X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
MODELAGEM MATEMÁTICA: A CONSTRUÇÃO SIGNIFICATIVA DO
ENSINO DA GEOMETRIA
Vlademir Marim
Universidade Federal de Uberlândia
[email protected]
Ana Carolina Igawa Barbosa
Universidade Federal de Uberlândia
[email protected]
Resumo: A modelagem matemática se apresenta como uma proposta alternativa para o
ensino. Isso significa ir além das simples resoluções de questões matemáticas e levar a
aquisição de uma melhor compreensão tanto da teoria quanto da natureza do problema
a ser modelado. Trabalhamos neste projeto com a embalagem de um determinado
chocolate, de forma a obter uma embalagem que utilizasse menos material para a sua
fabricação. Este projeto teve como objetivo criar um modelo matemático utilizando a
trigonometria durante o processo de modelagem. Com objetivo de propor uma
embalagem “ótima”, que utilize uma menor área que comporte o mesmo volume, para o
chocolate Toblerone de 100g, que leve em consideração apenas o fator economia de
papel cartão para a fabricação do invólucro. Para que isso seja possível, deve-se mudar
também a forma do chocolate, já que tanto a embalagem quanto o seu conteúdo estão na
forma de prismas triangulares. Conclui-se que a caixa atual é a que gasta mais material
para a fabricação e a embalagem na forma de cilindro circular reto é a que gasta a
menor quantidade de papel cartão para sua fabricação, pois possui a menor área total,
sendo esta a embalagem ideal procurada para solucionar a questão.
Palavras-chave: Modelagem; Trigonometria; Geometria espacial.
INTRODUÇÃO
No Brasil a modelagem conquistou espaço a partir da década de 1980 com
trabalhos desenvolvidos pelos professores Barreto, PUC do Rio de Janeiro e Bassanezzi,
UNICAMP de Campinas-SP (BIEMBENGUT & HEIN, 2005). Sendo esses os
precursores desta prática no país, que atualmente vêm tornando-se cada vez mais
aplicada no campo educacional, científico e social.
Segundo Bassanezi (1994), podemos compreender a modelagem matemática
como o estudo de problemas ou situações reais como linguagem para a sua
compreensão, simplificação e resolução com vistas à uma possível previsão ou
modificação do objeto estudado.
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A principal finalidade do processo de modelagem é desenvolver a capacidade de
analisar e interpretar dados, testar hipóteses formuladas, criar modelos e verificar se eles
são eficazes; dando condições para que os alunos possam entender um fenômeno e
tenham condições de atuar para sua transformação. Desta forma, a matemática deve ser
vista como uma disciplina dinâmica, pois quando se analisa uma situação do ponto de
vista matemático, o processo de ensino-aprendizagem é desencadeado, estimulando a
abstração, a criação de novos instrumentos matemáticos e a formulação de novas
teorias. Assim, a única maneira que se tem de conduzir os alunos para a modelagem
matemática, é expô-los uma ampla variedade de problemas e a uma ampla variedade de
modelos.
A Modelagem Matemática permite a interação do sujeito com o objeto de estudo
sendo que o conhecimento não é inato nem transmitido, não está no sujeito nem no
objeto, mas na forma de interação entre sujeito e objeto. Além do que, o aluno não é
passivo e nem o professor é um simples transmissor de conhecimento, logo essa
interação é uma construção contínua, dada pela invenção e descoberta (ARANHA,
1996), visto que essa interação pela descoberta é uma possibilidade de levar o aluno a
ser cidadão crítico, participativo e reflexivo.
A modelagem sempre faz apelo à realidade na qual está inserido o sistema que
deu origem ao modelo com o qual se trabalha, sempre procurando verificar a adequação
dos parâmetros selecionados e as implicações dessa seleção no inter-relacionamento
desse sistema com a realidade com um todo (BIEMBENGUT, 1999). Assim, os
modelos nem sempre são exatos. Devem-se explorar então, todos os detalhes do
modelo, examinando as hipóteses, checando as precisões, efetuando os ajustes
necessários que tornem o modelo adequado, fazendo as previsões que consigam validar
as hipóteses. Não se devem abandonar os modelos porque eles são aproximados, pois
em cada modelo encontra-se um caminho para chegar a uma previsão e tomar uma
decisão na melhoria do sistema abordado.
