Escola EB 2,3/S Vieira de Araújo
Matemática A
Docente: Vítor Pereira
Discentes: Adriana Maria Vieira, nº1
João Nuno Machado, nº13
11ºA
Vieira do Minho
Ano Lectivo 2009/2010
Índice
1.Introdução ............................................................................................................... 3
2.Triângulos ................................................................................................................ 4
3.O que é o ângulo? .................................................................................................... 7
4.Trigonometria ........................................................................................................ 11
5.Astronomia ............................................................................................................ 17
6.Astronomia e Trigonometria ................................................................................. 18
6.1. Interacção ...................................................................................................... 18
6.2.Na Antiguidade ............................................................................................... 19
6.3.Na Actualidade ................................................................................................ 20
7.Conclusão .............................................................................................................. 23
8.Bibliografia ............................................................................................................. 24
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1.Introdução
Desde cedo que a matemática se encontrou presente na vida de cada pessoa e foi
tomada como matéria de grande importância pelos governadores: recorria-se à
matemática para construir edifícios, para calcular o que seria necessário para sustentar
um exército em campanha, para navegação marítima e para diversas outras áreas.
Esta última, a navegação marítima, é de especial interesse, pois graças à
necessidade de navegação foi necessário desenvolver duas ciências que se ajudaram
mutuamente – a Astronomia e a Matemática. A Matemática foi necessária para
desenvolver a Astronomia, pois este envolvia cálculos de distâncias de astros, por
exemplo, e medidas de ângulos; a Astronomia ajudou a desenvolver a Matemática
porque houve uma necessidade de se explorar mais esta última para se poder utilizá-la
na primeira. Por sua vez, ambas as áreas convergiam na necessidade de se navegar por
mares pouco conhecidos na época.
A navegação marítima e, por sua vez, a Astronomia ajudaram a desenvolver
especialmente uma área particular da Matemática, denominada de Trigonometria.
Esta não foi, como se pensa, desenvolvida na construção de edifícios e perfurações
para poços, por exemplo, mas sim durante estudos de Astronomia. Para a construção
de poços e de edifícios utilizava-se inicialmente um outro conhecimento matemático,
que era a semelhança de triângulos.
Ao longo do trabalho abordar-se-á a trigonometria e a astronomia primeiro em
separado, e só depois serão ambas relacionadas. Para a trigonometria serão dadas
também informações necessárias para a sua compreensão, tal como a noção de ângulo
e de triângulo rectângulo.
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2.Triângulos
Os triângulos são figuras geométricas que ocupam um importante lugar na
sociedade. Isso pode ser facilmente observado, se se olhar, por exemplo, para um
guindaste. Observa-se que este é constituído por várias secções triangulares. Se se
olhar para uma ponte, observa-se a mesma coisa. O triângulo, devido à sua capacidade
de suportar muito peso, é utilizado por engenheiros para garantir uma maior
segurança. Esta é uma das áreas de aplicação dos triângulos mais facilmente
observadas no dia-a-dia.
Um triângulo pode ser descrito basicamente como uma figura do plano limitada
por três lados. Um triângulo é assim chamado porque as linhas que o delimitam
formam três ângulos internos.
Para que possa haver um triângulo, é necessário que ele cumpra uma condição,
que pode ser enunciada da seguinte forma: o lado de um triângulo tem que ser menor
do que a soma dos outros dois e maior do que o valor absoluto da sua diferença ou,
expressando de uma maneira matemática seguindo os dados do triângulo da fig. 1,
𝑎−𝑏 <𝑎 <𝑏+𝑎
a
c
b
Figura 1 - Representação de um triângulo.
Os triângulos podem ser classificados consoante o tamanho dos lados ou
consoante os seus ângulos internos. Assim, os triângulos podem ser, quanto aos lados:
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escalenos, equiláteros e isósceles. Quanto aos ângulos podem ser rectângulos,
acutângulos e obtusos.
Figura 2 - Classificação dos triângulos quanto aos lados.
Figura 3 - Classificação dos triângulos quanto aos ângulos.
Assim, um triângulo será escaleno se tiver os lados todos diferentes, equilátero se
tiver os lados todos iguais (o que implicará que os ângulos internos também o sejam) e
isósceles se possuir dois lados iguais (o que resultará em dois ângulos internos
também iguais). Quanto aos ângulos, será acutângulos se possuir os três ângulos com
uma amplitude menor que 90º, obtusângulo se tiver um dos ângulos com amplitude
superior a 90º e rectângulo se tiver um dos ângulos com uma amplitude igual a 90º.
