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AMOSTRAGEM
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DAS MÉDIAS
Exemplo: Suponha uma população de 5 empresas no Rio de
Janeiro que obtiveram o lucro hipotético de 3, 4, 5, 6 e 7
valores monetários, respectivamente. Essa população
simples nos dará parâmetros para chegar a importantes
conclusões e metodologias
Dessa população de 5 elementos, serão tomadas todas as
possíveis amostras de 3 elementos, com reposição,
conforme mostrado na tabela abaixo. Para cada uma delas,
será calculada a média da amostra. Observe que diversas
amostras possuirão a mesma média.
Com essa tabela é possível montar o gráfico a seguir.
Vamos agora, comparar as medidas de Média e Desvio
Padrão, tanto da população considerada como da
Distribuição Amostral das Médias
Após calculado o valor de média é possível agrupar de
acordo com o número de vezes que esses valores aparecem.
A média dos valores de lucro da população de empresas é
$5. O desvio padrão desses valores é $1,41. (Confira !!!)
Para o exemplo anterior, supondo amostras com 3
elementos, com reposição, será possível estabelecer 125
possíveis resultados. A média desses resultados será
$
5,00. O desvio padrão será $ 0,8185.
A Distribuição Amostral das Médias será um tipo de
distribuição de probabilidades relacionando todos os
possíveis resultados de ocorrência e suas respectivas
estatísticas. Na prática as populações serão maiores. Os
valores de média e desvio padrão para a população serão
determinados com resultados sobre as amostras.
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É possível estabelecer um relacionamento matemático entre
a média das amostras e a média populacional, tal como o
erro padrão das médias amostrais e o desvio padrão da
população.
onde
Exemplo:
ERRO AMOSTRAL
Definição: Diferença entre a estatística obtida na amostra
e o respectivo valor populacional sendo estimado. Tratandose de amostras probabilísticas, sua ocorrência serádevida
simplesmente ao acaso. Dessa maneira, pode-se concluir
que os erros irão variar em função: da amostra, do
parâmetro em estudo (se desvio padrão, valor esperado, etc.)
e do tamanho da amostra.
TEOREMA CENTRAL DO LIMITE
1) Para uma População Normalmente Distribuída, a
distribuição amostral das médias terá formato
aproximadamente normal, independente do tamanho da
amostra.
2) Para toda e qualquer população, a distribuição amostral
das médias tenderá àdistribuição normal, desde que o
tamanho da amostra seja suficientemente grande.
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INTERVALOS DE CONFIANÇA
Em estatística, um intervalo de confiança (IC) é um
intervalo estimado de um parâmetro estatístico. Em vez de
estimar o parâmetro por um único valor, é dado um
intervalo de estimativas prováveis. Quão prováveis são estas
estimativas é determinado pelo coeficiente de confiança.
Quanto maior a probabilidade do intervalo conter o
parâmetro, maior será o intervalo.
Intervalos de confiança são usados para indicar a
confiabilidade de uma estimativa. Por exemplo, um IC pode
ser usado para descrever quão confiáveis são os resultados
de uma pesquisa. Sendo todas as outras coisas iguais, uma
pesquisa que resulte num IC pequeno é mais confiável do
que uma que resulte num IC maior.
Em sentido estrito, um IC para um parâmetro populacional é
um intervalo com uma proporção p associada a qual é
gerada por uma amostra aleatória de uma população
subjacente, de tal forma que se a amostragem for repetida
inúmeras vezes e o intervalo de confiança for recalculado
para cada amostra de acordo com o mesmo método, uma
proporção p dos intervalos de confiança conteria o
parâmetro estatístico em questão. Intervalos de confiança
são a forma predominante de estimativa por intervalo.
Estabelecendo Intervalos de Confiança
Como dito anteriormente, os trabalhos com intervalos de
confiança são aplicação direta do Teorema Central do
Limite, o que está claro nos exemplos.
O que se faz, basicamente é utilizar a função matemática do
estimador, que nada mais é que a Distribuição de
Probabilidade da estatística procurada, para estabelecer o
intervalo que se deseja.
A distribuição amostral das médias, sem dúvida, é mais
bem representada por um gráfico de barras, com uma
grande quantidade de barras. Isso nos permite adotar a
aproximação pelanormal.
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Por simplificação, nãoserá usado o gráficode barras.
Preliminares:
1) 95% dos valores para qualquer variável aleatória
distribuída normalmente, estão entre ± 1,96σ de µ.
2) Para uma Distribuição Amostral de Médias com tamanho
de amostra maior que 30, o comportamento seráo mesmo.
