PASSATEMPO DE FÉRIAS (PROF. ANTENOR)
1. (Uerj) Três barracas de frutas, B•, B‚ e Bƒ, são
propriedade de uma mesma empresa. Suas
vendas são controladas por meio de uma matriz,
na qual cada elemento b‹Œ representa a soma dos
valores arrecadados pelas barracas B‹ e BŒ, em
milhares de reais, ao final de um determinado dia
de feira.
4. (Ita 2007) Dentre 4 moças e 5 rapazes deve-se
formar uma comissão de 5 pessoas com, pelo
menos, 1 moça e 1 rapaz. De quantas formas
distintas tal comissão poderá ser formada?
Calcule, para esse dia, o valor, em reais:
a) arrecadado a mais pela barraca Bƒ em relação
à barraca B‚;
b) arrecadado em conjunto pelas três barracas.
2. (Ufc) As matrizes A e B são quadradas de
ordem 4 e tais que
Determine a matriz BA.
3. (Ufmg 2007) Milho, soja e feijão foram
plantados nas regiões P e Q, com ajuda dos
fertilizantes X, Y e Z.
A matriz A (fig. 1) indica a área plantada de cada
cultura, em hectares, por região.
A matriz B (fig. 2) indica a massa usada de cada
fertilizante, em kg, por hectare, em cada cultura.
a) Calcule a matriz C = AB.
b) Explique o significado de c‚ƒ, o elemento da
segunda linha e terceira coluna da matriz C.
5. (Uff 2007) A administração de determinado
condomínio é feita por uma comissão colegiada
formada de 8 membros: síndico, subsíndico e um
conselho consultivo composto de seis pessoas.
Note que há distinção na escolha de síndico e
subsíndico enquanto não há esta distinção entre
os membros do conselho consultivo.
Sabendo que 10 pessoas se dispõem a fazer
parte de tal comissão, determine o número total
de comissões colegiadas distintas que poderão
ser formadas com essas 10 pessoas.
6. (Ufjf) Um jornalista foi designado para cobrir
uma reunião de ministros de estado. Ao chegar
ao local da reunião, descobriu que havia
terminado. Ao perguntar ao porteiro o número de
ministros presentes, ele disse: "Ao saírem, todos
os ministros se cumprimentaram mutuamente,
num total de 15 apertos de mão".
Com base nessa informação, qual foi o número
de ministros presentes ao encontro?
7. (Ufrj 2007) Nove pessoas serão distribuídas em
três equipes de três para concorrer a uma
gincana.
O número de maneiras diferentes de formar as
três equipes é menor do que 300?
8. (Fuvest-gv) As atuais placas de licenciamento
de automóveis constam de sete símbolos sendo
três letras, dentre as 26 do alfabeto, seguidas de
quatro algarismos.
a) Quantas placas distintas podemos ter sem o
algarismo zero na primeira posição reservada aos
algarismos?
b) No conjunto de todas as placas distintas
possíveis, qual a porcentagem daquelas que têm
as duas primeiras letras iguais?
9. (Unesp) Determinar quantos são os números
de três algarismos, múltiplos de 5, cujos
algarismos das centenas pertencem a {1,2,3,4} e
os demais algarismos a {0,5,6,7,8,9}.
10. (Ufc 2008) Considere o conjunto de dígitos C
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
a) Dentre todos os números naturais com quatro
dígitos que se pode formar utilizando somente
elementos de C, calcule quantos são múltiplos de
4.
b) Dentre todos os números naturais com três
dígitos distintos que se pode formar utilizando
somente elementos de C, calcule quantos são
múltiplos de 3.
11. (Uff) Cinco casais vão-se sentar em um banco
de 10 lugares, de modo que cada casal
permaneça sempre junto ao sentar-se.
Determine de quantas maneiras distintas todos os
casais podem, ao mesmo tempo, sentar-se no
banco.
12. (Unirio)
Um jogo é formado por 20 pontos, conforme a
figura anterior. Calcule:
a) o número total de possibilidade para
"caminhar" de A a C, sabendo-se que só pode
haver movimento na horizontal (da esquerda para
a direita) ou na vertical (de cima para baixo), um
espaço entre dois pontos de cada vez;
b) a probabilidade de "caminhar" de A a C,
passando por B, seguindo as regras do item a.
13. (Ufg 2008) Os computadores digitais
codificam e armazenam seus programas na forma
binária. No código binário, que é um sistema de
numeração posicional, as quantidades são
representadas somente com dois algarismos:
zero e um. Por exemplo, o código 101011001, no
sistema binário, representa o número 345, do
sistema de numeração decimal. Assim sendo,
calcule quantos códigos binários podem ser
escritos com exatamente nove algarismos,
considerando que o primeiro algarismo do código
binário é 1.
14. (Unicamp) Sabendo que números de telefone
não começam com 0 nem com 1, calcule quantos
diferentes números de telefone podem ser
formados com 7 algarismos.
15. (Unirio) Uma pessoa quer comprar 6 empadas
numa lanchonete. Há empadas de camarão,
frango, legumes e palmito. Sabendo-se que
podem ser compradas de zero a 6 empadas de
cada tipo, de quantas maneiras diferentes esta
compra pode ser feita?
16. (Ueg 2008) Duas importantes cidades estão
localizadas sobre a linha do Equador: uma é a
capital do Amapá e a outra é a capital do
Equador, ambas na América do Sul. Suas
longitudes são, respectivamente, 78° Oeste e 52°
Oeste. Considerando que a Terra é uma esfera
de raio 6400 km, qual é a distância entre essas
duas cidades?
17. (Unifesp 2008) Considere a função y = f(x) = 1
+ sen [(2™x - (™/2)] definida para todo x real.
a) Dê o período e o conjunto imagem da função f.
b) Obtenha todos os valores de x no intervalo [0,
1], tais que y = 1.
