Instituto Politécnico de Leiria
Escola Superior de Tecnologia e Gestão
Apontamentos Práticos
de
Matemática
Técnicas de Gestão e Comércio Internacional
Ano lectivo 2013/2014
Leonel Vicente
Departamento de Matemática
1
Matemática
Folhas Práticas - 2013
Técnicas de Gestão e Comércio Internacional
Estudo de Funções
1. Dos seguintes gráﬁcos, indique os que representam funções.
2. Considere as funções representadas no exercício 1.
(a) Indique o seu domínio e contradomínio.
(b) Existe alguma função constante?
(c) Quais destas funções têm zeros?
(d) Existem funções injectivas? E sobrejectivas?
(e) Alguma das funções é par? E ímpar?
2
3. Considere os gráﬁcos das seguintes funções:
(a) Estude as funções f , g e h no que respeita ao domínio, ao contradomínio, aos zeros, à monotonia, ao sinal
e à injectividade.
(b) Prolongue a função g a R de modo a ser uma:
i. função par;
ii. função ímpar.
4. Observe os seguintes gráﬁcos de funções e analise a sua injectividade, sobrejectividade e paridade.
(a)
(b)
(c)
(d)
5. Relativamente à função f representada no gráﬁco à direita:
(a)
Indique o seu domínio e contradomínio.
(b)
Justiﬁque se a função f é limitada?
(c)
Construa a tabela de variação e indique os extremos da função.
(d)
Calcule a imagem dos objectos:
i. x = −2;
(e)
ii. x = −1;
iii. x = 0;
iv. x = 1.
Calcule, caso existam, os objectos que admitem por imagem:
i. y = −1;
ii. y = 0;
iii. y = 3.
3
6. Considere a função f representada no gráﬁco à direita. Relativamente a esta função f :
(a)
Indique o seu domínio e contradomínio.
(b)
Indique os seus zeros e extremos absolutos.
(c)
Indique um intervalo onde a função seja crescente e negativa.
(d)
Calcule, se possível, a imagem dos objectos:
i. x = −2;
(e)
ii. x = −1;
iii. x = 0;
iv. x = 1.
Calcule, caso existam, os objectos que admitem por imagem:
i. y = −1;
ii. y = 0;
iii. y = 3.
7. O gráﬁco seguinte relaciona a distância percorrida (em km) com o tempo (em minutos) gasto por um comboio
que percorre totalmente uma certa linha. A partir deste, responda às seguintes questões:
(a) Quantos quilómetros percorreu o comboio no total?
(b) Quanto tempo demorou a percorrer os primeiros 10 km?
(c) Quantos quilómetros tinha percorrido o comboio ao
ﬁm de 10 minutos?
(d) O comboio deslocou-se sempre à mesma velocidade?
(e) Sabendo que o comboio só parou nas estações, indique quantas estações existem nesta linha. Qual a distância
entre as estações?
(f) O comboio demorou o mesmo tempo em todas as paragens?
8. O gráﬁco seguinte mostra a quantidade de gasolina no depósito de um carro durante uma viagem.
(a) Sabendo que a viagem envolveu dois tipos de percursos:
um em cidade e outro em estrada; justiﬁque que parte do
gráﬁco corresponde ao percurso na cidade.
(b) Explique o que terá acontecido na viagem no momento
correspondente no gráﬁco à linha a tracejado DE.
9. O gráﬁco mostra o consumo da electricidade de uma casa durante um dia (entre as 00h e as 17h).
(a) Em que intervalos de tempo o consumo foi constante?
(b) Durante este dia houve um corte de energia. Pelo gráﬁco, a que horas ocorreu este corte de energia?
(c) Em que período do dia foi crescente o consumo de
electricidade? E decrescente?
(d) A que horas do dia o consumo atingiu o valor máximo?
E o valor mínimo?
4
10. Indique o domínio das funções reais de variável real deﬁnidas por:
2
(a) f (x) = 3x;
(b) f (x) = ;
x
√
2
(d) f (x) = 2
;
(e) f (x) = −x − 3;
x −1
(g) f (x) =
(j) f (x) =
√
3
x2 + 3;
x
;
2x − 3
√
1
−2x2 + √
;
−3x
√
x−3
(k) f (x) = 2
;
x −9
(h) f (x) =
2
;
x2 + 1
2
(f) f (x) = √
;
5 − 2x
(c) f (x) =
(i) f (x) =
x+3
;
x−2
(l) f (x) = √
2x2
1
.
+x−1
11. Considerando as funções deﬁnidas no exercício anterior, calcule, se possível, as imagens de x = −1, x = 0 e
√
x = 2.
12. A tabela seguinte representa a tabela de variação da função f.
(a) Indique os intervalos em que a função f é crescente e onde é decrescente.
(b) Indique os zeros e o sinal de f.
(c) Esboce um gráﬁco para a função f .
(d) Indique o domínio das funções deﬁnidas por cada uma das expressões seguintes:
3
2
;
ii. h (x) = f (x);
iii. t (x) =
.
i. g (x) =
f (x)
−f (x)
13. Considere as funções f e h representadas respectivamente por:
(a) Indique o domínio, contradomínio, zeros, sinal, máximos (e maximizantes) e mínimos (e minimizantes) das
funções f e h.
(b) Analise a injectividade e sobrejectividade de f .
(c) Construa a tabela de variação das funções f e h.
(d) Para cada uma das funções, indique os intervalos em que é decrescente e positiva.
(e) Encontre os valores de x para os quais:
i.
f (x) = 0;
vi. h (x) = 6;
ii. f (x) ≥ 0;
iii. f (x) < 0;
iv. h (x) = 0;
v. h (x) = 3;
vii. h (x) ≤ 6;
viii. h (x) < 3;
ix. −1 ≤ h (x) ≤ 0;
x. −1 < h (x) ≤ 3.
5
14. Considere a função real de variável real deﬁnida por f (x) = −2x + 1.
(a) Que nome se dá a esta função?
(b) Qual é a imagem geométrica do gráﬁco da função?
(c) Determine as coordenadas dos pontos de abcissa 0 e 1 do gráﬁco de f .
(d) Utilize as coordenadas calculadas na alínea anterior para desenhar o gráﬁco de f.
(e) Tendo em conta o gráﬁco desenhado anteriormente, indique:
i. o domínio de f;
ii. o contradomínio de f ;
iii. os zeros de f.
(f) Para que valores de x se tem f (x) < 5?
(g) Estude f quanto à sua monotonia, injectividade, sobrejectividade e paridade.
15. Considere a função f : R → R deﬁnida por f (x) = − x2 .
(a) Determine as imagens por f de −2 e 0.
(b) Para que valores de x se tem f (x) ≥ 6?
(c) Entre que valores ﬁca f(x) quando −1 < x < 2?
(d) Indique os intervalos de monotonia da função.
(e) A função f é injectiva ou sobrejectiva? Justiﬁque.
(f) Estude a paridade da função f.
16. Seja h uma f.r.v.r. deﬁnida por
h (x) = x (x − 4) − (x − 3)2 .
(a) Mostre que h é uma função aﬁm.
(b) Determine o zero da função h.
(c) Determine os valores de x para os quais a função h toma valores superiores a −3.
17. Uma empresa tem um custo ﬁxo de produção mensal de 750 euros e um custo variável de 80 euros por cada
unidade produzida. Por cada unidade vendida a empresa recebe 95 euros. Suponha que toda a produção é
vendida.
(a) Calcule a função de custo por unidade produzida.
(b) Calcule a função de facturação por unidade produzida.
(c) Represente graﬁcamente as funções custo mensal e receita mensal, e indique o signiﬁcado do ponto de
intersecção das duas rectas.
6
18. Considere as funções quadráticas f , g e h deﬁnidas por:
f (x) = x2 − x − 6,
g (x) = −2 (x − 1)2 + 2
e
h (x) = −x2 − x − 6.
(a) Determine os zeros, caso existam, de cada uma das funções.
(b) Calcule as coordenadas dos vértices das parábolas que representam graﬁcamente cada uma das funções.
(c) Construa a tabela de variação e indique o contradomínio para cada uma das funções.
(d) Faça um esboço do gráﬁco de cada uma das funções.
19.
Observe a representação gráﬁca de uma função h:
Indique:
(a) os zeros da função;
(b) as coordenadas do vértice da parábola;
(c) os intervalos de monotonia;
(d) a expressão analítica da função.
20.
A ﬁgura seguinte mostra os gráﬁcos das funções:
f1 (x) = x2 ;
f2 (x) = 3x2 ;
f3 (x) = 0, 3x2 ;
f4 (x) = −2x2 ;
f5 (x) = − 12 x2 .
Indique o gráﬁco correspondente a cada uma das funções.
21. Os gráﬁcos seguintes representam as funções f, g, h e j com expressão geral também indicada em seguida.
Indique o gráﬁco que corresponde a cada uma das funções.
22. Do cimo da Torre dos Clérigos do Porto, uma criança deixou cair uma bola. Da Física sabe-se que o espaço
percorrido pela bola, e (em metros), entre o largar da bola e o instante t (em segundos) é dado pela fórmula:
e (t) = 12 gt2 , sendo g a constante da gravidade que se considera igual a 9, 8.
(a) Mostre que e (t) = 4, 9t2 .
(b) Indique o nome se dá a esta função.
(c) Qual a imagem geométrica do gráﬁco da função?
7
(d) Calcule a distância percorrida pela bola ao ﬁm de 1s e ao ﬁm de 3s.
(e) A Torre dos Clérigos tem 76 metros de altura. Determine, aproximadamente, ao ﬁm de quantos segundos
a bola atingiu o solo.
(f) Utilize as coordenadas calculadas na alínea anterior para fazer um esboço do gráﬁco de e.
23.
A secção transversal de uma piscina tem a forma de uma parábola.
Tomando o referencial xoh indicado na ﬁgura ao lado, a equação dessa
parábola é h (x) = 0, 2x (x − 8). (x e h em metros)
(a) Calcule a largura e a profundidade máximas da piscina.
(b) Quais as zonas da piscina cuja profundidade é superior a 1, 4m?
24. Considere a função real de variável real deﬁnida por r (x) = −x2 + 30x.
(a) Determine os zeros da função r.
(b) Calcule as coordenadas do vértice da parábola representativa da função.
(c) Indique o contradomínio da função.
(d) Determine o conjunto solução da condição r (x) ≥ 125.
(e) Estude o sinal da função.
(f) Mostre que a função representa a área de um rectângulo de perímetro 60.
(g) Determine as dimensões do rectângulo de área máxima.
25. Quando se atira uma bola ao ar, com uma velocidade inicial de 30m/s, a altura (em metros) atingida pela bola,
ao ﬁm de t segundos, é dada pela expressão h (t) = 30t − 4, 9t2 .
(a) Fará sentido considerar qualquer valor real para t?
(b) Determine a altura máxima atingida pela bola.
(c) Indique o intervalo de tempo em que a bola subiu.
(d) Após o seu lançamento, quando volta a bola a atingir o solo?
26. Seja g a função real de variável real deﬁnida por g (x) = x2 + kx + 4. Determine o parâmetro k de modo que:
(a) a função não tenha zeros.
(b) o gráﬁco da função passe pelo ponto (1, 5) .
(c) a parábola que representa geometricamente a função seja tangente ao eixo dos xx.
27. Considere as seguintes representações gráﬁcas de funções reais de variável real:
8
(a) Entre os gráﬁcos, indique, se existir, um que represente uma função aﬁm.
(b) Determine a expressão analítica da função g.
(c) Entre as funções representadas, existe alguma que seja limitada?
(d) Indique os intervalos de monotonia da função g.
28. Resolva, em R, cada uma das seguintes condições:
(a) x2 + 3 > 0;
(b) x2 − 5x ≤ −4;
(d) x (x + 3) − 8 (x + 3) ≤ 0;
(e) x3 − x2 − 6x < 0;
(g)
(h)
2
(x − 3)
≤ 0;
x
x2
(c) x2 − 2x − 2 < 2x2 − 3x + 1;
1 + x2
(f)
≥0
x2
1
(i)
≤ −x.
x−2
2
+ 1 ≥ 0;
− 3x
29. Considereas seguintes funções deﬁnidas por ramos:

−x2 + 1 se −3 ≤ x < 3



f (x) =
e
−x
se 3 ≤ x < 6




4
se
x>6
g (x) =
Indique, para cada uma delas:
 √

−x − 3 se







x ≤ −2
se −2 < x ≤ 2 .
2
se
x−2
x>2
(a) o domínio;
(b) os zeros (caso existam);
(c) a imagem dos pontos de abcissa x = −4, x = 0 e x = 3.
30. Escreva, sem usar o símbolo de | |:
|x − 1|
(a) |x| − 2;
(b)
;
x−1
(c)
x − 2 |x|
;
3
31. Sejam i e h as funções deﬁnidas por i (x) = |x − 3| ;
(d)
2x − |x − 3|
.
3
h (x) = x2 − 3x .
(a) Determine os zeros das funções i e h.
(b) Represente graﬁcamente as funções i e h.
(c) Resolva as inequações i (x) < 2 e h (x) ≥ 4.
32. Considere as funções f, g e h deﬁnidas por f (x) = x2 + 3,
g (x) =
1
x
e
Caracterize as seguintes funções:
(a) f ◦ g;
(b) g ◦ h;
(c) h ◦ g;
h (x) =
x2
1
.
−1
(d) h ◦ f.
33. Considere as funções reais de variável real f e g deﬁnidas por:
f (x) =
1
4 − x2
e
g (x) =
√
x + 1.
(a) Indique o domínio de cada uma delas.
(b) Caracterize a função f ◦ g.
(c) Considere a função real de variável real h deﬁnida por h (x) =
gráﬁcos das funções f ◦ g e h são iguais.”
9
1
. Comente a seguinte aﬁrmação: “Os
3−x
34. Considere a função real de variável real f deﬁnida por f (x) = 3x + 1.
(a) Caracterize a função inversa da função f .
(b) Represente graﬁcamente as funções: f , f −1 e a recta y = x.
O que pode concluir quanto à posição relativa dos gráﬁcos?
35. Deﬁna as funções inversas das funções deﬁnidas por:
(a) f (x) = 3x − 5;
(b) g (x) =
2x + 4
;
3
3
;
x−2
(c) h (x) =
(d) i (x) =
x−3
.
2x + 1
36. Determine o domínio de cada uma das seguintes funções, deﬁnidas por:
2
(a) p(x) = 10−x ;
(e) m(x) =
ex
1
;
−1
1
1
(c) h(x) = ln(2x2 + 1);
(b) q(x) = e x+1 + e x ;
(f) g (x) = ln
1
x
√
− ln x − 2;
(g) j(x) = 2
√
x
;
(d) f (x) = ln x2 − 1 ;
(h) k(x) = ln (3 − |x − 2|) .
37. Determine, caso existam, os zeros de:
ex+1 −xex
;
3
2
(a) f (x) = 3x − 9x ;
(b) g(x) =
(c) h(x) = ex − ln (ee );
(d) r (x) = ln x2 ;
(e) m (x) = e2x × e−x + ln (e);
38. Simpliﬁque, no seu domínio, a expressão 3log3 (x
2
(f) n (x) = eln(2x)−ln(x) + ln e2 .
−1)−log3 (x+1)
. log3 (9x ).
39. Sabendo que log4 (f (x)) = log2 (x − 1) e x > 1, calcule a expressão geral de f (x).
40. No início do ano 2009 foram criados viveiros com uma certa espécie de peixes. O número N de peixes (em
milhares) t meses após o início de 2009 é dado por N (t) =
6
1+5e−t .
(a) Quantos peixes foram utilizados no início da criação dos viveiros?
(b) Quantos peixes existiam em Junho de 2009 e no ﬁnal de 2009?
41. Numa fábrica de componentes electrónicos o número P de peças que um operador de determinada máquina
produz por dia depende do número t de dias de experiência. Essa relação é dada por P (t) = 50 − 35e−0,02t .
(a) Qual o número de peças que é de esperar que um operário sem experiência produza por dia?
(b) Um operário que produza mais de 400 peças num dia recebe um prémio de produtividade. Quantos dias de
experiência são necessários para receber o prémio de produtividade?
42. Num país africano, desde o início deste ano que uma espécie de camelos está a ser dizimada por uma peste. O
número de camelos é dado, em função do tempo, pela lei C (t) = k × e−0,4t , com t em anos.
(a) Explique o que signiﬁca a condição C (0) = 8000 e determine o valor de k.
(b) O Governo decretará que a espécie de camelos estará em vias de extinção quando o número de camelos for
inferior a metade do número inicial. Daqui a quanto tempo isso acontecerá?
(c) O Ministério da Agricultura, através do seu Departamento de Veterinária, está a desenvolver um medicamento que erradicará a peste; prevê-se que esteja pronto daqui a 10 anos. Quantos camelos salvará?
10
43. No início do ano 2005 existiam 6000 aves duma espécie em vias de extinção. O número de aves dessa espécie
(em milhares) decresce com o tempo t (em anos) segundo o modelo:
A (t) = log2 (a − 7t) .
(a) Mostre que a = 64.
(b) Quantas aves morreram entre 2005 e 2009 e quantas se prevê que morram durante o ano de 2009?
(c) Em que ano se prevê que a espécie se encontre extinta?
44. A equipa de marketing duma casa de jogos deduziu uma fórmula para o número de raspadinhas vendidas B
(×1000) em função do o montante x de prémios em jogo (×100€):
B (x) = ln e10 + ln (x + 2)10 − ln (x + 5)10 .
(a) Simpliﬁque a fórmula dada pelo responsável de marketing para:
B (x) = 10 + 10 ln
x+2
x+5
.
(b) Calcule e interprete o valor de B (10).
45. A magnitude dos tremores de terra é habitualmente medida na escala de Richter. Nesta escala, a energia libertada
por um abalo sísmico (E) está relacionada com a magnitude (M) da seguinte forma:
log10 E = 5, 24 + 1, 44M
(a energia é medida em Joules) .
(a) Determine a energia libertada pelo último sismo ocorrido em Leiria, sabendo que atingiu 4, 5 na escala de
Richter.
(b) Um físico português estimou que o terramoto de Lisboa de 1755 libertou uma energia de 4, 2 × 1017 Joules.
Qual a magnitude deste terramoto?
(c) A ponte Vasco de Gama foi concebida para resistir a um sismo cuja energia total libertada seja cinco vezes
maior à do terramoto de 1755. Qual será a magnitude de um tal sismo?
46. Admita que o número de unidades de sangue colhidas na Alfalândia, por ano, desde 1996 (t = 0) é dado pela
expressão:
A (t) = 100 log2 (4 + 0, 5t) ,
em que A é expressa em milhares e t em anos.
(a) Quantas unidades de sangue foram recolhidas em 1996?
(b) Cada unidade de sangue contém aproximadamente 0, 045 litros. Quantos litros de sangue foram recolhido
durante o ano de 2004?
(c) O país seria auto-suﬁciente se, por ano, recolhesse 400 000 unidades de sangue. Em que ano se prevê que
tal venha a acontecer?
11
47. Observe os gráﬁcos das funções f , g e h e calcule os limites.
lim f (x) , lim f (x)
x→1
x→0
lim g (x) , lim g (x)
x→−1
lim h (x) e
x→+∞
x→0
lim h (x)
x→−∞
48. Observe os gráﬁcos das funções i, j e m.
(a) Indique em que pontos do domínio as funções não têm limite.
(b) Calcule os limites de i, j e m quando x → −∞, x → 0, x → 1 e x → +∞.
49. Observe o gráﬁco da função f e indique, se existir:
(a) lim− f (x) ;
(b) lim+ f (x) ;
(c) lim f (x) ;
(d) lim+ f (x) ;
(e) lim− f (x) ;
(f) lim f (x) ;
(g)
lim f (x) ;
(h)
lim f (x) ;
(i) lim f (x) ;
lim f (x) ;
(k)
lim f (x) ;
(l)
x→1
x→0
(j)
x→−2+
x→−3
x→1
x→0
x→−2−
x→−∞
x→1
x→0
x→−2
lim f (x) .
x→+∞
50. Calcule os seguintes limites:
(a) lim (−10) ;
(b) lim −2x +
x→8
x→1
1
x
;
(c) lim (x + 1) (x − 2)2 ;
x→2
(d)
lim
x→−∞
x2 ;
(e)
lim
x→+∞
2
x
.
51. Calcule os limites laterais nos pontos indicados e diga, justiﬁcando, se existe 
limite da função nesses pontos.