Os triângulos gozam de algumas propriedades relacionadas com os ângulos, tais
como o facto de a soma dos ângulos internos de um triângulo ser 180º e o facto de um
ângulo externo de um triângulo ser igual à soma dos dois ângulos internos que lhe não
são adjacentes.
Um dos triângulos com que a Matemática mais trabalha é o triângulo rectângulo.
Foi a partir dele que Pitágoras elaborou o famoso Teorema ao qual lhe foi dado o seu
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nome, que pode ser enunciado do seguinte modo: “num triângulo rectângulo, a soma
dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.”. Através deste
teorema, é possível o cálculo de qualquer lado de um triângulo rectângulo conhecendo
apenas dois.
Para se compreender esse teorema é necessário antes saber o que são catetos e o
que é a hipotenusa. Os catetos são os lados adjacentes ao ângulo de 90º, enquanto a
hipotenusa é o lado que lhe é oposto (ver fig. 4).
cateto
hipotenusa
cateto
Figura 4 - Triângulo rectângulo, com catetos e hipotenusa assinalados.
Pegue-se no exemplo, uma vez mais, da fig. 1. Sendo b a hipotenusa e a e c os
catetos, sabe-se que 𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑐 2 .
É, no entanto, possível saber o lado de um qualquer triângulo utilizando os outros
dois lados através de um outro teorema, o Teorema de Carnot, que foi enunciado por
Lazare Carnot (1753-1823) da seguinte forma: “Num triângulo, o quadrado de um lado
é igual à soma dos outros dois, diminuída do dobro do produto desses lados pelo coseno do ângulo por eles formado” [1], ou seja:
𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 ∗ cos 𝛼, sendo 𝛼 o ângulo formado pelos lados b e c.
Existem ainda outras propriedades dos triângulos. Umas não serão aqui referidas,
por não se achar necessário, outras serão deixadas para capítulos posteriores a este.
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3.O que é o ângulo?
O ângulo consiste na região de abertura de duas semi-rectas que possuem uma
origem comum.
Os ângulos podem ser medidos de diversas maneiras e recorrendo a diferentes
unidades, tais como o grau (a medida mais comum), o radiano (a medida do Sistema
Internacional para ângulos planos) e o radiano (mais utilizado em engenharia). Como
estas três são as mais utilizadas (especial destaque para as duas primeiras), não se fará
menção qualquer a outras medidas de ângulo conhecidas.
O grau (símbolo º) é a medida de ângulo mais antiga que se conhece. Julga-se que
essa unidade tenha sido desenvolvida em c. 4000 a.C., quando os antigos Egípcios se
encontravam a elaborar um calendário. Naquela época, suponha-se que o Sol girava à
volta da Terra, e que o primeiro demorava 360 dias inteiros para dar uma volta
completa à Terra. Assim, convencionou-se que um grau seria o arco descrito pelo Sol
durante um dia. Por isso, 360º equivale a uma volta completa e 1º corresponde a
1
360
de uma circunferência.
Figura 5 - Semi - círculo dividido, onde se pode observar ângulos de 0º, 45º,90º, 135º e 180º.
O radiano (símbolo rad) foi desenvolvido por volta de 1873 por Tomas Muir e
James Thomson. Corresponde ao ângulo formado no centro de uma circunferência
pelo arco com o mesmo comprimento que o raio do círculo. Assim, o ângulo, em
radianos, correspondente aos 360º é o 2𝜋, e 1 rad ≈ 57,296º. A utilização dos radianos
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facilita muito determinadas operações matemáticas e físicas, daí ser a unidade do
Sistema Internacional.
Figura 6 - Círculo, onde se pode observar 1 radiano, e que o arco por ele formado é igual ao raio.
Figura 7 - Relação entre os ângulos em radianos e em graus.
