Centro de Formação da Associação das Escolas de Chaves e Boticas
www.cfcb.no.sapo.pt
Oficina de Formação :
O Geometer´s Sketchpad na Aula de Matemática
JorgeManuelBotelhoGeraldes
Chaves | 2004
[email protected]
www.jgeraldes.net
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Oficina de Formação
Índice
1
2
3
4
5
- Introdução ....................................................................................................................................................................................................................... 2
- Metodologia .................................................................................................................................................................................................................... 5
- Arranque do GSP .......................................................................................................................................................................................................... 5
- Janela do GSP ................................................................................................................................................................................................................. 5
- Sair do GSP .................................................................................................................................................................................................................... 6
P - Conceitos básicos .......................................................................................................................................................................................................... 6
P1 - Ponto ............................................................................................................................................................................................................ 7
Distância entre dois pontos ....................................................................................................................................................................... 9
Segmento de recta .................................................................................................................................................................................... 1 0
Ponto móvel num segmento de recta ................................................................................................................................................... 1 1
Animação de um ponto ........................................................................................................................................................................... 1 1
Botão de “animação” ............................................................................................................................................................................... 1 2
Ponto Médio de um segmento de recta .............................................................................................................................................. 1 3
Mediatriz de um segmento de recta ..................................................................................................................................................... 1 3
Medida do comprimento de um segmento de recta ........................................................................................................................ 1 5
Rec t a ............................................................................................................................................................................................................ 1 6
Recta paralela a outra recta .................................................................................................................................................................... 1 7
P2 - Circunferência ........................................................................................................................................................................................... 1 9
Construir uma circunferência :
— Caixa de Ferramenta .......................................................................................................................................................................... 1 9
— Dado o centro e o raio (variável) ................................................................................................................................................... 2 0
— Dado o centro e o raio ( fixo) ......................................................................................................................................................... 2 2
Cí rc u lo ........................................................................................................................................................................................................ 2 3
Área do círculo ......................................................................................................................................................................................... 2 4
Cálculos com o GSP ................................................................................................................................................................................ 2 5
P3 - Intersecção de “objectos” ...................................................................................................................................................................... 2 8
P4 - Gravar Documento .................................................................................................................................................................................. 2 9
P5 - Construír polígonos ................................................................................................................................................................................. 3 0
Definir ângulo ........................................................................................................................................................................................... 3 2
Definir arco de circunferência ............................................................................................................................................................... 3 3
Medir amplitude de um arco de circunferência ................................................................................................................................ 3 4
Definir sector circular .............................................................................................................................................................................. 3 4
P6 - Transformações geométricas ................................................................................................................................................................. 3 5
— Translação ............................................................................................................................................................................................ 3 5
— Rotação ................................................................................................................................................................................................. 3 7
— Homotetia ............................................................................................................................................................................................ 3 9
— Simetria Axial ...................................................................................................................................................................................... 4 3
Actividades ................................................................................................................................................................................................. 4 5
P7 - Comando Locus (lugar geométrico) .................................................................................................................................................... 5 0
— Comandos Trace e Animation ......................................................................................................................................................... 5 1
— Parábola ............................................................................................................................................................................................... 5 4
— Elipse .................................................................................................................................................................................................... 5 6
— Hipérbole ............................................................................................................................................................................................. 5 9
P8 - Construção de um cubo. Secções num cubo ................................................................................................................................... 6 1
P9- Gráficos de Funções ................................................................................................................................................................................. 6 3
— Declive de uma recta (slope) .......................................................................................................................................................... 6 5
— Família de funções ............................................................................................................................................................................. 6 6
— “slider” ................................................................................................................................................................................................. 6 6
P10 - Problemas de optimização .................................................................................................................................................................. 7 0
P11 - Parâmetro ( New parámetro) .............................................................................................................................................................. 7 4
Bibliografia .......................................................................................................................................................................................................... 7 8
Anexos .................................................................................................................................................................................................................. 7 9
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1 | INTRODUÇÃO
É hoje comum falar nas tecnologias para o ensino/aprendizagem da Matemática. Existem várias ferramentas informáticas
que podem ser utilizadas pelos professores/alunos, funcionando como uma mais valia que é preciso aproveitar.
Para o ensino/aprendizagem da geometria existem no mercado varias aplicações que podem e devem ser utilizadas
pelos professores/alunos na sala de aula como mais uma ferramenta para “fazer matemática”, que potenciam a experimentação, interpretação, visualização, abstracção, generalização. São pois ferramentas onde os alunos podem modelar,
fazer simulações, experimentar, conjecturar. Nos ambientes proporcionados por essas ferramentas, os utilizadores (alunos/professores) usam processos de representação semelhantes ao “papel, lápis, régua e compasso” o que torna a sua
utilização simples e versátil.
É pois possível através destas ferramentas dar passos importantes para a chamada “pedagogia construtivista”:
“É necessário que o professor de matemática organize um trabalho estruturado através de actividades que propiciem o desenvolvimento de exploração informal e investigação reflexiva e que não
privem os alunos nas suas iniciativas e controlo da situação. O professor deve propor desafios que
estimulem a interrogação, a colocação de problemas, e busca de soluções. Os alunos não se tornam
activos aprendizes por acaso, mas por desafios estruturados, que visem a exploração e a investigação” ( Richards, 1991).
Historicamente os sistemas de representação do conhecimento matemático, têm carácter estático. Esta constatação é
facilmente perceptível olhando para os manuais que os alunos têm à sua disposição. Um objecto matemático pode,
utilizando as ferramentas informáticas, ter uma representação dinâmica onde todo o processo pode ser acompanhado
em tempo real o que não acontece utilizando o método tradicional de “lápis e papel” ou “giz e quadro”.
Vejamos dois exemplos:
- O conceito de parábola apreendido pelos alunos passa pela noção de lugar geométrico, que será mais perceptível se
aquele for acompanhado por um processo dinâmico da sua representação.
- A altura de um triângulo é quase sempre visualizada pelos alunos como sendo a “ linha vertical que une a base do
triângulo ao vértice oposto”, conceito este incorrecto. Num ambiente dinâmico é possível “ver” que o segmento de recta
que define a altura pode ser manipulado, mantendo-se um lado do triângulo fixo e movimentando o vértice oposto numa
recta paralela a este lado. Desta forma pode obter-se um conjunto de representações com triângulos e alturas em
diversas situações, o que potencia a concepção mental em harmonia com o conceito matemático de altura de um triângulo.
Estamos assim perante as chamadas ferramentas de geometria dinâmica operacionalizadas por programas sendo os
mais conhecidos o Cabri-Géomètre II plus (Laborde & Bellemain, 1994, www.cabri.com), Cinderella (Jurgen RictherGebert e Ulrich Kortenkamp, 1999, www.cinderella.de) e o Geometer´s Sketchpad (GSP) (Nicholas Jackiw,
www.keypress.com/sketchpad).
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Todos estes programas apresentam as seguintes características (King & Schattsscheneider, 1997):
Precisão e visualização: a construção da Geometria é feita pelo estabelecimento
de relações geométricas entre os elementos (perpendicularidade, paralelismo, ângulo,
distância, ...). É possível medir a amplitude de um ângulo, determinar a distância entre dois
pontos,etc.. A “demonstração” de um teorema pode ser compreendida por visualização.
Concomitantemente a precisão também é importante porque construções não rigorosas podem
levar o aluno a conclusões erradas.
Exploração e descoberta: a manipulação de construções permite que se explore
a Geometria e novas relações sejam descobertas. Muitas vezes os próprios alunos
redescobrem teoremas na sala de aula. Da mesma formas que as folhas de cálculo permitem
responder a questões do tipo “e se...” referentes a fórmulas e manipulações numéricas, a
Geometria Dinâmica faz para as relações matemáticas.
Provas de teoremas: embora a Geometria Dinâmica não possa “provar teoremas”,
a capacidade de experimentação de hipóteses que proporciona pode motivar a busca pela
demonstração de um teorema. Da mesma forma pode ajudar e sugerir pistas para a
demonstração formal. Curiosamente esta “prova experimental de teoremas” é utilizada nos
mais avançados programas de Geometria Dinâmica, como forma de garantia de suavidade
nas transições provocadas por reconfiguração (Ricther– Gebert & Kortenkamp, 1999).
Transformações e lugares geométricos: pela sua capacidade de realizar
alterações em figuras geométricas, os programas de Geometria Dinâmica são ideais para o
estudo das chamadas transformações geométricas . Animando figuras e traçando lugares
geométricos de pontos pré-definidos, estas aplicações também podem explicitar problemas e
propriedades normalmente não abordadas nos manuais.
Simulação e micro mundos: indo muito além da abstracção a Geometria
Dinâmica permitem ilustrar conceitos de cinemática e óptica, entre outros. Por outro lado,
oferece também a possibilidade de criação de micro mundos geométricos, a exemplo daqueles
concebidos na linguagem LOGO (Papert, 1999). Neles o aluno pode vivenciar experiências
geométricas, algumas pré-concebidas pelo professor e muitas descobertas ao acaso, através
da exploração interactiva e da sua criatividade.
O nosso estudo vai incidir sobre o Geometer´s Skecthpad versão 4.0 pois além de permitir estudar Geometria é
possivel, nesta última versão utilizá-lo no estudo de funções .
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Utilização das tecnologias na aprendizagem da matemática.
Todos os alunos devem aprender a utilizar não só a calculadora elementar mas também, à medida que
progridem na educação básica, os modelos científicos e gráficos. Quanto ao computador, os alunos
devem ter oportunidade de trabalhar com a folha de cálculo e com diversos programas educativos,
nomeadamente de gráficos de funções e de geometria dinâmica (...)
In EnigMat - O Ensino-aprendizagem da Matemática
Edições ASA
História
O Geometer´s Skecthpad começou como uma colaboração entre o Visual Geometry Project em Swarthmore College e a
empresa Key Curriculum Press. O Visual Geometry Project teve como autores Drs. Eugene Klotz e Doris Schattschneider. O
programador é o Dr. Nicholas Jackie.
Esta aplicação informática de Geometria Dinâmica é uma excelente ferramenta para o estudo de Geometria e também nesta
última versão (4.0) para ser utilizada no estudo de funções.
Permite abordar problemas geométricos através da experimentação e manipulação de diferentes elementos facilitando a realização de qualquer construção geométrica. Como algumas características destacam-se a facilidade de aprendizagem e a rapidez para
desenhar e construir, assim como explorar resolver problemas de maneira
interactiva. Partindo de objectos elementares, tais como pontos, segmentos de recta, semi-rectas, rectas, etc. e de um amplo conjunto de opções, realiza-se qualquer construcção geométrica que poderá
incluir novos elementos definidos pelo
utilizador.
Uma das possibilidades mais importantes desta aplicação é a construção de lugares geométricos e a animação que se pode definir
sobre os objectos de uma construção.
Oferece ao utilizador (Professor/aluno) a oportunidade de construir o seu próprio conhecimento. Nada nele está definido. Assim,
para estudar uma dada situação problemática, é preciso, em primeiro lugar, construí-la. Com o Sketchpad pode-se investigar,
descobrir e redescobrir, confirmar resultados e conjecturas, simular situações, experimentar variadas hipóteses, etc.
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2 | METODOLOGIA
Numa primeira fase serão introduzidos os conceitos considerados fundamentais para se começar a trabalhar com o
Geometer´s SketchPad e em seguida serão realizados alguns projectos que irão ser operacionalizados em ambiente de
aula. Finalmente far-se-á a troca de experiências entre os grupos de trabalho e a avaliação do trabalho desenvolvido
pelos grupos.
3 | ARRANQUE DO GEOMETER´S SKETCHPAD
Procedimento:
1. Dar um clique duplo sobre o ícone representativo da aplicação
4 | CONHECER A “JANELA” DO GEOMETER´S SKETCHPAD
Barra de Menus
Barra de título
Zona de desenho (“folha de trabalho”)
Barra de Status
Caixa de Ferramentas (ToolBox)
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5 | “SAIR” DO GEOMETER´S SKETCHPAD
Procedimento(s):
1. Accione simultaneamente Ctrl+Q;
ou
1. Seleccione o menu File;
2. Dê um clique na opção Quit.
P | CONCEITOS BÁSICOS ....
P.1.)
Como construir pontos, “nomear” ponto(s), medir a distância entre dois pontos;
Construir segmentos de rectas; Ponto num segmento de recta; Animação de um ponto (objecto) sobre um
segmento de recta; Ponto médio de um segmento de recta; Recta perpendicular a um segmento de recta;
Medida do comprimento de um segmento de recta; Recta; Recta paralela a outra recta que passa por um
ponto dado;
P.2.)
- Circunferência. Círculo. Perímetro da circunferência e a área do círculo;
- Efectuar cálculos.
P.3.)
Pontos de intersecção de dois “objectos”.
P.4.)
Gravar um documento. “Abrir” um documento.
P.5.)
Construir polígonos; Definir ângulos; Medir amplitude de ângulos. Definir um arco de circunferência; Medir
amplitudes de arcos.
P.6.)
Transformações geométricas:Translação; Rotação; Homotetia; Simetria axial.
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P.1.
Ponto(s)
#
- Seleccione o ícone
;
- Desloque o ponteiro para a zona de trabalho e dê um clique para definir o ponto;
- Desloque o ponteiro do rato até à posição que pretende para definir a outra extremidade
do segmento de recta;
NOTA
Para apagar um ou mais pontos, depois de selecionado(s) é necessário
accionar a tecla Del .
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- Para nomear um ponto
- Seleccione o ícone
;
- o ponteiro transforma-se no ícone
- Dê um clique sobre o ponto.
;
Retirar a letra que identifica o ponto
- Dê um clique sobre o ponto.
Alterar as propriedades da letra que identifica o ponto
- Dê um clique duplo sobre o ponto;
- Fazer as alterações pretendidas na “janela” das propriedades do
Ponto A;
- Letra que identifica o ponto;
- Tipo de fonte;
- Dimensão;
- Caracterísitica da fonte ( Bold, italic,...);
- Cor da letra.
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- Para medir a distância entre dois pontos:
- Construa dois pontos no desenho;
- Defina as letras que os identificam;
- Seleccione os dois pontos com o ponteiro do rato;
Ou
- Dê um clique no ponto A e depois outro clique no ponto B
- Seleccione o menu Measure;
- Com o ponteiro do rato dê um clique sobre a opção Distance;
- No ecrã teremos a distância entre os pontos.
Se deslocarmos um dos pontos (por exemplo o ponto B para a
esquerda) poderemos ver que a distância entre os pontos é
alterada.
.
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Segmento de recta
- Seleccione o ícone
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#
;
- Desloque o ponteiro para a zona de trabalho e dê um clique para definir um dos
extremos do segmento de recta;
- Desloque o ponteiro do rato até à posição que pretende para definir a outra
extremidade do segmento de recta;
- Dê agora um clique com o rato e terá assim definido o segmento de recta.
NOTA
Se pressionar a tecla Shift durante o processo de construção do segmento de
recta poderá desenhá-lo na horizontal (1) se deslocar o rato para a esquerda
ou para a direita. Se deslocar o rato para cima ou para baixo obterá um
segmento de recta desenhado na vertical (2).
(1)
(2)
- Para apagar um segmento de recta, depois de o seleccionar dando um clique
sobre ele, é necessário accionar a tecla Del .
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– Ponto móvel num segmento de recta.
