A3-AM189
16/12/2009
MAPA
Ministério da
Agricultura, Pecuária
e Abastecimento
• Raciocínio Lógico
Brasília
2009
© 2009 Vestcon Editora Ltda.
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Título da obra: Adendo – MAPA – Ministério da Agricultura, Pecuária
e Abastecimento – Raciocínio Lógico
Autor:
Júlio Lociks
DIRETORIA EXECUTIVA
Norma Suely A. P. Pimentel
DIREÇÃO DE PRODUÇÃO
Cláudia Alcântara Prego de Araújo
SUPERVISÃO EDITORIAL
Maria Neves
CAPA
Bertoni Design
Agnelo Pacheco
EDITORAÇÃO ELETRÔNICA
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REVISÃO
Raquel da Cruz
SUPERVISÃO DE PRODUÇÃO
Dinalva Fernandes da Rocha
EDIÇÃO DE TEXTO
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Reina Terra Amaral
SEPN 509 Ed. Contag 3º andar CEP 70750-502 Brasília/DF
SAC: 0800 600 4399 Tel.: (61) 3034 9576 Fax: (61) 3347 4399
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Publicação em 16/12/2009
(A3-AM189)
RACIOCÍNIO LÓGICO
Júlio Lociks
A TEORIA DOS CONJUNTOS E PROBLEMAS COM DIAGRAMAS:
APLICAÇÕES DOS DIAGRAMAS DE VENN-EULER
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
NOÇÕES FUNDAMENTAIS
Os conceitos de conjunto, de elemento e de relação de pertinência são considerados conceitos primitivos em Matemática, ou seja, são conceitos que não têm
definição formal e devem ser compreendidos de modo intuitivo.
A ideia que devemos ter de conjunto está associada à de coleção, elenco, lista,
agrupamento etc. Alguns exemplos seriam:
1. O conjunto das letras do nosso alfabeto;
2. O conjunto das letras que chamamos vogais;
3. O conjunto dos meses que têm somente 30 dias;
4. O conjunto dos símbolos usados como algarismos romanos;
Cada um dos membros integrantes de um conjunto é chamado elemento do
conjunto.
Nos quatro exemplos de conjuntos dados acima, temos, respectivamente,
os seguintes elementos:
1. a, b, c, d, e, f, g,..., z;
2. a, e, i, o, u;
3. abril, junho, setembro, novembro;
4. I, V, X, L, C, D, M;
É costume apelidarmos os conjuntos com letras maiúsculas.
Relação de Pertinência
Se x é um elemento de um conjunto A então dizemos que x pertence ao conjunto
A e podemos indicar isto como x∈A.
Se x não é um elemento de um conjunto A então dizemos que x não pertence
ao conjunto A e podemos indicar isto como x∉A.
Exemplo:
Considere o conjunto P dos números pares compreendidos entre 1 e 15.
O número 6 é um elemento do conjunto P porque ele é par e está compreendido
entre 1 e 15.
6∈P
Os números 5 e 20 não são elementos do conjunto P, pois 5 não é par enquanto
20, embora seja par, não está compreendido entre 1 e 15.
5∉P
20∉P
Representação de um Conjunto
Existem basicamente três formas de se representar um conjunto:
– por enumeração;
– por compreensão;
– por diagramas.
Descreveremos a seguir cada uma delas.
Representação por Enumeração
A representação por enumeração é aquela onde os elementos são apresentados,
um após o outro, separados por vírgulas e entre duas chaves.
Exemplo:
Seja V o conjunto das vogais do nosso alfabeto. A representação do conjunto
V por enumeração é:
V = {a, e, i, o, u}
Uso de Reticências
Frequentemente a representação por enumeração pode não apresentar um a um
todos os elementos de um conjunto. Isso ocorre quando o número de elementos do
conjunto é grande ou quando o conjunto tem infinitos elementos.
Nesse caso, apresentam-se alguns dos elementos numa sequência sugerindo
por indução os demais elementos que, então, serão substituídos por reticências.
Exemplos:
1. Ao representarmos um conjunto A como
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6,..., 100}
4
estamos indicando que o conjunto A é o conjunto de todos os números
inteiros de 1 a 100.
2. Seja N o conjunto dos números naturais. Podemos representar N como:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...}
Note que neste último caso as reticências no final da lista significam que há
infinitos elementos além dos que foram mostrados.
