Aula 4
Rumo à mecânica quântica, via fótons
polarizados
4.1
Resumo
Nesta aula iniciamos a exploração do mundo quântico, através da observação do que ocorre nos experimentos envolvendo a polarização da luz quando reduzimos a intensidade dos feixes luminosos. Veremos como
os resultados experimentais nos forçam a uma mudança radical no modo de interpretar as equações que
descrevem o nosso sistema.
Bibliograa: Uma discussão semelhante a esta aula pode ser encontrada no livro de French e Taylor,
cap. 7. Outra referência, infelizmente não disponível na biblioteca, é J. Townsend,
to Quantum Mechanics, cap.
4.2
A modern introduction
1.
Falha da teoria clássica da luz
A teoria que vimos na aula passada funciona admiravelmente bem para descrever experiências envolvendo luz
polarizada
sucientemente intensa.
Dada uma fonte produzindo luz com características iniciais (polarização,
intensidade e fase) conhecidas, podemos usar a nossa teoria para entender o que ocorre quando ela atravesse
ltros, divisores de feixe, e outros componentes óticos. Um exemplo é a Lei de Malus deduzida acima para
ltros polarizadores lineares.
Entretanto, se diminuímos sucientemente a intensidade da luz, ocorre algo totalmente imprevisto pela
18
4.2.
FALHA DA TEORIA CLÁSSICA DA LUZ
19
teoria. Imagine que à frente da nossa fonte haja uma câmera muito sensível. Segundo a eq. (2.9), ela deverá
1
medir uma uxo contínuo e constante de energia , sobre toda a sua objetiva.
Suponha então que diminuamos a intensidade progressivamente (por exemplo, colocando uma série de
ltros absorventes entre a fonte e a câmera). A partir de certo ponto, começamos a perceber que o uxo
de energia detectado pela câmera
não é mais constante
- ela passa a chegar de forma intermitente, em
pacotes localizados no tempo e no espaço. Em outras palavras, a luz revela uma natureza
se fosse formada por partículas (às quais chamamos
de freqüência angular
ω,
observa-se que cada fóton
fótons ).
granular,
como
Ainda, para uma dada fonte monocromática
sempre carrega a mesma quantidade de energia ( ~ω ).
Assim, ao baixarmos a intensidade (energia/segundo) da luz, os fótons vão chegando de forma cada vez mais
intermitente- até que, por exemplo, podemos observar somente um fóton atingindo a câmera a cada segundo.
Podemos nos referir a essa situação como o
regime de fótons individuais .
A existência e o comportamento dos fótons obviamente não é explicada pela teoria clássica do eletromagnetismo, na qual a luz é uma onda. No entanto, essa teoria não pode estar completamente errada: ela prevê
uma série de fenômenos característicos de ondas, como difração e interferência, os quais são de fato observados em feixes sucientemente intensos! Nos deparamos assim com um enigma semelhante àquele que já
encontramos na experiência de fenda dupla com elétrons: como conciliar esses dois aspectos, aparentemente
contraditórios, da luz?
A resposta mais completa a essa pergunta é a teoria conhecida como Eletrodinâmica Quântica (ou EDQ),
desenvolvida em meados do século XX por Feynman, Schwinger, Tomonaga, Dyson e outros. Essa teoria
permite entender em grande detalhe todos os aspectos da luz (e todos os demais fenômenos eletromagnéticos).
Na situação acima, por exemplo, ela explica completamente a distribuição espacial e temporal com que os
fótons são detectados. Trata-se de fato da teoria física mais precisa já criada pela Humanidade, tendo sido
comprovada em experiências com margens de erro melhores do que uma parte em
1015 !
2
Uma discussão completa da EDQ está, evidentemente, acima do nível do presente curso . Felizmente,
porém, ela não é necessária para nós, pois nosso interesse aqui é mais especíco: queremos apenas compreender como a luz concilia seus aspectos de onda e partícula. Veremos a seguir que é possível alcançar
essa compreensão discutindo apenas um
aspecto
da luz - suas propriedades de polarização. De fato, ao ob-
servar o comportamento de um fóton polarizado, obtém-se a chave para entender os princípios fundamentais
1 Desprezamos
aqui a oscilação deste uxo ao longo de um período T de oscilação da onda, a qual em geral é imperceptível
na escala de tempo experimental - Por exemplo, para o caso de luz visível, T = 2π
' 10−15 s!)
ω
2 Uma introdução à EDQ em um nível acessível a alunos de início de graduação (ou mesmo de segundo grau!) é o magistral
livrinho de Richard Feynman, `QED: The Strange Theory of Light and Matter', que deveria ser leitura obrigatória para qualquer
físico.
20
AULA 4.
RUMO À MECÂNICA QUÂNTICA, VIA FÓTONS POLARIZADOS
da mecânica quântica - os quais, até onde sabemos, são válidos universalmente, seja para luz, matéria, ou
qualquer outro sistema físico!
4.3
Experiências de pensamento com fótons polarizados
Albert Einstein gostava de discutir as teorias da física moderna, como a mecânica quântica ou a relatividade,
usando o que ele chamava em alemão de
gedankenexperiments, ou experiências de pensamento.
Trata-se da
prática de imaginar cenários experimentais idealizados, nos quais aspectos especícos de uma teoria podem
ser isolados e analisados cuidadosamente.
Nesta seção vamos adotar essa losoa, propondo e analisando uma série de situações envolvendo fótons
polarizados. Como indicamos acima, não vamos nos preocupar em entender a existência dos fótons (a qual
vamos tomar como um dado experimental), nem como eles se distribuem no espaço e no tempo.
objetivo é apenas o seguinte: queremos construir uma noção consistente para a
fóton.
Nosso
polarização de um único
Essa teoria deve ser capaz de descrever o que acontece quando manipulamos e medimos a polarização
de feixes luminosos no regime de fótons individuais.
É importante lembrar que, assim como ocorreu quando discutimos a experiência de fenda dupla, não é
possível adivinhar de antemão o que ocorre com os fótons simplesmente nos baseando na experiência familiar
com feixes de luz polarizada. É preciso
ver o que acontece experimentalmente , e então tirar as conclusões.
4.3.1 Experiência 1: Polarizadores repetidos
Figure 4.1:
polarizador
Experiência I: Todos os fótons que atravessam o polarizador
Pf
do mesmo tipo
Pi
também atravessam outro
4.3.
EXPERIÊNCIAS DE PENSAMENTO COM FÓTONS POLARIZADOS
21
Antes de mais nada: como sabemos que fótons individuais têm polarização? Considere a situação da g.
4.1. Já vimos que um feixe luminoso intenso já polarizado não sofre qualquer atenuação na sua intensidade
quando passa por um segundo polarizador do mesmo tipo. Esse comportamento independe da intensidade
do feixe, e, experimentalmente,
não se altera
mesmo quando atenuamos o feixe até o regime de fótons
individuais. Em outras palavras se, após passar o polarizador
Pi ,
o nosso feixe tem um uxo de um fóton
por segundo, então continuamos detectando um fóton por segundo após o polarizador
ter fótons polarizados com cada polarização
O que
signica,
|P (θ, φ)i
Podemos assim
permitida pela eq. (2.33).
porém, essa polarização de um fóton?
clássica, associando-a ao campo elétrico de uma
Pf .
Será que podemos continuar, como na teoria
onda, usando a eq.
(2.8)?
4.3.2 Experiência 2: Dois polarizadores distintos
Para tentar responder a essa pergunta, vamos modicar um pouco a experiência anterior, usando agora
polarizadores
Figure 4.2:
Pi
e
Pf distintos
(g. 4.2).
Experiência II: Cada fóton que atravessa o polarizador
atravessar um segundo polarizador
Por exemplo, suponha que
orientado a um ângulo
θ
Pi
Pf
cos2 θ.
tem uma
probabilidade p
xa de
de outro tipo, dada pela eq. (4.1).
seja um polarizador linear vertical, e
Pf
um outro polarizador linear,
com respeito à vertical. Vimos que, de acordo com a física clássica, nessa situação
um feixe de luz obedece à `Lei de Malus': o campo transmitido em
fator
Pi
Vimos ainda que, se usarmos em
Pf
Pf
tem intensidade reduzida por um
um divisor de feixes polarizador (DFP) ao invés de um
polarizador simples, a onda de luz se divide em duas - uma transmitida e outra reetida - sendo que esta
última tem intensidade reduzida por um fator
sen2 θ.