Para o exemplo abaixo o erro padrão será igual a 2.
Roteiro para a Construção de um Intervalo de
Confiança
1) Após a coleta dos dados amostrais, calcular a estimativa
pontual (T) para o parâmetro a ser estimado;
2) Determinar o erro-padrão da estimativa (E);
3) Estabelecer o nível de confiança desejado (1- α);
3) Por isso, 95% de todos os valores das médias da
distribuição estarão a 2×( ± 1,96) = ± 3,92 distantes de µ.
4) Identificar a distribuição amostral adequada para a
variável em questão. Com base no intervalo de confiança
desejado, encontrar o índice i (para a Normal o índice i
seráo z);
5) O intervalo de confiança serádado por:
= {T - ( i x E) < P < T + ( i x E)}.
Intervalo
Exemplo de um Intervalo de Confiança
Para determinar o faturamento mensal das 500 maiores
empresas de uma região, coletou-se uma amostra com o
faturamento mensal de 60 dessas empresas. A média
encontrada nessa amostra foi de $3.542,00. Sabendo-se que
o desvio padrão do faturamento das 500 empresas é de
$380,00 determinar o intervalo que deverá conter a média
populacional. Utilize 68,26% como nível de confiança.
4) Quando é selecionada uma amostra para cálculo de média
perceba que é possível achar qualquer valor da distribuição
amostral das médias.
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Estabelecendo Intervalos para grandes amostras e σ
desconhecido
Na maioria das situações não conhecemos o desviopadrão da população. Quando isso acontece o intervalo é
calculado substituindo σ por s:
Observações:
1) Observar que se o intervalo de confiançaé aumentado
também se ampliam as chances de acerto.
Exemplo 2: Se no mesmo exemplo anterior fosse reduzido o
tamanhoda amostra de 60 para 30, qual seriao efeito no
intervalo de confiança?
Nesse caso o valor do erro da amostra iria aumentar,
aumentando assim o Intervalode Confiança.
Estabelecendo Intervalos para grandes amostras e
conhecido
σ
Observe que no exemplo anterior a amostra era considerada
grande(n > 30) e o σ da população, de tamanho finito, era
conhecido.
Quando isso acontece o intervalo é calculado da seguinte
maneira:
2) Utilizando o mesmo raciocínio, pode-se concluir que se a
população é menos dispersa, o Intervalode Confiança
também tende a ser menor.
Estabelecendo Intervalos para amostras pequenas
Se soubermos que a população se distribui normalmente, a
distribuição amostral de médias será normalmente
distribuida independente do tamanho da amostra. Porém, se
o desvio-padrão da população é desconhecido, para
amostras pequenas (n < 30), precisaremos usar a
distribuição t de Student. E o intervalo será calculado da
seguinte maneira:
Observe que essa expressão somente será válida se
soubermos que a distribuição tem formato aproximadamente
normal.
A Distribuição “t” de Student
A Distribuição “t” de Student depende de um parâmetro
conhecido com o grau de liberdade
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A Distribuição “t” com i graus de liberdade, onde
i=
1,2,3,…, é única. Ou seja, existe uma distribuição quando i
= 1, outra quando i = 2 e assim por diante.
A medida que os graus de liberdade aumentam, a
distribuição “t” se aproximada normal.
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Sumário para avaliação de uma média da população
Intervalos de Confiança para Proporção da População
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Determinando o Tamanho de uma Amostra
QUESTÕES DE CONCURSOS
01) (ANS – Analista em Regulação – FCC – 2007) O
índice de massa corpórea é calculado dividindo o peso da
pessoa pelo quadrado de sua altura. Para a população de
homens de meia idade que mais tarde desenvolvem a
doença de diabetes, a distribuição dos índices básicos de
massa corpórea é aproximadamente normal com média µ e
desvio padrão σ desconhecidos. Para uma amostra de 25
homens selecionados desse grupo, observou-se um índice
médio x = 25,2 kg/m² com desvio padrão
s = 2,5
kg/m². Um intervalo de confiança de 95% para a média µ da
população é dado por
Dados: Se t tem distribuição de Student com 24 graus de
liberdade, então: P(t < 2,06) = 0,975;
P(t <
2,49) = 0,99 e P(t < 1,71) = 0,95.
(A) 25,2 ± 2,15
(B) 25,2 ± 1,56
(C) 25,2 ± 1,03
(D) 25,2 ± 0,86
(E) 25,2 ± 0,68
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02) (ANS – Analista em Regulação – FCC – 2007) Para
estimar a proporção de cura de um medicamento
antiparasitário realizou-se um experimento clínico,
aplicando o medicamento em n doentes escolhidos ao acaso.
