UNIVERSIDADE REGIONAL INTEGRADA DO ALTO URUGUAI E
DAS MISSÕES
URI - CAMPUS DE ERECHIM
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
CURSO DE MATEMÁTICA
JULIANA MOTERLE
TEOREMA DE PITÁGORAS
ERECHIM
2010
1
JULIANA MOTERLE
TEOREMA DE PITÁGORAS
Trabalho de conclusão de curso, apresentado ao
Curso de Matemática, Departamento das Ciências
Exatas e da Terra da Universidade Regional
Integrada do Alto Uruguai e das Missões – Campus
de Erechim.
Profª. Orientador (a) Adriane Zago.
ERECHIM
2010
2
Dedico o presente trabalho acadêmico a minha
mãe e ao meu pai, pessoas maravilhosas que
sempre estiveram ao meu lado me ajudando,
apoiando e me ensinando a viver a vida com
dignidade e honestidade.
3
AGRADECIMENTOS
Em primeiro lugar devo agradecer a Deus que em todos os momentos de nossa vida está
presente guiando-nos com sua luz divina.
Aos meus pais, que compartilharam e alimentaram meus ideais, incentivando-me a prosseguir
na jornada e a superar os obstáculos.
À minha orientadora, profª. Adriane Zago, pelos conhecimentos e pela sua amigável
convivência.
4
“A matemática apresenta invenções tão sutis
que poderão servir não só para satisfazer os
curiosos como, também para auxiliar as artes e
poupar trabalho dos homens”.
Descartes
5
RESUMO
Ao transmitir determinado conteúdo, o professor é frequentemente questionado sobre qual
origem ou finalidade da matéria a ser apresentada. Diante disso, muitos professores não têm
conhecimento suficiente para responder tais perguntas feitas pelos alunos e apresentam o
conteúdo de uma forma acabada não contextualizando com as suas origens. Neste trabalho
tenho como objetivo principal resgatar a história de vida de um dos matemáticos mais
famosos da época: Pitágoras, bem como relacionar e analisar a influência das contribuições de
Pitágoras ao Ensino de Matemática. O estudo baseia-se em uma análise bibliográfica, onde
foram levantados dados de livros, artigos e textos sobre o assunto. Com isso, pode-se dizer
que este trabalho contribui para os professores de matemática, orientadores educacionais,
alunos e a todos aqueles que acreditam que a matemática pode ser estudada relacionando o
contexto histórico que foi produzido.
Palavras-chave: Pitágoras. Ensino de Matemática. Relacionar descobertas.
6
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Símbolo da Escola Pitagórica.............................................................................17
Figura 2: Subdivisão das diagonais de um pentágono.......................................................18
Figura 3: Representação dos números pitagóricos.............................................................20
Figura 4: Representação da pirâmide pitagórica................................................................20
Figura 5: Representação dos números triangulares............................................................21
Figura 6: Modelo da corda de 13 nós.................................................................................23
Figura 7: Demonstração do Teorema de Pitágoras através do Quadrado Chinês..............24
Figura 8: Demonstração do Teorema de Pitágoras através de Bhaskara...........................25
Figura 9: Demonstração do Teorema de Pitágoras através de Triângulos Semelhantes....25
Figura 10: Demonstração do Teorema de Pitágoras através de Triângulos Semelhantes..26
Figura 11: Demonstração do Teorema de Pitágoras através de semicircunferências........27
Figura 12: Esquema da aplicação do Teorema de Pitágoras..............................................28
Figura 13: Triângulo inscrito em uma circunferência........................................................29
Figura 14: Imagem formada por um triângulo e três semicircunferências........................30
Figura 15: Áreas compreendidas entre as lúnulias e os catetos de um triângulo...............30
Figura 16: Modelo de uma escada, onde é aplicado o Teorema de Pitágoras....................31
Figura 17: Esquema da distância de uma escada em relação ao muro...............................32
7
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO............................................................................................................
8
2 IMPORTÂNCIA DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA..........................................
9
3 HISTÓRIA DA VIDA DE PITÁGORAS..................................................................
11
4 A ESCOLA PITAGÓRICA........................................................................................
16
5 DESCOBERTAS E CONTRIBUIÇÕES DE PITÁGORAS PARA
MATEMÁTICA.............................................................................................................. 20
5.1 MISTICISMO SOBRE OS NÚMEROS....................................................................
20
5.2 A DESCOBERTA DOS IRRACIONAIS..................................................................
22
5.3 ALGUMAS DEMONSTRAÇÕES SOBRE O TOREMA DE PITÁGORAS..........
23
6 APLICAÇÕES.............................................................................................................
28
CONSIDERAÇÕES FINAIS.........................................................................................
33
REFERÊNCIAS..............................................................................................................
35
8
1 INTRODUÇÃO
Estudar a História da Matemática é de extrema importância tanto para nós futuros
professores, quanto para os alunos, pois é através dela que podemos estimular os estudantes,
fazendo com que realmente compreendam o conteúdo trabalhado e desenvolvam o espírito
crítico.
Acredita-se que se o professor tem um bom conhecimento sobre a história da matemática,
terá melhores condições de entender as dificuldades enfrentadas pelos alunos.
Através dela também percebemos que muitas das teorias que conhecemos hoje, resultaram
de um longo processo de transformações e quase sempre numa ordem diferente daquela
descoberta. Tudo, inclusive o que já nos parece trivial, custou esforço, erros, tentativas, até
que um resultado fosse construído. Através da história, desses esforços permanente que se
procura retratar.
A matemática é um aspecto único do pensamento humano, e sua história difere na
essência de todas as outras histórias. Sendo assim, o presente trabalho será um resgate da
história, com o objetivo de verificar quais as descobertas de Pitágoras que estão presentes
ainda hoje no ensino da Matemática.
Na revisão de literatura deste estudo, primeiramente faz-se uma breve contextualização
sobre a importância de estudar a história da matemática dentro do processo ensinoaprendizagem.
Em um segundo momento é feito uma abordagem sobre a história da vida de Pitágoras, a
trajetória de sua vida desde o nascimento até a sua morte. Ainda nesta seção é feito um
levantamento de alguns pensamentos ou ditos que Pitágoras e seus discípulos pregavam por
toda a Grécia.
Logo após comenta-se sobre a Escola Pitagórica, fazendo-se um breve relato sobre as
regras que deveriam ser seguidas e seus objetivos.
Em seguida são apresentadas algumas contribuições e descobertas que Pitágoras fez em
relação à Matemática, como por exemplo, os números irracionais e o Teorema de Pitágoras.
E por último é feita uma relação destas descobertas e onde elas são aplicadas no nosso dia
a dia.
9
2 IMPORTÂNCIA DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
É muito comum em uma sala de aula, que o professor ao transmitir um determinado
conteúdo, seja questionado pelos alunos em relação à origem daquele tópico da matéria. As
perguntas mais frequentes que costumam surgir são: ”quem inventou isso?”; “como e quando
surgiu esta idéia?”; “como eles conseguiram chegar a este resultado?”; “quem foi este
matemático?”. Diante de perguntas como estas o docente nem sempre tem conhecimento
suficiente para responder, ou seja, explicar que ao longo de um grande período passou por
inúmeras transformações até chegar ao que conhecemos hoje. Diante de tudo isso, é preciso
que o professor tenha domínio do conteúdo e, além disso, tenha conhecimentos sobre a
história para não ensinar apenas o “para quê”, mas responder aos “porquês” dentro do
processo de ensino.
Nobre (1996) ressalta que é através da história que buscamos fundamentação aos
conteúdos abordados:
À busca das contradições das ciências [...] é que proponho um tratamento
diferenciado à transmissão dos conhecimentos, ou seja, que se tente acompanhar o
conceito a ser trabalhado a partir de seu desenvolvimento histórico. Desta forma, a
educação assume um caminho diferente. Em vez de se ensinar à praticidade dos
conteúdos escolares, investe-se na fundamentação deles. Em vez de se ensinar o para
quê , ensina-se o porquê das coisas. (NOBRE,1996, p.31).
A História da Matemática é de extrema importância, pois é através dela que se pode
estimular o espírito crítico dos estudantes, fazendo com que compreendam o conteúdo
apresentado.
É muito importante lembrar que a História da Matemática, não é apenas uma narração de
fatos já acontecidos, ela é muito mais que isso. Para D’Ambrósio (1996), ela não serve apenas
para professores e alunos, mas para o público em geral, e a sua importância se revela nos mais
diferentes aspectos, tais como:
10
a. Para situar a matemática como uma manifestação cultural de todos os povos em
todos os tempos, como a linguagem, os costumes, os valores, as crenças e os
hábitos, e como tal diversificada nas suas origens e na sua evolução;
b. Para mostrar que a matemática que se estuda nas escolas é uma das muitas formas
de matemática desenvolvidas pela humanidade;
c. Para destacar que essa matemática teve sua origem nas culturas da Antiguidade
mediterrânea e se desenvolveu ao longo da Idade Média e somente a partir do século
XVII se organizou como um corpo de conhecimentos, com um estilo próprio;
d. E desde então foi incorporada aos sistemas escolares das nações colonizadas e se
tornou indispensável em todo o mundo em conseqüência do desenvolvimento
científico, tecnológico e econômico. (D’AMDRÓSIO, 1996, p.10).
As abordagens históricas feitas em sala de aula com os alunos podem servir como
motivação para os estudantes. D’Ambrósio afirma que “torna-se cada vez mais difícil motivar
os alunos para uma ciência cristalizada. Não é sem razão que a história vem aparecendo como
um elemento motivador de grande importância.” (D’AMBRÓSIO, 1996, p. 31).
Além disso, muitos pesquisadores acreditam que se o professor tem um bom
conhecimento sobre a História da Matemática, ele terá condições de entender as dificuldades
encontradas pelos estudantes e através disso desenvolver estratégias para que o aluno possa
superar estas dificuldades.
Portanto, na busca pela compreensão da matemática desde o seu início e de uma
justificativa para o ensino desta é que se propõe o estudo mais detalhado da sua história, não
apenas na tentativa de explicar suas origens, sua evolução ou suas aplicações no cotidiano de
nossos alunos, mas a fim de ampliar as concepções de mundo dos alunos, de romper com o
que é estático, e assim, possibilitar uma maior interação, ou seja, uma intervenção na sua
realidade.
Conhecendo a história da matemática percebemos que as teorias que hoje aparecem
acabadas e elegantes resultaram sempre de desafios que os matemáticos enfrentaram e que
foram desenvolvidas com grande esforço e, quase sempre numa ordem diferente daquela em
que são apresentadas após todo o processo de descoberta.
11
3 HISTÓRIA DA VIDA DE PITÁGORAS
Místico, filósofo, físico e matemático, Pitágoras de Samos viveu em torno de 530 a.C. e
morreu no início do século V a.C. Não há uma história completa da sua vida, obra e
pensamentos, pois embora se tenha escrito muito de suas teorias, não há, em nenhuma obra,
um relato satisfatório de sua vida. Mas acredita-se que tenha nascido na ilha de Samos.
(PEREIRA, 2002).
No século anterior ao nascimento de Pitágoras, Samos tornou-se a ilha mais rica do Egeu.
Assim Pitágoras teria nascido no começo da idade de ouro da cultura grega antiga. Foi nesta
época que começaram a surgir também os primeiros filósofos em Mileto, um deles
Anaximandro, que viria a ser professor de Pitágoras. Mas este não foi o único professor que
ele teve, Pitágoras primeiro trabalhou com a matemática e a aritmética e, depois, aderiu às
práticas milagreiras do filósofo e fabulista Ferécidas. Enquanto Anaximandro era um filósofocientista, Ferécidas era um filósofo-feiticero, nenhum dos dois era matemático.
(STRATHERN, 1998).
Pitágoras era um dos maiores filósofos da Europa antiga, pouco se sabe sobre a sua
juventude, a não ser que conquistou vários prêmios nos Jogos Olímpicos e era filho de um
rico comerciante de Samos, Mnesarco. (PROF2000, 2010).
Quando chegou a sua idade adulta, não estava satisfeito com os conhecimentos adquiridos
em sua cidade natal, então deixou a ilha onde vivia e passou um longo período viajando a
procura de novos conhecimentos. Sua peregrinação se estendeu ao Egito, Inostão, Pérsia,
Creta e Palestina, em cada um destes lugares citados adquiriu nova sabedoria. (PROF2000,
2010).
Quanto à matemática, Pitágoras parece ter aprendido mais nas viagens que fizera ao Egito.
Ele aprendeu muito sobre os números e as figuras com as civilizações que estavam a ponto de
declinar no Oriente próximo. Strathern em seu livro fala um pouco mais sobre isso:
12
Naquela época, as viagens ao Oriente eram consideradas uma forma de ampliar a
mente, não de detoná-la. O Egito era considerado mais culto que a Grécia, e
provavelmente devia ser ainda (embora não por muito mais tempo). Diz Aristóteles:
“No Egito tiveram início as ciências matemáticas, pois lá a nação dos sacerdotes
gozava de tempo livre”. Antes os gregos estiveram ocupados demais lutando uns
com os outros para se importarem com as sutilezas do cálculo abstrato.
(STRATHERN, 1998, p. 17).
Mas em suas viagens não adquiriu apenas conhecimentos matemáticos, foi também uma
busca religiosa. Pitágoras era sem dúvida uma grande cabeça que queria absorver tudo.
(STRATHERN, 1998, p. 23).
Finalmente com quarenta anos, Pitágoras regressa a Samos depois de suas viagens, lá ele
encontrou uma recepção hostil da população. Percebendo isso ele concluiu que só seria
ouvido se possuísse um grande aparato mitológico e em conseqüência disso partiu novamente
para Delos e Creta, a fim de aprender sobre mistérios secretos. (PEREIRA, 2002).
Em sua volta Pitágoras ganhou muito respeito e manteve uma áurea de admiração muito
grande. Ele afirmava que era através de Apolo que mantinha o domínio sobre a matemática,
ou seja, ele poderia transmitir seus conhecimentos através de poderes mágicos, isso fazia com
que os jovens despertassem um interesse muito grande em segui-lo. Os pais preocupados com
os seus filhos foram se queixar ao tirano de Samos, e este percebendo que Pitágoras poderia
ser uma ameaça, resolveu bani-lo da ilha para sempre. Dirigiu-se então, juntamente com sua
mãe e um discípulo para Crotona, na Magna Grécia, atual Itália. (PEREIRA, 2002).
Segundo Strathern (1998), em Crotona Pitágoras definia-se como filósofo e após tornouse professor de matemática atraindo um grupo muito grande de seguidores que de início
reconheceram suas qualidades.
Pereira (2002) em seu livro também nos fala um pouco mais sobre a sua chegada em
Crotona:
Crotona estava “madura” para receber Pitágoras, pois havia sido derrotada pelos
lócrios e o seu povo possuía o desejo de dominar Síbaris. Em virtude de sua situação
após derrotas em brigas internas, estava em situação de completa miséria, buscando,
então, nas coisas do espírito e no atletismo esperanças de dias melhores. A cidade
estava frágil e vulnerável as idéias como as defendidas por Pitágoras, que pudessem
iluminar os crotoniatas com seu evangelho de luz. Crotona já havia ouvido falar
sobre a vida austera e os poderes mágicos atribuídos a Pitágoras, que, então, passou
a ser olhado como aquele que poderia unir as facções da aristocracia dirigente a fim
de ser empreendida a destruição da vizinha cidade de Síbaris. (PEREIRA, 2002, p.
49).
13
Posteriormente Pitágoras teria se casado com Teano, com a qual teve dois filhos e uma
filha. Sua esposa teria sido a primeira a escrever a biografia do filósofo. Foi ele o primeiro a
usar a palavra filosofia no sentido de expressar aquele que é amigo da sabedoria, também foi
ele quem criou a palavra matemática. (STRATHERN, 1998).
Foi em Crotona que ele começou a expressar em fórmulas matemáticas as leis da
natureza; para ele a matemática era vista de uma forma diferente, conforme afirma Strathern
(1998), em seu livro:
[...] a matemática era mais que uma busca intelectual; parecia explicar o mundo. A
harmonia, a proporção, as propriedades dos números, a beleza da simplicidade e de
certas formas ─ tudo isso parecia falar de uma natureza numérica profunda que
governava todas as coisas. O que ficou ainda mais evidente nos seus estudos de
astronomia. (STRATHERN, 1998, p. 35).
A astronomia que aplicamos hoje foi iniciada pelos babilônicos, que conheciam sete
planetas, incluindo o sol e a lua e os consideravam de origem divina. Através das descobertas
de Anaximandro, Pitágoras concluiu que os planetas produziam uma harmonia celestial,
conforme afirma Strathern (1998):
O movimento periódico dos corpos celestes reforçou a crença de Pitágoras na
matemática. Desde o início, supôs-se naturalmente que a Terra fosse o centro do
universo. Anaximandro foi o primeiro a perceber que os planetas estão mais perto da
terra que as estrelas, e as observações que fez de seus movimentos convenceram-no
de que cada um estava a uma distância diferente da Terra. O que levou Pitágoras a
uma importante conclusão. Era como se os planetas e a Terra fossem de certa forma
análogos a uma oitava musical. Os planetas (ou esferas, como eram chamados) eram
com as sete cordas da lira e produziam uma harmonia celestial que Pitágoras
chamou de “música das esferas”. (STRATHERN, 1998, p. 36).
Ele acreditava que estes planetas tinham uma velocidade diferente uns dos outros, por isso
os mais rápidos teriam uma nota mais alta e os mais lentos a nota mais baixa, estes estariam
mais próximos da terra. A música é uma relação numérica se ela soa sem harmonia, é porque
a relação entre os números não se encontra numa proporção justa. Concluiu que o movimento
dos corpos celestes era cíclico, isso quer dizer que cada um dos corpos retornava ao mesmo
lugar que havia saído, assim tudo o que ocorrera uma vez no mundo iria ocorrer novamente.
14
Também acreditava que a esfera era o mais belo dos sólidos e o círculo a forma mais bela. Foi
ele quem sugeriu pela primeira vez que a Terra é globo giratório e através das suas
observações Pitágoras calculou a ordem dos planetas em distância crescente da Terra: Lua,
Mercúrio, Vênus, Sol, Marte, Júpiter e Saturno. Com isso ele chegou à conclusão de que tudo
pode ser reduzido a formas geométricas, ou seja, tudo funciona de acordo com o número.
(STRATHERN, 1998).
Como resultado das suas crenças Pitágoras chegou a criar uma religião baseada em
números, a qual ele mesmo era o líder, isso ocorreu logo depois dele se tornar professor. Esta
religião era baseada em uma crença de que todas as almas haviam ocupado corpos diferentes
em vidas passadas, onde cada membro deveria seguir inúmeras regras, como por exemplo,
não comer carne de animais, pois acreditava-se que as almas dos mortos poderiam ter se
reencarnado nos corpos destes animais. (PEREIRA, 2002).
Strathern (1998), em seu livro cita mais algumas das proibições estabelecidas por
Pitágoras:
Entre as proibições constavam: comer feijão, dar a primeira mordida em pedaço de
pão, deixar andorinhas fazerem ninho no próprio telhado, olhar num espelho à luz de
vela e, especialmente, comer o próprio cachorro. Ao levantar-se da cama de manhã,
o fiel devia desfazer a marca do corpo nos lençóis, e ao tirar a panela do fogo, devia
revolver as cinzas para também remover a marca deixada. E muito, muito mais.
(STRATHERN, 1998, p. 46).
A religião pitagórica seguia muitas regras, mas todas eram de natureza religiosa e não
civil, ou seja, fatos ligados a assuntos políticos só podiam ser tratados como um modo
religioso de vida. Apesar disso, o pitagorismo passou a ser visto pelos governantes
aristocráticos como uma espécie de revolucionários. Depois de trinta anos em Crotona
Pitágoras e seus discípulos foram expulsos, isso ocorreu por volta de 500 a.C. Nesta época já
tinha cerca de trezentos discípulos que diziam ser seus seguidores. Pitágoras juntamente com
seus discípulos seguiram então para Metaponto que era outra cidade-colônia grega. Não muito
depois da sua chegada a Metaponto Pitágoras faleceu. Segundo fontes ele teria morrido
queimado em um incêndio na casa comunitária onde morava, o mesmo teria sido provocado
por manifestantes antipitagóricos, nesta época Pitágoras devia ter em torno de sessenta anos.
(STRATHERN, 1998).
15
Segundo texto encontrado no site da wikipédia (2010), Pitágoras tinha alguns
pensamentos ou ditos que eram bem conhecidos pelas pessoas que conviviam com ele ou que
por algum motivo tiveram contato. Os ditos mais conhecidos da época eram os seguintes:
1. Educai as crianças e não será possível punir os homens.
2. Não é livre quem não obteve domínio sobre si.
3. A melhor maneira que o homem dispõe para se aperfeiçoar é aproximar-se de Deus.
4. A vida é como uma sala de espetáculos: entra-se, vê-se e sai-se.
5. A evolução é a Lei da Vida, o Número é a Lei do Universo, a Unidade é a Lei de Deus.
6. Tudo é número.
7. Pensem o que quiserem de ti; faz aquilo que te parece justo.
8. Ajude teus semelhantes a levantar a carga, mas não a carregues.
9. Com ordem e com tempo encontra-se o segredo de fazer tudo e tudo fazer bem.
10. O que fala semeia; o que escuta recolhe.
Através destes pensamentos pode-se ter uma idéia geral de como era o dia-a-dia de
Pitágoras, quais eram as crenças ou mitos que acima de tudo ele fazia questão de priorizar.
Podemos dizer que Pitágoras representava muito para o povo daquela época, ele era
filósofo, astrônomo, matemático, santo, profeta, milagreiro e mágico. Seus seguidores
cultivaram suas crenças por quase todo o mundo grego. Em nenhuma outra época a
matemática teve um papel tão importante na vida e na religião como tinha entre os
pitagóricos. (BOYER, 1996).
16
4 A ESCOLA PITAGÓRICA
Fundada em Crotona a escola pitagórica era politicamente conservadora e mantinha um
código de conduta muito rígido, ou seja, era uma irmandade estreitamente unida por ritos
secretos e cerimônias, nenhum dos seus discípulos jamais violou a regra até mesmo depois da
morte de Pitágoras e do fim da escola. Além disso, a escola era totalmente vegetariana,
aceitando assim a doutrina da metempsicose, ou seja, transmigração das almas. Todas as
proibições estabelecidas por Pitágoras em sua religião na escola eram seguidas com muito
rigor. Era uma espécie de escola com caráter duplo, pois dedicava-se a questões espirituais e
além disso aos estudos de Matemática, Astronomia e Música. (BOYER, 1996).
Os pitagóricos tinham por costume atribuir todas as descobertas ao fundador, por isso hoje
é tão difícil saber se foi realmente Pitágoras que fez estas descobertas ou se foram outros
membros que na época eram chamados de seus seguidores. (EVES, 1997).
Eves (1997), afirma que os pitagóricos em seus estudos, chegaram à conclusão de que
“tudo é número”. Eles acreditavam que toda uma série de realidades e fenômenos naturais são
traduzíveis por relações numéricas, como por exemplo, os fenômenos musicais, a
periodicidade do movimento celeste e os fenômenos da vida, deduzia-se que os elementos dos
números eram os elementos da realidade:
A filosofia pitagórica baseava-se na suposição de que a causa última das várias
características do homem e da matéria são os números inteiros. Isso levava a uma
exaltação e ao estudo das propriedades dos números e da aritmética (no sentido de
teoria dos números), junto com a geometria, a música e a astronomia, que
constituíam as artes liberais básicas do programa de estudos pitagórico. Esse grupo
de matérias tornou-se conhecido na Idade Média como quadrivium, ao qual se
acrescentava o trivium, formado de gramática, lógica e retórica. Essas sete artes
liberais vieram a ser consideradas como a bagagem cultural necessária de uma
pessoa educada. (EVES, 1997, p. 97).
Para entrar na escola o candidato era submetido a rudes provas, tanto psicológicas como
físicas e se fosse aprovado nestes testes era chamado de “acusmático”, ou seja, era
17
obrigado a passar um período de cinco anos de contemplação, guardando perfeito silêncio.
O site citado abaixo, nos fala um pouco mais sobre isso:
O elemento da fé entrava a tal ponto na sua aprendizagem, que “autos efa”- ele
disse- constituía uma destacada feição da Escola; por isso a sua afirmação “Um
amigo meu é o meu outro eu” tornou-se um provérbio naquele tempo. O ensino era
em grande parte secreto, sendo atribuídos a cada classe e grau de instruções certos
estudos e ensinamentos; somente o mérito e a capacidade permitiam a passagem
para uma classe superior e para o conhecimento de mistérios mais recônditos.
(PROF2000, 2010).
Pereira (2002) nos diz que em sua escola ele lutava a favor da aceitação do diferente, as
mulheres que eram excluídas das escolas na época, tinham a mesma chance de conseguir uma
vaga e, além disso, para conseguir entrar era preciso ter um certo nível de inteligência:
[...] somente os que se mostravam capazes de se impor severas privações físicas e de
alimentar seu pensamento eram considerados verdadeiros membros da confraria
pitagórica. Ter descendência nobre ou exercer funções influentes não fazia com que
alguém fosse admirado para as conferências de Pitágoras, pois os candidatos que
não apresentassem um mínimo de inteligência, ou condições éticas mínimas, eram
excluídos inapelavelmente. Quanto às mulheres, eram admitidas nas mesmas
condições que o homem [...]. (PEREIRA, 2002, p. 50-51).
O pentagrama, conforme figura 1, era o símbolo da Escola Pitagórica, que segundo
Pitágoras possui muitas propriedades interessantes.
Figura 1: Símbolo da Escola Pitágoras.
Fonte: Wikipedia (2010)
18
Boyer (1996), diz que este pentagrama é obtido traçando as diagonais de um pentágono
regular. Através das intersecções dos segmentos da diagonal se obtém um novo pentágono
regular, que é proporcional ao original pela razão áurea ou secção áurea:
Se começarmos com um polígono regular ABCDE (Fig. 2) e traçarmos as cinco
diagonais, essas diagonais se cortam em pontos A’B’C’D’E’, que formam outro
pentágono regular. Observando o triângulo BCD’, por exemplo, é semelhante ao
triângulo isósceles BCE e observando também os muitos pares de triângulos
congruentes no diagrama, não é difícil ver que os pontos A’B’C’D’E’ dividem as
diagonais de um modo notável. Cada um deles divide uma diagonal em dois
segmentos desiguais, tais que a razão da diagonal toda para o maior é igual à deste
para o menor. Essa subdivisão das diagonais é a bem conhecida “secção áurea” de
um segmento [...]. (BOYER, 1996, p. 34).
Figura 2: Subdivisão das diagonais de um pentágono.
Fonte: Boyer (1996)
Eves (1997), nos diz sobre o fim da escola: “[...]com o tempo, a influência e as tendências
aristocráticas da irmandade tornaram-se tão grandes que forças democráticas do sul da Itália
destruíram os prédios da escola fazendo com que a confraria se dispersasse. [...]” , foi neste
período que Pitágoras então foi expulso de Crotona e fugiu para Metaponto.
Vários nomes que fizeram parte da escola pitagórica, entre eles alguns foram destaque:
Filolaus de Tarento que nasceu por volta de c. 470 a.C. e morreu c. 390 a.C.; Arquitas de
Tarento, nasceu em 428 a.C. e Hipasus de Metapontum que viveu por volta de 400 a.C..
Alguns séculos mais tarde, a Escola Pitagórica voltou a reviver e seus membros passaram a
ser chamados então de neo-pitagóricos, um destes membros que mais se destacou foi
Nicômaco de Gerasa, que viveu em torno do ano 100. A existência da Escola Pitagórica se
prolongou por cerca de mil anos desde a sua fundação. (DM.UFSCAR, 2010)
19
Uma das grandes contribuições da escola pitagórica à matemática foi organizar algumas
partes da geometria das paralelas, por meio do método demonstrativo, ou seja, por meio de
teoremas. Mas apesar de sua importância, nenhum escrito sobre a escola pitagórica
sobreviveu, as informações que conhecemos vieram de fontes indiretas muito posteriores.
20
5 DESCOBERTAS E CONTRIBUIÇÕES DE PITÁGORAS PARA MATEMÁTICA
5.1 MISTICISMO SOBRE OS NÚMEROS
Para Pitágoras o mundo era formado por números, para mostrar isso eles reduziram tudo o
que existe a figuras geométricas simples. O número 1 era representado como um ponto, o 2
uma linha, o 3 como uma superfície e o 4 como um sólido. (BOYER, 1996). Em resumo seria
o seguinte:
Figura 3: Representação dos números pitagóricos.
Fonte: Strathern (1998)
O mundo se traduz nesses números e em seus múltiplos, ele considerava o 10 como um
número sagrado, ou seja, o mais adorado de todos, por ser a soma destes quatro números
(1+2+3+4). (BOYER, 1996).
Era considerado também como o primeiro exemplo de número perfeito (chamado de
tetractis) e podia ser representado por uma pirâmide.
Figura 4: Representação da pirâmide pitagórica.
Fonte: Strathern (1998)
21
A pirâmide continha todos os números que faziam parte da harmonia fundamental da
música, 2:1, 3:2, 4:3, portanto, segundo Strathern (1998), estava ligada à harmonia das
esferas.
Um outro exemplo de número perfeito, consiste nos números iguais à soma de seus
divisores, incluindo o 1, mas excluindo o próprio número (STHATHERN,1998). Por
exemplo:
6=1+2+3
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
Os outros números perfeitos conhecidos pelos pitagóricos eram o 496 e o 8128. Através
dos números perfeitos, Pitágoras descobriu os números amigos que nada mais são do que
pares numéricos em que cada número é igual a soma dos fatores de outro. Por exemplo:
220 pode ser dividido por 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110. A soma destes números dá
284, que por sua vez pode ser dividido por 1, 2, 4, 71 e 142, cuja soma dá 220.
(STHATHERN, 1998).
Sthathern (1998), afirma que além dos números perfeitos e dos números amigos, os
pitagóricos também conheciam o número triangular, que consistia no seguinte:
1
1+2+1
1+2+3+2+1
1+2+3+4+3+2+1
1+2+3+4+5+4+3+2+1
= 1²
= 2²
= 3²
= 4²
=5²
E assim sucessivamente
Figura 5: Representação dos números triangulares.
Fonte: Stathern (1998)
Cada número tinha um significado diferente, por exemplo, o número 1 é o gerador dos
números e representava a razão, 2 a opinião, o três era o número da harmonia, sendo
composto de unidade e diversidade, 4 a justiça ou o ajuste de contas, 5 era associado ao
casamento e também a natureza, porque quando multiplicado por si mesmo dá um resultado
que termina em si mesmo, o 6 é o número da criação. (BOYER, 1996).
Os números eram divididos em machos e fêmeas, e segundo Strathern (1998), para
Pitágoras o primeiro número da numeração a ser considerado era o 3:
22
Os números dividem-se em machos (ímpares) e fêmeas (pares). Essa premissa
básica trouxe-lhe, porém, certas dificuldades. O número 1 não poderia ser o primeiro
porque realmente não era um número de fato ─ era todo indivisível e, nesse estado
indivisível, avesso inteiramente à noção divisional dos números da matemática. Por
outro lado, 2 certamente não podia ser o primeiro número, pois era fêmea. O céu
proibia. Então Pitágoras decidiu que 3 era o primeiro número real ─ pela engenhosa
razão de que era o primeiro número complexo, porque tinha começo, meio e fim.
(STRATHERN, 1998, p. 42).
Além dos pitagóricos, muitas outras civilizações primitivas também tinham como
referência este tipo de numerologia, mas foram os pitagóricos que adotaram com mais
seriedade a adoração dos números, chegando até mesmo a mudar seus modos de vida.
(BOYER, 1996).
5.2 A DESCOBERTA DOS IRRACIONAIS
A descoberta dos números irracionais foi um grande segredo que os pitagóricos da época
fizeram questão de manter, pois até o momento eram conhecidos somente os números
racionais e acreditava-se que estes eram capazes de explicar tudo, isso é o que Strathern
(1998), afirma em seu livro:
Outro grande segredo que os pitagóricos fizeram o máximo para preservar foi a
descoberta dos números irracionais, como a raiz quadrada de 2, que não podem ser
calculados. Significava que toda a estrutura da matemática, baseada em números
racionais, simplesmente não podia explicar tudo. A teoria pitagórica nunca
conseguiu superar essa devastadora descoberta, o que talvez explique por que os
pitagóricos se esforçaram tanto para mantê-la em segredo. (STRATHERN, 1998, p.
54).
Segundo a lenda, o pitagórico Hipaso teria sido lançado ao mar por ter revelado a pessoas
estranhas o segredo dos irracionais ou segundo outra versão teria sido expulso da comunidade
pitagórica e teria sido erguido um túmulo como se ele estivesse morto. (EVES, 1997).
Essa descoberta foi uma conseqüência direta do teorema de Pitágoras, pois se um
triângulo tem catetos de comprimento 1, sua hipotenusa terá um comprimento x satisfazendo:
23
x² = 1² + 1² → x² = 2, portanto a razão entre a hipotenusa e um cateto não será uma fração
entre dois inteiros e sim um número irracional, raiz quadrada de 2. Essa descoberta era
inconciliável com a teoria dos números pitagóricos. A matemática da época era sobretudo
geometria. Os pitagóricos não podiam imaginar um número, cujo a representação era em
forma de uma figura em uma dimensão sem fim.
Na época os gregos ainda não conheciam o símbolo da raiz quadrada e diziam
simplesmente “o número que multiplicado por si mesmo é 2”. Após algum tempo muitos
outros números irracionais foram descobertos por Teodoro da Cirene como por exemplo √3,
√5, √6, √7, √8, √10, √11, √12, √13, √14, √15 e √17. (EVES, 1997).
5.3 ALGUMAS DEMONSTRAÇÕES SOBRE O TOREMA DE PITÁGOAS
Já é tradição atribuir a Pitágoras a descoberta de seu teorema que diz: Num triângulo
retângulo, a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos
quadrados construídos sobre os dois catetos. Mas pesquisas realizadas no campo da História
da Matemática indicam que muito antes dos pitagóricos, na Babilônia, no tempo de
Hamuradi, já se tinha conhecimento sobre este teorema. (EVES, 1997).
Os antigos egípcios utilizavam uma corda com treze nós, de modo a determinar um ângulo
reto, com os nós todos com a mesma distância em relação uns com dos outros e o primeiro nó
com o décimo terceiro sobreposto. No entanto de acordo com Boyer (1996), acredita-se que a
primeira demonstração desta relação foi dada por Pitágoras, no século VI a.C.
Figura 6: Modelo da corda de 13 nós.
Fonte: Boyer (1996)
24
A importância do Teorema de Pitágoras pode ser sentida nas mais diversas áreas, como
por exemplo, em Arquitetura, em Agronomia, em Engenharia, em modelos matemáticos da
física e outros. Abaixo são citadas algumas das demonstrações deste teorema.
Demonstração 1: (Quadrado Chinês)
Esta é considerada uma das demonstrações mais elegantes do Teorema de Pitágoras
Figura 7: Demonstração do Teorema de Pitágoras através do Quadrado Chinês.
Fonte: Furuya (1998)
O primeiro é composto por seis figuras: um quadrado de lado a, um quadrado de lado b e
quatro triângulos retângulos de catetos a e b. Se chamarmos de S a área de um desses
triângulos e sendo a área total da figura (a + b)², temos:
(a + b)² = a² + b² + 4S
O segundo quadrado também é composto por quatro triângulos retângulos iguais e de um
quadrado de lado c, equivalente à hipotenusa dos triângulos. Logo, neste quadrado temos:
(a + b)² = c² + 4S
Igualando os segundos membros das duas equações temos:
c² + 4S = a² + b² + 4S
Cancelando 4S dos dois lados da equação acima resulta:
c² = a² + b²
25
Demonstração 2: (Bhaskhara)
Esta é uma outra demonstração obtida através da decomposição de um quadrado. Quem
fez esta demonstração foi o matemático Bhaskara do século XII. Segundo fontes ele teria
apenas desenhado a figura e escrito “Veja!”.
Figura 8: Demonstração do Teorema de Pitágoras através de Bhaskara.
Fonte: Furuya (1998)
O quadrado maior de lado c, é decomposto em quatro cópias do triângulo e mais um
pequeno quadrado de lado a – b.
Demonstração 3: (Semelhança de Triângulos)
Figura 9: Demonstração do Teorema de Pitágoras através de Triângulos Semelhantes.
Fonte: Oliveira (2008)
26
Vamos considerar o triângulo acima de catetos b e c e hipotenusa a. A altura AH, relativa
a base BC, divide este triângulo em dois outros: BHA e CHA. Como os ângulos agudos de
um triângulo retângulo somam 90°, os triângulos retângulos ABC, HBA e HAC, possuem os
mesmos ângulos, logo são semelhantes.
Figura 10: Demonstração do Teorema de Pitágoras através de Triângulos Semelhantes.
Fonte: Oliveira (2008)
Como os triângulos ABC e HBA são semelhantes obtemos:
BC/BA = BA/BH
a/c = c/m
c² = ma
Como os triângulos ABC e HAC são semelhantes obtemos:
BC/AC = AC/HC
a/b = b/n
b² = na
Logo temos:
b² + c²= na + ma
b² + c²= (n + m) a
b² + c²= a. a
b² + c²= a²
27
Demonstração 4: (Semicircunferências)
Figura 11: Demonstração do Teorema de Pitágoras através de semicircunferências.
Fonte: Autor (2010)
Seja A1 a área da semicircunferência formada sobre a hipotenusa “a” do triângulo; A2 a
área sobre o cateto “b” e A3 sobre o cateto “c”.
Aplicando a fórmula da área da circunferência que é: A = π r² e dividindo por dois, pois
temos a metade de uma circunferência ficamos com:
A1 = ( π a²/4 )/2
A2 = ( π b²/4 )/2
A3 = ( π c²/4 )/2
A1 = π a²/8
A2 = π b²/8
A3 = π c²/8
Para provar a teorema temos que mostrar que A1 = A2 + A3, logo:
π a²/8 = π b²/8 + π c²/8
Cancelando π /8 de ambos os lados da igualdade ficamos com:
a² = b² + c²
Existem inúmeras demonstrações do Teorema de Pitágoras. Em 1940 o americano
matemático Elisha Scott Loomis, em seu livro “The Pythagorean Proposition”, publicou cerca
de 367 demonstrações.
28
6 APLICAÇÕES
Exemplo 1
O Teorema de Pitágoras possui inúmeras aplicações nas diversas áreas de atuação do
homem. Por exemplo, a área de transportes que é considerado muito importante para o
desenvolvimento do país e o Teorema de Pitágoras está presente no intuito de dinamizar cada
vez mais o setor.
Vamos considerar a seguinte situação abaixo:
Dois navios A e B partem em sentidos diferentes: o primeiro para o norte e o segundo para
o leste, o navio A com velocidade constante de 30 Km/h e o navio B com velocidade
constante de 40 Km/h. Qual será a distância entre eles após 6 horas?
Distância percorrida pelo navio A após 6 horas:
D = 30.6 = 180 km
Distância percorrida pelo navio B após 6 horas:
D = 40.6 = 240 km
Veja o esquema, aplicando a Teorema de Pitágoras:
Figura 12: Esquema da aplicação do Teorema de Pitágoras.
Fonte: Mundoeducacao (2010)
Logo a distância entre eles será de 300 km
29
Exemplo 2
Como determinar o raio de uma circunferência circunscrita em um triângulo isósceles de
base 8 e altura 10?
Na figura a seguir temos o triângulo isósceles ABC de base BC = 8 e altura AM = 10,
inscrito em uma circunferência de centro O e raio R.
Figura 13: Triângulo inscrito em uma circunferência.
Fonte: Oliveira (2008)
Como OB = OC = R, o ponto O está na mediatriz de BC, que é a altura AM. Os pontos A,
O e M estão alinhados e OM = AM – AO = 10 – R
Logo aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo OBM, temos:
R² = 4² + (10 – R)²
R² = 16 + 100 – 20R + R²
20R = 116
R = 116/20
R = 5,8
Portanto o raio será de 5,8
Exemplo 3:
Lunúlias de Hipócrates:
30
Seja dado um triângulo retângulo e três semicircunferências tendo os lados desse triângulo
como diâmetro. Conforme a Figura a seguir:
Figura 14: Imagem formada por um triângulo e três semicircunferências.
Fonte: Mat.ufg (2010)
Neste caso, a soma das áreas das duas lúnulas hachuradas na figura é igual à área do
triângulo.
Seja T a área do triângulo.
Sejam P e Q as áreas das lúnulas hachuradas.
Sejam U e V as áreas compreendidas entre as lúnulias e os catetos do triângulo, conforme
a figura a seguir:
Figura 15: áreas compreendidas entre as lúnulias e os catetos do triângulo.