O grado (símbolo gon) foi uma tentativa, que foi frustrada, de usar o sistema
decimal na medição de ângulos. Como todas as medidas do sistema internacional, tais
como comprimentos, volumes, etc., se encontram em sistemas decimais e apenas a
amplitude angular e o tempo se encontram em sistema sexagesimal, tentou fazer-se
com que o primeiro tivesse também uma medida num sistema decimal. Assim, dividiuse o ângulo recto em 100 partes iguais, o que equivale a dizer que se dividiu o círculo
𝜋
em quatrocentas partes iguais. Desse modo, pode-se dizer que 1gon = 200 rad = 0,9º.
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Figura 8 - Transferidor em grados.
Existem aparelhos específicos para medir ângulos, sendo os tecnologicamente mais
avançados os teodolitos. Existem, no entanto, outros, tais como o transferidor,
utilizado para medir ângulos a duas dimensões, e outros que foram utilizados pelos
navegadores antigos, como o astrolábio e o sextante, ambos para medir ângulos
relativos aos astros que os guiavam.
Figura 9 - Teodolito digital.
Tal como os triângulos, os ângulos podem ser classificados de acordo com a sua
medida. Na lista que se mostrará a seguir, a medida estará em graus, por ser a mais
comummente utilizada.
⇒ Ângulo agudo: ângulos cuja medida se encontra entre os 0º e os 90º;
⇒ Ângulo recto: 90º;
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⇒ Ângulo obtuso: ângulos cuja medida se encontra compreendida entre 90º e
180º;
⇒ Ângulo giro: 360º;
⇒ Ângulo nulo: 0º;
⇒ Ângulo raso: 180º;
⇒ Ângulo côncavo: mede mais de 180º e menos de 360º.
Dois termos referentes aos ângulos que também são importantes é a
suplementaridade e complementaridade. Ângulos suplementares são aqueles cuja
soma é igual a 180º e ângulos complementares são aqueles que quando somados dão
um valor igual a 90º.
Os ângulos podem ainda ter um sentido: sentido directo e sentido retrógrado. O
sentido directo é descrito quando uma semi-recta realiza uma rotação contrária aos
ponteiros dos relógios em volta da recta de origem; o sentido retrógrado é descrito
quando uma semi-recta realiza uma rotação com o mesmo sentido que os ponteiros
do relógio, em torno do lado origem.
Ao sentido directo é também comum chamar de sentido positivo, enquanto que ao
sentido retrógrado se chama sentido negativo.
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4.Trigonometria
A trigonometria é uma área da Matemática que se dedica ao estudo dos triângulos
e às relações que podem ser estabelecidas entre os seus lados; essas relações são
denominadas de razões trigonométricas e são elas o seno (sen), o co-seno (cos) e a
tangente (tan).
Antes de mais, é preciso saber que triângulos semelhantes terão razões
trigonométricas iguais. Para os triângulos serem semelhantes devem cumprir um dos
seguintes critérios: ter todos os ângulos internos iguais, ter todos os lados
proporcionais ou terem dois lados proporcionais com um ângulo igual.
Assim, as razões trigonométricas dependem somente dos ângulos internos dos
triângulos e não dos seus lados.
Para o estudo das razões trigonométricas utilizam-se triângulos rectângulos.
O seno é uma razão trigonométrica que se obtém a partir da divisão da hipotenusa
pelo cateto oposto ao ângulo em questão.
Imagine-se um triângulo com as seguintes medidas:
9
3
Figura 10 - Triângulo rectângulo com medidas de hipotenusa e cateto oposto em relação ao ângulo α.
Aqui, sin 𝛼 =
3
9
1
= 3.
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É possível também calcular o ângulo α a partir do valor obtido para sin (α). Para
isso utiliza-se a chamada função inversa do seno, simbolizada por 𝑠𝑖𝑛−1 .
1
Neste caso, α = 𝑠𝑖𝑛−1 α = 𝑠𝑖𝑛−1 (3).
Utilizando a calculadora para chegar ao resultado, conclui-se que α ≈ 19,47º.
O co-seno é uma razão que se obtém a partir da divisão da hipotenusa pelo cateto
adjacente ao ângulo em questão. Por sua vez, o co-seno tem também uma função
inversa que permite calcular o ângulo a partir do valor do co-seno, e é representado
por 𝑐𝑜𝑠 −1 .
A tangente corresponde à divisão do cateto oposto pelo cateto adjacente e, tal
como as razões anteriormente abordadas, possui uma função inversa.