Nesta amostra foi constatado que 80% dos doentes foram
curados. Com base nestas informações e utilizando o
Teorema Central do limite, o valor de n, para que o erro
cometido na estimação seja no máximo 0,08, com confiança
de 89%, é de
Dados: Se Z tem distribuição normal padrão, então: P(Z
> 2) = 0,023; P(0 < Z < 1,6) = 0,445;
P(Z < 1)
= 0,84; P(0 < Z < 2,33) = 0,49.
(A) 16
(B) 25
(C) 36
(D) 49
(E) 64
03) No rótulo de um relógio de parede estava escrito, além
das instruções gerais, o seguinte: “De cada amostra com 144
peças a media de funcionamento é de 650 com desvio
padrão de 15 horas”. O intervalo de duração media de cada
peça pode ser representado por: (Considerar α = 95% e
abscissa = 1,96)
a) [647,55 ; 652,45]
b) [635,00 ; 655,00]
c) [638,50 ; 662,50]
d) [506,75 ; 794,75]
e) [649,20 ; 650,80]
04) Na Produção de cada lote contendo 250 unidades de
clipes, observou-se que 60 tinham padrões não aceitáveis.
Considerando um nível de confiança de 95,5%, onde o valor
da normal padrão é dado por Ζ = ± 2, para construção de um
intervalo da produção com padrões aceitáveis teremos:
a) [0,23 ; 0,34]
b) [0,53 ; 0,63]
c) [0,23 ; 0,63]
d) [0,71 ; 0,81]
e) [0,76 ; 0,86]
05) (CHESF) A Segurenote Seguros de Notebook resolveu
realizar uma pesquisa em todo o país relacionada a roubos
de notebook, em função do crescimento das vendas de
aparelhos. A Empresa espera que o número de roubos
aumente. Pensando nisto, ela quer aumentar os prêmios para
os proprietários que utilizam diariamente fora de casa os
aparelhos, como os executivos. A Empresa pretende ter um
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intervalo de confiança de 95% e uma margem de erro de
três pontos percentuais. Qual deverá ser o tamanho da
amostra, sem conhecermos a estimativa p? Dado que α =
0,05, onde Zα/2 = 1,96 (O arredondamento deverá ser feito
para cima):
A) 250 pessoas.
B) 3000 pessoas.
C) 16 pessoas.
D) 1068 pessoas.
E) 27 pessoas.
06) (SEFAZ/RJ – FGV – 2008) Uma pesquisa recente foi
realizada para avaliar o percentual da população favorável à
eleição de um determinado ponto turístico para constar no
selo comemorativo de aniversário da cidade. Para isso,
selecionou-se uma amostra aleatória simples extraída de
uma população infinita. O resultado apurou 50% de
intenção de votos para esse ponto turístico. Considerando
que a margem de erro foi de 2 pontos percentuais, para mais
ou para menos, e que o nível de confiança utilizado foi de
95%, foram ouvidas, aproximadamente:
(A) 50 pessoas.
(B) 100 pessoas.
(C) 1.200 pessoas.
(D) 2.400 pessoas.
(E) 4.800 pessoas.
07) (FURNAS) Na estimação da média aritmética de uma
população, quando o desvio padrão da população é
desconhecido e o tamanho da amostra é considerado
pequeno, a distribuição de probabilidades mais adequada é:
a) Gauss
b) Fischer
c) Student
d) exponencial
e) qui-quadrado
08) (ELETROBRAS) O método usado para se estimar a
média de uma população depende de ser o desvio padrão da
população conhecido ou desconhecido. Supondo-se que o
desvio padrão populacional ( σ x ), o número de elementos da
amostra n, a média amostral x e z seja a variável
padronizada pela distribuição normal, o intervalo de
confiança da média amostral será:
a) x ± z σ x
b) x ± z
σx
n
c) x ± z σ x
2
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d) x ± z
σx
n
e) x ± z n σ x
09) (IBGE) Uma amostra aleatória de tamanho 900 de uma
distribuição normal foi observada, verificando-se uma
média amostral igual a 30,5 com um desvio padrão igual a
6,0. Um intervalo com 95% de nível de confiança para a
média populacional será dado por:
a) (30,40 ; 30,60)
b) (29,64 ; 31,20)
c) (28,00 ; 33,00)
d) (30,10 ; 30,90)
e) (29,00 ; 32,00)
10) (ELETROBRAS – 2007) Uma amostra aleatória
simples de tamanho 1.600 de uma população normal com
variância 100 foi observada e resultou uma média amostral
igual a 15. Um intervalo de 95% de confiança para a média
populacional será estimado por:
a) (14,26 ; 15,74)
b) (14,51 ; 15,49)
c) (13,92 ; 16,08)
d) (13,66 ; 16,34)
e) (13,20 ; 16,80)
11) (MPU) Uma nova marca de lâmpada está sendo
estudada. Baseado em estudos anteriores com outras
marcas similares, pode-se admitir que a vida média segue
uma distribuição normal com desvio padrão de 8 meses.
