CAPÍTULO 01 - ÁLGEBRA VETORIAL
1 – VETORES
Algumas grandezas são definidas apenas pelo seu valor ou módulo. Por exemplo, 2h
definem exatamente uma medida de tempo; 80 Kg define a medida de massa de um corpo; 20º
define bem uma temperatura. Essas grandezas são chamadas de grandezas escalares.
Um outro tipo de grandezas exigem além do módulo, uma direção e um sentido para a sua
perfeita identificação. Estas grandezas são chamadas de grandezas vetoriais. Por exemplo: um
avião voa a 400 km/h na direção norte-sul, no sentido norte. Outro exemplo: Fazer uma força de
lKgf sobre uma mesa na direção vertical no sentido de cima para baixo. Representa-se
graficamente uma grandeza vetorial usando um segmento de reta orientado (fig.1) ao qual
chamamos de vetor.
Na figura 1, A é a origem e B a extremidade do vetor.
Para indicar que um elemento é um vetor usamos:
a. uma letra minúscula encimada por uma seta,
b. indicação da origem e extremidade encimada por uma seta,
O módulo do vetor é representado pelo comprimento do segmento. A direção é
definida pela reta suporte do vetor enquanto que o sentido é determinado pela seta.
Indicamos o módulo do vetor por | |.
Observações:
1) Um vetor é livre, isto é, tem por origem qualquer ponto no espaço.
B
A
Fig.2
2) Um vetor é deslizante quando sua origem pertence obrigatoriamente a
uma reta que funciona como reta suporte do mesmo.
r
v
Fig.3
Tipos de Vetores
1) Vetor nulo: é o vetor de comprimento zero. Assim se
com a extremidade.
( A origem coincide
2) Vetor unitário: é o vetor de comprimento 1.
3) Vetor oposto: o vetor oposto do vetor
é o vetor
. O vetor oposto
possui mesmo comprimento, mesma direção, mas sentido contrário ao de .
v
-v
Fig.4
4) Vetores colineares ou paralelos: São vetores que possuem mesma direção e
indica-se por
u // v // w .
v
u
w
Fig.5
5) Vetores iguais: dois vetores
que possuem o mesmo comprimento, mesma
direção e mesmo sentido e indica-se por
.
6) Vetores Coplanares: dois ou mais vetores são coplanares se existir algum plano
onde estes vetores estão representados,
u
P
v
Fig.6
7) Obs.Dois vetores são sempre coplanares. Três vetores são não coplanares
quando dois deles formam um plano (são não paralelos) e o terceiro vetor tem
um único ponto comum com esse plano.
8) Vetores ortogonais (perpendiculares) : são dois vetores que formam entre si
um ângulo reto.
u
u
v
v
Fig.7
9) Versor de um vetor
não nulo é o vetor unitário de mesma direção e mesmo
sentido de . Por exemplo, consideremos o vetor de módulo 3. Os vetores
e
são vetores unitários. No entanto, o vetor
tem a mesma direção e o
mesmo sentido de . Dizemos que
é o versor de .
v
u1
u2
Fig.8
Multiplicação de Número Real por Vetor.
Dado um vetor v
pelo vetor v , o vetor
.1)
tem
0 e um número real
tal que
=
0, chama-se produto do número real
v tal que:
vezes o tamanho de .
2) Se
< 0,
tem sentido contrário ao de
3) Se
> 0,
tem mesmo sentido de
.
.
Exemplos:
v
,
,
>0
< 0,
Observação: A cada vetor v , v
0, é possível associar dois vetores unitários
paralelos a v . O vetor unitário -
v
v
é
v
é o versor de v .
v
Exemplo: Se v = 3, o versor de v é
v
3
ou
v
v
de mesmo sentido de v . O Vetor
Sejam v e u
R3 e m e n
seguintes propriedades:
R, o produto do número real por vetor admite as
I)
Comutativa: m . v = v . m
II)
Associativa: m . (n. v ) = (m . n). v
III)
Distributiva: (m + n). v = m . v + n. v
EXERCÍCIOS
1)A figura abaixo é constituída de nove quadrados congruentes (de mesmo tamanho). Decidir se é
verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações:
p) | AC | | FP |
a)AB
OF
f )AO
MG
k )AB
EG
b)AM
PH
g)KN
FI
l)AM
BL
c )BC
OP
h)AC // HI
m)PE
EC
r ) | AJ | | AC |
s) AO
q) IF
MF
d)BL
MC
i)JO // LD
n)PN
NB
e)DE
ED
j)AJ // FG
o)PN
AM
b)V
c)F
d)V
e)V
f)V
g)F
h)V
i)F
j)V
l)V
m)F
n)V
o)V
p)V
q)V
r)F
s)V
t)V
RESP: a)V
k)V
2 NP
t ) | AM | | BL |
2) A figura a baixo representa um paralelepípedo retângulo. Decidir se é verdadeira ou falsa cada
uma das afirmações abaixo:
i) AB, FG e EG são coplanares
a)DH BF
e) AC
b)AB
f ) | AG | | DF |
HG
HF
c )AB
CG
g ) BG // ED
d)AF
BC
h) AB, BC e CG são coplanares
  