Existem outras razões trigonométricas, tais como a co-tangente, contudo estas não
foram abordadas nas aulas de uma maneira tão extensa quanto a tangente, o seno e o
co-seno.
Como a trigonometria lida com ângulos de amplitude superior a 180º e mesmo a
360º, pode-se usar um círculo trigonométrico como auxiliar na compreensão das
razões trigonométricas de um qualquer ângulo.
Antes de mais, importa dar a definição de círculo trigonométrico.
Um círculo trigonométrico é um círculo com centro na origem de um referencial e
de raio 1, ou seja, um círculo definido pela condição 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1.
Figura 11 - Possível representação do círculo trigonométrico.
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Nele podem ser desenhados ângulos através da utilização de duas semi-rectas, da
seguinte forma:
Figura 12 – Representação de ângulos no círculo trigonométrico.
No caso da figura 12, o ângulo é formado pelo lado origem Ox e por outra semirecta com origem em O que vai descrevendo variados ângulos ao longo do círculo, no
sentido directo.
Recorrendo ao círculo trigonométrico, é possível compreender algumas relações
entre os ângulos e as suas respectivas relações trigonométricas. Assim, o co-seno de
um ângulo é igual à abcissa que lhe corresponde e o seno de um ângulo é igual à sua
ordenada.
É possível observar isso da seguinte forma:
Figura 13 - Representação de um ângulo de 45º no círculo trigonométrico.
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O seno do ângulo de α deverá ser calculado segundo a fórmula
sin 𝑥 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
.
Assumindo o cateto oposto como sendo y, sin α =
𝑦
1
⟺ sin 𝛼 = 𝑦. A hipotenusa
tem o valor de 1 é igual ao raio do círculo trigonométrico que, como já foi
anteriormente referido, é 1.
O mesmo pode ser feito para calcular o co-seno. Sabe-se que
cos 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
Portanto,
cos 𝛼 =
𝑥
⟺ cos 𝛼 = 𝑥
1
A tangente é um caso especial. A tangente é definida pela projecção da semi-recta
que forma o ângulo numa recta tangente ao círculo no ponto (1,0) e perpendicular ao
eixo das ordenadas.
Figura 14 - Círculo trigonométrico com projecção de um ângulo.
A partir da análise da figura 14 constata-se que para todo o ângulo que se encontre
nos primeiro e no terceiro quadrante o valor da tangente será positivo e que sucederá
o contrário para os segundo e quarto quadrante.
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O mesmo pode ser feito para o seno e para o co-seno: nos quadrantes onde os
valores do eixo das ordenadas são positivos o seno será igualmente positivo; nos
quadrantes onde os valores presentes no eixo das ordenadas são negativos, o seno
será igualmente negativo. Assim, nos primeiro e segundo quadrantes o valor do seno
será positivo e nos terceiro e quarto quadrantes será negativo. Para o co-seno o
raciocínio é o mesmo, mas desta vez tendo em atenção o eixo das abcissas. Deduz-se,
portanto, que no primeiro e quarto quadrantes o co-seno será positivo e que nos
segundo e terceiro quadrantes o co-seno será negativo.
É importante notar a variação de sinal das relações trigonométricas mais comuns,
pois essas mesmas relações podem ser usadas para definir funções, muito utilizadas
quando há referência a movimentos periódicos e para descrever situações físicas, tais
como a propagação de uma onda. A título de curiosidade, é usual dizer-se que as
funções seno e co-seno são funções harmónicas, uma vez que ambas representam o
que é em física chamado de onda simples harmónica.
Observando a variação do seno no círculo trigonométrico, no sentido positivo, é
fácil observar que o seno aumenta constantemente até que, aos 90º, atinge o valor
máximo de 1. A partir dos 90º o seno vai diminuindo gradualmente até que atinge o
valor de 0, nos 180º. Continua a diminuir (o seno é neste momento negativo) até que
atinge o mínimo, -1, nos 270º. A partir de aí e até aos 360º o seno aumenta, até que
volta a atingir o valor de 0.
Tabela I – Tabela de variação do seno.
0º
90º
180º
270º
360º
0
1
0
-1
0
Daqui se conclui que uma função sen(x) será uma função do género da
apresentada na imagem seguinte.
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Figura 15 - Representação da função seno, -2π até 2π.