Entretanto, se fazemos esta experiência com um feixe contendo um
único fóton, vemos algo bem diferente:
22
AULA 4.
RUMO À MECÂNICA QUÂNTICA, VIA FÓTONS POLARIZADOS
algumas vezes ele atravessa o
ao invés do fóton se dividir em dois menos intensos, o que ocorre é que
polarizador, e em outras ele é reetido .
Mais precisamente: se repetimos a experiência muitas vezes, usando
sempre a mesma fonte e detectando os fótons um a um, vemos que uma
total de fótons atravessa o polarizador, enquanto que os demais
sen2 θ
fração
de aproximadamente
cos2 θ do
são desviados, sem que haja qualquer
motivo aparente para um ou outro resultado ocorrer. Em outras palavras, os fótons parecem se comportar
de forma
probabilística,
como moedas em um cara-ou-coroa. Cada fóton tem probabilidade
conseguir atravessar o polarizador, e
sen2 θ = 1 − p
p = cos2 θ
de
de não conseguir. (Note que a analogia com uma moeda
comum (com 50% de chance para cara ou coroa) vale só quando
θ = ±45◦ .
Os demais casos lembram uma
moeda `viciada').
A mesma experiência pode é claro ser feita usando polarizadores
poderíamos escolher
|P i.
Pi
transparente à polarização linear a
◦
θ = ±45
, e
Pi , Pf de qualquer tipo
Pf
transparente à polarização circular
O resultado que efetivamente ocorre é o seguinte: após ter sido polarizado em
o segundo polarizador
Pf
(por exemplo,
Pi ,
um fóton atravessa
com probabilidade
p = | hPf |Pi i |2
(4.1)
Repare que esse comportamento dos fótons individuais é perfeitamente consistente com aquilo que ocorre no
regime clássico. Quando um feixe de luz contendo bilhões e bilhões de fótons polarizados com polarização
|Pi i
incide sobre um polarizador
Pf ,
apenas uma fração
p
deles consegue atravessar. Como a intensidade de
um feixe é proporcional ao número de fótons por segundo, tudo o que observamos é o efeito descrito na eq.
(3.7). Em outras palavras, o comportamento macroscópico descrito pela física clássica é na verdade o efeito
agregado das escolhas probabilísticas feitas independentemente por cada um dos fótons!
Os resultados dessas experiências não respondem porém a uma pergunta simples, mas fundamental:
anal,
de onde vêm essas probabilidades? .
Ou, em outras palavras, o que faz cada fóton `escolher' ser
transmitido ou não no polarizador?
Essa pergunta aparentemente inocente esconde um mistério profundo, pois a resposta é:
ninguém sabe !
Até hoje, ninguém foi capaz de encontrar uma explicação - hoje em dia muitos físicos consideram que
faz sentido
não
pedir uma explicação. Para entender por que isso é tão difícil, vamos tentar formular hipóteses
sobre o que está acontecendo, e então testá-las através de novas experiências.
4.3.3 Experiência 3: Três Polarizadores
Antes da mais nada, vamos fazer uma pausa para lembrar como é que probabilidades costumam aparecer
em física. Por exemplo, o que queremos dizer quando armamos que uma moeda tem 50% de chance de
4.3.
EXPERIÊNCIAS DE PENSAMENTO COM FÓTONS POLARIZADOS
23
dar cara ou coroa, ou um dado tem 1/6 de chance de cair com cada face para cima? Recorde que as leis
de movimento (Leis de Newton) da mecânica clássica são
determinísticas.
Se soubermos a condição inicial
(posição e velocidade) de uma partícula, bem como as forças que atuam sobre elas, em princípio podemos
resolver a equação de movimento e encontrar a posição em qualquer instante. No caso de corpos rígidos,
como moedas e dados, precisamos conhecer ainda a velocidade angular inicial, bem como os torques que agem
sobre o corpo, mas o princípio é o mesmo. Em teoria, é possível
Na prática, é claro, isso não é possível, pois simplesmente
calcular
o resultado de um cara-ou-coroa.
não conhecemos
essas posições, velocidades e
forças com a precisão necessária. No caso de um cara-ou-coroa, mudanças muito pequenas nessas condições
podem levar a resultados nais muito diferentes, e assim acabamos sem poder prever o que de fato ocorre. A
lição é clara: pelo menos na física clássica, probabilidades surgem
sobre as condições precisas do sistema .
ou coroa, a
moeda
como uma expressão da nossa ignorância
Dito de outra forma, embora nós podemos não saber se vai dar cara
sabe perfeitamente.
