Eleani Maria da Costa - DEM/PUCRS
ASSUNTO
3. Materiais cristalinos
-Estrutura cristalina: conceitos fundamentais,
célula unitária,
- Sistemas cristalinos,
- Polimorfismo e alotropia
- Direções e planos cristalográficos, anisotropia,
- Determinação das estruturas cristalinas por
difração de raios-x.
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ESTRUTURA CRISTALINA
2
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ARRANJAMENTO ATÔMICO
Por quê estudar?
 As propriedades de alguns materiais estão
diretamente associadas à sua estrutura cristalina (ex:
magnésio e berílio que têm a mesma estrutura se
deformam muito menos que ouro e prata que têm
outra estrutura cristalina)
 Explica a diferença significativa nas propriedades
de materiais cristalinos e não cristalinos de mesma
composição (materiais cerâmicos e poliméricos
não-cristalinos tendem a ser opticamente
transparentes enquanto cristalinos não)
3
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ARRANJAMENTO ATÔMICO
 Os materiais sólidos podem ser
classificados em cristalinos ou nãocristalinos de acordo com a regularidade na
qual os átomos ou íons se dispõem em
relação à seus vizinhos.
 Material cristalino é aquele no qual os
átomos encontram-se ordenados sobre
longas distâncias atômicas formando uma
estrutura tridimensional que se chama de
rede cristalina
 Todos os metais, muitas cerâmicas e alguns
polímeros formam estruturas cristalinas sob
condições normais de solidificação
4
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ARRANJAMENTO ATÔMICO
 Nos materiais não-cristalinos ou amorfos não
existe ordem de longo alcance na disposição dos
átomos
 As propriedades dos materiais sólidos cristalinos
depende da estrutura cristalina, ou seja, da maneira
na qual os átomos, moléculas ou íons estão
espacialmente dispostos.
 Há um número grande de diferentes estruturas
cristalinas, desde estruturas simples exibidas pelos
metais até estruturas mais complexas exibidas pelos
cerâmicos e polímeros
5
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CÉLULA UNITÁRIA
(unidade básica repetitiva da estrutura tridimensional)
 Consiste num pequeno grupos de átomos que
formam um modelo repetitivo ao longo da
estrutura tridimensional (analogia com elos
da corrente)
 A célula unitária é escolhida para
representar a simetria da estrutura
cristalina
6
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CÉLULA UNITÁRIA
(unidade básica repetitiva da estrutura tridimensional)
Célula Unitária
Os átomos são representados como esferas rígidas
7
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A célula unitária e conseqüentemente a rede cristalina é
usualmente descrita em termos do comprimento dos vetores de
translação a, b e c e do ângulo formado entre eles. A direção dos
vetores unitários a, b e c define a direção dos eixos x, y e z,
chamados de eixos cristalinos ou cristalográficos. O vetor a
define a direção do eixo x, o vetor b define a direção do eixo y, e
o vetor c define a direção do eixo z. O ângulo entre os vetores a e
b é γ, entre b e c é α, e entre a e c é o β. Às quantidades a, b, c, α,
β, γ dá-se o nome de parâmetros de rede. Uma das maneiras de
representar a célula unitária é através de um paralelepípedo, como
mostra a figura
8
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ESTRUTURA CRISTALINA
DOS METAIS
 Como a ligação metálica é não-direcional não há
restrições quanto ao número e posições dos
vizinhos mais próximos.
 Então, a estrutura cristalina dos metais têm
geralmente um número grande de vizinhos e alto
empacotamento atômico.
 Três são as estruturas cristalinas mais comuns em
metais: Cúbica de corpo centrado, cúbica de face
centrada e hexagonal compacta.
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SISTEMA CÚBICO
Os átomos podem ser agrupados dentro do sistema
cúbico em 3 diferentes tipos de repetição



Cúbico simples
Cúbico de corpo centrado
Cúbico de face centrada
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SISTEMA CÚBICO SIMPLES
a
 Apenas 1/8 de cada átomo
cai dentro da célula unitária,
ou seja, a célula unitária
contém apenas 1 átomo.
