REPRESENTAÇÃO BIDIMENSIONAL DE OBJETOS TRIDIMENSIONAIS:
UM ESTUDO DE CASO∗
Regina Maria Pavanello∗∗
Universidade Estadual de Maringá
[email protected]
O objetivo da pesquisa, um estudo de caso com abordagem interpretativa do tipo
qualitativo, foi investigar as dificuldades dos alunos de 2ª, 3ª e 4ª séries do Ensino
Fundamental de escola publica de Maringá (PR) em construir representações de
situações que envolvem habilidades de visualização e percepção espacial. As
informações necessárias à investigação foram obtidas em entrevistas, do tipo clínico,
com os alunos (oito por série). Estes eram solicitados inicialmente a montar uma
determinada situação utilizando objetos tridimensionais e, a seguir, a representá-la numa
folha de papel. Poucos alunos utilizaram a planta baixa para efetuar essa representação,
o que indica a necessidade de um trabalho pedagógico nesse sentido, pois este é um tipo
de representação muito utilizado não só no cotidiano, como em muitas situaçõesproblema no campo da matemática.
Palavras-chave: ensino fundamental, representação bidimensional, planta baixa.
As propostas curriculares de Matemática para as etapas iniciais do Ensino
Fundamental elaboradas nas duas últimas décadas (BRASIL,1997 e 1998; SÃO
PAULO, 1988 e PARANÁ,1988, entre outras) apontam para a necessidade de um
trabalho com a geometria que envolva a construção de representações bidimensionais de
situações com objetos tridimensionais, como itinerários, mapas, maquetes, croquis e
∗
Este trabalho apresenta resultados de investigação realizada no âmbito do projeto de pesquisa
“Professores e alunos das séries iniciais do ensino fundamental e o conhecimento geométrico”. As
informações obtidas nesse segmento da pesquisa foram coletadas pela autora com a colaboração de
Iolanda Heerdt, graduanda de Pedagogia e orientanda de Iniciação Científica.
∗∗
Professora do Programa de Pós-graduação em Educação e do Mestrado em Educação para a Ciência e o
Ensino da Matemática da Universidade Estadual de Maringá.
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plantas baixas. A justificativa para essa inserção é que interpretar e representar posições
e movimentos de objetos no espaço é uma habilidade importante não só no âmbito da
matemática, como também no cotidiano.
Analisando-se os livros didáticos para essa faixa da escolarização, verifica-se
que a maioria apresenta atividades que utilizam estes tipos de representação. Observase, todavia, que em geral as representações são dadas já prontas e as questões feitas a
partir das mesmas nem sempre exploram devidamente os conceitos em jogo ou o porquê
da própria representação. Parece que se considera que questões relativas às
representações não apresentam dificuldades para as crianças.
Trabalho anterior da autora (PAVANELLO, 1995) mostrou ser possível que
diferentes crianças interpretem de modo diferente a mesma representação uma vez que
cada qual analisa uma dada situação de acordo com o quadro interpretativo disponível
no momento e construído pelo sujeito ao longo de sua história de vida, a partir das
interações com os objetos de conhecimento. Além disso, as representações utilizadas na
matemática repousam em convenções e, portanto, não são dominadas a priori pelos
alunos.
No
entanto,
não
foram
encontradas
outras
pesquisas
que
abordem
especificamente as dificuldades das crianças dessa faixa da escolaridade em
interpretar/construir representações bidimensionais de objetos tridimensionais. Entre os
trabalhos relacionados de algum modo com este tema há os que tratam da distinção
entre pensamento perceptual e representacional e entre pensamento figurativo e
operativo (como os de PIAGET e INHELDER, 1993), dos conceitos, processos e
habilidades concernentes à medição (como os de OSBOURNE, 1980), das condições
para a melhoria do desempenho em questões que envolvem habilidade espacial
(BISHOP,19731, citado em BISHOP, 1983), das possibilidades ou obstáculos à
compreensão de temas geométricos gerados pela sua representação e visualização
(BISHOP, 1992), entre outras. Um trabalho diferenciado em relação a situações que
envolvem plantas baixas foi apresentado em Pires, Curi e Campos (2001).