A partir de um modelo já existente, no caso a embalagem do chocolate suíço
Toblerone, é que buscamos um modelo otimizado visando à obtenção de uma
embalagem ótima, ou seja, que utilize o mínimo de material, onde caiba a mesma
quantidade do produto, reduzindo os custos da embalagem e economizando papel.
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Ao se propor uma nova embalagem para o produto, não é esperado que o
fabricante troque a forma da caixa, já que o grande marketing da empresa está na forma
tanto do chocolate quanto da caixa, que são patenteados e somente ela pode produzir
chocolates na forma de prismas triangulares, e este é um dos grandes fatores que
contribuem para o sucesso deste chocolate que possui 98 anos de tradição.
Este projeto teve como objetivo criar um modelo matemático que utilize a
trigonometria durante o processo de modelagem. O objetivo específico é propor uma
embalagem ótima, que utilize a menor área onde caiba o mesmo volume, para o
chocolate Toblerone de 100g, que leve em consideração apenas o fator economia de
papel cartão para a fabricação da mesma e para que isso seja possível, deve-se mudar
também a forma do chocolate, já que tanto a embalagem quanto o seu conteúdo estão na
forma de prismas triangulares.
Visando a economia de material na fabricação da embalagem, qual a forma
ótima para a embalagem do chocolate Toblerone de 100g? A partir desta pergunta,
seguiremos os passos do processo de modelagem.
OS PROCESSOS DA MODELAGEM MATEMÁTICA
Existem infinitos tipos de embalagens, isto porque cada uma corresponde a um
tipo de marketing. Alguns fabricantes investem mais na estética, pois esta é a principal
característica que “encanta os olhos” dos consumidores. Quanto mais diferente, colorida
for a embalagem mais atenção ela recebe.
Sabe-se que ao comprar um produto não só se paga por este como também por
sua embalagem. Dessa forma, quanto mais cara é a embalagem, mais caro fica o preço
final do produto. Atualmente, ante a concorrência, o fabricante ou o comerciante além
de procurar oferecer um bom produto, com boa aparência, necessita detectar as diversas
variáveis que permitem baratear o produto, em particular a embalagem. Na embalagem
uma das propostas é estabelecer um formato adequado que utilize a quantidade mínima
de material e o máximo aproveitamento ou o volume. Por este motivo propõe-se uma
nova forma de embalagem para o chocolate, a fim de baratear o preço para o
consumidor, reduzir o custo para o fabricante, assim como o desperdício de papel.
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Não é interesse deste projeto o desperdício de papel no momento que se faz o
corte do material para a fabricação das embalagens, já que é proposto um modelo
planificado, reduzindo a utilização da cola na hora de agrupar as partes.
Utiliza-se como base a embalagem de chocolate de 100g que possui a forma de
um prisma triangular regular com arestas da base medindo 3,5cm e altura hT igual a
21cm.
Para calcular a quantidade de material de uma embalagem de qualquer forma
temos que abri-la, ou seja, planificá-la. A planificação desta embalagem nos fornece
dois triângulos equiláteros cujas arestas medem 3,5cm e três retângulos de medidas 3,5
cm e 21 cm. A partir destes dados podemos calcular a quantidade de material utilizado
para a fabricação da embalagem.
Como os triângulos que compõem a embalagem do chocolate são equiláteros, ou
seja, são polígonos regulares, eles podem ser inscritos em uma circunferência de raio
r
2
h , onde h é a altura do triângulo da base.
3
Utilizando o software Geogebra, construímos o triângulo equilátero cujas arestas
medem 3,5cm, traçamos todas as bissetrizes do triângulo e encontramos o ponto D que
é o “incentro” do triângulo. Depois traçamos uma circunferência de centro em D cujos
vértices do triângulo constituem pontos da circunferência. Para acharmos a medida do
raio traçamos o segmento CD e encontramos o raio igual a 2,02cm conforme a figura 2.