Representação por Compreensão
A representação de um conjunto por compreensão é aquela onde os elementos
são identificados por obedecerem a uma ou mais propriedades que são dadas numa
expressão entre duas chaves.
Exemplo:
O conjunto M dos números inteiros maiores que 6:
M = {x / ∀x, x∈Z e x >6}
Que pode ser lido como:
Símbolos
Leitura
M = {x /
M é o conjunto dos elementos x tal que
∀x,
para todo x
x∈Z
x pertence ao conjunto Z
e x >6}
e x é maior que 6.
Este mesmo conjunto M poderia também ser indicado de modo mais sintético como:
M = {x∈Z / x > 6}
Que pode ser lido como:
“M é o conjunto de todo x pertencente ao conjunto Z(dos números inteiros)
tal que x é maior que 6”.
Representação por Diagrama – Diagramas de Venn-Euler
A representação por meio dos diagramas de Venn-Euler é de compreensão
particularmente simples e muito útil na resolução de certos problemas sobre
conjuntos.
5
Nesta representação cada conjunto é indicado por meio de regiões do plano
limitadas por curvas ou linhas poligonais fechadas. Os elementos de um conjunto
são os pontos que estão dentro da região que o representa enquanto todos os pontos
que estão fora da mesma região representam coisas que não são elementos daquele
conjunto.
Exemplo:
1. Seja A o conjunto dos dez algarismos usados no sistema de numeração
decimal:
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Algumas vezes usamos as linhas fechadas apenas para indicar as regiões onde
os elementos de um conjunto podem ser encontrados sem mostrar os elementos
do conjunto. Veja os exemplos seguintes:
Exemplo:
Considere os conjuntos P de todas as pessoas, e o conjunto E das pessoas que
falam espanhol, representados no digrama seguinte:
– A região I representa o conjunto das pessoas que falam espanhol;
– A região II, que está dentro de P, mas fora de E, representa o conjunto das
pessoas que não falam espanhol.
– As regiões I e II, juntas, representam o conjunto de todas as pessoas;
6
Exemplo:
Sejam A o conjunto de todas as pessoas que são altas e B o conjunto de todas
as pessoas que são bem-humoradas conforme representados no digrama seguinte:
– A região I representa o conjunto de todas as pessoas que são altas e bem-humoradas;
– A região II representa o conjunto de todas as pessoas que são altas, mas
não são bem-humoradas;
– A região III representa o conjunto de todas as pessoas que são bem-humoradas, mas não são altas;
– A região IV representa o conjunto de todas as pessoas que nem são altas
nem bem-humoradas;
CONJUNTO VAZIO
Dizemos que um conjunto é vazio quando ele não tem qualquer elemento.
O conjunto vazio admite representações especiais. Se um conjunto A é vazio
indicamos isto anotando:
A=∅
ou
A={}
Não existe representação do conjunto vazio num diagrama de Venn-Euler.
SUBCONJUNTO E RELAÇÃO DE INCLUSÃO
Dizemos que B é um subconjunto do conjunto A quando todos os elementos
de B também são elementos de A.
Quando B é um subconjunto de A podemos dizer que B está contido em A e
escrevemos:
B⊂A
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Exemplo:
O conjunto B = {3, 4} é um subconjunto do conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} e
podemos anotar isto como B ⊂ A, pois todos os elementos de B também são elementos de A.
Se pelo menos um dos elementos de B não pertencer ao conjunto A, então B
não será um subconjunto de A e diremos que B não está contido em A, escrevendo:
B⊄A
Exemplo:
O conjunto M = {3, 4} não é um subconjunto do conjunto N = {2, 4, 6, 8, 10}
e podemos anotar isto como M ⊄ N, pois algum dos elementos de M não pertence
a N (3∈M e 3∉N).
Obs.: Se B está contido em A (B ⊂ A) então também podemos dizer que A
contém B (que pode ser anotado como A ⊃ B).
B⊂A
⇔
A⊃B
“B está contido em A”
⇔
“A contém B”
De modo análogo, se B não está contido em A (B ⊄ A)
então também podemos dizer que A não contém B (que pode ser anotado como
A ⊃
/ B).
B⊄A ⇔ A ⊃
/ B
“B não está contido em A” ⇔ “A não contém B”
Propriedades da Inclusão
1a O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto dado.
∅ ⊂ A, para qualquer conjunto A.
2a Qualquer conjunto é subconjunto de si mesmo.