O co-seno, como é também uma função harmónica, acaba por ter uma
representação semelhante à função seno, sendo as diferenças principalmente
perceptíveis quando se olha para a origem do referencial: numa função seno a origem
é sempre um 0 da função, enquanto que o mesmo não acontece numa função co-seno.
É de notar também que a função seno é uma função ímpar e a função co-seno uma
função par.
Na função co-seno, quando x=0, a função atinge o valor máximo, 1. O valor do coseno vai diminuindo, até que quando atinge os 90º chega a 0. Continua a diminuir até
que atinge o valor mínimo, de -1. Até aos 270º a função volta a aumentar, até que
atinge o 0, quando se encontra nos 270º. Continua, uma vez mais, a aumentar, até que
quando atinge os 360º volta a tocar no valor de 1.
Tabela II – Tabela de variação do co-seno.
0º
90º
180º
270º
360º
1
0
-1
0
1
A função co-seno pode ser observada na imagem seguinte:
Figura 16 - Representação da função co-seno, de -2π até 2π.
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5.Astronomia
Astronomia é uma palavra que vem do grego e que, literalmente, significa “Lei das
Estrelas”.
A Astronomia tem como principal objecto de estudo os corpos celestes, contudo
também pode dedicar-se ao estudo de determinadas características físicas da Terra e,
utilizando conhecimentos obtidos de outros corpos celestes, responder a perguntas
que dizem respeito ao planeta Terra. Algumas dessas questões implicam, por exemplo,
a resposta à pergunta “qual a idade da Terra?”. A essa pergunta a Astronomia tenta
responder através, por exemplo, do estudo de asteróides e de meteoritos.
Apesar de agora a Astronomia ser uma ciência que é necessária para dar respostas
a outras áreas da ciência tais como a Biologia, antigamente a Astronomia era de uma
importância extrema, pois era utilizando os conhecimentos dos astros e das
constelações que eram possíveis as navegações.
Foi, aliás, graças à necessidade de ver a Astronomia desenvolvida que a
Trigonometria também se desenvolveu, tal como já foi anteriormente referido.
Esta ciência implica muitos cálculos e o recurso a diversas áreas e conhecimentos
matemáticos, como a estatística e probabilidades, matrizes, geometria e, obviamente,
trigonometria.
No capítulo seguinte dar-se-ão alguns exemplos práticos quanto à utilização da
trigonometria na Astronomia, de um modo mais aprofundado.
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6.Astronomia e Trigonometria
6.1. Interacção
Quando se associa a Trigonometria e a Astronomia, a associação mais rápida que
se pode fazer é que a primeira é utilizada para o cálculo de distâncias entre estrelas
próximas que, obviamente, é do interesse da segunda ciência citada.
Contudo as utilizações da trigonometria não dizem respeito somente às distâncias
entre estrelas, ou entre o nosso planeta e outros corpos celestes; apesar de
antigamente a trigonometria ser utilizada principalmente para esse fim, actualmente a
trigonometria ajuda de uma maneira mais expressiva o desenvolvimento da
astronomia. A trigonometria vive, por exemplo, nas tecnologicamente avançadas
naves espaciais, que necessitam da trigonometria para transformar sistemas de
coordenadas aquando de uma rotação ou então quando é necessário controlar o braço
de uma nave. Esses “braços” mecânicos possuem inúmeras articulações e para ser
controlado de maneira a conduzi-lo ao local que se pretende, é necessário calcular o
ângulo descrito por essas articulações. Obviamente tais cálculos são feitos recorrendo
a softwares, contudo não deixa de existir trigonometria. Além do mais, para esses
softwares existirem tem que haver pessoas que os criem recorrendo a conhecimentos
avançados de Matemática.
Ao longo deste capítulo dar-se-ão exemplos do modo como a Trigonometria é
utilizada na Astronomia actualmente e de como foi utilizada por génios da Antiguidade
que, apesar de não terem encontrado os dados preciso que temos hoje, devem ainda
assim ser honrados pela imaginação e perspicácia espantosas que deveriam ter tido
para conseguirem, através de cálculos relativamente simples, calcular coisas que
actualmente a maior parte da população pensa que apenas está acessível aos
“cérebros” das máquinas.
Iniciar-se-á com uma referência a uma experiência antiga, efectuada por Aristarco
de Samos, e far-se-á depois referência a algumas utilizações presentes da
trigonometria na Astronomia.
