Vestibular Comentado - UVA/2012.2
Conhecimentos Específicos
MATEMÁTICA
Comentários: Profs. Dewayne Mesquita, Marcos Aurélio e Eliano Bezerra
01. A figura abaixo mostra circunferências tangentes entre si no ponto P e do diâmetros na
razão de 1:2, se considerarmos duas delas consecutivas. A área da circunferência Cn vale:
(
)
æ
Rö
÷
ç
A. p
÷
ç
÷
ç
è
2ø
2 n1
C1
æ
R ö
÷
ç
B. p
÷
ç
n+
1)
÷
ç
è
ø
2(
2
C2
æ
R ö
÷
ç
÷
C. p
ç
n1)
÷
ç
è
ø
2(
2
C3
æ
Rö
÷
ç
D. p
÷
ç
ç
è
ø
2n ÷
2
R1
C4
CLF – COMENTA:
ASSUNTO: GEOMETRIA PLANA (ÁREA DA CIRCUNFERÊNCIA)
- ÁREA DE C1 = p
.R 2
æ
Rö
÷
- ÁREA DE C2 = p
.ç
ç
÷
ç
è
ø
2÷
2
æ
Rö
÷
- ÁREA DE C3 = p
.ç
ç
÷
ç
÷
è
22 ø
2
æ
Rö
÷
- ÁREA DE C 4 = p
.ç
ç
÷
ç
è
ø
23 ÷
2
.
.
.
. .
. .
. .
.
.
.
.
.
.
LOGO :
æö
R
- ÁREA DE Cn = p
.ç÷
ç÷
1
ç÷
èø
2 n2
Resposta correta: “C”
02. Seja f uma função não constante, definida no conjunto dos números reais e tal que
f(x+y) = f(x) e f(x.y) = f(x).f(y) para quaisquer x, y reais. Assinale a alternativa correta:
A. f(0)=0 e f(1)=0
B. f(0)=0 e f(1)=1
C. f(x)=x para todo x real
D. não há informações suficientes sobre f para determinar a imagem de qualquer
número real.
01
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Conhecimentos Específicos
CLF – COMENTA:
ASSUNTO: FUNÇÃO (LEI DE FORMAÇÃO)
- f(x+y) = f(x) + f(y) e f(x.y) = f(x).f(y), analisando os ítens temos:
A. f(0 + 1) = f(0) + f(1) g
f(1) = f(0) + f(1) g
f(0) = 0, logo f(1) tem infinitas soluções
(FALSO)
B. falso, pois segue a mesma linha de raciocínio da opção anterior
C. f(x + 0) = f(x) + f(0) g
f(x) = f(x) + f(0) g
f(0) = 0
f(x . 0) = f(x) . f(0) g
f(0) = f(x) . f(0)
f(x) = x
Resposta correta: “C”
x
-x
03. Considere as funções f(x) = e , g(x) = e e h(x) = e. A área do triângulo cujos vértices são
determinados pela intersecção entre os gráficos das funções dadas é:
A. 1 - e
2
B. e
C. e /2
D. e - 1
CLF – COMENTA:
ASSUNTO: FUNÇÃO COM GEOMETRIA ANALÍTICA
x
?
f(x) = g(x)
x
x
-x
e =e
x 2
e = 1/e g
(e ) = 1
x=0
y=1
x
1
?
f(x) = h(x) g
e =e
x=1
y=e
x
x
0
e =±
1g
e =e
-x
1
·
g(x) = h(x) g
e =e
x = -1
y=e
- ÁREA DO TRIÂNGULO
0
1
1
e
-1
e
0
1
DET =
2e 2
=0+e-1-1
+e
DET
2(
e1)
ÁREA =
=
2
2
ÁREA =
e1
Resposta correta: “D”
02
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Conhecimentos Específicos
04. Considerando x Î
[0,2p
], os valores de x que satisfazem cos(x) = cos(2x) - 1 estão no
intervalo:
é
ù
p
3p
A. ê, ú
ê
4 4ú
ë
û
é
ù
3p
5p
B. ê , ú
ê
4 4ú
ë
û
é
ù
5p
7p
C. ê , ú
ê
4 4ú
ë
û
é
ù
7p
ú
D. ê ,2p
ê
ú
4
ë
û
CLF – COMENTA:
ASSUNTO: TRIGONOMETRIA
2
cosx = cos2x - 1, temos: cos2x = 2cos x - 1
2
2
cosx = 2cos x - 1 - 1 g
2cos x - cosx - 2 = 0 , fazemos:
2
cosx = y , teremos:
2y - y - 2 = 0
2
D
= (-1) - 4 . (2) . (-2)
D
= 1 + 16
D
= 17
1±
17
1±
17
y= ®
y=
2.2
4
considere =
17 =
4,123
1±
17
cos x =
considere =
2=
1, 41
4
1±
4,123
cos x = =
1,28 ou 0,78
4
cos x =
1,28 (
NÃO CONVÉM )
cos x =
0,78, logo x =
1410
LOGO: Está entre o 2º e o 3º quadrante.