 Essa é a razão que os metais
não cristalizam na estrutura
cúbica simples (devido ao
baixo empacotamento
atômico)
Parâmetro de rede
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NÚMERO DE COORDENAÇÃO
PARA CCC
 Número de coordenação
corresponde
ao número de átomos vizinhos mais
próximos
 Para a estrutura cúbica simples o número de
coordenação é 6.
12
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RELAÇÃO ENTRE O RAIO ATÔMICO
(R) E O PARÂMETRO DE REDE (a)
PARA O SITEMA CÚBICO SIMPLES
 No sistema cúbico
simples os átomos se
tocam na face
 a= 2 R
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FATOR DE EMPACOTAMENTO
ATÔMICO PARA CÚBICO SIMPLES
Fator de empacotamento= Número de átomos x Volume dos átomos
Volume da célula unitária
Vol. dos átomos=número de átomos x Vol. Esfera (4R3/3)
Vol. Da célula=Vol. Cubo = a
3
 Fator de empacotamento =
4R3/3
(2R) 3
O FATOR DE EMPACOTAMENTO PARA A EST. CÚBICA SIMPLES É O,52
14
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EST. CÚBICA DE CORPO
CENTRADO

O PARÂMETRO DE REDE E O RAIO ATÔMICO ESTÃO
RELACIONADOS NESTE SISTEMA POR:
accc= 4R /(3)1/2
Filme
 Na est. ccc cada átomo dos vertices do cubo
é dividido com 8 células unitárias
 Já o átomo do centro pertence somente a
sua célula unitária.
 Cada átomo de uma estrutura ccc é cercado
por 8 átomos adjacentes
 Há 2 átomos por célula unitária na estrutura
ccc
 O Fe, Cr, W cristalizam em ccc
15
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RELAÇÃO ENTRE O RAIO ATÔMICO
(R) E O PARÂMETRO DE REDE (a)
PARA O SITEMA CCC
 No sistema CCC os
átomos se tocam ao
longo da diagonal do
cubo: (3) 1/2.a=4R
accc= 4R/ (3)1/2
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NÚMERO DE COORDENAÇÃO
PARA CCC
 Número de coordenação
corresponde
ao número de átomos vizinhos mais
próximos
 Para a estrutura ccc o número de
coordenação é 8.
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NÚMERO DE
COORDENAÇÃO
1/8 de átomo
1 átomo inteiro
Para a estrutura ccc o número de coordenação é 8
18
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FATOR DE EMPACOTAMENTO
ATÔMICO PARA CCC
 Fator de empacotamento= Número de átomos x Volume dos átomos
Volume da célula unitária
O FATOR DE EMPACOTAMENTO PARA A EST. CC É O,68
(demonstre)
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EST. CÚBICA DE FACE
CENTRADA

O PARÂMETRO DE REDE E O RAIO ATÔMICO
ESTÃO RELACIONADOS PARA ESTE SISTEMA
POR:
acfc = 4R/(2)1/2 =2R . (2)1/2
Filme
25
 Na est. cfc cada átomo dos vertices
do cubo é dividido com 8 células
unitátias
 Já os átomos das faces pertencem
somente a duas células unitárias
 Há 4 átomos por célula unitária na
estrutura cfc
 É o sistema mais comum encontrado
nos metais (Al, Fe, Cu, Pb, Ag,
Ni,...)
20
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NÚMERO DE COORDENAÇÃO
PARA CFC
 Número de coordenação corresponde ao
número de átomos vizinhos mais próximo
 Para a estrutura cfc o número de
coordenação é 12.
21
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NÚMERO DE COORDENAÇÃO
PARA CFC
Para a estrutura cfc o
número de
coordenação é 12.