A ⊂ A, para qualquer conjunto A.
3a Se o conjunto A é subconjunto do conjunto B e este B, por sua vez, é subconjunto do conjunto C, então o conjunto A é subconjunto de C (Por isto dizemos
que a inclusão é uma relação TRANSITIVA).
A⊂B⊂C⇒A⊂C
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Número de Subconjuntos de um Conjunto
Se um conjunto A tem n elementos, então existem 2n subconjunto possíveis de A.
Exemplo:
O conjunto A = {1, 2, 3} tem 3 elementos.
Assim, o total de subconjuntos de A será igual a 23 = 8, como se pode verificar
a seguir:
Os 8 subconjuntos de A:
∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}
Note que o último subconjunto listado corresponde ao próprio conjunto A que
é um de seus próprios subconjuntos como vimos anteriormente (2ª propriedade da
inclusão de conjuntos – “qualquer conjunto é subconjunto de si mesmo”).
Subconjuntos Próprios de um Conjunto
Chamamos subconjuntos próprios de um conjunto dado a todos os seus subconjuntos não vazios que não compreendam todos os elementos do conjunto dado.
Portanto, B é um subconjunto próprio do conjunto A se e somente se satisfaz
três condições:
1ª B ⊂ C
2ª B ≠ ∅
3ª B ≠ A.
Conjunto das Partes de um Conjunto
Dado um conjunto A qualquer, chamamos de conjunto das partes de A ao
conjunto que reúna todos os subconjuntos possíveis de A.
O conjunto das partes de A é indicado por P(A).
P(A) = {X / X ⊂ A}
Exemplo:
Seja A = {1, 2, 3}. O conjunto das partes de A é:
P(A) = { ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, A }
Atenção:
Cada um dos elementos de P(A) é um dos subconjuntos de A. Portanto o
número de elementos de P(A) é sempre igual ao total de subconjuntos possíveis
de A, ou seja: 2n.
9
Igualdade entre Conjuntos
Dizemos que dois conjuntos quaisquer, A e B, são iguais e anotamos A = B se
e somente se A é um subconjunto de B e, reciprocamente, B também é um subconjunto de A.
A=B⇔A⊂BeB⊂A
Exemplo:
Os conjuntos A = {1; 2; 3}, B = {2; 3; 1} e C = {1; 1; 2; 3; 1; 3} são todos
iguais, pois:
– Todos os elementos de A pertencem a B e vice-versa. Logo A = B.
– Todos os elementos de B pertencem a C e vice versa. Logo B = C.
– Como A = B e B = C então temos, também, que A = C.
Propriedades da Igualdade entre Conjuntos
1a (REFLEXIVA) Todo conjunto é igual a ele próprio.
A=A
2a (SIMÉTRICA) Na igualdade entre dois conjuntos não importa a ordem.
A=B⇔B=A
3a (TRANSITIVA) Se dois conjuntos são iguais a um terceiro, então eles são
iguais entre si.
A=BeB=C⇒A=C
OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS
Uma operação entre dois conjuntos é uma regra capaz de estabelecer um conjunto como resultado da operação para aquele par de conjuntos dados.
Poderíamos criar inúmeras operações diferentes bastando, para tanto, que
estabelecêssemos uma regra nova para cada nova operação desejada. Na prática,
contudo, é possível fazer quase tudo com umas poucas operações convenientemente
escolhidas que estudaremos a seguir.
Interseção de Conjuntos
Dados dois conjuntos, A e B, a interseção de A com B tem como resultado o
conjunto que compreende todos os elementos de A que também sejam elementos
de B.
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A interseção do conjunto A com o conjunto B pode ser indicada simbolicamente
por A∩B (lê-se A interseção B), ou pela expressão “A e B”.
A∩B = {x / x∈A e x∈B}
ou seja
A∩B = {todo x tal que x∈A e x∈B}
Observe o diagrama abaixo onde o conjunto interseção dos conjuntos A e B,
A ∩ B, está representado pela parte sombreada:
A∩B
Propriedades da Interseção de Conjuntos
1a A ordem dos conjuntos não altera o resultado de sua interseção (por isso
dizemos que a operação de interseção de conjuntos é simétrica).
A∩B=B∩A
2a A interseção de conjuntos é associativa, ou seja:
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Por isso pode-se dispensar os parênteses escrevendo A ∩ B ∩ C sem ambiguidades.