18. (G1) Prove que a expressão (1 + cos x - 2
cos£ x)/(1 - cos£x) é igual a (1 + 2 cos x)/(1 + cos
x).
19. (Unicamp 2008) Uma ponte levadiça, com 50
metros de comprimento, estende-se sobre um rio.
Para dar passagem a algumas embarcações,
pode-se abrir a ponte a partir de seu centro,
criando um vão åæ , conforme mostra a figura a
seguir.
conteúdo permitiu que ele elaborasse as três
questões a seguir.
Resolva essas questões, assinalando a resposta
correta.
Considerando que os pontos A e B têm
iguais, não importando a posição da
responda às questões a seguir.
a) Se o tempo gasto para girar a ponte
equivale a 30 segundos, qual será o
necessário para elevar os pontos A e B
altura de 12,5 m, com relação à posição
quando a ponte está abaixada?
b) Se ‘ = 75°, quanto mede åæ?
alturas
ponte,
em 1°
tempo
a uma
destes
23. Desenvolvendo o binômio (2x - 1)©, o
quociente entre o quarto e o terceiro termos é
a) - 4
b) - x
c) x
d) - 1/x
e) 4x
24. (Fgv 2008) Na matriz indicada, a soma dos
elementos de uma linha qualquer é igual à soma
dos elementos de uma coluna qualquer.
20. (Ufjf 2007) Considere a função f : [0, 2™] ë
IR definida por f(x) = 2 + cos x.
a) Determine todos os valores do domínio da
função f para os quais f(x) µ 3/2.
b) Seja g : [0, ™] ë IR a função definida por g(x)
= 2x. Determine a função composta h = fog,
explicitando sua lei de formação, seu domínio e
contra-domínio.
c) Verifique que a lei da função composta h pode
ser escrita na forma h(x) = 3 - 2sen£x.
21. (Unirio) Resolva a sentença 2 cos£ x - 3 cos x
+ 1 ´ 0, sendo 0´x<2™.
22. (Ufscar) O número de turistas de uma cidade
pode ser modelado pela função f(x) = 2,1 + 1,6
sen (™x/6), onde x representa o mês do ano (1
para janeiro, 2 para fevereiro, 3 para março, e
assim sucessivamente) e f(x) o número de
turistas no mês x (em milhares).
a) Determine quais são os meses em que a
cidade recebe um total de 1300 turistas.
b) Construa o gráfico da função f, para x real, tal
que x Æ [1, 12], e determine a diferença entre o
maior e o menor número de turistas da cidade em
um ano.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
(Ufsm) Ao chegar a uma das livrarias do
"shopping", um professor selecionou alguns livros
de Matemática para o Ensino Médio, cujo
O menor número de elementos dessa matriz que
devem ser modificados para que todas as seis
somas (somas dos elementos das três linhas e
das 3 colunas) sejam diferentes umas das outras
é
a) 0.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
25. (Pucrs 2007) O valor de x + y, para que o
produto das matrizes
seja a matriz nula, é
a) - 1
b) 0
c) 1
d) 2
e) 4
26. (Uece 2008) Se as matrizes
são tais que M.N = N.M, então, sobre os números
reais x e y, é possível afirmar, corretamente, que
a) x é um número qualquer e y pode assumir
somente um valor.
b) y é um número qualquer e x pode assumir
somente um valor.
c) x e y podem ser quaisquer números reais.
d) x pode assumir somente um valor, o mesmo
acontecendo com y.
27. (Ueg 2007) Duas matrizes A e B são
comutativas em relação à operação multiplicação
de matrizes, se A . B = B . A. Dada a matriz B
(figura 1), para que uma matriz não nula A (figura
2) comute com a matriz B, seus elementos devem
satisfazer a relação
29. (Uel) Uma das formas de se enviar uma
mensagem secreta é por meio de códigos
matemáticos, seguindo os passos:
1) Tanto o destinatário quanto o remetente
possuem uma matriz chave C;
2) O destinatário recebe do remetente uma matriz
P, tal que MC = P, onde M é a matriz mensagem
a ser decodificada;
3) Cada número da matriz M corresponde a uma
letra do alfabeto: 1 = a, 2 = b, 3 = c,..., 23 = z;
4) Consideremos o alfabeto com 23 letras,
excluindo as letras k, w e y;
5) O número zero corresponde ao ponto de
exclamação;
6) A mensagem é lida, encontrando a matriz M,
fazendo a correspondência número/letra e
ordenando as letras por linhas da matriz conforme
segue: m••m•‚m•ƒm‚•m‚‚m‚ƒmƒ•mƒ‚mƒƒ
Considere as matrizes:
Com base nos conhecimentos e nas informações
descritas, assinale a alternativa que apresenta a
mensagem que foi enviada por meio da matriz M.
a) Boasorte!
b) Boaprova!
c) Boatarde!
d) Ajudeme!
e) Socorro!
a) a = c + d e b = 0.
b) c = a + d e b = c.
c) a = c + d e b = 1.
d) c = a + d e d = c.
28. (Uel) Dadas as matrizes A = (a‹Œ)ƒÖ‚, definida
por a‹Œ = i - j; B = (b‹Œ)‚Öƒ, definida por b‹Œ = j; C =
(c‹Œ), definida por C = A.B, é correto afirmar que o
elemento c‚ƒ é:
a) Igual ao elemento c•‚
b) Igual ao produto de a‚ƒ por b‚ƒ
c) O inverso do elemento cƒ‚
d) Igual à soma de a•‚ com b••
e) Igual ao produto de a‚• por b•ƒ
30. (Ufsc) Assinale
CORRETA(S).
a(s)
proposição(ões)
(02) Se A e B são matrizes tais que A . B é a
matriz nula, então A é a matriz nula ou B é a
matriz nula.
(04) Sejam as matrizes M e P, respectivamente,
de ordens 5 × 7 e 7 × 5. Se R = M . P, então a
matriz R£ tem 625 elementos.