1

x = −∞
,
x < −1



 2x , x < 0
 2
x = 01
(a) f (x) =
,
;
(b) g (x) =
x=0
2 , −1 ≤ x ≤ 1 ,


 x , x≥0

x=1

 −1 ,
x = +∞
x
>
1
x
(c) h (x) =


1
x2 +1
 −1
2x
, x > −1
x = −∞
,
, x ≤ −1
x = −1
x
(d) i (x) = (3x + 2) |x|
,
;
x = +∞
52. Determine o valor do parâmetro real a de modo que a função h deﬁnida por:


x + 2a
se x < −1
h (x) =
 x2 − ax + 1 se x ≥ −1
tenha limite quando x tende para −1.
12
x = 0.
53. Calcule, se existirem, os seguintes limites:
x−2
x2 − 9
;
(b) lim
;
(a) lim 2
x→2 x − 4
x→−3 x + 3
x4 − 1
;
+x−2
(e) lim
x→0+
1
;
x
(j)
lim
x→6
x3 − 2x2 − 5x + 6
;
x→3
x2 − x − 6
(f) lim
x→1 x2
(i) lim
(c) lim
x→0−
1
;
x
1
;
x→0 x
(k) lim
1
;
x→0 x2
(l) lim
(m) lim
x→0−
4x4 − 6x2 + x
;
x→−∞ 2x3 − 4x + 6
(p)
4x3 − 6x2 + x
;
x→−∞ 2x4 − 4x + 6
(q)
(s)
x3 + 1
;
2
x→−∞ x + x + 1
(t)
x
√ ;
x→+∞ 2 − x
(u) lim
lim
lim
lim
lim
√
(e)
lim ex − ln (x) ;
(f)
x→+∞
(c)
ln (−x)
;
x→−∞
x2
lim
x−1
(d) lim √
;
x→1
x−1
x−4
(g) lim √
;
x→4
x−2
(o)
54. Calcule, se existirem, os seguintes limites:
ex+1 − e
e2x − 1
(a) lim
;
(b) lim x
;
x→0
x→0 e − 1
2x
55.
x+6
;
x2 − 36
1−x
;
x2 − 1
(h) lim
x→1
√
x
;
x2
(n) lim
x→1−
4x3 − 6x2 + x
;
x→−∞ 2x3 − 4x + 6
(r) lim
(1 − 2x)2
;
x→+∞ 2x3 − 3x + 1
(v)
3x + x
;
x→+∞
x3
(d)
ln (x + 1)2
;
x→0
x
(h) lim
|x − 1|
;
x−1
t4 − 2t + 3
;
t→−∞ 2t2 + 5t − 1
lim
lim
(g) lim
2x2 − 5x
− 2x.
x→+∞ x + 2
lim
lim
x→+∞
x→1
ln (x)
;
ex
1−x
;
ln (2 − x)
Observe os gráﬁcos das funções f e g.
(a) Indique o valor de f (1) de modo que f seja contínua:
i.
à direita de 1;
ii.
à esquerda de 1.
(b) Indique o valor de g (1) de modo que g seja contínua.
56. Considere as seguintes funções reais de variável real:


x2 − 2 , x > 1





0
se x = −3
f (x) =
g (x) =
3
, x=1
9 − x2




se x = −3


x+3
x3 − 3 , x < 1
(a) Calcule os limites:
lim f (x), lim f (x), lim f (x), lim g (x), lim g (x) e lim g (x).
x→−∞
x→3
x→+∞
x→−∞
x→1
x→+∞
(b) Estude a continuidade das funções f e g.
57. Considere a função g, real de variável real, deﬁnida por g(x) =



 3x + k
se x ≤ −1
.

kx2 − k


se x > −1
x+1
Determine o valor do número real k de modo que a função g seja contínua no seu domínio.
58. Uma nova publicação, a revista “Tempo de Mudança”, pretende implementar-se no mercado nacional. De
acordo com o departamento de marketing, o modelo matemático para o número N (em milhares) de pessoas que
t
adquirem a revista t meses após ela se encontrar no mercado será N (t) = 200 1 − 2− 12 .
(a) A direcção ﬁnanceira da empresa que pretende lançar a publicação considera que no ﬁnal dos primeiros dez
meses a revista deverá ter, pelo menos 100 mil leitores. Veriﬁque se este objectivo se concretizará.
13
(b) O departamento de marketing desenvolveu um projecto para uma campanha de publicidade que poderá ser
implementado ao ﬁm de um ano, e que modiﬁcará o número de leitores para
Nm (t) = 100 + 200 1 − 2−
t−12
12
,
t ≥ 12.
Segundo este modelo, determine quantos meses são necessários para que o número de leitores desta revista
seja superior a 200 mil.
(c) A direcção ﬁnanceira considera que só vale a pena implementar a campanha de publicidade se, no ﬁnal
do primeiro mês após a campanha, o número de leitores seja acrescido de 10%, por forma a fazer face aos
gastos com a mesma. A campanha vai ser implementada?
(d) Calcule o lim Nm (t) e interprete este valor no contexto do problema.
t→+∞
1
dos alunos da ESTG. O número
10
E
de alunos que soube do acontecimento t horas após o acidente é dado por f (t) =
, onde E representa
1 + C × 3−kt
1
o número de alunos da ESTG. Sabe-se que dos alunos soube do acidente 2 horas depois.
4
59. Um acidente de carro, ocorrido às nove horas da manhã, foi presenciado por
(a) Mostre que C = 9 e k = 12 .
(b) A que horas metade dos alunos teve conhecimento do acidente?
60. Considere as funções representadas nos gráﬁcos (a) , (b) , (c) e (d). Indique em que pontos do domínio as funções
não são deriváveis e justiﬁque.
(a)
(b)
(c)
(d)
61. Considere as funções representadas pelos gráﬁcos (a), (b) e (c). Esboce o gráﬁco da respectiva função derivada.
(a)
(b)
(c)
62. Estabeleça uma correspondência entre os gráﬁcos das funções representadas na primeira linha com o gráﬁco da
respectiva função derivada na segunda linha:
(a)
(b)
(c)
(d)
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
14
63. Considere a função f , real de variável real, deﬁnida por f (x) =
x2
.
2
(a) Calcule, por deﬁnição, f ′ (1) .
(b) Escreva a equação da recta tangente ao gráﬁco de f no ponto de abcissa x = 1.