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6.2.Na Antiguidade
Aristarco de Samos foi um astrónomo grego que viveu entre os séculos IV e III a.C..
É reconhecido pelos seus trabalhos sobre as distâncias entre o Sol e a Lua. Foi também,
segundo se sabe, o primeiro cientista a propor um modelo heliocêntrico. Contudo,
como muitos depois dele, foi proibido de dar a sua opinião a esse respeito.
Para calcular a relação entre as distâncias da Terra à Lua e da Terra ao Sol,
Aristarco baseou-se sobretudo nas fases quarto crescente e quarto minguante da Lua.
Quando se encontra nessa fase, a Lua, a Terra e o Sol descrevem um triângulo
rectângulo na Lua, segundo Aristarco supôs.
Figura 17 - Esquema das posições da Terra, da Lua (representada em duas fases distintas) e do Sol.
Sabendo isto e calculando o ângulo α, era possível obter uma estimativa dessas
distâncias. Para calcular o ângulo α Aristarco contou os dias necessários para que a Lua
descrevesse um ciclo completo à volta da Terra e os dias necessários para que a Lua
passasse de quarto minguante para quarto crescente.
Assim, Aristarco atribui o valor de 29, 5 dias para o ciclo completo da Lua à volta da
Terra e o valor de 14,25 dias para a passagem entre as duas fases. Utilizando uma
“regra de três simples”, Aristarco conclui que:
360° − 29,5 𝑑𝑖𝑎𝑠
2𝛼 − 14,25
Obtém-se então
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2α =
360 ∗ 14,25
⇔ α ≈ 86,95°
29,5
Aristarco inicialmente queria obter a razão entre a distância da Terra à Lua e a
distância da Terra ao Sol. Para isso utilizou o ângulo formado no vértice que
compreende ao Sol, que é igual a 3º (porque soma dos ângulos internos de um
triângulo é 180º; 180-(90+87) = 3 ). Então
sin 3 =
1
1
⇔ 𝑇𝑆 =
𝑇𝑆
sin 3
Ou seja, a distância da Terra ao Sol será igual a aproximadamente 19 vezes a
distância da Terra à Lua. (Tomou-se a unidade como a distância da Terra à Lua).
Sabe-se actualmente que, na verdade, a distância da Terra ao Sol é de 400 vezes a
distância da Terra à Lua, contudo supõe-se que o erro se deveu ou a um cálculo pouco
preciso do ângulo α ou à peculiaridade do movimento da Lua da época pois, segundo
se pensa, o movimento da Lua e a distância desta à Terra tem vindo a modificar-se.
6.3.Na Actualidade
Actualmente a utilização da trigonometria na Astronomia é mais vasta e muito
menos simples do que a que era utilizada no tempo de Aristarco de Samos.
Actualmente, usam-se não só as mais simples razões trigonométricas, mas também
funções derivadas destas. A trigonometria encontra-se presente, por exemplo, quando
se navega numa nave espacial. Quando uma nave espacial faz uma rotação (seja em
relação ao eixo das abcissas, ordenadas ou cota) é necessário que o seu sistema de
coordenadas sofra também uma rotação; essa rotação é calculada usando a
trigonometria como base.
A trigonometria pode ser usada, e neste caso há uma transversalidade à Geografia
e à Astronomia, para calcular os paralelos ao equador de um planeta, como a Terra.
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Para poder usar a trigonometria nesse caso, é necessário ter em consideração que
apesar de a Terra não ser uma esfera, pode ser tratada como tal em situações como
esta. Apresenta-se de seguida um esquema:
Figura 18 - Esquema da Terra, com o equador, um paralelo ao equador, o raio da Terra, o raio desse
paralelo e ainda o ângulo formado entre o raio da Terra e os paralelos assinalados.
Através do ângulo formado entre o raio da Terra (R) e o equador, é possível obter o
raio da circunferência paralela ao equador, e consequente perímetro.