(08) Chamamos "traço de L" e anotamos tr(L) a
soma dos elementos da diagonal principal de uma
matriz quadrada L; então tr(L) = tr(L ).
31. (Ufsm) Sabendo-se que a matriz
é igual à sua transposta, o valor de 2x + y é
a) -23
b) -11
c) -1
d) 11
e) 23
32. (Unesp) Considere as matrizes
com x, y, z números reais.
Se A . B = C, a soma dos elementos da matriz A
é:
a) 9.
b) 40.
c) 41.
d) 50.
e) 81.
33. (Enem) A escrita Braile para cegos é um
sistema de símbolos no qual cada caractere é um
conjunto de 6 pontos dispostos em forma
retangular, dos quais pelo menos um se destaca
em relação aos demais.
Por exemplo, a letra A é representada por
O número total de caracteres que podem ser
representados no sistema Braile é
a) 12.
b) 31.
c) 36.
d) 63.
e) 720.
34. (Fatec) Considere que todas as x pessoas
que estavam em uma festa trocaram apertos de
mão entre si uma única vez, num total de y
cumprimentos.
Se foram trocados mais de 990 cumprimentos, o
número mínimo de pessoas que poderiam estar
nessa festa é
a) 26
b) 34
c) 38
d) 46
e) 48
35. (Fuvest) Em uma certa comunidade, dois
homens sempre se cumprimentam (na chegada)
com um aperto de mão e se despedem (na saída)
com outro aperto de mão. Um homem e uma
mulher se cumprimentam com um aperto de mão,
mas se despedem com um aceno. Duas mulheres
só trocam acenos, tanto para se cumprimentarem
quanto para se despedirem.
Em uma comemoração, na qual 37 pessoas
almoçaram juntas, todos se cumprimentaram e se
despediram na forma descrita acima. Quantos
dos presentes eram mulheres, sabendo que
foram trocados 720 apertos de mão?
a) 16
b) 17
c) 18
d) 19
e) 20
36. (Fuvest 2007) Em uma classe de 9 alunos,
todos se dão bem, com exceção de Andréia, que
vive brigando com Manoel e Alberto.
Nessa classe, será constituída uma comissão de
cinco alunos, com a exigência de que cada
membro se relacione bem com todos os outros.
Quantas comissões podem ser formadas?
a) 71
b) 75
c) 80
d) 83
e) 87
37. (G1) Os alunos da 3• série do ensino médio
foram convocados para uma eleição a fim de
escolherem dois representantes de turma e três
membros da comissão de formatura, sendo
proibida a acumulação de funções. Após uma
seleção prévia, indicaram-se oito candidatos
potenciais. O número de formas possíveis para
fazer essa escolha é expresso por
38. (Uel) Na formação de uma Comissão
Parlamentar de Inquérito (CPI), cada partido
indica um certo número de membros, de acordo
com o tamanho de sua representação no
Congresso Nacional. Faltam apenas dois partidos
para indicar seus membros. O partido A tem 40
deputados e deve indicar 3 membros, enquanto o
partido B tem 15 deputados e deve indicar 1
membro. Assinale a alternativa que apresenta o
número de possibilidades diferentes para a
composição dos membros desses dois partidos
nessa CPI.
a) 55
b) (40 - 3) . (15-1)
c) [40!/(37! . 3!)]. 15
d) 40 . 39 . 38 . 15
e) 40! . 37! . 15!
39. (Uel 2007) Antônio e Bruno são membros
atuantes do Grêmio Estudantil e estão se
formando numa turma de 28 alunos. Uma
comissão de formatura, com 5 membros, deve ser
formada para a organização dos festejos.
Quantas comissões podem ser formadas de
modo que Antônio e Bruno sejam membros?
a) 2600
b) 9828
c) 9288
d) 3276
e) 28
40. (Uerj 2007) Sete diferentes figuras foram
criadas para ilustrar, em grupos de quatro, o
Manual do Candidato do Vestibular Estadual
2007.
Um desses grupos está apresentado a seguir.
Considere que cada grupo de quatro figuras que
poderia ser formado é distinto de outro somente
quando pelo menos uma de suas figuras for
diferente.
Nesse caso, o número total de grupos distintos
entre si que poderiam ser formados para ilustrar o
Manual é igual a:
a) 24
b) 35
c) 70
d) 140
41. (Ufal 2007) Com as letras da palavra
MAGNITUDE, quantos grupos de quatro letras
pode-se formar de modo que em cada grupo
tenha exatamente duas vogais?
a) 9!
b) 4! 5!
c) 126
d) 120
e) 60
42. (Ufjf) Um cientista recebeu 5 cobaias para
usar em seu estudo sobre uma nova vacina. Seus
cálculos indicaram que o número de maneiras
possíveis de escolher pelo menos 3 cobaias é:
a) 10.
b) 16.
c) 50.
d) 120.
e) 60.
43. (Ufjf 2007) Uma empresa fornece a seus
funcionários um cartão de acesso ao seu
escritório e uma senha, que é um número com 4
algarismos, escolhidos dentre os elementos do
conjunto {1, 2, 3, 4}. Não são admitidas senhas
em que um mesmo algarismo apareça 3 vezes ou
mais. Qual é o número máximo de senhas desse
tipo que poderão ser oferecidas pela empresa?
a) 204.
b) 208.
c) 240.
d) 252.
e) 256.
44. (Ufmg) A partir de um grupo de oito pessoas,
quer-se formar uma comissão constituída de
quatro integrantes. Nesse grupo, incluem-se
Gustavo e Danilo, que, sabe-se, não se
relacionam um com o outro.
Portanto, para evitar problemas, decidiu-se que
esses dois, juntos, não deveriam participar da
comissão a ser formada.
Nessas condições, de quantas maneiras distintas
se pode formar essa comissão?
a) 70
b) 35
c) 45
d) 55
45. (Cesgranrio) Durante a Copa do Mundo, que
foi disputada por 24 países, as tampinhas de
Coca-Cola traziam palpites sobre os países que
se classificariam nos três primeiros lugares (por
exemplo: 1¡. lugar, Brasil; 2¡. lugar, Nigéria; 3¡.
lugar, Holanda).