Voltemos agora aos nossos fótons polarizados.
Baseado no que acabamos de discutir, uma hipótese
plausível para explicar seu comportamento probabilístico é a seguinte:
Hipótese I: de alguma forma, cada fóton carregaria um conjunto de instruções (determinísticas) sobre
o que fazer ao se deparar com um polarizador de cada tipo. Por exemplo: as instruções para um dado fóton
poderiam especicar que ele deverá atravessar polarizadores verticais, mas não atravessar polarizadores
circulares à direita, etc. Essas instruções variariam de fóton para fóton dentro de um mesmo feixe luminoso,
de tal forma que nós, que não temos acesso a elas, veríamos apenas um efeito probabilístico.
Figure 4.3: Experiência III: Os polarizadores
enquanto que
por
P1
P2
P1
e
P3
são transparentes a fótons verticalmente polarizados,
é transparente a fótons polarizados linearmente a
conseguem atravessar os outros dois polarizadores
45◦ .
Apenas 25% dos fótons que passam
24
AULA 4.
RUMO À MECÂNICA QUÂNTICA, VIA FÓTONS POLARIZADOS
Podemos testar essa hipótese com a seguinte experiência (g 4.3):
colocamos
três polarizadores em
|V i = |P (π/2, 0)i,
seqüência, sendo o primeiro ( P1 ) e o último (P3 ) transparentes à polarização vertical
segundo à polarização linear a
em
P1
seja atenuado em
45◦ .
e o
Classicamente, a Lei de Malus (eq. (3.8)) prevê que o feixe polarizado
50% ao passar por P2 , e por novos 50% ao passar por P3 , de modo que a intensidade
do feixe transmitido se reduz a
25%
da original.
O que esperamos que ocorra no regime de fótons individuais? Pelo que vimos na Experiência 2, cada um
dos fótons que atravessam
estiver certa,
todos
P1
tem 50% de chance de atravessar também
os fótons que atravessarem
verticais) deveriam também atravessar
P3 .
P1
P2 .
Se a hipótese levantada acima
(i.e., que tenham instruções para atravessar polarizadores
Assim, esta hipótese prevê que a chance de um fóton atravessar
os 3 polarizadores é de 50%.
Na realidade, porém, não é isto que ocorre. Verica-se que
e depois
P2
consegue também atravessar
P3
apenas metade
dos fótons que atravessam
- ou seja, um dado fóton polarizado por
P1
P1
tem apenas 25% de
chance de atravessar os 2 outros polarizadores (como tem de ser, aliás, para ser consistente com o resultado
no regime clássico). Podemos concluir assim que
O que está acontecendo então?
a Hipótese I acima está errada .
Note que, se retirarmos o polarizador
Experimento I, e vemos novamente 100% dos fótons que atravessam
P1
P2 ,
retornamos à situação do
atravessando também
P3 .
A presença
do segundo polarizador, com orientação distinta dos outros dois, é portanto fundamental para a mudança
que observamos. Este fato sugere uma segunda hipótese para explicar o que vemos:
Hipótese II: como na hipótese I, cada fóton carregaria um conjunto de instruções (determinísticas)
sobre o que fazer ao se deparar com um polarizador de cada tipo. No entanto, essas instruções poderiam
ser embaralhadas ou modicadas a cada vez que o fóton interagisse com um polarizador. Por exemplo, ao
passar pelo polarizador
atravessou
P2 ,
um fóton com a instrução de atravessar polarizadores verticais (e que por isso
P1 ) poderia agora receber a instrução oposta.
pelo qual metade dos fótons sofreria essa alteração em
No caso da Experiência 3, haveria algum mecanismo
P2
e metade não. Desta maneira, explicaríamos o
resultado observado.
Infelizmente, essa hipótese também não se sustenta. Para ver isso, vamos testá-la com mais uma experiência.
4.3.4 Experiência 4: Interferômetro de Mach-Zehnder
Considere a montagem representada na g.
4.4.
Um feixe linearmente polarizado a
45◦
incide sobre um
divisor de feixe polarizador ( DF P 1), o qual é transparente a luz horizontalmente polarizada, mas desvia luz
verticalmente polarizada. Os feixes são reetidos por espelhos e então
recombinados
em um outro DFP do
4.3.