- Defina [AB];
- Seleccione o botão
para definir um ponto no segmento de recta;
- Com o ponteiro do rato dê um clique sobre o segmento de recta;
- Fica assim definido um ponto que se pode deslocar para a esquerda e para
a direita com o ponteiro sobre o segmento de recta.
– Animação de um ponto sobre o segmento de recta
(ponto móvel seleccionado)
- Seleccione o Edit | Action Buttons | Animation ...
u
v
w
- A janela de “animação” permite configurar vários parâmetros:
Botão de animação
Tipo de animação
velocidade de
animação
- depois de definidas as opções acciona-se a tecla
.
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- Alterar a frase do “botão de animação” .
- Seleccione o botão de animação;
- Seleccione o menu de contexto com o botão do lado direito do rato;
- Seleccione a opção Properties...
- Seleccione a opção Label;
- Digite no rectângulo a frase : animação do ponto C;
- Accione o botão
;
- O botão de animação tomará a seguinte configuração:
Animação do ponto C
- Dê um clique sobre o botão de animação;
- Para parar a animação, accione a tecla Esc (ou então dê um clique sobre o botão
de animação). Para eliminar o botão de animação, depois de o ter seleccionado,
accionamos a tecla Del.
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– Construção do ponto médio de um segmento de recta.
- Seleccione o segmento de recta;
- Seleccione Construct | Midpoint (Ctrl+M);
– Construção de uma recta perpendicular ao segmento
de recta anterior no seu ponto médio (Mediatriz).
- Seleccione o segmento de recta e o ponto (um clique sobre o segmento de recta e sobre o ponto médio)
;
- Seleccione Construct | Perpendicular Line;
u
v
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Nota importante:
Quando construímos uma figura, o GSP vai definindo uma hierarquia entre os vários
elementos da figura, que advém do seu próprio processo de construção .
Vamos considerar a seguinte sequência de procedimentos:
– Marcamos um ponto A no ecrã;
– Traçamos uma recta r;
– Construímos a recta p perpendicular à recta r, passando por A;
– Construímos o ponto B, intersecção de r com p.
Para o GSP o ponto A e a recta r são parents da recta p, a recta r e a recta p são parents (pais) do ponto
B , a recta p é Children(filhos) de A e de r, e o ponto B é Children de r e p.
Por exemplo se dermos um clique na recta p e abrirmos o menu de contexto (dar um clique com o botão do
lado direito do rato) podemos verificar que temos duas hipóteses: Select Parents e Select Children:
– Se seleccionarmos Parents (Select Parents) fica seleccionada a recta r e o ponto A;
– Se seleccionarmos Children (Select Children) fica seleccionada o ponto B.
A figura construída pode ser modificada por arrastamento através do “rato” de alguns dos seus elementos.
Porém a liberdade de o fazer é relativa, uma vez que depende da hierarquia e das relações constantes entre
os elementos que definem a construção. Assim, podemos deslocar o ponto A (não tem objectos dependentes
de si) para qualquer posição do desenho levando “a reboque” a recta p que se mantém sempre perpendicular
à recta r. Se, por exemplo, apagarmos o ponto A, desaparece este elemento e todos os elementos de si
dependentes.
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Determinar a medida do comprimento do segmento de
recta.
- Seleccione o segmento de recta;
- Seleccione Measure | Lenght;
no canto superior esquerdo teremos:
- Com o botão do lado direito do rato abra o menu de contexto;
- Seleccione a opção Properties...;
- Seleccione a precisão pretendida;
- Accione o botão
;
- Obteremos
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Recta
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#
- Seleccione o ícone
;
- Mantenha o rato pressionado e arraste-o para a esquerda por forma a serem
visualizadas as outras opções:
- Escolha o botão
que permite construir rectas (lines);
- Com o ponteiro do rato dê um clique para definir um ponto da recta e em seguida
desloque o ponteiro até à posição pretendida de forma a definir outro ponto da recta;
- Dê um clique com o rato para fixar o último ponto. Fica assim definida a semi-recta.
Nota: Se pressionar a tecla Shift durante o processo de construção da recta
poderá desenhá-lo na horizontal se deslocar o “rato” para a esquerda ou
para a direita. Se deslocar o “rato” para cima ou para baixo obterá uma
recta desenhado na vertical.
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Determinar uma recta paralela a outra recta e que passa
num ponto.
- Defina uma recta ;
- Defina a letra representativa da recta;
- seleccione o botão
;
- dê um clique sobre a recta;
- Defina um ponto exterior à recta;
- Seleccione o ponto e a recta ;
- Seleccione Construct | Paralel line ...
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Mova um dos pontos da recta. O que acontece?
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P.2.
Circunferência
1. Através da caixa de ferramentas (ToolBox)
- Seleccione o ícone
;
- Mova o ponteiro para a zona da folha de trabalho, clique (para definir o centro
da circunferência) e arraste para definir outro ponto da circunferência.
- Atribua letras aos dois pontos ( C para o centro da circunferência e A para o
outro ponto) e à circunferência.
?
D
o
afi
s
e
Construa a recta tangente à circunferência no ponto A
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2. Conhecidos o centro da circunferência (C) e o raio de comprimento
variável (rv).
- Defina uma recta horizntal;
- Esconda os dois pontos (da construção) da recta:
- Seleccione os dois pontos com o botão
;
- Seleccione Display | Hide Points (Ctrl+H);
u
v
- Marque dois pontos sobre a recta (definem os extremos do segmento de recta que
vai representar o raio da circunferência);
- Esconda a recta (seleccione a recta e em seguida Ctrl+H);
- Defina o segmento de recta cujos extremos são os pontos A e B;
- Seleccione os dois pontos A e B;
- Seleccione Construct | Segment ( Ctrl+L)
u
v
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- Marque um ponto (não pertencente ao segmento de recta);
- Seleccione o ponto e o segmento de recta (ou o segmento de recta e o ponto);
- Seleccione Construct | Circle By Center+Radius.
u
v
Se seleccionarmos o ponto B ou o ponto A e o deslocarmos para a esquerda ou direita (alteração do
comprimento do raio) o que verificamos?
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3. Conhecidos o centro da circunferência (C) e comprimento
do raio fixo (rf).
- Defina um ponto (A);
- Seleccione Transform | Translate ...;
u
v
Raio = 4,0 cm (p.e.)
Fixed Distance Horizontal: 4,0 cm
Fixed Distance Vertical : 0,0 cm
- Repita, s.f.f., os passos da situação anterior.
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Círculo
- Construa uma circunferência;
- Seleccione a circunferência;
- Seleccione Construct | Circle interior (Ctrl+P)
u
v
Perímetro da circunferência e área do círculo.
| Perímetro da circunferência
- Seleccione a circunferência anterior ;
- Seleccione Measure | Circumference;
u
v
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| Área do círculo |
- Seleccione o círculo;
- Seleccione Measure | Area;
ou
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Cálculos com o GSP
Exemplo:
Determinar o valor aproximado de p com 3 casas decimais, sendo
conhecidos o perímetro e o raio da circunferência.
- Defina a circunferência de raio igual a 4 cm;
P = 2pr Û p =
P
2r
- Seleccione Measure | Calculate... (Shift+Alt+=)
u
v
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- Seleccione com um clique o perímetro da circunferência;
- Dê um clique sobre o sinal representativo da divisão;
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- Dê um clique sobre o sinal representativo da divisão;
- Complete a operação conforme mostra a figura:
- Accione o botão
;
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P.3.
Intersecção de “objectos”
- Defina uma circunferência;
- Defina uma recta que intersecte a circunferência;
- Seleccione a recta e a circunferência;
- Seleccione Construct | Intersections (Ctrl +I);
Ponto de intersecção
Ponto de intersecção
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P.4.
Gravar um documento
- Seleccione File | Save As...