 −x2 + 2 se x ≤ 1
64. Seja g a função real de variável real deﬁnida por g (x) =
.

x
se x > 1
(a) Represente graﬁcamente g.
(b) Pela análise do gráﬁco, justiﬁque se existe g ′ (1).
(c) Conﬁrme, analiticamente, a conclusão a que chegou na alínea anterior.
65. Determine a função derivada de cada uma das seguintes funções:
√
(a) y = 2x2 − 3x; (b) y = (10x + 5)3 ; (c) y = 3 x + x1 ;
(e) y =
4−x
3+x ;
(f) y =
(i) y = x2(1−x) ;
2
(m) ln(3x
+1
);
ln x
x ;
(d) y = x(x + 1)2 ;
(g) y = x ln x;
(j) y = log3 (x2 );
(n) y = |x + 1| ;
(h) y =
1
√ x
;
ex +1
(l) y = 3x log3 x;

 −x2 , x ≤ −1
(p) y =
.
 2x, x > −1
(k) y = e x ;

 x2 , x ≤ 1
(o) y =
;
 √x, x > 1
66. Considere a função f , real de variável real, deﬁnida por:


x − 3 se 0 ≤ x < 1



f (x) =
.
−2 se
x=1



 −2x se
x>1
Veriﬁque se f é derivável nos pontos x = 0 e x = 1.
67. Considere as funções reais de variável real h, f e g deﬁnidas por:


1
 xe− x , x > 0
 x ln x, x > 0
h (x) =
; f (x) =
 x2 ,
 2x,
x≤0
x≤0
e g (x) = x2 − 4x .
Caracterize a função derivada de cada uma das funções.
68. Considere a função real de variável real f deﬁnida por f(x) =
x2
2x+1 .
Escreva a equação da recta tangente ao
gráﬁco de f no ponto de ordenada y = −1.
69. Considere a função real de variável real g deﬁnida por g(x) =
√
x2 + 1. Sabendo que a tangente ao gráﬁco de g
no ponto A é uma recta horizontal, obtenha as coordenadas do ponto A.
70. Sejam f e g duas funções reais de variável real. Sabendo que a recta t é tangente ao gráﬁco de f em x = 1, que
f (1) = 2, que a recta t também é tangente ao gráﬁco de g em x = −1 e que g (−1) = 0, calcule a expressão da
recta t e o valor de f ′ (1).
71. Mostre que a função y = xe
2
−x
2
satisfaz a equação xy ′ = (1 − x2 )y.
15
72.
√
d2 y
(a) Para a função y = 3x3 + 5x − 2 x − 1, calcule
.
dx2
3
d
y
(b) Para a função y = ln x2 − e−2x , calcule
.
dx3
(c) Para a função y = ax , calcule y (n) .
73. Veriﬁque que f ′′ (x) − 2f ′ (x) + f (x) = 2ex , sendo f (x) = x2 ex .
74. Utilizando a Regra de Cauchy, calcule os seguintes limites:
(a) lim e
x→0
x
−1
x ;
xe3x −x
;
x2
x→0
(b) lim ln(x+1)
; (c) lim
x
x→0
(d) lim
x→0+
ln x
1
x
75. Considere a função h, real de variável real, deﬁnida por h(x) = e
(a) Resolva a equação h ′ (x) −
3
x2 h(x)
ln(x2 +1)
;
xex
x→0
; (e) lim
x2 +1
x
x(1−ln x)
.
x→0+ ln(1−x)
(f) lim
.
= 0.
h(x)
x .
x→+∞ e
(b) Calcule lim
76.
A função f , real de variável real, é contínua em R
e a representação gráﬁca da sua função derivada
f ′ é a apresentada à direita:
(a) Estude a monotonia da função f .
(b) Quais os pontos críticos e singulares de f?
(c) Indique os valores de x onde f atinge um
máximo e um mínimo local.
77. Determine, caso existam, os extremos relativos de cada uma das seguintes funções:
(a) f (x) = x3 − 3x;
(b) f(x) = x2 − 2x + 2;
(c) f(x) = x4 − 2x3 + 2;
(d) f (x) =
(e) f (x) =
(f) f (x) = |x + 1| ;
x
;
x+1
(g) f (x) = 2x4 − 16x, x ∈ [1; 3] ;
(j) f (x) =



−x
−e2
2
x −2x−1
2
se
x≤0
;
se 0 < x ≤ 2
2x
;
+4
x2
(h) f (x) = ln x2 − 2x + 2 ; (i) f (x) =


−x,
x<1



(k) f (x) =
x2 − 2, 1 ≤ x ≤ 2 .