Tendo como base estes resultados, o tamanho da amostra
necessário para que a amplitude do intervalo de 95% de
confiança para a vida média seja de 4 meses é de:
a) 8
b) 12
c) 16
d) 64
e) 128
12) (BACEN) A distribuição dos valores dos aluguéis dos
imóveis em uma certa localidade é bem representada por
uma curva normal com desvio padrão populacional de R$
200,00. Por meio de uma amostra aleatória de 100 imóveis
neste local, determinou-se um intervalo de confiança para
média destes valores, com um determinado nível de
confiança, como sendo
[R$ 540,00; R$ 660,00].
A mesma média amostral foi obtida com um outro tamanho
de amostra, com o mesmo nível de confiança anterior, sendo
o novo intervalo
[R$ 560,00; R$ 640,00]. Nos dois
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casos considerou-se infinito o tamanho da população. O
tamanho da amostra considerada no segundo caso foi de:
a) 225
b) 256
c) 324
d) 400
e) 625
13) (TCE/ES) Numa firma com um número grande de contas
a pagar, supõe-se que essas se distribuem, aproximadamente,
como uma norma com média μ e desvio-padrão conhecido
de R$ 1.000,00. Quer-se determinar o tamanho de amostra n
necessário para estimar μ por meio de um intervalo de
confiança simétrico em relação à média amostral, com
coeficiente de confiança de 95% e amplitude de R$ 250,00.
Assinale a opção que dá o valor correto de n. Suponha que o
quantil de ordem 97,5% da distribuição normal padrão seja 2.
a) 200
b) 156
c) 256
d) 190
e) 100
14) (BACEN) Através de uma amostra de 100 trabalhadores
de certa categoria profissional, estimou-se um salário médio
amostral de R$ 2.000,00. O desvio padrão populacional
vale R$ 400,00. Desta forma, o intervalo de confiança para
o salário médio de toda a categoria foi 2.000,00 ± 80,00,
com um certo coeficiente de confiança. Se tivéssemos
obtido o mesmo dado amostral com uma amostra de 400
pessoas, o intervalo de confiança (com o mesmo coeficiente
de confiança) seria dado por:
a) 2.000 ± 80,00
b) 2.000,00 ± 60,00
c) 2.000,00 ± 40,00
d) 2.000,00 ± 20,00
e) 2.000,00 ± 10,00
15) (BACEN) Os preços de um determinado produto
vendido no mercado têm uma distribuição normal com
desvio padrão populacional de R$ 20,00. Por meio de
pesquisa realizada com uma amostra aleatória de tamanho
100, com um determinado nível de confiança, apurou-se,
para a média destes preços, um intervalo de confiança sendo
[R$ 61,08 ; R$ 68,92]. A mesma média amostral foi obtida
quadruplicando o tamanho da amostra anterior e utitizando
também o mesmo nível de confiança. Nos dois casos
considerou-se infinito o tamanho da população. O novo
intervalo de confiança encontrado no segundo caso foi:
a) [R$ 61,20 ; R$ 68,80]
b) [R$ 61,33 ; R$ 68,67]
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c) [R$ 61,57 ; R$ 68,43]
d) [R$ 62,06 ; R$ 67,94]
e) [R$ 63,04 ; R$ 66,96]
16) Uma amostra de 10 medidas do raio de uma esfera
acusa média igual a 4,38 cm e desvio padrão de 0,06 cm.
Determine o intervalo de confiança de 95% para o raio
efetivo. ( 10 = 3)
a) (4,38 ± 0,054) cm
b) (4,38 ± 0,0452) cm
c) (4,38 ± 0,0413) cm
d) (4,38 ± 0,0484) cm
Para a questão 17, a tabela abaixo, que dá valores das
funções de distribuição da variável normal reduzida e da
variável t de Student, pode ser útil.