22
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Demonstre que acfc = 2R (2)1/2
 a2 + a2 = (4R)2
2 a2 = 16 R2
a2 = 16/2 R2
a2 = 8 R2
a=
2R (2)1/2
23
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FATOR DE EMPACOTAMENTO
ATÔMICO PARA CFC
 Fator de empacotamento= Número de átomos X Volume dos átomos
Volume da célula unitária
O FATOR DE EMPACOTAMENTO PARA A EST. CFC É O,74
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DEMONSTRE QUE O FATOR DE EMPACOTAMENTO
PARA A EST. CFC É O,74
 Fator de empacotamento= Número de átomos X Volume dos átomos
Volume da célula unitária
Vol. dos átomos=Vol. Esfera= 4R3/3
Vol. Da célula=Vol. Cubo = a
3
Fator de empacotamento = 4 X 4R3/3
(2R (2)1/2)3
Fator de empacotamento = 16/3R3
16 R3(2)1/2
Fator de empacotamento = 0,74
25
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CÁLCULO DA DENSIDADE
 O conhecimento da estrutura cristalina
permite o cálculo da densidade ():
 = nA
VcNA
n= número de átomos da célula unitária
A= peso atômico
Vc= Volume da célula unitária
NA= Número de Avogadro (6,02 x 1023 átomos/mol)
26
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EXEMPLO:
 Ferro têm raio atômico de 0,124nm (1,24 Å), uma estrutura
ccc, um peso atômico de 55,85 g/mol. Calcule a densidade
do ferro.
 Resposta: 7,9 g/cm3
 Valor da densidade medida= 7,87 g/cm3
27
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TABELA RESUMO PARA O
SISTEMA CÚBICO
Átomos
por célula
CS
CCC
CFC
1
2
4
Número de
coordenação
6
8
12
Parâmetro
de rede
2R
4R/(3)1/2
4R/(2)1/2
Fator de
empacotamento
0,52
0,68
0,74
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SISTEMA HEXAGONAL
SIMPLES
 Os metais não cristalizam
no sistema hexagonal
simples porque o fator de
empacotamento é muito
baixo
 Entretanto, cristais com
mais de um tipo de átomo
cristalizam neste sistema
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EST. HEXAGONAL
COMPACTA
 Os metais em geral não cristalizam
no sistema hexagonal simples pq o
fator de empacotamento é muito
baixo, exceto cristais com mais de
um tipo de átomo
 O sistema Hexagonal Compacta é
mais comum nos metais (ex: Mg,
Zn)
 Na HC cada átomo de uma dada
camada está diretamente abaixo ou
acima dos interstícios formados
entre as camadas adjacentes
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EST. HEXAGONAL
COMPACTA
 Cada átomo tangencia 3
átomos da camada de cima,
6 átomos no seu próprio
plano e 3 na camada de
baixo do seu plano
 O número de coordenação
para a estrutura HC é 12 e,
portanto, o fator de
empacotamento é o mesmo
da cfc, ou seja, 0,74.
Relação entre R e a:
a= 2R
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EST. HEXAGONAL
COMPACTA
Há 2 parâmetros de rede representando os parâmetros
Basais (a) e de altura (c)
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RAIO ATÔMICO E ESTRUTURA
CRISTALINA DE ALGUNS METAIS
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SISTEMAS CRISTALINOS
 Estes sistemas incluem todas as possíveis
geometrias de divisão do espaço por
superfícies planas contínuas
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OS 7 SISTEMAS CRISTALINOS
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AS 14 REDES DE BRAVAIS
Dos 7 sistemas cristalinos
podemos identificar 14 tipos
diferentes de células unitárias,
conhecidas com redes de
Bravais. Cada uma destas
células unitárias tem certas
características que ajudam a
diferenciá-las das outras células
unitárias. Além do mais, estas
características também
auxiliam na definição das
propriedades de um material
particular.
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ESTRUTURA DO DIAMANTE
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POLIMORFISMO OU
ALOTROPIA
 Alguns metais e não-metais podem ter mais
de uma estrutura cristalina dependendo da
temperatura e pressão. Esse fenômeno é
conhecido como polimorfismo.
 Geralmente as transformações polimorficas
são acompanhadas de mudanças na
densidade e mudanças de outras propriedades
físicas.
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EXEMPLO DE MATERIAIS QUE
EXIBEM POLIMORFISMO
 Ferro
 Titânio
 Carbono (grafite e diamente)
 SiC (chega ter 20 modificações cristalinas)
 Etc.
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ALOTROPIA DO FERRO
ccc De 1394°C-PF
cfc
De 910-1394°C
ccc
Até 910°C
 Na temperatura ambiente, o
Ferro têm estrutura ccc, número
de coordenação 8, fator de
empacotamento de 0,68 e um
raio atômico de 1,241Å.
 A 910°C, o Ferro passa para
estrutura cfc, número de
coordenação 12, fator de
empacotamento de 0,74 e um
raio atômico de 1,292Å.
 A 1394°C o ferro passa
novamente para ccc.
40
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ALOTROPIA DO TITÂNIO
FASE 
 Existe até 883ºC
 Apresenta estrutura hexagonal compacta
 É mole
FASE 
 Existe a partir de 883ºC
 Apresenta estrutura ccc
 É dura
41
DIAMANTE
GRAFITA
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Ligação forte
Ligação fraca
NANOTUBOS DE CARBONO
42
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EXERCÍCIO
 O ferro passa de ccc para cfc a 910 ºC. Nesta temperatura os raios atômicos são
respectivamente , 1,258Å e 1,292Å. Qual a percentagem de variação de volume
percentual provocada pela mudança de estrutura?
3
 Vccc= 2a
accc= 4R/ (3)1/2
Vccc= 49,1 Å3
3
Vcfc= a
acfc = 2R (2)1/2
Vcfc= 48,7 Å3
V%= 48,7 - 49,1 /48,7 = - 0,8% de variação
Para o cálculo foi tomado como base 2 células unitárias ccc, por isso Vccc= 2a3
uma vez que na passagem do sistema ccc para cfc há uma contração de volume
43
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DIREÇÕES NOS CRISTAIS
a, b e c definem os eixos de um sistema de coordenadas
em 3D. Qualquer linha (ou direção) do sistema de
coordenadas pode ser especificada através de dois pontos:
· um deles sempre é tomado como sendo a origem do
sistema de coordenadas, geralmente (0,0,0) por
convenção;
44
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Origem do sistema de
coordenadas
O espaço lático é infinito...
A escolha de uma origem é completamente arbitrária, uma vez que cada ponto
do reticulado cristalino idêntico.
A designação de pontos, direções e planos específicos fixados no espaço
absoluto serão alterados caso a origem seja mudada, MAS ...
todas as designações serão auto-consistentes se partirem da origem como uma
referência absoluta.
Exemplo: Dada uma origem qualquer, haverá sempre uma direção [110]
definida univocamente, e [110] sempre fará exatamente o mesmo ângulo com
a direção [100].
45
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DIREÇÕES NOS CRISTAIS
 São representadas
entre colchetes=[uvw]
 Família de direções:
<uvw>
46
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DIREÇÕES?
(o,o,o)
47
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Algumas direções da
família de direções <100>
48
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DIREÇÕES NOS CRISTAIS
 São representadas
entre colchetes=
[hkl]
 Se a subtração der
negativa, coloca-se
uma barra sobre o
número
49
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As duas direções
pertencem a mesma
família?
[101]
50
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DIREÇÕES NOS CRISTAIS
 São representadas entre
colchetes= [hkl]
 Quando passa pela
origem
51
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DIREÇÕES NOS CRISTAIS
 São representadas entre
colchetes= [hkl]
Os números devem ser divididos
ou multiplicados por um
fator comum para dar números
inteiros
52
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DIREÇÕES PARA O
SISTEMA CÚBICO
 A simetria desta estrutura permite que as
direções equivalentes sejam agrupadas para
formar uma família de direções:
 <100> para as faces
 <110> para as diagonais das faces
 <111> para a diagonal do cubo
<110>
<111>
<100>
53
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DIREÇÕES PARA O
SISTEMA CCC
 No sistema ccc os átomos
se tocam ao longo da
diagonal do cubo, que
corresponde a família de
direções <111>
 Então, a direção <111> é a
de maior empacotamento
atômico para o sistema ccc
54
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DIREÇÕES PARA O
SISTEMA CFC
 No sistema cfc os átomos
se tocam ao longo da
diagonal da face, que
corresponde a família de
direções <110>
 Então, a direção <110> é a
de maior empacotamento
atômico para o sistema cfc
Filme 22
55
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PLANOS CRISTALINOS
Por quê são importantes?