 1 − x,
x>2
78. Considere a função real de variável real deﬁnida por f (x) =
ex
x−1 .
(a) Estude a função f quanto à monotonia.
(b) Determine, caso existam, os extremos relativos da função f.
(c) Resolva a inequação ln (f (x)) ≥ x.
79. Considere a seguinte função real de variável real h deﬁnida por h(x) = ln
(a) Calcule lim h(x)
x2 .
x→0
(b) Resolva a inequação h(x) − h(x + 1) ≥ 0.
(c) Determine os extremos relativos da função h.
16
1
1+x2
.
√
x2 + x + 1;
80. Sabendo que o lucro L de uma determinada empresa (em euros) é dado pela função L (x) = −x3 + 1200x + 1000,
x ≥ 0, em função do número de unidades x produzidas, calcule o lucro máximo.
81. Uma ﬁrma estima vender N unidades de um determinado produto depois de investir x milhares de euros em
publicidade, onde N (x) = −x2 + 300x + 6, 0 ≤ x ≤ 300. Para que a campanha de publicidade tenha os melhores
resultados, qual deverá ser o investimento a fazer pela empresa?
82. Suponha que o valor V de mercado de um determinado produto, após t meses do lançamento, é dado (em
milhares de euros) por V (t) = 50 −
25t2
,
(t+2)2
t ≥ 0.
(a) Determine o valor máximo de mercado.
(b) O valor de mercado do produto aumenta ao longo do tempo?
(c) Calcule o lim V (t) .
t→+∞
(d) No contexto do problema, interprete o valor obtido na alínea anterior.
83. Numa determinada fábrica, o custo total de produção mensal de q centenas de peças, é dado por C (q) =
q 3 − 12q 2 + 21q + 1000, q ≥ 0.
(a) Determine a função C ′ (q), custo marginal, e calcule o seu valor para 6 centenas de peças.
(b) Estude a variação do custo total, no intervalo [0, 8]. Qual o no de peças que aconselha ao fabricante para
que o custo seja mínimo?
84. Um estudo sobre audiências televisivas veriﬁcou que, durante os 120 minutos da transmissão do jogo Portugal
1
− Estados Unidos, o número de espectadores variou aproximadamente de acordo com a relação E (t) = − 20
t+
12 −
80
t+20 ,
t ≥ 0, em que E representa o número de espectadores (em milhões) e t o tempo (em minutos).
(a) Qual o número de espectadores no início e no ﬁnal da primeira hora de jogo?
(b) Em que momento da transmissão se registou a audiência máxima.
85. Uma companhia petrolífera possuí duas plataformas das quais pode estrair petróleo.
Uma plataforma no Alasca, em que a extração de x milhões de galões origina um lucro de:
√ −x+1
L1 = xe 4 , x > 0,
e outra em Timor em que a extração de x milhões de galões gera um lucro de:
2 ln(x2 )
L2 =
, x > 0.
x
Indique as quantidades de petróleo a extrair em cada uma das plataformas de forma a maximizar o lucro.
86. O valor de mercado de um determinado produto, após t meses do lançamento, é dado (em milhares de euros) da
forma
V (t) = 5
ln (t) + 1
t
, t ≥ 0.
Indique o valor máximo de mercado que o produto poderá atingir.
17
87.
Uma tipograﬁa pretende elaborar um panﬂeto que deverá ter 18 cm2 de
texto impresso. As margens superior e inferior deverão ter 2 cm cada uma
e as margens laterais 1 cm cada, como mostra a ﬁgura à direita.
(a) Mostre que a área do panﬂeto pode ser dada por
A (x) = x
18
x−2
+ 4 , x > 2, onde x é sua largura.
(b) Determine as dimensões do panﬂeto de modo que a quantidade de
papel utilizado seja mínima.
88.
(a)
Pretende-se construir um reservatório de água em betão com a forma de um cilindro e
capacidade para 1000 m3 . A área de superfície e o volume do cilindro é dada por
S = 2πr2 + 2πrh
e
V = πr2 h, respectivamente,
onde h é altura e r o raio da base.
(b)
Mostre que a área da superfície do reservatório se pode escrever como uma função que
depende somente de r, dada por
S (r) = 2πr2 +
(c)
2000
r ,
r > 0.
Determine as dimensões do reservatório de forma a conseguir-se a capacidade desejada
utilizando a menor quantidade de betão possível.
18
Soluções
1. B, C, E, H, I, J, K e L.
2. (a) DB =DC =DE =DH =DI =DJ =DL = R. DK = R\ {0}.
(d) Injectivas: J e L; Sobrejectivas: J e L;
3. (a)
Função f :
(b) B;
(c) B, C, H, I, J, K e L;
(e) Par: B, E e H; Ímpar: C e L.
Função g:
′
Df = R \ {−2} ;
Df = ]−1, +∞[ ;
Dg = R−
0;
Função h:
′
Dg = R+
0;
Dh = R;
Dh′ = ]−2; +∞[ ;
Zerosf = {−3, 0} .
Zerosg = {0} .
Zerosh = {−4, −2}
Monotonia:
Monotonia:
Monotonia:
Crescente: ]−2, 0[ ∪ ]1, 2[;
Decrescente em Dg.
Crescente: ]−2, 0[ ∪ ]1, +∞[;
Decrescente: ]−∞, −2[ ∪ ]0, 1[.
Decrescente: ]−∞, −2[;
Constante: ]0, 1[ ∪ ]2, +∞[.
Sinal:
Sinal:
Sinal:
f (x) > 0 ⇔ x ∈ ]−∞, −3[ ∪ ]0, +∞[;
g (x) > 0 ⇔ x ∈ ]−∞, 0[.
h (x) > 0 ⇔ x ∈ ]−∞, −4[ ∪ ]−2, +
f (x) < 0 ⇔ x ∈ ]−3, 0[ \ {−2}.
h (x) < 0 ⇔ x ∈ ]−4, −2[.
Não é injectiva nem sobrejectiva.
(b)
(a)
(b)
É injectiva e não é sobrejectiva.
Não é injectiva nem sobrejectiva.
y
y
x
x
4. (a) A função não é injectiva nem sobrejectiva. A função é par.
(b) A função não é injectiva nem sobrejectiva. A função não é par nem ímpar.
(c) A função é injectiva e não é sobrejectiva. A função é ímpar.
(d) A função não é injectiva nem sobrejectiva. A função é par.
5. (a) Df = R;
Df′ = ]−1, 3] .
(b) f é limitada porque −1 < f (x) ≤ 3, para qualquer x ∈ Df .
(c)
x
f (x)
−∞
0
−2
−→
0
(d)
i. f (−2) = 0;
(e)
i. y = −1 Impossível;
6. (a) Df = R \ {−1};
−1
ր
3
0
ց1
ii. f (−1) = 3;
1
ր2
0
iii. f (0) = 0;
0
+∞
−1
ր0
iv. f (1) = 0.
ii. y = 0 ⇔ x ∈ Zerosf = ]−∞, −2] ∪ {0, 1} ;
iii. y = 3 ⇔ x = −1.
Df′ = [−1, +∞[ .
(b) Zerosf = {0, 2} . Máximo absoluto: não tem. Mínimo absoluto: y = −1 (minimizante: x = 1).
(c) f é crescente e negativa para x ∈ ]1, 2[ .
19
(d)
i. f (−2) = 1;
(e)
i. y = −1 ⇔ x = 1;
ii. f (−1) não existe;
iii. f (0) = 0;
ii. y = 0 ⇔ x ∈ Zerosf = {0, 2} ;
iv. f (1) = −1.
iii. y = 3 ⇔ x ∈ ]−∞, −2[ ∪ {a}, onde a é
um valor indeterminado próximo de 3.
7. (a) No total, o comboio percorreu 14 km.
(b) O comboio demorou 16 minutos a percorrer os primeiros 10 km.
(c) Ao ﬁm de 10 minutos o comboio tinha percorrido 8 km.
(d) Não. Começou por fazer 4km nos primeiros 2 min (120Km/h), passando depois para 4km em 4 min
(60Km/h). Ainda podemos acrescentar que depois fez 2Km em 6 min (20Km/h) e ﬁnalmente 4km em
2 min (120Km/h).
(e) Existem 3 estações. A 1a estação está a 4 km da 2a , e esta a 2 km da 3a estação.
(f) Sim, o comboio demorou sempre dois minutos em cada paragem.
8. (a) O percurso A -> D terá sido o percurso em cidade porque a distância percorrida foi menor e o depósito
de gasolina gastou-se mais rapidamente (portanto o consumo foi maior, facto que costuma ocorrer mais em
percursos citadinos).
(b) Nesse momento o condutor terá atestado o depósito do carro com gasolina.
9. (a) O consumo foi constante entre as 00h e as 06h e entre as 10h e as 11h.
(b) O corte de energia ocorreu às 11h e durou até às 12h.
(c) O consumo foi crescente entre as 06h e as 09h e entre as 12h e as 14h. O consumo de energia foi decrescente
entre as 09h e as 10h e entre as 14h e as 17h.
(d) O valor máximo do consumo foi às 14h e o mínimo no intervalo entre as 00h e as 06h.
10.
(a) Df = R;
(e) Df = ]−∞, 3];
(i) Df = ]−∞, −3] ∪ ]2, +∞[;
11.
(b) Df = R\ {0};
5
(f) Df = −∞, ;
2
3
(j) Df = R\
;
2
√
√
(a) f (−1) = −3; f (0) = 0; f
2 = 3 2;
√
(c) f (−1) = 1; f (0) = 2; f
2 = 23 ;
√
(e) f (−1) N.D.; f (0) N.D.; f
2 N.D.;
√
√
√
(g) f (−1) = 2; f (0) = 3; f
2 = 5;
√
(i) f (−1) N.D.; f (0) N.D.; f
2 N.D.;
√
(k) f (−1) N.D.; f (0) N.D.; f
2 N.D.;
(c) Df = R;
(d) Df = R\ {−1, 1};
(g) Df = R;
(h) Df = φ;
(k) Df = ]3, +∞[;
(l) Df = ]−∞, −1[ ∪
√
2
√
(d) f (−1) N.D.; f (0) = −2; f
2
√
√
√
(f) f (−1) = 2 7 7 ; f (0) = 2 5 5 ; f
2
√
(h) f (−1) N.D.; f (0) N.D.; f
2
(b) f (−1) = −2; f (0) N.D.; f
=
√
2;
= 2;
2
√ ;
5−2 2
=√
N.D.;
√
√
1
3
√ 2 ;
(j) f (−1) = √
=
f
(0)
=
0;
f
2
=
3
2 2−3
5
√
(l) f (−1) N.D.; f (0) = N.D.; f
2 = √ 1√ .
√
3
25
5 ;
3+ 2
12. (a) f é crescente em ]0, 2[ ∪ ]6, +∞[. f é decrescente em]4, 6[ .
(b) Zerosf = {2, 6}. f é positiva em ]4, +∞[. f é negativa em ]−∞, 2[.
(c) –—
20
1
2 , +∞
.
(d)
ii. Dh = {2} ∪ [4, +∞[;
i. Dg = Df \ {2, 6} = [−4, 2[ ∪ [4, +∞[ \ {6};
13. (a) Df = ]−∞, 11] \ {6}, Dh = ]−3, 15[ ;
′
Df′ = R, Dh−
= ]−4, 5[ ;
iii. Dt = [−4, 2[.
Zerosf = {0, 5, 9, 11}, Zerosh =
{0, 8, 13}.
f é positiva para x ∈ ]0, 5[ ∪ ]6, 11[ \ {9}, f é negativa para x ∈ ]−∞, 0[ ∪ ]5, 6[.
h é positiva para x ∈ ]0, 8[ ∪ ]13, 15[, h é negativa para x ∈ ]−3, 0[ ∪ ]8, 11[.
f é crescente para x ∈ ]−2, 3[ ∪ ]9, 10[, f é decrescente para x ∈ ]−∞, −2[ ∪ ]3, 6[ ∪ ]6, 9[ ∪ ]10, 11[.
h é crescente para x ∈ ]−3, 6[ ∪ ]12, 15[, f é decrescente para x ∈ ]6, 9[ e f é constante para x ∈ ]9, 12[.
y = 4 e y = 2 são os máximos locais de h (máximizantes: x = 3 e x = 10, respectivamente). y = −2 e y = 0
são os mínimos locais de h (minimizantes: x = −2 - no primeiro caso - e x = 9 e x = 11 no segundo caso).
y = 3 é o máximo local de h (máximizante: x = 6). y = −1 é o mínimo local (minimizantes: x ∈ ]9, 12[).
(b) f não é injectiva (porque, por exemplo, tem mais do que um zero), mas f é sobrejectiva porque Df′ = R.
(c)
x
−∞
−2
0
f (x)
x
ց
−2
−3
f (x)
0
ր
0
−4
ր
0
3
0
ր
6
ր
4
6
ց−∞
8
3
ց
0
9
+∞
ND
9
ց
−1
ց
12
−→
−1
(d) f é decrescente e positiva para x ∈ ]3, 5[ ∪ [6, 9[ ∪ [10, 11[.
10
0
ր
2
13
ր
0
11
ց
0
15
ր
5
h é decrescente e positiva para x ∈ ]6, 8[.
(e)
14.
i. x ∈ {0, 5, 9, 11};
ii. x ∈ [0, 5] ∪ ]6, 11] ;
iii. x ∈ ]−∞, 0[ ∪ 6, 11;
iv. x ∈ {0, 8, 13} ;
v. x ∈ {6, 14} ;
vi. h (x) = 6 é impossível;
vii. x ∈ Dh = ]−3, 15[ ;
viii. x ∈ ]−3, 14[ \ {6} ;
ix. x ∈ x ∈ [−1, 0] ∪ [8, 14] ;
x. x ∈ ]−1, 9[ ∪ ]12, 14] .
(a) Função aﬁm.
(e)
(b) Recta.
(c) f (0) = 1 e f (1) = −1.
i. Df = R;
(f) f (x) < 5 ⇔ x > 2 ⇔ x ∈ ]2, +∞[ ;
ii.
(g)
Df′
= R.
iii. Zerosf =
1
2
.
(d)
y
6
f é decrescente no seu domínio;
4
f é injectiva e sobrejectiva (f é bijectiva);
2
f não é par nem ímpar.
-2
2
-2
x
-4
15.
16.
(a) f (−2) = 1 e f (0) = 0.
(b) f (x) ≥ 6 ⇔ x ≤ −3 ⇔ x ∈ ]−∞, 3].
(c) f (x) ∈ −1, 12 .
(d) f é decrescente no seu domínio.
(e) f é injectiva e sobrejectiva (f é bijectiva).
(f) f não é par e é ímpar.
(a) h (x) = x (x − 4) − (x − 3)2 = x2 − 4x − x2 − 6x + 9 = x2 − 4x − x2 + 6x − 9 = 2x − 9.
(b) h (x) = 0 ⇔ x = 92 .
(c) h (x) > −3 ⇔ x > 3.
21
17.
(a) A função de custo é c (x) = 750 + 80x, onde x representa
y
as unidades produzidas.
6000
(b) A função de facturação é f (x) = 95x, onde x representa
4000
as unidades produzidas.
2000
(c) O ponto de intersecção entre as duas rectas c (x) = f (x)
⇔ x = 50 indica o número de unidades a produzir a partir
0
20
do qual se começa a ter lucro na produção.
40
60
x
18. (a) Zerosf = {−2, 3}; Zerosg = {0, 2}; Zerosh = φ.
(b) Vf ֒→
1
25
2, − 4
; Vg ֒→ (1, 2); Vh ֒→ − 12 , − 23
4 .
(c)
x
−∞
f (x)
x
ց
x
0
−∞
f (x)
0
ր
ց
+∞
(d)
y
′
Dg = ]−∞, 2].
ց
′
Dh = −∞, −
y
10
10
y
10
-10
x
10
(b) V = (0, −2);
(c) h(x) é decrescente em ]−∞, 0[ e é crescente em ]0, +∞[
(d) h(x) =
f1 −→ II;
f2 −→ V;
21.
f −→ III;
g −→ I;
(a) e (t) = 12 gt2 =
1
2
f3 −→ III;
h −→ II;
× 9, 8 × t2 =
9,8 2
2 t
f4 −→ I;
f5 −→ IV.
j −→ IV.
= 4, 9t2 .
(f)
(b) Função quadrática.
y 80
60
(c) Parábola.
40
(d) e (1) = 4, 9m e e (3) = 44, 1m.
20
0
(e) e (t) = 76m ⇔ t ≃ 3, 94s.
0 1 2 3 4
22
10
-10
(a) Zeros = {−2, 2};
20.
10
-10
x
-10
-10
22.
23
.
4
ց
-10
19.
25
, +∞ .
4
ր
+∞
0
Df′ = −
+∞
0
2
2
− 23
4
ր
ր
1
− 12
−∞
3
− 25
4
ց
0
ր
f (x)
1
2
−2
x
1
2
x2 − 4 .
x
23. (a) A largura da piscina é dada por h (x) = 0 ⇔ · · · ⇔ x = 0 ∨ x = 8. Logo a piscina tem 8 metros de largura.
b
b
A profundidade vem do vértice V = − 2a
; f − 2a
= · · · = (4; −3, 2). Logo a piscina tem uma profundi-
dade máxima de 3, 20m.
(b) A profundidade é superior a 1, 4 quando:
h (x) > −1, 4 ⇔ 0, 2x (x − 8) > −1, 4 ⇔ x (x − 8) > −7 ⇔ x2 − 8x > −7 ⇔ x2 − 8x + 7 > 0 ⇔ x ∈
]0, 1[ ∪ ]7, 8[, pela fórmula resolvente.
Logo, a profundidade da piscina é superior a 1, 4m no primeiro metro da sua borda.
24.
(a) Zerosr = {0, 30}.
(b) V ֒→ (15, 225).
′
(c) Dr = ]−∞, 225].
(d) C.S. = [5, 25].
(e) r(x) > 0 ⇔ x ∈ ]0, 30[ e r(x) < 0 ⇔ x ∈ ]−∞; 0[ ∪ ]30, +∞[.
(f) Sejam x e y os lados do rectângulo. Como o perímetro é 60, então 2x + 2y = 60 ⇔ y = 30 − x.
A área é dada por A = x × y = x × (30 − x) = 30x − x2 = r (x).
(g) A área será máxima no seu vértice, que é (x, f (x)) = (15, 225). Assim, a área é máxima para os lados
x = 15 e y = 30 − 15 = 15.
25.
(a) Não. No contexto do problema, devemos apenas considerar valores de t
(tempo) e de h (altura em relação ao solo) positivos, isto é, apenas interessa
h
40
analisar a função no 1o quadrante.
(b) O vértice da parábola, que é V ֒→ (3, 061; 45, 918). Assim, a altura máxima
20
é de, aproximadamente, 45, 918m (atingida aproximadamente aos 3 segundos).
0
(c) A bola subiu desde que foi lançada até aos 3 segundos, aproximadamente.
0
1
2
3
4
5
6
x
(d) A bola atince o solo 6, 122 segundos após ser lançada.
26.
(a) Qualquer valor de k no intervalo ]−4, 4[;
(b) k = 0;
(c) k = ±4.
27. (a) O gráﬁco da função f é uma recta, logo, f é uma função aﬁm.
(b) Os pontos (0, −5), (2, −1) e (3, −2) pertencem ao gráﬁco de g.
2
Substituindo
estas coordenadas na