Normal
T com 9
graus de
liberdade
T com 8
graus de
liberdade
Z
F(z)
0,5
0,691
1
0,841
1,5
0,933
2
0,977
2,5
0,994
3
0,999
F(z)
0,685
0,828
0,916
0,962
0,983
0,993
F(z)
0,685
0,827
0,914
0,960
0,982
0,991
17) (BACEN) Uma amostra aleatória simples, de tamanho n
= 9, de uma população normal, revelou média amostral x =
12 e desvio padrão amostral s = 6. O intervalo de confiança
[8 , 16], para a média da população, tem nível de confiança
de:
a) 92%
b) 92,4%
c) 96%
d) 96,2%
e) 97,7%
18) (ICMS/MS – 2006) Uma amostra aleatória simples de
tamanho 25 foi selecionada para estimar a média
desconhecida de uma população normal. A média amostral
encontrada foi 4,2 e a variância amostral foi 1,44. O
intervalo de 95% de confiança para a média populacional é:
a) 4,2 ± 0,49
b) 4,2 ± 0,64
c) 4,2 ± 0,71
d) 4,2 ± 0,75
e) 4,2 ± 0,81
19) Considere uma amostra de 9 elementos, com média
igual a 70 e desvio padrão de 10, retirada de uma população
com distribuição normal com média e desvio padrão
desconhecidos. O intervalo de confiança de 95% para a
média da população é de:
a) 62,31 ≤ μ ≤ 77,69
b) 77,69 ≤ μ ≤ 87,69
c) 77,69 ≤ μ ≤ 82,54
d) 62,31 ≤ μ ≤ 87,69
e) 62,31 ≤ μ ≤ 82,54
20) (ICMS/MS – 2006) Uma amostra aleatória de tamanho
400 revelou que 64% dos torcedores brasileiros acham que
conquistaremos o hexacampeonato mundial de futebol. O
intervalo de 95% de confiança para a proporção de
torcedores na população que acreditam no hexacampeonato
é:
a) 64% ± 3,9%
b) 64% ± 4,2%
c) 64% ± 4,7%
d) 64% ± 5,1%
e) 64% ± 5,6%
21) (BACEN) Um auditor deseja estimar a proporção p de
contas incorretamente contabilizadas no processo contábil
de uma instituição financeira. Neste contexto decide tomar
uma amostra aleatória de tamanho n das contas e estimar p
usando a proporção amostral de contas incorretamente
contabilizadas. O auditor considera a população de contas
infinita e que a proporção amostral tenha distribuição
aproximadamente normal com expectância p e variância
p(1-p)/n. Supondo variância máxima e que f(2) = 0,975,
sendo f(.) a função de distribuição da normal padrão,
assinale a opção que dá o valor de n que o auditor deve
tomar para estimar p com erro não superior a 5% para mais
ou para menos com nível de confiança de 95%.
a) 100
b) 200
c) 400
d) 500
e) 130
22) Uma empresa grande de processamento de dados leva a
efeito uma pesquisa de opinião sobre o nível de satisfação de
seus empregados com os respectivos empregos. Neste
contexto 100 empregados, de uma população infinita, sob
objetivos práticos, são selecionados ao acaso e questionados.
Destes 50 mostraram-se satisfeitos ou muito satisfeitos com
seus empregos. Assinale a opção que caracteriza o intervalo
com coeficientes de confiança de 95%, simétrico, para a
proporção populacional desconhecida de empregados
satisfeitos ou muito satisfeitos com seus empregos.
a) 0,40 – 0,60
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b) 0,49 – 0,51
c) 0,30 – 0,70
d) 0,20 – 0,80
e) 0,45 – 0,55
23) O tamanho mínimo que deve ter uma amostra aleatória
simples para estimar, com 95% de confiança e erro de 1
ponto percentual, a preferência do eleitorado por
determinado candidato é:
a) 912
b) 1200
c) 2401
d) 4800
e) 10000
24) (MPE/RO – 2005) Uma amostra aleatória de 400
eleitores revelou 64% de preferências pelo candidato X. O
intervalo de 95% de confiança para a proporção de eleitores
que preferem X é:
a) 0,64 ± 0,047
b) 0,64 ± 0,052
c) 0,64 ± 0,056
d) 0,64 ± 0,064
e) 0,64 ± 0,085
25) (MINC – 2006) O tamanho mínimo que deve ter uma
amostra aleatória simples para estimar, com 90% de
confiança e erro de 1 ponto percentual, a proporção de
estudantes com problemas de visão:
a) 912
b) 1200
c) 1692
d) 4500
e) 6724
O enunciado a seguir refere-se às questões de números 26 e
27. Uma amostra aleatória simples de tamanho 16 foi
selecionada para estimar a média desconhecida de uma
população normal. A média amostral encontrada foi 5,4 e a
variância amostral foi 1,44.