- Defina um nome para o documento; (trab_01)
- Accione o botão
.
“Abrir” um documento
- Seleccione File | Open (Ctrl+O)
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30
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P.5.
Construir polígonos
- Seleccione File | New Sketch (Ctrl+N) ;
Um Quadrilátero Irregular
- Construa quatro pontos (A; B ; C e D);
- Seleccione os quatro pontos;
- Seleccione Construct | Quadrilateral interior (Ctrl+P)
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- Seleccione os vértices do quadrilátero;
D
C
A
B
- Seleccione Construct|Segments (Ctrl+L);
D
C
A
B
- Seleccione Display|Thick;
D
C
A
B
- Determine a Área e o Perímetro do quadrilátero;
- Arraste um dos vértices do quadrilátero ( p.e. o ponto B);
O que acontece?
?
f io
a
s
De
- Construa um quadrado; Grave o trabalho com o nome quadrado.
- Construa um pentágono regular; Grave o trabalho com o nome pentagono.r .
- Construa um hexágono regular.Grave o trabalho com o nome hexagono.r
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Definir um ângulo
- Defina duas semi-rectas com a mesma origem;
- Seleccione (por esta ordem) os pontos A, B e C (O ponto B é o vértice) ;
- Seleccione Measure | Angle;
- Seleccione o ponto A e arraste-o para cima e para baixo;
?
D
o
afi
s
e
- Verifique, utilizando a calculadora do GSP, que a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é igual a 1800
(Geometria Euclidiana). Grave o trabalho com o nome soma.ang.tri .
- Prove, com a ajuda do GSP, que a área de um triângulo depende da base e da altura do triângulo. Grave o trabalho com o nome
area.tri.base.altura .
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Definir um arco de circunferência
- Defina uma circunferência;
A
c1
- Marque dois pontos sobre a circunferência (definem os extremos do arco);
C
C
A
A
B
B
c1
c1
- Seleccione por esta ordem : B ; C e a circunferência;
- Seleccione Construct |Arc On Circle;
Está assim definido o arco BC ;
C
A
B
c1
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Medir a amplitude de um arco de circunferência.
- Seleccione o arco de circunferência definido anteriormente;
- Seleccione Measure | Arc Angle;
Definir um sector circular
- Seleccione o arco de circunferência definido anteriormente;
- Seleccione Construct | Arc Interior | Arc Sector ( Ctrl+P)
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P.6 Transformações Geométricas
Translação
- Construa a figura geométrica;
F
E
D
C
ur
- Defina o vector H I ;
A
B
H
I
Vector HI
ur
- Marque o vector H I que define a translação.
- Seleccione o Ponto H e depois o ponto I ;
- Seleccione Transform | Mark Vector
- Seleccione a figura geométrica
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- Seleccione Transform | Translate ...
ur
Define o vector HI
- Accione o botão
.
- Arraste o ponto I (extremidade do vector translação). O que acontece?
Grave o trabalho com o nome translacao.
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Rotação
NOTA:
Para definir uma rotação é necessário:
- O ângulo de rotação
- O centro da rotação
Exemplo
- Considere a figura geométrica;
F
E
- Defina o ângulo de rotação;
D
C
A
B
L
K
J
- Marque o ângulo de rotação;
- Seleccione os pontos J, K e L (segundo esta ordem);
- Seleccione Transform | Mark Angle;
Sentido da marcação do
ângulo de rotação
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- Marque o centro da rotação (por exemplo o ponto K)
- Dê um clique duplo no ponto K;
k
- Seleccione a figura geométrica;
- Seleccione Transform | Rotate ...
- Accione o botão
.
E'
F
E
D'
F'
D
C'
C
B'
A'
A
B
L
J
K
Arraste o ponto L no sentido anti-horário. O que acontece?
Grave o trabalho com o nome rotacao
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Homotetia
NOTA:
Para definir uma homotetia é necessário:
- O centro da homotetia;
- a razão da homotetia.
Exemplo (caso 1)
- Considere a figura geométrica [ABDE];
B
- Defina o centro da homotetia (C);
D
C
A
E
- Definir o Centro da homotetia:
- Seleccione com o rato o ponto C ;
- Seleccione o menu Transform;
- Seleccione a opção Mark Center (Shift+Ctrl+F);
- Seleccione o quadrilátero com o rato;
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- Seleccione a opção Transforme | Dilate;
- Na “janela” Dilate pode-se definir em seguida a razão da
homotetita :
- Na “fracção”, se o numerador for superior ao denominador
(caso da figura ao lado), otém--se uma razão maior que a
unidade ( ampliação);
- Na “fracção”, se o numerador for inferior ao denominador
, otém-se uma razão menor que a unidade (redução);
- Defina a razão igual a 2 (2/1);
- Dê um clique com o rato no botão Dilate;
Obtemos a ampliação de razão 2.
Grave o trabalho com o nome homotetia.01.
Objecto
final
Objecto
original
Centro
Utilize outra figura geométrica e efectue a redução de razão r =
2
3
Grave o trabalho com o nome homotetia.02 .
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Exemplo (caso 2)
- Considere a figura geométrica [ABDE] (pag. 38);
- Defina centro da dilação (C);
- Defina dois segmentos de recta ( [KL] e [MN] );
K
L
M
B
N
C
A
D
- Definição da razão:
E
- Seleccione o segmento de recta [KL];
- Seleccione o segmento de recta [MN];
- Seleccione a opção Transform | Mark Segment Ratio
- Seleccione o centro da homotetia;
- Seleccione o Quadrilátero [ABDE];
- Seleccione a opção Transform | Dilate;
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- Dê um clique no botão Dilate;
- Arraste o ponto N para a esquerda. O que verifica?
Grave o trabalho com o nome homotetia.03 .
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43
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Simetria Axial ( Reflexão)
NOTA:
Para definir uma simetria axial é necessário:
- O eixo de simetria.
Exemplo
- Considere a figura geométrica [ABCD]
- Defina recta s;
D
s
A
C
B
- Definir a recta s como eixo de simetria;
- Seleccione a recta s;
- Seleccione a opção Transform | Mark Mirror;
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- Seleccione o quadrilátero [ABCD];
- Seleccione a opção Transform | Reflect ;
- Obtemos o seguinte resultado:
Arraste o ponto B para a esquerda . O que verifica?
Grave o trabalho com o nome simetria.01 .
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8
Tente construir um triângulo cujo comprimento dos lados seja 4, 9 e 15. E outro cujas medidas sejam 4, 5 e 8. Tente
outras medidas. Que conclusões pode tomar? Justifique. Grave o trabalho com o nome Activ.A1.
8
Construa um triângulo equilátero. Construa um triângulo isóceles. Construa um triângulo escaleno.Grave o trabalho
com o nome. Grave o trabalho com o nome Activ.A2.
8
Num triângulo defina o Baricento (Medianas), Circuncentro (Mediatrizes) e o Ortocentro (Alturas). Verifique que estes três pontos notáveis de um triângulo são colineares, pertencendo a uma recta que se chama recta
de Euler. Grave o trabalho com o nome Activ.A3.
Verifique que :
– Num triângulo isósceles a recta de Euler contém a altura relativamente à base;
– Num triângulo equilátero o Baricento, Circuncentro e o Ortocentro coincidem;
– Num triângulo escaleno acutângulo os três pontos notáveis situam-se no interior do triângulo;
– Num triângulo rectângulo escaleno o ortocentro situa-se no vértice do ângulo recto; o circuncentro sobre a hipotenusa
e o baricentro no interior do triângulo;
– Num triângulo obtusângulo escaleno o ortocentro e o circuncentro situam-se no exterior do triângulo e o
baricentro no interior do triângulo.
8
Construa o Circuncentro de um triângulo [ABC].
