingir seus
objetivos.
Este curso será de Teoria e Exercícios de Raciocínio Lógico e
Matemática, com base no edital do último concurso (2014), mas garantimos
a atualização e inserção de qualquer novo conteúdo que a banca venha trazer,
quando da divulgação do edital.
A carreira de Auditor-Fiscal da Receita Federal é uma das melhores do
Executivo Federal, com um subsídio inicial de R$ 15.743,64, desde
janeiro/2015. O cargo exige diploma de nível superior em qualquer área,
com jornada de trabalho de 40 horas semanais.
O último certame foi conduzido pela ESAF, uma banca muito
tradicional, que já conduziu vários concursos para a Receita Federal e outros
órgãos. Raciocínio Lógico, Matemática e Estatística são matérias muito
cobradas nos concursos da ESAF. O nosso objetivo será abordar todo o
conteúdo do edital, com exceção dos itens 7 e 8, que contêm os assuntos de
Análise Combinatória e Estatística, e que serão tratados no curso de Estatística
do Profº Fábio Amorim.
Por ser um curso de Teoria e Exercícios, procuraremos fazer um paralelo
entre teoria e questões de provas. A parte teórica será abordada de forma
objetiva, concisa e esquematizada. O conteúdo não estará voltado ao ensino
da disciplina, nos moldes acadêmicos tradicionais, mas sim, trará
objetivamente os conceitos necessários e suficientes à resolução das questões.
Os assuntos de Raciocínio Lógico, Matemática, Estatística e Matemática
Financeira foram cobrados no último certame na Prova 1 (P1), com 10
questões de peso 1, representando 14,3% da P1 e 4,8% das provas
objetivas! É importante lembrarmos que a pontuação mínima a ser atingida é
de 40% em cada disciplina e 60% no conjunto das provas (126 pontos
na P1 + P2). Portanto, você não pode deixar de estudar nenhuma disciplina.
O nosso curso terá mais de 500 questões comentadas, com
prioridade para as questões da ESAF cobradas em provas recentes. Sempre
que for necessário complementar o entendimento do assunto tratado, serão
utilizadas questões de outras bancas, tais como CESPE, FGV e FCC.
Daremos prioridade, também, para as questões de provas de
concursos de nível superior, já que este é o nível exigido na prova para a qual
estamos nos preparando.
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Histórico e análise das provas de
Raciocínio Lógico
Analisamos as últimas provas de AFRFB (2014, 2012 e 2009), para
tentarmos traçar um histórico da cobrança de questões sobre cada assunto.
Todas elas foram conduzidas pela ESAF, e os assuntos foram distribuídos
conforme quadro abaixo:
Provas AFRFB (2014, 2012 e 2009)
Quantidade
2014
2012
2009
Assunto
Estruturas lógicas
Lógica de argumentação
Diagramas lógicos
Trigonometria
Matrizes, Determinantes e Solução de Sistemas
Lineares
Álgebra
Combinações, Arranjos e Permutação
Probabilidade, Variáveis Aleatórias, Principais
Distribuições
de
Probabilidade,
Estatística
Descritiva, Amostragem, Teste de Hipóteses e
Análise de Regressão
Geometria Básica
Juros Simples e Compostos, Taxas de Juros,
Desconto, Equivalência de Capitais, Anuidades e
Sistemas de Amortização
Compreensão e elaboração da lógica das
situações por meio de: raciocínio matemático;
raciocínio sequencial; orientação espacial e
temporal; formação de conceitos; discriminação
de elementos
Total de itens na prova
2
1
1
3
1
2
-
1
2
2
1
-
2
1
2
1
2
5
6
2
1
2
-
1
1
1
3
4
10
20
20
Vejamos, então, qual será o cronograma do nosso curso.
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Aula
Assunto
Data
00
Proporções; regras de proporcionalidade
Disponível
01
Lógica sentencial; tabela-verdade
28/02/2015
02
Equivalência lógica; negações
07/03/2015
03
Lógica de argumentação
14/03/2015
04
Diagramas lógicos
21/03/2015
05
Associações lógicas
28/03/2015
06
Questões complementares – Raciocínio Lógico
04/04/2015
07
11/04/2015
08
Operações numéricas; frações; porcentagem;
orientação temporal
Conjuntos; intervalos; operações com conjuntos
09
Equações de 1º e 2º graus; sistemas
25/04/2015
10
02/05/2015
12
Progressões aritméticas e geométricas; raciocínio
sequencial
Unidades de medidas; geometria básica;
orientação espacial; Trigonometria
Funções de 1º e 2º graus; gráficos; inequações
13
Matrizes, determinantes e sistemas lineares
23/05/2015
14
Questões complementares – Matemática
30/05/2015
15
Juros simples; Juros compostos
06/06/2015
16
Descontos
13/06/2015
17
Equivalência de capitais; anuidades
20/06/2015
18
Sistemas de amortização
27/06/2015
19
Questões complementares – Matemática
Financeira
04/07/2015
11
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09/05/2015
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Aula 00 – Proporções e regras de proporcionalidade de grandezas
Assunto
Página
1- Proporções e regras de proporcionalidade
06
2- Questões comentadas
17
3- Questões apresentadas na aula
40
4- Gabarito
47
1- Proporções e regras de proporcionalidade
1.1 – Proporções com números
Quatro números racionais A, B, C e D, todos diferentes de zero, formam
nessa ordem uma proporção quando:
=
Essa mesma proporção pode ser indicada da seguinte maneira:
∶
=
∶
Os números A, B, C e D são denominados termos, sendo que A e D são
os extremos, enquanto que B e C são os meios, conforme o esquema a
seguir:
∶
=
∶
meios
extremos
Os números A, B, C e D são chamados, respectivamente, 1º, 2º, 3º e 4º
termos:
1º termo
3º termo
=
2º termo
4º termo
Os números A e C são os antecedentes e os números B e D são os
consequentes:
antecedentes
=
consequentes
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Constante de proporcionalidade
A divisão entre A e B e a divisão entre C e D, é uma constante k,
denominada constante de proporcionalidade dessa razão:
=
=
1.2 – Propriedades das proporções
Propriedade fundamental
A propriedade fundamental das proporções é que o produto dos meios
é igual ao produto dos extremos, isto é:
=
⟹
∙
=
∙
Propriedade da soma ou da diferença
A soma ou a diferença entre os dois primeiros termos de uma proporção
está para o primeiro termo, assim como a soma ou a diferença entre os dois
últimos está para o terceiro termo, isto é:
+
−
=
=
+
−
A soma ou a diferença entre os dois primeiros termos de uma proporção
está para o segundo termo, assim como a soma ou a diferença entre os dois
últimos está para o quarto termo, isto é:
+
−
=
=
+
−
Vamos a um exemplo de como podemos empregar tal propriedade em
uma questão de prova:
(ESAF/ Engenheiro - Ministério da Fazenda / 2013) Em
uma secretaria do Ministério da Fazenda, trabalham 63 pessoas. A razão entre
o número de homens e o número de mulheres é igual 4/5. A diferença entre o
número de mulheres e o número de homens que trabalham nessa secretaria é
igual a:
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a) 8
b) 7
c) 6
d) 9
e) 5
Resolução:
Sendo H e M a quantidade de homens e mulheres na repartição, podemos
escrever os dados da questão:
Na secretaria trabalham 63 pessoas:
+
= 63
A razão entre o número de homens e o número de mulheres é igual 4/5:
=
4
5
Para resolver a questão, vamos empregar a propriedade da soma entre os dois
primeiros termos:
+
Ora, sabemos que
anterior:
+
=
4+5
5
= 63, então podemos substituir tal valor na equação
63
=
4+5
63 9
⟹
=
5
5
Aplicando a propriedade fundamental, ficamos com:
63 ∙ 5 = 9 ∙
⟹
=
63 ∙ 5
9
Simplificando por 9, temos:
= 7 ∙ 5 = 35
+
= 63 ⟹
+ 35 = 63 ⟹
= 63 − 35 = 28
Logo, temos que há 35 mulheres e 28 homens na secretaria, o que significa
que a diferença entre o número de mulheres e o número de homens é de:
−
= 35 − 28 = 7
A alternativa B é a resposta correta.
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Propriedade da
consequentes
soma
ou
diferença
dos
antecedentes
e
A soma ou a diferença entre os antecedentes está para a soma ou a
diferença entre os consequentes, assim como cada antecedente está para o
seu consequente, isto é:
+
+
=
=
−
−
+
+
=
=
−
−
Esta propriedade será muito importante na resolução das questões de
grandezas diretamente e inversamente proporcionais, como veremos a seguir.