j ) EG, CB e HF são coplanares
k)AC,DB e FG são coplanares
l)AB,BG e CF são coplanares
m)AB,DC e CF são coplanares
n) AE é ortogonal ao plano ABC
o)AB é ortogonal ao plano BCG
RESP: a)V
k)V
b)F
l)F
c) V
m)V
p) DC é paralelo ao plano HEF.
d)V
n)V
o)V
e)V
f)V
g)F
h)F
i)V
j)V
p)V
3) A figura abaixo representa um losango EFGH inscrito no retângulo ABCD, sendo O, o ponto de
interseção das diagonais desse losango. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das
afirmações:
a )EO
b )AF
f )H E
O C
g) AC
BD
h) OA
1
DB
2
OG
CH
c )DO HG
d) C O
O B
e) H O
H D
k )AO // OC
l)AB
i)AF // CD
j)GF // HG
RESP: a)V
b)F
i)V
c)V
j)F
m)EO
CB
n)AO
HF
o)OB
FE
e)F
f)F
d)V
k)V
OH
l)V
m)V
g)V
n)F
h)V
o)V
4)Com base na figura do exercício1, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no
ponto A:
a)AC CN
e)AC EO
i)MO NP
b)AB BD
f )AM BL
j)BC CB
c )AC DC
g)AK
AN
k )LP PN NF
d)AC AK
h)AO OE
l)BL BN PB
RESP: a) AN
g) AH
b) AD
h) AI
c) AB
d) AO
e) AM
f) AK
i) AC
j) AC
k) AE
l) 0
5)Com base na figura do exercício 2, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no
ponto A:
a)AB CG
d)EG BC
b)BC DE
e)CG EH
c )BF EH
f )EF FB
g)AB AD AE
h)EG DA FH
RESP: a)AF
b)AE
c )AH
d)AB
e)AH
f )AF
g)AG
h)AD
6) Com base na figura do exercício 3, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem
no ponto A:
a)OC
CH
d)EH EF
b)EH FG
c )2AE 2AF
e)EO BG
1
g) BC EH
2
i)OG HO
f )2OE 2OC
h)FE FG
j)AF FO AO
RESP: a)AE b)AC c) AC
d)AB e)AO f )AD
g)AH h)AD i)AO j)AC
7)Determine as somas que se pedem:
a)AD CD DH GC HB AG
b)ED DB BF
c )BF BG BC
d)HE EF FG BG BH
e)AE EF FG GC
RESP: a)AC b)EF c)2BG d)2BG e)AC .
Vetores no espaço ( R3)
No espaço, consideraremos a base canônica { i , j , k } como aquela que irá
determinar o sistema cartesiano ortogonal Oxyz.
Onde:
i
(1,0,0)
j
(0,1,0)
w (0,0.1) são três vetores unitários e simultaneamente perpendiculares
entre si.
O eixo Ox (eixo das abscissas) corresponde ao vetor i
O eixo Oy (eixo das ordenadas) corresponde ao vetor j
O eixo Oz (eixo das cotas) corresponde ao vetor k
Assim, a cada ponto P(x, y, z) do espaço irá corresponder o vetor
OP = x i
y j z k , isto é, as próprias coordenadas x, y e z do ponto P são as
componentes do vetor OP na base canônica.
Exemplo: Representar o vetor v = OP , onde v =(3, 2, 4)
O vetor v = x i
y j z k , também será expresso por v = (x, y, z)
8)A figura abaixo representa um paralelepípedo retângulo de arestas paralelas aos eixos
coordenados e de medidas 2,1 e 3. Determinar as coordenadas dos vértices deste sólido,
sabendo que A (2, –1,2).
RESP: B(2, –3,2), C(3, –3,2) , D(3, –1,2), E(3, –1,5), F(2, –1,5), G(2, –3,5) e H(3, –3,5)
Definições:
i) Soma de vetores
Definimos a soma dos vetores u
u v
( x1
x2 , y1
y 2 , z1
( x1 , y1 , z1 ) e v
( x2 , y 2 , z 2 ) , como sendo:
z2 )
ii) Vetores iguais
Dois vetores u
( x1 , y1 , z1 ) e v
( x2 , y 2 , z 2 ) são iguais se, e somente se:
x1 = x2, y1 = y2 e z1 = z2.
Exemplo: Determinar x,y e z para que se tenha (2-x,3+y, 3z-2) = (5,2,4)
iii) Produto de um escalar por vetor
Dado o vetor u
u
( x1 , y1 , z1 ) e
( x1 , y1 , z1 )
R, define-se produto por um escalar, como sendo:
iv) Vetores representados fora da origem
Se A(x1, y1, z1) e B(x2, y2, z2) são dois pontos quaisquer no espaço, então:
AB B
A ( x2
x1 , y 2
y1 , z 2
z1 )
v) Paralelismo de Vetores
Se os vetores u
u
( x1 , y1 , z1 ) e v
x1
x2
k v ou
y1
y2
( x2 , y 2 , z 2 ) são paralelos, então:
z1
z2
k
Exemplo
Observe que o vetor
tem a mesma direção que o vetor
e o vetor
tem sentido
contrário ao sentido de de .
Obs. Se uma das coordenadas for ,igual a zero, a coordenada correspondente do outro
vetor também será igual a zero.
vi) Módulo de um vetor
O módulo do vetor v =(x, y, z) é dado por:
v ou v
v ou v
x2
x2
y2
y 2 , se
Calcular os módulos de ,
de
z 2 , se
é um vetor do espaço ou
é um vetor do plano
e 3 . Observe que o módulo de
é a metade do módulo
e o módulo de -3 é o triplo do módulo de .
vii) Combinação linear de vetores
Dizemos que um vetor
é combinação linear de n vetores
.
se
Exemplo: (10,13,16) = 2(1,2,3) – 2(2,3,4) + 3(4,5,6), logo, o primeiro vetor é combinação
linear dos outros três.
ix) Vetores coplanares
Dois vetores são sempre coplanares (podem ser colineares ou não colineares). Três
vetores
, dois a dois não colineares, são coplanares se um deles for combinação
linear dos outros dois, ou seja,
Observação:
:
são coplanares, então
x) Combinação linear de 4 vetoresSejam três vetores
do espaço tridimensional, não nulos e não coplanares.
Qualquer vetor
pode ser expresso como combinação linear de ,
e
:
EXERCÍCIOS
9) Determine x para que se tenha
D(2x,x+6).
, sendo A (x,1), B(4,x+3), C(x,x+2) e
RESP: x=2
10) Determinar x, sabendo-se paralelos 0s vetores:
a)
= (1,3,10) e
b)
= (0,2,x) e
a)
=
= (-2,x,-20)
= (0,3,6)
e
11) Sendo A,B,C e D vértices consecutivos de um paralelogramo, calcular as
coordenadas do vértice D.
Dados: A(1,3), B(5,11) e C(6,15)
RESP: D(2,7)
12) Provar que os pontos A(3,1,5), B(2,0,1) e C(4,2,9) são colineares.
Sugestão: os vetores C-A e B-A devem ser paralelos.
13) Escreva o vetor (7,–1), como a soma de dois vetores, um paralelo ao vetor (1,–1) e
outro paralelo ao vetor (1,1).
RESP: x = 3 e y = 4
14) Dados A(–1,–1) e B(3,5), determinar C, tal que: a)
RESP: a) x = 1 e y = 2
b)x =
b)
.
e y =3
15)Sendo A(1, –1,3) e B(3,1,5), até que ponto se deve prolongar o segmento AB, no
sentido de A para B, para que seu comprimento quadruplique de valor?
RESP: (9,7,11)
16) Sendo A(–2,1,3) e B(6, –7,1) extremidades de um segmento, determinar:
a)os pontos C , D e E, nesta ordem, que dividem o segmento AB em quatro partes de
mesmo comprimento;
b) os pontos F e G, nesta ordem que dividem o segmento AB em três partes de
mesmo comprimento.
RESP:

17)Dadas as coordenadas, x=4, y=–12, de um vetor v do ³, calcular sua terceira

v = 13.
coordenada z, de maneira que
RESP: z= 3
18)Sejam os pontos M(1, 2, 2) e P(0, 1,2), determine um vetor
colinear à
e tal que
.
1
v
6
RESP:
,
19)Achar um vetor
1
6
,
4
6
de módulo igual a 4 e de mesmo sentido que o vetor
. RESP:
20) Sejam
.Determine um versor dos vetores
abaixo: a)
RESP:
21) Determine um vetor da mesma direção de
e que:
a) tenha norma (módulo) igual a 9;
b) seja o versor de ;
c) tenha módulo igual a metade de ;
RESP:
22) Num paralelogramo ABCD sabe-se que A (1,3,–2) e que as diagonais são
.Calcule as coordenadas dos outros três vértices.
RESP: C(5,5,–5) ,B( 4,4,–4) e D( 2,4,–3)
23)Sabendo que A(1, 1), B(5,1) e C(6,4) são vértices de um paralelogramo,determinar o
quarto vértices de cada um dos três paralelogramos possíveis de serem formados.
Produto Escalar
Definição 1: Sejam os vetores
. O produto escalar entre esses vetores, denotado por
, é um número real determinado por
,
onde q é o ângulo entre
Definição2:Se
.
, então
Propriedades
1)
se, e somente se, um deles for o vetor nulo ou se
).
2) Comutativa:
são ortogonais
3)
4)
5)
6)
, pois o primeiro membro é um vetor paralelo a
membro é um vetor paralelo a
Exemplo (1): Sejam
(-2,3,8),
(0,2,-1) e
e o segundo
(1,-2,1)
a) Determine
b) Os vetores
são ortogonais?
Solução: a)
20
3 2
8 (-1)
b) Para que os vetores
0
6 -8
2 =>
2
sejam ortogonais é necessário que
0
De fato,
2 1 3 (-2)
81
2 -6
8
0
Interpretação geométrica do produto escalar
À projeção de
cosθ =
sobre , denominaremos x
=> x
dos vetores
..
=>
=> x
, ou seja, o produto escalar
é igual ao produto da projeção do vetor
sobre o vetor
pelo vetor .


24) Sendo u = ( 2,3,1) e v = ( 1,4, 5) . Calcular:
 
a) u v
 
b) ( u – v )²


c)( u + v )2


d) (3 u – 2 v )2
RESP: a) 19






e) (2 u -3 v ) ( u +2 v )
b) 18


c)94
d)66 e) –205
25)Sendo a =(2,–1,1), b =(1,–2,–2) e c =(1,1,–1). Calcular um vetor v =(x,y,z), tal que
 
 
v b = –9 e v c = 5.

 
v a = 4,

RESP: v =(3,4,2)

 


26)Sejam os vetores a =(1,–m,–3), b =(m+3,4–m,1)e c =(m,–2,7).Determinar m para que a b =( a


+b ) c .
RESP: m=2
27) Determinar a, de modo que o ângulo  do triângulo ABC, seja 600. Dados: A(1,0,2), B(3,1,3) e
C(a+1,–2,3).
13
5
RESP: –1 ou
28) Dados os pontos A (4,0,1), B(5,1,3) C(3,2,5) e D(2,1,3). Determine:
a) se eles foram alguma figura. Em caso afirmativo, qual?
b) O ângulo entre as retas paralelas aos vetores BD e AC .
RESP: a) Paralelogramo b)


1
102036 44, 22 .
21
arccos


29) Os vetores u e v formam um ângulo de 600. Sabe-se que u =8 e v =5, calcule:
 
 
a) u + v
b) u – v
c)




2 u +3 v
d) 4 u – 5 v
RESP: a) 129 b)7 c) 721


d) 849

a = 3 e que
30) Os vetores a e b formam um ângulo de 1500, sabe-se que

b = 2,
Calcule:
 
a) a + b
 
RESP: a) 5 3 2


b) a – b
b) 5 3 2


c) 3 a +2 b
d) 5 a – 4 b
35 18 2
c)



d) 107

60 2
 


31)Determinar o valor de x para que os vetores v 1 = x i –2 j +3 k e v 2 =2 i – j +2 k , sejam
ortogonais.
RESP: x=–4


32)Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores a =(2,6,–1) e b =(0,–2,1).