Tomando o raio da Terra como R, o raio da circunferência paralela ao equador
como r, o ângulo formado pelo raio da Terra e o equador por θ, é possível obter a
relação entre o raio da Terra (valor conhecido) e o raio desse paralelo.
cos 𝜃 =
𝑟
⇔ 𝑟 = 𝑅 cos 𝜃
𝑅
Definindo o comprimento do paralelo por Cp, obtém-se que
𝐶𝑝 = 2𝜋𝑟
Como 𝑟 = 𝑅 cos 𝜃,
𝐶𝑝 = 2𝜋𝑅 cos 𝜃
Como o perímetro do equador é dado por 𝐶𝑒 = 2𝜋𝑅, pode-se afirmar que
𝐶𝑝 = 𝐶𝑒 cos 𝜃
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Sabendo essa relação, para qualquer valor de θ pode-se saber imediatamente o
comprimento do paralelo do equador. Por exemplo, quando θ = 30º e sabendo que o
raio da Terra é de 6400 km, tem-se que:
𝐶𝑒 = 6400 ∗ 2 ∗ 𝜋 ⇔ 𝐶𝑒 = 40212 𝑘𝑚
𝐶𝑝 = 40212 ∗ cos 30 ⇔ 𝐶𝑝 = 34824 𝑘𝑚
Uma das maiores utilizações da trigonometria na Astronomia prende-se com o
cálculo da distância de estrelas astronomicamente próximas da Terra. Para isso, é
necessário primeiro compreender o conceito de paralaxe.
A paralaxe é o deslocamento aparente de um objecto devido à sua posição relativa
a objectos que se encontram mais próximos e devido à perspectiva do qual é visto. A
paralaxe é um fenómeno fácil de observar, podendo-se tomar como exemplo uma
viagem de automóvel. Ao olharmos para a paisagem vemos que os objectos que se
encontram mais próximos de nós, à medida que andamos, se parecem mover
comparativamente aos objectos que se encontram mais distantes. Pode ser também
observada se estendermos o nosso braço e erguermos o polegar, observando-o
alternadamente com um olho e depois com o outro. É possível constatar que o dedo,
aparentemente, muda de posição.
Através dessa noção e através dos ângulos formados por essa posição relativa
pode-se calcular a distância de uma estrela à Terra.
Observando-se uma estrela com uma diferença de seis meses, é possível constatar
que a “alteração” da sua posição descreve um ângulo relativamente à Terra. Dividindo
esse ângulo pela metade é possível, através de relações trigonométricas, calcular a sua
distância à Terra.
A estrela deve ser observada com uma diferença de seis meses pois assim será
observada a partir da Terra em pontos opostos em relação ao Sol, o que permitirá
obter um ângulo recto no sol através da divisão por metade do ângulo obtido.
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Figura 19 - Esquema de triângulo obtido através da divisão do ângulo formado pela estrela. T representa
a Terra, S o Sol, E a estrela observada e U.A. representa a unidade astronómica (distância da Terra ao Sol).
Conhecendo o valor da distância da Terra ao Sol, definido por uma unidade
astronómica, é possível constatar que a distância da Terra à Estrela será sin 𝜃 =
1
𝑑
⇔
1
𝑑 = sin 𝜃 , onde d representa a distância da Terra à estrela.
7.Conclusão
Aprofundadas algumas das relações entre a Astronomia e a Trigonometria concluise, uma vez mais, que a Ciência não existe se houver uma relação harmoniosa entre
todas as disciplinas da Ciência. A Matemática desenvolve-se graças à Física, a Física
sem Matemática não estaria tão avançada. A Matemática é necessária e observada na
Biologia, e é graças à Biologia que a Química se desenvolve; sem Química a Biologia
estagnaria, e é através da Biologia que se desenvolvem conhecem novos conceitos da
Química. A Matemática passa até para outras áreas que não pertencem à Ciência,
como a Arte e a Filosofia, assim como pode existir um incentivo vindo de áreas como a
Arte para o desenvolvimento da Matemática (note-se, a título de exemplo, a relação
entre a Arquitectura e a Matemática, e o uso da Matemática na Pintura devido às
proporções).
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Apesar dos poucos exemplos apresentados neste ensaio, existem ainda mais
relações entre a Matemática e a Astronomia, alguns dos quais foram referidos muito
superficialmente, como a rotação de eixos das naves espaciais. Através de
conhecimentos
trigonométricas
podem-se
também
realizar
alguns
cálculos
relativamente simples, dos quais se obtém a distância da Terra ao Sol (que é, aliás,
cerca de 150 milhões de km); para tal, são necessários não só conhecimentos de
trigonometria mas também de semelhança de triângulos.
