UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Mestrado Integrado em Engenharia Aeronáutica
Cálculo I
Ficha 1
Ano Lectivo 2012/2013
1) Efectue as seguinte operações
2 3
+ ;
3 2
2 4
e) × ;
3 3
a)
11 5
+ ;
4
2
3 4
f) × ;
4 7
2 3
− ;
3 2
3 2
g) ÷ ;
2 5
b)
3 2
− ;
2 3
2 4
h) ÷ .
3 3
c)
d)
2) Calcule, em R, o conjunto solução das seguintes equações
a) 18x − 43 = 65 ;
b) 23x − 16 = 14 − 17x ;
c) 10y − 5(1 + y) = 3(2y − 2) − 20 ;
d) x(x + 4) + x(x + 2) = 2x2 + 12 ;
e)
x − 5 1 − 2x
3−x
+
=
;
10
5
4
g) x2 − 4 = 0 ;
f ) x2 − 5x + 6 = 0 ;
k) x2 − 6x + 9 = 0 ;
l) x2 + x + 1 = 0 .
h) 3x2 − 6x = 0 ;
i) x2 + 6x + 8 = 0 ;
j) 2x2 − 7x + 3 = 0 ;
3) Determine, em R, o conjunto solução das seguintes condições:
a) 2x + 7 > 3;
d) 0 6 1 − x < 1;
g) 2x − 3 < x + 4 < 3x − 2;
b) 4 − 3x 6 6;
e) −5 6 3 − 2x 6 9;
h) (2x + 3)(x − 1) > 0;
c) 1 < 3x + 4 6 16;
f ) 4x < 2x + 1 6 3x + 2;
i) (x + 1)(x − 2)(x + 3) > 0 .
4) Determine, em R, o conjunto solução das seguintes condições:
a)
x−2
< 0;
x+2
x−2
> −2 ;
2x + 3
√
x−2
g)
< 3;
1 − 2x
d)
x−2
6 2;
x+3
3x − 2
e)
< −3 ;
2x + 1
3x − 2
6 3;
h) 0 6
x+2
b)
x−3
> 1;
x−2
√
2−x
6 3;
f)
x+2
x−2
i) −1 <
< 3.
x+1
c)
5) Determine, em R, o conjunto solução das seguintes condições:
a) x3 > x ;
b) x3 + 3x < 4x2 ;
c) 2x2 + x 6 1 ;
d) x2 + x + 1 > 0 ;
e) x2 + x > 1 ;
f ) x2 < 3 ;
g) x2 > 5 ;
h) x3 − x2 6 0 ;
i) x2 + 2x + 1 > 0 ;
j) x2 + 3x − 1 < 3x + 2 ;
k) 2 − x2 > 2x + 3x2 + 1 ;
l) 4x < x2 + 3 < 4 .
6) Determine, em R, o conjunto solução das seguintes condições:
a)
x−1
> 2x ;
x+1
b)
x−2
< 3x ;
2x + 1
d)
x−3
> x + 1;
x+1
e)
x−1
6 x − 1;
2x + 1
c)
x−1
> −x ;
x+2
f ) 3x >
x−2
> 2x + 1 .
1−x
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Cálculo I
Ficha 2
Ano Lectivo 2012/2013
1) Reescreva a expressão, sem usar o símbolo de valor absoluto:
a) |5 − 23| ;
√
e) | 5 − 5| ;
i) |x + 1| ;
b) |5| − | − 23| ;
f ) | − 2| − | − 3| ;
j) |2x − 1| ;
c) | − π| ;
d) |π − 2| ;
g) |x − 2| se x < 2 ;
h) |x − 2| se x > 2 ;
k) |x2 + 1| ;
l) |1 − 2x2 | .
2) Determine, em R, o conjunto solução das seguintes condições:
a) |2x| = 3 ;
b) |3x + 5| = 1 ;
c) |x + 3| = |2x + 1| ;
e) |x − 4| < 1 ;
f ) |x + 1| > 3 ;
g) 1 6 |x| 6 4 ;
2x − 1 = 3;
d) x+1 h) 0 < |x − 5| < 1/2 .
3) Escreva em extensão ou na forma de um intervalo ou de uma reunião de intervalos o conjuntos dos
números x ∈ R tais que
a) |x + 1| = 2 ;
b) |x − 3 − 2x| < 3 ;
c) |x + 2| 6 1 ;
d) |x + 5| > 7 ;
e) 2 < |x − 1| 6 3 ;
f ) |x − 2| < 1 ;
g) |x + 2| > 2 ;
h) |2x − 5| < 2 ;
i) |3x + 1| > 1 ;
j) |2x + 1| > 5 ;
k) 3|x + 2| 6 1 ;
l) 2 + |x + 1| 6 3 ;
n) 3 |x + 1/2| > 2 ;
o) |1 − 2x| < 2 ;
p) 3 < |x| 6 4 ;
r) 0 6 |x − 1| < 2 ;
s) 0 < |x − 1| < 2 ;
t) |x + 3| = |x + 1| .
m) 1 − |2x + 1| > 1 ;
q) −1 < |x| < 3 ;
4) Escreva em extensão ou na forma de um intervalo ou de uma reunião de intervalos o conjuntos dos
números x ∈ R tais que
a) |x2 − 5x + 3| > 3 ;
b) |x2 − 5x + 3| 6 3 ;
d) |x2 − x − 1| < 1 ;
e) |x2 + x − 1| 6 1 ;
c) |x2 − x − 1| > 1 ;
f ) 3 > |x2 + 2x + 1| > 1 ;
5) Escreva em extensão ou na forma de um intervalo ou de uma reunião de intervalos o conjuntos dos
números x ∈ R tais que
2
x − 1
x−2 x + 2x − 3 < 3;
a) > 2;
c) 1 6 b) = 1;
x + 1
2x + 1 x2 − 1 2
2
2x − 2 x − 3
x + x − 2
< 3;
6 2.
> 3;
e) 2
f ) 2
d) x − 1
2x + 1 x − x
6) Escreva uma inequação da forma |x − a| < b ou |x − a| 6 b cujo conjunto solução seja
a) ] − 1, 1[ ;
b) ] − 1/2, 1/2[ ;
d) ] − 3, −1[ ;
e) [−1/2, 0] ;
c) [−1, 2] ;
f ) {0} .
7) Escreva uma inequação da forma |x − a| > b ou |x − a| > b cujo conjunto solução seja
a) ] − ∞, −1[ ∪ ]1, +∞[ ;
d) ] − ∞, −3] ∪ [−1, +∞[ ;
b) ] − ∞, 0[ ∪ ]2, +∞[ ;
e) ] − ∞, −1] ∪ [0, +∞[ ;
c) ] − ∞, 1] ∪ [3, +∞[ ;
f) R .
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Cálculo I
Ficha 3
Ano Lectivo 2012/2013
1) A Velocidade v é a razão entre a distância percorrida d e o tempo t gasto a percorrê-la.
a) Identifique a expressão que permite escrever t como função de d sempre que a velocidade v for
constante.
b) A distância entre Nova York e Lisboa é 5 500 km. Quanto tempo demora o percurso entre as
duas cidades
i) num jacto a 800 km/h?
ii) para um raio luminoso a 300 000 km/s?
2) Uma haste rígida, feita de material muito leve, de modo que podemos considerar o seu peso desprezável, gira em torno de um eixo. Numa das extremidades, à distância de 1 metro do eixo, está
colocado um peso de 3 Kg. Para que a haste fique em equilíbrio (isto é, no plano horizontal do
eixo), colocamos um outro peso de P Kg no outro lado da haste e à distância d (metros) do eixo;
verifica-se experimentalmente que o equilíbrio é conseguido se os valores de d e P se correspondem
de acordo com a tabela
d 1 0.5 0.3 0.1 0.05
P 3 6 10 30 60
É possível concluir da análise destes dados que as grandezas P e d são inversamente proporcionais.
a) Identifique a expressão que permite escrever P como função de d.
b) Determine o domínio da função P (d).
3) Sejam c e f duas variáveis representando a mesma temperatura medida respectivamente em graus
Celsius (C) e em graus Fahrenheit (F). A relação entre c e f é descrita por uma função afim. O
ponto de congelamento da água é de c = 0◦ C ou f = 32◦ F . A temperatura de ebulição é de
c = 100◦ C ou f = 212◦ F .
a) Determine a fórmula de conversão da temperatura em graus Fahrenheit para a temperatura em
graus Celsius.
b) Existe alguma temperatura para a qual os valores em graus Celsius e Fahrenheit sejam iguais?
Determine-a em caso afirmativo.