26) O intervalo de 90% de confiança para a média
populacional é:
a) 5,4 ± 0,49
b) 5,4 ± 0,53
c) 5,4 ± 0,61
d) 5,4 ± 0,75
e) 5,4 ± 0,81
27) O intervalo de 90% de confiança para a variância
populacional é:
Estatística Avançada
a) (0,48 ; 2,40)
b) (0,52 ; 2,96)
c)(0,58 ; 2,84)
d) (0,72 ; 3,43)
e) (0,86 ; 2,98)
28) Admitindo uma distribuição normal com n = 20 e
S(x) = 2,5 o intervalo de confiança para a variância
populacional ao nível de 90% é dado por: (Considerar
2
2
χ inf
= 3,3 e χ sup
= 16,9 )
a) [7,03 ; 35,99]
b) [7,03 ; 10,88]
c) [7,03 ; 15,54]
d) [7,03 ; 25,33]
e) [7,03 ; 35,67]
29) (SEFAZ/MS – 2006) O intervalo de 95% de confiança
para a variância populacional é:
a) (0,88 ; 2,79)
b) (0,72 ; 3,05)
c) (0,64 ; 3,20)
d) (0,55 ; 3,16)
e) (0,44 ; 3,44)
30) (MPE/PE – 2006) Em uma pesquisa de mercado foi
estimado que 50% das pessoas entrevistadas preferem a
marca X de um produto. Se, com base no resultado dessa
pesquisa quisermos fazer outra para estimar novamente esta
preferência, o tamanho de amostra aleatória simples
necessário, para que tenhamos um erro amostral de 0,02
com probabilidade de 95%, deverá ser:
a) 1.000
b) 1.024
c) 2.500
d) 1.900
e) 2.000
31) Uma amostra aleatória simples X1, X2, ..., X16, de
tamanho 16, de uma distribuição normal foi observada e
indicou as seguintes estatísticas:
O intervalo usual de 95% de confiança para a média
populacional, com duas casas decimais, é:
(A) (3,58 ; 5,22).
(B) (3,47 ; 5,33).
(C) (3,33 ; 5,47).
(D) (3,19 ; 5,61).
(E) (3,01 ; 5,81).
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32) (MPU – Estatístico – ESAF – 2004) Uma revenda de
automóveis vende carros montados no Brasil. O proprietário
está interessado em estimar o valor médio θ dos gastos
extras com opcionais casados com a compra de carros
novos. Uma amostra de 16 vendas produziu um valor médio
de R$1.062,00 com desvio padrão de
R$ 144,00.
Assinale a opção que dá os limites de confiança para θ com
coeficiente de 98%. A tabela abaixo dá os quantis x, de
ordem γ , P{Tr ≤ x } = γ , da distribuição Tr de Student
com r graus de liberdade. Despreze centavos.
a) [R$ 955,00; R$ 1.168,00]
b) [R$ 968,00; R$ 1.155,00]
c) [R$ 990,00; R$ 1.134,00]
d) [R$ 997,00; R$ 1.124,00]
e) [R$ 938,00; R$ 1.186,00]
33) (TRT/2ªRegião – Anal. Jud. – FCC – 2008) Em uma
cidade, considerada com uma população de tamanho
infinito, é feito um estudo objetivando detectar a proporção
de habitantes que preferem a marca do sabonete X. Uma
amostra piloto forneceu um valor de 20% para essa
proporção. Deseja-se obter um intervalo de confiança de
95% para a proporção, tendo o intervalo uma amplitude de
10%. Se a distribuição amostral da freqüência relativa dos
habitantes que preferem a marca do sabonete X é normal e
utilizando a informação da distribuição normal padrão (Z)
que a probabilidade
P(|Z| ≤ 2) = 95%, tem-se que o
tamanho da amostra deve ser de
(A) 400
(B) 361
(C) 324
(D) 289
(E) 256
34) (TRT/2ªRegião – Anal. Jud. – FCC – 2008) A vida das
lâmpadas fabricadas por uma empresa apresenta uma
distribuição normal com uma variância populacional igual a
400 (horas)² . Extrai-se uma amostra de 64 lâmpadas e
verifica-se que a respectiva vida média é igual a 1.200
horas. Considerando a população de tamanho infinito e a
informação da distribuição normal padrão (Z) que a
probabilidade P(Z > 2) = 2,5%, tem-se que o intervalo de
confiança de 95% para a vida média das lâmpadas é
(A) [1.160 , 1.240]
Estatística Avançada
(B) [1.164 , 1.236]
(C) [1.180 , 1.220]
(D) [1.184 , 1.216]
(E) [1.195 , 1.205]
35) (ICMS/RJ – FGV – 2009) Para examinar a opinião de
uma população sobre uma proposta, foi montada uma
pesquisa de opinião em que foram ouvidas 1680 pessoas,
das quais 51,3% se declararam favoráveis à proposta.