Se, em cada tampinha, os três países são
distintos, quantas tampinhas diferentes poderiam
existir?
a) 69
b) 2024
c) 9562
d) 12144
e) 13824
46. (Fatec 2008) Para mostrar aos seus clientes
alguns dos produtos que vende, um comerciante
reservou um espaço em uma vitrine, para colocar
exatamente 3 latas de refrigerante, lado a lado.
Se ele vende 6 tipos diferentes de refrigerante, de
quantas maneiras distintas pode expô-los na
vitrine?
a) 144
b) 132
c) 120
d) 72
e) 20
47. (Fgv) Uma pessoa vai retirar dinheiro num
caixa eletrônico de um banco, mas na hora de
digitar a senha, esquece-se do número. Ela
lembra que o número tem 5 algarismos, começa
com 6, não tem algarismos repetidos e tem o
algarismo 7 em alguma posição. O número
máximo de tentativas para acertar a senha é
a) 1 680
b) 1 344
c) 720
d) 224
e) 136
48. (Pucmg 2007) Em um campeonato de dois
turnos, do qual participam dez equipes, que
jogam entre si uma vez a cada turno, o número
total de jogos previstos é igual a:
a) 45
b) 90
c) 105
d) 115
49. (Ufmg) Duas das cinqüenta cadeiras de uma
sala serão ocupadas por dois alunos. O número
de maneiras distintas possíveis que esses alunos
terão para escolher duas das cinqüenta cadeiras,
para ocupá-las, é
a) 1225
b) 2450
c) 2¦¡
d) 49!
e) 50!
50. (Ufmg) O número de múltiplos de 10,
compreendidos entre 100 e 9999 e com todos os
algarismos distintos, é:
a) 250
b) 321
c) 504
d) 576
51. (Ufrs) Quantos números inteiros positivos,
com 3 algarismos significativos distintos, são
múltiplos de 5?
a) 128
b) 136
c) 144
d) 162
e) 648
52. (Unesp) O conselho administrativo de um
sindicato é constituído por doze pessoas, das
quais uma é o presidente deste conselho. A
diretoria do sindicato tem quatro cargos a serem
preenchidos por membros do conselho, sendo
que o presidente da diretoria e do conselho não
devem ser a mesma pessoa. De quantas
maneiras diferentes esta diretoria poderá ser
formada?
a) 40.
b) 7920.
c) 10890.
d) 11!.
e) 12!.
53. (Fgv) De quantas formas podemos permutar
as letras da palavra ELOGIAR de modo que as
letras A e R fiquem juntas em qualquer ordem?
a) 360
b) 720
c) 1080
d) 1440
e) 1800
54. (Fgv 2008) O número de permutações da
palavra ECONOMIA que não começam nem
terminam com a letra O é
a) 9.400.
b) 9.600.
c) 9.800.
d) 10.200.
e) 10.800.
55. (G1) O número de múltiplos de três, com
quatro algarismos distintos, escolhidos entre 1, 4,
5, 7 e 8, é
a) 48
b) 60
c) 72
d) 84
56. (Mackenzie) Os anagramas distintos da
palavra MACKENZIE que têm a forma E.......E
são em número de:
a) 9!
b) 8!
c) 2.7!
d) 9! -7!
e) 7!
57. (Puc-rio) O produto n (n - 1) pode ser escrito,
em termos de fatoriais, como:
a) n! - (n - 2)!
b) n!/(n - 2)!
c) n! - (n - 1)!
d) n!/[2(n - 1)!]
e) (2n)!/[n!(n - 1)!]
58. (Uel) Considere todos os números inteiros
positivos que podem ser escritos permutando-se
os algarismos do número 2341. Quantos dos
números considerados são menores que 2341?
a) 9
b) 15
c) 27
d) 84
e) 120
59. (Ufc) O número de maneiras segundo as
quais podemos dispor 3 homens e 3 mulheres em
três bancos fixos, de tal forma que em cada
banco fique um casal, sem levar em conta a
posição do casal no banco, é:
a) 9
b) 18
c) 24
d) 32
e) 36
60. (Ufes) De quantas maneiras 10 clientes de um
banco podem se posicionar na fila única dos
caixas de modo que as 4 mulheres do grupo
fiquem juntas?
a) 4! × 7!
b) 5! × 6!
c) 6 × 6!
d) 10 × 6!
e) 4! + 10!
61. (Ufmg) Um aposentado realiza diariamente,
de segunda a sexta-feira, estas cinco atividades:
a) leva seu neto Pedrinho, às 13 horas, para a
escola;
b) pedala 20 minutos na bicicleta ergométrica;
c) passeia com o cachorro da família;
d) pega seu neto Pedrinho, às 17 horas, na
escola;
e) rega as plantas do jardim de sua casa.
Cansado, porém, de fazer essas atividades
sempre na mesma ordem, ele resolveu que, a
cada dia, vai realizá-las em uma ordem diferente.
Nesse caso, o número de maneiras possíveis de
ele realizar essas cinco atividades, EM ORDEM
DIFERENTE, é
a) 24
b) 60
c) 72
d) 120
62. (Ufsm) De quantas maneiras distintas podemse alinhar cinco estacas azuis idênticas, uma
vermelha e uma branca?
a) 12
b) 30
c) 42
d) 240
e) 5040
63. (Ufsm) Para efetuar suas compras, o usuário
que necessita sacar dinheiro no caixa eletrônico
deve realizar duas operações: digitar uma senha
composta por 6 algarismos distintos e outra
composta por 3 letras, escolhidas num alfabeto
de 26 letras. Se essa pessoa esqueceu a senha,
mas lembra que 8, 6 e 4 fazem parte dos três
primeiros algarismos e que as letras são todas
vogais distintas, sendo E a primeira delas, o
número máximo de tentativas necessárias para
acessar sua conta será
a) 210
b) 230
c) 2.520
d) 3.360
e) 15.120
64. (Unesp) Quatro amigos, Pedro, Luísa, João e
Rita, vão ao cinema, sentando-se em lugares
consecutivos na mesma fila. O número de
maneiras que os quatro podem ficar dispostos de
forma que Pedro e Luísa fiquem sempre juntos e
João e Rita fiquem sempre juntos é
a) 2.
b) 4.
c) 8.
d) 16.
e) 24.
65. (Unitau) O número de anagramas da palavra
BIOCIÊNCIAS que terminam com as letras AS,
nesta ordem é:
a) 9!
b) 11!
c) 9!/(3! 2!)
d) 11!/2!
e) 11!/3!
66. (Fuvest) Quantos são os números inteiros
positivos de 5 algarismos que não têm algarismos
adjacentes iguais?
a) 5ª.
b) 9 × 8¥.
c) 8 × 9¥.
d) 8¦.
e) 9¦.
67. (Fuvest) Considere todas as trinta e duas
seqüências, com cinco elementos cada uma, que
podem ser formadas com os algarismos 0 e 1.
Quantas dessas seqüências possuem pelo
menos três zeros em posições consecutivas?
a) 3
b) 5
c) 8
d) 12
e) 16
68. (Ita) Considere todos os números de cinco
algarismos formados pela justaposição de 1, 3, 5,
7 e 9 em qualquer ordem, sem repetição. A soma
de todos esses números está entre:
a) 5 × 10§ e 6 × 10§
b) 6 × 10§ e 7 × 10§
c) 7 × 10§ e 8 × 10§
d) 9 × 10§ e 10 × 10§
e) 10 × 10§ e 11 × 10§
69. (Puccamp) Seja o conjunto A= {1, 2, 3, 5, 7,
11, 13, 17, 19}. Quantos produtos de 4 fatores
distintos, escolhidos entre os elementos de A,
contêm o fator 5 e são pares?
a) 21
b) 24
c) 35
d) 42
e) 70
70. (Uel) Para responder a certo questionário,
preenche-se o cartão apresentado a seguir,
colocando-se um "x" em uma só resposta para
cada questão.
De quantas maneiras distintas pode-se responder
a esse questionário?
a) 3 125
b) 120
c) 32
d) 25
e) 10
71. (Ufal 2007) Desde o fim da última era glacial
até hoje, a humanidade desenvolveu a
agricultura, a indústria, construiu cidades e, por
fim, com o advento da Internet, experimentou um
avanço comercial sem precedentes. Quase todos
os produtos vendidos no planeta atravessam
alguma fronteira antes de chegar ao consumidor.
No esquema adiante, suponha que os países a,
b, c e d estejam inseridos na logística do
transporte de mercadorias com o menor custo e
no menor tempo.
Os números indicados representam o número de
rotas distintas de transporte aéreo disponíveis,
nos sentidos indicados. Por exemplo, de a até b
são 4 rotas; de c até d são 2 rotas, e assim por
diante.
Nessas condições, o número total de rotas
distintas, de a até d é igual a
a) 66
b) 65
c) 64
d) 63
e) 62
72. (Ufes) Um "Shopping Center" possui 4 portas
de entrada para o andar térreo, 5 escadas
rolantes ligando o térreo ao primeiro pavimento e
3 elevadores que conduzem do primeiro para o
segundo pavimento.
De quantas maneiras diferentes uma pessoa,
partindo de fora do "Shopping Center" pode
atingir o segundo pavimento usando os acessos
mencionados?
a) 12
b) 17
c) 19
d) 23
e) 60
73. (Ufscar 2007) Um encontro científico conta
com a participação de pesquisadores de três
áreas, sendo eles: 7 químicos, 5 físicos e 4
matemáticos. No encerramento do encontro, o
grupo decidiu formar uma comissão de dois
cientistas para representá-lo em um congresso.
Tendo sido estabelecido que a dupla deveria ser
formada por cientistas de áreas diferentes, o total
de duplas distintas que podem representar o
grupo no congresso é igual a
a) 46.
b) 59.
c) 77.
d) 83.
e) 91.
74. (Unaerp) Uma fechadura de segredo possui 4
contadores que podem assumir valores de 0 a 9
cada um, de tal sorte que, ao girar os contadores,
esses números podem ser combinados, para
formar o segredo e abrir a fechadura. De quantos
modos esses números podem ser combinados
para se tentar encontrar o segredo?
a) 10.000
b) 64.400
c) 83.200
d) 126
e) 720
75. (Fatec) No desenvolvimento do binômio (x 1)¢¡¡ segundo as potências decrescentes de x, a
soma dos coeficientes do segundo e do quarto
termos é
a) - 323.500
b) - 171.700
c) - 161.800
d) 3.926.175
e) 23.532.300
76. (Fatec 2007) Para que o termo médio do
desenvolvimento do binômio (sen x + cos x)§,
segundo as potências decrescentes de sen x,
seja igual a 5/2, o arco x deve ter sua
extremidade pertencente ao
a) primeiro ou segundo quadrantes.
b) primeiro ou terceiro quadrantes.
c) segundo ou terceiro quadrantes.
d) eixo das abscissas.
e) eixo das ordenadas.
77. (Fgv 2007) Sendo k um número real positivo,
o terceiro termo do desenvolvimento de (-2x
+
k)¢£, ordenado segundo expoentes decrescentes
de x, é 66x¢¡. Assim, é correto afirmar que k é
igual a
a) 1/66.
b) 1/64.
c) 1/58.
d) 1/33.
e) 1/32.
78. (Fgv 2008) A soma dos coeficientes de todos
os termos do desenvolvimento de (x - 2y)¢© é igual
a
a) 0.
b) 1.
c) 19.
d) -1.
e) -19.