c) A relação entre a temperatura absoluta k, medida em Kelvin (K), e a temperatura c, em graus
Celsius (C), é descrita por uma função afim. Sabendo que k = 273K quando c = 0◦ C e
k = 373K quando c = 100◦ C determine k em função de f .
4) Uma companhia de electricidade cobra aos seus clientes uma taxa de 10 euros por mês mais 6
cêntimos por cada quilowatt hora (kWh) gasto até 1200 kWh e de 7 cêntimos por cada kWh gasto
acima dos 1200 kWh.
a) Escreva uma expressão que lhe permita escrever o custo mensal C em euros em função da
quantidade de electricidade gasta.
b) Calcule quanto é que paga um consumidor que gaste 2000 kWh.
5) Exprima o raio de uma circunferência em função do perímetro da mesma.
6) Um paralelepípedo rectângulo tem dimensões a, 2a, 3a. Exprima a em função do volume do paralelepípedo.
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Cálculo I
Ficha 4
Ano Lectivo 2012/2013
1) Considere a função f : R → R representada no gráfico ao
lado. Esboce o gráfico de cada uma das funções seguintes:
a)
c)
e)
g)
|f (x)|
f (x + 1)
−f (x)
f (2x)
b)
d)
f)
h)
f (x − 2)
2f (x)
f (x) + 1
f (x/2)
2) Resolva o exercício anterior considerando as funções f (x) = x2 em R e g(x) =
]0, +∞[.
1
definida em
x
3) Esboce os gráficos das seguintes funções:
a) f (x) = 2x − 1
d) f (x) = |x|
b) f (x) = −x2 − x + 2
c) f (x) = x2 + 4
e) f (x) = |x − 3|
f ) f (x) = 1 − |x|
4) Seja f (x) = −x2 + 2x + 3. Desenhe os gráficos das funções abaixo indicadas.
b) f (|x|)
a) f (x)
c) |f (|x|)|
d) |f (x)|
5) Determine o domínio e o contradomínio das seguintes funções e esboce os seus gráficos
a) f (x) =
x + 10
x−5
b) f (x) =
4−x
x+3
c) f (x) =
5x + 4
x−1
6) Determine o domínio e o contradomínio das seguintes funções:
√
√
√
c) f (x) = x − 1
b) f (x) = x2 − 1
a) f (x) = 5 − x + 4
1
2
|x|
f ) f (x) = p
e) f (x) =
d) f (x) =
|x − 2| − 1
1 + x4
x
7) Considere as funções f : R → R, g : R → R e h : R → R dadas por
f (x) = x2 + x,
g(x) =
x
x2 + 1
e
h(x) =
x+1
.
2
Calcule:
a) (f ◦ g)(−1)
d) (f ◦ h)(x)
g) h−1 (0)
b) (g ◦ f )(2)
e) (h ◦ f )(x)
h) h−1 (3)
c) (f ◦ g ◦ h)(1)
f ) (h ◦ f ◦ g)(x)
i) (h(3))−1
8) Determine as expressões que definem as inversas das seguintes funções e indique os respectivos
domínios:
√
3x − 1
x
b) f (x) =
c) f (x) = x − 3
a) f (x) = − + 2
x+2
5
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Cálculo I
Ficha 5
Ano Lectivo 2012/2013
1) As funções
N1 (t) = 12 × (1.03)t ,
N2 (t) = 13 × (0.19)t ,
N3 (t) = 4 × (1.28)t
e N4 (t) = 9 × (0.38)t
descrevem a evolução do número de bactérias (em milhões por mililitro) em quatro colónias distintas
ao longo do tempo (em horas), a partir de um certo instante inicial t = 0.
a) Qual das populações tem mais bactérias no instante inicial?
b) Qual das populações tem a maior taxa de crescimento relativo?
c) Algumas das populações de bactérias estão a decrescer no que diz respeito ao número de indivíduos. Concorda com esta afirmação?
d) Caso exista, determine o instante no qual as populações descritas por N1 (t) e N2 (t) têm o mesmo
número de indivíduos.
e) Esboce os gráficos de N1 , N2 , N3 e N4 .
2) Resolva, em R, as equações:
a) 25x = 128;
2
b) 34x−1 = 81 ;
c) 54x = 1/25 ;
2 −5x
f ) 42x−x = 1 ;
2
d) 10x = 1002 ;
e) 2x
g) 82x+1 = 16 22x ;
h) x2 ex +3x ex = 0 ;
i) ex − e−x = 0 ;
j) ex − e2x = 0 ;
k) 4 × 2x = 10 × 5x ;
l) x2 5−x − 3 × 5−x = 0 .
a) eln 5 ;
b) e−3 ln 2 ;
d) log2 32 ;
e) 52 log5 3 ;
g) ln (ln e) ;
h) log0,1 0, 01 ;
c) e3+4 ln 2 ;
√ f ) log√5 log√5 5 ;
= 1/64 ;
3) Calcule
4) Resolva, em R, as inequações:
a) 21−x <
d) (0, 1)
√
x2 −x
2x ;
> 0, 01 ;
b)
x+1
1
< 42−x ;
2
e) log4 x 6 −7 ;
e
2
c) 53−x < 25x ;
1
f ) x2 >
2
3x
1
;
8
i) log 1 (x + 1) > 0 ;
3
2−x
k) log 1 (2x) < 2 − log 1
.
2
2
x
g) 1 + log 1 x > − log 1 (x − 5) h) log2 x2 − 3 > 0 ;
6
6
j) log 1 (3x + 1) > 0 ;
√ i) log9 3 3 .
5) Resolva as seguintes equações e inequações
4 e2x −4 ex −3
=0
ex +5
r !x
x 2
2
2
c)
>
3
3
b) logx x2 = 3
a)
d) x ex+1 −x < 0
e) 2 ln(x − 1) − ln(x + 1) 6 0
f) e
x2 −5x
x2 +1
>1
6) Determine o domínio das seguintes funções
a) f (x) =
1
1 − e1−ex
c) f (x) = e
b) f (x) =
1
2x2 +x−3
1
e2x2 +x−3
d) f (x) = ln
√
1
+ x+2
ln(1 − x)
1+x
g) f (x) = 3 + ln
1−x
e) f (x) =
x−5
2
x − 10x + 24
f ) f (x) = ln(|x| − x)
h) f (x) = ln
ex +1
ex −1
i) f (x) = ln(1 − ln(x2 − 5x + 16))
7) Determine o domínio e contradomínio das seguintes funções
b) f (x) = 2 + log 1 4 − x2
a) f (x) = 1 − 102x−1
2
8) Seja f a função dada por
f (x) = ln(9x2 − 6x + 1).
a) Determine o domínio e o contradomínio de f .
b) Calcule o conjunto solução da equação f (x) = f (2).
c) Calcule o conjunto solução da equação f (x) > 0.
9) Considere a função f (x) = ex+3 −1.
a) Determine o domínio e o contradomínio de f .
b) Defina a função inversa de f .
10) Considere as funções reais de variável real definidas por
f (x) = −2 + 32x−1
e
g(x) = 2 + log3 (x + 1) .
a) Calcule o domínio e o contradomínio de cada uma das funções.
b) Determine, se existirem os zeros das funções.
c) Caracterize f −1 e g−1 .
11) Seja f a função real de variável real definida por
f (x) = log2 9 − x2 .
a) Determine o domínio e o contradomínio de f .
b) Justifique que a função não admite inversa.
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Cálculo I
Ficha 6
Ano Lectivo 2012/2013
1) Resolva as equações
b) tg (2x) = 2 cos x
a) sen x + sen (2x) = 0
c) tg (2x) = 3 tg x
2) Resolva as equações do exercício anterior no intervalo ] − π, π].
3) Se x = cos α + cos (2α) e y = sen α + sen (2α), mostre que
x2 + y 2 = 2 + 2 cos α.
4) Sendo x um valor que verifica a condição
tg (5π + x) = 3/4
calcule a expressão cos
5) Sabendo que sen
π
4
−
15π
+x
2
x
.
2
=−
∧
π<x<
3π
,
2
1
3π
x
e que
< x < 2π, calcule o valor de cos .
9
2
2
6) Use a fórmula sen a + sen b = 2 sen
a−b
a+b
cos
para resolver a equação
2
2
x
sen (2x) + sen x = cos .
2
7) Considere a função real de variável real f : R → R definida por
f (x) = |sen (6x) + sen (4x)| .
π
+f −
.
8
24
b) Resolva a equação f (x) = |cos x|.
a) Calcule f
π 2 sen(2x)
.
cotg x
a) Determine o domínio e os zeros de f .
8) Considere a função dada por f (x) =
b) Mostre que a função é par.
c) Resolva a equação |f (x)| = |2 sen x|.
9) Considere as funções dadas por f (x) =
a) Determine o domínio de g ◦ f .
x2 − 1
1
e g(x) =
.
cos x
x2
b) Mostre que (g ◦ f )(x) = sen2 x, para todo o x pertencente ao domínio de g ◦ f .
c) Calcule (g ◦ f ) 2π
3 .
10) Calcule o valor de cada uma das seguintes expressões
√ a) arc sen (1/2)
b) arc cos − 3/2
√ d) sen (arc cos (−1/2))
e) cos arc sen − 2/2
√ g) sen (arc tg 1)
h) cos arc tg − 3
j) cos (arc sen (4/5))
m) cotg (arc sen (12/13))
√ c) π/3 − arc tg − 3/3
f ) tg (arc sen (−1/2))
i) arc cos (cos (−π/4))
k) sen (arc cos (−5/13))
l) tg (arc sen (3/4))
n) sen (2 arc sen (4/5))
o) tg (2arc cos (−3/5))
p) sen (arc sen (3/4) + arc cos (1/4))
q) cos (arc cos (1/4) + arc sen (3/4))
11) Simplifique as expressões:
a) sen (π + arc cosx)
b) cos2
arc cosx c) cos(arc sen x)
2
12) Resolva as seguintes equações e inequações
1
arc sen(3x − 2) = 0
2
√
2
d) cos(arc tg x) =
2
a)
√ c) arc sen − 23 = x
b) e2 cos x+1 = 1
f)
e) ecos(2x) > 1
2
13) Determine o domínio e o contradomínio das seguintes funções
√
a) f (x) = cos x
b) f (x) = 21/ sen x
d) f (x) = arc cos(|x| − 2)
cos x − 2
>0
log 1 x + 5
e) f (x) = sen
π
x
+ 3 tg
3
2
π
+3
c) f (x) = cos 2x +
3
f ) f (x) = 3 arc sen(2x − 1)
π
1
π
1
i) f (x) = ln
+ arc sen(x2 − 1)
g) f (x) = 1 − arc cos(2x + 1) h) f (x) = cos + 2 arc sen
2
3
x+2
2
14) Considere a função dada por f (x) = 2 + arc sen(3x + 1).
a) Determine o domínio, o contradomínio e os zeros de f .
b) Calcule f (0) e f − 16 .
π
c) Determine as soluções da equação f (x) = 2 + .
3
d) Caracterize a função inversa de f .
15) Seja g a definida por g(x) =
π
− arc sen (3x).
3
a) Determine o domínio e o contradomínio de g.
b) Resolva a equação sen(g(x)) = 0.
c) Caracterize a função inversa de g.
16) Considere as funções f e g definidas por
1
π
+ arc tg
f (x) = tg
4
1 − 2x
a) Determine o domínio de f , Df .
x−1
para x ∈ Df .
b) Mostre que f (x) =
x
c) Determine o contradomínio de g.
e
g(x) = π − arc sen x2 + 2x + 1 .
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Cálculo I
Ficha 7
Ano Lectivo 2012/2013
1) Determine o interior, o exterior, a fronteira, a aderência e o derivado de cada um dos conjuntos
seguintes e indique quais são abertos e quais são fechados.
a) A =]0, 2] ∪ [3, 5[∪ {6, 7}
b) B = {x ∈ R : − 1 6 x − 2 < 1}
d) D = x ∈ R : 2x2 − 3x > 5
c) C = x ∈ R : x2 − x − 6 > 0
e) E = x ∈ R : x3 > x
f ) F = x ∈ R : x2 (x − 1) > 0
g) G = x ∈ R : 0 6 x2 − 1 < 3
x−1
x
x ∈ R:
>
x+3
x−2
j) J = x ∈ R : |x2 − 1| 6 1
1 − 2x >2
l) L = x ∈ R : 2x − 3 h) H =
i) I = {x ∈ R : 1 6 |x + 1| 6 2}
k) K = {x ∈ R : |x + 2| > |x − 3|}
n
o
√
m) M = x ∈ R : x2 − 16 < 2 − x
n) N = {x ∈ R : x + |x| < 1}
2) Calcule os seguintes limites.
3−x
x→2 x2 − 3
a) lim
x2 − 9
x→3 x − 3
d) lim
x2 − 2ax + a2
x→a
x 2 − a2
√
√
1+x− 1−x
j) lim
x→0
x
g) lim
15x3 + 1
x→0 30x7 − 1
b) lim
x2 + 2x − 3
x→1
x−1
√
2− 4−x
h) lim
x→0
x
√
√
x2 + 5 − 30
k) lim
x→5
x−5
e) lim
1 − x2
x→1 x − 1
c) lim
x2 − 2x
x→0 3x3 + x2 + x
√
1 − 1 − x2
i) lim
x→0
x2
√
2x + 1 − 3
√
l) lim √
x→4
x−2− 2
f ) lim
3) Calcule os seguintes limites.
1 − e−x
x→0
x
a) lim
ex+4 − e4
x→0
x
d) lim
ex − e2x
x→0
x
g) lim
ln (1 + 3x)
j) lim
x→0
x
ln x
m) lim 2
x→1 x − 1
ex−4 −1
x→4 16 − x2
x
e) lim 3x
x→0 e −1
b) lim
e2x − e8x
x→0
x
h) lim
ln 1 + x2
k) lim
x→0
x
ln (3x + 2) − ln 8
n) lim
x→2
x−2
e7x −1
x→0
x
c) lim
x3
3
x→0 1 − ex
f ) lim
5(x − 1)3
x→1 e2(x−1) −1
ln x
l) lim
x→1 1 − x
i) lim
ln (6 + 2h) − ln 6
h→0
h
o) lim
4) Calcule os seguintes limites.
sen x2 − 1
c) lim
x→1
x−1
tg(2x)
f ) lim
x→0 sen x
sen(5x) − sen(3x)
b) lim
x→0
x
sen(7x)
a) lim
x→0
x
cos x − 1
d) lim
x→0
3x2
tg x − sen x
g) lim
x→0
x3
1 − cos(sen x)
x→0
x2
i
h π
− x tg x
h) lim
2
x→π/2
x2 cos x2
k) lim
x→0
sen2 x
arc sen(2x)
n) lim
x→0 arc sen(3x)
e) lim
x2 sen(1/x)
x→0
sen x
j) lim
arc sen(2x)
x→0
x
2x − 1
p) lim
x→1/2 arc cos(2x)
m) lim
x→2
1 − e3x
x→0 sen(2x)
d)
g)
b)
lim
x→−∞
lim
x→+∞
−2x4 + 3x2 + 1
e)
x ln
h)
x+1
x
ln(2 + 3x)
j) lim
x→+∞
ln x2
k)
1
x−2
(arc cosx)2
x→1
x−1
arc tg(x − 1)
r) lim
x→1 sen(1 − x)
x3
x→+∞ 1 + x
x3
x→+∞ 1 + x4
h i
i
hp
(x − a) (x − b) − x f ) lim x e1/x −1
lim
lim
c)
x→+∞
lim
lim
x→+∞
lim
x→+∞
x→+∞
o) lim
arc tg(3x)
x→0 arc tg(7x)
x2 + 3x
x→+∞
2x2
l) lim
q) lim
lim
2
i) lim (x − 4) sen
5) Calcule os seguintes limites.
a)
2
4
x −1
+
4
2
x − 1 ln (x + 1)
1
x sen
x
6) Calcule os seguintes limites laterais.
√
√
x2
x2
b) lim
a) lim
x→0− x
x→0+ x
1
1
e) lim 31/(x−3)
d) lim
−
3
−
x→3+
1−x 1−x
x→1
i)
l)
lim
x→+∞
(x + 1) ln
x+2
x
lim (cosh x − senh x)
x→−∞
c) lim
x→1+
1
1
−
1 − x 1 − x3
f ) lim arc tg
x→1−
1
x−1
7) Calcule os limites laterais das seguintes funções no ponto x0 indicado. O que pode concluir sobre a
existência de lim f (x)?
x→x0
(
x2 − 1
se x 6 1
, x0 = 1
a) f (x) =
2
(x − 1)
se x > 1
 3x − a