Os analistas responsáveis determinaram que a margem de
erro desse resultado, em um determinado nível de confiança,
era de 2 pontos percentuais, para mais ou para menos.
Considerando que fosse desejada uma margem de erro de 1
ponto percentual, para mais ou para menos, no mesmo nível
de confiança, assinale a alternativa que indique o número de
pessoas que deveriam ser ouvidas.
(A) 840
(B) 2520
(C) 3360
(D) 5040
(E) 6720
36) (TJ/PA – Anal. Jud – FCC – 2009) A vida de
determinado equipamento apresenta uma distribuição
normal com um desvio padrão populacional de 400 horas.
Extrai-se uma amostra aleatória de 100 equipamentos e
obtém-se uma vida média de 2.000 horas para este
equipamento. Considerando a população de tamanho
infinito e a informação da distribuição normal padrão (Z)
que P(Z > 1,64) = 5% tem-se um intervalo de confiança de
90% para a vida média dos equipamentos igual a
(A) [1.800,00; 2.200,00]
(B) [1.967,20; 2.032,80]
(C) [1.934,40; 2.065,60]
(D) [1.639,20; 2.360,80]
(E) [1.344,00; 2.656,00]
37) (TJ/PA – Anal. Jud – FCC – 2009) Uma empresa tem
um total de 200 cabos em estoque. Uma experiência com 64
deles, selecionados ao acaso, apresentou uma tensão de
ruptura média de 2.000 kg. Consideram-se as tensões de
ruptura dos cabos normalmente distribuídas com desvio
padrão populacional igual a 100 kg. Para um nível de
significância α na distribuição normal padrão (Z) a
probabilidade P(Z > 1) = α/2 . A amplitude do intervalo de
confiança de (1 – α) para a tensão de ruptura média é (em
kg), considerando k =
(A) 12,5 k−1
(B) 20 k−1
136
,
199
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Estatística Avançada
(C) 12,5 k
(D) 20 k
(E) 25 k
38) (TRE/PI – Anal. Jud. – FCC – 2009) A duração de vida
de um determinado equipamento apresenta uma distribuição
normal com uma variância populacional igual a 100 (dias)²
2. Uma amostra aleatória de 64 desses equipamentos
forneceu uma média de duração de vida de 1.000 dias.
Considerando a população de tamanho infinito, um intervalo
de confiança de (1 − α) com amplitude de 4,75 dias para a
média foi construído. Caso o tamanho da amostra tivesse
sido de 400, obtendo-se a mesma média de 1.000 dias, a
amplitude do intervalo de confiança de (1 − α) seria de
(A) 0,950 dias.
(B) 1,425 dias.
(C) 1,900 dias.
(D) 2,375 dias.
(E) 4,750 dias.
39) (TRE/PI – Anal. Jud. – FCC – 2009) Em uma cidade
com uma grande quantidade de eleitores, certo candidato
encomenda uma pesquisa visando verificar qual será a
proporção de votos a seu favor, estabelecendo que o erro
amostral da proporção seja no máximo 2%. Para a pesquisa
considerou-se normal a distribuição amostral da frequência
relativa dos eleitores que manifestaram seu interesse em
votar no candidato e que na distribuição normal padrão (Z) a
probabilidade P (|Z|≤ 1,8) = 93%. O resultado da pesquisa
apresentou uma variância com valor máximo e com um
intervalo de confiança de 93%. O tamanho da amostra foi
então de
(A) 8.000
(B) 5.000
(C) 4.000
(D) 2.500
(E) 2.025
40) (TRE/PI – Anal. Jud. – FCC – 2009) Uma amostra com
apenas 9 elementos foi extraída de uma população normal
de tamanho infinito com variância desconhecida. A média
amostral apresentou um valor igual a 10 com uma variância
igual a 16. Um intervalo de confiança de 90% para a média
foi obtido utilizando a distribuição t de Student,
considerando t0,05 o quantil da distribuição t de Student para
teste unicaudal tal que P (t > t0,05) = 0,05, com n graus de
liberdade. O intervalo de confiança, utilizando os dados da
amostra, é
(A) [7,37; 12,63]
(B) [7,41; 12,59]
(C) [7,47; 12,53]
(D) [7,52; 12,48]
(E) [7,56; 12,44]
41) (TRT/4ª Região – Anal. Judiciário – FCC – 2009)
Deseja-se estimar a proporção (p) de processos julgados por
um tribunal regional do trabalho durante o período de 2000
até 2008. Uma amostra aleatória de 10.000 processos,
selecionada da população (suposta infinita) de todos os
processos, revelou que 5.000 foram julgados no referido
período. Um intervalo de confiança, com coeficiente de
confiança de 90% para p, baseado nessa amostra, é dado por
(A) 0,5 ± 0,005
(B) 0,5 ± 0,0062
(C) 0,5 ± 0,0065
(D) 0,5 ± 0,0082
(E) 0,5 ± 0,01
Instruções: Para responder às questões de números 42 e 43,
considere as tabelas a seguir. Elas fornecem alguns valores
da função de distribuição F(x). A Tabela 1 refere-se à
variável normal padrão, as Tabelas 2 e 3 referem-se à
variável t de Student com 10 e 15 graus de liberdade,
respectivamente.