EXPERIÊNCIAS DE PENSAMENTO COM FÓTONS POLARIZADOS
25
mesmo tipo. Observe que, como novamente a luz horizontalmente polarizada é transmitida e a vertical é
reetida, ambos os feixes saem pelo mesmo lado do
DF P 2.
Logo em seguida, colocamos um terceiro DFP,
desta vez orientado de modo a ser transparente a luz polarizada a
45◦ ,
Finalmente, colocamos um detector de fótons em cada porta de saída.
e a reetir luz polarizada a
−45◦ .
Chamamos este aparelho de um
Interferômetro de Mach-Zehnder 3 .
Figure 4.4: Experiência IV (Interferômetro de Mach-Zehnder): Um feixe de luz polarizada a
um divisor de feixe polarizador (DFP1), o qual transmite a polarização
à frente, o feixe é recombinado em outro DFP idêntico (DFP2).
DF P 1
e reete a polarização
V.
Mais
+45◦
e reete luz polarizada a
−45◦ .
D2.
O que ocorre com a luz que atravessa esta montagem?
incidente se divide em duas no
incide sobre
Como resultado, todo o feixe é enviado
na direção de DFP3, o qual transmite luz linearmente polarizada a
Verica-se que todos os fótons são detectados em
H
45◦
Na descrição da física clássica, a onda de luz
(v. eqs. (3.1) e (3.2)), as quais então se recombinam no
DF P 2.
Essa
recombinação, superpondo os campos elétricos das duas ondas, reconstitui o feixe original com polarização
a
+45◦ ,
de modo que
toda a luz atravessa o DF P 3.4
Vista dessa maneira, a montagem não parece ser muito útil - separamos o feixe simplesmente para juntálo novamente! Considere porém, o mesmo aparelho no regime de fótons individuais. Pelo que acabamos de
3 Mais
precisamente, trata-se de uma versão modicada do interferômetro inventado por E. Mach e L. Zehnder, alterada para
ser sensível à polarização da luz.
4 Assumimos aqui que os dois caminhos têm o mesmo comprimento, de modo que os campos que percorrem cada caminho
ganham a mesma fase.
26
AULA 4.
ver,
RUMO À MECÂNICA QUÂNTICA, VIA FÓTONS POLARIZADOS
todos os fótons atravessam o DF P 3.
Comparemos agora esse fato com aquilo que prevê a Hipótese II
acima. De acordo com essa hipótese, cada fóton (inicialmente polarizado a
que o levariam a escolher uma das duas saídas ( V
ou
H)
do
DF P 1.
45◦ )
teria instruções internas
Ao chegar no
DF P 2,
que tem a
mesma orientação do anterior, as mesmas instruções fariam todos os fótons tomarem o rumo `para cima',
independente do seu caminho anterior (isso tem de ser verdade, devido ao que vimos na Experiência I). Até
esse ponto, portanto, a Hipótese II concorda com o que realmente ocorre.
Figure 4.5: Experiência IV (Interferômetro de Mach-Zehnder): Tapando um dos braços do interferômetro
com um detector, as chances de cada fóton ser detectado em
D1, D2
ou
D3
passam a ser respectivamente
25%, 25% e 50%.
Ao analisarmos o que ocorre no
DF P 3,
porém, encontramos problemas. Note que, para ser consistente
com o que vimos na Experiência 3, a passagem de um fóton pelos
DF P 1
e
DF P 2
teria de embaralhar
as suas supostas instruções internas, levando-o a ter apenas 50% de chance de atravessar um polarizador
como
DF P 3,
orientado a
após atravessar
ocorre,
DF P 2
±45◦
o fóton
com respeito aos anteriores. Em outras palavras, a Hipótese II prevê que,
teria apenas 50% de chance de atravessar o DF P 3.
Como isto não é o que
a Hipótese II também está errada !
E agora, como podemos entender o que está acontecendo?
Observe que o resultado desta experiência
depende de forma essencial da recombinação entre os feixes que seguiram os dois caminhos.
isto com mais clareza, suponha que
de modo que a luz que chega ao
tapemos
DF P 3
um dos caminhos com um terceiro detector
contém apenas polarização
|V i.