se x 6 0

1−x
c) f (x) =
, x0 = 0

x − a
se x > 0
x+1
e) f (x) =
π
etg x −1
, x0 =
tg
x
e +1
2
(
2 − x2
b) f (x) =
2
( √
8 x−1
d) f (x) =
(x − 1)2
se |x| 6 2
, x0 = 2
se |x| > 2
se x < 5
, x0 = 5
se x > 5
1
f ) f (x) = 2−1/x sen , x0 = 0
x
8) Escreva as equações das assímptotas das funções definidas por
a) f (x) =
2x − 1
2x − 6
d) f (x) = 2x + 1 +
g) f (x) = 2 e−1/x
b) f (x) =
1
x−2
e) f (x) =
2x
(x − 1)2
3x2 − 2x + 2
x+2
h) f (x) = e−x sen x
c) f (x) =
2x2
x2 − 1
ln x
x
2 + x
i) f (x) = ln 2 − x
f ) f (x) =
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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Mestrado Integrado em Engenharia Aeronáutica
Cálculo I
Ficha 8
Ano Lectivo 2012/2013
1) Estude a continuidade das funções seguintes:
b) f (x) =
a) f (x) = ex+1
2 + cos x
c) f (x) =
2 − cos x

 |x| + x
, x 6= 0
e) f (x) =
x
2,
x=0
g) f (x) =
(
i) f (x) =
(
ex+2 − e2 ,
x
−4
d) f (x) = tg(2x)
(
ln(ex + 1), x > 0
f ) f (x) =
sen x,
x<0

x

, x>0
arc sen


x+1
h) f (x) = ex/(x+1)−1 ,
x < 0 e x 6= −1



−1,
x = −1

1

 + ln(e −x), x 6 0
j) f (x) = 2 −3x


,
x>0
2x
1
−
e

1

se x ∈ [−π/2, π/2] \ {0}
l) f (x) = 1 + 3cotg x
0
se x = 0
2 (x + 2) e2(x+2) , x < −2
x ln(x + 3),
x2
x > −2
x>0
x + senh(2x), x < 0
 sen x

se x 6= 0
|x|
k) f (x) =
1
se x = 0
2) Determine, se possível, a constante k que torna as seguintes funções contínuas.


ex


k + x ln x, x > 1
, x>k
b) f (x) = k2 + 1/ e
a) f (x) = ex−1 −1
 k+1

e ,
x<k

, x<1
2x − 2
 2x
 x−1
− e1−x
 e −1 , x ∈ [− π , π ] \ {0}
e
, x 6= 1
6 6
d) f (x) = sen(3x)
c) f (x) =
1−x


k,
x=1
k,
x=0
 2

3
 3x − x
2 − (x − 2) sen 1 , x 6= 2
, x 6= 0
2
2
x−2
e) f (x) = x + k x
f ) f (x) =

k,
x=2
1/3,
x=0
3) Sejam f e g as funções definidas por
 1


x x−1


k
f (x) = e

x+k 2 −1 − ek 2


e
x−1
se x > 1
se x = 1
e
se x < 1
p

1 − cos(2πx)




x
g(x) = kπ




 cos x − cos(5x)
2 sen2 x
se x < 0
se x = 0
se 0 < x <
π
4
a) Determine k de modo que f , em x = 1, seja contínua à esquerda e descontínua à direita.
b) Determine k de modo que f seja contínua.
c) Prove que g é descontínua para x = 0 para qualquer k ∈ R.
d) Determine k de modo que g seja contínua à esquerda, no ponto 0.

 2 sen (x − 4π/3)
x − π/3
4) Seja h a função real de variável real definida por: h(x) =

−6x/π
se x > π/3
se x 6 π/3
a) Prove que lim h(x) = −2.
x→π/3
b) Considere o intervalo [1, 5π/6]. Mostre que −5/π pertence ao contradomínio de h.
5) Mostre que
a) a função dada por f (x) = sen3 x + cos3 x se anula, pelo menos uma vez, no intervalo [π, 2π];
b) existe uma, e uma só, solução da equação 2 cos x − cos(2x) = 0 em [π/2, π];
c) existe x ∈ [0, 1] tal que 2x3 − 5x + 4 = 2;
d) a função dada por f (x) = 2x3 − 5x + 4 admite pelo menos um zero no intervalo [−2, 0];
e) a equação x7 − 3x2 = 10, tem, pelo menos, uma raiz real;
f ) a equação x3 + 4x2 + 2x + 5 = 0 tem, pelo menos, uma solução real.
6) Seja f uma função contínua no intervalo [0, 2] com f (0) =
de zeros que f pode ter nesse intervalo?
5
2
e f (2) = −1. Qual é o número mínimo
7) Seja g uma função contínua em [−2, 3] com g(−2) = 21 , g(−1) = −1, g(0) = 2, g(1) = 1, g(2) = −2
e g(3) = 5. Qual o número mínimo de zeros que g pode ter nesse intervalo.
8) Em modelos de queda livre, costuma-se supor que a aceleração gravitacional g é a constante 9, 8m/s2 .
Na verdade, g varia com a latitude. Se θ é a latitude (em graus) então
g(θ) = 9, 78049 1 + 0, 005264 sen 2 (θ) + 0, 000024 sen 4 (θ)
é uma fórmula que aproxima g. Usando a máquina de calcular para efectuar os cálculos, mostre que
g = 9, 8 em algum ponto entre as latitudes 35◦ e 40◦ .
9) A temperatura T (em graus Celsius) na qual a água ferve é dada aproximadamente pela fórmula
p
T (h) = 100, 862 − 0, 0415 h + 431, 03
onde h é a altitude (em metros acima do nível do mar). Usando a máquina de calcular para efectuar
os cálculos, mostre que a água ferve a 98◦ C a alguma altitude entre 4000m e 4500m.
(√
2−x
se − 3 6 x < 2
, admite
10) Prove que a função f : [−3, 4] → R, definida por f (x) =
(3x − 6)/x se 2 6 x 6 4
máximo e mínimo.

sen k

se x > 2


x
+1
5
11) Seja f : − , +∞ → R a função definida por f (x) = √

2

 2x + 5 − 3 se − 5 6 x < 2
x−2
2
a) Determine k de modo que f seja contínua para x = 2.
b) A função f atinge máximo e mínimo em [−1, 0]? Justifique.


x − 2 sen x
12) Considere-se a função real de variável real dada por f (x) = k2


(x + 1)1/x
se x < 0
se x = 0
se x > 0
a) Estude a continuidade de f no ponto x = 0.
b) Determine k de modo que f seja contínua à direita no ponto x = 0.
c) Prove que em [−π, −π/2] existe uma, e uma só, solução da equação f (x) = 0.
d) Pode concluir-se que f é uma função limitada em [−π, −π/2], atingindo aí os seus extremos?
Justifique.
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Cálculo I
Ficha 9
Ano Lectivo 2012/2013
1) Calcule, sempre que possível, as derivadas das funções seguintes nos pontos indicados utilizando a
definição e, quando possível, escreva a equação da recta tangente ao gráfico de f nesses pontos.
a) f (x) =
√
x2 + 9,
c) f (x) = e2x+5 ,
e) f (x) = ln x,
g) f (x) =
(
x=2
x = a ∈ Df
x3 + 2x2
0
1
, x=2
x
d) f (x) = x2 − 3x, x = 3
√
f ) f (x) = x + 1 − 4, x = a ∈ Df

h πi


sen
x
se
x
∈
0,

2
h) f (x) = 2x 2
iπ i ,


se x ∈
,π

π
2
b) f (x) =
x=4
se x > 0
,
se x < 0
x=0
x=
π
2
2) As funções f e g são diferenciáveis e f é invertível, verificando as condições:
f (2) = 3,
g(2) = −5,
Determine os valores de :
a) (f +
e) (g ◦ f )′ (2)
f ′ (−5) = 3,
(4f )′ (2)
′
f
(2)
c)
g
f ) (f ◦ g)′ (2)
g) (f −1 )′ (3)
b)
g)′ (2)
f ′ (2) = −1,
g ′ (2) = 2 e g ′ (3) = 5.
d) (f.f )′ (2)
′
1
h)
(2).
f
3) Seja f : R → R a função definida por f (x) = x4 e−x e g : R → R uma função diferenciável. Calcule
(g ◦ f )′ (x).
4) Seja f a função definida por f (x) = arc sen(x + 1). Determine (f −1 (x))′ dos seguintes modos
a) calcule a função inversa e de seguida a respectiva derivada;
b) directamente.
5) Determine a derivada de cada uma das seguintes funções.
a) f (x) = (x +
3)5
1−x
b) f (x) = 3
+ 2x
x +2
d) f (x) = sen4 (5x) − cos4 (5x) e) f (x) = tg(3x2 − 1)
g) f (x) =
1 − 3x
cos x
j) f (x) = ecos x +x sen x
m) f (x) = log5 (arc tg x)
p) f (x) =
x5 + 1
ex −2
1
ln(cosh(2x))
2
sen2 x
k) f (x) =
sen(x2 )
sen x + cos x
n) f (x) =
sen x − cos x
h) f (x) =
q) f (x) = x cosh x
c) f (x) =
ax − 1
x−b
2
, a, b ∈ R
f ) f (x) = ex sen x + e1/x
i) f (x) = arc sen(ln x)
√
l) f (x) = x3 arc cos x2 − 1
o) f (x) = ex cos x
r) f (x) =
1
sen(arc cos (x2 ))
2
6) Um balão meteorológico é solto e sobe verticalmente de modo que a sua distância s(t) ao solo
durante os 10 primeiros segundos de voo é dada por s(t) = 6 + 2t + t2 na qual s(t) é expressa em
metros e t em segundos. Determine a velocidade do balão quando t = 1, t = 4, t = 8 e quando o
balão está a 50m do solo.
1
onde t é medido
1+t
em segundos e s em metros. Encontre a velocidade da partícula após 2 segundos.
7) A posição de uma partícula é dada pela equação do movimento s = f (t) =
8) Analise a diferenciabilidade das seguintes funções.
b) f (x) = |x|3
a) f (x) = |x2 − 2x|
e) f (x) =
(
x2
x
c) f (x) = x|x − 1|
d) f (x) = e−|x|


(1 − x) ln(x − 1) se x > 1
f ) f (x) =
2
1

1 − x
se x 6 1, x 6= −
2x + 1
2

x

arc sen
se x > 0


x+1

h) f (x) = ex/(x+1) −1
se x < 0, x 6= −1




−1
se x = −1
se x 6 0
se x > 0

x2 sen 1
x
g) f (x) =

0
se x 6= 0
se x = 0
x−1
, no ponto de intersecção da
9) Determine a recta tangente à função dada por f (x) = arc sen
2
função com o eixo das abcissas.
√
10) Determine a recta tangente à função f (x) = x, no ponto de abcissa x = 4.
11) Considere a função f (x) = 1 + 3 ex+3 definida em R.
a) Calcule f ′ (−3).
b) Escreva a equação da recta tangente ao gráfico de f cujo declive é 3 e.
2π
= 0 é a recta tangente ao gráfico da função
3
3x
π
f (x) = − 2arc cos
3
2
12) Mostre que a recta de equação y − 3x +
e determine o ponto de tangência.
13) Considere a função definida por g(x) = e
√
x+3 + ln(arc tg x).
a) Calcule o domínio de g.
b) Calcule a derivada de g no ponto x = 1.
c) Determine a equação da recta tangente ao gráfico de g no ponto x = 1.
14) Sejam g, h : R → R as funções dadas por
(
eax+b
se x < 1,
g(x) =
1 + x ln x se x > 1,
e
x−1
h(x) = 1 + e1/(x−1)
0


se x 6= 1,
se x = 1.
a) Determine a e b de modo que g seja diferenciável no ponto x = 1.
b) Prove que h é contínua no ponto x = 1, mas não é diferenciável nesse ponto.
15) Determine a derivada de segunda ordem das funções seguintes.
a) f (x) = sen(x3 + 1)
b) f (x) = cos(sen x)
d) f (x) = log10 (x2 + 1)
e) f (x) = esen(x
g) f (x) = x sen x
h) f (x) =
√
k) f (x) =
sen(2x)
cos(3x)
j) f (x) = ln
2x + 1
x+3
3 +1)
2x + 1
c) f (x) = ln(x3 + 1)
f ) f (x) = sen(ex )
1
x+1
x+1
l) f (x) =
cos(2x)
i) f (x) = √
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Mestrado Integrado em Engenharia Aeronáutica
Cálculo I
Ficha 10
Ano Lectivo 2012/2013
1) Considere a função f : R → R definida por f (x) = 2x2 − 8x + 3. Mostre que a função f no intervalo
[1, 3] verifica as condições do Teorema de Rolle e calcule c ∈ ]1, 3[ tal que f ′ (c) = 0.
2) Seja f : [0, π/2] → R definida por
f (x) =
a) Verifique que f (π/2) = f (π/4).