equação y = ax + bx + cvem:



c = −5
− − − − −−
 a × 02 + b × 0 + c = −5








2
a × 2 + b × 2 + c = −1 ⇔
4a + 2b + c = −1 ⇔
4a + 2b − 5 = −1 ⇔









 a × 32 + b × 3 + c = −2
 9a + 3b + c = −2
 9a + 3b − 5 = −2








−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−−−−−












⇔
−−−−−
4a = 4 − 2b ⇔
a = 1 − 12 b ⇔
−−−−−
















−−−−−
−−−−−
9 1 − 12 b + 3b = 3
9 − 92 b + 3b = 3









 −−−−−
 −−−−−
 c = −5



−−−−− ⇔
a = 1 − 12 b ⇔
a = −1 . Logo g (x) = −x2 + 4x − 5.









 −3b = −12
 b=4
 b=4
(c) A função h é limitada pois h (x) ∈ [−3, 3] , ∀x ∈ Dh .
(d) A função g é crescente no intervalo ]−∞, 2[ e decrescente no intervalo ]2, +∞[.
23


−−−−−



4a + 2b = 4 ⇔



 9a + 3b = 3


−−−−−



⇔
−−−−−



 18 − 9b + 6b = 6
28.
(a) x ∈ R.
(b) x ∈ [1, 4].
(c) Impossível em R.
(f) x ∈ R \ {0} .
(g) x ∈ ]−∞, 0[ ∪ {3}.
(h) x ∈ ]−∞, 0[ ∪ [1, 2] ∪ ]3, +∞[.
(d) x ∈ [−3, 8].
(e) x ∈ ]−∞, −2[ ∪ ]0, 3[.
(i) x ∈ ]−∞, 2[ .
V OU AQU I
29.
(a) Df = [−3, +∞[ \ {6}; Dg = ]−∞, −3[ ∪ ]−2, +∞[.
(b) Zerosf = {−1, 1}; Zerosg = {−3}.
(c) f (−4) N.D., f (0) = 1 e f (3) = −3; g (−4) = 1, g (0) = 2 e g (2) = 2.
30.
31.