42) (TRF/1ªRegião – Anal. Judiciário – FCC – 2001) Um
engenheiro encarregado do controle de qualidade deseja
estimar a proporção p de lâmpadas defeituosas de um lote,
com base numa amostra de tamanho suficientemente
grande. Sabe-se, com base em experiências anteriores, que p
deve estar próxima de 0,5. Que tamanho deve ter a amostra
se ele deseja que o erro de estimação seja no máximo 0,02,
com confiança de 90%?
(A) 800
(B) 1 082
(C) 1 241
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Estatística Avançada
(D) 1 530
(E) 1 681
43) (TRF/1ªRegião – Anal. Judiciário – FCC – 2001) O
peso de crianças recém-nascidas do sexo feminino numa
comunidade tem distribuição normal com média μ e desvio
padrão desconhecido. Uma amostra de 16
recémnascidos indicou um peso médio de 3,0 kg e desvio padrão
amostral igual a 0,8 kg. Um intervalo de confiança para μ,
com coeficiente de confiança de 96% é dado por
(A) 3,0 ± 0,37
(B) 3,0 ± 0,41
(C) 3,0 ± 0,45
(D) 3,0 ± 0,68
(E) 3,0 ± 0,73
GABARITO
1)
C
11)
D
21)
C
31)
C
41)
D
2)
E
12)
A
22)
A
32)
A
42)
E
3)
A
13)
C
23)
E
33)
E
43)
C
4)
D
14)
C
24)
A
34)
E
44)
B
5)
D
15)
E
25)
E
35)
E
45)
A
6)
D
16)
B
26)
B
36)
C
7)
C
17)
A
27)
E
37)
E
8)
B
18)
A
28)
A
38)
C
9)
D
19)
A
29)
E
39)
E
44) (Metrô/SP – FCC – 2007) Um estudo realizado em uma
população de tamanho infinito objetiva detectar a proporção
de habitantes que possui determinado atributo. Uma amostra
piloto adequada forneceu um valor de 25% para essa
proporção. Deseja-se um intervalo de confiança de 95%
para a estimativa dessa proporção, tendo o intervalo uma
amplitude de 5%. Considerando a distribuição amostral da
freqüência relativa dos habitantes possuidores do atributo
normal e utilizando a informação da distribuição normal
padrão (Z) que a probabilidade P(−2 ≤ Z ≤ 2) = 95%, tem-se
que o tamanho da amostra deve ser de
(A) 1.000
(B) 1.200
(C) 1.500
(D) 1.800
(E) 2.000
45) (Metrô/SP – FCC – 2007) Das lâmpadas fabricadas por
uma companhia extrai-se uma amostra de 100 lâmpadas e
obtém-se a vida média de 1.000 horas. A vida das lâmpadas
apresenta uma distribuição normal com um desvio padrão
populacional igual a 100 horas. Considerando-se a
população de tamanho infinito e a informação da
distribuição normal padrão (Z), segundo a qual a
probabilidade P(Z > 1,64) = 5%, obtém-se um intervalo de
confiança de 90% para a vida média das lâmpadas. A
amplitude deste intervalo é igual a
(A) 32,8 horas.
(B) 36,0 horas.
(C) 40,8 horas.
(D) 60,0 horas.
(E) 82,0 horas.
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10)
B
20)
C
30)
C
40)
D