Figura 1
Figura 2
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Utilizando a trigonometria podemos calcular a medida da altura do triângulo da
base em função do lado. O triângulo formado pelo incentro e os vértices da base
formam um triângulo isósceles, ou seja, com dois
lados congruentes. Assim pela figura 3, temos que
x=y. Desta forma.
cos 30
l
x
x
y
l
2x
y
3 x
2
r
2x r 3
x
x
r
l
2x
l
2*r
l
r 3
3
2
3
r
2
Figura 3
A partir da medida do lado, pode-se calcular a área da base do triângulo (ABT),
assim como o volume (VT) e a área total (ATT) do prisma triangular regular:
ABT
ABT
ABT
ABT
ABT
l2 3
4
(r 3 ) 2 * 3
4
2
3r 3
4
3( 2,02 ) 2 3
4
5,30 cm 2
VT
VT
VT
ABT * hT
3r 2 3
* hT
4
111,31cm 3
ATT
ATT
ATT
2 * (3r 2 3 )
3 * l * hT
4
(3r 2 3 )
3 * ( r 3 ) * hT
2
231,11cm 2
Após esta etapa é necessário propor novos formatos para a embalagem, mas que
mantenham o mesmo volume, os modelos propostos serão todos polígonos regulares
inscritos na circunferência de raio r = 2,02cm.
Utilizando a mesma circunferência, mas modificando o polígono inscrito - um
quadrado - obtêm-se a figura 4.
Novamente o triângulo formado entre o incentro e os vértices do quadrado é
isóscele, desta forma, temos que x = y, pois a altura m do triângulo divide a base em
dois segmentos congruentes. Desta forma temos que:
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x
r
cos 45
l
x
x
y
l
2x
y
2 x
2
r
2x r 2
x
r
2
2
l
2x
l
2 r
l
r 2
2
2
Figura 4
A partir desta fórmula, podemos determinar em função do raio r a área AQ, assim
como o volume VQ e a área total ATQ do prisma quadrangular regular. Desta forma,
tem-se que:
AQ
(r 2 ) 2
AQ
2r 2
VQ
AQ * hQ
AQ
2(2,02 ) 2
VQ
2r 2 * hQ
AQ
8,16 cm 2
ATQ
2 * AQ 4 * r 2 * hQ
Como hT mede 21 cm e levando-se em consideração que as embalagens devem
ter o mesmo volume, podemos calcular a altura HQ e a área total do prisma
quadrangular ATQ.
VT
VQ
(3r 2 3 )
* hT 2 r 2 * hQ
4
3r 2 3
hQ
* hT
8r 2
hQ
hQ
hQ
3 3
* hT
8
3 3
* 21
8
13,64 cm
ATQ
2 * AQ
4 * r 2 * hQ
ATQ
2 * (r 2 ) 2
ATQ
2 * (r 2 )
2
ATQ
4r 2
ATQ
4(2,02 ) 2
ATQ
172 ,18cm 2
4 * r 2 * hQ
4 * r 2 * 13,64
4 * r 2 * hQ
4 * ( 2,02 ) * 2 * 13,64
Após os cálculos temos que ATT > ATQ
231,11cm2 > 172,18cm2
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A diferença entre as áreas é pequena, porém quando somado a milhares de
embalagens, essa diferença é significativa.
Analogamente propomos um novo formato para a embalagem, modificando a
base e a altura do prisma, mas mantendo o volume calcularemos os dados relativos a um
cilindro circular reto cujo raio mede 2,02cm.
*r2
AC
* (2,02 ) 2
AC
AC
VC
AC * hC
2
VC
12 ,82 cm 2
* r * hC
ATC
2 AC
2 * * r * hC
ATC
2( r 2 ) 2 * * r * h C
ATC
2 r (r
hC )
A partir destas fórmulas e do princípio de que os prismas triangular e o cilindro
devem ter o mesmo volume determinamos a medida da altura hC do cilindro e a área
total do mesmo ATC.
VT
VC
3r 2 3
* hT
4
3r 2 3
hC
4 r2
hC
hc
hC
* r 2 * hC
3 3 * hT
4
ATC
2 * * r * (r
hC )
ATC
2 * * 2,02 * ( 2,02 8,68 )
ATC
135 ,80 cm 2
3 3 * 21
4
8,68 cm
Comparando com os resultados obtidos temos que:
ATT
>
ATQ
>
AC
231,11cm2 > 172,18cm2 > 135,80cm2
Organizando os dados calculados obtemos a seguinte tabela:
Tabela 1: Formas das embalagens
Forma da embalagem
Prisma triangular
regular
Prisma quadrangular
regular
Número de
Área da base
2
Área total
2)
Altura
lados
(cm )
(cm
(cm)
3
5,30
231,11
21,00
4
8,16
172,18
13,64
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Cilindro
0
12,82
135,80
8,68
Analisando a relação entre a área total e a área da base, podemos observar que
quanto maior o número de lados do polígono da base, isto é, quanto maior a área da
base menor a área total do prisma. Então quanto mais lados têm o polígono regular da
base, mais esta área se aproxima de um círculo. Desta forma, maior será a área da base e
menor será a área total do prisma. Assim, a base que possui a maior área da base é o
cilindro circular reto. Portanto, a embalagem que utilizaria a menor quantidade de papel
cartão para a fabricação é a embalagem que possui a forma de um cilindro circular reto,
com raio igual a 2,02cm e altura igual a 8,68cm.
Mesmo após todos os cálculos é necessário chegarmos a um modelo matemático
dito genérico que comprove que o cilindro circular reto é a melhor opção de
embalagem. Faremos então, os cálculos para qualquer polígono regular de n lados,
inscrito na circunferência de r, neste caso r = 2,02 cm. Desta forma, se o polígono tem n
lados, podemos formar n triângulos cujos vértices é o incentro e dois vértices do
polígono, conforme a figura 5. Assim, é possível calcular a soma de todos os ângulos
internos do polígono SAI e consequentemente a medida de cada ângulo interno do
polígono AI.
SAI
(n 2) *180
AI
(n 2) *180
n
Com base na última fórmula e na figura 6, podemos calcular a medida do ângulo
que é dada por
(n 2) *180
2n
(n 2) * 90
.
n
Considerando os vértices A0 e A1 do polígono inscrito na circunferência, como
mostra a figura 5, conseguimos um triângulo genérico. Desta maneira, podemos calcular
a aresta l do polígono, bem como a altura m do triângulo. O cálculo é feito da seguinte
maneira:
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l
x
y
x
y
l
2x
x
l
2x
sen
l
2r cos
cos
m
x
r
r cos
m
r
rsen
Figura 5
A partir da medida da aresta em função do raio, podemos determinar a área da
base AN, assim como a área total ATN do prisma de n lados.
ABN
ABN
ABN
b*h
2
n * (2r cos * rsen )
2
2
n * r cos * sen
n*
VN
AN * hN
VN
nr 2 sen cos * hN
Partindo do princípio que os polígonos estão inscritos na mesma circunferência e
os primas devem ter o mesmo volume, podemos determinar a altura hN do polígono de n
lados e a área total AN do mesmo.
VT
VN
3r 2 3
* hT nr 2 cos * sen * hN
4
3 3 * hT
hN
4 * n * cos * sen
ATN
2 * ABN
n * (l * hN )
ATN
2nr 2 cos sen
n
ATN
2nr 2 cos sen
3r 3hT
2 sen
ATN
2n(2,02 ) 2 cos sen
ATN
8,1608 n cos sen
(2r cos )(3 3hT )
4nsen cos
3(2,02 ) 3 (21)
2 sen
110 ,2103929
sen
Calculando o limite da função da área da base do polígono regular de n lados,
ABN, quando n tende a infinito obtemos 12,818cm2, o que confirma que quanto mais
lados o polígono da base tiver, mais sua área se aproximará da área da circunferência
que é de 12,82cm2. Analogamente, calculando o limite da área total do prisma regular
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de n lados, ATN, com n tendendo a infinito obtemos 135,796cm2, cujo valor se aproxima
da área total do cilindro proposto como ideal que é de 135,80cm2.