tg x
1
se x ∈ [0, π/2[ ,
se x = π/2.
b) Mostre que f é contínua e diferenciável no intervalo ]π/4, π/2[.
c) No intervalo ]π/4, π/2[, a derivada f ′ não tem zeros. Isto contradiz o Teorema de Rolle? Justifique a resposta.
3) Prove que
a) a equação ln x2 + 1 = x tem no máximo duas soluções em R.
b) a função definida por f (x) = x3 + 3x − 2 tem um só zero em R; mais precisamente em ]0, 1[;
c) o polinómio p(x) = xn + px + q não pode ter mais do que duas raízes se n for par e não pode
ter mais do que três raízes se n for ímpar (p, q ∈ R, n ∈ N).
4) Mostre que a equação ln x2 = x−1 tem exactamente duas raízes em ]0, +∞[ e localize essas soluções.
5) Mostre que a equação ex−1 = x admite apenas a solução x = 1.
6) Localize os zeros da função definida por f (x) = x3 − 3x2 − 9x + 2.
7) Considere a função f : R → R definida por f (x) = 3x2 + 1. Mostre que a função f no intervalo
[−1, 2] verifica as condições do Teorema de Lagrange e calcule c ∈ ] − 1, 2[ a que se refere o Teorema
de Lagrange.
√
8) Aplique o Teorema de Lagrange
à função definida por f (x) = x no intervalo [225, 226] para calcular
√
um valor aproximado de 226.
9) Mostre que
√
1
1
a) 8 +
< 65 < 8 + ;
18
16
√
π 1
3
π
+
< arc sen 0, 6 < + .
b)
6
15
6 8
10) Sejam a e b dois números reais tais que 0 < a < b. Use o Teorema de Lagrange para provar que
b−a
b
b−a
< ln <
b
a
a
e que
b−a
b−a
+ arc tg a < arc tg b <
+ arc tg a
2
1+b
1 + a2
e use estes resultado para estimar ln 1, 1 e arc tg 1, 1.
11) Seja f : R → R a função definida por
f (x) = 2x − 1 +
ex −1
.
ex
Aplicando o Teorema de Lagrange à função f no intervalo [0, x], mostre que, para qualquer x > 0,
x < ex −1 < x ex .
12) Recorrendo ao Teorema de Lagrange, mostre que
a) ex > x + 1 para x > 0;
c) sen x < x para x > 0;
1
1+x
< para x > 0;
x
x
1
d) ex <
para x ∈ ]0, 1[;
1−x
b) ln
i πh
sen x
< 1 para x ∈ 0,
e) cos x <
x
2
i πh
g) tg x > x para x ∈ 0,
2
πh
f ) 1 − x sen x < cos x < 1 para x ∈ 0,
2
a) f (x) = ex ;
b) f (x) = sen x;
c) f (x) = cos x;
d) f (x) = ln (1 + x);
i
13) Determine o polinómio de Mac-Laurin de grau n associado às funções dadas por
e) f (x) =
1
.
1+x
14) Calcule
a) e0,1 com erro inferior a 10−6 ;
b) sen(0, 2) com erro inferior a 10−4 ;
c) cos(0, 1) com erro inferior a 10−5 .
15) Determine o polinómio de Taylor de grau 5 de f em torno do ponto a para
a) f (x) = x3 + 1 e a = 1;
c) f (x) = ln(x + 3) e a = 0;
e) f (x) =
1
x−1
1
e a = 1;
x
d) f (x) = ex e a = 1;
b) f (x) =
e a = 0.
16) Encontre a aproximação linear da função f (x) =
√
√
números 0, 9 e 0, 99.
√
1 − x em a = 0 e use-a para aproximar os
17) Verifique que no ponto a = 0 as funções seguintes verificam a aproximação linear dada e use-a para
aproximar o valor das funções em 0, 1 e em 0, 01.
a)
√
1+x≈1+
x
2
c) ex ≈ 1 + x
b)
1
≈ 1 − 8x
(1 + 2x)4
d) tg x ≈ x
18) Determine a aproximação quadrática da função f no ponto a e use-a para aproximar f (a + 0, 01)
quando
a) f (x) = x3
c) f (x) = e−2x
e a = 1;
e a = 0;
b) f (x) = ln(x) e a = 1;
√
d) f (x) = 3 x e a = −8.
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Mestrado Integrado em Engenharia Aeronáutica
Cálculo I
Ficha 11
Ano Lectivo 2012/2013
1) Calcule
π
1 − tg x +
4
a) lim
x→0
x2 − 3x
b) limπ
x→ 4
esen x − ecos x
sen x − cos x
c)
ln(sen x)
1
1
e) lim
−
x→0 sen x
x
x→0+ ln(tg x)
h π i
1
1
x arc tg ex −
h) lim
−
g) lim
x→+∞
2
x→1
ln x arc tg (x − 1)
d) lim
j)
2
lim (x e−x )
k)
x→−∞
m) lim xx
n)
x→0+
p) lim (sen x)tg x
q)
x→0+
lim (x−2 ex )
lim
x→+∞
f ) lim ln(x − 1) ln x
x→1+
i
π
arc sen x −
tg x
2
x→π/2
√
l) lim ( 3 x 2x )
i)
lim
h
x→−∞
x→+∞
x→+∞
x3 + x2 − 2
x ex −x
lim
2
(2x)(x+1)/x ;
lim (ex +x)1/x
x→+∞
o) lim (cos x)cotg
2
x
x→0
r)
lim (tg x)cos x
x→π/2
2) Determine os extremos e os intervalos de monotonia das seguintes funções
a) f (x) = x3 − 12x + 3
d) f (x) = x3 − 3x2 + 3x + 2
g) f (x) = x ln x
b) f (x) = x5 − 5x4 + 5x3 + 1
e) f (x) = x ex
c) f (x) = x4 − 8x
f ) f (x) = x2 e−x
h) f (x) = x − arc tg x
3) Estude as seguintes funções quanto ao sentido da concavidade e em relação aos pontos de inflexão:
e) f (x) =
2x + 1
x2
d) f (x) =
x
x+1
√
g) f (x) = x2 + x + 1 h) f (x) = 1 + x2 ex
b) f (x) = x4 − 2x2 − 3 c) f (x) =
a) f (x) = x4 + 1
x3
+ 12
j) f (x) = x − arc tg x
x2
−1
f ) f (x) =
x2
i) f (x) = x2 ln x
x2
4) Estude as seguintes funções quanto a zeros, paridade, extremos locais, monotonia, convexidade,
pontos de inflexão e assímptotas e faça um esboço do seu gráfico:
b) f (x) = x4 − 2x2 − 3;
a) f (x) = x3 − 3x2
d) f (x) =
√
g) f (x) =
5
1 + 4e−x
x2 + x + 1;
j) f (x) = arc sen
e) f (x) = x −
√
1 − 2x + x2
h) f (x) = ln(x2 − 1)
2x
;
+1
x2
k) f (x) =
m) f (x) = x − sen x, para x ∈ [0, 2π]
1
+ |x|;
|x|
x2
;
x2 − 1
x
f ) f (x) = √
;
2
x −1
ln x
i) f (x) =
x
(
x ln x
x>0
l) f (x) = √
1−x x60
c) f (x) =