3a A interseção de A com B será o próprio conjunto A se e somente se A é
subconjunto de B.
A∩B=A⇔A⊂B
4a A interseção de um conjunto qualquer com o conjunto vazio é sempre o
conjunto vazio.
∀ A, A ∩ ∅ = ∅
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Conjuntos Disjuntos
Dois conjuntos quaisquer são chamados disjuntos se e somente se sua interseção é o conjunto vazio.
A e B são disjuntos ⇔ A ∩ B = ∅
União de Conjuntos
Dados dois conjuntos, A e B, a união de A com B tem como resultado o conjunto que compreende todo aquele que seja elemento de A ou de B ou de ambos.
A união de A com B pode ser indicada simbolicamente por A∪B (lê-se A união
B), ou pela expressão A ou B.
A∪B = {x / x∈A ou x∈B}
ou seja
A∪B = {todo x tal que x∈A ou x∈B}
Note que os elementos x compreendidos pelo conjunto união, A∪B, deve pertencer
a pelo menos um dos conjuntos.
O conjunto união dos conjuntos A e B, A∪B, corresponde à parte sombreada
no diagrama abaixo:
A∪B
Propriedades da União de Conjuntos
1a A ordem dos conjuntos não altera o resultado de sua união (por isso dizemos
que a união de conjuntos é simétrica).
A∪B=B∪A
2a A união de conjuntos é associativa, ou seja:
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
Como visto na operação de interseção, aqui também podemos dispensar os
parênteses escrevendo sem ambiguidades A ∪ B ∪ C.
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3a A união de A com B será o próprio conjunto B se e somente se A é subconjunto de B.
A∪B=B⇔A⊂B
4a A união de um conjunto qualquer, A, com o conjunto vazio é sempre o
próprio conjunto A.
∀ A, A ∪ ∅ = A
RELAÇÕES ENTRE A UNIÃO E A INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS
Dados três conjunto quaisquer, A, B e C, valem sempre as seguintes igualdades:
Leis de Distributividade
1ª) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
2ª) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Leis de Absorção
3ª) A ∪ (A ∩ B) = A
4ª) A ∩ (A ∪ B) = A
Diferença de Conjuntos
Dados dois conjuntos, A e B, a diferença entre A e B, nesta ordem, tem como
resultado o conjunto que compreende todos os elementos de A que não sejam elementos de B, não admitindo qualquer elemento além desses.
A diferença entre A e B, nesta ordem, pode ser representada simbolicamente por
A-B (lê-se “A menos B”), ou por expressões como “A e não B” e “A mas não B”.
A−B = {x / x∈A e x∉B}
ou seja
A−B = {todo x tal que x∈A e x∉B}
O conjunto diferença A-B, corresponde à pela parte sombreada no diagrama
seguinte:
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A-B
Invertendo a ordem dos conjuntos teremos o conjunto diferença B-A que pode
ser representado como:
B–A
Propriedades da Diferença de Conjuntos
1a A ordem dos conjuntos normalmente altera o resultado de sua diferença.
Portanto se diz que a diferença de conjuntos não é simétrica.
A − B ≠ B − A (sempre que A ≠ B)
A igualdade ocorre somente quando A e B são iguais.
A−B=B−A⇔A=B
2a A diferença de conjuntos não é associativa, ou seja:
(A − B) − C ≠ A − (B − C) (sempre que A ∩ C ≠ ∅)
A igualdade ocorre somente quando A e C são disjuntos.
(A − B) − C = A − (B − C) ⇔ A ∩ C = ∅
Por isso não se deve escrever A − B − C uma vez que sua interpretação seria
ambígua.
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3a A diferença A−B é o conjunto vazio se e somente se A é subconjunto de B.
A−B=∅⇔A⊂B
4a Leis de Morgan para Diferenças:
A – (B ∪ C) = (A – B) ∩ (A – C)
A – (B ∩ C) = (A – B) ∪ (A – C)
Complemento de um Conjunto
Seja A um subconjunto qualquer de um conjunto B. Chama-se complemento
A
de A em relação ao conjunto B (escreve-se ∁ B ) ao conjunto que compreende
todos os elementos de B que não sejam elementos de A.
A
A ⊂ B ⇒ ∁ B = B-A
O conjunto B, neste caso é chamado conjunto-universo.