 −x − 2 se x < 0
(a)
 x − 2 se x ≥ 0

 −1 se x < 1
(b)
 1 se x > 1
(a) Zerosi = {3};
(b)
y
Zerosh = {0, 3}.
se x ≥ 0
3
4
y4
3
2
1
CSh = ]−∞, 1] ∪ [4, +∞[.
1
(a) Dp = R;
(e) Dm = R\ {0};
33.

 x − 1 se x < 3
(d)
 x + 1 se x ≥ 3
3
se x < 0
2
(c) CSi = ]1, 5[;
32.

 x
(c)
 −x
2
3
(b) Dq = R\ {−1, 0};
(c) Dh = R;
(f) Dg = ]2, +∞[;
(g) Dj =
R+
0;
4
5
6
x
-1
1
2
3
4
x
(d) Df = ]−∞, −1[ ∪ ]1, +∞[;
(h) Dk = ]5, 8];
(a) Zerosf = {0} ;
(b) Zerosg = {e};
(c) Zerosh = {−1, 1};
(d) Zerosr = {−1, 1};
(f) Zerosm = φ.
(e) Zerosn = R+ .
(i) Di = ]−1, 5[.
34. 2x2 − 2x no domínio ]1, +∞[.
35. f (x) = (x − 1)2 .
36.
(a) N (0) = 1 000 peixes.
37.
(a) P (0) = 15 peças.
(b) N (6) ≃ 5 527 peixes e N (12) ≃ 6 000 peixes.
(b) P (t) > 400 peças ⇔ t
116 dias.
38. (a) C (0) = 8000 signiﬁca que no início deste ano existiam 8000 camelos.
Como 8000 = C (0) = ke−0,4×0 ⇔ k = 8000.
(b) C (t) =
8000
2
⇔ t ≃ 1, 733, isto é, cerca de um ano e 8, 5 meses depois.
(c) Como C (10) ≃ 146, 525, daqui a 10 anos existirão perto de 147 camelos.
39. (a) Como A (0) = 6 ⇔ log2 (a − 7 × 0) = 6 ⇔ log2 (a) = 6 ⇔ a = 26 = 64. Logo A (0) − A (4) = 830 aves.
(b) A (4) − A (0) ≃ 830 aves e A (4) − A (5) ≃ 312 aves.
(c) A (t) = 0 ⇔ t = 9. Logo a espécie encontrar-se-á extinta no ﬁnal do ano 2014.
40. (a) B (x) = ln e10 +ln (x + 2)10 −ln (x + 5)10 = 10+10 ln (x + 2)−10 ln (x + 5) = 10+10 (ln (x + 2) − ln (x + 5))
= 10 + 10 ln
x+2
x+5
.
(b) B (10) ≃ 7 767. Isto quer dizer que, se o montante de prémios em jogo for de 10 centenas de euros (1 000€)
serão vendidos, aproximadamente,7 767 bilhetes.
24
41. (a) log10 E = 5, 24 + 1, 44 × 4, 5 ⇔ E ≃ 5, 248 × 1011 Joules.
(b) log10 4, 2 × 1017 = 5, 24 + 1, 44M ⇔ M ≃ 8, 599, isto é, aproximadamente 8, 6 na escala de Richter.
(c) log10 5 × 4, 2 × 1017 = 5, 24 + 1, 44M ⇔ M ≃ 9, 085, isto é, aproximadamente 9, 1 na escala de Richter.
42. (a) A (0) = 200 mil unidades.
(b) A (8) = 300 mil unidades, a que correspondem 13 500 litros de sangue.
(c) A (t) = 400 ⇔ t = 24, logo em 2020 seremos auto-suﬁcientes em reservas de unidades de sangue.
43.
lim f (x) = 2;
x→1
lim f (x) = 0;
lim g (x) = 1;
x→0
lim g (x) = 0;
x→−1
x→0
lim h (x) = +∞;
x→+∞
lim h (x) = −∞.
x→−∞
44. (a) A função i tem limite em todos os pontos do seu domínio.
A função j tem limite em todos os pontos do seu domínio excepto no ponto x = 0.
A função m tem limite em todos os pontos do seu domínio excepto nos pontos x = 0 e x = 1.
(b)
lim i (x) = −∞, lim i (x) = 0, lim i (x) = 1, lim i (x) = 1.
x→−∞
x→0
x→+∞
x→1
lim j (x) = −∞, lim j (x) não existe, lim j (x) = 1, lim j (x) = +∞.
x→−∞
x→0
x→+∞
x→1
lim m (x) = +∞, lim m (x) não existe, lim m (x) não existe, lim m (x) = −∞.
x→−∞
45.
(a) 2
46.
(a) −10;
x→0
(b) 2
(c) 1
(d) 1
(b) − 1
x→+∞
x→1
(f) Não existe
(e) 0
(c) 0;
(g) − 1
(h) − 1
(i) − 1
(j) 0
(k) + ∞
(l) 2
(e) 0+ .
(d) + ∞
lim f (x) = lim 2x = −∞;
x→−∞


lim− f (x) = lim− 2x = 0 
x→0
x→0
⇒ ∃ lim f (x) e lim f (x) = 0;
x→0
x→0

lim+ f (x) = lim+ x = 0 
x→−∞
47.
(a)
x→0
x→0
lim f (x) = lim x = +∞;
x→+∞
x→−∞
lim g (x) lim 2 = 2;
x→0
x→0
lim g (x) = lim− 2 = 2
(b)
x→1−
x→1




lim+ g (x) = lim+ − x1 = −1 
x→1
⇒ ∄ lim g (x) ;
x→1
x→1
1
1
lim h (x) = lim − 2x
= − −∞
= −0− = 0+ ;
x→−∞

1

lim h (x) = lim − − 2x
= 12 
x→−1−
x→−1
⇒ ∃ lim h (x) e lim h (x) = 12 ;
x→−1
x→−1
1
1 
lim h (x) = lim x2 +1 = 2 
x→−∞
(c)
x→−1+
x→−1+
1
2
x→+∞ x +1
1
= − +∞
= 0+ ;


lim− i (x) = lim− −(3x + 2) = −2 
x→0
x→0
⇒ ∄ lim i (x) .
x→0


lim i (x) = lim (3x + 2) = 2
lim h (x) = lim
x→+∞
(d)
x→0+
x→0+
48. lim f (x) existe se
x→−1
49.
(a)
1
4
(l) + ∞
lim f (x) = lim + f (x) ⇔ −1 + 2a = 1 + a + 1 ⇔ a = 3.
x→−1−
x→−1
4
3
(b) − 6
(c) ∄
(d) 0
(e)
(m) N D
(n) − 1
(o) − ∞
(p) 0
25
(f) 2
(g) 4
(h) N D
(i) + ∞
(j) −∞
(k) ∄
(q) 2
(r) + ∞
(s) + ∞
(t) − 1
(u) 0
(v) −9
50.
(a) 2e ;
51.
(a)
52. (a)
(b) 2;
i. f (1) = 0 ;
(c) +∞;
(d) 0;
ii. f (1) = 2.
lim f (x) = +∞;
x→−∞
lim g (x)? − ∞;
x→−∞
(e) +∞;
(b)
(f) 0;
(g) 2;
(h) 1.
g (1) = 2.
lim f (x) = 6;
lim f (x) = −∞;
x→+∞
x→3
lim g (x) não existe
e
x→1
lim g (x) = +∞.
x→+∞
(b) A função f é contínua em R\ {−3} e a função g é contínua em R\ {1}.
53. No intervalo ]−∞, −1[ a função g é contínua porque é uma função aﬁm.
No intervalo ]−1, +∞[ a função g é contínua porque é o quociente de funções polinomiais.
A função g será contínua para x = −1 se
Por um lado,
lim g (x) = lim + g (x) = g (−1).
x→−1−
x→−1
lim − g (x) = −3 + k.
x→−1
0
k (x − 1) (x + 1)
lim g (x)( 0 ) = lim
= lim + k (x − 1) = −2k.
+
+
(x + 1)
x→−1
x→−1
x→−1
Finalmente, g (−1) = −3 × (−1) + k = −3 + k.
Por outro lado,
Então −3 + k = −2k ⇔ k = 1.
54. (a) Não, este objectivo não se concretizará porque N (10) ≃ 87, 754 < 150 mil leitores.
(b) Serão necessários 24 meses (a partir do lançamento da publicação), porque Nm (t) > 200 ⇔ t > 24.
(c) Sim, a campanha vai ser implementada porque
N(13)
N(12)
≃
111,23
100
= 1, 1123, ou seja, houve um acréscimo de
11, 23% > 10%.
(d)
lim Nm (t) = 300. Quer dizer que o número de leitores desta publicação crescerá (cada vez mais lenta-
t→+∞
mente) até aos 300 mil leitores sem nunca ultrapassar este valor.