A partir da análise dos limites calculados podemos concluir que:
ABN
AC
ATN
ATC
ABN 12,82cm 2
ATN
135 ,80 cm 2
Desta forma, conclui-se que a caixa atual do chocolate Toblerone é a embalagem
que gasta mais material para a fabricação como foi mostrado nos cálculos e nos gráficos
expostos e a embalagem na forma do cilindro circular reto é a embalagem que gasta a
menor quantidade de papel cartão para sua confecção, pois possui a menor área total,
sendo esta a embalagem ideal procurada para solucionar a questão.
Encontrado o modelo matemático, é necessário propor novos formatos para a
embalagem de modo a validar o mesmo. Utilizando as fórmulas definidas para qualquer
polígono de n lados, com n assumindo os valores 5, 6 e 8, podemos determinar as áreas
da base, a área total e a altura destes prismas. Os valores foram tabulados de acordo com
a tabela 2 e a relação entre a área da base e a área total é mostrada na figura 6.
Tabela 2: Forma das Embalagens
Forma da
Número de vértices
Área da base
2
Área total
2
Altura
embalagem
do polígono (n)
(cm )
(cm )
(cm)
Prisma triangular
3
5,30
231,11
21,00
Prisma quadrangular
4
8,16
172,18
13,64
Prisma pentagonal
5
9,70
155,59
11,47
Prisma hexagonal
6
10,60
148,46
10,50
Prisma octogonal
8
11,54
142,31
9,64
Cilindro
0
12,82
135,80
8,68
Comparando estes resultados temos que:
ATT
>
ATQ
>
ATP
>
ATH
>
ATO
>
ATC
231,11cm2 > 172,18cm2 > 155,59cm2 > 148,46cm2 > 142,31cm2 > 135,80cm2
Após a análise dos dados, notamos que o modelo matemático proposto continua
valendo após a validação, ou seja, qualquer prisma regular de n lados inscrito na
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circunferência de raio 2,02cm possui área total maior do que a área total do cilindro
reto.
Relação Área total X Área da base
250
Área Total
200
150
100
50
0
5,30
8,16
9,70
10,6
11,54
12,82
Área da base
Figura 6 – Relação área total x área da base
CONCLUSÃO
Após todos os cálculos e todas as demonstrações contatou-se que a embalagem
que utiliza menor quantidade de material para produzi-la é a que possui a forma de
cilindro circular reto com raio igual a 2,02cm e altura igual a 8,68cm. Assim, a caixa
proposta é capaz de armazenar a mesma quantidade de chocolate como a do modelo
original.
Destaca-se neste projeto, utilizando o processo de modelagem, uma forma
diferente de se trabalhar a trigonometria, a geometria espacial, além de outros conteúdos
matemáticos, de forma diferente da convencional. Utilizando a modelagem matemática
para o ensino, percebe-se que os alunos podem aprender e aplicar a matemática em seu
cotidiano de uma forma contextualizada, consequentemente minimizando a não
aprendizagem.
Na ação de modelar, dentro do processo de modelagem, pode-se vislumbrar uma
aprendizagem por excelência, isto é, tornar o aprendiz capaz de comunicar, de
apreender e compreender, de enfrentar novas situações, resolver problemas, aprendendo
com isso não apenas o mero domínio de técnicas matemáticas, principalmente de
cálculos, e sim desenvolver as habilidades necessárias para a sua vida.
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A mudança do ensino da matemática para essa nova perspectiva pode significar a
obtenção de um ambiente de aprendizagem culturalmente sensitivo. Também pode
significar a otimização de currículos, a introdução de novas tecnologias, das normas da
sala de aula ou na introdução de métodos de resolução de problemas, de conhecimentos,
de práticas ou de crenças dos professores e alunos, no sentido de proporcionar uma
aprendizagem de qualidade e que seja significativa ao aluno no momento de grandes
transformações técnicas e científicas em que vivemos.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ARANHA, Maria Lúcia de Arruda. Filosofia da Educação. Editora Moderna. 1996.
BASSANEZI, R. Modelagem Matemática, Dynamis, V.1, n.7, p.55-83. Blumenau-SC:
Abr/Jun 1994.
BIEMBENGUT, M.S. Modelagem matemática e implicações no ensino aprendizagem
de matemática. Blumenau: FURB, 1999.
BIEMBENGUT, M. S.; HEIN, N. Modelagem Matemática no Ensino. São Paulo:
Editora Contexto, 2005.
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