A equipe de matemática do Colégio Luciano Feijão sugere a mudança de gabarito
é
ù
3p
5p
B. ê , ú
ê
ú
4
4
ë
û
Resposta correta: “B”
-1
05. Considere a matriz A = [aij]nxm onde aij = (i + j)2. Se A representa a matriz inversa de A e ,
1
1
æ
ö
1ö
æ
1 ÷
ç
1 ÷
ç
ç
então: X =
A...÷
, então :
÷
(
)
ç
ç
÷
÷÷
ç
è
ø
÷
ç
è
ø
1
4
4
4
4
4
4
4
4
2
4
4
4
4
4
4
4
4
3
(
)
nvezes
n
A. X = [bij]nxn com bij = (aij)
-n
C. X = [bij]nxn com bij = (aij)
B. X = [bij]nxn com bij = aij , se n for par
D. X = [bij]nxn com bij = -aij , se n for ímpar
CLF – COMENTA:
ASSUNTO: MATRIZ
-1
- Sendo A a matriz inversa de “A”, então:
03
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Conhecimentos Específicos
-1 -1
-1 -1
?
(A ) é o inverso do inverso da matriz A, ou seja, (A ) = A
-1 -1 -1
-1 -1 -1
?
((A ) ) é o inverso do inverso da matriz A, ou seja, ((A ) ) = A
-1
Podemos concluir que:
?
para n par: a matriz “X” é a própria matriz “A”
?
para n ímpar: a matriz “X” é a inversa da matriz “A”
Resposta correta: “C”
06. Você tem R$ 2000,00 e vai aplicar este dinheiro, a juros simples, por um mês. Suas opções
são:
1- Aplicar em Poupança, que rende à taxa real de 1,0% ao mês sem qualquer dedução
sobre o rendimento
2- Aplicar em CDX, que rende à taxa real de 1,2% ao mês, contudo você deve pagar um
imposto de 20% sobre o rendimento
3- Aplicar em CDY, que rende à taxa real de 2,0% ao mês, porém você deve pagar uma taxa
de 50% do rendimento obtido
Assim, em relação ao lucro (rendimento menos investimento) obtido após a aplicação, é
correto afimar que:
A. é indiferente aplicar em Poupança ou CDX
B. é indiferente aplicar em Poupança ou CDY
C. é indiferente aplicar em CDX ou CDY
D. é indiferente aplicar em Poupança, CDX ou CDY
CLF – COMENTA:
ASSUNTO: JUROS SIMPLES
- Dados: C = 2000,00
n = 1 mês
1. Poupança :
i=
1%a.m ®
j=
c.i.n
1
j=
2000 .
.1 \
j=
20 \
LUCRO =
20, 00
100
2. CDX :
1.2
i=
1,2%a.m ®
j=
2000 .
.1 \
j=
24
LUCRO =
24 4, 8
100
imposto =
20% . j ®
imp =
0,20 x 24 \
imp =
4, 8
LUCRO =
19,2
3. CDY :
2
i=
2, 0%a.m ®
j=
2000 .
.1 \
j=
40
100
LUCRO =
40 20
imposto =
50% . j ®
imp =
0,5 x 40 \
imp =
20, 00
LUCRO =
20, 00
- Pode-se afirmar com o exposto acima que é indiferente aplicar em poupança ou em
CDY.
04
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Conhecimentos Específicos
Resposta correta: “B”
07. A área da região mais escura é dada por:
A.
ö
sen(
a
)
R2 æ
÷
ç
÷
a
ç
÷
ç
2ç
è 2 ÷
ø
B.