D3
(v.
Para ver
g.4.5),
Como se pode esperar, 50% dos
4.3.
EXPERIÊNCIAS DE PENSAMENTO COM FÓTONS POLARIZADOS
fótons passam agora a ser detectados em
aparecendo tanto no detector
D1
D3.
27
Nas vezes em que isto não acontece, porém, vemos os fótons
quanto no detector
D2,
com igual probabilidade! Exatamente o mesmo
ocorre se bloquearmos apenas o outro caminho.
Do ponto de vista clássico, compreendemos essa situação em termos da
que percorrem cada um dos dois caminhos. A onda de luz tem uma certa
D1
interferência
amplitude
entre os campos
de chegar ao detector
pelo caminho de cima, e outra (no caso, de mesmo módulo e sinal oposto) de chegar pelo caminho de
baixo. Quando ambos os caminhos estão abertos, ocorre uma interferência destrutiva em
D1
que anula a
amplitude total de chegada ali. (Simultaneamente, ocorre uma interferência construtiva que torna igual a
100% a amplitude de chegar em
D2).
Quando um dos caminhos é bloqueado, a interferência não ocorre.
O resultado da Experiência 4 indica que esta interferência entre caminhos continua ocorrendo
um único fóton esteja percorrendo o interferômetro .
de detectar fótons em
D1
pode
cair
quando
mesmo que
Não parece haver outra forma de explicar como a chance
desbloqueamos
um dos caminhos até lá. Para isso, porém, de
algum modo o fóton parece ter de passar ao mesmo tempo por ambos os caminhos!
Temos aqui assim uma situação exatamente análoga à da experiência de fenda dupla com elétrons que
vimos na 1a aula. Note que, naquele caso, tratava-se de objetos que costumamos tratar classicamente como
partículas, mas que manifestam características ondulatórias. Aqui temos um `objeto' (um feixe de luz) que
costumamos tratar classicamente como uma onda, mas que também apresenta características de partícula. A
única diferença do caso atual é que aqui o fóton é detectado em um de um conjunto
enquanto que, com os elétrons, havia um
contínuo
nito
de locais possíveis,
de pontos possíveis de chegada no anteparo. É por isso
que escolhemos começar nosso estudo com os fótons polarizados: neste sistema a `estranheza' da mecânica
quântica está reduzido à sua expressão mais simples.
Continuamos porém com o problema: será possível encontrar alguma outra hipótese que explique, de
forma determinística, o comportamento probabilístico dos fótons? Muitos físicos no passado, (e alguns até
hoje), acreditaram que sim.
Albert Einstein, por exemplo, passou a vida inteira inconformado com o in-
determinismo quântico, e foi nesse contexto que ele proferiu a famosa frase Não posso acreditar que Deus
jogue dados com o Universo). No entanto, uma outra experiência de pensamento, proposta originalmente
pelo físico John Bell em 1964, mostra que, se existir uma tal hipótese, ela tem de ser bem estranha. Em particular, ela tem de permitir que objetos muito distantes possam se comunicar instantaneamente à distância,
violando assim um dos princípios fundamentais da teoria da relatividade do próprio Einstein!!
A experiência proposta por Bell é complexa demais para podermos explicar nesta altura inicial do curso
(talvez tenhamos tempo no nal do curso). Basta dizer, no entanto, que ela já foi de fato realizada em laboratório. Os resultados encontrados conrmam completamente as previsões quânticas, enterrando (quase)
5 As
5
vericações da experiência de Bell em laboratório não são ainda 100% conclusivas, mas acredita-se que isso se deva
28
AULA 4.
RUMO À MECÂNICA QUÂNTICA, VIA FÓTONS POLARIZADOS
de vez a possibilidade de haver uma explicação para as probabilidades quânticas no sentido buscado por
Einstein.
O ponto de vista atual da maioria dos físicos é simplesmente
desistir
de procurar uma explicação, e aceitar
a aleatoriedade presente na mecânica quântica como um aspecto fundamental e intrínseco da Natureza. Nessa
visão, o máximo que podemos fazer quando descrevemos uma situação física é
calcular as probabilidades
cada resultado possível de uma experiência, sem podermos em geral prever o que de fato ocorre.
exclusivamente a diculdades técnicas das montagens experimentais, e não a qualquer razão fundamental.
de