Movimente os pontos A, B ou C, para observar que as mediatrizes dos lados do triângulo passam sempre pelo mesmo
ponto I (Circuncentro).
Construa uma circunferência de Centro I e raio [IA]. Movimente um dos pontos A ou B ou C para verificar que a
circunferência é circunscrita ao triângulo. Grave o trabalho com o nome Activ.A4.
Passos:
1. Construa um triângulo [ABC];
2. Construa a mediatriz do lado [AB];
3. Construa a mediatriz do lado [BC];
4. Otenha a intersecção I das duas mediatrizes;
5. Construa a mediatriz do lado [AC].
8
Construa o Incentro de um triângulo [ABC]. Construa a circunferência inscrita nesse triângulo. Movimente os
pontos A, B ou C e observe a circunferência. Grave o trabalho com o nome e Activ.A5.
Procedimentos:
1. Construa um triângulo [ABC];
2. Construa as bissectrizes dos ângulos BCA e ABC;
3. Obtenha a intersecção I das duas bissectrizes (Incentro);
4. “Esconda” as duas bissectrizes;
5. Pelo ponto I trace uma recta perpendicular ao lado [AB] do triângulo;
6. Obtenha a intersecção T da recta anterior com o lado [AB];
7. Construa a circunferência de centro I e raio [IT].
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8
Construa um paralelogramo. Movimente um dos vértices. Verifique que as relações se mantêm.Grave o trabalho com o nome Activ.A6.
8
Teorema de Varignon (Pierre Varignon ( 1654-1722))
1.) Construa um quadrilátero qualquer [ABCD];
2.) Obtenha os pontos médios M, N, P e Q dos lados [AB], [BC], [CD], [DA] respectivamente;
3. ) Construa os segmentos [MN], [NP], [PQ] e [QM];
4.) Movimente um dos pontos A, B, C, ou D;
5.) Qual a natureza do quadrilátero [MNPQ]?
Grave o trabalho com o nome Activ.A7.
8
Teorema de Schooten
1.) Construa um triângulo equilátero [ABC];
2.) Construa a circunferência circunscrita a esse triângulo;
3. ) Considere um ponto P sobre a circunferência;
4.) Construa [PA] , [PB] e [PC] e meça-os;
5.) Movimente P e descubra uma relação entre as PA , PB e PC .
Grave o trabalho com o nome Activ.A8.
8
Recta de Simson
1.) Construa um triângulo qualquer [ABC] ;
2.) Construa a circunferência circunscrita a esse triângulo;
3. ) Por um ponto P sobre a circunferência, construa as projecções ortogonais sobre as rectas suportes dos lados
do triângulo;
4.) Comprove experimentalmente que as projecções ortogonais estão alinhadas. A recta obtida unindo os três
pontos é e recta de Simson. Grave o trabalho com o nome Activ.A9.
8
Um pássaro está sobre um árvore (A) na margem de um rio e pretende deslocar-se para outra árvore (B)
também na margem, (ver s.f.f. o esquema em baixo) aproveitando para beber água sem parar o seu voo.
Determine qual o ponto do rio onde o pássaro deve beber por forma a que o percurso percorrido seja o menor
possível . Grave o trabalho com o nome Activ.A10.
Percurso percorrido pelo pássaro
Árore A
Árore B
M
Rio
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8
Um professor turbo lecciona em três universidades. Qual o melhor lugar para ele comprar casa?Grave o trabalho
com o nome Activ.A11.
8
O João Casanova tenciona mandar construir uma casa num ilha com a forma de um triângulo equilátero. Cada
lado do triângulo é uma praia espectacular: numa delas a ondulação é a ideal para a prática de surf, outra é uma
praia de águas calmas, formidável para nadar e a terceira costuma ser “bem” frequentada.
O João Casanova pretende que a sua casa fique num sítio tal que a soma das distâncias às praias seja a menor
possível. Onde deve o João Casanova mandar construir a Casa?
( Adaptada de Materiais para a aula de Matemática - Educação e Matemática . APM)
Grave o trabalho com o nome Activ.A12.
Procedimentos
1. ) Comece por construir dois “scripts” que permitam obter, respectivamente:
¨ um triângulo equilátero;
¨ o segmento que representa a distância de um ponto a um segmento de recta.
2.) Obtenha uma ilha (com a forma de um triângulo equilátero) e marque a casa (um
ponto) no seu interior. Obtenha as distâncias da casa a cada um dos lados da ilha (incluindo as respectivas medidas).
3.) Desloque ou arraste a casa no interior da ilha ( pode usar a animação) e tente descobrir
o que acontece à soma das três distâncias. Observe em particular, o que acontece quando
coloca a casa num dos lados da ilha ou no vértice.
4.) Recorrendo à calculadora do GSP, some as três distâncias e afixe esse resultado no ecrã.
Calcule também a altura do triângulo e afixe igualmente no ecrã.
5.) Construa uma tabela com cinco células e introduza nelas, sucessivamente, as três distâncias, a respectiva soma e a altura. Desloque outra vez a casa no interior da ilha e, noutra
linha da tabela, introduza o novo conjunto de valores. Repita este procedimento tantas
vezes quanto quiser. Modifique também o lado do triângulo.
6.) Estabeleça uma conjectura sobre o que observou. Já consegue indicar qual é o melhor
sítio para o João Casanova construir a casa?
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8
Oficina de Formação
Construa uma circunferência. Define três pontos A, B e C na circunferência. Construa as
·
·
·
·
^
^
semi-rectas AB , AC , OB e OC . Determine B A C (amplitude do ângulo inscrito) e B O C (amplitude
do ângulo ao centro). Defina o arco de circunferência BC . Determine a amplitude do arco BC . Movimente
um dos pontos A, B ou C . Que pode concluir? Grave o trabalho com o nome Activ.A13.
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C | PASSOS FINAIS
P.7.)
Construção de lugares geométricos (Locus). Elipse, Parábola e Hipérbole.
P.8.)
Construção de um cubo. Secções num cubo.
P.9.)
Representação gráfica de uma função. Família de funções.
P.10.)
Problemas de optimização. Relação funcional entre duas variáveis.
P.11)
Criação de “scripts”
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P.7.
Lugares Geométricos
Exemplo
Considere um ponto B de uma circunferência e um ponto exterior A. Seja P o ponto de intersecção da recta
tangente à circunferência no ponto B e a recta perpendicular à tangente anterior , traçada do ponto A.
Construa o lugar geométrico do ponto P quando B percorre a circunferência.
A) Utilizando o Comando LOCUS
Uma vez desenhados os elementos necessários, circunferência, ponto B, ponto A, recta tangente à circunferência
e recta perpendicular à recta tangente passando pelo ponto A , vamos então passar à construção do lugar geométrico.
Procedimentos:
1. Seleccione o ponto B e depois o ponto P (segundo esta ordem);
2. Seleccione a opção Construct | Locus;
Obtemos desta maneira o lugar geométrico (Caracol de Pascal)
Grave o trabalho com o nome caracol.pascal .
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B) Utilizando os Comandos TRACE e ANIMATION.
Procedimentos:
1. Seleccione o ponto P ;
2. Seleccione o comando Display | Trace Intersection... (Ctrl+T);
3. Seleccione o ponto B (ponto móvel na circunferência) ;
4. Seleccione o comando Edit | Action Buttons | Animation ;
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5. Marque a opção
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por forma a que a animação pare depois de descrever uma “volta” completa.
A opção Speed permite definir a velocidade da animação.
6. Seleccione de seguida a opção Label, para alterar o nome do botão de animação. Escreva s.f.f. :
Animar o ponto B
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6. Dê um clique no botão
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. No ecrã aparecerá o botão
7. Dê um clique sobre o botão
;
; O resultado da animação será o lugar geométrico.
Grave o trabalho com o nome Animacao.caracol .