Justifica-se, desta forma, a necessidade de pesquisas que investiguem as
dificuldades resultantes desse tipo de situações.
1
BISHOP. A. Use of structural apparatus and spatial ability: a possible relationship. Research in
Education, n. 9, 1973, p. 43-49.
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A pesquisa e seus instrumentos
A pesquisa aqui relatada é parte de um projeto que tem como um de seus
objetivos investigar as dificuldades de alunos e professores das séries iniciais do Ensino
Fundamental em situações que envolvem conhecimentos de natureza geométrica. A
questão investigada nesta parte do projeto era a compreensão dos alunos das etapas
iniciais da escolarização sobre situações que envolvem habilidades de visualização e
percepção espacial. Mais especificamente, pretendia-se investigar sua compreensão
sobre a interpretação e/ou a construção de representações bidimensionais de objetos
tridimensionais. Além disso, desejava-se verificar se um maior grau de escolaridade se
refletia ou não na capacidade de interpretar ou construir representações.
Conduzida como um estudo de caso realizado dentro de abordagem
interpretativa do tipo qualitativo, a pesquisa teve como sujeitos alunos de 2ª, 3ª e 4ª
séries, oito por série, de escola publica de Maringá (PR) que proporciona regularmente
cursos de capacitação para seus professores. As crianças que participaram do estudo
foram escolhidas, por meio de um sorteio, entre os alunos que aceitaram tomar parte
nela.em cada classe/série.
Durante cerca de oito semanas a pesquisadora realizou sessões individuais com
as crianças selecionadas utilizando o enfoque clínico: apresentava uma situaçãoproblema que a criança deveria solucionar da forma que julgasse ser a melhor possível,
enquanto a pesquisadora fazia as questões que acreditasse serem necessárias para
compreender melhor o pensamento dos sujeitos. As sessões, que duravam cerca de 30
minutos, foram realizadas em uma sala de aula não ocupada no momento ou no
laboratório de matemática da escola. Foram feitos registros pormenorizados de cada
uma das sessões, anotando-se as perguntas feitas, as respostas dadas pelas crianças, suas
reflexões em voz alta, suas expressões e atitudes frente às perguntas, bem como as
explicações que pediam sobre as questões que lhe eram formuladas. Esses registros se
constituíram no material utilizado para a descrição e a análise das respostas das crianças
às questões da investigação.
A situação apresentada inicialmente à criança era: distribuir os móveis em um
quarto de modo que a mãe pudesse chegar sem dificuldades ao bebê quando isso fosse
necessário. Para tornar a situação mais concreta era dada à criança uma caixa de sapatos
– que representava o quarto do bebê, e em que estavam indicados a porta de entrada e a
janela – e peças em miniatura – os móveis para o quarto: berço, cômoda, cadeira de
balanço, brinquedos. Combinava-se que esses móveis deveriam ser colocados da forma
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que a criança acreditasse ser a melhor possível para que pudessem ser utilizados sem
dificuldades. Por exemplo, a porta de entrada, a janela e as gavetas da cômoda deveriam
poder ser abertas. Qualquer que fosse a resposta da criança, esta deveria justificá-la.
Feita a distribuição do melhor modo possível para a criança, esta era instada a
representa-la em uma folha de papel sulfite para que pudesse ser comunicada a outras
pessoas mesmo na ausência dos objetos.
As tarefas foram apresentadas numa seqüência que visava um crescendo de
dificuldades. Na primeira parte da tarefa, embora a criança estivesse trabalhando com
uma representação do real, havia a conservação da tridimensionalidade.. Na segunda
parte esperava-se a passagem da tri para a bidimensionalidade, o que certamente
exigiria uma maior abstração, mesmo se auxiliada péla montagem realizada
anteriormente. Neste caso, se poderia constatar a compreensão – ou não - da criança
sobre a utilidade da planta baixa para a representação pretendida.
Resultados
Todas as crianças conseguiram montar o quarto do bebê utilizando as miniaturas
e a caixa de sapatos, embora algumas demorassem mais para encontrar o que
consideravam a melhor forma de dispor os móveis. Questionadas sobre a possibilidade
de montar ou dispor os móveis de maneira diferente, todas se dispuseram a fazer uma
montagem diferente da anterior, algumas realizando a tarefa com facilidade. Houve um
pequeno grupo, no entanto, que não conseguiu obter outra resposta satisfatória: depois
de algumas tentativas frustradas, desistiram e permaneceram com a primeira resposta.
A maior dificuldade com relação à questão ocorreu na transposição para o papel
da solução encontrada no concreto e realizada mediante a manipulação dos objetos. Era
no desenhar os móveis da forma em que estavam dispostos dentro do quarto que as
maiores diferenças entre os desempenhos das crianças apareciam.
Um resultado importante da pesquisa no tocante à representação da montagem
do quarto de acordo com os critérios dados pela pesquisadora é que a maioria das
crianças, mesmo entre as que estavam em séries mais avançadas, não recorreram a uma
representação do tipo planta baixa. Preferiram desenhar os móveis como se estivessem
ao lado deles e não como se os estivessem vendo de cima, e isso mesmo quando
questionadas pela pesquisadora se sua representação permitiria que uma pessoa, que não
tivesse visto como haviam posicionado os móveis no quarto, reconstituísse a montagem
que haviam feito.
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Além disso, cumpre observar que os desempenhos das crianças que se
encontravam nas séries mais avançadas não foram consideravelmente melhores que os
apresentados pelas demais, como seria de esperar. Este resultado mostra que apesar de o
livro didático adotado na escola as apresentar, a partir da 3ª série, este tipo de
representação, o trabalho realizado em sala de aula não sensibilizou os alunos para sua
importância.
Entre os poucos sujeitos que optaram por utilizar a planta baixa para representar
a localização dos móveis no quarto, podemos citar uma aluna da terceira série que se
destacou desde quando lhe foi apresentada a primeira tarefa. Muito questionadora e
espontânea, logo percebia o que se queria com as situações que lhe eram apresentadas.
Na montagem dos móveis não só forneceu uma boa solução logo de início, como
também produziu duas outras, que solucionavam a tarefa satisfatoriamente. No
momento de representar sua solução no papel sulfite, foi uma das poucas crianças que
imediatamente o fez como se estivesse vendo a cena de cima, como uma planta baixa.
No entanto, neste caso, não se pode afirmar com certeza que ela o tenha feito por
iniciativa própria ou porque percebeu os esquemas feitos pela auxiliar de pesquisa, que
fazia o registro de suas diferentes opções de montagem num caderno, e que talvez
incautamente tenha permitido que os observasse. Mas outros sujeitos, ainda que também
pudessem ter observado os esquemas feitos pela colaboradora, não tiveram o mesmo
desempenho.
Uma aluna da quarta série também desenhou os móveis como se os visse de
cima, como em uma planta baixa, e certamente por iniciativa própria. Um aluno da
terceira, no momento de desenhar a disposição dos móveis na folha de papel, perguntou
se deveria desenhar como se estivesse vendo de cima ou de lado. Como um dos
objetivos do trabalho era exatamente verificar se os alunos recorriam à planta baixa, por
compreender que ela seria a representação mais apropriada neste caso, a pesquisadora
respondeu-lhe que ele deveria fazer do modo que lhe parecesse melhor, que
comunicasse da melhor forma possível a solução que havia encontrado. O garoto optou
então por desenhar os móveis como se estivesse ao seu lado.
Um aluno de 7 anos, L, da segunda série, antes de começar a desenhar,
perguntou se deveria fazer o desenho vendo de cima ou de lado. Deixada a decisão a seu
critério, o fez como se os visse de cima, sem esquecer a porta e a janela.
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Outro caso interessante foi o de dois alunos da segunda série, G e M, e de três
alunos da quarta, D, R e F, que desenharam metade dos objetos como se os vissem de
cima e a outra metade como se estivessem ao lado dos mesmos.
Um fato relevante observado é que, embora as crianças, em sua maioria,
desenhassem a porta e a janela, não as tomavam como referencial para representar a
posição dos móveis no quarto. Muitos alunos apenas desenharam os móveis, em alguns
casos com tantos detalhes que deixaram de considerar sua disposição no espaço. Em
muitos desenhos a porta e a janela nem apareciam, o que pode indicar falta de
compreensão sobre a importância desses elementos como referenciais para a localização
dos móveis (desenhos) na superfície do papel. Este fato também sugere que o trabalho
pedagógico realizado na escola deixou de focalizar conceitos importantes do ponto de
vista matemático.