B
1
0
 f (0) = 1 B



 −−−
=
B
=
10
1
+
C
×
3
C
=
9
10
10
1+C×3−k×0
55. (a)
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
 f (2) = 1 B

 1 + C × 3−2k = 4
 −−−
 32 × 3−2k = 3
B
1
=
B
−k×2
4
4

 1+C×3

 −−−
 −−−
 −−−
⇔
⇔
.
 3−2k+2 = 31
 −2k + 2 = 1
 k=1
2
(b) f (t) =
1
2B
⇔ t = 4. Metade dos alunos teve conhecimento do acidente às 13h (9h + 4h).
56. (a) A função não é derivável no ponto x = −1 por ser um ponto anguloso.
(b) A função não é derivável no ponto x = 2 por ser um ponto de descontínuidade.
(c) A função não é derivável no ponto x = 1 por ser um ponto anguloso.
(d) A função não é derivável no ponto x = 0 por ser um ponto de tangência vertical.
57. (a)
(b)
(c)
26
58. (a) ←→ (i)
(b) ←→ (iv)
59. (a) f ′ (1) = 1;
60.
(a)
y
(c) ←→ (iii)
(d) ←→ (ii) .
1
(b) y = x − .
2
(b) Não existe g′ (1) pois as derivadas laterais
4
têm sinais contrários:
g (x) − g (1)
g (x) − g (1)
< 0 e lim+
> 0.
x−1
x−1
x→1
x→1
g (x) − g (1)
g (x) − g (1)
= −2 e lim
= 1.
(c) lim−
+
x−1
x−1
x→1
x→1
2
lim−
-2
2
4
x
-2
61.
2
(c) y′ =
−7
(3+x)2 ;
√
ex ( x
2 −2)
;
x3
(f) y ′ =
(a) y ′ = 4x − 3;
(b) y ′ = 9 (3x + 5) ;
(d) y ′ = 3x2 + 4x + 1;
(e) y ′ =
(g) y ′ = ln x + 1;
(h) y ′ =
(j) y ′ =
(i) y ′ = 2(1−x) (1 − x ln 2) ;
1
2
x ln 3 ;
(k) y ′ = − exx2 ;

 1, x > −1
(n) y ′ =
;
 −1, x < −1
(m) 2x ln 3;
√1
− x12 ;
3 x3
1−ln x
x2 ;

 −2x, x ≤ −1
(p) y ′ =
.
 2,
x > −1
1
(l) y ′ = 3x ln 3 log3 x + x ln
3 ;

 2x,
x<1
(o) y ′ =
;
 √
1
, x>1
2 x
62. f ′ (0+ ) = 1 e f ′ (1) não existe (embora f seja contínua para x = 1, f ′ (1− ) = 1 = f ′ (1+ ) = −2).

1
1
−

−x


e x

e
+
se x > 0

x

 ln x + 1 se x > 0
63. h′ (x) =
;
f ′ (x) =
;
0
se
x
=
0



2
se
x
<
0



2x
se x < 0

 2x − 4 se x < 0 ou x > 4
g′ (x) =
.

2
se 0 < x < 4
64. y = −1.
65. As coordenadas do ponto A são (0, 1).
66. t = x + 1 e f ′ (1) = 1.
67. Como y ′ = e
68.
(a)
d2 y
dx2
2
−x
2
= 18x +
1 − x2 vem que xy ′ = xe
√1 ;
x3
(b)
d3 y
dx3
=
2
x3
2
−x
2
1 − x2 = 1 − x2 y.
(c) y(n) = (ln a)n ax .
+ 8e−2x ;
69. Como f (x) = x2 ex , calculamos f ′ (x) = 2x + x2 ex e f ′′ (x) = 2 + 4x + x2 ex .
Então f ′′ (x) − 2f ′ (x) + f (x) = 2 + 4x + x2 ex − 2 2x + x2 ex + x2 ex = 2ex .
70.
(a) 1;
71.
√
(a) x = ± 2.
(b) 1;
(c) 3;
(b)
(d) 0;
lim h(x)
x
x→+∞ e
(e) 0;
= 1.
27
(f) − ∞.
72.
(a) f é crescente para x ∈ ]−1, 1[ ∪ ]1, 3[ ∪ ]4, +∞[ e é decrescente para x ∈ ]−∞, −1[ ∪ ]3, 4[ .
(c) Máximo para x = 3 e mínimo para x = −1 e x = 4.
(b) x = −1, x = 3, x = 4.
73.
(a) Máximo para x = −1 e mínimo para x = 1.
(b) Mínimo para x = 1.
(c) Mínimo para x = 32 . Quando x = 0 temos um ponto crítico mas que não é extremo.
(d) Não tem extremos.
(e) Mínimo para x = −2 e máximo para x = 2.
√
(g) Mínimo para x = 3 2. (h) Mínimo para x = 1.
(f) Mínimo para x = −1.
(i) Mínimo para x = − 12 .
(j) Máximo para x = 0 e mínimo para x = 1.
(k) Mínimo para x = 1 e máximo para x = 2.
74. Como f ′ (x) =
x−2
ex
(x−1)2
vem:
(a) f é crescente para x ∈ ]−∞, 1[ ∪ ]1, 2[ e é decrescente para x ∈ ]2, +∞[.
(b) f tem um mínimo para x = 2.
75.
(a) lim h(x)
x2 = −1.
(c) x ∈ ]1, 2] .
(b) x ∈ − 12 , +∞ .
x→0
−2x
x2 +1
(c) Como f ′ (x) =
concluímos que f tem um mínimo para x = 0.
76. Como L′ (x) = −3x2 + 1200, concluímos que o lucro máximo é L (20) = 17000 mil euros.
77. Como N ′ (x) = −2x + 300, concluímos que o investimento deverá ser de x = 150 mil euros.
100t
78. Como V ′ (t) = − (t+2)
3 vem:
(a) O valor máximo de mercado será V (0) = 50 mil euros.
(b) Não; o valor de mercado diminui ao longo do tempo porque V ′ (t) < 0.
(c)
lim V (t) = 25.
t→+∞
(d) Com o passar do tempo o valor de mercado vai descendo até se aproximar dos 25 mil euros.
79.
(a) C ′ (q) = 3q 2 − 24q + 21 e C ′ (6) = −15.
(b)
x
0
1
f ′ (x)
f (x)
80.
1000
7
+
0
−
ր
1010
ց
8
0
+
902
ր
Para que o custo seja mínimo, aconse-lhamos uma produção mensal de 7
912
centenas de peças.
(a) E (0) = E (60) = 8 milhões de espectadores.
1
(b) Como E ′ (t) = − 20
+
√
80
,
(t+20)2
a audiência foi máxima aos 20 minutos de jogo.
−x+1
1
81. Como L′1 (x) = 2√
− 4x e 4 , o máximo de L1 ocorre quando x = 2 milhões de galões. Como L′2 (x) =
x
4−2 ln(x2 )
, o máximo de L2 ocorre quando x = e ≃ 2, 718282 milhões de galões.
x2
82. Como V ′ (t) = −5
ln(t)
t2
, o lucro máximo é V (1) = 5 mil euros.
28
83.
(a)
Consideremos l1 a largura e l2 a altura do texto impresso do panﬂeto.
Pelo enunciado, 18 = ÁreaTexto
Impresso
= l1 × l2 . (∗)
Se x é a largura do panﬂeto: x = 1 + l1 + 1 ⇔ l1 = x − 2.
Se y é a altura do panﬂeto: y = 2 + l2 + 2 ⇔ l2 = y − 4.
Por (∗) vem que 18 = (x − 2) (y − 4) ⇔ (y − 4) =
18
x−2
⇔y=
18
x−2
+ 4. (∗∗)
Como a área do panﬂeto é dada por APanﬂeto = x × y, e por (∗∗), vem que:
A (x) = x ×
84.
18
x−2
+4 .
2
4x −16x−20
,
(x−2)2
(b)
Como A′ (x) =
(a)
Como se pretende que V = 1000 m3 e V = πr2 h, temos que:
a quantidade de papel utilizado é mínima para x = 5cm.
V = πr2 h = 1000 ⇔ h =
1000
πr2 .
Logo S = 2πr2 + 2πrh = 2πr2 + 2πr ×
(b)
Como S ′ (r) = 4πr −
r=
3
2000
4π
=
3
2000
r2 ,
500
π
1000
πr2
= 2πr2 +
2000
r .
a quantidade de betão é mínima para:
≃ 5, 419m.
29