Quando não houver dúvidas sobre qual deva ser o conjunto-universo, o complemento de A em relação a este conjunto-universo poderá ser indicado por um
dos modos abaixo:
~A ou
A
lê-se complemento de A
ou complementar de A
ou ainda não-A.
A parte sombreada no diagrama abaixo indica o complemento do conjunto A
em relação ao conjunto universo representado pelo retângulo.
A
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Propriedades do Complemento de um Conjunto
1a O complemento do próprio conjunto universo (ou seja, o complemento de
um conjunto em relação a ele próprio) é o conjunto vazio.
∁A
A =∅
2a O complemento do conjunto vazio em relação a um dado universo é o
próprio universo.
∁∅
A =A
ou
∅=A
3a O complemento do complemento de um dado conjunto é o próprio conjunto.
A=A
4a Leis de Morgan para Complementos:
(A ∪ B) = A ∩ B
(A ∩ B) = A ∪ B
Cardinalidade de Conjuntos
Dado um conjunto finito, A, denomina-se cardinal do conjunto A e anota-se
nA ao número de elementos compreendidos por A.
Exemplo:
Os conjuntos A = {6, 7, 8, 9} e B = {−3, 1, 2, 5} têm o mesmo cardinal que é 4.
n A = nB = 4
Propriedades da Cardinalidade de um Conjunto
1a cardinal na inclusão de conjuntos:
A ⊂ B ⇒ nA ≤ nB
mas
a recíproca não é verdadeira
/ A⊂B
nA ≤ nB ⇒
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2a cardinal do conjunto união de dois conjuntos:
nA∪B = nA + nB − nA∩B
3a cardinal do conjunto união de três conjuntos:
nA∪B∪C = nA + nB + nC − nA∩B − nA∩C − nB∩C + nA∩B∩C
4a cardinal do conjunto diferença de dois conjuntos:
nA−B = nA − nA∩B
Problemas Envolvendo Cardinalidade de Conjuntos
São comuns os problemas onde se deve determinar o número de elementos
de um conjunto com certas características a partir de informações dadas a respeito
das quantidades de elementos presentes em outros conjuntos a ele relacionados.
O uso de diagramas frequentemente facilita o entendimento de tais problemas,
simplificando muito a sua resolução.
Exemplos:
1. De um grupo com 300 alunos de línguas, somente 170 estudam Inglês e
somente 180 estudam Espanhol. Considerando que, neste grupo, ninguém estude
qualquer outro idioma, quantos alunos dedicam-se tanto ao estudo da língua de
Sakespeare quanto ao da de Cervantes?
Solução:
Considere o diagrama abaixo onde I é o conjunto de todos os alunos que estudam
Inglês enquanto E, o de todos os alunos que estudam Espanhol.
O x representa o número de alunos que estudam os dois idiomas.
Uma vez que x representa o uma parte dos 170 alunos que estudam Inglês, restam
170–x que estudam Inglês, mas não estudam Espanhol. Do mesmo modo, x também
representa parte dos 180 alunos que estudam Espanhol, restando 180–x que estudam
Espanhol, mas não estudam Inglês.
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Como a soma dos três números deve dar 300, devemos fazer:
170–x + x + 180–x = 300
170 +180–x = 300
350–x = 300
x = 50
Pode-se chegar a esta conclusão também seguindo outros raciocínios:
2º modo:
Se somarmos o número de alunos de Inglês (170), com o de alunos de Espanhol
(180) teremos 170+180 = 350, ou seja, 50 alunos a mais do que o total de alunos
de línguas do grupo que é 300. Isto ocorreu porque, ao somarmos os dois números,
acabamos tomando duas vezes o número daqueles que se dedicam ao estudo dos
dois idiomas. Logo, o número de alunos que estudam Inglês e Espanhol é 50.
3º modo:
Sejam:
nI = número de alunos que estudam Inglês
nE = número de alunos que estudam Espanhol
nI =170; nE = 180; n I ∪E = 300
n I ∪E = nI + nE − nI∩E
300 = 170 + 180 − nI∩E
nI∩E = 170 + 180 − 300
nI∩E = 50
2. Num certo grupo de pessoas somente a metade lêem o jornal ‘A Gazeta’,
e somente um terço leem ‘A Tribuna’ mas apenas um sexto de todas elas lêem estes
dois jornais. Que fração das pessoas deste grupo não leem nem ‘A Gazeta’ nem
‘A Tribuna’?
Solução:
Cada uma das frações indica uma proporção entre a parte considerada e o total
de pessoas do grupo.
Representando num diagrama os conjuntos considerados, tem-se:
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A fração das pessoas que lêem ‘A Gazeta’ e ‘A Tribuna’ é 1/6:
nG∩T = 1/6
Este 1/6 (as pessoas que lêem ‘A Gazeta’ e ‘A Tribuna’) tanto é uma parte da
fração dos que leem o primeiro jornal (1/2 dos elementos do grupo) quanto também
é parte da fração dos que leem o segundo jornal (1/3 dos elementos do grupo).
Assim, teremos:
nG−T = nG − nG∩T = 1 − 1
2 6
nT−G = nT − nT∩G = 1 − 1
3 6
Resolvendo as frações no diagrama acima temos:
O x representa a fração correspondente ao número de pessoas que não leem
nem ‘A Gazeta’ nem ‘A Tribuna’ – é o que precisamos descobrir.
Como a fração x completa o total de pessoas do grupo, temos:
19
2 1 1
6
+ + +x =
6 6 6
6
x=
6 4 2
− =
6 6 6
x = 1/3
Portanto, somente um terço das pessoas do grupo não lê ‘A Gazeta’ nem ‘A
Tribuna’.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Dado o conjunto A = {0, {0}, ∅, {∅}}, considere as afirmativas:
I. {0} ∈ A
II. {0} ⊂ A
III. ∅ ∈ A
IV. ∅ ⊂ A
Com relação a estas afirmativas é correto dizer que:
a) todas são verdadeiras.
b) apenas a I é verdadeira.
c) apenas a II é verdadeira.
d) apenas a III é verdadeira.
e) todas são falsas.
2. Considere cada uma das afirmativas seguintes.
(1) 0 ∈ {0, 1, 2, 3, 4}
(2) {a} ∈ {a, b}
(4) ∅ ∈ {0}
(8) 0 ∈ ∅
(16) {a} ⊂ ∅
A soma dos valores correspondentes às afirmativas verdadeiras é:
a) 1
b) 3
c) 5
d) 7
e) 9
3. Considere cada uma das afirmativas seguintes.
(1) {a} ∈ {a, {a}}
(2) {a} ⊂ {a, {a}}
(4) {∅, a, {a}} ⊃ {a}
(8) ∅ ⊂ {a, {a}}
(16) {a, b} ∈ {a, b, c, d}
20
A soma dos valores correspondentes às afirmativas verdadeiras é:
a) 12
b) 13
c) 14
d) 15
e) 16
4. Para que {2, 9, 5, 7, x} = {2, 3, 5, 7, 9}, o valor de x deve ser:
a) 5
b) 7
c) 3
d) 2
e) 9
5. Sabendo que A ∩ B = {5, 6, 7}, A = {4, m, 6, 7} e B = {1, m, n, 7, 9} então os
valores de m e n são, respectivamente:
a) 4 e 6
b) 5 e 6
c) 6 e 5
d) 6 e 4
e) 1 e 6
6. Sejam M, N e P três conjuntos tais que M ∪ N = {1, 2, 3, 5} e M ∪ P = {1, 3,
4}, então M ∪ N ∪ P é:
a) ∅
b) {1, 3}
c) {1, 3, 4}
d) {1, 2, 3, 5}
e) {1, 2, 3, 4, 5}
7. Considere que A e B são dois conjuntos quaisquer tais que A ⊂ B e A ≠ ∅.
Nestas condições julgue os itens abaixo:
(1) Sempre existe x ∈ A tal que x ∉ B
(2) Sempre existe x ∈ B tal que x ∉ A
(4) Se x ∈ B então x ∈ A
(8) Se x ∉ B então x ∉ A
(16) A ∩ B = ∅
A soma dos valores correspondentes às afirmativas verdadeiras é:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
8. Sabe-se que:
A ∪ B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A ∩ B = {2, 3, 8}
A ∩ C = {2, 7}
B ∩ C = {2, 5, 6}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
Nestas condições pode-se concluir que o conjunto C é:
a) {9, 10}
b) {5, 6, 9, 10}
c) {2, 5, 6, 7, 9, 10}
21
d) {2, 5, 6, 7}
e) igual a A ∪ B
9. Dados os conjuntos: P = {0, 1, 3, 5}, Q = {1, 3, 5, 7} e R = {3, 8, 9}, o conjunto
X, definido pela igualdade X = Q – (P ∪ R) é:
a) {1, 3, 5}
b) {7}
c) {7, 5, 8, 9}
d) {0, 8, 9}
e) {1, 5, 7}
10. Na figura abaixo estão representados os conjuntos A, B e C, todos não vazios.
Assinale a alternativa que teria como resultado o conjunto correspondente à
região sombreada.