ö
cos (
a
)
R2 æ
÷
ç
÷
a
ç
÷
ç
ç
2è 2 ÷
ø
R
a
R2
a
sen(
a
)
(
)
2
R2
D. (
a
cos (
a
)
)
2
C.
CLF – COMENTA:
ASSUNTO: GEOMETRIA PLANA
(ÁREA DO SETOR CÍRCULAR)
(ÁREA DO TRIÂNGULO)
ì
A SETOR ®
a
ï
ï
í
ï
A CIRCUNFERÊNCIA ®
360°
ï
î
ì
A
®
a
ï
SETOR )
(
ï
í
2
ï
p
.R
360°
ï
î®
a
.p
.R 2
A(
=
SETOR )
360°
a.b.sena R.R.sena
A TR = ®
A TR =
2
2
a
.p
.R 2 R 2 .sena
A REGIÃO =360° 2
a
.p
.R 2 R 2 .sena
=2p 2
R2
=
a
sena
(
)
2
Resposta correta: “C”
08. Considerando dois polinômios p(x) e q(x), sabe-se que (p+q)(x) possui 5 raízes distintas e
que (p-q)(x) possui 3 raízes distintas. Pode-se afirmar que:
A. Os polinômios p e q têm mesmo grau
B. Cada um dos polinômios p e q tem grau no máximo 3
C. O grau de p é maior ou igual a 5
D. Pelo menos um dos polinômios p e q tem grau pelo menos 5
CLF – COMENTA:
ASSUNTO: POLINÔMIOS
- Considere :
5
3
2
p(x) = x + 2x + 4x - 5x + 2
5
3
e
5
3
2
q(x) = x - 4x + 4x + 5x - 3
2
(p + q)(x) = 2x - 2x + 8x - 1
3
(p - q)(x) = 6x - 10x + 5
05
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Conhecimentos Específicos
LOGO: Pelo menos um dos polinômios p e q tem grau pelo menos 5.
Resposta correta: “D”
09. Considere os inteiros positivos m e n (com m<n). A distância entre o primeiro pico de
f(x)=sen(nx) e o primeiro pico de f(x)=sen(mx), com x>0 é:
æ
p
m+
nö
÷
ç
ç ÷
è
ø
2ç
mn ÷
æ
ö
p
1
C. ç
÷
ç ÷
è
ø
2ç
nm÷
æ
p
nmö
÷
ç
ç ÷
è
ø
2ç
mn ÷
æ
ö
p
mn
D. ç
÷
ç ÷
è
ø
2ç
nm÷
A.
B.
CLF – COMENTA:
ASSUNTO: TRIGONOMETRIA
- Utilizando o gráfico a seguir como referência, temos que:
y
1
p
2
x
-1
Considere as funções:
I. f (
x)
=
sen(
nx )
II. f (
x)
=
sen(
mx )
p p
nx =
®
x=
2
2n
1º PICO
æ
ö
p
ç
, 1÷
÷
ç
ç
è
ø
2n ÷
A distância entre os picos é:
p p
mx =
®
x=
2
2m
2º PICO
æ
ö
p
ç
, 1÷
÷
ç
ç
è
ø
2m ÷
æ
ö
p
p
2
÷
ç
D=
+
11)
(
÷
ç
÷
ç
è
2m 2n ø
2
æ
ö
p
p
÷
ç
D=
÷
ç
ç
è
ø
2m 2n ÷
2
æ
æ
p
p
p
1 1ö
p
nmö
÷
÷
D=
=
.ç
=
.ç
÷
÷
ç
ç
ç
ç
ø
ø
2m 2n 2 è
m n÷
2 è
m.n ÷
Resposta correta: “B”
10. Considere o conjunto A = {a, b, {c}, {d, e}}. Sendo P(A) o conjunto das partes de A, pode-se
afirmar que:
06
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Conhecimentos Específicos
A.
B.
C.
D.
{ { c } } é subconjunto de P(A)
{ d, e } é elemento de P(A)
{ { a }, { b } } é subconjunto de P(A)
{ c, d, e } é elemento de P(A)
CLF – COMENTA:
ASSUNTO: CONJUNTOS
A = { a, b, { c }, { d, e } }
P(A) = { a }, { a, { c } }, { a, { d, e } }, { a,b }, { b }, { b, { c } }, { b, { d, e } }, { { c }, { d, e } }, { { c } },
{ { d, e } }
LOGO: { { a }, { b } } é subconjunto de P(A)
Resposta correta: “C”
07