79. (G1) O termo independente de x no
desenvolvimento de [x + (1/x)]¥ é o
a) segundo.
b) terceiro.
c) quarto.
d) quinto.
80. (Ufrs) A soma dos coeficientes do polinômio
(x£ + 3x - 3)¦¡ é
a) 0.
b) 1.
c) 5.
d) 25.
e) 50.
81. (Fuvest 2008) Para se calcular a altura de
uma torre, utilizou-se o seguinte procedimento
ilustrado na figura: um aparelho (de altura
desprezível) foi colocado no solo, a uma certa
distância da torre, e emitiu um raio em direção ao
ponto mais alto da torre. O ângulo determinado
entre o raio e o solo foi de ‘ = ™/3 radianos. A
seguir, o aparelho foi deslocado 4 metros em
direção à torre e o ângulo então obtido foi de ’
radianos, com tg ’ = 3Ë3.
É correto afirmar que a altura da torre, em metros,
é
a) 4Ë3
b) 5Ë3
c) 6Ë3
d) 7Ë3
e) 8Ë3
82. (Ueg 2008)
Considere os segmentos A³A•, A•A‚ e A‚Aƒ da
figura acima, na qual cada segmento é
perpendicular a um lado do ângulo š. Se a
medida do segmento A³A• é 1 e š = 30°, a medida
do segmento A‚Aƒ é:
a) Ë3/4
b) 1/4
c) 1/2
d) 3/4
83. (Ufes 2007) Duas viaturas policiais A e B
perseguem um carro suspeito C numa grande
cidade. A viatura A possui um radar que informa
ao Comando Central que a distância dela até B é
de 8 km e a distância dela até C é de 6 km. A
viatura B possui um aparelho que informa ao
Comando que, nesse instante, o ângulo AïC é de
45°. Sabendo que o carro C está mais próximo de
A do que de B, calcule a distância, em km, entre
B e C. A resposta é
a) 2(Ë3) + 4
b) 4(Ë2) + 2
c) 3(Ë2) + 2
d) 3(Ë2) + 3
e) 2(Ë2) + 4
84. (Unesp 2008) Dois edíficios, X e Y, estão um
em frente ao outro, num terreno plano. Um
observador, no pé do edifício X (ponto P), mede
um ângulo ‘ em relação ao topo do edifício Y
(ponto Q). Depois disso, no topo do edifício X,
num ponto R, de forma que RPTS formem um
retângulo e QT seja perpendicular a PT, esse
observador mede um ângulo ’ em relação ao
ponto Q no edifício Y.
Considerando ™ = 3,14, o arco da fatia N+1, em
radiano, é
a) 0,74.
b) 0,72.
c) 0,68.
d) 0,56.
e) 0,34.
Sabendo que a altura do edifício X é 10 m e que 3
tg ‘ = 4 tg ’, a altura h do edifício Y, em metros,
é:
a) 40/3.
b) 50/4.
c) 30.
d) 40.
e) 50.
85. (G1) Na figura, tem-se duas circunferências
coplanares e concêntricas. Sendo OA = 4 cm, CD
= 6 cm e o comprimento do arco AC = 6 cm, o
comprimento do arco BD, em cm, é
87. (Ufsm 2007) No último pleito, o horário de
encerramento
das
votações,
segundo
determinação do TSE para todo o estado do Rio
Grande do Sul, foi às 17 horas. Passados 5
minutos do encerramento, o menor ângulo entre
os ponteiros do relógio era de
a) 123°
b) 122° 30'
c) 122°
d) 120° 30'
e) 120°
88. (Uff 2007) Nas comunicações, um sinal é
transmitido por meio de ondas senoidais,
denominadas ondas portadoras.
Considere a forma da onda portadora modelada
pela função trigonométrica
f(t) = 2 sen [3t - (™/3)], t Æ IR
Pode-se afirmar que o gráfico que melhor
representa f(t) é:
a) 8
b) 12
c) 15
d) 18
86. (Ufscar) Uma pizza circular será fatiada, a
partir do seu centro, em setores circulares. Se o
arco de cada setor medir 0,8 radiano, obtém-se
um número máximo N de fatias idênticas,
sobrando, no final, uma fatia menor, que é
indicada na figura por fatia N+1.
89. (Ufjf 2007) Considere as funções f, g e h
definidas a seguir e os 3 gráficos apresentados.
I. f : IR ë IR, f (x) = sen (2x)
II. g : IR ë IR, g (x) = sen | x |
III. h : IR ë IR, h (x) = sen (-x)
III) sen 160° > sen 172°
Das afirmações acima:
a) todas são verdadeiras.
b) todas são falsas.
c) somente II e III são verdadeiras.
d) somente II é verdadeira.
e) somente I e II são verdadeiras.
94. (Ufal) Analise as afirmativas abaixo, nas quais
x é um número real.
A associação que melhor corresponde cada
função ao seu respectivo gráfico é:
a) I - A, II - B e III - C.
b) I - A, II - C e III - B.
c) I - B, II - A e III - C.
d) I - B, II - C e III - A.
e) I - C, II - A e III - B.
90. (Ufpa 2008) O gráfico da função f dada por f(t)
= cos[t + (™/2)] no intervalo [0, 2™] é
(
(
(
(
(
) sen 495° = sen (™/4)
) tg (8™/7) < 0
) sen (™/5) + sen (™/5) = sen (2™/5)
) A equação tgx = 1000 não tem solução
) Para 0 ´ x < ™/4 tem-se cos x > sen x
95. (Ufal) O seno de um arco de medida 2340° é
igual a
a) -1
b) - 1/2
c) 0
d) (Ë3)/2
e) 1/2
96. (Ufrs) Considere as afirmativas abaixo.