1.3 – Grandezas direta e indiretamente proporcionais
Grandezas Diretamente Proporcionais
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando
uma delas, a outra também aumenta na mesma proporção, ou,
diminuindo uma delas, a outra também diminui na mesma proporção.
Aumenta
Aumenta
Se duas grandezas X e Y são diretamente proporcionais, os números
que expressam essas grandezas variam na mesma razão, isto é, existe uma
constante K tal que:
=
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Grandezas Inversamente Proporcionais
Duas
grandezas
são
inversamente
proporcionais
quando,
aumentando uma delas, a outra diminui na mesma proporção, ou,
diminuindo uma delas, a outra aumenta na mesma proporção.
Aumenta
Diminui
Se duas grandezas X e Y são inversamente proporcionais, os números
que expressam essas grandezas variam na razão inversa, isto é, existe uma
constante K tal que:
∙
Vejamos como isso costuma ser cobrado em prova:
(ESAF / Assistente Técnico Administrativo – Ministério
da Fazenda / 2014) O lucro da empresa de Ana, Beto e Carina é dividido em
partes diretamente proporcionais aos capitais que eles empregaram. Sabendose que o lucro de um determinado mês foi de 60 mil reais e que os capitais
empregados por Ana, Beto e Carina foram, respectivamente, 40 mil reais, 50
mil reais e 30 mil reais, calcule a parte do lucro que coube a Beto.
a) 20 mil reais
b) 15 mil reais
c) 23 mil reais
d) 25 mil reais
e) 18 mil reais
Resolução: Sejam A, B e C o lucro que Ana, Beto e Carina receberam,
respectivamente. A questão afirma que os capitais empregados por Ana, Beto
e Carina foram, respectivamente, 40 mil reais, 50 mil reais e 30 mil reais, e
que o lucro será dividido proporcionalmente a tais capitais, o que significa que
temos a seguinte relação:
40000
50000
30000
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Podemos simplificar a proporção anterior por 10000, ficando com:
4
=
5
=
3
Para resolver a questão, empregamos
antecedentes e consequentes:
4
=
5
=
3
=
a
propriedade
4
5
=
3
=
soma
dos
+ +
4+5+3
Como a soma dos lucros foi dada no enunciado,
4 + 5 + 3 = 12, podemos substituir os valores:
=
da
+
+
= 60000 , e como
60000
= 5000
12
Agora, podemos calcular o valor do lucro de Beto:
5
= 5000 ⟹
= 5 ∙ 5000 = 25000
A alternativa D é a resposta correta.
1.4 – Regra de três simples e composta
Regra de três é um processo de resolução de problemas que envolvem
três valores conhecidos relacionados a uma variável. O objetivo do processo é
determinar o valor dessa variável.
Há dois tipos de regra de três: a simples e a composta.
Em qualquer dos tipos, um passo fundamental para a resolução das
questões é descobrir a relação entre os valores dados e a grandeza
procurada, isto é, descobrir se são direta ou inversamente proporcionais.
Para tanto, temos que fazer tal verificação em cada problema que formos
resolver, como mostraremos nas questões.
Regra de três simples direta
Uma regra de três simples direta é uma forma de relacionar
grandezas diretamente proporcionais. Vejamos um exemplo:
(ESAF / Especialista em Políticas Públicas e Gestão
Governamental – Ministério do Planejamento, Orçamento e Gestão /
2009) Uma picape para ir da cidade A para a cidade B gasta dois tanques e
meio de óleo diesel. Se a distância entre a cidade A e a cidade B é de 500 km
e neste percurso ele faz 100 km com 25 litros de óleo diesel, quantos litros de
óleo diesel cabem no tanque da picape?
A) 60
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B) 50
C) 40
D) 70
E) 80
Resolução: Primeiramente, calculamos a quantidade de combustível gasta no
percurso de A para B. Para tanto, empregamos uma regra de três, cuja
estrutura básica é:
km
litros
100
25
500
x
Agora temos que perceber se a relação entre as grandezas estudadas
(distância percorrida e combustível gasto) é de proporcionalidade direta ou
indireta. Ora, é fácil perceber que, se um veículo precisa percorrer uma
distância maior, ele gastará mais combustível. Isso significa que a relação é
diretamente proporcional.
Como a proporção é direta, mantemos a estrutura básica, ficando com:
km
litros
100
25
500
x
Antes de fazermos as contas, podemos simplificar a primeira coluna por 100, e
ficamos com:
km
litros
1
25
5
x
Agora, basta fazermos a “multiplicação cruzada”:
km
litros
1
25
5
x
5 ∙ 25 = 125
Já sabemos que a picape gasta 125 litros de combustível no percurso de A até
B, e que isso equivale a dois tanques e meio da picape, conforme o enunciado
da questão. Logo, para sabermos a capacidade do tanque, basta uma nova
regra de três:
tanque
litros
2,5
125
1
y
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Como a relação de proporcionalidade
“multiplicação cruzada”:
é
tanque
litros
2,5
125
1
y
2,5 ∙ " = 1 ∙ 125 ⟹ " =
direta,
basta
fazermos
a
125
= 50
2,5
Logo, o tanque tem capacidade de 50 litros.
A alternativa B é a resposta correta.
Regra de três simples inversa
Uma regra de três simples inversa é uma forma de relacionar
grandezas inversamente proporcionais.
A maneira mais fácil de se resolver tais problemas é com uma inversão
do posicionamento das variáveis, para posterior aplicação do método
diretamente proporcional. Exemplificaremos com uma questão de prova:
(FCC / Aprendiz – Companhia de Saneamento Básico
de São Paulo / 2012) Um automóvel faz certo percurso em 5 horas com
velocidade média de 72 km/h. Se a velocidade média fosse de 90 km/h, esse
mesmo percurso seria feito em
A) 6 horas.
B) 4 horas.
C) 3,5 horas.
D) 3 horas.
E) 2,5 horas.
Resolução:
A estrutura básica da regra de três deixa a questão da seguinte maneira:
velocidade
tempo
72
5
90
x
No entanto, ao analisarmos a relação entre a velocidade do veículo e o tempo
de deslocamento, notamos que, quando a velocidade aumenta, o tempo
diminui. Dessa forma, tais grandezas são inversamente proporcionais:
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velocidade
tempo
72
5
90
x
inv
Assim, temos que inverter a posição dos números da coluna que possui
proporção inversa, ficando com:
90
5
72
x
Feito isso, podemos aplicar a “multiplicação cruzada”:
90 ∙
90
5
72
x
= 72 ∙ 5 ⟹
=
72 ∙ 5
=4
90
Logo, o tempo será de 4 horas.
A alternativa B é a resposta correta.
Regra de três composta
Regra de três composta é um processo de relacionamento de
grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou uma
mistura dessas situações.
Explicaremos o método de resolução com o estudo de uma questão de
prova:
(CESPE / Analista Administrativo - Ciências Contábeis –
ANTAQ / 2009) Se 10 barcos, com capacidade de transportar 80 toneladas
cada um, fazendo o percurso entre dois portos, à velocidade de 10 nós,
durante 5 dias, podem transportar carga total de 1.000 toneladas,
desprezando-se eventuais atrasos decorrentes da chegada e da partida dos
portos, então, nas mesmas condições, 8 barcos precisarão ter uma capacidade
acima de 65 toneladas para transportar, entre os mesmos portos, carga total
de 900 toneladas, à velocidade de 12 nós, durante 6 dias.
Resolução:
O método funcional para resolver um problema dessa ordem é montar uma
tabela com duas linhas, sendo que a primeira linha indica as grandezas
relativas à primeira situação enquanto que a segunda linha indica os valores
conhecidos da segunda situação. É importante deixarmos a variável “x” na
última coluna, pois isso facilitará a resolução:
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barcos
ton/barco
velocidade
dias
ton
10
80
10
5
1000
8
65
12
6
x
O próximo passo é verificarmos quais grandezas são direta ou indiretamente
proporcionais à variável que contém o “x”. Ora, vemos que a quantidade, a
capacidade, a velocidade dos barcos e o tempo são diretamente proporcionais
à quantidade transportada. Assim, temos:
barcos
ton/barco
velocidade
dias
ton
10
80
10
5
1000
8
65
dir
dir
12
6
dir
dir
x
Logo, não precisamos fazer qualquer ajuste na tabela. Vamos fazer uma linha
de separação entre as primeiras colunas e a última:
10
80
10
5
1000
8
65
12
6
x
Podemos simplificar cada coluna pelos múltiplos (a primeira coluna por 2; a
segunda coluna por 5; a terceira por 2):
5
16
5
5
1000
4
13
6
6
x
O próximo passo é multiplicar todas as colunas que ficaram à esquerda da
linha, e ficamos com:
5 ∙ 16 ∙ 5 ∙ 5 = 2000
1000
4 ∙ 13 ∙ 6 ∙ 6 = 1872
x
Neste ponto, recaímos em uma regra de três simples, e fazemos a
“multiplicação cruzada”:
2000 ∙
2000
1000
1872
x
= 1872 ∙ 1000 ⟹
= 936
Item errado.