· Para a determinação da estrutura cristalina Os métodos de difração medem diretamente a distância entre
planos paralelos de pontos do reticulado cristalino. Esta informação é usada para determinar os parâmetros do
reticulado de um cristal.
Os métodos de difração também medem os ângulos entre os planos do reticulado. Estes são usados para
determinar os ângulos interaxiais de um cristal.
· Para a deformação plástica
A deformação plástica (permanente) dos metais ocorre pelo deslizamento dos átomos, escorregando uns sobre
os outros no cristal. Este deslizamento tende a acontecer preferencialmente ao longo de planos direções
específicos do cristal.
· Para as propriedades de transporte
Em certos materiais, a estrutura atômica em determinados planos causa o transporte de elétrons e/ou acelera a
condução nestes planos, e, relativamente, reduz a velocidade em planos distantes destes.
Exemplo 1: Grafita
A condução de calor é mais rápida nos planos unidos covalentemente sp2 do que nas direções perpendiculares a esses planos.
Exemplo 2: supercondutores a base de YBa2Cu3O7
Alguns planos contêm somente Cu e O. Estes planos conduzem pares de elétrons (chamados pares de cobre) que são os
responsáveis pela supercondutividade. Estes supercondutores são eletricamente isolantes em direções perpendiculares as dos
planos Cu-O.
56
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PLANOS CRISTALINOS
 São representados de maneira similar às
direções
 São representados pelos índices de Miller =
(hkl)
 Planos paralelos são equivalentes tendos os
mesmos índices
57
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PLANOS CRISTALINOS
58
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PLANOS CRISTALINOS
Planos (010)
 São paralelos aos eixos x
e z (paralelo à face)
 Cortam um eixo (neste
exemplo: y em 1 e os
eixos x e z em )
 1/ , 1/1, 1/  = (010)
59
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PLANOS CRISTALINOS
Planos (110)
 São paralelos a um eixo
(z)
 Cortam dois eixos
(x e y)
 1/ 1, 1/1, 1/  = (110)
60
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PLANOS CRISTALINOS
Planos (111)
 Cortam os 3 eixos
cristalográficos
 1/ 1, 1/1, 1/ 1 = (111)
61
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PLANOS CRISTALINOS
 Quando as
intercessões
não são
óbvias
desloca-se o
plano até
obter as
intercessões
Fonte: Prof. Sidnei Paciornik, Departamento de
corretas
Ciência dos Materiais e Metalurgia da PUC-Rio
62
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FAMÍLIA DE PLANOS {110}
É paralelo à um eixo
63
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FAMÍLIA DE PLANOS {111}
Intercepta os 3 eixos
64
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PLANOS NO SISTEMA
CÚBICO
 A simetria do sistema cúbico faz com que a
família de planos tenham o mesmo
arranjamento e densidade
 Deformação em metais envolve deslizamento
de planos atômicos. O deslizamento ocorre
mais facilmente nos planos e direções de
maior densidade atômica
65
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PLANOS DE MAIOR DENSIDADE
ATÔMICA NO SISTEMA CCC
 A família de planos
{110} no sistema ccc é
o de maior densidade
atômica
66
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PLANOS DE MAIOR DENSIDADE
ATÔMICA NO SISTEMA CFC
 A família de planos
{111} no sistema cfc é
o de maior densidade
atômica
67