NOTA:
Apagar o lugar geométrico
– Accione a tecla ESC
ou
– Seleccione o comando Display | Erase Traces (Ctrl + B)
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Construção da Parábola
Considere um ponto F ( foco), uma recta d (directriz) e um ponto P móvel situado na directriz.
Procedimentos:
1. Defina o segmento de recta [FP] ;
2. Determine o seu ponto médio (M) ;
3. Construa a recta r perpendicular ao segmento de recta [FP] e que passa no ponto M ;
4. Construa a recta p perpendicular à directriz e que passa por P ;
5. Determine o ponto de intersecção I das rectas r e p ;
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55
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6. “Esconda” as rectas r e p (seleccione as duas rectas e em seguida Ctrl+H);
7. Construa o segmento de recta [IP] ;
Seleccione os dois pontos e em seguida Ctrl+L. Altere para tracejado; (Seleccione o segmento de recta,
abra o “menu de contexto” e seleccione a opção Dashed. Pode, se quiser alterar a cor).
8. Construa o segmento de recta [IF];
(Repare que o segmento de recta está já a tracejado, pois assumiu “por defeito” a configuração anterior).
9. Seleccione o ponto I e em seguida o ponto P por esta ordem;
10. Seleccione a opção Construct | Locus;
Obtemos finalmente a parábola (Pode alterar o tipo de linha (Thick) e a cor (Azul)).
11. Determine IF e IP ;
12. “Arraste” o ponto P ao longo da directriz. O que verifica?
Grave o trabalho com o nome parabola.
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Construção da Elipse
A) Construção da elipse utilizando o “método do jardineiro”.
Procedimentos:
1. Defina o segmento de recta [AB] correspondente ao eixo maior ( m AB = 10cm . Utilize o comando
Translate);
g
2.Construa noutra zona do desenho AC ;
A
B
A
C
3. Defina um ponto P (móvel) sobre o segmento de recta [AB] ;
4. Defina o segmentode recta [AP] e o segmentode recta [PB] ;
5. Determine AB, AP e PB ;
& o o segmentode recta [AB]; (Utilize uma circunferência de centro A e raio
6. Defina na semi-recta AC
[AB]. “Esconda” a circunferência)
7. Defina o segmento de recta [AB] (Seleccione os pontos A e B e em seguida Ctrl+L);
8. Defina o ponto Médio O do segmento de recta [AB] ; (Este ponto é o centro da elipse);
9. Como não temos o comprimento do eixo menor, podemos situar um dos focos (F1) em qualquer posição
para obter uma das infinitas elipses;
10. Determine o outro foco (F2) (Utilize o comando Translate). Repare que [FO]
= [OF2 ]
1
11. Construa as circunferências com o centro em F1 e raio AP e centro em F2 e raio BP . Determine as
intersecções das duas circunferências ( pontos I e J).
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12. “Esconda” as duas circunferências (Ctrl+H);
13. Seleccione os pontos I e P e em seguida a opção Construct|Locus;
14. Seleccione os pontos J e P e em seguida a opção Construct|Locus;
Obtém-se a elipse
15. Defina o segmento de recta [IF1] e o segmento de recta [IF2]. Determine IF 1 e IF 2 ;
16. Com a calculadora (Alt + Shift + =) determine IF1 + IF 2 . Desloque o ponto P . O que verifica?
Grave o trabalho com o nome elipse.01.
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B) Construção da elipse utilizando o “método das dobragens”.
De um círculo recortado em papel, no qual estão representados o centro C e um outro qualquer B, dobra-se o papel de
modo que o bordo daquele fique sobre o ponto B e de seguido faz-se um vinco. Repete-se esta operação tantas vezes
dependendo da paciência de cada um. Ao fim de algum tempo verificamos que os vincos do papel envolvem uma
elipse, cujos focos são os pontos C e B.
C
B
C
C
B
B
Repare que os vincos são as mediatrizes dos segmentos que se obtêm quando se une B com um ponto arbitrário da
circunferência. Não é difícil construir uma elipse utilizando este processo.
Procedimentos:
1. Construa uma circunferência de centro C;
2. Defina um ponto B no interior da circunferência;
3. Defina um ponto P (móvel) na circunferência anterior;
4. Construa o segmento de recta [BP];
5. Defina a mediatriz do segmento de recta [BP];
6. Seleccione a mediatriz anterior e em seguida a opção Display| Trace perpendicular line (Ctrl+T);
7. Movimento o ponto P ao longo da circunferência. A envolvente será a elipse cujos focos serão os pontros
B e C.
Grave o trabalho com o nome elipse.02.
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Construção da Hipérbole
A)
Procedimentos:
1. Construa um segmento de recta [F1F2] contido numa recta r ;
2. Construa um segmento de recta [AB] ( AB < F1F2 ) contido numa recta s paralela a r ;
3. Seja P um ponto da recta s com P Ï [ AB] . Observe que PA - PB = K ( cons tan te ) (definição
de hipérbole);
4. Construa a circunferência de centro F1 e raio igual m PA e a circunferência de centro F2 e raio igual
mPB . (Não se esqueça que tem de definir os segmentos [PA ] e [PB ] );
5. Determine as intersecções das duas circunferências (pontos I e J );
6. Seleccione o ponto I , depois o ponto P e em seguida seleccione a opção Construct | Locus;
7. Seleccione o ponto J, depois o ponto P e em seguida seleccione a opção Construct | Locus;
Obtemos um dos ramos da hipérbole.
8. Defina o segmento de recta [IF1]. Determine IF1 . Defina o segmento de recta [IF2]. Determine IF 2 ;
9. Com a calculadora do GSP determine
Repare que
IF1 - IF 2
IF1 - IF 2
. Desloque agora o ponto P para a direita.
se mantém constante.
10. Como obter o outro ramo da hipérbole?
Grave o trabalho com o nome hiperbole.01.
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B) Construção da Hipérbole através do processo da envolvente.
Procedimentos:
1. Construa uma circunferência de centro C;
2. Defina um ponto B no exterior da circunferência;
3. Define um ponto P (móvel) na circunferência anterior;
4. Construa o segmento de recta [BP];
5. Defina a mediatriz do segmento de recta [BP];
6. Seleccione a mediatriz anterior e em seguida a opção Display|Trace perpendicular line
(Ctrl+T);
7. Movimento o ponto P ao longo da circunferência. A envolvente será a elipse cujos focos serão os
pontros C e B.
Grave o trabalho com o nome hiperbole.02.
Repare que se o ponto B estiver no interior da circunferência obtemos uma elipse; se o ponto B
estiver no exterior da circunferência obtemos uma hipérbole.
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P.8
A) Construção de um Cubo. B) Secções num cubo
Embora o GSP seja uma ferramenta utilizada para o estudo da geometria no plano é possível também
utilizá-lo para o estudo da geometria no espaço. A título de exemplo, vamos de seguida construir um cubo e
depois definir secções .
A)
Procedimentos:
Vamos utilizar a perspectiva cavaleira ( PC( 300,
50%));
1. Desenhe um segmento de recta [AB] (representa
uma aresta do cubo);
2. Desenhe uma circunferência de centro A e raio [AB];
3. Construa a recta perpendicular p ao segmento de
recta [AB] e que passe no ponto A ;
4. Determine o ponto de intersecção desta recta com a
circunferência ( ponto E) ;
uur
5. Marque o vector AB (seleccione os pontos A e B segundo esta ordem e em seguida seleccione Transfom | Mark Vector) que vai ser utilizado para
fazer a translação do ponto E por forma a obter o vértice F;
7. “Esconda” a circunferência e a recta p (seleccione os objectos e accione Ctrl+H)
8. Defina as arestas [BF], [EF] e [AE]; (para definir p.e. [BF]; seleccione os pontos B e F e accione
Ctrl+L);
9. Definir a aresta [AD]:
– Seleccione o segmento de recta [AB] e em seguida defina o seu ponto médio (M)(Ctrl+M);
– Marque o ponto A como centro de rotação; (dar um duplo clique);
– Seleccione o Ponto M e em seguida defina o ângulo de rotação ( Transform | Rotate...)
igual a 30o ; accione o a tecla Ok. Esconde o ponto M;
– Seleccione os pontos A e D e em seguida defina o segmento de recta ( Ctrl+L), altere o tipo
de linha para tracejado (Display | Line Width | Dashed);
10. Define os vértices C, G e H através de procedimentos já utilizados anteriormente e em seguida
defina as arestas restantes.