Vejamos, agora, um
inversamente proporcional:
exemplo
com
aplicação
de
uma
grandeza
(ESAF / Analista Tributário – Receita Federal do Brasil
/ 2012) Para construir 120 m2 de um muro em 2 dias, são necessários 6
pedreiros. Trabalhando no mesmo ritmo, o número de pedreiros necessários
para construir 210 m2 desse mesmo muro em 3 dias é igual a
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a) 2.
b) 4.
c) 3.
d) 5.
e) 7.
Resolução:
Como vimos, começamos montando as linhas com as informações, deixando o
“x” na última coluna:
Área (m²)
Prazo (dias)
pedreiros
120
2
6
210
3
x
O próximo passo é verificarmos quais grandezas são direta ou indiretamente
proporcionais à quantidade de pedreiros. Ora, vemos que, quando
aumentamos a área do muro a ser construída, precisamos de mais pedreiros.
Logo, a área e os pedreiros são diretamente proporcionais. Porém, quando
aumentamos o prazo para a contrução do muro, necessitamos de menos
pedreiros. Logo, o prazo e os pedreiros são inversamente proporcionais.
Área (m²)
Prazo (dias)
pedreiros
120
2
6
210
3
dir
inv
x
Assim, temos que inverter a segunda coluna, e ficamos com:
120
3
6
210
2
x
Podemos simplificar os valores da primeira coluna por 30, e ficamos com:
4
3
6
7
2
x
Multiplicando as colunas, temos:
4 ∙ 3 = 12
6
7 ∙ 2 = 14
x
Neste ponto, recaímos em uma regra de três simples, e fazemos a
“multiplicação cruzada”:
12 ∙
12
6
14
x
= 6 ∙ 14 ⟹
=
6 ∙ 14 6 ∙ 7
=
=7
12
6
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Logo, são necessários 7 pedreiros.
A alternativa E é a resposta correta.
ATENÇÃO!!! Para resolver uma questão de regra de três composta,
devemos seguir a sequência:
1)
2)
3)
4)
5)
Listar os dados em colunas, deixando o “x” na última;
Avaliar se são direta ou indiretamente proporcionais;
Inverter as colunas indiretamente proporcionais;
Realizar a multiplicação em linha;
Resolver a regra de três simples.
2- Questões Comentadas
2.1 – Múltipla escolha
01. (ESAF / Assistente Técnico Administrativo – Ministério da Fazenda
/ 2014) Em 18 horas, 2 servidores analisam 15 processos. Trabalhando no
mesmo ritmo, o número de servidores necessários para analisar 10 processos
em 6 horas é igual a
a) 4.
b) 6.
c) 5.
d) 3.
e) 7
Resolução:
Começamos montando as linhas com as informações, deixando o “x” na última
coluna:
tempo (h)
processos
servidores
18
15
2
6
10
x
O próximo passo é verificarmos quais grandezas são direta ou indiretamente
proporcionais à quantidade de servidores.
Vemos que, quando aumentamos o tempo de análise, precisamos de menos
pedreiros. Logo, o tempo e os servidores são inversamente proporcionais.
Porém, quando aumentamos a quantidade de processos, necessitamos de
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mais servidores. Logo, os processos e os servidores são diretamente
proporcionais.
tempo (h)
processos
servidores
18
15
2
6
10
inv
dir
x
Assim, temos que inverter a primeira coluna, e ficamos com:
6
15
2
18
10
x
Podemos simplificar os valores da primeira coluna por 6 e os da segunda
coluna por 5, e ficamos com:
1
3
2
3
2
x
Multiplicando as colunas, temos:
1∙3=3
2
3∙2=6
x
Neste ponto, recaímos em uma regra de três simples, e fazemos a
“multiplicação cruzada”:
3∙
3
2
6
x
= 2∙6 ⟹
=
2 ∙ 6 12
=
=4
3
3
Logo, são necessários 4 servidores.
A alternativa A é a resposta correta.
02. (ESAF / Analista de Finanças e Controle – Secretaria do Tesouro
Nacional / 2013) Um país distante está enfrentando uma epidemia bastante
grave que precisa de um lote de comprimidos EPIDEM, de modo a minimizar
os efeitos devastadores da doença. Contudo, a produção do EPIDEM é feita
sob encomenda por apenas dois laboratórios: LAB1 e o LAB2.
As autoridades públicas, preocupadas com a grande demanda por esse
medicamento, precisam saber em quanto tempo receberão o determinado
lote, uma vez que foram informadas que, para a fabricação de um lote de
EPIDEM, o LAB1 precisa de 4 dias e o LAB2 precisa de 6 dias para a fabricação
do mesmo lote de EPIDEM. Para o rápido atendimento da demanda, as
autoridades públicas solicitaram aos dois laboratórios para trabalharem em
conjunto. Desse modo, o número de dias ─ considerando-se até duas casas
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decimais ─ necessários para que os 2 laboratórios, trabalhando em conjunto,
produzam o lote de EPIDEM é, em valor aproximado, igual a:
a) 2,4
b) 2,16
c) 3,64
d) 10
e) 24,4
Resolução:
A questão afirma que o laboratório LAB1 precisa de 4 dias para produzir um
lote completo do medicamento. Logo, com uma regra de três simples podemos
calcular qual é a produção diária nesse laboratório:
1 lote
4 dias
x1
1 dia
Como vimos, para resolvermos a regra de três, basta fazermos a multiplicação
cruzada:
#
1 lote
4 dias
x1
1 dia
∙4= 1∙1⟹
#
=
1
4
Logo, o laboratório LAB1 produz 1/4 de lote por dia.
Empregando o mesmo raciocínio para o laboratório LAB2, temos:
$
1 lote
6 dias
x2
1 dia
∙6= 1∙1⟹
$
=
1
6
Ou seja, o LAB2 produzirá 1/6 de lote por dia.
Se os laboratórios trabalharem em conjunto, podemos supor que a produção
diária do conjunto será a soma das produções diárias de cada um. Logo, a
produção diária será:
#
+
$
=
1 1
+
4 6
Para somar as frações, empregamos o MMC (4;6) = 12.
#
+
$
=
1 1 3+2
5
+ =
=
4 6
12
12
Assim, trabalhando em conjunto, os laboratórios LAB1 e LAB2 produzirão 5/12
de lote por dia.
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Com isso, basta aplicarmos a regra de três simples para descobrirmos o tempo
necessário para a produção de 1 lote completo:
"∙
5/12 lote
1 dia
1 lote
y
5
12
= 1∙1⟹" =
= 2,4
12
5
A alternativa A é a resposta correta.
03. (FCC / Escriturário – Banco do Brasil / 2013) Uma empresa obteve
um lucro líquido de R$ 263.500,00. Esse lucro será dividido proporcionalmente
às cotas da sociedade que cada um dos seus quatro sócios possui. O sócio
majoritário detém 9 das cotas e os outros três sócios possuem,
respectivamente, 1, 3 e 4 cotas da sociedade. A quantia, em reais, que o sócio
que possui 3 cotas receberá nessa divisão é igual a
A) 15.500,00.
B) 139.500,00.
C) 46.500,00.
D) 62.000,00.
E) 31.000,00.
Resolução:
Chamaremos o valor recebido por cada sócio como A, B, C e D. Considerando
as cotas que cada um possui, temos a seguinte relação:
9
=
1
=
3
=
4
Além disso, temos que + + + = 263500 . Logo, podemos empregar a
propriedade da soma dos antecedentes e consequentes, ou seja:
9
=
1
=
3
=
4
=
+ + +
263500
=
= 15500
9+1+3+4
17
Agora é só calcular o valor de C (3 cotas):
3
= 15500 ⟹
= 46500
A alternativa C é a resposta correta.
04. (ESAF / Auditor-Fiscal – Receita Federal do Brasil / 2012) A taxa
cobrada por uma empresa de logística para entregar uma encomenda até
determinado lugar é proporcional à raiz quadrada do peso da encomenda.
Ana, que utiliza, em muito, os serviços dessa empresa, pagou para enviar uma
encomenda de 25kg uma taxa de R$ 54,00. Desse modo, se Ana enviar a
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mesma encomenda de 25kg dividida em dois pacotes de 16kg e 9kg, ela
pagará o valor total de
a) 54,32.
b) 54,86.
c) 76,40.
d) 54.
e) 75,60.
Resolução:
O enunciado afirma que a taxa de entrega é proporcional à raiz quadrada do
peso da encomenda. Isso significa que a constante de proporcionalidade k
será calculada da seguinte maneira:
%& &
'()*+
Com os dados do enunciado, é possível calcular o valor da constante de
proporcionalidade k, pois a questão afirma que Ana pagou R$ 54,00 para
enviar uma encomenda de 25kg. Assim, temos:
54
√25
=
⟹
=
54
= 10,8
5
Ao dividir a encomenda em dois pacotes, de 16kg e 9kg, ela pagará uma taxa
para cada pacote, sendo que ambas obedecerão à seguinte relação:
%& &
'()*+
= 10,8
Assim, para o pacote de 16kg, temos:
%& &#
√16
= 10,8 ⟹
%& &#
= 10,8 ⟹ %& &# = 4 ∙ 10,8 = 43,20
4
Já para o pacote de 9km temos:
%& &$
√9
= 10,8 ⟹
%& &$
= 10,8 ⟹ %& &$ = 3 ∙ 10,8 = 32,40
3
Logo, a taxa total paga por Ana foi:
%& &# + %& &$ = 43,20 + 32,40 = 75,60
A alternativa E é a resposta correta.
05. (FCC / Analista Ministerial – Área Arquitetura – Ministério Público
Estadual / 2012) O dono de uma obra verificou que, com o ritmo de
trabalho de 15 trabalhadores, todos trabalhando apenas 4 horas por dia, o
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restante de sua obra ainda levaria 12 dias para ser encerrado. Para terminar a
obra com 9 dias de trabalho o dono da obra resolveu alterar o número de
horas de trabalho por dia dos trabalhadores. Com a proposta feita, cinco
trabalhadores se desligaram da obra. Com o pessoal reduzido, o número de
horas de trabalho por dia aumentou ainda mais e, mesmo assim, houve
acordo e as obras foram retomadas, mantendo-se o prazo final de 9 dias. Após
três dias de trabalho nesse novo ritmo de mais horas de trabalho por dia,
cinco trabalhadores se desligaram da obra. O dono desistiu de manter fixa a
previsão do prazo, mas manteve o número de horas de trabalho por dia
conforme o acordo. Sendo assim, os trabalhadores restantes terminaram o
que faltava da obra em uma quantidade de dias igual a
A) 42.
B) 36.
C) 24.
D) 8.
E) 12.
Resolução:
Como o enunciado é longo, vamos separar as informações:
•
•
•
•
Situação original: com 15 trabalhadores, trabalhando 4 horas por dia, a
obra levaria 12 dias para ser encerrada;
Situação intermediária: 10 trabalhadores (pois 5 deixaram a obra),
trabalhando x horas por dia, para terminar em 9 dias.
Situação final (após 3 dias da primeira alteração): 5 trabalhadores (pois
outros 5 desistiram), trabalhando x horas por dia, para terminar em y
dias.
O que o problema quer saber: o valor de y.
Percebemos que, para saber o valor de y, deveremos fazer duas regras de três
compostas, como mostraremos a seguir. A primeira regra de três envolve a
situação original e a situação intermediária:
Trabalhadores
dias
horas/dia
15
12
4
10
9
x
Neste caso, podemos perceber que ambos os valores são inversamente
proporcionais ao número de horas por dia:
Trabalhadores
dias
horas/dia
15
12
4
10
inv
9
inv
x
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Logo, temos que inverter as colunas:
10
9
4
15
12
x
Simplificando as colunas (a primeira por 5 e a segunda por 3), temos:
2
3
4
3
4
x
Multiplicando as duas primeiras colunas, temos:
2∙3=6
4
3 ∙ 4 = 12
x
Aplicando a regra de três, ficamos com:
6∙
= 12 ∙ 4 ⟹
=
12 ∙ 4
=8
6
Ou seja, houve 3 dias de trabalho (de um total de 9 previstos) com 10
trabalhadores, trabalhando 8 horas por dia. Sendo assim, percebemos que
eles cumpriram 3-9 = 1-3 do total do trabalho. Ou seja, restou, para a situação
final, 2-3 do trabalho a ser feito.
Agora, só nos resta fazer a segunda regra de três composta, com as situações
intermediária e final:
Trabalhadores
horas/dia Trabalho
dias
10
8
1
9
5
8
2/3
y
Como não há modificação na quantidade de horas por dia, podemos desprezar
tal coluna, ficando com:
Trabalhadores
Trabalho
dias
10
1
9
5
2/3
y
O número de trabalhadores é inversamente proporcional ao número de dias,
mas o montante do trabalho é diretamente proporcional, ou seja:
Trabalhadores
Trabalho
dias
10
1
9
5
2/3
inv
dir
y
Invertendo a primeira coluna, temos:
5
1
9
10
2/3
y
Multiplicando as duas primeiras colunas, temos:
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5∙1=5
10 ∙
9
2 20
=
3
3
y
Aplicando a regra de três, ficamos com:
5∙" =
20
60
∙ 9 = 60 ⟹ " =
= 12
3
5
Logo, a obra foi terminada 12 dias depois.
A alternativa E é a resposta correta.
06. (ESPP / Técnico Bancário – Banpará / 2012) Um trabalhador, para
ganhar R$ 2.400,00 em 2 meses, trabalhou 8 horas por dia. Se tivesse
trabalhado 10 horas por dia durante 5 meses, então teria que receber o valor
de:
a) R$ 7.500,00
b) R$ 6.800,00
c) R$ 7.680,00
d) R$ 7.800,00
e) R$ 7.200,00
Resolução:
Como vimos, começamos montando as linhas com as informações, deixando o
“x” na última coluna:
meses
horas/dia
R$
2
8
2400
5
10
x
Posteriormente, identificamos se a relação entre as grandezas envolvidas se
dá de forma direta ou indiretamente proporcional.
Neste caso, vemos que tanto o número de meses como a quantidade de horas
por dia são diretamente proporcionais ao salário:
meses
horas/dia
R$
2
8
2400
5
dir
10
dir
x
Logo, não precisamos fazer qualquer ajuste na tabela. Vamos fazer uma linha
de separação entre as primeiras colunas e a última:
2
8
2400
5
10
x
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Multiplicamos a primeira e a segunda colunas, ficando com:
2 ∙ 8 = 16
2400
5 ∙ 10 = 50
x
Neste ponto, recaímos em uma regra de três simples, e fazemos a
“multiplicação cruzada”:
16 ∙
16
2400
50
x
= 50 ∙ 2400 ⟹
=
50 ∙ 2400
= 7500
16
Logo, o pagamento deveria ser de R$ 7.500,00.
A alternativa A é a resposta correta.
07. (FCC / Técnico Judiciário – Tecnologia da Informação – TRT-4 /
2011) Sabe-se que Julião tem 30 anos de idade e Cosme tem 45 e que
ambos são Técnicos Judiciários de uma mesma Unidade do Tribunal Regional
do Trabalho da 4ª Região há 6 e 15 anos, respectivamente. Certo dia, Julião e
Cosme foram incumbidos de arquivar alguns documentos e dividiram o total
entre si na razão inversa de suas respectivas idades. Considerando que os dois
executaram a sua parte da tarefa com a mesma capacidade operacional,
então, se Julião levou 2 horas e 30 minutos para arquivar a sua parte, Cosme
arquivou a sua em:
A) 2 horas e 40 minutos.
B) 2 horas e 10 minutos.
C) 1 hora e 50 minutos.
D) 1 hora e 40 minutos.
E) 1 hora e 30 minutos.
Resolução:
Sejam A e B os tempos gastos por Julião e Cosme para realizar a tarefa.
Quando a questão nos diz que ambos possuem a mesma capacidade
operacional, podemos concluir que o tempo gasto no trabalho foi proporcional
à quantidade de trabalho que cada um recebeu. Logo, se a questão afirma que
o trabalho foi dividido na proporção inversa de suas idades, temos que o
tempo gasto segue a mesma proporção, o que significa que temos a seguinte
relação:
1
30
=
1
45
⟹ 30 ∙
= 45 ∙
A questão nos diz que o tempo de Julião foi de 2h30min (150 min), logo
temos:
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2,5 ⟹ 30 ∙ 150 = 45 ∙
⟹
= 100 ./0 = 1ℎ 40 ./0
A alternativa D é a resposta correta.
08. (ESAF/ Analista Técnico – Superintendência de Seguros Privados /
2010) Um pai deseja dividir uma fazenda de 500 alqueires entre seus três
filhos, na razão direta da quantidade de filhos que cada um tem e na razão
inversa de suas rendas. Sabendo-se que a renda do filho mais velho é duas
vezes a renda do filho mais novo e que a renda do filho do meio é três vezes a
renda do mais novo, e que, além disso, o filho mais velho tem três filhos, o
filho do meio tem dois filhos e o filho mais novo tem dois filhos, quantos
alqueires receberá o filho do meio?
a) 80
b) 100
c) 120
d) 160
e) 180
Resolução:
Primeiramente, vamos organizar as informações do enunciado, a respeito de
cada filho:
mais velho
do meio
mais novo
proporcionalidade
nº de filhos
3
2
2
diretamente
renda
2
3
1
inversamente
Como a questão afirma que a divisão deve ser diretamente proporcional à
quantidade de filhos e inversamente proporcional à renda, temos que fazer
com que ambos os critérios sejam seguidos.
Para tanto, a maneira mais fácil de fazer é transformar ambos os critérios em
um só. Fazemos isso multiplicando o valor diretamente proporcional pelo
inverso do valor inversamente proporcional, o que faremos em duas etapas:
Primeiro, invertemos os valores que são inversamente proporcionais (e assim
eles viram grandezas diretamente proporcionais):
mais velho
do meio
mais novo
proporcionalidade
nº de filhos
3
2
2
diretamente
renda
12
13
1
diretamente
Em seguida, multiplicamos tais valores, criando uma nova grandeza:
nº de filhos
renda
mais velho
do meio
mais novo
proporcionalidade
3
2
2
diretamente
12
1 3
3∙ =
2 2
13
1 2
2∙ =
3 3
1
diretamente
2∙1= 2
diretamente
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Em outras palavras, o que a questão afirma é que a área da fazenda deve ser
dividida entre os filhos mais velho, do meio e mais novo, respectivamente, em
tamanhos diretamente proporcionais a 3-2, 2-3 e 2. Logo, sendo A, B e C, as
área dos filhos mais velho, do meio e mais novo, respectivamente, temos:
32
=
23
=
Para resolver a questão, empregamos
antecedentes e consequentes:
=
32
+
O enunciado afirma que
23
+
=
2
=
2
a
+
propriedade
da
soma
dos
+
3 2
2+3+2
= 500. Temos, ainda, que
3 2
9 + 4 + 12 25
+ +2=
=
2 3
6
6
Assim, ficamos com:
32
=
23
=
2
=
500
6
= 500 ∙
= 20 ∙ 6 = 120
25
25
6
Como a questão quer o valor recebido pelo filho do meio (B), temos:
2
3
= 120 ⟹
=
2
∙ 120 = 80
3
A alternativa A é a resposta correta.
09. (ESAF/ Agente de Fazenda - Secretaria Municipal de Fazenda – Rio
de Janeiro / 2010) Dois trabalhadores, trabalhando 8 horas por dia cada
um, durante 15 dias, colhem juntos 60 sacos de arroz. Três outros
trabalhadores, trabalhando 10 horas por dia cada um, colhem juntos 75 sacos
de arroz em 10 dias. Em média, quanto um trabalhador do primeiro grupo é
mais ou menos produtivo que um trabalhador do segundo grupo?
a) O trabalhador do primeiro grupo é 10% menos produtivo.
b) O trabalhador do primeiro grupo é 10% mais produtivo.
c) O trabalhador do primeiro grupo é 25% mais produtivo.
d) As produtividades dos trabalhadores dos dois grupos é a mesma.
e) O trabalhador do primeiro grupo é 25% menos produtivo.
Resolução:
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Para calcularmos a produtividade do trabalhador, devemos calcular quantos
sacos de arroz ele colhe por hora.
Para o primeiro grupo, temos um total de horas trabalhadas de:
2 %2&3&4ℎ&5+2)* ∙ 8ℎ/5/& ∙ 15 5/&* = 240 %2&3&4ℎ&5+2 ∙ ℎ+2&
Como este grupo colheu 60 sacos de arroz, temos que a produtividade do
grupo foi:
60
*&7+*/(%2&3&4ℎ&5+2 ∙ ℎ+2&) = 0,25 *&7+*/(%2&3&4ℎ&5+2 ∙ ℎ+2&)
240
Já para o segundo grupo, temos um total de horas trabalhadas de:
3 %2&3&4ℎ&5+2)* ∙ 10ℎ/5/& ∙ 10 5/&* = 300 %2&3&4ℎ&5+2 ∙ ℎ+2&
Como este grupo colheu 75 sacos de arroz, temos que a produtividade do
grupo foi:
75
*&7+*/(%2&3&4ℎ&5+2 ∙ ℎ+2&) = 0,25 *&7+*/(%2&3&4ℎ&5+2 ∙ ℎ+2&)
300
Logo, temos que a produtividade de ambos os grupos é a mesma.
A alternativa D é a resposta correta.
10. (ESAF / Especialista em Políticas Públicas e Gestão Governamental
– Ministério do Planejamento, Orçamento e Gestão / 2009) Dois
pintores com habilidade padrão conseguem pintar um muro na velocidade de 5
metros quadrados por hora. A Se fossem empregados, em vez de dois, três
pintores com habilidade padrão, os três pintariam:
a) 15 metros quadrados em 3 horas.
b) 7,5 metros quadrados em 50 minutos.
c) 6 metros quadrados em 50 minutos.
d) 7,5 metros quadrados em 30 minutos.
e) 5 metros quadrados em 40 minutos.
Resolução:
Vamos listar as informações:
pintores
taxa (m2/h)
2
5
3
x
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Vemos que, quando aumentamos o número de pintores, aumentamos a taxa
de pintura (área pintada por hora). Logo, são grandezas diretamente
proporcionais.
pintores
taxa (m2/h)
2
5
3
x
dir
Aplicamos, então, a multiplicação cruzada:
pintores
taxa (m2/h)
2
5
3
x
2∙
=3∙5⟹
= 7,5 .$ /ℎ
Agora, temos que testar as alternativas:
a) 15 metros quadrados em 3 horas.
Em 3 horas, temos a área pintada igual a:
7,5 ∙ 3 = 22,5 .$
Item errado.
b) 7,5 metros quadrados em 50 minutos.
Primeiramente, temos que transformar os minutos em horas:
50 ./0 =
7,5 ∙
50
5
ℎ= ℎ
60
6
5
= 6,25 .$
6
Item errado.
c) 6 metros quadrados em 50 minutos.
Vimos no item anterior que a área pintada em 50 min foi de 6,25 m2. Item
errado.
d) 7,5 metros quadrados em 30 minutos.
30 ./0 =
7,5 ∙
30
1
ℎ= ℎ
60
2
1
= 3,75 .$
2
Item errado.
e) 5 metros quadrados em 40 minutos.
40 ./0 =
40
2
ℎ= ℎ
60
3
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7,5 ∙
2
= 5 .$
3
Item correto.
A alternativa E é a resposta correta.
11. (ESAF/ Assistente Técnico-Administrativo - Ministério da Fazenda
/ 2009) Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se apenas a
primeira torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24 horas. Se
apenas a segunda torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 48
horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao máximo, em
quanto tempo o tanque encherá?
a) 12 horas
b) 20 horas
c) 16 horas
d) 24 horas
e) 30 horas
Resolução:
Sendo V o volume total do tanque, temos as seguintes vazões de cada
torneira:
Vazão da 1ª torneira:
Vazão da 2ª torneira:
:
$;
:
;<
Abrindo ambas as torneiras, as vazões serão somadas, logo a vazão será:
=
=
2= + = 3=
=
+
=
=
=
24 48
48
48 16
Logo, para enchermos o tanque todo com a vazão de
horas.
:
, precisamos de 16
#>
A alternativa C é a resposta correta.
12. (ESAF/ Assistente Técnico-Administrativo - Ministério da Fazenda
/ 2009) Com 50 trabalhadores, com a mesma produtividade, trabalhando 8
horas por dia, uma obra ficaria pronta em 24 dias. Com 40 trabalhadores,
trabalhando 10 horas por dia, com uma produtividade 20% menor que os
primeiros, em quantos dias a mesma obra ficaria pronta?
a) 30
b) 16
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c) 24
d) 20
e) 15
Resolução:
Começamos montando as linhas com as informações, deixando o “x” na última
coluna. Vamos tratar a questão da produtividade como uma coluna, em que os
primeiros trabalhadores possuem produtividade 100%, enquanto que os
últimos têm produtividade 80%:
trabalhadores
produtividade
h/dia
dias
50
100
8
24
40
80
10
x
O próximo passo é verificarmos quais grandezas são direta ou indiretamente
proporcionais à grandeza avaliada.
Vemos que, quando aumentamos o número de trabalhadores, precisamos de
menos dias. Logo, são grandezas inversamente
proporcionais.
Analogamente, quando aumentamos a produtividade dos trabalhadores,
precisamos de menos dias, o que indica que são inversamente
proporcionais. Por fim, se aumentamos a carga horária diária, necessitamos
de menos dias, o que os torna inversamente proporcionais.
trabalhadores
produtividade
h/dia
dias
50
100
8
24
40
80
inv
10
inv
inv
x
Assim, temos que inverter todas as colunas, e ficamos com:
40
80
10
24
50
100
8
x
Podemos simplificar os valores da primeira coluna por 10, os da segunda por
20 e os da terceira por 2, e ficamos com:
4
4
5
24
5
5
4
x
Multiplicando as colunas, temos:
4 ∙ 4 ∙ 5 = 80
24
5 ∙ 5 ∙ 4 = 100
x
Neste ponto, recaímos em uma regra de três simples, e fazemos a
“multiplicação cruzada”:
80
24
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100
80 ∙
= 24 ∙ 100 ⟹
=
x
24 ∙ 100 24 ∙ 5
=
= 6 ∙ 5 = 30
80
4
Logo, são necessários 30 dias.
A alternativa A é a resposta correta.
13. (ESAF / Técnico do MPU - Área Transporte – Ministério Público da
União / 2004) Um carro percorre 75% da distância entre as cidades A e B a
uma velocidade média constante de 50 km por hora. O carro percorre,
também a uma velocidade média constante, V, o restante do trajeto até B.
Ora, a velocidade média para todo o percurso de A até B foi igual a 40 km por
hora. Logo, a velocidade V é igual a
A) 20 km por hora
B) 10 km por hora
C) 25 km por hora
D) 30 km por hora
E) 37,5 km por hora.
Resolução:
A maneira mais simples de resolvermos esta questão é adotarmos um valor
para a distância entre as cidades A e B. Em função dos valores dados na
questão, adotaremos tal distância igual a 100km. Sendo assim, o carro
percorrerá 75 km a uma velocidade de 50 km/h, e os demais 25 km a uma
velocidade V.
Lembrando que a fórmula de cálculo da velocidade média é o quociente entre
a distância percorrida e o tempo gasto (?
= *-%), temos:
Chamaremos de t1 o tempo para percorrer os primeiros 75 km, e de t2 o
tempo gasto para percorrer os 25 km restantes. Sendo assim, o tempo total
será % = %# + %$ .
Pelos dados da questão, é fácil calcularmos o tempo t1 e o tempo total t:
%# =
%=
*# 75
=
= 1,5 ℎ
?# 50
* 75 + 25 100
=
=
= 2,5 ℎ
?
40
40
Mas como % = %# + %$ , temos que %$ = % − %# , logo:
%$ = % − %# = 2,5 − 1,5 = 1 ℎ
Logo:
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*$
%$
?$
25
= 25 ./ℎ
1
Assim, concluímos que a velocidade do carro no segundo trecho é de 25 km/h.
A alternativa C é a resposta correta.
14. (ESAF / Contador – Prefeitura Municipal de Recife - PE / 2003)
Parte do produto da venda de um bem de uma empresa é mantida como
capital de giro e a parte restante é distribuída proporcionalmente aos
proprietários de acordo com a participação de cada um no capital da empresa.
Dado que um proprietário com 40% das quotas de capital da empresa tem
direito a receber 16% do produto da venda do bem, deseja-se saber que
proporção a mais ele receberia pela venda do bem caso adquirisse mais 25%
das quotas de capital da empresa.
A) 10%
B) 8%
C) 5%
D) 4%
E) 2%
Resolução:
Vamos aplicar a regra de três simples com os dados da questão.
Primeiramente, o sócio tem 40% e recebe 16% do produto da venda. Na
hipótese de ele adquirir mais 25% das cotas (ficando com 65%), queremos
calcular quanto ele receberá:
cotas
participação
40%
16%
65%
x
Podemos simplificar a primeira coluna por 5, e ficamos com:
cotas
participação
8%
16%
13%
x
Como são grandezas diretamente proporcionais, aplicamos a multiplicação
cruzada:
8∙
cotas
participação
8
16
13
x
= 16 ∙ 13 ⟹
=
16 ∙ 13
= 2 ∙ 13 = 26 %
8
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Como a questão pergunta quanto ele receberia a mais do que antes, temos
que diminuir o que ele já recebia:
5/A
26% − 16%
10%
A alternativa A é a resposta correta.
15. (ESAF / Analista de Finanças e Controle – Controladoria-Geral da
União / 2001) Uma pessoa foi da localidade A para B a uma velocidade
média de 75 Km por hora (Km/h); após, retorna de B para A a uma velocidade
média de 50 Km/h. Considerando todo o percurso de ida e volta, a velocidade
média, em Km/h foi de:
A) 50
B) 60
C) 62,5
D) 70
E) 72,5
Resolução:
A maneira mais simples de resolvermos esta questão é adotarmos um valor
para a distância entre as cidades A e B. Em função dos valores dados na
questão, adotaremos tal distância igual a 150km.
Sendo assim, o tempo gasto na ida foi de:
%# =
*
150
=
=2ℎ
?#
75
Analogamente, o tempo gasto na volta foi de:
%$ =
*
150
=
= 3ℎ
?$
50
Logo, a viagem de ida e volta durará 5 h. Como a distância de ida e volta é de
300 km, temos que a velocidade média será:
?=
* 300
=
= 60 ./ℎ
%
5
A alternativa B é a resposta correta.
2.2 – Certo ou errado
(CESPE / Analista de Atividades do Meio Ambiente - Área Analista
Administrativo – Instituto Brasília Ambiental / 2009) Para fazer a
reforma de um edifício, a empresa responsável contratou duas equipes de
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trabalhadores, propondo pagá-las proporcionalmente ao número de dias
homens que cada equipe empregaria na reforma. A tarefa foi realizada da
seguinte maneira: a primeira equipe, com 12 homens, trabalhou durante 6
dias; a segunda, com 7 homens, trabalhou durante 4 dias. Ao final da
reforma, a empresa pagou R$ 60.000,00 às duas equipes. Considerando essa
situação, julgue os itens a seguir.
16. Considerando que as equipes sejam igualmente eficientes, então a
segunda equipe realizou menos de 20% do trabalho.
Resolução:
Conforme afirma o enunciado, o pagamento foi feito proporcionalmente ao
número de “dias homens” de cada equipe. Tal conceito se refere ao esforço
oriundo da quantidade de homens, ao trabalhar uma quantidade de dias.
Vamos calcular tal esforço para cada equipe:
•
•
Primeira equipe: 12 homens, 6 dias: 12 ∙ 6 = 72 homens.dia
Segunda equipe: 7 homens, 4 dias: 7 ∙ 4 = 28 homens.dia
Logo, temos que o percentual do trabalho total realizado pela segunda equipe
foi de:
28
28
=
= 28%
72 + 28 100
Item errado.
17. Se a segunda equipe tivesse um homem a menos, mas trabalhasse os
mesmos 4 dias e se a quantia paga a cada equipe fosse dividida igualmente
entre seus trabalhadores, então cada trabalhador da segunda equipe teria
recebido R$ 2.500,00.
Resolução:
Nesta situação, temos o seguinte esforço para cada equipe:
•
•
Primeira equipe: 12 homens, 6 dias: 12 ∙ 6 = 72 homens.dia
Segunda equipe: 6 homens, 4 dias: 6 ∙ 4 = 24 homens.dia
Agora, temos que calcular o montante recebido por cada equipe:
72
=
24
⟹
3
=
1
Além disso, temos que + = 60000. Logo, podemos empregar a propriedade
da soma dos antecedentes e consequentes, ou seja:
3
=
1
=
+
60000
=
= 15000
3+1
4
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Assim, a equipe B recebeu R$ 15.000. Como havia 6 homens, cada um
recebeu R$ 2.500.
Item certo.
(CESPE / Analista Judiciário - Área Administrativa – Supremo Tribunal
Federal / 2008) Em um tribunal, há 210 processos para serem analisados
pelos juízes A, B e C. Sabe-se que as quantidades de processos que serão
analisados por cada um desses juízes são, respectivamente, números
diretamente proporcionais aos números a, b e c. Sabe-se também que a + c =
14, que cabem ao juiz B 70 desses processos e que o juiz C deverá analisar 80
processos a mais que o juiz A. Com relação a essa situação, julgue os itens
seguintes.
18. c < 10.