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DENSIDADE ATÔMICA
LINEAR E PLANAR
 Densidade linear= átomos/cm (igual ao fator de
empacotamento em uma dimensão)
Corresponde à fração do comprimento da linha
ocupada com átomos
 Densidade planar= átomos/unidade de área (igual
ao fator de empacotamento em duas dimensões)
Corresponde à fração da área cristlográfica planar
ocupada com átomos
68
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CÁLCULO DA DENSIDADE
ATÔMICA LINEAR
 Estrutura ccc
 Direção [100]
 Ll= comprimento linear dentro da
célula unitária=a
 Lc= comprimento linear que
intercepta os círculos
 DL= Lc/Ll
 2R/4R/(3)1/2
 Resposta=0,866
a
69
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CÁLCULO DA DENSIDADE
ATÔMICA LINEAR





Estrutura ccc
Direção [110]
DL= Lc/Ll
Lc=Ll=4R
DL= 4R/4R= 1
70
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CÁLCULO DA DENSIDADE
ATÔMICA PLANAR
A








C
C
Estrutura cfc
Plano (110)
Ap= Área planar
Ac= Área total dos círculos
D
DP= Ac/Ap
Ap=(AC).(AD)= (4R).(2R.(2)1/2)
A
Ac= 2.R2
Resposta: 0,555
E
B
C
D
E
F
F
71
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DIREÇÕES NO SISTEMA
HEXAGONAL
 Obtenção de três índices: [u´v´w´]
 Conversão para 4 índices: [uvtw]
 Regra de conversão:
u= n/3 (2u´-v´)
v= n/3 (2v´-u´)
t= - (u+v)
W= nw`
72
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DIREÇÃO [11-20]
z
a2
a3
?
a1
73
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PLANOS NO SISTEMA
HEXAGONAL
 Obtenção de três índices: (hkl)
 Conversão para 4 índices: (hkil)
 Regra de conversão:
i=- (h+k)
74
75
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DETERMINAÇÃO DA ESTRUTURA
CRISTALINA POR DIFRAÇÃO DE RAIO X
Raíos-x tem comprimento de onda
similar a distância interplanar
0,1nm
76
DETERMINAÇÃO DA ESTRUTURA
CRISTALINA POR DIFRAÇÃO DE RAIO X
O FENÔMENO DA DIFRAÇÃO:
Quando um feixe de raios x é dirigido à
um material cristalino, esses raios são
difratados pelos planos dos átomos ou
íons dentro do cristal
77
DETERMINAÇÃO DA ESTRUTURA
CRISTALINA POR DIFRAÇÃO DE RAIO X
Fonte: Prof. Sidnei Paciornik, Departamento de Ciência dos Materiais e Metalurgia da
78
PUC-Rio
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DIFRAÇÃO DE RAIOS X
LEI DE BRAGG
n= 2 dhkl.sen
 É comprimento de onda
N é um número inteiro de
ondas
dhkl=
a
(h2+k2+l2)1/2
Válido
para
sistema
cúbico
d é a distância interplanar
 O ângulo de incidência
79
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DISTÂNCIA INTERPLANAR
(dhkl)
 É uma função dos índices de Miller e do
parâmetro de rede
dhkl=
a
(h2+k2+l2)1/2
80
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TÉCNICAS DE DIFRAÇÃO
 Técnica do pó:
É bastante comum, o material a ser analisado
encontra-se na forma de pó (partículas finas
orientadas ao acaso) que são expostas à radiação
x monocromática. O grande número de
partículas com orientação diferente assegura que
a lei de Bragg seja satisfeita para alguns planos
cristalográficos
81
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O DIFRATOMÊTRO DE
RAIOS X
Amostra
Fonte




T= fonte de raio X
S= amostra
C= detector
O= eixo no qual a amostra e o
detector giram
Detector
82
Eleani Maria da Costa - DEM/PUCRS
DIFRATOGRAMA
Fonte: Prof. Sidnei Paciornik, Departamento de
Ciência dos Materiais e Metalurgia da PUC-Rio
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