Fonte: Mat.ufg (2010)
Através da aplicação do Teorema de Pitágoras conclui-se que: a área do semicírculo
construído sobre a hipotenusa é igual a soma das áreas dos semicírculos construídos sobre os
catetos, então temos:
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T + U + V = (P + U) + (Q + V), ou seja,
T=P+Q
A partir de então conclui-se que: a soma das áreas das duas lúnulias é igual à área do
triângulo.
Exemplo 4:
O Teorema de Pitágoras é um dos conteúdos que mais costuma ser mencionado em
vestibulares, concursos ou algo deste gênero, por exemplo, problema a seguir foi cobrado na
prova do ENEM (Exame Nacional de Ensino Médio) em 2006, que consistia no seguinte:
A figura abaixo, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura,
o comprimento total do corrimão é igual a:
a) 1,8m
b) 1,9m
c) 2,0m
d) 2,1m
e) 2,2m
Figura 16: Modelo de uma escada, onde é aplicado o Teorema de Pitágoras.
Fonte: Enem (2006)
Se cada degrau tem 24 cm, o comprimento total em “linha reta” da base do triângulo
formado mede:
24 . 5 = 120 cm
32
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo formado, para obter a medida da hipotenusa,
temos:
x² = 90² + 120²
x² = 8100 + 14400
x² = 22500
extraindo a raiz quadrada de ambos os lados:
x = 150 cm
Logo a medida do corrimão é:
150 cm + 30 cm + 30cm = 210 cm
Transformando para metros, resulta em 2,1 m
Exemplo 5:
Uma escada com 6 metros de comprimento, está encostada a um muro com 4,47 metros de
altura, de modo que uma das extremidades da escada esta encostada à parte de cima do muro,
conforme a figura abaixo. Qual a distância da escada ao muro, medida sobre o chão?
Figura 17: Esquema da distância de uma escada em relação ao muro.
Fonte: Educ.fc.ul (2010)
Aplicando o Teorema de Pitágoras:
6² = (4,47)² + p², logo:
p² = 16,0191
Aplicando a raiz quadrada p, vem:
p = 4,0024
Portanto a distância da escada ao muro é de 4,0024m
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
Pitágoras além de ter sido místico, filósofo e matemático, fez descobertas as quais muitas
delas ainda hoje estão presentes no ensino da matemática, como por exemplo os números
irracionais e o Teorema de Pitágoras. Mas para chegar a certas conclusões muitos estudos e
viagens em busca de novos saberes foram realizados.
A dificuldade apresentada pelo número irracional deve-se ao fato de que a Matemática, na
época, era sobretudo geometria. Utilizando-se sempre de recursos geométricos, os pitagóricos
não podiam compreender um número cuja representação em uma figura apresentasse uma
dimensão sem fim.
Diante desses impasses, o pitagorismo apresentou uma grande flexibilidade de
pensamento. Nisto também ele é uma seita diferente das outras, que tendem mais a se fechar
em seus dogmas e evitar os problemas não previstos. Desenvolvendo constantemente suas
investigações os pitagóricos difundiram suas idéias por toda a Grécia, influenciando todo o
pensamento científico e filosófico posterior, que encontraria na Matemática um dos seus
modelos preferidos de raciocínio.
As idéias de Pitágoras estão muito além do pensamento racional que havia surgido na
Jônia. Por outro lado, porém o pitagorismo representa um marco decisivo no desenvolvimento
do pensamento racional e científico por ter elevado à condição divina uma das realizações
mais racionais do homem: a Matemática. Com os pitagóricos, a Matemática libertou-se da
condição de mera técnica que atendia às necessidades práticas de agrimensura, para constituirse em uma ciência pura, ainda que revestida de uma religiosidade.
O Teorema de Pitágoras, como podemos analisar é de grande importância na resolução de
problemas do dia a dia e, além disso, serve de base para as mais diversas demonstrações de
conceitos matemáticos, como Trigonometria e Geometria Analítica. Porém este conteúdo ao
longo do tempo tem sido abordado pelos profissionais como simples memorização de
fórmulas e aplicações mecânicas, sem promover ao aluno uma aprendizagem significativa,
tornando o assunto desmotivado, sem expressar o valor e a relevância que tivera na
construção da Matemática.
34
Ao concluir este trabalho pode-se dizer que contextualizar o período histórico de sua
construção, conhecer o seu criador, suas idéias, suas demais produções é um fator motivador
ao estudo por parte dos alunos. Não basta apenas ensinar ao aluno um determinado conteúdo
de uma maneira acabada é preciso mostrar a ele como e quando surgiu esta idéia, para que
assim possamos responder os “porquês” dentro do processo ensino aprendizagem.
35
REFERÊNCIAS
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D’AMBRÓSIO, U. História da Matemática e Educação. Cadernos CEDES – História e
Educação Matemática, São Paulo: Papirus, 1996.
DM.UFSCAR. Pequena Bibliografia. Disponível em: < www.dm.ufscar.br/hp/hp0/hp0.html>.
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EVES, H. Introdução à História da Matemática. 2. ed. São Paulo: Unicamp, 1997.
FURUYA, Y. K. S. Programa de geração da Árvore de Pitágoras bidimensional. 1998,
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Acessado em: 18 jan. 2010.
NOBRE, S. Alguns “porquês” na História da Matemática e suas contribuições para a
educação matemática. Cadernos CEDES – História e Educação Matemática. São Paulo:
Papirus, 1996.
OLIVEIRA, J. A. Teorema de Pitágoras. 2008. Disponível em: <
http://www.mat.ufmg.br/~espec/monografiasPdf/Monografia_Juliane.pdf> Acessado em: 18
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36
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Fundo: UPF, 2002.
PROF2000.
Quem
foi
Pitágoras?
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WIKIPÉDIA, a enciclopédia livre. 2010. Disponível em:
< http://pt.wikipedia.org/wiki/Pit%C3%A1goras>. Acesso em: 18 jan. 2010.