Arraste o vértice A ou o vértice B. O que acontece?
Arraste outro vértice qualquer. O que acontece e porquê?
Grave o trabalho com o nome cubo.01.
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B)
B.1) Secção Triangular
Procedimentos:
1. Defina um ponto R na aresta [AB] ;
2. Defina um ponto S na aresta [BG] ;
3. Defina os lados aa secção triangular [RSB] ;
4. Seleccione os três pontos (R, S e G ) e em seguida construa o triângulo (Seleccione os três pontos e depois
Ctrl+P);
5. “Arraste” um dos pontos R ou S.
G
H
S
R
A
B
C
D
A
B
Exercícios:
H
1.)
Construa a secção
definida no cubo pelos os
pontos R, S e T da figura ao
lado. Grave o trabalho com
o nome seccao.cubo.01 .
G
E
F
R
D
T
S
B
A
S
2.) Construa a secção definida no cubo pelos pontos
R, S e T (pontos médios
das respectivas arestas)
da figura ao lado. Grave o
trabalho com o nome
seccao.cubo.02 .
H
C
R
E
G
F
D
C
T
A
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B
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P.9
Representação gráfica de funções
Referencial Cartesiano
Configurações iniciais:
– Seleccione Graph | Grid Form | Square Grid; (Referencial monométrico)
– Seleccione Graph | Snaps Points; (os pontos marcados são “atraídos” para a intersecção das linhas que
definem a “malha”);
A) Definição de um ponto conhecidas as suas coordenadas:
– Seleccione Graph | Grid Form | Square Grid; (Referencial monométrico)
– Seleccione Graph | Snaps Points; (os pontos marcados são “atraídos” para a intersecção das linhas que
definem a “malha”);
– Seleccione Graph | Plot Points ....;
– Na “janela” defina as coordenadas para o ponto; (p. e. (5,4));
– Accione o botão Plot e em seguida o botão Done.
Se quisermos visualizar as coordenadas, a abcissa ou a ordenada:
– Seleccionamos o ponto;
– Seleccionamos Measure | Coordinates (ou Abscissa(x) ou Ordinate (y));
As coordenadas são visíveis no canto superior esquerdo, podendo ser deslocadas para a proximidade do ponto em
causa.
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B) Definição de um ponto no referencial cartesiano:
– Seleccione na caixa de ferramentas o botão
;
– Desloque o “rato” para a área do desenho e dê um clique onde pretende definir o ponto.
Representação gráfica da função y = mx + b
– Seleccione Graph | Plot New Function... (Ctrl+G);
– Na janela digite a expressão designatória que define a função;
– Dê um clique no botão
.
Para “aparecer” y=f(x) junto da representação gráfica, seleccione o botão
um clique sobre a recta representativa da função.
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e em seguida dê
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Declive (slope) e equação de uma recta que passa em dois pontos
– Defina no referencial dois pontos (pontos “fixos”):
A(1,1) e B(3,3) (Graph | Plot Points...);
– Seleccione os dois pontos e defina a recta que passa por estes dois pontos;
(Construct | Line)
– Seleccione a opção Measure | Slope; (A recta deve estar seleccionada)
– Seleccione a opção Measure | Equation; (A recta deve estar seleccionada).
Grave o trabalho com o nome declive.eq.recta.01 .
Exercício
a) Defina a recta r com dois pontos “móveis” ( utilize o botão respectivo da caixa
de ferramentas).
b) Marque o ponto de intersecção B da recta com o eixo dos yy’ (Ordenada na
origem);
c) Defina a equação que define a recta;
d) Defina o seu declive;
e) Defina as coordenadas do ponto B;
f) Arraste um dos pontos. O que verifica.
Grave o trabalho com o nome declive.eq.recta.02 .
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Família de Funções
Vamos estudar a influência dos parâmetros (a, h e k) no gráfico de uma função quadrática do tipo
f ( x) = a( x - h) 2 + k .
Para este efeito é preciso em primeiro lugar definir os parâmetros por forma a que o utilizador ao
animá-los possa observar o que acontece à representação gráfica. Assim é preciso introduzir o conceito de
“slider”.
O que é um “slider”?
É um parâmetro que permite controlar um valor numérico, podendo assumir valores negativos,o valor
zero e valores positivos.
Como construir um “slider”?
– Defina uma recta r;
– Nomeie os dois pontos com as letras A e B;
– Defina um ponto C na recta r compreendido entre A e B;
– Seleccione A, B e C por esta ordem;
– Seleccione Measure | Ratio ...;
– “Esconda” a recta r e o ponto B;
– Construa o segmento de recta [AC];
da caixa de ferramentas ;
– Dê um duplo clique com o botão
– Digite por exemplo m;
– Dê um clique no botão
.
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Como construir um “slider” ( Cont.)
Se agora seleccionar o ponto C e :
– o mover para a esquerda verificará que m assume valores negativos;
– se fizer coincidir o ponto C com A m assume o valor nulo;
– o mover para a direita verificará que m assume valores positivos;
Nota: Pode utilizando a calculadora do GSP alterar para o valor do parâmetro.
Exercício
a) Defina três “sliders” (a, k e h):
b) Defina a função f definida por f ( x) = a( x - h) 2 + k ;
c) Represente-a graficamente;
d) Mova os parâmetros(sliders); que conclusões pode tirar?
e) Grave o trabalho com o nome fam.fquadratica.01
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Exercício
a) Defina três “sliders” (a, b e c):
b) Defina a função f ( f ( x) = a x 2 + bx + c );
c) Represente-a graficamente;
d) Mova os parâmetros(sliders); que conclusões pode tirar?
e) Grave o trabalho com o nome fam.fquadratica.02 .
Exercício
Transformação de funções
a) Defina um “slider” (a):
b) Defina a função f ( f ( x ) = a ( x - 2 )( x - 5 )( x + 1) );
c) Represente-a graficamente;
d) Represente graficamente as seguintes funções:
d1) g( x) = -f ( x) d2) h( x) = f ( - x) d3) q( x) = f ( x)
e) Grave o trabalho com o nome transf. funcoes.
d4) r( x) = f ( x
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)
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Exercício
Função derivada
a) Defina a função f ( x) = 0 ,1( x - 3)( x + 2)( x + 5 ) ;
b) Determine a expressão designatória que define y = f ¢( x) ;
c) Defina um ponto A pertencente ao gráfico de f ;
d) Defina a equação da recta tangente ao gráfico de f no ponto x = x A ;
e) Mova o ponto A. O que representa f’(x) para x=xA .
f) Grave o trabalho com o nome tang.curva.
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P.10
Problemas de optimização
Dependência funcional entre duas variáveis.
Vamos considerar novamento o problema da página 47 (A10).
Vamos resolvê-lo, considerando-o um problema de optimização, uma vez que se pretende conhecer qual a
posição do ponto M por forma a que a distância percorrida pelo pássaro seja mínima.