RESP: c


   
2 1 2
 , ,
3 3 3

33)Dados a =(2,1,–3) e b =(1,–2,1), determinar o vetor v a , v b e v =5.

RESP: v


5 3
1, 1, 1
3

34)Dados dois vetores a =(3,–1,5) e b =(1,2,–3), achar um vetor x , sabendo-se que ele é
 
 
perpendicular ao eixo OZ , e que verifica as seguintes relações: x a =9, e x b =–4.
MULTIPLICAÇÃO VETORIAL OU EXTERNA
Sendo
o vetor onde se encontra a perna direita do boneco,
o vetor que passa pela cabeça, dizemos que
o vetor da perna esquerda e
nesta ordem formam um triedro
positivo.
Definição: Definimos o produto vetorial ou externo de
ao vetor
com as seguintes
características:
I)
Módulo:
, onde
II)
Direção: Perpendicular ao plano que contém
III)
é o ângulo entre
.
formam um triedro positivo.
Expressão cartesiana do Produto Vetorial: Sendo
,
Propriedades
1.
qualquer se seja .
2.
×
= , qualquer se seja
3.
×
=-
×
(propriedade anti-comutativa)
Por isso, dados
é umtriedro positivo e
é um
triedro negativo
4. (~u + ~v) × ~w = ~u × ~w + ~v × ~w (propriedade distributiva em rela¸c˜ao
`a soma)
5. (λ~u) × ~v = ~u × (λ~v) = λ(~u × ~v) (propriedade linear em rela¸c˜ao `a
multiplica¸c˜ao por escalar).
6. ~u (~u × ~v) = 0 e ~v (~u × ~v) = 0.
7. Se ~u e ~v s˜ao unit´arios e ortogonais, ent˜ao {~u,~v, ~u × ~v} ´e base
ortonormal positiva.
Exercícios



35) Dados os vetores u =( –1,3,2), v =(1,5,–2) e w =(-7,3,1). Calcule as coordenadas dos vetores:
 
 
 

b) v w
a) u v

d) ( v u ) w
RESP: a)(–16,0,8)
f)(–3,–13,18)
 
 
e)( u + v ) ( u + w )
b)(11,13,38)


c) v ( u w )
c)(64,–12,2)



f) ( u – w ) w
d)( 24, 72,48)
e)(24,0,64)



36)Determinar o vetor x , paralelo ao vetor ao vetor w =(2,–3,0) e tal que x


u = v , onde u =(1,–

RESP: x =(4.–6,0)
1,0) e v =(0,0,2).

37) Determinar o vetor v , sabendo que ele é ortogonal ao vetor a =(2, 3,1) e ao vetor b
=(1, 2,3) e que satisfaz a seguinte condição; v (i 2 j 7k )
10 . RESP: v
38)Determinar v , tal que v seja ortogonal ao eixo dos y e que u
w
(2, 1,1) .
7,5,1
v w ,sendo u
(1,1, 1) e
RESP: v =(1,0,1)





39) Dados os vetores v1=(0,1, 1), v 2 =(2,0,0) e v 3 =(0,2, 3).Determine um vetor v , tal que v //

  

RESP: v =(0,4, 6)
v 3 e v v1= v 2 .


40)Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores v 1 =(–1,–1,0) e v 2 =(0,–1–1).
RESP:




1
3
1, 1,1


41) Ache u tal que u = 3 3 e u é ortogonal a v =(2,3, 1) e a w =(2, 4,6). Dos u encontrados,
RESP: u
qual forma ângulo agudo com o vetor (1,0,0).


3, 3, 3


42)São dados os vetores v 1 = (1,1,1), v 2 =(–1,2,3) e v 3 =(26,6,8). Decompor o vetor v 3 em dois



vetores x e y ortogonais entre si, sendo x simultaneamente ortogonal a




v1 e a v 2 .
RESP: x =(1,–4,3) e y =(25,10,5)



43) Dado o vetor v 1 =(3,0, 1).Determine o vetor v =(x,y,z), sabendo-se que v é ortogonal ao eixo
OX, que
 
v v1
 
= 6 14 , e que v v 1 = 4. RESP: