ANÁLISE HARMÔNICA
IMPA - 2015
INSTRUTOR: EMANUEL CARNEIRO
Lista 6
Problema 52.
(i) Seja F : C → C uma função inteira de tipo exponencial zero tal que F (k) ∈
Lp (R) para algum 1 ≤ p ≤ ∞ e algum k ≥ 0. Prove que F é um polinômio
de grau no máximo k.
(ii) Construa, com justificativa, um exemplo de uma função inteira de tipo
exponencial zero que não é um polinômio.
Problema 53. Seja u : Rn → R uma função harmônica. Suponha que
|u(x)| ≤ C(1 + |x|)k
para alguma constante C e algum k ≥ 0. Prove que u é um polinômio (em n variáveis) de grau no máximo k.
Dica: Você pode dar uma olhada no livro "L. C. Evans, Partial Differential Equations"(Cap. II).
Problema 54. (Decomposição de Krein) Seja f uma função inteira de tipo exponencial 2π que é não-negativa e integrável em R. Prove que:
f (z) = g(z) g(z)
para alguma g ∈ P W (π).
Dica: Pesquise. Uma fonte seria o livro "N. I. Achieser, Theory of approximation"(p. 154), mas há também várias outras.
Problema 55. (One delta-problem) Utilizando a decomposição de Krein do Problema 54, dê uma solução alternativa (usando a estrutura de espaço de Hilbert com
núcleo reprodutor) para o "one-delta problem": encontrar (provando que é única)
a função f de tipo exponencial 2π, não-negativa e integrável R, tal que f (0) ≥ 1, e
que minimiza
Z ∞
f (x) dx.
−∞
Date: 30 de abril de 2015.
2000 Mathematics Subject Classification. XX-XXX.
Key words and phrases. XXX-XXX.
1
2
EMANUEL CARNEIRO
Problema 56. (Two-delta problem) Seja α > 0 um número real dado. Utilizando
o Problem 54 e a estrutura de espaço de Hilbert com núcleo reprodutor resolva
o "two-delta problem": encontrar (discutindo a unicidade) uma função f de tipo
exponencial 2π, não-negativa e integrável R, tal que f (±α) ≥ 1, e que minimiza
Z ∞
f (x) dx.
−∞
Problema 57. Considere o espaço X das funções inteiras f de tipo exponencial
π/2 tais que:
Z ∞
1/2
sin πx
2
|g(x)| 1 −
kgk2 =
< ∞.
dx
πx
−∞
Mostre que (X, k · k2 ) é um espaço de Hilbert equivalente ao (P W (π/2), k · k) (i.e.
iguais como conjuntos e com normas equivalentes).
Dica: Utilize o Princípio da Incerteza de Heisenberg. Dentre as várias formulações, você poderia olhar em "D. L. Donoho and P. Stark, Uncertainty principles
and signal recovery, SIAM J. Appl. Math 49 (1989), no. 3, 906–931" para inspiração.
Problema 58. Seja (X, k · k2 ) o espaço definido no problema anterior. Prove que
os funcionais de avaliação são limitados e portanto existe um núcleo reprodutor K.
Encontre uma fórmula explícita para K.
Dica: Dê uma olhada em nosso paper "E. Carneiro, V. Chandee, F. Littmann and
M. B. Milinovich, Hilbert spaces and the pair correlation of zeros of the Riemann
zeta-function, to appear in J. Reine Angew. Math." para inspiração.
Problema 59. Resolva o "one-delta problem"e o "two-delta problem"(apresentados
nos Problemas 55 e 56) agora com tipo exponencial π e minimizando
Z ∞
sin πx
f (x) 1 −
dx.
πx
−∞
Problema 60. Considere as funções
)
2 ( X
∞
sin πz
sgn(m)
2
H(z) =
+
π
(z − m)2
z
m=−∞
e
2
sin πz
K(z) =
.
πz
(i) Mostre que H(z) e K(z) são ambas funções de tipo exponencial 2π.
(ii) Sejam M (z) = H(z) + K(z) e L(z) = H(z) − K(z). Mostre que
L(x) ≤ sgn(x) ≤ M (x)
para qualquer x ∈ R e verifique que
Z ∞
Z ∞
{M (x) − sgn(x)} dx =
{sgn(x) − L(x)} dx = 1.
−∞
−∞
LISTA 6
3
(iii) Utilizando o Problema 55, conclua diretamente que M é o único majorante
extremal de tipo exponencial 2π para a funcão f (x) = sgn(x) e que L é o
único minorante extremal de tipo exponencial 2π.
Dica: Dê uma olhada em "J. D. Vaaler, Some extremal functions in Fourier analysis,
Bull. Amer. Math. Soc. 12 (1985), 183–215." para inspiração.
IMPA - Estrada Dona Castorina, 110, Rio de Janeiro, RJ, Brazil 22460-320
E-mail address: [email protected]