Percurso percorrido pelo pássaro
Percurso percorrido pelo pássaro
A
Árore AA
Árvore
Árvore
Árore BB
M
Resolução
Rio
d1
B
d2
M
rio
Fig.1
1. Construa o modelo matemático (Fig1) num novo desenho (sketch);
2. Determine AM = d1 e BM = d 2 ;
3. Utilizando a calculadora do GSP determine d1 + d 2 ; ( repare que se mover o ponto M verifica-se uma
alteração em tempo real da distância que o pássaro terá de percorrer);
4. Tabele os dados utilizando uma tabela com d1 , d 2 e d1 + d 2 ; (seleccione d1 , d 2 e d1 + d 2 , por esta
ordem, e em seguida a opção Graph | Tabulate; para definir o número de linhas da tabela (16) utilize
a opção Graph | Add Table Data ; na janela respectiva defina 16 para o número correspondente ao
número de linhas . O tempo (1segundo) permite definir de quanto em quanto tempo se fará a “entrada”
de nova linha na tabela).
5. Da tabela construída pode obter-se a distância mínima ( min(d1 + d 2 ) » 9,399 cm )
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Dependência funcional entre a variável x- d(D, M) e a variável y - (d1 +d2) ;
6. Defina o segmento de recta [DM];
7. Determine m DM (seleccione o segmento de recta e em seguida seleccione a opção Measure | Length;);
8. Seleccione m DM e em seguida d1 + d 2 , por esta ordem e em seguida seleccione a opção Graph | Plot
As (x,y);
9. Poderemos ver no referencial um ponto que se desloca quando se move o ponto M;
10. Seleccione esse ponto e em seguida a opção Display | Trace Point ( Ctrl+T) (deixar “rasto” enquanto
se desloca. Para apagar o “rasto” accione Esc)
11. Mova o ponto M. Verificaremos que o ponto L descreve uma curva que permitirá visulizar o ponto onde
a distância é mínima (mínimo da função).
12. Podemos também definir o lugar geométrico definido pelo ponto L. Assim seleccione em primeiro
lugar o ponto L depois o ponto M, e em seguida Construct| Locus.
13. Grave o trabalho com o nome prob.optimizacao_01.
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Exercício
De todos os rectângulos com igual perímetro (12 cm), qual o de maior área?
Grave o trabalho com o nome per.area.maxima .
Resolução:
1. Defina um segmento de recta de tal forma que AB = 6 ;
2. Sobre [AB] construa um ponto móvel C e em seguida o rectângulo [ACDE], com [CD] congruente com
[CB];
3. Determine os comprimentos de [AB] , [AC] e [CD];
4. Determine o perímetro do rectângulo [ACDE];
5. Determine a área do rectângulo [ACDE];
6. Se deslocarmos o ponto C ao longo de [AB] podemos verificar que o perímetro se mantém constante
enquanto a área varia sendo nula quando C coincide com A e B;
7. Seleccione o ponto A e defina-o como origem do referencial (dê um clique duplo no ponto A e em seguida
seleccione Graph | Define Coordenate System;
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8. Defina em seguida a depêndencia funcional entre o comprimento de [AC] (x) a e a área do rectângulo
[ACDE] (y);
Seleccione m AC (x) e depois Area ACDE (y);
9. Seleccione Graph | Plot (x,y) e em seguida com o ponto M (x,y) seleccionado seleccione o menu de contexto
(clique no botão do lado direito do rato) active a opção Traced Ploted Point (deixar rasto); ou então
seleccione o ponto M(x,y) e depois o ponto C (ponto móvel) segundo esta ordem;
Área Máxima
10. Como se pode verificar do gráfico a área será máxima quando o rectângulo se torna num quadrado.
Exercício
Construa o gráfico que relaciona a variação da área de um quadrado com a
medida do comprimento do lado. Grave o trabalho com o nome var.area.lado .
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P.11
Parâmetro ( New parameter )
A partir da versão 4.0 é possível substituir a criação de “sliders” através da opção New Parameter .... (Shift+Ctrl+p).
Vejamos um exemplo:
Consideremos a equação reduzida da recta y = mx + b .
Através da opção New Parameter.. vamos definir duas variáveis, m (declive) e b (ordenada na origem).
Procedimentos:
— Seleccione o menu Graph e em seguida escolha a opção New parameter... ( Shift+Ctrl+p);
— Altere o nome (name) para m;
o valor inicial (Value) também pode ser alterado.
— Defina b, utilizando o mesmo procedimento;
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— No ecrã , teremos:
— De seguida, vamos definir a função:
- Seleccionamos o menu Graph | Plot New Function (Ctrl+G):
- um clique no parâmetro m;
- um clique no símbolo de multiplicação;
- um clique no símbolo x;
- um clique no símbolo da adição;
- um clique parâmetro b;
- um clique em OK:
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— Para alterar a configuração do parâmetro (m por exemplo):
- Seleccione com um clique o parâmetro;
- Seleccione o menú Edit | Properties... (Shift+Alt+?);
- Seleccione Parameter...
- Pode também , depois de dar um clique no parâmetro a alterar, seleccionar o menú de contexto dando um clique na
botão direito rato e escolher em seguida a opção Properties... .
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- Altere a opção Keyboard(+/-)adjustements de 1,0 para 0,5 (incremento para a variação do parâmetro);
- Pode proceder da mesma maneira para alterar o parâmetro b;
— Accionando a tecla (+) o parâmetro assume sucessivamente valores superiores em 0,5;
— Accionado a tecla (-) o parâmetro assume sucessivamente valores inferiores em 0,5;
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Bibliografia
Key Curriculum Press, The Geometer’s Sketchpad: User Guide and Reference Manual.
Berkeley, CA: Key Curriculum Press, 2001.
Chanan, Erix B. e Dan Bennet, Exploring Algebra.Key Curriculum Press, 2002.
Veloso, Eduardo, Geometria - Temas Actuais, Materiais para Professores, Instituto de
Inovação Educacional
Internet
www.keypress.com/sketchpad/
www.cl-gaia.rcts.pt/matematica/geometer.htm
www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm27/sketchpad.htm
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Teclas de “atalho”
Oficina de Formação
Teclas de “atalho”
4.0
4.0
Prof. Jorge Geraldes’2004
Prof. Jorge Geraldes’2004
. Abrir um um novo “Sketch”
. Ctrl + N
. Abrir um um novo “Sketch”
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. Abrir um um “Sketch” gravado
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. Ctrl + W
. Ctrl + Q
. Ctrl + Q
. Desfazer último comando
. Ctrl + Z
. Desfazer último comando
. Ctrl + Z
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. Refaz o último comando desfeito
. Ctrl + R
. Ctrl + X
. Ctrl + X
. Ctrl + C
. Ctrl + C
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. Ctrl + V
. Del
. Del
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. Ctrl + A
. Ctrl + U
. Ctrl + U
. Ctrl + D
. Ctrl + D
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+?
. Alt+
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. Esconder objectos
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. Mostrar legendas dos objectos
. Ctrl + K
. Mostrar legendas dos objectos
. Ctrl + K
. Ctrl + T
. Ctrl + T
. Ctrl + B
. Ctrl + B
.
.
+Alt+`
+Ctrl+T
. Construir ponto médio
. Ctrl + M
+Alt+`
+Ctrl+T
. Construir ponto médio
. Ctrl + M
. Construir a intersecção de objectos . Ctrl + I
. Construir a intersecção de objectos . Ctrl + I
. Ctrl + L
. Ctrl + L
. Ctrl + P
. Ctrl + P
. Marcar centro de tranf. geométrica .
. Calculadora
.
. Definir novo parâmetro
.
. Nova função
. Ctrl+ F
+?
+ Alt+=
. Marcar centro de tranf. geométrica .
. Calculadora
.
+ Alt+=
+Ctrl+P
. Definir novo parâmetro
.
+Ctrl+P
. Nova função
. Ctrl+ F
+Ctrl+F
+Ctrl+F
. Ctrl + G
. Ctrl + G
. Ctrl + P
. Ctrl + P
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