I. tan 92° = - tan 88°
II. tan 178° = tan 88°
III. tan 268° = tan 88°
IV. tan 272° = - tan 88°
91. (Fei) Se 0 < x < ™/4, é válido afirmar-se que:
a) sen [(™/2) - x] = sen x
b) cos (™ - x) = cos x
c) sen (™ + x) = sen x
d) sen [(™/2) - x] = cos x
e) cos (™ + x) = sen x
92. (G1) O valor de y = cos 150° + sen 300° - tg
225° - cos 90° é
a) - [(Ë3) - 3]/2
b) - (Ë3) + 1
c) - (Ë3) -1
d) (Ë3) - 1
93. (Mackenzie) I) cos 225° < cos 215°
II) tg (5™/12) > sen (5™/12)
Quais estão corretas?
a) Apenas I e III.
b) Apenas III e IV.
c) Apenas I, II e IV.
d) Apenas I, III e IV.
e) Apenas II, III e IV.
97. (G1) Sendo sen x = - 4/5 e 3™/2 < x < 2™,
então a tg x é igual a
a) - 4/3
b) - 3/5
c) 3/4
d) 5/3
98. (G1) A simplificação da expressão
(2 - 2 cos x - sen£ x) / (1 - cos x),
onde cos x · 1, é
a) -1 - cos x
b) -1 + cos x
c) 1 + cos x
d) 1 - cos x
99. (G1 - cftmg 2007) Sabendo-se que cos ‘ =
3/5 e 0 < ‘ < ™/2, pode-se afirmar que tg ‘ vale
a) 4/3
b) 1
c) 5/6
d) 3/4
100. (Fatec 2008) Em uma região plana de um
parque estadual, um guarda florestal trabalha no
alto de uma torre cilindrica de madeira de 10 m de
altura. Em um dado momento, o guarda, em pé
no centro de seu posto de observação, vê um
foco de incêndio próximo à torre, no plano do
chão, sob um ângulo de 15° em relação a
horizontal. Se a altura do guarda é 1,70 m, a
distância do foco ao centro da base da torre, em
metros, é aproximadamente
Obs: use Ë3 =1,7
a) 31
b) 33
c) 35
d) 37
e) 39
101. (G1) Considere tg ‘ e tg ’ raízes da
equação 2x£ - x + 1 = 0. Se 0 ´ ‘ + ’ ´ ™, ‘ + ’
é igual a:
a) 0
b) ™/6
c) ™/4
d) ™/2
e) ™
102. (Ufsm) Considerando x · y, a expressão
sen(x + y).sen(x - y) é equivalente a
a) sen (x£ - y£)
b) sen x£ + sen y£
c) sen x sen y + cos x cos y
d) sen£ x cos£ y
e) cos£ y - cos£ x
103. (Unifesp) A expressão sen (x - y) cos y + cos
(x - y) sen y é equivalente a
a) sen (2x + y).
b) cos (2x).
c) sen x.
d) sen (2x).
e) cos (2x + 2y).
104. (Fgv 2008) O valor de cos 72° - cos£ 36° é
idêntico ao de
a) cos 36°.
b) - cos£ 36°.
c) cos£ 36°.
d) - sen£ 36°.
e) sen£ 36°.
105. (G1 - cftce 2007) Se sen x = 3/4 e x é um
arco do 2¡. quadrante, então o valor de sen (2 x)
é:
a) 9/16
b) (Ë7)/4
c) (3Ë7)/8
d) - (3Ë7)/8
e) (3Ë7)/4
106. (Ueg 2007) Sendo x um número real
qualquer, a expressão (sen x + cos x)£ - sen 2x é
igual a
a) 1
b) - 2
c) 3Ë2
d) Ë2
107. (Uel 2008) Se cos (2x) = 1/2, então o valor
de tan£ (x) + sec£ (x) é:
a) 1/3
b) 2/3
c) 1
d) 4/3
e) 5/3
108. (Mackenzie) Quando resolvida no intervalo
[0; 2™], o número de quadrantes nos quais a
desigualdade 2 cos x < Ë3 apresenta soluções é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
109. (Puc-rio 2008) Assinale o valor de š para o
qual sen 2š = tg š.
a) ™/2
b) ™/3
c) 2™/3
d) 4™/3
e) 3™/4
110. (Pucrj) Os ângulos (em graus) š entre 0° e
360° para os quais sen š = cos š são:
a) 45° e 90°
b) 45° e 225°
c) 180° e 360°
d) 45°, 90° e 180°
e) 90°, 180° e 270°
111. (Pucrs) O conjunto solução da equação
sen(x) - cos(x) = 0 em [0; 2™] é
a) { }
b) {0}
c) {- ™/4, ™/4}
d) {™/4, 3™/4}
e) {™/4, 5™/4}
112. (Uece 2008) O número de soluções da
equação | sen 2x | = | cos x |, no intervalo [0, 2™],
é:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
113. (Ufpa 2008) Considere a função f dada por
f(x) = 8 + sen[x - (™/7)]. Podemos afirmar que f
assume seu valor mínimo quando
a) x = (™/7) + 2k™, k = 0, •1, •2, ...
b) x = (8™/7) + k™, k = 0, •1, •2, ...
c) x = (23™/14) + 2k™, k = 0, •1, •2, ...
d) x = (9™/14) + 2k™, k = 0, •1, •2, ...
e) x = (8™/7) + 2k™, k = 0, •1, •2, ...
114. (Ufrs) O número de soluções da equação
2cos x = sen x que pertencem ao intervalo [16™/3, 16™/3] é
a) 8.
b) 9.
c) 10.
d) 11.
e) 12.
e det (A.B) = 2, então x-Ñ é igual a
a) - 4
b) 1/4
c) 1
d) 2
e) 4
116. (G1) O número de soluções inteiras que
verificam a inequação
é (são)
a) uma.
b) duas.
c) três.
d) quatro.