Recomenda-se a consulta do site da NASA (National Aeronautics and Space
Administration), mencionado na bibliografia a seguir apresentada, onde se podem
observar outras relações não somente entre Trigonometria mas da Matemática em
geral e a Astronomia.
8.Bibliografia
[1] – Prof.ª Ana Paula Júlio - Teorema de Carnot. Modificado em: Ano Lectivo de
2004/2005. Acedido em: 28/11/2009, em:
http://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:V9XvrrXgScJ:mat.absolutamente.net/recursos/alunos/0405/trigonom/guiao1.pdf+teorema+de
+Carnot&hl=ptPT&gl=pt&pid=bl&srcid=ADGEESgTD74Xmp1NH_D9mzGziFSl7pIydrP7hYtYXnQmI_kIe5
piRbuyrcd88g9MCu4msYsh6ItagHJuWSoBGArXiBR3FzTiF5Xk3S9REpS042G65QEzzIlRj3IfDtr76r7V7CLGSN3&sig=
AHIEtbSXaIKzUTSmsWloS20J-3hyUAbaGg
[2] – Wikipédia – Triângulo. Modificado em: 27/11/09. Acedido em: 28/11/09, em:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo#Fatos_B.C3.A1sicos
[3] – Prof2000 – O Triângulo – Importância do Triângulo na Vida Humana. Modificado
em: 1. Acedido, em: 28/11/09, em:
http://www.prof2000.pt/users/secjeste/modtri01/Pg000710.htm
[4] – Wikimedia - Triangolo-Equilatero. Acedido em: 28/11/09, em:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/88/Triangolo-Equilatero.png
[5] – Wikimedia - Triangle.Isosceles. Acedido em: 28/11/09, em:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/19/Triangle.Isosceles.png
[6] – Wikimedia - Triangolo-Scaleno. Acedido em: 28/11/09, em:
1
O site não apresentava a informação pretendida, assim como os sites, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11,12, 13,
14, 15 18 e 19.
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http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/47/Triangolo-Scaleno.png
[7] – Wikimedia - Triangolo-Rettangolo. Acedido em: 28/11/09, em:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3b/Triangolo-Rettangolo.png
[8] – Wikimedia - Triangolo-Rettangolo. Acedido em: 28/11/09, em:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b4/Triangolo-Ottuso.png
[9] – Wikimedia - Triangolo-Rettangolo. Acedido em: 28/11/09, em:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/62/Triangle.Acute.png
[10] – Wikipédia - Inverse trigonometric functions. Modificado em: 01/12/09. Acedido
em: 02/12/09, em:
http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_function
[11] – Wolframalpha – sin^-1. Acedido em:02/12/09, em:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%5E-1
[12] – Universidade do Minho - Ângulo como rotação de uma semi-recta. Acedido em:
02/12/09, em:
http://erepository.tecminho.uminho.pt/poaw/MATGeo12.web/ngulo_como_rotao_de_uma_s
emirecta.html
[13] – Educ - Círculo Trigonométrico. Acedido em: 02/12/09, em:
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm22/circulo_trigonometrico.htm
[14] – Wolframalpha - x^2 + y^2 = 1. Acedido em: 02/12/09, em:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2+%2B+y^2+%3D+1
[15] – Wolframalpha - sen(x). Acedido em: 02/12/09, em:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sen(x)
[16] - Eliane Quelho Frota Rezende - A Geometria e a Astronomia na Grécia Antiga.
Modificado em: 23/11/06. Acedido em: 06/12/09, em:
http://www.ime.unicamp.br/~eliane/ma241/trabalhos/astronomia.pdf
[17] - Universidade Federal da Bahia - APLICAÇÕES DA TRIGONOMETRIA – Modificado
em: 24/07/07. Acedido em: 06/12/09, em:
http://www.fund198.ufba.br/trigo-pa/5-1aplic.pdf
[18] – NASA – TRIGONOMETRY. Acedido em: 06/12/09, em:
http://er.jsc.nasa.gov/seh/math55.html
[19] - Universidade Federal do Rio Grande do Sul– Parallas. Acedido em: 12/12/09, em:
http://www.if.ufrgs.br/oei/santiago/fis2005/textos/parallas.jpg
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Vieira do Minho, 12 de Dezembro de 2009
Adriana Maria da Silva Vieira
João Nuno de Sousa Machado
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