Resolução:
Vamos aos dados da questão:
&
3
&+7
7
14
= 70
= 80 +
Se
+
+
= 210 e
+
+
= 210
= 70, então
+
= 210 − 70 = 140.
Assim, temos a equação:
B
+ = 140
⟹
= 80 +
+ (80 + ) = 140 ⟹ 2 = 60 ⟹
= CD ⟹
= EED
Pela propriedade da soma dos antecedentes e conseqüentes, temos:
30 110 30 + 110 140
=
=
=
= 10
&
7
&+7
14
Logo, temos:
110
= 10 ⟹ F = EE
7
Item errado.
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(CESPE / Perito Criminal Especial – Polícia Civil – ES / 2011) Um perito
criminal examinou 2 cadáveres, encontrados simultaneamente, e concluiu que
a soma dos tempos decorridos entre as datas das mortes e a data em que os
cadáveres foram encontrados é de 21 dias e que a razão entre esses tempos é
igual a 3/4. A respeito dessa situação, julgue o próximo item.
19. Uma morte ocorreu a menos de 4 dias da outra.
Resolução:
Sendo A e B os tempos decorridos para cada cadáver, podemos escrever os
dados da questão:
A soma dos tempos decorridos é de 21 dias:
+
21
A razão entre os tempos é igual a 3/4:
3
4
Para resolver a questão, vamos empregar a propriedade da soma entre os dois
primeiros termos:
+
+
Ora, sabemos que
anterior:
=
3+4
4
= 21, então podemos substituir tal valor na equação
21
=
3+4
21 7
⟹
=
4
4
Aplicando a propriedade fundamental, ficamos com:
21 ∙ 4 = 7 ∙
⟹
=
21 ∙ 4
7
Simplificando por 7, temos:
= 3 ∙ 4 = 12
+
= 21 ⟹
+ 12 = 21 ⟹
= 21 − 12 = 9
Logo, temos que uma morte ocorreu há 9 dias, enquanto a outra aconteceu há
12 dias.
Item certo.
(CESPE / Assistente em Administração – Fundação Universidade de
Brasília / 2008) Considerando que as idades de 3 pessoas sejam números
diretamente proporcionais aos números 13, 17 e 19 e sabendo que a soma
das idades dessas 3 pessoas é igual a 98, julgue os itens subseqüentes.
20. A soma das idades das duas pessoas mais jovens é inferior a 62.
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Resolução:
Sejam A, B e C as idades das 3 pessoas. Quando a questão nos diz que tais
idades são diretamente proporcionais aos números 13, 17 e 19, isso significa
que temos a seguinte relação:
=
13
=
17
19
Para resolver a questão, empregamos
antecedentes e consequentes:
13
=
17
=
19
=
a
propriedade
13
17
=
soma
dos
+ +
13 + 17 + 19
Como a soma das idades foi dada no enunciado,
17 + 19 = 49, podemos substituir os valores:
=
da
19
=
+
+
= 98, e como 13 +
98
=2
49
Agora, podemos calcular o valor de cada variável:
13
17
19
=2⟹
= 2 ∙ 13 = 26
=2⟹
= 2 ∙ 17 = 34
=2⟹
= 2 ∙ 19 = 38
Logo, a soma das idades dos dois mais jovens é 26 + 34 = 60.
Item certo.
21. A diferença entre a idade do mais velho e a do mais moço é superior a 14.
Resolução:
A diferença entre a idade do mais velho e do mais novo é:
38 − 26 = 12
Item errado.
22. (CESPE / Analista de Atividades do Meio Ambiente - Área Contador
– Instituto Brasília Ambiental / 2009) Considerando que o salário de um
operário seja proporcional à quantidade de dias trabalhados, se ele recebe R$
840,00 por 14 dias de trabalho, então, por 20 dias ele deverá receber R$
1.200,00.
Resolução:
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A primeira coisa a fazer é montar a estrutura básica da regra de três:
dias
salário
14
840
20
x
Agora temos que perceber se a relação entre as grandezas estudadas (dias
trabalhados e salário) é de proporcionalidade direta ou indireta. Ora, é fácil
perceber que, se um operário trabalha por mais dias, ele deve receber um
salário maior. Isso significa que a relação é diretamente proporcional.
Como a proporção é direta, mantemos a estrutura básica, e fazemos a
“multiplicação cruzada”:
14 ∙
dias
salário
14
840
20
x
= 20 ∙ 840 ⟹
=
20 ∙ 840
= 1200
14
Logo, o salário por 20 dias de trabalho deve ser de R$ 1.200,00.
Item certo.
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3- Questões apresentadas na aula
01. (ESAF / Assistente Técnico Administrativo – Ministério da Fazenda
/ 2014) Em 18 horas, 2 servidores analisam 15 processos. Trabalhando no
mesmo ritmo, o número de servidores necessários para analisar 10 processos
em 6 horas é igual a
a) 4.
b) 6.
c) 5.
d) 3.
e) 7
02. (ESAF / Analista de Finanças e Controle – Secretaria do Tesouro
Nacional / 2013) Um país distante está enfrentando uma epidemia bastante
grave que precisa de um lote de comprimidos EPIDEM, de modo a minimizar
os efeitos devastadores da doença. Contudo, a produção do EPIDEM é feita
sob encomenda por apenas dois laboratórios: LAB1 e o LAB2.
As autoridades públicas, preocupadas com a grande demanda por esse
medicamento, precisam saber em quanto tempo receberão o determinado
lote, uma vez que foram informadas que, para a fabricação de um lote de
EPIDEM, o LAB1 precisa de 4 dias e o LAB2 precisa de 6 dias para a fabricação
do mesmo lote de EPIDEM. Para o rápido atendimento da demanda, as
autoridades públicas solicitaram aos dois laboratórios para trabalharem em
conjunto. Desse modo, o número de dias ─ considerando-se até duas casas
decimais ─ necessários para que os 2 laboratórios, trabalhando em conjunto,
produzam o lote de EPIDEM é, em valor aproximado, igual a:
a) 2,4
b) 2,16
c) 3,64
d) 10
e) 24,4
03. (FCC / Escriturário – Banco do Brasil / 2013) Uma empresa obteve
um lucro líquido de R$ 263.500,00. Esse lucro será dividido proporcionalmente
às cotas da sociedade que cada um dos seus quatro sócios possui. O sócio
majoritário detém 9 das cotas e os outros três sócios possuem,
respectivamente, 1, 3 e 4 cotas da sociedade. A quantia, em reais, que o sócio
que possui 3 cotas receberá nessa divisão é igual a
A) 15.500,00.
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B) 139.500,00.
C) 46.500,00.
D) 62.000,00.
E) 31.000,00.
04. (ESAF / Auditor-Fiscal – Receita Federal do Brasil / 2012) A taxa
cobrada por uma empresa de logística para entregar uma encomenda até
determinado lugar é proporcional à raiz quadrada do peso da encomenda.
Ana, que utiliza, em muito, os serviços dessa empresa, pagou para enviar uma
encomenda de 25kg uma taxa de R$ 54,00. Desse modo, se Ana enviar a
mesma encomenda de 25kg dividida em dois pacotes de 16kg e 9kg, ela
pagará o valor total de
a) 54,32.
b) 54,86.
c) 76,40.
d) 54.
e) 75,60.
05. (FCC / Analista Ministerial – Área Arquitetura – Ministério Público
Estadual / 2012) O dono de uma obra verificou que, com o ritmo de
trabalho de 15 trabalhadores, todos trabalhando apenas 4 horas por dia, o
restante de sua obra ainda levaria 12 dias para ser encerrado. Para terminar a
obra com 9 dias de trabalho o dono da obra resolveu alterar o número de
horas de trabalho por dia dos trabalhadores. Com a proposta feita, cinco
trabalhadores se desligaram da obra. Com o pessoal reduzido, o número de
horas de trabalho por dia aumentou ainda mais e, mesmo assim, houve
acordo e as obras foram retomadas, mantendo-se o prazo final de 9 dias. Após
três dias de trabalho nesse novo ritmo de mais horas de trabalho por dia,
cinco trabalhadores se desligaram da obra. O dono desistiu de manter fixa a
previsão do prazo, mas manteve o número de horas de trabalho por dia
conforme o acordo. Sendo assim, os trabalhadores restantes terminaram o
que faltava da obra em uma quantidade de dias igual a
A) 42.
B) 36.
C) 24.
D) 8.
E) 12.