a)
b)
c)
d)
e)
(A ∩ B) – C
(A ∩ C) – B
(B ∩ C) – A
(B ∩ A) – A
(A ∩ B) – B
11. Sejam 2, 3 e 4 os números de elementos dos conjuntos A, B e C, respectivamente; então:
a) A ∩ B tem no máximo 1 elemento.
b) A ∪ C tem no máximo 5 elementos.
c) (A ∩ B) ∩ C tem no máximo 2 elementos.
d) (A ∪ B) ∩ C tem no máximo 2 elementos.
e) A ∩ ∅ tem no mínimo 2 elementos.
12. O número de conjuntos X que satisfazem {1, 2} ⊂ X ⊂ {1, 2, 3, 4} é:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
22
13. Considere os seguintes conjuntos:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} é o conjunto dos números naturais;
A = {x; x = 3n, onde n∈N e x ≤ 30};
B = {x; x∈N e x = 2n+1}.
Se o conjunto X é tal que X ⊂ (A∩B) e (A∩B)–X = {3, 15, 21}, então X é igual
a:
a) ∅
b) {3, 15, 21}
c) {9, 27}
d) {0, 6, 12, 18, 24, 27, 30}
e) {0, 1, 5, 6, 7, 11, 12, 13, 18, 23, 24, 25, 27, 29, 30}
14. Se X, Y e X ∩ Y são conjuntos com 50, 90 e 30 elementos, respectivamente,
então o número de elementos do conjunto X ∪ Y é:
a) 90
b) 100
c) 110
d) 120
e) 130
15. Numa pesquisa feita com 290 pessoas a respeito da audiência de dois filmes,
A e B, apurou-se que:
– 130 das pessoas consultadas assistiram ao filme A;
– Somente 50 dentre todas as pessoas consultadas assistiram aos dois filmes;
– Dentre todos os pesquisados, apenas 60 não assistiram a A nem a B.
Quantas pessoas assistiram ao filme B?
a) 100
b) 110
c) 130
d) 150
e) 170
16. Uma empresa, fabricante de computadores, pretende lançar um novo modelo
de notebook no mercado. Para tanto, encomendou uma pesquisa sobre as preferências dos consumidores entre dois modelos: Alfa e Beta. Das 400 pessoas
consultadas, apurou-se o seguinte:
– Ao todo, 150 pessoas consultadas gostaram somente do modelo Alfa.
– O número de pessoas consultadas que gostaram do modelo Beta foi 240.
– Apenas 60 dentre as pessoas consultadas gostaram dos dois modelos.
Com base nestes dados é correto dizer que o número de pessoas consultadas
que
a) gostaram do modelo Alfa é 150.
b) gostaram do modelo Beta mas não gostaram do modelo Alfa é 190.
23
c) gostaram de um único dos dois modelos é 120.
d) não gostaram de nenhum dos dois modelos é 20.
e) não gostaram de algum dos dois modelos é 340.
17. Um professor de Literatura sugeriu em uma classe a leitura dos livros O Mulato,
e Helena. Sabe-se que
– exatamente 20 alunos leram O Mulato;
– exatamente 15 alunos leram só o romance Helena;
– apenas 10 leram os dois livros;
– 15 foi o número de alunos que não leram O Mulato nem Helena.
Com base nessas afirmações pode-se garantir que:
a) 20 foi o número de alunos que leram somente um dos livros.
b) 15 foi o número de alunos que leram Helena.
c) 25 foi o número de alunos que não leram algum dos dois livros.
d) 30 foi o número de alunos que leram Helena.
e) 50 era o número de alunos dessa classe.
GABARITO
10. a
11. c
12. b
13. c
14. c
15. d
16. e
17. e
1. a
2. a
3. d
4. c
5. b
6. e
7. d
8. c
9. b
24
ANOTAÇÕES: ______________________________________________
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25
ANOTAÇÕES: ______________________________________________
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ANOTAÇÕES: ______________________________________________
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15x21cm
Mancha
11,5x17,5 cm
Papel
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