x2 + e2 −1
x
n) f (x) =
 2
x −4
se x > 1,
se x < 1 ∧ x 6= −2;
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Mestrado Integrado em Engenharia Aeronáutica
Cálculo I
Ficha 12
Ano Lectivo 2012/2013
1) Uma droga é injectada na corrente sanguínea e a sua concentração após t minutos é dada por
C(t) =
k
(e−bt − e−at )
a−b
para constantes positivas a,b e k, com a 6= b. Em que instante ocorre a concentração máxima? O
que se pode dizer sobre a concentração após um longo período de tempo?
2) Um oleoduto deve ligar dois pontos A e B distantes 3Km um do outro e situados em margens
opostas de um rio de 1Km de largura. Parte do oleoduto ficará submersa, de A a C estando C na
margem oposta, e a restante parte acima do solo ligando C a B. Se o custo de operação do oleoduto
sob água é quatro vezes o custo da operação no solo, determine a localização de C que minimize o
custo da operação do oleoduto. (Desprezar a inclinação do leito do rio.)
3) Suponhamos que um peso é sustentado a 1 m da recta horizontal AB por meio de um arame em
forma de Y . Se os pontos A e B estão separados por 0.8 m, qual é o menor comprimento total de
arame que pode ser usado.
4) Uma bala de canhão é lançada do solo com velocidade v segundo um ângulo α. Em cada momento
t a altura da bala relativamente ao solo é
y(t) = −4.9t2 + (v sen α) t
e a distância percorrida na horizontal é
x(t) = (v cos α) t.
Verifique que a trajectória da bala é uma parábola e determine a inclinação α que permite lançar a
bala mais longe.
5) Uma janela rectangular encabeçada por um semi-círculo tem 3 metros de perímetro. Determine o
raio da parte semi-circular de modo que a área total da janela seja máxima.
6) Mostre que entre todos os rectângulos com um dado perímetro é o quadrado que tem área máximo
e que entre todos os rectângulos com uma área dada é o quadrado o que tem o perímetro mínimo.
7) Qual é o triângulo de dois lados iguais e de área 1 com menor perímetro?
8) Calcule o volume máximo de uma caixa rectangular de base quadrada com superfície total de 48 cm2 .
9) Pretende-se construir uma caixa com base rectangular de um rectângulo de cartolina com 16 cm de
largura e 21 cm de comprimento cortando-se um quadrado em cada quina. Determine o lado desse
quadrado para que a caixa tenha volume máximo.
10) Pretende-se construir em folha zincada um cilindro sem tampa com capacidade 1ℓ(= 1 dm3 ). Determine a mínima área de folha necessária.
11) Determine as dimensões do cilindro circular recto de maior volume que pode ser inscrito num cone
circular com altura 12 cm e raio da base 5 cm.
12) Pretende-se fabricar um recipiente cilíndrico, de base circular, aberto no topo, com capacidade de
24π cm3 . Se o custo do material usado para a fabricação da base é o triplo do custo do material da
superfície lateral, e se não há perda de material, determine as dimensões que minimizam o custo.
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Cálculo I
Ficha 13
Ano Lectivo 2012/2013
1) Calcule os seguintes integrais.
a)
Z
2
1
e)
Z
1
dx
x
b)
t
f)
Z
j)
Z
0
π/4
8
m)
Z
q)
Z
sec2 θ dθ
π/6
0
√
3
x dx
c)
arc tg x
dx
1 + x2
g)
Z
k)
Z
|x − 6x + 8| dx
n)
e−x dx
√
2
0
π/4
tg x dx
Z
r)
Z
2x + 3
dx
x2 + 2
sen x dx
d)
Z
s)
Z
cosh x dx
π
sen3 u du
√
2/2
0
π
4
h)
Z
sen(2x) cos(2x) dx
l)
Z
1
0
x
√
dx
1 − x4
1
√
dx
25 + 3x
1
dx
x−3
2π
| sen x| dx
0
1
x2
dx
+1
p)
Z
x
dx
1 + x4
3
t)
Z
(x2 + 1)3 dx
d)
Z
√
5 5x + 30 dx
−3
1
Z
0
√
− 2/2
o)
0
−π/4
3
2π
0
3
1
2
Z
0
0
Z
i)
1
−1
1
1
et+e dt
Z
1
−1
x3
0
−2
3x + |x2 − 4x − 5| dx
2) Calcule as seguintes primitivas.
a)
e)
Z
Z
2
(3x + 5x + 1) dx
b)
2x2 − 6x + 7
√
dx
x
f)
Z
Z
(5x4 + 2x3 − 1) dx
−
c)
3
5
2
+ + √ dxg)
2x2
x
x
Z
Z
√
3
1
dx
1+x
Z
Z
e1/x
−x2
j)
x
e
dx
k)
2x−1 dx
i)
dx
x2
Z
Z
Z
1
2x
ln2 x
m)
o)
dx
dx
dx
n)
x ln x
x2 + 1
x
Z
Z
Z
x+2
4x3
dx
s)
r)
q)
dx
x2 + 4x
x8 + 1
Z
Z
Z
arc tg x
dx
t)
(cos2 x + 2 cos x) sen x dx
u)
v)
1 + x2
Z
Z
Z
x
e
e2x +3/2
dx
w)
y)
dx
x)
1 + e2x
1 + 3x + e2x
Z
Z
Z
3x
√
dx
z)
A)
cos(2x − π/4) dx
B)
5
1 + 5x2
Z
√
Z
Z
2
cos x
C)
ex +2 sen x (x + cos x) dx
√
D)
dx
E)
x
√
Z
Z
Z
tg x
cos(ln x2 )
√ dx
H)
G)
dx
F)
x
x
Z
Z
Z
2x
1
K)
I)
dx
dx
J)
cos2 (x2 + 1)
x2 + 2x + 2
Z
Z
Z
x
1
p
dx
M
)
√
dx
L)
N)
7 − (x4 − 2x2 + 1)
9 − x2
Z
Z
Z
1
sen x
O)
dx
P
)
dx
Q)
1 + ex
1 − sen2 x
Z
Z
Z
1
ex
√
R)
dx
T
)
dx
S)
x cos2 (ln x)
9 − e2x
Z
Z
Z
x
ex + e2x
U)
dx
√
V
)
dx
W
)
3
(x2 + 1)
2 − 2 e2x
Z
h)
Z
ex+3 dx
ln x
dx
x
Z
2x + 1
p)
dx
x2 + 1
sen x
1
+
dx
1 + 2 cos x sen2 x
cos(ln x)
dx
x
arc sen2 x
√
dx
1 − x2
l)
Z
senh(2x) cosh(2x) dx
sen(arc tg x)
dx
1 + x2
sen3 x cos4 x dx
1
√
dx
sen x cos3 x
cos x cos(2x) dx
p
x x2 + 9 + sen(5x − 4) dx
1
√
dx
1 − 5x2
ln x sen(ln2 x)
dx
x
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Cálculo I
Ficha 14
Ano Lectivo 2012/2013
1) Calcule a área das regiões sombreadas
y
a)
b)
y=
√
y
x+2
y = x2
y =x−1
y=
2
c)
y
1
x+1
-2
2
x
x
d)
y = 5x − x2
y
y=x
x
y = x2
y = 2 − x2
x
2) Calcule a área da região do plano limitada
a) pela curva de equação y = x2 , o eixo das abcissas e as rectas de equação x = 1 e x = 3;
b) pelo sinusóide y = sen x e o eixo das abcissas quando 0 6 x 6 2π;
c) pela parábola de equação y = −x2 + 4x e o eixo das abcissas;
√
d) pelas curvas de equação y = x e y = x2 ;
e) pela parábola de equação y = −x2 + 2x + 8, o eixo das abcissas e as rectas de equação x = −1
e x = 3;
f ) pela parábola com vértice no ponto (0, 1) e que passa pelos pontos (1, 0) e (−1, 0) e o eixo das
abcissas;
g) pelas linhas de equação xy = 3 e y + x − 4 = 0;
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Cálculo I
Ficha 15
Ano Lectivo 2012/2013
1) Calcule a área de superfície
a) do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo das abcissas da curva y = x3 entre
x = 1 e x = 3;
b) do cone de altura 3 e raio da base 4;