117. (Uece 2007) Considere a matriz
A soma das raízes da equação det(M£) = 25 é
igual a
a) 14
b) - 14
c) 17
d) - 17
118. (Uel 2007) Considere as seguintes matrizes
115. (Fatec 2008) Se x é um número real positivo
tal que
Assinale a alternativa correta:
a) A . B = C
b) A . B-¢ = C
c) det (k . A) = k det(A) para todo k Æ R
d) det (A + B) = det(A) + 2 det(B)
e) det (A + B + C) = 10
119. (Uel 2008) Seja A uma matriz quadrada 2 ×
2 de números reais dada por:
122. (Ufsm 2007)
"Até a noite de ontem,
sete candidatos ao Palácio do Planalto haviam
registrado a candidatura no Tribunal Superior
Eleitoral (TSE). A eleição, por enquanto, está
polarizada entre o presidente Luis Inácio Lula da
Silva (PT) e o ex-governador de São Paulo,
Geraldo Alckmin (PSDB)."
Jornal ZH, 6 de julho de 2006.
O polinômio característico de A é definido por c(t)
= det (A - t . I), onde I é a matriz identidade 2 × 2.
Nessas condições, o polinômio característico da
matriz A é:
a) t£ - 4
b) - 2t - 1
c) t£ + t + 1
d) t¤ + 2t£ + 3t + 4
e) t£ - 5t - 2
120. (Ufla 2008) O determinante da matriz
é:
a) -1
b) 1
c) 0
d) sen 2x
121. (Ufpr 2007) Sendo I a matriz identidade de
ordem 2,
considere as afirmativas a seguir:
1. A + A = 2 . I
2. det (A . B) = - Ë3
3. B£¡¡¨ = B
Assinale a alternativa correta.
a) Somente a afirmativa 1 é verdadeira.
b) Somente a afirmativa 2 é verdadeira.
c) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
e) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
Sendo p o número de anagramas da palavra
LULA e m o número de anagramas da palavra
ALCKMIN, o valor do determinante da matriz
é
a) - 2160
b) - 720
c) 720
d) 2160
e) 2880
123. (Ufu) Seja A uma matriz quadrada de ordem
3 inversível, tal que A£ = - 2A , em que A
representa a transposta de A. Nessas condições
o determinante de A é igual a
a) 2.
b) - 8.
c) 0.
d) - 2.
124. (Unesp 2008) Seja A uma matriz. Se
o determinante A é:
a) 8.
b) 2Ë2.
c) 2.
d) ¤Ë2.
e) 1.
FONTE: SuperPro
GABARITO
2 + cos (2x)
c) h(x) = 2 + cos 2x = 2 + (cos£
x - sen£ x) = 2 + (1 - 2sen£ x) =
3 - 2sen£ x
1. a) 1.200 reais.
b) 3.400 reais.
21. 0 ´ x ´ ™/3 ou 5 ™/3 ´ x <
2™
2. Sendo I a matriz identidade
de ordem 4, temos:
.B=I
AB = 9 . I Ì [(1/9) . A]
Logo [(1/9) . A] e B são
matrizes inversíveis.
Desse modo, B-¢ = (1/9) . A
Ì A = 9 . B -¢.
E, portanto, BA = B . 9 . B -¢ =
9 . (B . B -¢) = 9 . I.
3. a)----- split --->
b) c‚ƒ = 1700 significa que
serão necessários 1700 kg do
fertilizante Z para as culturas
de milho, soja e feijão na
região Q.
22. a) julho e novembro.
Logo, 280 < 300.
8. a) 158184000
b) 1/26 ¸ 3,85 %
9. 48
10. a) 6£ . 9 = 324
b) 8 . Pƒ = 48
11. 3840 maneiras distintas.
12. a) 35
b) 18/35
13. 256.
14. 8 000 000.
15. 84
16.
Aproximadamente
2.902,76 km (supondo ™ =
3,14).
17. a) P = 1; Im = [0; 2]
b) {1/4, 3/4}
4. 125
5. 2.520
6. 6
7. O número de maneiras de
formarmos 3 equipes de 3
pessoas é dado por:
b) 3.200 turistas.
Observe a figura a seguir:
18. (1 + cos x - 2 cos£ x)/(1 cos£x) = [(1 - cos x) (1 + 2 cos
x)]/[(1 + cos x) (1 - cos x)] = (1
+ 2 cos x)/(1 + cos x).
19. a) 15 minutos.
b) 25[2 - Ë(2 - Ë3)] m.
20. a) {x Æ IR | 0 ´ x ´ 2™/3
ou 4™/3 ´ x ´ 2™}
b) h : [0, ™] ë IR onde h(x) =
23. [D]
24. [D]
25. [D]
26. [A]
27. [A]
28. [E]
29. [A]
30. 01 + 08 = 09
31. [C]
32. [B]
33. [D]
34. [D]
35. [B]
36. [A]
37. [C]
38. [C]
67. [C]
96. [D]
39. [D]
68. [B]
97. [A]
40. [B]
69. [A]
98. [D]
41. [E]
70. [C]
99. [A]
42. [B]
71. [B]
100. [E]
43. [A]
72. [E]
101. [C]
44. [D]
73. [D]
102. [E]
45. [D]
74. [A]
103. [C]
46. [C]
75. [C]
104. [D]
47. [B]
76. [B]
105. [D]
48. [B]
77. [E]
106. [A]
49. [B]
78. [B]
107. [E]
50. [D]
79. [B]
108. [E]
51. [B]
80. [B]
109. [E]
52. [C]
81. [C]
110. [B]
53. [D]
82. [D]
111. [E]
54. [E]
83. [B]
112. [D]
55. [C]
84. [D]
113. [C]
56. [E]
85. [C]
114. [C]
57. [B]
86. [C]
115. [B]
58. [A]
87. [B]
116. [A]
59. [E]
88. [A]
117. [B]
60. [A]
89. [D]
118. [D]
61. [B]
90. [D]
119. [E]
62. [C]
91. [D]
120. [A]
63. [E]
92. [C]
121. [D]
64. [C]
93. [C]
122. [D]
65. [C]
94. V F F F V
123. [B]
66. [E]
95. [C]
124. [C]