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06. (ESPP / Técnico Bancário – Banpará / 2012) Um trabalhador, para
ganhar R$ 2.400,00 em 2 meses, trabalhou 8 horas por dia. Se tivesse
trabalhado 10 horas por dia durante 5 meses, então teria que receber o valor
de:
a) R$ 7.500,00
b) R$ 6.800,00
c) R$ 7.680,00
d) R$ 7.800,00
e) R$ 7.200,00
07. (FCC / Técnico Judiciário – Tecnologia da Informação – TRT-4 /
2011) Sabe-se que Julião tem 30 anos de idade e Cosme tem 45 e que
ambos são Técnicos Judiciários de uma mesma Unidade do Tribunal Regional
do Trabalho da 4ª Região há 6 e 15 anos, respectivamente. Certo dia, Julião e
Cosme foram incumbidos de arquivar alguns documentos e dividiram o total
entre si na razão inversa de suas respectivas idades. Considerando que os dois
executaram a sua parte da tarefa com a mesma capacidade operacional,
então, se Julião levou 2 horas e 30 minutos para arquivar a sua parte, Cosme
arquivou a sua em:
A) 2 horas e 40 minutos.
B) 2 horas e 10 minutos.
C) 1 hora e 50 minutos.
D) 1 hora e 40 minutos.
E) 1 hora e 30 minutos.
08. (ESAF/ Analista Técnico – Superintendência de Seguros Privados /
2010) Um pai deseja dividir uma fazenda de 500 alqueires entre seus três
filhos, na razão direta da quantidade de filhos que cada um tem e na razão
inversa de suas rendas. Sabendo-se que a renda do filho mais velho é duas
vezes a renda do filho mais novo e que a renda do filho do meio é três vezes a
renda do mais novo, e que, além disso, o filho mais velho tem três filhos, o
filho do meio tem dois filhos e o filho mais novo tem dois filhos, quantos
alqueires receberá o filho do meio?
a) 80
b) 100
c) 120
d) 160
e) 180
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09. (ESAF/ Agente de Fazenda - Secretaria Municipal de Fazenda – Rio
de Janeiro / 2010) Dois trabalhadores, trabalhando 8 horas por dia cada
um, durante 15 dias, colhem juntos 60 sacos de arroz. Três outros
trabalhadores, trabalhando 10 horas por dia cada um, colhem juntos 75 sacos
de arroz em 10 dias. Em média, quanto um trabalhador do primeiro grupo é
mais ou menos produtivo que um trabalhador do segundo grupo?
a) O trabalhador do primeiro grupo é 10% menos produtivo.
b) O trabalhador do primeiro grupo é 10% mais produtivo.
c) O trabalhador do primeiro grupo é 25% mais produtivo.
d) As produtividades dos trabalhadores dos dois grupos é a mesma.
e) O trabalhador do primeiro grupo é 25% menos produtivo.
10. (ESAF / Especialista em Políticas Públicas e Gestão Governamental
– Ministério do Planejamento, Orçamento e Gestão / 2009) Dois
pintores com habilidade padrão conseguem pintar um muro na velocidade de 5
metros quadrados por hora. A Se fossem empregados, em vez de dois, três
pintores com habilidade padrão, os três pintariam:
a) 15 metros quadrados em 3 horas.
b) 7,5 metros quadrados em 50 minutos.
c) 6 metros quadrados em 50 minutos.
d) 7,5 metros quadrados em 30 minutos.
e) 5 metros quadrados em 40 minutos.
11. (ESAF/ Assistente Técnico-Administrativo - Ministério da Fazenda
/ 2009) Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se apenas a
primeira torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24 horas. Se
apenas a segunda torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 48
horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao máximo, em
quanto tempo o tanque encherá?
a) 12 horas
b) 20 horas
c) 16 horas
d) 24 horas
e) 30 horas
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12. (ESAF/ Assistente Técnico-Administrativo - Ministério da Fazenda
/ 2009) Com 50 trabalhadores, com a mesma produtividade, trabalhando 8
horas por dia, uma obra ficaria pronta em 24 dias. Com 40 trabalhadores,
trabalhando 10 horas por dia, com uma produtividade 20% menor que os
primeiros, em quantos dias a mesma obra ficaria pronta?
a) 30
b) 16
c) 24
d) 20
e) 15
13. (ESAF / Técnico do MPU - Área Transporte – Ministério Público da
União / 2004) Um carro percorre 75% da distância entre as cidades A e B a
uma velocidade média constante de 50 km por hora. O carro percorre,
também a uma velocidade média constante, V, o restante do trajeto até B.
Ora, a velocidade média para todo o percurso de A até B foi igual a 40 km por
hora. Logo, a velocidade V é igual a
A) 20 km por hora
B) 10 km por hora
C) 25 km por hora
D) 30 km por hora
E) 37,5 km por hora.
14. (ESAF / Contador – Prefeitura Municipal de Recife - PE / 2003)
Parte do produto da venda de um bem de uma empresa é mantida como
capital de giro e a parte restante é distribuída proporcionalmente aos
proprietários de acordo com a participação de cada um no capital da empresa.
Dado que um proprietário com 40% das quotas de capital da empresa tem
direito a receber 16% do produto da venda do bem, deseja-se saber que
proporção a mais ele receberia pela venda do bem caso adquirisse mais 25%
das quotas de capital da empresa.
A) 10%
B) 8%
C) 5%
D) 4%
E) 2%
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15. (ESAF / Analista de Finanças e Controle – Controladoria-Geral da
União / 2001) Uma pessoa foi da localidade A para B a uma velocidade
média de 75 Km por hora (Km/h); após, retorna de B para A a uma velocidade
média de 50 Km/h. Considerando todo o percurso de ida e volta, a velocidade
média, em Km/h foi de:
A) 50
B) 60
C) 62,5
D) 70
E) 72,5
2.2 – Certo ou errado
(CESPE / Analista de Atividades do Meio Ambiente - Área Analista
Administrativo – Instituto Brasília Ambiental / 2009) Para fazer a
reforma de um edifício, a empresa responsável contratou duas equipes de
trabalhadores, propondo pagá-las proporcionalmente ao número de dias
homens que cada equipe empregaria na reforma. A tarefa foi realizada da
seguinte maneira: a primeira equipe, com 12 homens, trabalhou durante 6
dias; a segunda, com 7 homens, trabalhou durante 4 dias. Ao final da
reforma, a empresa pagou R$ 60.000,00 às duas equipes. Considerando essa
situação, julgue os itens a seguir.
16. Considerando que as equipes sejam igualmente eficientes, então a
segunda equipe realizou menos de 20% do trabalho.
17. Se a segunda equipe tivesse um homem a menos, mas trabalhasse os
mesmos 4 dias e se a quantia paga a cada equipe fosse dividida igualmente
entre seus trabalhadores, então cada trabalhador da segunda equipe teria
recebido R$ 2.500,00.
(CESPE / Analista Judiciário - Área Administrativa – Supremo Tribunal
Federal / 2008) Em um tribunal, há 210 processos para serem analisados
pelos juízes A, B e C. Sabe-se que as quantidades de processos que serão
analisados por cada um desses juízes são, respectivamente, números
diretamente proporcionais aos números a, b e c. Sabe-se também que a + c =
14, que cabem ao juiz B 70 desses processos e que o juiz C deverá analisar 80
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processos a mais que o juiz A. Com relação a essa situação, julgue os itens
seguintes.
18. c < 10.
(CESPE / Perito Criminal Especial – Polícia Civil – ES / 2011) Um perito
criminal examinou 2 cadáveres, encontrados simultaneamente, e concluiu que
a soma dos tempos decorridos entre as datas das mortes e a data em que os
cadáveres foram encontrados é de 21 dias e que a razão entre esses tempos é
igual a 3/4. A respeito dessa situação, julgue o próximo item.
19. Uma morte ocorreu a menos de 4 dias da outra.
(CESPE / Assistente em Administração – Fundação Universidade de
Brasília / 2008) Considerando que as idades de 3 pessoas sejam números
diretamente proporcionais aos números 13, 17 e 19 e sabendo que a soma
das idades dessas 3 pessoas é igual a 98, julgue os itens subseqüentes.
20. A soma das idades das duas pessoas mais jovens é inferior a 62.
21. A diferença entre a idade do mais velho e a do mais moço é superior a 14.
22. (CESPE / Analista de Atividades do Meio Ambiente - Área Contador
– Instituto Brasília Ambiental / 2009) Considerando que o salário de um
operário seja proporcional à quantidade de dias trabalhados, se ele recebe R$
840,00 por 14 dias de trabalho, então, por 20 dias ele deverá receber R$
1.200,00.
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4- Gabarito
01. A
11. C
21. E
02. A
12. A
22. C
03. C
13. C
04. E
14. A
05. E
15. B
06. A
16. E
07. D
17. C
08. A
18. E
09. D
19. C
10. E
20. C
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