É importante assinalar que, em geral, as crianças faziam os desenhos procurando
estabelecer uma certa proporção com o tamanho natural dos objetos, fato este relevante
mesmo sabendo que no momento de transpor para o papel a organização dos objetos
havia a montagem concreta em que as crianças poderiam se apoiar, que podiam olhar
enquanto desenhavam, não havendo necessidade de se basear apenas na memória para
lembrar como a organização estava feita.
Reflexões a partir dos resultados da investigação
Quando se analisa o modo como os conteúdos de matemática são desenvolvidos
tanto em muitos dos livros didáticos de matemática e como, em sala de aula, por muitos
professores, pode-se perceber a marca de certas concepções acerca de como se dá a
apropriação do conhecimento pelo aluno. Pode-se reconhecer, em primeiro lugar, a
crença no fato de o conhecimento (PAVANELLO, 1995) poder ser “adquirido” através
dos sentidos (audição, visão), de modo que ler o livro ou ouvir a explicação do
professor e/ou acompanhar a resolução dos exercícios, no livro ou no quadro-negr,o é
suficiente para que o aluno se aproprie de um novo conhecimento.
Além disso, para tornarem mais claras certas relações matemáticas, tanto os
livros quanto o professor empregam, em muitas ocasiões, algum tipo de representação.
O problema é que também neste caso isso é feito supondo-se que os alunos - todos eles,
indistintamente – interpretam uma determinada representação da mesma forma que o
professor - ou o livro - o faz. Pesquisa mencionada anteriormente (PAVANELLO,
1995) aponta para exatamente o oposto: a criança não só pode não interpretar uma
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representação da mesma forma que o adulto, como crianças diferentes podem interpretála de maneiras distintas.
Por outro lado, a observação do cotidiano escolar mostra, também, que mesmo
quando materiais manipuláveis são utilizados em sala de aula, a concepção que
direciona a sua utilização continua a mesma: os mestres esperam que os alunos “leiam”
no material as relações matemáticas que estão procurando estabelecer.
O mesmo fenômeno se dá na abordagem de situações que focalizam
representações bidimensionais de objetos tridimensionais (itinerários, mapas, maquetes,
croquis, plantas baixas). As representações são em geral são apresentadas já prontas,
como se elas se explicassem por si mesmas. E os resultados da pesquisa aqui
apresentada mostram as conseqüências da falta de um trabalho mais consistente com
pelo menos um dos tipos de representação mais utilizados no cotidiano: a planta baixa.
Deve-se ressaltar que a finalidade desta pesquisa não era propor uma
metodologia para a apresentação desse conteúdo, mas apenas investigar se as crianças
percebiam que a melhor forma de comunicar sua solução para o problema da montagem
do quarto do bebê era por meio de uma planta baixa e como se desempenhavam nesta
tarefa. No entanto, o estudo mostrou a necessidade de um trabalho mais detalhado com
esse tema. Partindo do pressuposto que as crianças não aprendem só pela observação e
pela explicação, torna-se necessário proporcionar-lhes oportunidades de perceberem
melhor o que está em jogo numa representação desse tipo, o que só é possível quando
elas são chamadas a realizá-la.
A mesma situação problema utilizada na pesquisa aqui relatada pode ser
apresentada aos alunos em sala de aula. Feitas as representações pelas crianças, pode-se
pedir a um aluno que tente realizar a montagem do quarto do bebê a partir do desenho
de um colega, o que dará oportunidades para se discutir se, considerando-a como uma
mensagem, ela pode ser melhorada de forma a ser melhor compreendida por quem a
receber.
Assim, uma situação corriqueira pode proporcionar ao aluno a contextualização
e a problematização do real e, mais adiante, uma nova problematização pode dar-lhe a
possibilidade de realizar uma abstração. Isto é fazer matemática.
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Referências
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PIAGET, J.; INHELDER, B. A representação do espaço na criança. Porto Alegre:
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