a
c) do sólido de revolução gerado pela curva de equação y = (ex/a + e−x/a ), com a > 0, de x = 0
2
a x = a.
d) do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo das abcissas, do domínio plano
D = (x, y) ∈ R2 : 1 6 x 6 3, 0 6 y 6 4x .
2) Calcule os volumes dos seguintes sólidos.
a) Um cilindro de raio da base 3 e altura 3.
b) Gerado pela rotação da área, no primeiro quadrante, limitada pela parábola y 2 = 8x e pela recta
x = 2.
i) Em torno do eixo das abcissas;
ii) Em torno da recta x = 2;
iii) Em torno do eixo das ordenadas.
c) Gerado pela rotação da curva definida pelo gráfico da função f : [−1, 1] → R definida por
f (x) = ex+1 ,
em torno da recta y = 1.
3) Seja D a região do plano definida por
D = {(x, y) ∈ R2 : y 6 ex , y > −x2 − 1, |x| < 1}.
a) Calcule a área da região plana D.
b) Seja D1 a parte da região D que está no 3◦ quadrante. Calcule o volume do sólido de revolução
que se obtém girando D1 em torno do eixo dos yy.
4) Calcule os comprimentos das seguintes curvas planas.
a) Curva C determinada pelo gráfico de função f : [−1, 1] → R definida por
f (x) = cosh x.
b) Arco da curva y =
a x/a
(e
+ e−x/a ), com a > 0, de x = 0 a x = a.
2
c) Arco da curva x = t2 , y = t3 , de t = 0 a t = 4.
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Ficha 16
Ano Lectivo 2012/2013
1) Utilize a primitivação e a integração por partes para calcular as seguintes primitivas e integrais.
a)
Z
f)
Z
k)
x ex dx
p)
u)
Z
g)
Z
π
x cos(3x) dx
0
Z
Z
b)
Z
sen(ln x) dx
x
e cos x dx
π/2
π/4
x
dx
sen2 x
l)
Z
q)
Z
v)
Z
1
c)
Z
x sen x cos x dx h)
Z
xe
−x
dx
0
e
cos (ln x) dx m)
1
π/2
x
e cos x dx
r)
Z
w)
Z
0
earc sen x dx
Z
e
x ln x dx
d)
Z
i)
Z
1
x arc tg x dx
1
e
x2
3
x dx
n)
0
ln(ln x)
dx
x
1
0
x arc tg x
dx
(1 + x2 )2
√ ln x dx
s)
x)
Z
arc cos x dx j)
Z
1/2
0
Z
Z
e)
Z
e
−x2
3
x dx
e
ln x dx
t)
Z
x arc sen x
√
dx
1 − x2
y)
Z
2
1
2) Calcule as seguintes primitivas e integrais utilizando a substituição indicada.
1
√
dx
|x| x2 − 2
x = 1/t
Z 3
x
√
f)
dx
x+1
0
x = t2 − 1
Z √2
x2
√
k)
dx
4 − x2
0
x = 2 sen t
Z −√2 p
p)
x 4 − x2 dx
a)
Z
1
x = 2 sen t
Z p
b)
9 − x2 dx
c)
Z
√
1
2
3) Calcule f (x) sabendo que
0
ln 1 + x2 dx
arc cotg x dx
π/2
(x2 + 1) cos x dx
0
x
dx
cos2 x
1/2
0
x arc sen x2 dx
e
Z
ln x
sen x
dx
dx
e)
2
x
2 − sen2 x
1
cos x = t
x = et
Z
Z π/2
x3
sen(2x)
√
dx j) √x − 1 dx
i)
1 + sen2 x
0
√
t = sen x
x−1=t
√
Z
Z 1
x + e 1−x
1
√
o)
dx
dx
n)
x
1−x
0 e +1
x = − ln t
x = 1 − t2
Z
Z
1 √
√
s)
x x − 1 dx
t)
x x + 1 dx
0
√
√
t= x−1
t= x+1
p
4 − x2 dx d)
x = 3 sen t
x = 2 sen t
Z
Z 1/2
1+x
dx
√ dx
h)
p
g)
1
+ x
x(1 − x)
0
√
t= x
x = sen2 t
Z
Z
1
ln x
dx
m)
l)
dx
x(1 − x)
x(1 − ln2 x)
ln x = t
x = sen2 t
Z 1 p
Z π2
√
q)
x3 1 + x2 dx r)
cos x dx
0
0
√
x = tg t
t= x
o)
Z
1
Z
x2
b) f ′ (x) = (x2 − 2x + 3) ln x e f (1) = 7/18;
e f (0) = 2;
+ 1)2
1
√ e f (e) = 1;
c) f ′ (x) =
d) f ′′ (x) = x2 + 3 cos x, f (0) = 2 e f ′ (0) = 3;
x ln x
8
e) f ′′ (x) =
, f ′ (1) = −1 e lim f (x) = 1.
x→+∞
(x + 1)3
a) f ′ (x) =
(x2
4) Seja P (t) a população de uma bactéria numa colónia no tempo t (em minutos). Supondo que
P (0) = 100 e que P (t) aumenta a uma taxa (variável) de 20 e3t , quantas bactérias existem ao fim
de 50 dias?
5) Uma partícula parte da origem e movimenta-se sobre o eixo das abcissas com uma velocidade (em
centímetros por segundo) dada por v(t) = 7 + 4t3 + 6 sen(πt). Encontre a distância percorrida em
200 segundos.
6) A aceleração (no instante t) de um ponto em movimento sobre uma recta coordenada é dada por
a(t) = sen2 t cos t (em ms−2 ). Em t = 0 o ponto está na origem e a sua velocidade é 10m/s.
Determine a sua posição no instante t.
7) A velocidade (no instante t) de um ponto que se move ao longo de uma recta é v(t) = t/e2t (em
ms−2 ). Se o ponto está na origem quando t = 0, encontre a sua posição no instante t.
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Ficha 17
Ano Lectivo 2012/2013
1) Calcule as seguintes primitivas e integrais de funções racionais.
a)
Z
d)
Z
g)
Z
j)
Z
m)
Z
p)
Z
x5 + x4 − 8
dx
x3 − 4x
2x3 + x + 3
dx
(x2 + 1)2
b)
Z
e)
Z
h)
Z
k)
Z
n)
Z
3
x +x+1
dx
x4 − 2x3 + x2
1
0
3x2 − 4
dx
(2 − x)2 (x2 + 4)
4
x
dx
4
x −1
1
0
2
dx
2
(x + 2x + 2)(x2 + 4)
q)
Z
x
dx
(x − 1)(x + 1)2
1
0
3
2
4
2
1
1
dx
x2 + 4x + 5
f)
Z
x
dx
(x − 1)(x + 2)(x + 3)
x2
dx
(x − 1)3
i)
Z
(x2
1
dx
+ x − 2)(x + 5)
l)
Z
(x3
3x + 1
dx
− x)(x + 5)
o)
Z
x3 − 2x2 + 4
dx
x3 (x − 2)2
x4
dx
x−1
x5 + x4 − 8
dx
x3 − x2
x
dx
2
x + 3x + 2
0
x
dx
(x − 1)(x2 + 1)
c)
Z
r)
Z
1
−1
x4
dx
x+2
2) Calcule as seguintes primitivas e integrais usando, sempre que indicada, a substituição sugerida.
e12x − e6x +1
dx; t = e3x
a)
e9x + e6x
√
Z 4p
1+ x
√
d)
dx
x
1
Z 1
x1/2
dx; x = t6
g)
1/3
0 1+x
Z
e2x
j) √
dx
4 − e4x
Z
3x/3
m)
dx; 3x = t12
3x/2 + 3x/4
Z 1
x2
p)
arc tg x dx
2
0 x +1
Z
s) ex−1 3x dx
Z
v)
√
4
x
√ dx; x = t4
x− x
Z
y)
Z
B)
Z
E)
Z
1+x
√ dx;
1+ x
1
−1
0
1
x=t
2
1
dx
x2 − 4
ex (ex −1)2
dx; t = ex
ex +1
1 + sen x
H)
dx
cos x (2 + sen x)
t = sen x
Z
b)
e)
2x
dx;
1 − 8x
Z
Z
e
1
t=2
x
c)
ln3 x + 1
dx
x
f)
π/6
1 + tg x
h)
dx; t = tg x
1 − tg x
0
2
Z 1
x2 + √
k)
dx
3
x
Z
cotg x + 1
dx; t = cotg x
n)
cotg x − 1
Z 3π/4
cos3 x
q)
dx
sen5 x
π/4
Z π
t)
sen (2x) cos (x/2) dx
Z
0
w)
z)
1
√
dx;
x 5 + x2
Z
x=
Z
sen x
dx;
cos x + cos2 x
Z
π2
C)
F)
Z
√
√
cos x dx; t = x
4
x1/2
dx; t = x1/2
1 + x1/2
0
ex + e2x
dx;
e−2x +1
t = ex
cos3 x
dx; t = sen x
sen4 x
sen x
Z
3
(1 − cos x)
dx
ln3 x + 1
dx; t = ln x
2
1 x ln x + x
Z
2x
dx
o) √
1 − 4x
Z
sen x
r)
dx; t = cos x
2 − sen2 x
Z
u) tg4 x sec4 x dx
Z
x)
Z
Z
D)
0
1
1
Z
l)
t = cos x A)
dx
√
I) √
2x − 1 − 4 2x − 1
t4 = 2x − 1
Z
√
5 tg t
i)
Z
G)
J)
e
3x2 − 1
√ arc tg x dx
2x x
4
2
Z
Z
e
x3
dx
x−1
x2 ln x dx
1
1
4
x1/2
dx; t = x1/2
1 + x1/2
sen3 (2x)+sen(2x)cos(2x)
dx
1 + cos(2x)
t = cos(2x);
Z